Prezidentlik Artilleriya qishloq xo'jaligi kolleji. Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kolleji - Rossiya Federatsiyasi Prezidenti huzuridagi Rossiya xalq xo'jaligi va davlat boshqaruvi akademiyasining filiali. Funksiyaning maksimal va minimumi

Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kolleji tarixi 1946 yildan beri yozilgan mintaqa tarixidagi sahifadir. O‘shandan beri kollejni 25 mingdan ortiq mutaxassis tamomladi.

2004-yildan beri kollej Moskva O‘rta kasb-hunar ta’limini rivojlantirish institutining “Mintaqada kattalar ta’lim markazlari va ochiq ta’lim markazlarini tashkil etish va tashkil etish bo‘yicha Yevropa tajribasini tarqatish” mavzusidagi eksperimental maydonga aylandi. O'n yil davomida u Rossiya marketing assotsiatsiyasining a'zosi, ijtimoiy yo'nalish kolleji maqomiga ega. Kollejga viloyat hokimligi tomonidan ijtimoiy himoyaga muhtoj o‘quvchilar, o‘qituvchilar, pensionerlar, harbiy xizmatchilar va ularning oila a’zolari, mehnat qilayotgan o‘qituvchi va xizmatchilarni doimiy qo‘llab-quvvatlash maqsadida biriktirilgan.

Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kollejida talabalarni tayyorlash beshta fakultetda olib boriladi: texnologiya va xizmat ko'rsatish, marketing menejmenti, huquq, iqtisod va buxgalteriya hisobi, ta'limning noan'anaviy shakllari. Kollejning ta’lim yo‘nalishi o‘n oltita mutaxassislikni o‘z ichiga oladi. Bularga pazandachilik texnologiyasi, oziq-ovqat savdosi, savdo tijorati, menejment, marketing, yuridik hisob, bank ishi, mehmondo‘stlikni boshqarish, moliya, turizm va boshqalar kiradi.

Kollejda abituriyentlarni kasbga yo‘naltirish va o‘qitish markazi mavjud. Ta'limning noan'anaviy shakllari fakultetida siz nafaqat malakangizni oshiribgina qolmay, balki ish joyida yangi mutaxassislikka ega bo'lishingiz mumkin. Amaldagi Ochiq ta’lim markazi yigirmadan ortiq mutaxassislik bo‘yicha kasb-hunar ta’limiga ko‘maklashishga qaratilgan. Bu erda siz o'z mahoratingizni oshirishingiz, qayta tayyorlashingiz mumkin. Usullar juda xilma-xil: ishbilarmonlik o'yinlari, treninglar, seminarlar, mashqlar, ochiq uchrashuvlar, konferentsiyalar, loyiha ishlari.Bularning barchasi talabalarga taklif qilingan materialni maksimal darajada o'zlashtirishga imkon beradi.

Kaliningrad davlat universiteti, Kaliningrad davlat texnika universiteti, Boltiqbo'yi davlat akademiyasi bilan hamkorlik kollejga bilimlari kapital va mintaqaning iqtisodiy rivojlanishining asosiy resursiga aylanadigan mutaxassislarni tayyorlash imkonini beradi. Ushbu hamkorlik yillarida ikki yuzdan ortiq bitiruvchilar maxsus fakultetda qisqartirilgan o‘qish muddati bilan oliy ma’lumot oldi. Ularning barchasi viloyat xo‘jalik majmuasi tomonidan talabga ega, ko‘plari viloyat ishbilarmonlik korpusi elitasiga kirgan.

Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kolleji Daniya, Shvetsiya, Germaniya, Polsha va Finlyandiya bilan aloqa o'rnatdi va faol hamkorlik qilmoqda. Jamoa xalqaro ta'lim loyihalarida ishtirok etadi. Ularning mavzusi rang-barang bo'lib, u "Kichik va o'rta biznesni rivojlantirishda Kaliningrad hokimiyatiga yordam berish", "Ofitserlar va ularning oila a'zolarining ishsiz a'zolariga keyinchalik ishga joylashish uchun fuqarolik mutaxassisliklarini olishda yordam berish" kabi muhim mavzularni o'z ichiga oladi. O'qituvchilarni andragogika bo'yicha o'qitish va tadbirkorlikni o'qitish dasturlarini ishlab chiqish". Kaliningraddagi tadbirlar" va boshqalar.

1999 yilda xalqaro loyiha doirasida direktorning o'quv ishlari bo'yicha o'rinbosari Lidiya Ivanovna Motolyanetsning sa'y-harakatlari bilan taqlid firmasi - haqiqiy savdo tashkiloti faoliyatini aks ettiruvchi korxona modeli, samarali ixtisoslashtirilgan shakli yaratildi. kichik biznes sohasida faoliyat yurituvchi barcha darajadagi kadrlar malakasini oshirish.

Jamoaning vazifasi – jamiyat ehtiyojlarini qondiradigan, yaxlit shaxsni shakllantirishga hissa qo‘shadigan ta’limni kafolatlash – to‘liq amalga oshirilmoqda. Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kolleji professionallik, mas'uliyat va obro'ni anglatadi.

KTEK
Iqtisodiyot va buxgalteriya hisobi PCC

15 nusxa, 2006 yil

Kirish. 4

Hosila tushunchasi. 5

Xususiy lotinlar. o'n bir

Burilish nuqtalari. o'n olti

Yechim mashqlari. 17

Nazorat ishi. 20

Mashqlarga javoblar.. 21

Adabiyot. 23

Kirish

f(x x, keyin chaqirildi marjinal mahsulot; agar g(x) g(x) g'(x) chaqirdi marjinal xarajat.

Misol uchun, Funktsiyaga ruxsat bering u=u(t) u ishlayotganda t. ∆t=t 1 - t 0:

z qarang. =

z qarang. da ∆t→ 0: .

ishlab chiqarish xarajatlari K x, shuning uchun biz yozishimiz mumkin K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Cheklash chaqirdi

Hosila tushunchasi

Funktsiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi funktsiya ortishining argument o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi, agar argumentning o'sishi nolga moyil bo'lsa.

Hosila funksiyasi belgisi:

Bu. a-prior:

Hosilini topish algoritmi:

Funktsiyaga ruxsat bering y=f(x) segmentda uzluksiz , x

1. Argumentning o‘sish qismini toping:

x argumentning yangi qiymati

x0- boshlang'ich qiymat

2. Funksiya o‘sishini toping:

f(x) funksiyaning yangi qiymati

f(x0)- funktsiyaning boshlang'ich qiymati

3. Funksiya o‘sishning argument o‘sishiga nisbatini toping:

4. Topilgan nisbat chegarasini toping

Hosilaning ta’rifiga asoslanib, funksiyaning hosilasini toping.

Qaror:

beraylik X oshirish Dx, u holda funktsiyaning yangi qiymati quyidagicha bo'ladi:

Funktsiyaning yangi va boshlang'ich qiymatlari o'rtasidagi farq sifatida funktsiyaning o'sishini topamiz:

Funksiya ortishining argument oʻsishiga nisbatini toping:

.

Bu nisbatning chegarasini topamiz, sharti:

Shunday qilib, hosila ta'rifi bo'yicha: .

Funktsiyaning hosilasini topish deyiladi farqlash.

Funktsiya y=f(x) chaqirdi farqlanishi mumkin(a;b) oraliqda, agar u intervalning har bir nuqtasida hosilasi bo'lsa.

Teorema Agar funktsiya berilgan nuqtada differentsial bo'lsa x 0, keyin u o'sha nuqtada uzluksiz bo'ladi.

Qarama-qarshi gap to'g'ri emas, chunki bir nuqtada uzluksiz bo'lgan, lekin bu nuqtada farqlanmaydigan funktsiyalar mavjud. Masalan, x 0 =0 nuqtadagi funksiya.

Funksiyalarning hosilalarini toping

1) .

2) .

Funktsiyaning bir xil o'zgarishlarini bajaramiz:

Yuqori tartibli hosilalar

Ikkinchi tartibli hosila birinchi hosilaning hosilasi deyiladi. Belgilangan

n-tartibli hosila(n-1)-tartibli hosilaning hosilasi deyiladi.

misol uchun,

Qisman hosilalar

xususiy hosila bu o'zgaruvchilardan biriga nisbatan bir nechta o'zgaruvchilarning funksiyasi, boshqa barcha o'zgaruvchilar doimiy bo'lib qolishi sharti bilan, ushbu o'zgaruvchiga nisbatan olingan hosila deyiladi.

misol uchun, funksiya uchun Birinchi tartibning qisman hosilalari teng bo'ladi:

Funktsiyaning maksimal va minimumi

Funktsiya eng katta qiymatga ega bo'lgan argumentning qiymati deyiladi maksimal nuqta.

Funktsiya eng kichik qiymatga ega bo'lgan argumentning qiymati deyiladi minimal nuqta.

Funktsiyaning maksimal nuqtasi - bu funktsiyaning ortishdan kamayishiga o'tishning chegara nuqtasi, funktsiyaning minimal nuqtasi - kamayishdan o'sishga o'tishning chegara nuqtasi..

Funktsiya y=f(x) bor (mahalliy) maksimal Agar hamma uchun bo'lsa x

Funktsiya y=f(x) bor (mahalliy) eng kam Agar hamma uchun bo'lsa X, tengsizlikka yetarli darajada yaqin

Funktsiyaning maksimal va minimal qiymatlari umumiy nomga ega ekstremal, va ularga erishilgan nuqtalar deyiladi ekstremal nuqtalar.

Teorema (ekstremum mavjudligi uchun zaruriy shart) Funktsiya intervalda aniqlansin va nuqtada eng katta (eng kichik) qiymatga ega bo'lsin. Keyin, agar ushbu funktsiyaning hosilasi bir nuqtada mavjud bo'lsa, u nolga teng, ya'ni. .

Isbot:

X 0 nuqtada funksiya eng katta qiymatga ega bo'lsin, u holda har qanday uchun quyidagi tengsizlik to'g'ri bo'ladi: .

Har qanday nuqta uchun

Agar x > x 0 bo'lsa, u holda, ya'ni.

Agar x< x 0 , то , т.е.

Chunki mavjud bo'lib, ular nolga teng bo'lgandagina mumkin, shuning uchun, .

Natija:

Agar nuqtada differentsiallanuvchi funktsiya eng katta (eng kichik) qiymatni qabul qilsa, u holda nuqtada bu funktsiya grafigiga tegish Ox o'qiga parallel bo'ladi.

Birinchi hosila nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar deyiladi tanqidiy - bu mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalar.

E'tibor bering, birinchi hosilaning nolga tengligi ekstremum uchun faqat zaruriy shart bo'lganligi sababli, mumkin bo'lgan ekstremumning har bir nuqtasida ekstremum mavjudligi haqidagi savolni qo'shimcha ravishda tekshirish kerak.

Teorema(ekstremum mavjudligi uchun etarli shart)

Funktsiyaga ruxsat bering y = f (x) nuqtaning ayrim qo‘shnilarida uzluksiz va differentsial bo‘ladi x0. Agar nuqtadan o'tayotganda x0 chapdan o'ngga, birinchi hosila belgisini ortiqcha dan minusga (minusdan plyusga) o'zgartiradi, so'ngra nuqtada x0 funktsiyasi y = f (x) maksimal (minimal)ga ega. Agar birinchi hosila belgisini o'zgartirmasa, bu funksiya nuqtada ekstremumga ega emas x 0.

Ekstremum uchun funktsiyani o'rganish algoritmi:

1.Funksiyaning birinchi hosilasini toping.

2. Birinchi hosilani nolga tenglashtiring.

3. Tenglamani yeching. Tenglamaning topilgan ildizlari kritik nuqtalardir.

4. Topilgan kritik nuqtalarni son o'qiga qo'ying. Biz bir qator intervallarni olamiz.

5. Har bir oraliqdagi birinchi hosilaning belgisini aniqlang va funksiyaning ekstremal qismini ko‘rsating.

6. Grafik yaratish uchun:

Ø ekstremal nuqtalarda funktsiya qiymatlarini aniqlang

Ø koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini toping

Ø qo'shimcha nuqtalarni toping

Qalay quti radiusli dumaloq silindr shakliga ega r va balandligi h. Konserva yasash uchun aniq belgilangan miqdorda qalay sarflanadi, deb faraz qilib, ular orasidagi nisbatni aniqlang r va h bank eng katta hajmga ega bo'ladi.

Amaldagi qalay miqdori bankaning to'liq yuzasining maydoniga teng bo'ladi, ya'ni. . (bir)

Ushbu tenglikdan biz quyidagilarni topamiz:

Keyin hajmni quyidagi formula bo'yicha hisoblash mumkin: . Muammo funksiyaning maksimalini topishga qisqartiriladi V(r). Ushbu funktsiyaning birinchi hosilasini toping: . Birinchi hosilani nolga tenglashtiring:

. Biz topamiz: . (2)

Bu nuqta maksimal nuqta, chunki birinchi hosila da ijobiy va da salbiy.

Keling, radius va balandlik o'rtasidagi nisbatda bank eng katta hajmga ega bo'lishini aniqlaylik. Buning uchun tenglikni (1) ga ajratamiz r2 va (2) munosabatidan foydalaning S. Biz olamiz: . Shunday qilib, eng katta hajm balandligi diametriga teng bo'lgan kavanozga ega bo'ladi.

Ba'zida mumkin bo'lgan ekstremal nuqtaning chap va o'ng tomonidagi birinchi hosilaning belgisini o'rganish juda qiyin, keyin siz foydalanishingiz mumkin ikkinchi yetarli ekstremal holat:

Teorema Funktsiyaga ruxsat bering y = f (x) nuqtada mavjud x0 mumkin bo'lgan ekstremum, oxirgi ikkinchi hosila. Keyin funksiya y = f(x) nuqtada bor x0 maksimal, agar , va minimal, agar .

Izoh Agar berilgan nuqtadagi funksiyaning ikkinchi hosilasi nolga teng bo‘lsa yoki mavjud bo‘lmasa, bu teorema funksiyaning nuqtadagi ekstremum masalasini hal qilmaydi.

Burilish nuqtalari

Qavariq botiqlikdan ajraladigan egri chiziqning nuqtalari deyiladi burilish nuqtalari.

Teorema (kerakli burilish nuqtasi sharti): Funksiya grafigi nuqtada burilish va funksiya x 0 nuqtada uzluksiz ikkinchi hosilaga ega bo‘lsin.

Teorema (burilish nuqtasi uchun etarli shart): Funktsiya x 0 nuqtasining qaysidir qo'shnisida ikkinchi hosilaga ega bo'lsin, uning chap va o'ng tomonida turli xil belgilar mavjud. x0. u holda funksiya grafigi nuqtada burilishga ega.

Burilish nuqtalarini topish algoritmi:

1. Funktsiyaning ikkinchi hosilasini toping.

2. Ikkinchi hosilani nolga tenglang va tenglamani yeching: . Olingan ildizlarni raqamlar qatoriga qo'ying. Biz bir qator intervallarni olamiz.

3. Har bir oraliqda ikkinchi hosilaning belgisini toping. Ikki qo'shni oraliqdagi ikkinchi hosilaning belgilari har xil bo'lsa, u holda biz ildizning berilgan qiymatida burilish nuqtasiga egamiz, agar belgilar bir xil bo'lsa, unda burilish nuqtalari yo'q.

4. Burilish nuqtalarining ordinatalarini toping.

Qavariq va botiqlik uchun egri chiziqni tekshiring. Burilish nuqtalarini toping.

1) ikkinchi hosilani toping:

2) 2x tengsizlikni yeching<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) egri chiziq botiq bo'lgan x uchun 2x>0 x>0 tengsizlikni yeching

4) burilish nuqtalarini toping, ular uchun ikkinchi hosilani nolga tenglashtiramiz: 2x=0 x=0. Chunki x=0 nuqtada ikkinchi hosila chap va o'ng tomonda har xil belgilarga ega bo'lsa, x=0 burilish nuqtasining abssissasidir. Burilish nuqtasining ordinatasini toping:

(0;0) burilish nuqtasi.

Yechish uchun mashqlar

No 1 Ushbu funksiyalarning hosilalarini toping, berilgan argument qiymati uchun hosilalarning qiymatini hisoblang:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

№2 Murakkab funksiyalarning hosilalarini toping:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№ 3 Muammolarni yechish:

1. Parabolaga x=3 nuqtada chizilgan tangensning qiyaligini toping.

2. y \u003d 3x 2 -x parabolasiga x \u003d 1 nuqtada tangens va normal chiziladi. Ularning tenglamalarini yozing.

3. y=x 2 +3x-10 parabolasiga tegish OX o‘qi bilan 135 0 burchak hosil qilgan nuqtaning koordinatalarini toping.

4. OX o'qi bilan kesishish nuqtasida y \u003d 4x-x 2 funksiya grafigiga teginish tenglamasini tuzing.

5. X ning qaysi qiymatlarida y \u003d x 3 -x to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan y \u003d x 3 funksiya grafigiga teginish.

6. Nuqta S=2t 3 -3t 2 +4 qonuniga muvofiq to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi. 3-soniya oxiridagi nuqtaning tezlanishi va tezligini toping. Vaqtning qaysi nuqtasida tezlanish nolga teng bo'ladi?

7. S=t 2 -4t+5 qonuni bo'yicha harakatlanuvchi nuqtaning tezligi qachon nolga teng?

№4 lotin yordamida funksiyalarni oʻrganing:

1. Monotonlik uchun y \u003d x 2 funktsiyasini o'rganing

2. Funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini toping .

3. Funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini toping.

4. Maksimal va minimal funksiyani o‘rganing .

5. Ekstremum funksiyasini o‘rganing .

6. Ekstremum uchun y \u003d x 3 funktsiyasini o'rganing

7. Ekstremum funksiyasini o‘rganing .

8. 24 raqamini ikkita hadga ajrating, shunda ularning mahsuloti eng katta bo'ladi.

9. Bir varaqdan 100 sm 2 maydonga ega to'rtburchakni kesish kerak, shunda bu to'rtburchakning perimetri eng kichik bo'ladi. Ushbu to'rtburchakning tomonlari qanday bo'lishi kerak?

10. Ekstremum uchun y=2x 3 -9x 2 +12x-15 funksiyani tekshirib, uning grafigini tuzing.

11. Egri chiziqni botiqlik va qavariqlikni tekshiring.

12. Egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini toping .

13. Funksiyalarning burilish nuqtalarini toping: a) ; b) .

14. Funksiyani o‘rganing va uning grafigini tuzing.

15. Funksiyani o‘rganing va uning grafigini tuzing.

16. Funktsiyani o'rganing va uni tuzing.

17. y \u003d x 2 -4x + 3 funksiyaning segmentdagi eng katta va eng kichik qiymatini toping.

Test savollari va misollar

1. Hosil bo‘lakni aniqlang.

2. Argumentning ortishi nima deyiladi? funktsiya o'sishi?

3. Hosilning geometrik ma’nosi nima?

4. Differensiallanish deb nimaga aytiladi?

5. Hosilning asosiy xossalarini sanab bering.

6. Qanday funksiya kompleks deb ataladi? orqaga?

7. Ikkinchi tartibli hosila tushunchasini keltiring.

8. Murakkab funksiyani differentsiallash qoidasini tuzing?

9. Jism S=S(t) qonuniga asosan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanadi. Harakat haqida nima deyish mumkin, agar:

5. Funksiya qaysidir oraliqda ortib bormoqda. Bundan kelib chiqadiki, uning hosilasi ushbu intervalda musbat bo'ladimi?

6. Funksiyaning ekstremal qismi deb nimaga aytiladi?

7. Funksiyaning ma’lum oraliqdagi eng katta qiymati funksiyaning maksimal nuqtadagi qiymati bilan albatta mos keladimi?

8. Funksiya ustida aniqlanadi. x=a nuqta bu funksiyaning ekstremum nuqtasi bo'la oladimi?

10. Funktsiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi nolga teng. Bu erdan x 0 bu funksiyaning ekstremum nuqtasi ekanligi kelib chiqadimi?

Nazorat ishi

1. Ushbu funksiyalarning hosilalarini toping:

a)	e)
b)	g)
bilan)	h)
e)	va)

2. y=x 2 -2x-15 parabolasiga teguvchi tenglamalarni yozing: a) abscissa x=0 bo'lgan nuqtada; b) parabolaning abscissa o'qi bilan kesishgan nuqtasida.

3. Funksiyaning ortish va kamayish oraliqlarini aniqlang

4. Funksiyani o‘rganing va uning grafigini tuzing

5. s =2e 3 t qonun bo‘yicha harakatlanayotgan nuqtaning t=0 vaqtda tezligi va tezlanishini toping.

Mashqlar uchun javoblar

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (natija qismning hosilasi formulasi yordamida olinadi). Ushbu misolni boshqa yo'l bilan hal qilishingiz mumkin:

5.

8. Har bir a'zo 12 ga teng bo'lsa, mahsulot eng katta bo'ladi.

9. To'rtburchakning tomonlari har biri 10 sm bo'lsa, to'rtburchakning perimetri eng kichik bo'ladi, ya'ni. kvadratni kesib oling.

17. Segmentda funksiya 3 ga teng bo'lgan eng katta qiymatni oladi x=0 va eng kichik qiymat -1 at ga teng x=2.

Adabiyot

KALININGRAD SAVDO-IQTISODIYOT KOLLEJI

mavzuni o'rganish uchun

"funktsiyaning hosilasi"

080110 “Iqtisodiyot va buxgalteriya hisobi”, 080106 “Moliya” mutaxassisliklari talabalari uchun;
080108 “Bank ishi”, 230103 “Axborotni qayta ishlash va boshqarishning avtomatlashtirilgan tizimlari”

Muallif: Fedorova E.A.

QALININGRAD

Taqrizchilar: Gorskaya Natalya Vladimirovna, Kaliningrad savdo-iqtisodiyot kolleji o'qituvchisi

Ushbu qo‘llanmada differensial hisoblashning asosiy tushunchalari ko‘rib chiqiladi: hosila tushunchasi, hosilalarning xossalari, analitik geometriya va mexanikada qo‘llanilishi, asosiy differensiallash formulalari berilgan, nazariy materialni tasvirlash uchun misollar keltirilgan. Qo'llanma mustaqil ish uchun mashqlar, ularga javoblar, savollar va bilimlarni oraliq nazorat qilish uchun namunaviy topshiriqlar bilan to'ldiriladi. Oʻrta maxsus taʼlim muassasalarida “Matematika” fanini tahsil olayotgan, kunduzgi, sirtqi, kechki taʼlim boʻlimlarida taʼlim oluvchi, eksternal talabalar yoki bepul davomat boʻlgan talabalar uchun moʻljallangan.

KTEK
Iqtisodiyot va buxgalteriya hisobi PCC

15 nusxa, 2006 yil

Kirish. 4

Bilim va ko'nikmalarga qo'yiladigan talablar.. 5

Hosila tushunchasi. 5

Hosilning geometrik ma'nosi. 7

Hosilning mexanik ma'nosi. 7

Differensiallashning asosiy qoidalari. sakkiz

Asosiy funktsiyalarni farqlash uchun formulalar. to'qqiz

Teskari funktsiyaning hosilasi. to'qqiz

Murakkab funksiyalarni differensiallash. o'n

Yuqori tartibli hosilalar. o'n bir

Xususiy lotinlar. o'n bir

Hosilalar yordamida funksiyalarni tekshirish. o'n bir

O'sish va kamaytirish funktsiyasi. o'n bir

Funktsiyaning maksimal va minimumi. o'n uch

Egri chiziqning qavariqligi va botiqligi. o'n besh

Burilish nuqtalari. o'n olti

Funksiyalarni o'rganishning umumiy sxemasi va chizmasi. 17

Yechim mashqlari. 17

Test savollari va misollar.. 20

Nazorat ishi. 20

Mashqlarga javoblar.. 21

Adabiyot. 23

Kirish

Matematik tahlil iqtisodchi ishlaydigan bir qator fundamental tushunchalarni beradi - bu funktsiya, limit, hosila, integral, differentsial tenglama. Iqtisodiy tadqiqotlarda ko'pincha hosilalarga murojaat qilish uchun maxsus terminologiyadan foydalaniladi. Masalan, agar f(x) har qanday mahsulot ishlab chiqarishning omil tannarxiga bog'liqligini ifodalovchi ishlab chiqarish funktsiyasidir x, keyin chaqirildi marjinal mahsulot; agar g(x) xarajat funktsiyasidir, ya'ni. funktsiyasi g(x) jami xarajatlarning ishlab chiqarish hajmiga bog'liqligini ifodalaydi x, u holda g'(x) chaqirdi marjinal xarajat.

Iqtisodiyotda marjinal tahlil- ishlab chiqarish, iste'mol va hokazolar hajmi o'zgarganda o'zgaruvchan xarajatlar yoki natijalarni o'rganish usullari majmui. ularning chegaraviy qiymatlarini tahlil qilish asosida.

Misol uchun, mahsuldorlikni topish. Funktsiyaga ruxsat bering u=u(t), ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorini ifodalash u ishlayotganda t. Keling, vaqt ichida ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorini hisoblaylik ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

O'rtacha mehnat unumdorligi ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorining sarflangan vaqtga nisbati, ya'ni. z qarang. =

Ishchi mahsuldorligi hozirgi vaqtda t 0 chegarasi deyiladi z qarang. da ∆t→ 0: . Shunday qilib, mehnat unumdorligini hisoblash lotin hisobiga qisqartiriladi:

ishlab chiqarish xarajatlari K bir hil mahsulotlar mahsulot miqdorining funktsiyasidir x, shuning uchun biz yozishimiz mumkin K=K(x). Faraz qilaylik, ishlab chiqarish miqdori 200 ga oshadi ∆x. Mahsulot miqdori x+∆x ishlab chiqarish xarajatlariga mos keladi K(x+∆x). Shuning uchun ishlab chiqarish hajmining o'sishi ∆x ishlab chiqarish tannarxining oshishiga mos keladi ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Ishlab chiqarish xarajatlarining o'rtacha o'sishi ∆K/∆x. Bu mahsulot hajmining bir birligiga ishlab chiqarish xarajatlarining o'sishi.

Cheklash chaqirdi ishlab chiqarishning marjinal qiymati.