Hər bir fərdi dəyər tamamilə onun paylama funksiyası ilə müəyyən edilir. Həmçinin, praktiki problemləri həll etmək üçün bir neçə ədədi xüsusiyyətləri bilmək kifayətdir, bunun sayəsində əsas xüsusiyyətləri təqdim etmək mümkün olur. təsadüfi dəyişən qısa formada.
Bu miqdarlar ilk növbədə gözlənilən dəyər və dispersiya .
Gözlənilən dəyər - ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiyməti. kimi təyin edilmişdir.
ən çox sadə şəkildə təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X(w), kimi tapılır inteqralLebesq ehtimal ölçüsü ilə əlaqədar R ilkin ehtimal sahəsi
kimi bir dəyərin riyazi gözləntisini də tapa bilərsiniz Lebeq inteqralı-dan X ehtimal paylanması ilə R X miqdarlar X:
bütün mümkün dəyərlər çoxluğu haradadır X.
Təsadüfi dəyişəndən funksiyaların riyazi gözləntiləri X paylanması yolu ilə həyata keçirilir R X. misal üçün, əgər X- və daxilində dəyərləri olan təsadüfi dəyişən f(x)- birmənalı Borelfunksiyası X , sonra:
Əgər a F(x)- paylama funksiyası X, onda riyazi gözlənti təmsil oluna bilər inteqralLebesgue - Stieltjes (və ya Riemann - Stieltjes):
inteqrasiya olunarkən X nə mənada ( * ) inteqralın sonluluğuna uyğundur
Xüsusi hallarda, əgər X ehtimal olunan qiymətlərlə diskret paylanmaya malikdir x k, k=1, 2, . , və ehtimallar, sonra
əgər X ehtimal sıxlığı ilə mütləq davamlı paylanmaya malikdir p(x), sonra
bu halda riyazi gözləntinin mövcudluğu müvafiq sıra və ya inteqralın mütləq yaxınlaşmasına bərabərdir.
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin xassələri.
- Sabit bir dəyərin riyazi gözləntisi bu dəyərə bərabərdir:
C- Sabit;
- M=C.M[X]
- Təsadüfi olaraq alınan dəyərlərin cəminin riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:
- Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntisi = onların riyazi gözləntilərinin hasili:
M=M[X]+M[Y]
əgər X və Y müstəqil.
sıra birləşərsə:
Riyazi gözləntilərin hesablanması alqoritmi.
Diskret təsadüfi dəyişənlərin xüsusiyyətləri: onların bütün dəyərləri yenidən nömrələnə bilər natural ədədlər; hər bir dəyəri sıfırdan fərqli ehtimalla bərabərləşdirin.
1. Cütləri növbə ilə çarpın: x iüstündə pi.
2. Hər bir cütün məhsulunu əlavə edin x i p i.
Misal üçün, üçün n = 4 :
Diskret təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası addım-addım, ehtimalları müsbət işarəyə malik olan nöqtələrdə kəskin şəkildə artır.
Misal: Düsturla riyazi gözləntiləri tapın.
Riyazi gözləntidən sonra təsadüfi dəyişənin növbəti ən vacib xassəsi ortadan kənarlaşmanın orta kvadratı kimi müəyyən edilən dispersiyadır:
Əgər həmin vaxta qədər işarə edilərsə, VX dispersiyası gözlənilən dəyər olacaqdır.Bu, X paylanmasının “səpələnməsi”nin xarakterik xüsusiyyətidir.
kimi sadə bir misal dispersiyanı hesablayarkən, tutaq ki, bizə indicə imtina edə bilməyəcəyimiz bir təklif gəldi: kimsə bizə eyni lotereyada iştirak etmək üçün iki sertifikat verdi. Lotereyanın təşkilatçıları hər həftə ayrıca tirajda iştirak edərək 100 bilet satırlar. Püşkatma bu biletlərdən birini vahid təsadüfi proses vasitəsilə seçir - hər bir biletin seçilmək şansı bərabərdir - və həmin şanslı biletin sahibi yüz milyon dollar alır. Qalan 99 lotereya bileti sahibi heç nə qazanmır.
Hədiyyədən iki şəkildə istifadə edə bilərik: ya eyni lotereyada iki bilet alın, ya da iki fərqli lotereyada iştirak etmək üçün hər birinə bir bilet alın. Ən yaxşı strategiya hansıdır? Gəlin təhlil etməyə çalışaq. Bunu etmək üçün birinci və ikinci biletlərdə uduşlarımızın ölçüsünü əks etdirən təsadüfi dəyişənlərlə işarə edirik. Gözlənilən dəyər milyonlarla ölçülür
və gözlənilən dəyərlər əlavə olduğu üçün də eynidir, buna görə də orta ümumi qazancımız olacaq
qəbul edilmiş strategiyadan asılı olmayaraq.
Bununla belə, iki strategiyanın fərqli olduğu görünür. Gözlənilən dəyərlərdən kənara çıxaq və bütün ehtimal paylanmasını öyrənək
Eyni lotereyada iki bilet alsaq, heç nə udmamaq şansımız 98%, 100 milyon qazanmaq şansımız isə 2%. Müxtəlif tirajlar üçün biletlər alsaq, onda rəqəmlər belə olacaq: 98,01% - heç nə udmamaq şansı, əvvəlkindən bir qədər yüksəkdir; 0,01% - 200 milyon qazanmaq şansı, həm də əvvəlkindən bir qədər çox; və 100 milyon qazanmaq şansı indi 1,98% təşkil edir. Beləliklə, ikinci halda, böyüklüyün paylanması bir qədər daha dağınıqdır; orta hesabla, 100 milyon dollar, bir qədər az ehtimal olunur, ifrat isə daha çox olur.
Dispersiyanı əks etdirmək üçün nəzərdə tutulan təsadüfi dəyişənin səpələnməsinin bu konsepsiyasıdır. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisindən kənarlaşma kvadratı vasitəsilə yayılmasını ölçürük. Beləliklə, 1-ci halda dispersiya olacaq
2-ci halda, dispersiya
Gözlədiyimiz kimi, sonuncu dəyər bir qədər böyükdür, çünki 2-ci halda paylanma bir qədər daha səpələnmişdir.
Variasiyalarla işlədiyimiz zaman hər şey kvadratdır, buna görə də nəticə kifayət qədər böyük rəqəmlər ola bilər. (Çarpan bir trilyondur, bu təsir edici olmalıdır
hətta yüksək mərclərə öyrəşmiş oyunçular.) Kvadrat kök dispersiyadan. Nəticədə çıxan ədəd standart sapma adlanır və adətən işarələnir Yunan hərfi a:
İki lotereya strategiyamız üçün standart sapmalar . Bəzi yollarla, ikinci seçim təxminən 71,247 dollar daha risklidir.
Fərqlilik strategiya seçimində necə kömək edir? Bu aydın deyil. Daha böyük fərqə malik strategiya daha risklidir; amma cüzdanımız üçün daha yaxşı nədir - risk və ya təhlükəsiz oyun? İki yox, hamısını yüz bilet almaq imkanımız olsun. Onda biz bir lotereyada udmağa zəmanət verə bilərik (və fərq sıfır olacaq); və ya yüzlərlə müxtəlif tirajda oynaya bilərdiniz, ehtimalla heç nə əldə edə bilməzsiniz, lakin dollara qədər udmaq şansınız sıfırdan fərqlidir. Bu alternativlərdən birini seçmək bu kitabın əhatə dairəsi xaricindədir; burada edə biləcəyimiz yeganə şey hesablamaların necə aparılacağını izah etməkdir.
Əslində, fərqi hesablamaq üçün birbaşa tərifdən (8.13) istifadə etməkdən daha asan bir yol var. (Burada bəzi gizli riyaziyyatdan şübhələnmək üçün hər cür səbəb var; əks halda, niyə lotereya nümunələrindəki dispersiya tam ədədə çoxluq təşkil edir. Bizdə
çünki daimidir; deməli,
"Dispersiya kvadratın ortası minus ortanın kvadratıdır"
Məsələn, lotereya problemində orta və ya Çıxarma (ortalamanın kvadratından) əvvəllər daha çətin bir şəkildə əldə etdiyimiz nəticələri verir.
Bununla belə, müstəqil X və Y üçün hesabladığımız zaman tətbiq olunan daha sadə bir düstur var. Bizdə var
Çünki bildiyimiz kimi, müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün.
“Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir” Beləliklə, məsələn, bir lotereya bileti üzrə udula bilən məbləğin dispersiyasına bərabərdir.
Buna görə də, iki fərqli (müstəqil) lotereyada iki lotereya bileti üçün ümumi uduşların fərqi olacaq Müstəqil lotereya biletləri üçün fərqin müvafiq dəyəri
İki zər üzərində yuvarlanan xalların cəminin fərqini eyni düsturdan istifadə etməklə əldə etmək olar, çünki iki müstəqil təsadüfi dəyişənin cəmi var. bizdə var
düzgün kub üçün; buna görə də yerdəyişmiş kütlə mərkəzi vəziyyətində
buna görə də hər iki kubun kütlə mərkəzi yerdəyişsə. Nəzərə alın ki, sonuncu halda dispersiya daha böyükdür, baxmayaraq ki, adi zərlə müqayisədə orta hesabla 7 daha çox tələb olunur. Məqsədimiz daha çox şanslı yeddilik atmaqdırsa, onda fərq yoxdur ən yaxşı göstərici uğur.
Yaxşı, fərqi necə hesablayacağımızı müəyyən etdik. Amma dispersiyanı hesablamaq nəyə görə lazımdır sualına hələ cavab verməmişik. Hamı bunu edir, amma niyə? Əsas səbəb variasiyanın mühüm xassəsini təyin edən Çebışev bərabərsizliyidir:
(Bu bərabərsizlik 2-ci fəsildə qarşılaşdığımız Çebışevin məbləğlər üçün bərabərsizliklərindən fərqlənir.) Keyfiyyət baxımından (8.17) X təsadüfi dəyişənin VX dispersiyasının kiçik olduğu halda nadir hallarda ortadan uzaq qiymətlər aldığını bildirir. Sübut
hərəkət fövqəladə sadədir. Həqiqətən,
bölünməsi sübutu tamamlayır.
Əgər riyazi gözləntiləri a ilə və standart kənarlaşma ilə - a ilə işarələsək və (8.17) ilə əvəz etsək, şərt buna görə də (8.17)-dən alırıq.
Beləliklə, ehtimalın təsadüfi dəyərdən çox olmadığı hallar istisna olmaqla, X onun orta göstəricisinin standart kənarlaşmasının - dəfələri daxilində olacaq. arasında dəyişir - ən azı 99%. Bunlar Çebışev bərabərsizliyi hallarıdır.
Bir neçə dəfə zar atsanız, o zaman ümumi miqdar bütün atışlarda xal demək olar ki, həmişə, böyük olanlar üçün bu, yaxın olacaq Bunun səbəbi aşağıdakılardır: müstəqil atışların dispersiyasında dispersiya ümumi məbləğin standart sapması deməkdir.
Beləliklə, Çebışev bərabərsizliyindən əldə edirik ki, xalların cəmi arasında olacaq
düzgün zarların bütün rulonlarının ən azı 99%-i üçün. Məsələn, 99%-dən çox ehtimalı olan bir milyon atışın cəmi 6,976 milyon ilə 7,024 milyon arasında olacaq.
Ümumi halda, X ehtimal fəzasında sonlu riyazi gözləntiyə və sonlu standart yayınma a olan hər hansı təsadüfi dəyişən olsun. Onda elementar hadisələri ardıcıllıqlardan ibarət olan Pp ehtimal fəzasını nəzərə ala bilərik, burada hər biri , ehtimal isə aşağıdakı kimi müəyyən edilir.
İndi düsturla təsadüfi dəyişənləri təyin etsək
sonra dəyər
X kəmiyyətinin P üzrə müstəqil reallaşmalarının cəmlənməsi prosesinə uyğun gələn müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəmi olacaq. Riyazi gözlənti bərabər olacaq və standart kənarlaşma - ; buna görə də reallaşmaların orta dəyəri,
müddətin ən azı 99%-i aralığında olacaq. Başqa sözlə, əgər biri kifayət qədər böyük bir dəyər seçərsə, müstəqil sınaqların arifmetik ortası demək olar ki, həmişə gözlənilən dəyərə çox yaxın olacaqdır. böyük rəqəmlər; lakin bizim indicə əldə etdiyimiz Çebışev bərabərsizliyinin sadə nəticəsi bizə kifayət edir.)
Bəzən biz ehtimal fəzasının xüsusiyyətlərini bilmirik, lakin X təsadüfi kəmiyyətinin dəyərini təkrar müşahidə etməklə onun riyazi gözləntisini qiymətləndirmək lazımdır. (Məsələn, biz San-Fransiskoda yanvar ayının orta günorta temperaturunu istəyə bilərik; və ya hesablamalarımızı əsas götürmək üçün gözlənilən ömür müddətini bilmək istəyə bilərik. sığorta agentləri.) Əgər bizim ixtiyarımızda müstəqil empirik müşahidələrimiz varsa, onda həqiqi riyazi gözləntinin təxminən bərabər olduğunu güman edə bilərik.
Düsturdan istifadə edərək, fərqi də qiymətləndirə bilərsiniz
Bu düstura baxanda fikirləşmək olar ki, orada çap xətası var; görünür ki, (8.19)-da olduğu kimi olmalıdır, çünki dispersiyanın həqiqi qiyməti (8.15)-də gözlənilən qiymətlər vasitəsilə müəyyən edilir. Ancaq buradakı əvəzləmə əldə etməyimizə imkan verir ən yaxşı təxmin, çünki tərif (8.20) bunu nəzərdə tutur
Budur sübut:
(Bu hesablamada ilə əvəz etdikdə müşahidələrin müstəqilliyinə etibar edirik)
Təcrübədə təsadüfi dəyişən X ilə eksperimentin nəticələrini qiymətləndirmək üçün adətən empirik orta və empirik standart kənarlaşma hesablanır və sonra cavabı formada yazır. Burada, məsələn, bir cüt zər atmağın nəticələri, guya doğrudur.
Paylanma qanunlarına əlavə olaraq təsadüfi dəyişənlər də təsvir edilə bilər ədədi xüsusiyyətlər .
riyazi gözlənti Təsadüfi dəyişənin M (x) dəyəri onun orta qiyməti adlanır.
Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi düsturla hesablanır
harada – təsadüfi dəyişənin dəyərləri, s mən- onların ehtimalları.
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirin:
1. Sabitin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir
2. Əgər təsadüfi dəyişən müəyyən k ədədinə vurularsa, onda riyazi gözlənti eyni ədədə vurulacaq.
M (kx) = kM (x)
3. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün x 1 , x 2 , … x n məhsulun riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Nümunə 11-dən təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləntiləri hesablayaq.
M(x) == 
.
Misal 12. X 1 , x 2 təsadüfi dəyişənlər müvafiq olaraq paylanma qanunları ilə verilsin:
x 1 Cədvəl 2
x 2 Cədvəl 3
M (x 1) və M (x 2) hesablayın
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Hər iki təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri eynidir - onlar sıfıra bərabərdir. Ancaq onların paylanması fərqlidir. Əgər x 1-in dəyərləri riyazi gözləntilərindən az fərqlənirsə, x 2-nin dəyərləri onların riyazi gözləntilərindən böyük dərəcədə fərqlənir və belə sapmaların ehtimalları kiçik deyil. Bu misallar göstərir ki, orta qiymətdən ondan hansı kənarlaşmaların həm yuxarı, həm də aşağı baş verdiyini müəyyən etmək mümkün deyil. Beləliklə, eyni ilə ortaİki məntəqədə illik yağıntının kənd təsərrüfatı işləri üçün eyni dərəcədə əlverişli olduğunu söyləmək olmaz. Eynilə, orta hesabla əmək haqqı mühakimə etmək mümkün deyil xüsusi çəkisi yüksək və aşağı maaşlı işçilər. Buna görə ədədi bir xüsusiyyət təqdim olunur - dispersiya D(x) , təsadüfi dəyişənin orta dəyərindən kənarlaşma dərəcəsini xarakterizə edən:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Dispersiya təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntidən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir. Diskret təsadüfi dəyişən üçün dispersiya düsturla hesablanır:
D(x)= 
= 
(3)
Dispersiya tərifindən belə çıxır ki, D (x) 0.
Dispersiya xüsusiyyətləri:
1. Sabitin dispersiyası sıfırdır
2. Əgər təsadüfi dəyişən hansısa k ədədinə vurulursa, onda dispersiya bu ədədin kvadratına vurulur.
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Cütlü müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün x 1 , x 2 , … x n cəminin dispersiyası dispersiyaların cəminə bərabərdir.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Nümunə 11-dən təsadüfi dəyişən üçün dispersiyanı hesablayaq.
Riyazi gözlənti M (x) = 1. Buna görə də (3) düsturuna görə bizdə:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Qeyd edək ki, 3-cü xüsusiyyətdən istifadə etsək, fərqi hesablamaq daha asandır:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Bu düsturdan istifadə edərək 12-ci Nümunədən x 1 , x 2 təsadüfi dəyişənlər üçün dispersiyaları hesablayaq. Hər iki təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri sıfıra bərabərdir.
D (x 1) \u003d 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 \u003d 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 \u0002d
D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Dispersiya dəyəri sıfıra nə qədər yaxın olarsa, təsadüfi dəyişənin orta qiymətə nisbətən yayılması bir o qədər kiçik olar.
Dəyər deyilir standart sapma. Təsadüfi moda x diskret tipli Mdən yüksək ehtimala uyğun gələn təsadüfi dəyişənin qiymətidir.
Təsadüfi moda x davamlı tip Md, ehtimal paylanması sıxlığının f(x) maksimum nöqtəsi kimi təyin olunan həqiqi ədəddir.
Təsadüfi dəyişənin medianı x davamlı tip Mn tənliyi təmin edən həqiqi ədəddir
Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiymətidir.Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəmidir:
Misal.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Həlli: Riyazi gözlənti X-in bütün mümkün qiymətlərinin və onların ehtimallarının məhsullarının cəminə bərabərdir:
M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Riyazi gözləntiləri hesablamaq üçün Excel-də hesablamalar aparmaq rahatdır (xüsusilə çoxlu məlumat olduqda), istifadə etməyi təklif edirik. hazır şablon ().
Müstəqil bir həll nümunəsi (bir kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz).
Paylanma qanunu ilə verilmiş diskret təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisini tapın:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Riyazi gözlənti aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir.
Xassə 1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir: М(С)=С.
Xüsusiyyət 2. Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər: М(СХ)=СМ(Х).
Xüsusiyyət 3. Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntisi amillərin riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Xassə 4. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М. (Хn).
Məsələ 189. X və Y riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Həlli: Riyazi gözləntinin xassələrindən istifadə edərək (cəmin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir; sabit amili riyazi gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar) M(Z)= alırıq. M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Riyazi gözləmənin xassələrindən istifadə edərək sübut edin: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) X-M(X) sapmasının riyazi gözləntiləri sıfırdır.
191. Diskret təsadüfi kəmiyyət X üç mümkün qiymət alır: x1= 4 p1 = 0,5 ehtimalı ilə; x3 = 6 ehtimalı ilə P2 = 0,3 və x3 ehtimalı ilə p3. Tapın: x3 və p3, M(X)=8 olduğunu bilərək.
192. Diskret təsadüfi dəyişən X-in mümkün qiymətlərinin siyahısı verilmişdir: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, bu kəmiyyətin və onun kvadratının riyazi gözləntiləri də məlumdur: M (X). ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0,doqquz. Uyğun olan p1, p2, p3 ehtimallarını tapın mümkün dəyərlər xi
194. 10 hissədən ibarət partiya üç qeyri-standart hissədən ibarətdir. İki maddə təsadüfi seçildi. Diskret təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisini tapın - iki seçilmiş arasında qeyri-standart hissələrin sayı.
196. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisini tapın X-beş atışların sayı zar, hər birində bir nöqtə iki sümükdə görünəcək, əgər ümumi sayı iyirmiyə bərabər atır.
Binom paylanmasının riyazi gözləntisi sınaqların sayının və bir sınaqda baş verən hadisənin ehtimalının hasilinə bərabərdir:
Riyazi gözlənti anlayışını zər atma nümunəsindən istifadə etməklə nəzərdən keçirmək olar. Hər atışda atılan xallar qeydə alınır. Onları ifadə etmək üçün 1 - 6 aralığında təbii dəyərlər istifadə olunur.
Müəyyən sayda atışdan sonra sadə hesablamaların köməyi ilə orta hesabla tapa bilərsiniz arifmetik dəyər xal itirdi.
Aralıq dəyərlərindən hər hansı birini atmaqla yanaşı, bu dəyər təsadüfi olacaq.
Və atışların sayını bir neçə dəfə artırsanız? At böyük miqdarda atdıqda, balların arifmetik orta dəyəri müəyyən bir ədədə yaxınlaşacaq, ehtimal nəzəriyyəsində riyazi gözlənti adlanır.
Beləliklə, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiyməti kimi başa düşülür. Bu göstərici həm də ehtimal olunan dəyərlərin çəkili cəmi kimi təqdim edilə bilər.
Bu anlayışın bir neçə sinonimi var:
- demək;
- orta dəyər;
- mərkəzi trend göstəricisi;
- ilk an.
Başqa sözlə, bu, təsadüfi bir dəyişənin dəyərlərinin paylandığı bir nömrədən başqa bir şey deyil.
Müxtəlif sahələrdə insan fəaliyyəti riyazi gözləntiləri anlamaq üçün yanaşmalar bir qədər fərqli olacaq.
Buna aşağıdakı kimi baxmaq olar:
- qərarın qəbulundan alınan orta mənfəət, belə bir qərar böyük ədədlər nəzəriyyəsi baxımından nəzərdən keçirildikdə;
- mərclərin hər biri üçün orta hesabla hesablanmış uduş və ya uduzmanın mümkün məbləği (qumar nəzəriyyəsi). Arqonda onlar “oyunçu üstünlüyü” (oyunçu üçün müsbət) və ya “kazino üstünlüyü” (oyunçu üçün mənfi) kimi səslənir;
- uduşlardan əldə edilən mənfəətin faizi.
Riyazi gözlənti tamamilə bütün təsadüfi dəyişənlər üçün məcburi deyil. Müvafiq məbləğdə və ya inteqralda uyğunsuzluq olanlar üçün yoxdur.
Gözləmə xüsusiyyətləri
Hər hansı bir statistik parametr kimi, riyazi gözlənti də aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
Riyazi gözləmə üçün əsas düsturlar
Riyazi gözləntinin hesablanması həm davamlılıq (formula A), həm də diskretlik (formula B) ilə xarakterizə olunan təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirilə bilər:
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi təsadüfi dəyişənin qiymətləridir, pi isə ehtimallardır:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilmiş ehtimal sıxlığıdır.
Riyazi gözləntilərin hesablanması nümunələri
Misal A.
Bilmək mümkündürmü ortalama hündürlük Snow White nağılındakı cırtdanlar. Məlumdur ki, 7 gnomun hər birinin müəyyən boyu var idi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 və 0,81 m.
Hesablama alqoritmi olduqca sadədir:
- artım göstəricisinin bütün dəyərlərinin cəmini tapın (təsadüfi dəyişən):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Nəticədə alınan məbləğ gnomların sayına bölünür:
6,31:7=0,90.
Belə ki, nağıldakı gnomların orta boyu 90 sm-dir.Yəni gnomların böyüməsinin riyazi gözləntisi budur.
İş düsturu - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6
Riyazi gözləmənin praktiki həyata keçirilməsi
Riyazi gözləmənin statistik göstəricisinin hesablanmasına praktik fəaliyyətin müxtəlif sahələrində müraciət edilir. Söhbət ilk növbədə kommersiya sahəsindən gedir. Axı Huygens tərəfindən bu göstəricinin tətbiqi hansısa hadisə üçün əlverişli və ya əksinə, əlverişsiz ola biləcək şansların müəyyən edilməsi ilə bağlıdır.
Bu parametr risklərin qiymətləndirilməsi üçün geniş istifadə olunur, xüsusən də maliyyə investisiyalarına gəldikdə.
Beləliklə, biznesdə riyazi gözləntilərin hesablanması qiymətlərin hesablanması zamanı riskin qiymətləndirilməsi üsulu kimi çıxış edir.
Həmçinin, bu göstərici müəyyən tədbirlərin, məsələn, əməyin mühafizəsi üzrə effektivliyini hesablayarkən istifadə edilə bilər. Onun sayəsində bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablaya bilərsiniz.
Bu parametrin başqa bir tətbiq sahəsi idarəetmədir. Məhsulun keyfiyyətinə nəzarət zamanı da hesablana bilər. Məsələn, mat istifadə edərək. gözləntiləri hesablamaq olar mümkün sayı qüsurlu hissələrin istehsalı.
Riyazi gözlənti də əldə edilən məlumatların statistik emalı zamanı zəruri olur. elmi araşdırma nəticələr. O, həmçinin məqsədə nail olmaq səviyyəsindən asılı olaraq eksperimentin və ya tədqiqatın istənilən və ya arzuolunmaz nəticəsinin olma ehtimalını hesablamağa imkan verir. Axı, onun nailiyyəti qazanc və mənfəətlə, əldə edilməməsi isə itki və ya itki ilə əlaqələndirilə bilər.
Forex-də Riyazi Gözləmədən istifadə
Bu statistik parametrin praktiki tətbiqi valyuta bazarında əməliyyatların aparılması zamanı mümkündür. Ticarət əməliyyatlarının müvəffəqiyyətini təhlil etmək üçün istifadə edilə bilər. Üstəlik, gözləntilərin dəyərinin artması onların uğurlarının artdığını göstərir.
Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, riyazi gözlənti treyderin fəaliyyətini təhlil etmək üçün istifadə olunan yeganə statistik parametr kimi qəbul edilməməlidir. Orta qiymətlə birlikdə bir neçə statistik parametrin istifadəsi təhlilin dəqiqliyini bəzən artırır.
Bu parametr ticarət hesablarının müşahidələrinin monitorinqində özünü yaxşı sübut etdi. Onun sayəsində depozit hesabı üzrə aparılan işlərin operativ qiymətləndirilməsi həyata keçirilir. Treyderin fəaliyyətinin uğurlu olduğu və itkilərdən qaçdığı hallarda yalnız riyazi gözləntilərin hesablanmasından istifadə etmək tövsiyə edilmir. Bu hallarda risklər nəzərə alınmır ki, bu da təhlilin effektivliyini azaldır.
Treyderlərin taktikasına dair aparılan tədqiqatlar göstərir ki:
- ən təsirli olanı təsadüfi girişə əsaslanan taktikalardır;
- ən az təsirli olanlar strukturlaşdırılmış girişlərə əsaslanan taktikalardır.
çatmaqda müsbət nəticələr az əhəmiyyətli deyil:
- pul idarəetmə taktikası;
- çıxış strategiyaları.
Riyazi gözlənti kimi bir göstəricidən istifadə edərək, 1 dollar investisiya edərkən mənfəət və ya zərərin nə olacağını güman edə bilərik. Məlumdur ki, kazinoda tətbiq olunan bütün oyunlar üçün hesablanan bu göstərici qurumun xeyrinədir. Bu sizə pul qazanmağa imkan verir. Uzun bir oyun seriyası vəziyyətində, müştəri tərəfindən pul itirmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə artır.
Peşəkar oyunçuların oyunları kiçik müddətlərlə məhdudlaşır, bu da qazanmaq şansını artırır və uduzma riskini azaldır. Eyni qanunauyğunluq investisiya əməliyyatlarının icrasında da müşahidə olunur.
İnvestor əhəmiyyətli bir məbləğ qazana bilər müsbət gözlənti və öhdəlik götürün böyük rəqəm qısa müddət ərzində əməliyyatlar.
Gözləmə, mənfəətin faizi (PW) ilə orta mənfəətin (AW) və zərər ehtimalının (PL) orta zərərin (AL) çarpımı arasındakı fərq kimi düşünülə bilər.
Nümunə olaraq aşağıdakıları nəzərdən keçirək: mövqe - 12,5 min dollar, portfel - 100 min dollar, əmanət üzrə risk - 1%. Əməliyyatların gəlirliliyi orta mənfəət 20% olan işlərin 40% -ni təşkil edir. Zərər halında orta itki 5% təşkil edir. Ticarət üçün riyazi gözləntilərin hesablanması $625 dəyər verir.
