Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin hesablanması düsturu. Riyazi gözləmənin xassələri. Poker oynayarkən riyazi gözlənti

Fəsil 6

Təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikası

Riyazi gözlənti və onun xassələri

Bir çox praktiki problemləri həll etmək üçün təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərini və onların ehtimallarını bilmək həmişə lazım deyil. Üstəlik, bəzən tədqiq olunan təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu sadəcə olaraq bilinmir. Bununla belə, bu təsadüfi dəyişənin bəzi xüsusiyyətlərini, başqa sözlə, ədədi xüsusiyyətlərini vurğulamaq tələb olunur.

Rəqəmsal xüsusiyyətlər- bunlar təsadüfi dəyişənin müəyyən xassələrini, fərqli xüsusiyyətlərini xarakterizə edən bəzi rəqəmlərdir.

Məsələn, təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, təsadüfi dəyişənin bütün qiymətlərinin onun orta ətrafında orta yayılması və s. Ədədi xarakteristikaların əsas məqsədi tədqiq olunan təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının ən mühüm xüsusiyyətlərini yığcam şəkildə ifadə etməkdir. Ehtimal nəzəriyyəsində ədədi xüsusiyyətlər böyük rol oynayır. Onlar paylama qanunlarını bilmədən belə bir çox vacib praktiki problemləri həll etməyə kömək edir.

Bütün ədədi xüsusiyyətlər arasında, ilk növbədə, biz fərqlənirik mövqe xüsusiyyətləri. Bunlar təsadüfi dəyişənin sayı oxundakı yerini təyin edən xüsusiyyətlərdir, yəni. təsadüfi dəyişənin qalan dəyərlərinin qruplaşdırıldığı müəyyən bir orta dəyər.

Mövqenin xüsusiyyətlərindən riyazi gözlənti ehtimal nəzəriyyəsində ən böyük rol oynayır.

Gözlənilən dəyər bəzən sadəcə təsadüfi dəyişənin orta dəyəri kimi istinad edilir. Bu, bir növ paylama mərkəzidir.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri

Diskret təsadüfi dəyişən üçün əvvəlcə riyazi gözləmə anlayışını nəzərdən keçirin.

Rəsmi tərifi təqdim etməzdən əvvəl aşağıdakı sadə məsələni həll edirik.

Misal 6.1. Qoy atıcı hədəfə 100 atəş açsın. Nəticədə, aşağıdakı şəkil əldə edildi: 50 atış - "səkkizə" vurmaq, 20 atış - "doqquz"a vurmaq və 30 - "onluğa" vurmaq. Hər atış üçün orta xal nədir.

Qərar Bu problem aydındır və 100 ədədin orta qiymətini, yəni balları tapmaq üçün gəlir.

Biz payı məxrəc termininə bölmək yolu ilə kəsri çeviririk və orta dəyəri aşağıdakı düstur şəklində təqdim edirik:

İndi fərz edək ki, bir atışda xalların sayı bəzi diskret təsadüfi dəyişənin dəyərləridir. X. Problemin vəziyyətindən aydın olur ki X 1 =8; X 2 =9; X 3=10. Bu dəyərlərin meydana gəlməsinin nisbi tezlikləri məlumdur, məlum olduğu kimi, çox sayda test üçün müvafiq dəyərlərin ehtimallarına təxminən bərabərdir, yəni. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0,3. Belə ki, . Sağ tərəfdəki dəyər diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisidir.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri X onun bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və bu dəyərlərin ehtimallarının cəmidir.

Diskret təsadüfi dəyişən olsun X onun paylama seriyası ilə verilir:

Sonra riyazi gözlənti M(X) diskret təsadüfi kəmiyyət aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:

Diskret təsadüfi dəyişən sonsuz hesablana bilən dəyərlər toplusunu qəbul edərsə, riyazi gözlənti düsturla ifadə edilir:

,

üstəlik, bərabərliyin sağ tərəfindəki sıra mütləq birləşərsə, riyazi gözlənti mövcuddur.

Misal 6.2 . Qazanmanın riyazi gözləntisini tapın X nümunə 5.1 şərtləri altında.

Qərar . Xatırladaq ki, paylama seriyası X aşağıdakı formaya malikdir:

alın M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Aydındır ki, 7 rubl bu lotereyada biletin ədalətli qiymətidir, müxtəlif xərclər olmadan, məsələn, biletlərin paylanması və ya istehsalı ilə bağlıdır. ■

Misal 6.3 . Qoy təsadüfi dəyişən X bəzi hadisənin baş vermə sayıdır AMMA bir testdə. Bu hadisənin baş vermə ehtimalı R. Tapmaq M(X).

Qərar. Aydındır ki, təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri: X 1 =0 - hadisə AMMA görünmədi və X 2 =1 – hadisə AMMA meydana çıxdı. Dağıtım seriyası formaya malikdir:

Sonra M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■

Deməli, bir testdə hadisənin baş vermə sayının riyazi gözləntiləri bu hadisənin baş vermə ehtimalına bərabərdir.

Paraqrafın əvvəlində riyazi gözlənti ilə təsadüfi dəyişənin orta qiyməti arasındakı əlaqənin göstərildiyi xüsusi bir problem verilmişdir. Bunu ümumi şəkildə izah edək.

İstehsal etsin k təsadüfi dəyişənin olduğu testlər X qəbul edildi k 1 dəfə dəyəri X 1 ; k 2 qat dəyər X 2 və s. və nəhayət k n dəfə dəyəri x n . Aydındır ki k 1 +k 2 +…+k n = k. Bütün bu dəyərlərin arifmetik ortasını tapaq, bizdə var

Qeyd edək ki, fraksiya dəyərin baş vermə tezliyidir x i in k testlər. Çox sayda test ilə nisbi tezlik təxminən ehtimala bərabərdir, yəni. . Buna görə də belə çıxır

.

Beləliklə, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin müşahidə edilən dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir və sınaqların sayı nə qədər dəqiq olarsa, bu, riyazi gözləmənin ehtimal mənası.

Riyazi gözlənti bəzən adlanır Mərkəz təsadüfi dəyişənin paylanması, çünki təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin ədədi oxda onun riyazi gözləntisinin solunda və sağında yerləşdiyi aydındır.

İndi fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləmə anlayışına müraciət edək.

Təsadüfi dəyişən hər bir test nəticəsində təsadüfi səbəblərdən asılı olaraq əvvəllər bilinməyən bir qiymət alan dəyişən adlanır. Təsadüfi dəyişənlər böyük Latın hərfləri ilə işarələnir: $X,\ Y,\ Z,\ \nöqtələr $ Növlərinə görə təsadüfi dəyişənlər ola bilər. diskret və davamlı.

Diskret təsadüfi dəyişən- bu belə bir təsadüfi dəyişəndir, onun dəyərləri sayıla biləndən çox ola bilməz, yəni sonlu və ya hesablana bilər. Hesablanabilirlik təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin sadalana biləcəyini bildirir.

Misal 1 . Diskret təsadüfi dəyişənlərə misallar verək:

a) $n$ atışları ilə hədəfə vurulan vuruşların sayı, burada mümkün dəyərlər $0,\ 1,\\nöqtələr,\n$-dır.

b) sikkə atarkən düşmüş gerblərin sayı, burada mümkün dəyərlər $0,\ 1,\\nöqtələr,\n$-dır.

c) göyərtəyə çıxan gəmilərin sayı (hesablana bilən dəyərlər toplusu).

d) mübadilə məntəqəsinə gələn zənglərin sayı (hesablana bilən dəyərlər toplusu).

1. Diskret təsadüfi kəmiyyətin ehtimal paylanması qanunu.

Diskret təsadüfi dəyişən $X$ $x_1,\nöqtələr,\ x_n$ dəyərlərini $p\left(x_1\sağ),\ \nöqtələr,\ p\left(x_n\sağ)$ ehtimalları ilə qəbul edə bilər. Bu dəyərlər və onların ehtimalları arasındakı uyğunluq deyilir diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu. Bir qayda olaraq, bu uyğunluq cədvəldən istifadə etməklə müəyyən edilir, onun birinci sətirində $x_1,\nöqtələr,\x_n$ dəyərləri, ikinci sətirdə isə bu dəyərlərə uyğun gələn ehtimallar $-dır. p_1,\nöqtələr,\ p_n$.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \nöqtələr & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \nöqtələr & p_n \\
\hline
\end(massiv)$

Misal 2 . $X$ təsadüfi dəyişəni zər atıldıqda atılan xalların sayı olsun. Belə təsadüfi dəyişən $X$ aşağıdakı dəyərləri qəbul edə bilər: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Bütün bu dəyərlərin ehtimalları $1/6$-a bərabərdir. Sonra $X$ təsadüfi dəyişəni üçün ehtimal paylanması qanunu:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(massiv)$

Şərh. $1,\ 2,\ \nöqtələr,\ 6$ hadisələri $X$ diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununda hadisələrin tam qrupunu təşkil etdiyinə görə, ehtimalların cəmi birə bərabər olmalıdır, yəni $\sum( p_i)=1$.

2. Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntiləri.

Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri onun "mərkəzi" dəyərini müəyyən edir. Diskret təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözlənti $x_1,\nöqtələr,\ x_n$ qiymətlərinin və bu qiymətlərə uyğun gələn $p_1,\nöqtələr,\ p_n$ ehtimallarının məhsullarının cəmi kimi hesablanır, yəni: $M\sol(X\sağ)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. İngilis ədəbiyyatında başqa $E\left(X\right)$ qeydindən istifadə olunur.

Gözləmə xüsusiyyətləri$M\sol(X\sağ)$:

1. $M\left(X\right)$ $X$ təsadüfi dəyişənin ən kiçik və ən böyük dəyərləri arasındadır.
2. Sabitin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir, yəni. $M\sol(C\sağ)=C$.
3. Sabit amili gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Misal 3 . $2$ misalından $X$ təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapaq.

$$M\sol(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6) üzərində)+2\cdot ((1)\(6) üzərində )+3\cdot ((1)\(6)-dan çox)+4\cdot ((1)\(6) üzərində)+5\cdot ((1)\(6) üzərində)+6\cdot ((1) )\ artıq (6))=3,5.$$

Görə bilərik ki, $M\left(X\right)$ $X$ təsadüfi dəyişənin ən kiçik ($1$) və ən böyük ($6$) qiymətləri arasındadır.

Misal 4 . Məlumdur ki, $X$ təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisi $M\left(X\right)=2$-a bərabərdir. $3X+5$ təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.

Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ alırıq. cdot 2 +5=11$.

Misal 5 . Məlumdur ki, $X$ təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisi $M\left(X\right)=4$-a bərabərdir. $2X-9$ təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın.

Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ alırıq. cdot 4 -9=-1$.

3. Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası.

Bərabər riyazi gözləntilərə malik təsadüfi dəyişənlərin mümkün dəyərləri onların orta dəyərləri ətrafında fərqli şəkildə səpələnə bilər. Məsələn, iki tələbə qrupunda ehtimal nəzəriyyəsi üzrə imtahan üçün orta bal 4 oldu, lakin bir qrupda hamı yaxşı, digər qrupda isə yalnız C və əlaçılar çıxdı. Buna görə də, təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin onun riyazi gözləntisi ətrafında yayılmasını göstərən bir təsadüfi dəyişənin belə bir ədədi xarakteristikasına ehtiyac var. Bu xüsusiyyət dispersiyadır.

Diskret təsadüfi dəyişənin dispersiyası$X$ belədir:

$$D\sol(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\sol(x_i-M\sol(X\sağ)\sağ))^2).\ $$

İngilis ədəbiyyatında $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ qeydindən istifadə olunur. Çox vaxt $D\left(X\right)$ dispersiya $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) düsturu ilə hesablanır. sol(X \sağ)\sağ))^2$.

Dispersiya xassələri$D\sol(X\sağ)$:

1. Dispersiya həmişə sıfırdan böyük və ya sıfıra bərabərdir, yəni. $D\sol(X\sağ)\ge 0$.
2. Sabitdən dispersiya sıfıra bərabərdir, yəni. $D\sol(C\sağ)=0$.
3. Sabit amil dispersiya işarəsindən çıxarıla bilər, bu şərtlə ki, kvadrat şəklində olsun, yəni. $D\sol(CX\sağ)=C^2D\sol(X\sağ)$.
4. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir, yəni. $D\sol(X+Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.
5. Müstəqil təsadüfi dəyişənlərin fərqinin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir, yəni. $D\sol(X-Y\sağ)=D\sol(X\sağ)+D\sol(Y\sağ)$.

Misal 6 . Gəlin $2$ misalından $X$ təsadüfi dəyişənin dispersiyasını hesablayaq.

$$D\sol(X\sağ)=\sum^n_(i=1)(p_i(\sol(x_i-M\sol(X\sağ)\sağ))^2)=((1)\over (6))\cdot (\sol(1-3,5\sağ))^2+((1)\(6) üzərində)\cdot (\sol(2-3,5\sağ))^2+ \nöqtələr +((1)\(6))\cdot (\sol(6-3,5\sağ))^2=((35)\(12))\təqribən 2,92.$$

Misal 7 . Məlumdur ki, $X$ təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyası $D\left(X\right)=2$-a bərabərdir. $4X+1$ təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.

Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= tapırıq. 16D\ sol(X\sağ)=16\cdot 2=32$.

Misal 8 . Məlumdur ki, $X$ dispersiya $D\left(X\right)=3$-a bərabərdir. $3-2X$ təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapın.

Yuxarıdakı xassələrdən istifadə edərək $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= tapırıq. 4D\ sol(X\sağ)=4\cdot 3=12$.

4. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma seriyası şəklində təqdim edilməsi üsulu yeganə deyil və ən əsası universal deyil, çünki paylama seriyasından istifadə etməklə fasiləsiz təsadüfi kəmiyyət müəyyən edilə bilməz. Təsadüfi dəyişəni təmsil etməyin başqa bir yolu var - paylama funksiyası.

paylama funksiyası$X$ təsadüfi dəyişəni $F\left(x\right)$ funksiyasıdır ki, bu da $X$ təsadüfi dəyişənin bəzi sabit dəyərdən $x$, yəni $F\left(x\) dəyərindən kiçik bir dəyər qəbul etməsi ehtimalını müəyyən edir. sağ)$ )=P\sol(X< x\right)$

Paylanma funksiyasının xassələri:

1. $0\le F\sol(x\sağ)\le 1$.
2. $X$ təsadüfi dəyişənin $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ intervalından qiymətlər alma ehtimalı bu intervalın sonunda paylama funksiyasının dəyərləri arasındakı fərqə bərabərdir. : $P\sol(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - azalmayan.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \sağ)=1\ )$.

Misal 9 . $2$ misalından $X$ diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu üçün $F\left(x\right)$ paylama funksiyasını tapaq.

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(massiv)$

Əgər $x\le 1$, onda açıq-aydın $F\left(x\right)=0$ (o cümlədən $x=1$ $F\left(1\sağ)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Əgər 1 dollar< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Əgər 2 dollar< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Əgər 3 dollar< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Əgər 4 dollar< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Əgər 5 dollar< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Əgər $x > 6$, onda $F\sol(x\sağ)=P\sol(X=1\sağ)+P\sol(X=2\sağ)+P\sol(X=3\sağ) + P\sol(X=4\sağ)+P\sol(X=5\sağ)+P\sol(X=6\sağ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Beləliklə, $F(x)=\sol\(\begin(matris)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, \ 1-də< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3-də< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at \ 4< x\le 5,\\
1, \ x > 6 üçün.
\end(matris)\sağ.$

Riyazi gözlənti anlayışını zər atma nümunəsindən istifadə etməklə nəzərdən keçirmək olar. Hər atışda atılan xallar qeydə alınır. Onları ifadə etmək üçün 1 - 6 aralığında təbii dəyərlər istifadə olunur.

Müəyyən sayda atışlardan sonra sadə hesablamalardan istifadə edərək, düşmüş xalların arifmetik ortasını tapa bilərsiniz.

Aralıq dəyərlərindən hər hansı birini atmaqla yanaşı, bu dəyər təsadüfi olacaq.

Və atışların sayını bir neçə dəfə artırsanız? Çox sayda atışla, balların arifmetik orta dəyəri müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşacaq, ehtimal nəzəriyyəsində riyazi gözlənti adlanır.

Beləliklə, riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiyməti kimi başa düşülür. Bu göstərici həm də ehtimal olunan dəyərlərin çəkili cəmi kimi təqdim edilə bilər.

Bu anlayışın bir neçə sinonimi var:

• demək;
• orta dəyər;
• mərkəzi trend göstəricisi;
• ilk an.

Başqa sözlə, bu, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin ətrafında paylandığı bir nömrədən başqa bir şey deyil.

İnsan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində riyazi gözləntilərin dərk edilməsinə yanaşmalar bir qədər fərqli olacaqdır.

Buna aşağıdakı kimi baxmaq olar:

• qərarın qəbulundan alınan orta mənfəət, belə bir qərar böyük ədədlər nəzəriyyəsi baxımından nəzərdən keçirildikdə;
• mərclərin hər biri üçün orta hesabla hesablanmış uduş və ya uduzmanın mümkün məbləği (qumar nəzəriyyəsi). Arqonda onlar “oyunçu üstünlüyü” (oyunçu üçün müsbət) və ya “kazino üstünlüyü” (oyunçu üçün mənfi) kimi səslənir;
• uduşlardan əldə edilən mənfəətin faizi.

Riyazi gözlənti tamamilə bütün təsadüfi dəyişənlər üçün məcburi deyil. Müvafiq məbləğdə və ya inteqralda uyğunsuzluq olanlar üçün yoxdur.

Gözləmə xüsusiyyətləri

Hər hansı bir statistik parametr kimi, riyazi gözlənti də aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

Riyazi gözləmə üçün əsas düsturlar

Riyazi gözləntinin hesablanması həm davamlılıq (formula A), həm də diskretlik (formula B) ilə xarakterizə olunan təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirilə bilər:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi təsadüfi dəyişənin qiymətləridir, pi isə ehtimallardır:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilmiş ehtimal sıxlığıdır.

Riyazi gözləntilərin hesablanması nümunələri

Misal A.

Snow White haqqında nağılda gnomların orta hündürlüyünü tapmaq mümkündürmü? Məlumdur ki, 7 gnomun hər birinin müəyyən boyu var idi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 və 0,81 m.

Hesablama alqoritmi olduqca sadədir:

• artım göstəricisinin bütün dəyərlərinin cəmini tapın (təsadüfi dəyişən):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Nəticədə alınan məbləğ gnomların sayına bölünür:
  6,31:7=0,90.

Belə ki, nağıldakı gnomların orta boyu 90 sm-dir.Yəni gnomların böyüməsinin riyazi gözləntisi budur.

İş düsturu - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Riyazi gözləmənin praktiki həyata keçirilməsi

Riyazi gözləmənin statistik göstəricisinin hesablanmasına praktik fəaliyyətin müxtəlif sahələrində müraciət edilir. Söhbət ilk növbədə kommersiya sahəsindən gedir. Axı Huygens tərəfindən bu göstəricinin tətbiqi hansısa hadisə üçün əlverişli və ya əksinə, əlverişsiz ola biləcək şansların müəyyən edilməsi ilə bağlıdır.

Bu parametr risklərin qiymətləndirilməsi üçün geniş istifadə olunur, xüsusən də maliyyə investisiyalarına gəldikdə.
Beləliklə, biznesdə riyazi gözləntilərin hesablanması qiymətlərin hesablanması zamanı riskin qiymətləndirilməsi üsulu kimi çıxış edir.

Həmçinin, bu göstərici müəyyən tədbirlərin, məsələn, əməyin mühafizəsi üzrə effektivliyini hesablayarkən istifadə edilə bilər. Onun sayəsində bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablaya bilərsiniz.

Bu parametrin başqa bir tətbiq sahəsi idarəetmədir. Məhsulun keyfiyyətinə nəzarət zamanı da hesablana bilər. Məsələn, mat istifadə edərək. gözləntilərə uyğun olaraq, istehsal qüsurlu hissələrin mümkün sayını hesablaya bilərsiniz.

Elmi tədqiqatlar zamanı əldə edilən nəticələrin statistik emalı zamanı riyazi gözlənti də əvəzolunmazdır. O, həmçinin məqsədə nail olmaq səviyyəsindən asılı olaraq eksperimentin və ya tədqiqatın istənilən və ya arzuolunmaz nəticəsinin olma ehtimalını hesablamağa imkan verir. Axı, onun nailiyyəti qazanc və mənfəətlə, əldə edilməməsi isə itki və ya itki ilə əlaqələndirilə bilər.

Forex-də Riyazi Gözləmədən istifadə

Bu statistik parametrin praktiki tətbiqi valyuta bazarında əməliyyatların aparılması zamanı mümkündür. Ticarət əməliyyatlarının müvəffəqiyyətini təhlil etmək üçün istifadə edilə bilər. Üstəlik, gözləntilərin dəyərinin artması onların uğurlarının artdığını göstərir.

Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, riyazi gözlənti treyderin fəaliyyətini təhlil etmək üçün istifadə olunan yeganə statistik parametr kimi qəbul edilməməlidir. Orta qiymətlə birlikdə bir neçə statistik parametrin istifadəsi təhlilin dəqiqliyini bəzən artırır.

Bu parametr ticarət hesablarının müşahidələrinin monitorinqində özünü yaxşı sübut etdi. Onun sayəsində depozit hesabı üzrə aparılan işlərin operativ qiymətləndirilməsi həyata keçirilir. Treyderin fəaliyyətinin uğurlu olduğu və itkilərdən qaçdığı hallarda yalnız riyazi gözləntilərin hesablanmasından istifadə etmək tövsiyə edilmir. Bu hallarda risklər nəzərə alınmır ki, bu da təhlilin effektivliyini azaldır.

Treyderlərin taktikasına dair aparılan tədqiqatlar göstərir ki:

• ən təsirli olanı təsadüfi girişə əsaslanan taktikalardır;
• ən az təsirli olanlar strukturlaşdırılmış girişlərə əsaslanan taktikalardır.

Müsbət nəticələr əldə etmək üçün eyni dərəcədə vacibdir:

• pul idarəetmə taktikası;
• çıxış strategiyaları.

Riyazi gözlənti kimi bir göstəricidən istifadə edərək, 1 dollar investisiya edərkən mənfəət və ya zərərin nə olacağını güman edə bilərik. Məlumdur ki, kazinoda tətbiq olunan bütün oyunlar üçün hesablanan bu göstərici qurumun xeyrinədir. Bu sizə pul qazanmağa imkan verir. Uzun bir oyun seriyası vəziyyətində, müştəri tərəfindən pul itirmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə artır.

Peşəkar oyunçuların oyunları kiçik vaxt dövrləri ilə məhdudlaşır, bu da qazanmaq şansını artırır və uduzma riskini azaldır. Eyni qanunauyğunluq investisiya əməliyyatlarının icrasında da müşahidə olunur.

İnvestor qısa müddət ərzində müsbət gözlənti və çoxlu sayda əməliyyatla əhəmiyyətli bir məbləğ qazana bilər.

Gözləmə, mənfəətin faizi (PW) ilə orta mənfəətin (AW) və zərər ehtimalının (PL) orta zərərin (AL) çarpımı arasındakı fərq kimi düşünülə bilər.

Nümunə olaraq aşağıdakıları nəzərdən keçirək: mövqe - 12,5 min dollar, portfel - 100 min dollar, əmanət üzrə risk - 1%. Əməliyyatların gəlirliliyi orta mənfəət 20% olan işlərin 40% -ni təşkil edir. Zərər halında orta itki 5% təşkil edir. Ticarət üçün riyazi gözləntilərin hesablanması $625 dəyər verir.

Qərar:

6.1.2 Gözlənilən xüsusiyyətlər

1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir.

2. Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər.

3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.

Bu xassə ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün etibarlıdır.

4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntiləri şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Bu xüsusiyyət ixtiyari sayda təsadüfi dəyişənlər üçün də doğrudur.

Misal: M(X) = 5, M(Y)= 2. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın Z, riyazi gözləntilərin xassələrinin tətbiqi, əgər məlumdursa Z=2X + 3Y.

Qərar: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) cəminin riyazi gözləntisi riyazi gözləntilərin cəminə bərabərdir

2) sabit amili gözləmə işarəsindən çıxarmaq olar

n müstəqil sınaq aparılsın, A hadisəsinin baş vermə ehtimalı p-ə bərabərdir. Onda aşağıdakı teorem yerinə yetirilir:

teorem. n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının M(X) riyazi gözləntisi sınaqların sayının və hər sınaqda hadisənin baş vermə ehtimalının hasilinə bərabərdir.

6.1.3 Diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası

Riyazi gözlənti təsadüfi prosesi tam xarakterizə edə bilməz. Riyazi gözləntiyə əlavə olaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin riyazi gözləntidən sapmasını xarakterizə edən bir dəyər daxil etməlisiniz.

Bu sapma təsadüfi dəyişən ilə onun riyazi gözləntiləri arasındakı fərqə bərabərdir. Bu halda, kənarlaşmanın riyazi gözləntiləri sıfırdır. Bu onunla izah olunur ki, bəzi mümkün kənarlaşmalar müsbət, digərləri mənfi olur və onların qarşılıqlı ləğvi nəticəsində sıfır alınır.

Dağılma (səpilmə) Diskret təsadüfi kəmən təsadüfi kəmənin onun riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisi adlanır.

Praktikada dispersiyanı hesablamaq üçün bu üsul əlverişsizdir, çünki təsadüfi dəyişənin çoxlu sayda dəyəri üçün çətin hesablamalara səbəb olur.

Buna görə də başqa üsuldan istifadə olunur.

teorem. Dispersiya X təsadüfi kəmiyyətinin kvadratının riyazi gözləntisi ilə onun riyazi gözləntisinin kvadratı arasındakı fərqə bərabərdir..

Sübut. M (X) riyazi gözləntinin və M 2 (X) riyazi gözləntinin kvadratının sabit qiymətlər olduğunu nəzərə alaraq yaza bilərik:

Misal. Paylanma qanunu ilə verilən diskret təsadüfi kəmiyyətin dispersiyasını tapın.

Qərar: .

6.1.4 Dispersiya xassələri

1. Sabit qiymətin dispersiyası sıfırdır. .

2. Sabit əmsalı kvadrata çəkərək dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar. .

3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .

4. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin fərqinin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. .

teorem. Hər birində hadisənin baş vermə ehtimalı p sabit olan n müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayının dəyişməsi sınaqların sayı ilə baş vermə və baş vermə ehtimallarının hasilinə bərabərdir. hər sınaqda hadisənin.

Nümunə: DSV X dispersiyasını tapın - 2 müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını, əgər bu sınaqlarda hadisənin baş vermə ehtimalı eyni olarsa və M(X) = 1,2 olduğu məlumdursa.

Bölmə 6.1.2-dəki teoremi tətbiq edirik:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Tapın səh:

1,2 = 2∙səh

səh = 1,2/2

q = 1 – səh = 1 – 0,6 = 0,4

Dispersiyanı düsturla tapaq:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Diskret təsadüfi kəmiyyətin standart kənarlaşması

Standart sapma təsadüfi dəyişən X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır.

(25)

teorem. Qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin sonlu sayda cəminin standart kənarlaşması bu dəyişənlərin kvadratik standart kənarlaşmalarının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir.

6.1.6 Diskret təsadüfi kəmiyyətin rejimi və medianı

Moda M və ya DSV təsadüfi dəyişənin ən çox ehtimal olunan dəyəri deyilir (yəni ən yüksək ehtimala malik olan dəyər)

Median M e DSW paylama seriyasını yarıya bölən təsadüfi dəyişənin qiymətidir. Təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin sayı cütdürsə, median iki orta dəyərin arifmetik ortası kimi tapılır.

Nümunə: DSW-nin Rejimini və Medianı tapın X:

Mən = = 5,5

İş prosesi

1. Bu işin nəzəri hissəsi (mühazirələr, dərslik) ilə tanış olun.

2. Seçdiyiniz tapşırığı yerinə yetirin.

3. İşlə bağlı hesabat tərtib edin.

4. İşinizi qoruyun.

2. İşin məqsədi.

3. İşin gedişatı.

4. Seçiminizin qərarı.

6.4 Müstəqil iş üçün tapşırıqların variantları

Seçim nömrəsi 1

1. Paylanma qanunu ilə verilmiş DSV X-nin riyazi gözləntisini, dispersiyasını, standart kənarlaşmasını, rejimini və medianı tapın.

2. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. DSV X dispersiyasını - iki müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını tapın, əgər bu sınaqlarda hadisələrin baş vermə ehtimalları eyni olarsa və M (X) = 1 olduğu məlumdursa.

4. Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin siyahısı verilmişdir X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5 və bu kəmiyyətin və onun kvadratının riyazi gözləntiləri də məlumdur: , . Mümkün qiymətlərə uyğun olan , , , ehtimallarını tapın və DSW-nin paylanma qanununu tərtib edin.

Seçim nömrəsi 2

2. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. DSV X dispersiyasını - üç müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını tapın, əgər bu sınaqlarda hadisələrin baş vermə ehtimalları eyni olarsa və M (X) = 0,9 olduğu məlumdur.

4. Diskret təsadüfi dəyişən X-in mümkün qiymətlərinin siyahısı verilmişdir: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10 və bu kəmiyyətin və onun kvadratının riyazi gözləntiləri də məlumdur: , . Mümkün qiymətlərə uyğun olan , , , ehtimallarını tapın və DSW-nin paylanma qanununu tərtib edin.

Seçim nömrəsi 3

1. Paylanma qanunu ilə verilmiş DSV X-nin riyazi gözləntisini, dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın.

2. X və Y-nin riyazi gözləntiləri məlumdursa, Z təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntisini tapın: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. DSV X dispersiyasını - dörd müstəqil sınaqda A hadisəsinin baş vermə sayını tapın, əgər bu sınaqlarda hadisələrin baş vermə ehtimalları eyni olarsa və M (x) = 1,2 olduğu məlumdur.

1. Sabit qiymətin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir M(S)=S .
2. Gözləmə işarəsindən sabit amil çıxarıla bilər: M(CX)=CM(X)
3. İki müstəqil təsadüfi kəmiyyətin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir: M(XY)=M(X) M(Y).
4. İki təsadüfi kəmiyyətin cəminin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

teorem. n müstəqil sınaqda A hadisələrinin baş vermə sayının M(x) riyazi gözləntisi hər sınaqda hadisələrin baş vermə ehtimalı ilə bu sınaqların hasilinə bərabərdir: M(x) = np.

Qoy olsun X təsadüfi dəyişəndir və M(X) onun riyazi gözləntisidir. Fərqi yeni təsadüfi dəyişən kimi nəzərdən keçirin X - M(X).

Sapma təsadüfi dəyişən ilə onun riyazi gözləntiləri arasındakı fərqdir.

Sapma aşağıdakı paylama qanununa malikdir:

Həlli: Riyazi gözləntiləri tapın:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Kvadrat sapmanın paylanma qanununu yazaq:

Həlli: M(x) gözləntisini tapın: M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

X 2 təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu yazaq

Riyazi gözləntiləri tapaq M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

İstədiyiniz dispersiya D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Dispersiya xüsusiyyətləri:

1. Sabit qiymətin dispersiyası ilə sıfıra bərabərdir: D(C)=0
2. Sabit əmsalı kvadrata çəkərək dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Müstəqil təsadüfi kəmiyyətlərin cəminin dispersiyası bu dəyişənlərin dispersiyalarının cəminə bərabərdir. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Binom paylanmasının dispersiyası sınaqların sayı ilə bir sınaqda hadisənin baş verməsi və baş verməməsi ehtimalının hasilinə bərabərdir. D(X)=npq

Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin onun orta dəyəri ətrafında yayılmasını qiymətləndirmək üçün dispersiyaya əlavə olaraq bəzi digər xüsusiyyətlər də xidmət edir. Onların arasında standart sapma da var.

Təsadüfi dəyişənin standart sapması X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır:

σ(X) = √D(X) (4)

Misal. X təsadüfi kəmiyyət paylanma qanunu ilə verilir

Standart kənarlaşmanı tapın σ(x)

Həlli: X riyazi gözləntisini tapın: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
X 2-nin riyazi gözləntisini tapaq: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Dispersiyanı tapın: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
İstənilən standart kənarlaşma σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

teorem. Sonlu sayda qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin standart sapması bu dəyişənlərin kvadrat standart sapmalarının cəminin kvadrat kökünə bərabərdir:

Misal. 6 kitablıq rəfdə riyaziyyatdan 3, fizikadan 3 kitab var. Üç kitab təsadüfi seçilir. Riyaziyyatdan kitabların sayının seçilmiş kitablar arasında paylanması qanununu tapın. Bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın.

D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2,7 - 1,5 2 \u003d 0,45