Teorema e Vietës. Shembuj të përdorimit. François Viet. Formulat Vieta për ekuacionet kuadratike dhe ekuacionet e fuqive më të larta Përkufizimi dhe formula e teoremës Vieta

Në matematikë ka truke të veçanta me të cilat shumë ekuacione kuadratike zgjidhen shumë shpejt dhe pa asnjë dallim. Për më tepër, me trajnimin e duhur, shumë fillojnë të zgjidhin ekuacionet kuadratike verbalisht, fjalë për fjalë "me një shikim".

Fatkeqësisht, në kursin modern të matematikës shkollore, teknologji të tilla pothuajse nuk studiohen. Dhe ju duhet të dini! Dhe sot do të shqyrtojmë një nga këto teknika - teoremën e Vieta. Së pari, le të prezantojmë një përkufizim të ri.

Një ekuacion kuadratik i formës x 2 + bx + c = 0 quhet i reduktuar. Ju lutemi vini re se koeficienti në x 2 është i barabartë me 1. Nuk ka kufizime të tjera për koeficientët.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 është ekuacioni kuadratik i reduktuar;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - gjithashtu i reduktuar;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - por kjo nuk është asgjë e reduktuar, pasi koeficienti në x 2 është 2.

Natyrisht, çdo ekuacion kuadratik i formës ax 2 + bx + c = 0 mund të zvogëlohet - mjafton që të gjithë koeficientët të ndahen me numrin a. Këtë mund ta bëjmë gjithmonë, pasi nga përkufizimi i një ekuacioni kuadratik rezulton se një ≠ 0.

Vërtetë, këto transformime nuk do të jenë gjithmonë të dobishme për gjetjen e rrënjëve. Pak më poshtë, do të sigurohemi që kjo të bëhet vetëm kur në ekuacionin përfundimtar në katror të gjithë koeficientët janë numër i plotë. Tani për tani, le të shohim disa shembuj të thjeshtë:

Detyrë. Shndërroni ekuacionin kuadratik në të reduktuar:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Le të pjesëtojmë çdo ekuacion me koeficientin e ndryshores x 2 . Ne marrim:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - pjesëtuar gjithçka me 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - pjesëtuar me −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - pjesëtuar me 1.5, të gjithë koeficientët u bënë numra të plotë;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - pjesëtuar me 2. Në këtë rast, u shfaqën koeficientët e pjesshëm.

Siç mund ta shihni, ekuacionet e dhëna kuadratike mund të kenë koeficientë të plotë edhe nëse ekuacioni origjinal përmban fraksione.

Tani formulojmë teoremën kryesore, për të cilën, në fakt, u prezantua koncepti i një ekuacioni kuadratik të reduktuar:

Teorema e Vietës. Merrni parasysh ekuacionin kuadratik të reduktuar të formës x 2 + bx + c \u003d 0. Supozoni se ky ekuacion ka rrënjë reale x 1 dhe x 2. Në këtë rast, pohimet e mëposhtme janë të vërteta:

1. x1 + x2 = −b. Me fjalë të tjera, shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e ndryshores x, marrë me shenjën e kundërt;
2. x 1 x 2 = c. Prodhimi i rrënjëve të një ekuacioni kuadratik është i barabartë me koeficientin e lirë.

Shembuj. Për thjeshtësi, ne do të shqyrtojmë vetëm ekuacionet e dhëna kuadratike që nuk kërkojnë transformime shtesë:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; rrënjët: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; rrënjët: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; rrënjët: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Teorema e Vietës na jep informacion shtesë për rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Në pamje të parë, kjo mund të duket e ndërlikuar, por edhe me trajnim minimal, do të mësoni të "shihni" rrënjët dhe fjalë për fjalë t'i merrni me mend brenda pak sekondash.

Detyrë. Zgjidheni ekuacionin kuadratik:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Le të përpiqemi të shkruajmë koeficientët sipas teoremës Vieta dhe të "mendojmë" rrënjët:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 është ekuacioni kuadratik i reduktuar.
   Nga teorema e Vieta-s, kemi: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Është e lehtë të shihet se rrënjët janë numrat 2 dhe 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - gjithashtu i reduktuar.
   Nga teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Prandaj rrënjët: 3 dhe 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ky ekuacion nuk zvogëlohet. Por ne do ta rregullojmë këtë tani duke i ndarë të dy anët e ekuacionit me koeficientin a \u003d 3. Marrim: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Zgjidhim sipas teoremës Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ rrënjët: −10 dhe −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - përsëri koeficienti në x 2 nuk është i barabartë me 1, d.m.th. ekuacioni nuk është dhënë. Çdo gjë e ndajmë me numrin a = −7. Ne marrim: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Nga teorema Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Nga këto ekuacione është e lehtë të merren me mend rrënjët: 5 dhe 6.

Nga arsyetimi i mësipërm, shihet se si teorema e Vietës thjeshton zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike. Pa llogaritje të komplikuara, pa rrënjë dhe thyesa aritmetike. Dhe madje edhe diskriminuesi (shiko mësimin " Zgjidhja e ekuacioneve kuadratike") Nuk na duhej.

Natyrisht, në të gjitha reflektimet tona, ne dolëm nga dy supozime të rëndësishme, të cilat, në përgjithësi, nuk përmbushen gjithmonë në problemet reale:

1. Ekuacioni kuadratik zvogëlohet, d.m.th. koeficienti në x 2 është 1;
2. Ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme. Nga pikëpamja e algjebrës, në këtë rast diskriminuesi D > 0 - në fakt, fillimisht supozojmë se kjo pabarazi është e vërtetë.

Megjithatë, në problemet tipike matematikore këto kushte plotësohen. Nëse, si rezultat i llogaritjeve, merret një ekuacion kuadratik "i keq" (koeficienti në x 2 është i ndryshëm nga 1), kjo është e lehtë për t'u rregulluar - hidhini një sy shembujve në fillim të mësimit. Në përgjithësi hesht për rrënjët: çfarë lloj detyre është kjo në të cilën nuk ka përgjigje? Sigurisht që do të ketë rrënjë.

Kështu, skema e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike sipas teoremës Vieta është si më poshtë:

1. Zvogëlojeni ekuacionin kuadratik në atë të dhënë, nëse kjo nuk është bërë tashmë në kushtin e problemit;
2. Nëse koeficientët në ekuacionin kuadratik të mësipërm dolën të jenë thyesorë, ne i zgjidhim përmes diskriminuesit. Ju madje mund të ktheheni në ekuacionin origjinal për të punuar me numra më "të përshtatshëm";
3. Në rastin e koeficientëve të plotë, e zgjidhim ekuacionin duke përdorur teoremën Vieta;
4. Nëse brenda pak sekondave nuk ishte e mundur të hamendësoheshin rrënjët, ne shënojmë teoremën Vieta dhe zgjidhim përmes diskriminuesit.

Detyrë. Zgjidheni ekuacionin: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Pra, kemi një ekuacion që nuk zvogëlohet, sepse koeficienti a \u003d 5. Ndani gjithçka me 5, marrim: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Të gjithë koeficientët e ekuacionit kuadratik janë numër i plotë - le të përpiqemi të zgjidhim duke përdorur teoremën Vieta. Kemi: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Në këtë rast, rrënjët janë të lehta për t'u hamendësuar - këto janë 2 dhe 5. Nuk keni nevojë të numëroni përmes diskriminuesit.

Detyrë. Zgjidheni ekuacionin: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Ne shikojmë: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - ky ekuacion nuk zvogëlohet, ne i ndajmë të dy anët me koeficientin a = -5. Marrim: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - një ekuacion me koeficientë thyesorë.

Është më mirë të kthehemi në ekuacionin fillestar dhe të numërojmë përmes diskriminuesit: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Detyrë. Zgjidheni ekuacionin: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Për të filluar, ne ndajmë gjithçka me koeficientin a \u003d 2. Marrim ekuacionin x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ky është ekuacioni i reduktuar, sipas teoremës Vieta kemi: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Është e vështirë të hamendësosh rrënjët e ekuacionit kuadratik në këtë rast - personalisht, "ngriva" seriozisht kur zgjidha këtë problem.

Ne do të duhet të kërkojmë rrënjë përmes diskriminuesit: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Nëse nuk e mbani mend rrënjën e diskriminuesit, do të vërej vetëm se 1225: 25 = 49. Prandaj, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Tani që dihet rrënja e diskriminuesit, zgjidhja e ekuacionit nuk është e vështirë. Ne marrim: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Ekzistojnë një sërë marrëdhëniesh në ekuacionet kuadratike. Ato kryesore janë marrëdhëniet midis rrënjëve dhe koeficientëve. Gjithashtu, një sërë marrëdhëniesh funksionojnë në ekuacione kuadratike, të cilat jepen nga teorema Vieta.

Në këtë temë, ne paraqesim vetë teoremën e Vietës dhe vërtetimin e saj për një ekuacion kuadratik, një teoremë që bie ndesh me teoremën e Vietës dhe analizojmë një sërë shembujsh të zgjidhjes së problemeve. Ne do t'i kushtojmë vëmendje të veçantë në material shqyrtimit të formulave Vieta, të cilat përcaktojnë lidhjen midis rrënjëve reale të ekuacionit algjebrik të shkallës. n dhe koeficientët e tij.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Deklaratë dhe vërtetim i teoremës së Vietës

Formula për rrënjët e një ekuacioni kuadratik a x 2 + b x + c = 0 të formës x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, ku D = b 2 − 4 a c, përcakton raportin x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Kjo vërtetohet nga teorema e Vietës.

Teorema 1

Në një ekuacion kuadratik a x 2 + b x + c = 0, ku x 1 dhe x2- rrënjët, shuma e rrënjëve do të jetë e barabartë me raportin e koeficientëve b dhe a, e cila është marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me raportin e koeficientëve c dhe a, d.m.th. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Prova 1

Ne ju ofrojmë skemën e mëposhtme për kryerjen e vërtetimit: marrim formulën e rrënjëve, hartojmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik dhe më pas transformojmë shprehjet që rezultojnë në mënyrë që të sigurohemi që ato janë të barabarta. -b a dhe c a përkatësisht.

Përpiloni shumën e rrënjëve x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Le t'i sjellim thyesat në një emërues të përbashkët - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Le të hapim kllapat në numëruesin e thyesës që rezulton dhe të japim terma të ngjashëm: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Zvogëloni thyesën me: 2 - b a \u003d - b a.

Pra, ne kemi vërtetuar relacionin e parë të teoremës së Vietës, e cila i referohet shumës së rrënjëve të një ekuacioni kuadratik.

Tani le të kalojmë te relacioni i dytë.

Për ta bërë këtë, duhet të përpilojmë produktin e rrënjëve të ekuacionit kuadratik: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Kujtoni rregullin e shumëzimit të thyesave dhe shkruajeni prodhimin e fundit si më poshtë: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Ne do të kryejmë shumëzimin e kllapës me kllapa në numëruesin e thyesës, ose do të përdorim formulën e diferencës së katrorëve për të transformuar më shpejt këtë produkt: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Le të përdorim përkufizimin e rrënjës katrore për të kryer tranzicionin e mëposhtëm: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c korrespondon me diskriminuesin e ekuacionit kuadratik, pra, në një fraksion në vend të D mund të zëvendësohet b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Le të hapim kllapat, të japim terma të ngjashëm dhe të marrim: 4 · a · c 4 · a 2 . Nëse e shkurtojmë në 4 a, pastaj c a mbetet. Pra, ne kemi vërtetuar relacionin e dytë të teoremës Vieta për prodhimin e rrënjëve.

Regjistrimi i vërtetimit të teoremës së Vietës mund të ketë një formë shumë koncize, nëse i lëmë shpjegimet:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Kur diskriminuesi i një ekuacioni kuadratik është zero, ekuacioni do të ketë vetëm një rrënjë. Për të qenë në gjendje të zbatojmë teoremën e Vietës në një ekuacion të tillë, mund të supozojmë se ekuacioni me një diskriminues të barabartë me zero ka dy rrënjë identike. Në të vërtetë, në D=0 rrënja e ekuacionit kuadratik është: - b 2 a, pastaj x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a dhe x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, dhe meqenëse D \u003d 0, domethënë b 2 - 4 a c = 0, prej nga b 2 = 4 a c, pastaj b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Më shpesh në praktikë, teorema Vieta zbatohet në lidhje me ekuacionin kuadratik të reduktuar të formës x 2 + p x + q = 0, ku koeficienti kryesor a është i barabartë me 1 . Në këtë drejtim, teorema e Vietës është formuluar pikërisht për ekuacione të këtij lloji. Kjo nuk e kufizon përgjithësinë për faktin se çdo ekuacion kuadratik mund të zëvendësohet nga një ekuacion ekuivalent. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të ndani të dy pjesët e tij me numrin a, i cili është i ndryshëm nga zero.

Le të japim një formulim më shumë të teoremës së Vietës.

Teorema 2

Shuma e rrënjëve në ekuacionin e dhënë kuadratik x 2 + p x + q = 0 do të jetë i barabartë me koeficientin në x, i cili merret me shenjën e kundërt, prodhimi i rrënjëve do të jetë i barabartë me termin e lirë, d.m.th. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Teorema e kundërt me teoremën e Vietës

Nëse shikoni nga afër formulimin e dytë të teoremës së Vietës, mund ta shihni atë për rrënjët x 1 dhe x2 ekuacioni kuadratik i reduktuar x 2 + p x + q = 0 relacionet x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q do të jenë të vlefshme. Nga këto marrëdhënie x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, rrjedh se x 1 dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik x 2 + p x + q = 0. Kështu arrijmë në një pohim që është anasjellta e teoremës së Vietës.

Tani ne propozojmë ta zyrtarizojmë këtë pohim si teoremë dhe të bëjmë vërtetimin e tij.

Teorema 3

Nëse numrat x 1 dhe x2 janë të tilla që x 1 + x 2 = − p dhe x 1 x 2 = q, pastaj x 1 dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0.

Prova 2

Ndryshimi i koeficientëve fq dhe q për shprehjen e tyre nëpërmjet x 1 dhe x2 ju lejon të transformoni ekuacionin x 2 + p x + q = 0 në një ekuivalent .

Nëse e zëvendësojmë numrin në ekuacionin që rezulton x 1 në vend të x, atëherë marrim barazinë x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Kjo barazi për çdo x 1 dhe x2 kthehet në një barazi të vërtetë numerike 0 = 0 , si x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Do të thotë se x 1- rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, dhe ç'farë x 1është edhe rrënja e ekuacionit ekuivalent x 2 + p x + q = 0.

Zëvendësimi i ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numrat x2 në vend të x ju lejon të merrni barazi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Kjo barazi mund të konsiderohet e vërtetë, pasi x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Rezulton se x2është rrënja e ekuacionit x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, dhe si rrjedhim ekuacionet x 2 + p x + q = 0.

Vërtetohet teorema e kundërt me teoremën e Vietës.

Shembuj të përdorimit të teoremës së Vietës

Le të vazhdojmë tani me analizën e shembujve më tipikë në këtë temë. Le të fillojmë me analizën e problemeve që kërkojnë zbatimin e teoremës, e kundërta e teoremës së Vietës. Mund të përdoret për të kontrolluar numrat e marrë gjatë llogaritjeve, nëse ato janë rrënjët e një ekuacioni të caktuar kuadratik. Për ta bërë këtë, duhet të llogaritni shumën dhe diferencën e tyre dhe më pas të kontrolloni vlefshmërinë e raporteve x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Përmbushja e të dy marrëdhënieve tregon se numrat e marrë gjatë llogaritjeve janë rrënjët e ekuacionit. Nëse shohim që të paktën një nga kushtet nuk plotësohet, atëherë këta numra nuk mund të jenë rrënjët e ekuacionit kuadratik të dhënë në kushtin e problemit.

Shembulli 1

Cili nga çiftet e numrave 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, ose 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ose 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 është një çift rrënjësh të ekuacionit kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Vendimi

Gjeni koeficientët e ekuacionit kuadratik 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Kjo është a = 4 , b = − 16 , c = 9 . Në përputhje me teoremën Vieta, shuma e rrënjëve të ekuacionit kuadratik duhet të jetë e barabartë me -b a, d.m.th. 16 4 = 4 , dhe produkti i rrënjëve duhet të jetë i barabartë me c a, d.m.th. 9 4 .

Le t'i kontrollojmë numrat e fituar duke llogaritur shumën dhe prodhimin e numrave nga tre çifte të dhëna dhe duke i krahasuar me vlerat e fituara.

Në rastin e parë x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Kjo vlerë është e ndryshme nga 4, kështu që nuk keni nevojë të vazhdoni të kontrolloni. Sipas teoremës, anasjellta e teoremës së Vietës, mund të konkludojmë menjëherë se çifti i parë i numrave nuk janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Në rastin e dytë x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Shohim që kushti i parë plotësohet. Por kushti i dytë nuk është: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Vlera që kemi marrë është e ndryshme nga 9 4 . Kjo do të thotë se çifti i dytë i numrave nuk janë rrënjët e ekuacionit kuadratik.

Le të kalojmë në çiftin e tretë. Këtu x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 dhe x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Të dyja kushtet janë të plotësuara, që do të thotë se x 1 dhe x2 janë rrënjët e ekuacionit të dhënë kuadratik.

Përgjigje: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Ne gjithashtu mund të përdorim inversin e teoremës së Vietës për të gjetur rrënjët e një ekuacioni kuadratik. Mënyra më e lehtë është të zgjidhni rrënjët e numrave të plotë të ekuacioneve të dhëna kuadratike me koeficientë të plotë. Mund të merren parasysh edhe opsione të tjera. Por kjo mund të komplikojë ndjeshëm llogaritjet.

Për të zgjedhur rrënjët, përdorim faktin se nëse shuma e dy numrave është e barabartë me koeficientin e dytë të ekuacionit kuadratik, marrë me shenjën minus, dhe prodhimi i këtyre numrave është i barabartë me termin e lirë, atëherë këta numra janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Shembulli 2

Si shembull, ne përdorim ekuacionin kuadratik x 2 − 5 x + 6 = 0. Numrat x 1 dhe x2 mund të jenë rrënjët e këtij ekuacioni nëse plotësohen dy barazitë x1 + x2 = 5 dhe x 1 x 2 = 6. Le të zgjedhim ato numra. Këta janë numrat 2 dhe 3 sepse 2 + 3 = 5 dhe 2 3 = 6. Rezulton se 2 dhe 3 janë rrënjët e këtij ekuacioni kuadratik.

Anasjellta e teoremës së Vietës mund të përdoret për të gjetur rrënjën e dytë kur e para është e njohur ose e dukshme. Për këtë mund të përdorim raportet x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Shembulli 3

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Ne duhet të gjejmë rrënjët e këtij ekuacioni.

Vendimi

Rrënja e parë e ekuacionit është 1 sepse shuma e koeficientëve të këtij ekuacioni kuadratik është zero. Rezulton se x 1 = 1.

Tani le të gjejmë rrënjën e dytë. Për ta bërë këtë, mund të përdorni raportin x 1 x 2 = c a. Rezulton se 1 x 2 = − 3 512, ku x 2 \u003d - 3 512.

Përgjigje: rrënjët e ekuacionit kuadratik të specifikuara në kushtin e problemit 1 dhe - 3 512 .

Është e mundur të zgjidhen rrënjët duke përdorur teoremën e kundërt me teoremën e Vieta-s vetëm në raste të thjeshta. Në raste të tjera, është më mirë të kërkoni duke përdorur formulën e rrënjëve të ekuacionit kuadratik përmes diskriminuesit.

Falë teoremës së kundërt të Vieta, ne gjithashtu mund të formojmë ekuacione kuadratike duke pasur parasysh rrënjët x 1 dhe x2. Për ta bërë këtë, ne duhet të llogarisim shumën e rrënjëve, e cila jep koeficientin në x me shenjën e kundërt të ekuacionit kuadratik të reduktuar, dhe produktin e rrënjëve, që jep termin e lirë.

Shembulli 4

Shkruani një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit janë numra − 11 dhe 23 .

Vendimi

Le ta pranojmë atë x 1 = − 11 dhe x2 = 23. Shuma dhe prodhimi i këtyre numrave do të jetë i barabartë me: x1 + x2 = 12 dhe x 1 x 2 = − 253. Kjo do të thotë se koeficienti i dytë është 12, termi i lirë − 253.

Ne bëjmë një ekuacion: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Përgjigju: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Mund të përdorim teoremën Vieta për të zgjidhur probleme që lidhen me shenjat e rrënjëve të ekuacioneve kuadratike. Lidhja ndërmjet teoremës së Vietës lidhet me shenjat e rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar x 2 + p x + q = 0 në mënyrën e mëposhtme:

• nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë reale dhe nëse termi i lirë qështë një numër pozitiv, atëherë këto rrënjë do të kenë të njëjtën shenjë "+" ose "-";
• nëse ekuacioni kuadratik ka rrënjë dhe nëse termi i lirë qështë një numër negativ, atëherë njëra rrënjë do të jetë "+" dhe e dyta "-".

Të dyja këto pohime janë pasojë e formulës x 1 x 2 = q dhe rregullat e shumëzimit për numrat pozitivë dhe negativë, si dhe numrat me shenja të ndryshme.

Shembulli 5

Janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitive?

Vendimi

Sipas teoremës së Vieta, rrënjët e këtij ekuacioni nuk mund të jenë pozitive, pasi ato duhet të plotësojnë barazinë x 1 x 2 = − 21. Kjo nuk është e mundur me pozitive x 1 dhe x2.

Përgjigje: Jo

Shembulli 6

Në cilat vlera të parametrit r ekuacioni kuadratik x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 do të ketë dy rrënjë reale me shenja të ndryshme.

Vendimi

Le të fillojmë duke gjetur vlerat e çfarë r, për të cilin ekuacioni ka dy rrënjë. Le të gjejmë diskriminuesin dhe të shohim për çfarë r do të marrë vlera pozitive. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vlera e shprehjes r2 + 8 pozitive për çdo të vërtetë r, pra, diskriminuesi do të jetë më i madh se zero për çdo real r. Kjo do të thotë që ekuacioni kuadratik origjinal do të ketë dy rrënjë për çdo vlerë reale të parametrit r.

Tani le të shohim se kur rrënjët do të kenë shenja të ndryshme. Kjo është e mundur nëse produkti i tyre është negativ. Sipas teoremës Vieta, prodhimi i rrënjëve të ekuacionit kuadratik të reduktuar është i barabartë me termin e lirë. Pra, zgjidhja e saktë janë ato vlera r, për të cilin termi i lirë r − 1 është negativ. Ne zgjidhim pabarazinë lineare r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Përgjigje: në r< 1 .

Formulat Vieta

Ekzistojnë një numër formulash që janë të zbatueshme për kryerjen e operacioneve me rrënjë dhe koeficientë jo vetëm katrorë, por edhe kub dhe lloje të tjera ekuacionesh. Ato quhen formula Vieta.

Për një ekuacion algjebrik të shkallës n të formës a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 ekuacioni konsiderohet të ketë n rrënjë të vërteta x 1 , x 2 , … , x n, i cili mund të përfshijë sa vijon:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

Përkufizimi 1

Merrni formulat Vieta që na ndihmojnë:

• teorema mbi zbërthimin e një polinomi në faktorë linearë;
• përcaktimi i polinomeve të barabarta përmes barazisë së të gjithë koeficientëve të tyre përkatës.

Pra, polinomi a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n dhe zgjerimi i tij në faktorë linearë të formës a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) janë të barabarta.

Nëse hapim kllapat në produktin e fundit dhe barazojmë koeficientët përkatës, atëherë marrim formulat Vieta. Duke marrë n \u003d 2, mund të marrim formulën Vieta për ekuacionin kuadratik: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Përkufizimi 2

Formula e Vieta për një ekuacion kub:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Ana e majtë e formulave Vieta përmban të ashtuquajturat polinome elementare simetrike.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Institucion arsimor buxhetor komunal

"Shkolla e mesme nr. 64", Bryansk

Konferenca shkencore dhe praktike e qytetit

"Hapat e parë në shkencë"

Punë kërkimore

"Teorema e Vietës për ekuacionet e shkallës së tretë dhe të katërt"

Matematika

Plotësuar nga: nxënësi i klasës 11b

Shanov Ilya Alekseevich

Mbikëqyrësi:

mësues matematike,

Kandidat i Fizikë-Matematikës shkencat

Bykov Sergej Valentinovich

Bryansk 2012

Hyrje …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Qëllimet dhe objektivat …………………………………………………………………… 4

Sfondi i shkurtër historik …………………………………………… 4

Ekuacioni kuadratik ……………………………………………………. 5

Ekuacioni kub ………………………………………………………………. 6

Ekuacioni i shkallës së katërt …………………………………………… 7

Pjesa praktike ………………………………………………………. nëntë

Referencat ……………………………………………………… 12

Shtojca ……………………………………………………………… 13

Prezantimi

Teorema Themelore e Algjebrës thotë se një fushë është e mbyllur algjebrikisht, me fjalë të tjera, se një ekuacion i shkallës së ntë me koeficientë kompleksë (në përgjithësi) mbi një fushë ka saktësisht n rrënjë komplekse. Ekuacionet e shkallës së tretë zgjidhen me formulën e Kordanos. Ekuacionet e shkallës së katërt me metodën e Ferrarit. Përveç faktit se në teorinë e algjebrës vërtetohet se nëse është rrënja e ekuacionit, pra është gjithashtu rrënja e këtij ekuacioni. Për një ekuacion kub, rastet e mëposhtme janë të mundshme:

të tria rrënjët janë reale;

dy rrënjë komplekse, një e vërtetë.

Kjo nënkupton që çdo ekuacion kub ka të paktën një rrënjë reale.

Për një ekuacion të shkallës së katërt:

Të katër rrënjët janë të ndryshme.

Dy rrënjë janë reale, dy janë komplekse.

Të katër rrënjët janë komplekse.

Kjo punë i kushtohet një studimi të plotë të teoremës Vieta: formulimi, vërtetimi, si dhe zgjidhjen e problemeve duke përdorur këtë teoremë.

Puna e bërë synon të ndihmojë një nxënës të klasës së 11-të që është gati të kalojë provimin, si dhe për matematikanët e rinj që nuk janë indiferentë ndaj metodave më të thjeshta dhe më efektive të zgjidhjes në fusha të ndryshme të matematikës.

Në shtojcën e kësaj pune jepet një përmbledhje problematikash për zgjidhjen dhe konsolidimin e pavarur të materialit të ri që po studioj.

Kjo pyetje nuk mund të anashkalohet, pasi është e rëndësishme për matematikën, si për shkencën në përgjithësi, ashtu edhe për studentët dhe ata që janë të interesuar të zgjidhin probleme të tilla.

Qëllimet dhe objektivat e punës:

Merrni një analog të teoremës së Vietës për një ekuacion të shkallës së tretë.

Vërtetoni një analog të teoremës së Vietës për një ekuacion të shkallës së tretë.

Merrni një analog të teoremës së Vietës për një ekuacion të shkallës së katërt.

Vërtetoni një analog të teoremës së Vietës për një ekuacion të shkallës së katërt.

Merrni parasysh zbatimin e këtyre pyetjeve në zgjidhjen e problemeve praktike.

• Verifikoni prakticitetin e zbatimit të kësaj teoreme.

Të thellojë njohuritë matematikore në fushën e zgjidhjes së ekuacioneve.

Zhvilloni një interes për matematikën.

Sfondi i shkurtër historik

Me të drejtë të denjë për t'u kënduar në vargje

Mbi vetitë e rrënjëve TEOREMA VIETA...

Francois Viet (1540-1603) - matematikan francez. Me profesion jurist. Në 1591, ai prezantoi emërtimet e shkronjave jo vetëm për sasi të panjohura, por edhe për koeficientët e ekuacioneve; falë kësaj, u bë e mundur për herë të parë të shpreheshin vetitë e ekuacioneve dhe rrënjët e tyre me formula të përgjithshme. Ai zotëron vendosjen e një metode uniforme për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës 2, 3 dhe 4. Ndër zbulimet, vetë Viet vlerësoi veçanërisht vendosjen e një marrëdhënieje midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve. Për zgjidhjen e përafërt të ekuacioneve me koeficientë numerikë, Viet propozoi një metodë të ngjashme me metodën e mëvonshme të Njutonit. Në trigonometri, François Viet i dha një zgjidhje të plotë problemit të përcaktimit të të gjithë elementëve të një trekëndëshi të sheshtë ose sferik nga tre të dhëna, gjeti zgjerime të rëndësishme të cos nx dhe mëkati nx në kompetencat e cos X dhe mëkati X. Ai konsideroi për herë të parë vepra të pafundme. Shkrimet e Vietës janë shkruar në një gjuhë të vështirë dhe për këtë arsye u shpërnda një herë më pak se sa meritonin. .

Ekuacioni kuadratik

Për të filluar, le të kujtojmë formulat Vieta për ekuacionin e shkallës së dytë, të cilat i mësuam në kurrikulën e shkollës.

T
Teorema Vietapër ekuacionin kuadratik (klasa 8)

E
nëse dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik atëherë

d.m.th., shuma e rrënjëve të ekuacionit të dhënë kuadratik është e barabartë me koeficientin e dytë, të marrë me shenjën e kundërt, dhe prodhimi i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë.

Gjithashtu, mbani mend teoremën bisedoni me teoremën e Vietës:

Nëse numrat - fq dhe q janë të tilla që

atëherë dhe janë rrënjët e ekuacionit

Teorema e Vietës është e jashtëzakonshme në atë që, pa i ditur rrënjët e një trinomi katror, ​​ne mund të llogarisim lehtësisht shumën dhe produktin e tyre, domethënë shprehjet më të thjeshta simetrike.

Teorema e Vieta ju lejon të merrni me mend rrënjët e numrave të plotë të një trinomi katror.

ekuacion kub

Tani le të vazhdojmë drejtpërdrejt me formulimin dhe zgjidhjen e ekuacionit kub duke përdorur teoremën Vieta.

Formulimi

për të
një ekuacion ubik është një ekuacion i rendit të tretë, i formës

ku a ≠ 0.

Nese nje a = 1, atëherë ekuacioni quhet ekuacion kub i reduktuar:

Pra, duhet ta vërtetojmë këtë për ekuacionin

Teorema e mëposhtme është e vërtetë:

P
le të rrënjët e këtij ekuacioni, atëherë

Dëshmi

Imagjinoni një polinom

Le të bëjmë transformimet:

Pra, ne e kuptojmë atë

Dypolinomet janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre janë të barabartë në fuqitë përkatëse.

Do të thotë se

Q.E.D.

Tani merrni parasysh teoremën, bashkëbisedoni me teoremën Vieta për një ekuacion të shkallës së tretë.

F
formulimi

E
nëse numrat janë të tillë që

Ekuacioni i shkallës së katërt

Tani le të kalojmë në vendosjen dhe zgjidhjen e një ekuacioni të shkallës së katërt duke përdorur teoremën e Vieta-s për një ekuacion të shkallës së katërt.

Formulimi

Në
ekuacioni i shkallës së katërt - një ekuacion i formës

G
de a ≠ 0.

E
nëse a = 1, atëherë ekuacioni quhet i reduktuar

Dhe
pra, le ta vërtetojmë këtë për ekuacionin

me
Teorema e mëposhtme është e vërtetë: le të themi rrënjët e ekuacionit të dhënë, atëherë

Dëshmi

Imagjinoni një polinom

Le të bëjmë transformimet:

Pra, ne e kuptojmë atë

Ne e dimë atë dy polinome janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre janë të barabartë në fuqitë përkatëse.

Do të thotë se

Q.E.D.

Merrni parasysh teoremën bashkëbisedoni me teoremën Vieta për një ekuacion të shkallës së katërt.

Formulimi

Nëse numrat janë të tillë që

atëherë këta numra janë rrënjët e ekuacionit

Pjesa praktike

Tani merrni parasysh zgjidhjen e problemeve duke përdorur teoremat e Vietës për ekuacionet e shkallës së tretë dhe të katërt.

Detyra numër 1

Përgjigje: 4, -4.

Detyra numër 2

Përgjigje: 16, 24.

Për të zgjidhur këto ekuacione, mund të përdorni përkatësisht formulat Cardano dhe metodën Ferrari, por duke përdorur teoremën Vieta, ne e dimë shumën dhe produktin e rrënjëve të këtyre ekuacioneve.

Detyra numër 3

Shkruani një ekuacion të shkallës së tretë, nëse dihet se shuma e rrënjëve është 6, prodhimi në çift i rrënjëve është 3 dhe prodhimi është -4.

Le të bëjmë një ekuacion, marrim

Detyra numër 4

Shkruani një ekuacion të shkallës së tretë, nëse dihet se shuma e rrënjëve është e barabartë me 8 , nga produkti çift i rrënjëve është i barabartë me 4 , produkti i trefishuar është i barabartë me 12 , dhe produktin 20 .

Zgjidhja: duke përdorur formulën Vieta, marrim

Le të bëjmë një ekuacion, marrim

Me ndihmën e teoremës së Vietës, ne mund të hartojmë lehtësisht ekuacione sipas rrënjëve të tyre. Kjo është mënyra më racionale për të zgjidhur këto probleme.

Detyra numër 5

ku a, b, c janë formulat e Heronit.

Le të hapim kllapat dhe të transformojmë shprehjen, marrim

W
Vini re se shprehja radikale është shprehje kubike. Ne përdorim teoremën Vieta për ekuacionin kub përkatës, atëherë kemi atë

W

naya, çfarë marrim:

Nga zgjidhja e këtij problemi shihet se teorema e Vietës është e zbatueshme për probleme nga fusha të ndryshme të matematikës.

konkluzioni

Në këtë punim është hulumtuar një metodë për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt duke përdorur teoremën Vieta. Formulat e nxjerra në vepër janë të lehta për t'u përdorur. Gjatë studimit, u bë e qartë se në disa raste kjo metodë është më efektive se formula Cordano dhe metoda Ferrari për ekuacionet e fuqisë së tretë dhe të katërt, përkatësisht.

Teorema e Vietës është zbatuar në praktikë. U zgjidhën një sërë detyrash që ndihmuan në konsolidimin më të mirë të materialit të ri.

Ky studim ishte shumë interesant dhe informues për mua. Duke thelluar njohuritë e mia në matematikë, zbulova shumë gjëra interesante dhe isha i lumtur ta bëja këtë kërkim.

Por kërkimi im në fushën e zgjidhjes së ekuacioneve nuk ka përfunduar. Në të ardhmen, kam në plan të studioj zgjidhjen e ekuacionit të shkallës së n-të duke përdorur teoremën e Vietës.

Dua të shpreh mirënjohjen time të thellë për udhëheqësin tim, kandidat për shkencat fizike dhe matematikore, dhe mundësinë e një studimi kaq të pazakontë dhe vëmendjes së vazhdueshme ndaj punës.

Bibliografi

Vinogradov I.M. Enciklopedi matematikore. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Probleme në matematikën elementare, Fizmatlit, 1980.

Teorema e Vietës

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit kuadratik të reduktuar
(1) .
Atëherë shuma e rrënjëve është e barabartë me koeficientin në të marrë me shenjën e kundërt. Produkti i rrënjëve është i barabartë me termin e lirë:
;
.

Një shënim për rrënjët e shumta

Nëse diskriminuesi i ekuacionit (1) është zero, atëherë ky ekuacion ka një rrënjë. Por, për të shmangur formulimet e rënda, përgjithësisht pranohet se në këtë rast, ekuacioni (1) ka dy rrënjë të shumëfishta ose të barabarta:
.

Prova një

Le të gjejmë rrënjët e ekuacionit (1). Për ta bërë këtë, aplikoni formulën për rrënjët e ekuacionit kuadratik:
;
;
.

Gjetja e shumës së rrënjëve:
.

Për të gjetur produktin, ne aplikojmë formulën:
.
Pastaj

.

Teorema është vërtetuar.

Prova dy

Nëse numrat dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik (1), atëherë
.
Hapim kllapat.

.
Kështu, ekuacioni (1) do të marrë formën:
.
Duke krahasuar me (1) gjejmë:
;
.

Teorema është vërtetuar.

Teorema e anasjelltë Vieta

Le të ketë numra arbitrar. Pastaj dhe janë rrënjët e ekuacionit kuadratik
,
ku
(2) ;
(3) .

Vërtetimi i teoremës së kundërt të Vietës

Merrni parasysh ekuacionin kuadratik
(1) .
Ne duhet të vërtetojmë se nëse dhe , atëherë dhe janë rrënjët e ekuacionit (1).

Zëvendësoni (2) dhe (3) në (1):
.
Ne grupojmë termat e anës së majtë të ekuacionit:
;
;
(4) .

Zëvendësimi në (4):
;
.

Zëvendësimi në (4):
;
.
Ekuacioni është përmbushur. Kjo do të thotë, numri është rrënja e ekuacionit (1).

Teorema është vërtetuar.

Teorema e Vietës për ekuacionin e plotë kuadratik

Tani merrni parasysh ekuacionin e plotë kuadratik
(5) ,
ku , dhe janë disa numra. Dhe .

Ne e ndajmë ekuacionin (5) me:
.
Kjo do të thotë, ne kemi marrë ekuacionin e mësipërm
,
ku ; .

Atëherë teorema Vieta për ekuacionin e plotë kuadratik ka formën e mëposhtme.

Le të shënojmë dhe shënojmë rrënjët e ekuacionit të plotë kuadratik
.
Pastaj shuma dhe produkti i rrënjëve përcaktohen nga formula:
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion kub

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të vendosim lidhje midis rrënjëve të një ekuacioni kub. Merrni parasysh ekuacionin kub
(6) ,
ku , , , janë disa numra. Dhe .
Le ta ndajmë këtë ekuacion me:
(7) ,
ku , , .
Le të jenë , , rrënjët e ekuacionit (7) (dhe ekuacionit (6)). Pastaj

.

Duke krahasuar me ekuacionin (7) gjejmë:
;
;
.

Teorema e Vietës për një ekuacion të shkallës së n-të

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të gjeni lidhje midis rrënjëve , , ... , , për ekuacionin e shkallës së n-të
.

Teorema e Vietës për një ekuacion të shkallës së n-të ka formën e mëposhtme:
;
;
;

.

Për të marrë këto formula, ne shkruajmë ekuacionin në formën e mëposhtme:
.
Pastaj barazojmë koeficientët në , , , ... , dhe krahasojmë termin e lirë.

Referencat:
NË. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i Matematikës për Inxhinierë dhe Studentë të Institucioneve të Arsimit të Lartë, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algjebra: një libër shkollor për klasën e 8-të të institucioneve arsimore, Moskë, Edukimi, 2006.