Bazat e teorisë së probabilitetit
Plani:
1. Ngjarje të rastësishme
2. Përkufizimi klasik i probabilitetit
3. Llogaritja e probabiliteteve të ngjarjeve dhe e kombinatorikës
4. Probabiliteti gjeometrik
Informacion teorik
Ngjarje të rastësishme.
fenomen i rastësishëm- një fenomen, rezultati i të cilit përcaktohet pa mëdyshje. Ky koncept mund të interpretohet në një kuptim mjaft të gjerë. Domethënë: çdo gjë në natyrë është krejt aksidentale, paraqitja dhe lindja e çdo individi është një fenomen i rastësishëm, zgjedhja e mallrave në një dyqan është gjithashtu një fenomen i rastësishëm, marrja e një note në provim është një fenomen i rastësishëm, sëmundja dhe shërimi janë të rastësishme. dukuritë etj.
Shembuj të dukurive të rastësishme:
~ Xhirimi kryhet nga një armë e vendosur në një kënd të caktuar në horizont. Goditja e tij në objektiv është aksidentale, por goditja e një predhe në një "pirun" të caktuar është një model. Ju mund të specifikoni distancën më afër se dhe përtej së cilës predha nuk do të fluturojë. Merrni pak "dispersion me pirun të predhave"
~ I njëjti trup peshohet disa herë. Në mënyrë të rreptë, rezultate të ndryshme do të merren çdo herë, megjithëse ndryshojnë në një sasi të vogël, por të ndryshme.
~ Një avion që fluturon përgjatë të njëjtës rrugë ka një korridor të caktuar fluturimi brenda të cilit avioni mund të manovrojë, por kurrë nuk do të ketë saktësisht të njëjtën rrugë
~ Një atlet nuk do të jetë kurrë në gjendje të vrapojë të njëjtën distancë me të njëjtën kohë. Rezultatet e tij do të jenë gjithashtu brenda një diapazoni të caktuar numerik.
Përvoja, eksperimenti, vëzhgimi janë teste
Gjyqi- vëzhgimi ose përmbushja e një grupi të caktuar kushtesh që kryhen në mënyrë të përsëritur, dhe përsëriten rregullisht në këtë dhe të njëjtën sekuencë, kohëzgjatje, duke respektuar parametra të tjerë identikë.
Le të shqyrtojmë performancën nga sportisti i një gjuajtje në objektiv. Që të prodhohet duhet të plotësohen kushte të tilla si përgatitja e sportistit, mbushja e armës, synimi etj. "Hit" dhe "miss" janë ngjarje si rezultat i një goditjeje.
Ngjarja- rezultati cilësor i testit.
Një ngjarje mund ose nuk mund të ndodhë Ngjarjet tregohen me shkronja të mëdha latine. Për shembull: D ="Qiësuesi goditi objektivin". S="Top i bardhë i tërhequr". K="Biletë e rastësishme llotarie pa fituar.".
Hedhja e një monedhe është një provë. Rënia e "stemës" së saj është një ngjarje, rënia e "numrit" të saj është ngjarja e dytë.
Çdo test përfshin shfaqjen e disa ngjarjeve. Disa prej tyre mund të nevojiten në një kohë të caktuar nga studiuesi, ndërsa të tjerat mund të mos jenë të nevojshme.
Ngjarja quhet e rastësishme, nëse nën zbatimin e një grupi të caktuar kushtesh S mund të ndodhë ose të mos ndodhë. Në vijim, në vend që të themi "është plotësuar grupi i kushteve S", do të themi shkurt: "prova u krye". Kështu, ngjarja do të konsiderohet si rezultat i testit.
~ Qitësi gjuan në një objektiv të ndarë në katër zona. Goditja është një provë. Goditja e një zone të caktuar të objektivit është një ngjarje.
~ Ka topa me ngjyra në urnë. Një top nxirret rastësisht nga urna. Heqja e një topi nga një urnë është një provë. Shfaqja e një topi të një ngjyre të caktuar është një ngjarje.
Llojet e ngjarjeve të rastësishme
1. Ngjarjet thuhet se janë të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e ngjarjeve të tjera në të njëjtin gjykim.
~ Një pjesë është marrë rastësisht nga një kuti me pjesë. Pamja e një pjese standarde përjashton pamjen e një pjese jo standarde. Ngjarje € u shfaq një pjesë standarde" dhe me një pjesë jo standarde u shfaq" - e papajtueshme.
~ Hidhet një monedhë. Pamja e "stemës" përjashton pamjen e mbishkrimit. Ngjarjet "u shfaq një stemë" dhe "u shfaq një mbishkrim" janë të papajtueshme.
Formohen disa ngjarje grupi i plotë, nëse të paktën njëri prej tyre shfaqet si rezultat i testit. Me fjalë të tjera, ndodhja e të paktën një prej ngjarjeve të grupit të plotë është një ngjarje e caktuar.
Në veçanti, nëse ngjarjet që formojnë një grup të plotë janë të papajtueshme në çift, atëherë si rezultat i testit do të shfaqet një dhe vetëm një nga këto ngjarje. Ky rast i veçantë është me interes më të madh për ne, pasi përdoret më poshtë.
~ Janë blerë dy bileta të shortit të parave dhe veshjeve. Një dhe vetëm një nga ngjarjet e mëposhtme duhet të ndodhë:
1. "fitimet ranë në biletën e parë dhe nuk ranë në të dytën",
2. "fitimet nuk ranë në biletën e parë dhe ranë në të dytën",
3. "fitimet ranë në të dyja biletat",
4. "të dyja biletat nuk fituan."
Këto ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift,
~ Qitësi qëlloi me një plumb në objektiv. Një nga dy ngjarjet e mëposhtme është e sigurt që do të ndodhë: godit, humb. Këto dy ngjarje të ndara gjithashtu formojnë një grup të plotë.
2. Ngjarjet quhen po aq e mundur nëse ka arsye për të besuar se asnjëra nuk është më e mundshme se tjetra.
~ Shfaqja e një "steme" dhe shfaqja e një mbishkrimi kur hidhet një monedhë janë ngjarje po aq të mundshme. Në të vërtetë, supozohet se monedha është bërë nga një material homogjen, ka një formë cilindrike të rregullt dhe prania e një prerjeje nuk ndikon në humbjen e njërës ose të një ane të monedhës.
~ Shfaqja e një numri pikësh në një zare të hedhur është një ngjarje po aq e mundshme. Në të vërtetë, supozohet se koka është bërë nga një material homogjen, ka formën e një poliedri të rregullt dhe prania e pikave nuk ndikon në humbjen e asnjë fytyre.
3. Ngjarja quhet autentike, nëse nuk mund të ndodhë
4. Ngjarja quhet jo i besueshëm nëse nuk mund të ndodhë.
5. Ngjarja quhet e kundërt ndaj ndonjë ngjarjeje nëse konsiston në mosngjarje të ngjarjes së dhënë. Ngjarjet e kundërta nuk janë të përputhshme, por njëra prej tyre duhet domosdoshmërisht të ndodhë. Ngjarjet e kundërta zakonisht quhen mohime, d.m.th. shkruhet një vizë sipër shkronjës. Ngjarjet janë të kundërta: A dhe Ā; U dhe Ū, etj. .
Përkufizimi klasik i probabilitetit
Probabiliteti është një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit.
Ekzistojnë disa përkufizime të këtij koncepti. Le të japim një përkufizim që quhet klasik. Më pas, vëmë në dukje dobësitë e këtij përkufizimi dhe japim përkufizime të tjera që bëjnë të mundur tejkalimin e mangësive të përkufizimit klasik.
Merrni parasysh situatën: Një kuti përmban 6 topa identikë, 2 të kuq, 3 të kaltër dhe 1 të bardhë. Natyrisht, mundësia për të nxjerrë një top me ngjyrë (d.m.th., të kuq ose blu) në mënyrë të rastësishme nga një urnë është më e madhe se mundësia e vizatimit të një topi të bardhë. Kjo mundësi mund të karakterizohet nga një numër, i cili quhet probabiliteti i një ngjarjeje (shfaqja e një topi me ngjyrë).
Probabiliteti- një numër që karakterizon shkallën e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes.
Në situatën në shqyrtim, shënojmë:
Ngjarja A = "Nxjerrja e një topi me ngjyrë".
Secili prej rezultateve të mundshme të testit (testi konsiston në nxjerrjen e një topi nga urna) quhet rezultati dhe ngjarja elementare (e mundshme). Rezultatet elementare mund të shënohen me shkronja me indekset më poshtë, për shembull: k 1 , k 2 .
Në shembullin tonë, ka 6 topa, pra ka 6 rezultate të mundshme: u shfaq një top i bardhë; u shfaq një top i kuq; u shfaq një top blu, e kështu me radhë. Është e lehtë të shihet se këto rezultate formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift (vetëm një top do të shfaqet domosdoshmërisht) dhe ato janë po aq të mundshme (topi nxirret në mënyrë të rastësishme, topat janë të njëjtë dhe të përzier plotësisht).
Rezultatet elementare, në të cilat ndodh ngjarja me interes për ne, do t'i quajmë rezultate të favorshme këtë ngjarje. Në shembullin tonë, ngjarja është e favorizuar POR(shfaqja e një topi me ngjyrë) 5 rezultatet e mëposhtme:
Kështu ngjarja POR vërehet nëse një ndodh në test, pa marrë parasysh se cili prej rezultateve elementare që favorizojnë POR. Kjo është pamja e çdo topi me ngjyrë, nga të cilat ka 5 pjesë në kuti
Në shembullin e konsideruar të rezultateve elementare 6; nga të cilat 5 favorizojnë ngjarjen POR. Prandaj, P(A)= 5/6. Ky numër jep atë kuantifikimin e shkallës së mundësisë së shfaqjes së një topi me ngjyrë.
Përkufizimi i probabilitetit:
Probabiliteti i ngjarjes Aështë raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë një grup të plotë.
P(A)=m/n ose P(A)=m: n, ku:
m është numri i rezultateve elementare që favorizojnë POR;
P- numri i të gjitha rezultateve të mundshme elementare të testit.
Këtu supozohet se rezultatet elementare janë të papajtueshme, po aq të mundshme dhe përbëjnë një grup të plotë.
Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:
1. Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një.
Në të vërtetë, nëse ngjarja është e besueshme, atëherë çdo rezultat elementar i testit favorizon ngjarjen. Në këtë rast m = n pra p=1
2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.
Në të vërtetë, nëse ngjarja është e pamundur, atëherë asnjë nga rezultatet elementare të gjykimit nuk e favorizon ngjarjen. Në këtë rast m=0, pra p=0.
3.Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv midis zeros dhe një. 0
Në temat vijuese do të jepen teorema që lejojnë, nga probabilitetet e njohura të disa ngjarjeve, të gjejmë probabilitetet e ngjarjeve të tjera.
Matja. Në grupin e nxënësve janë 6 vajza dhe 4 djem. Sa është probabiliteti që një student i përzgjedhur rastësisht të jetë vajzë? do të jetë një djalë i ri?
p dev = 6 / 10 = 0,6 p qershor = 4 / 10 = 0,4
Koncepti i "probabilitetit" në kurset moderne rigoroze të teorisë së probabilitetit është ndërtuar mbi një bazë teorike të grupeve. Le të hedhim një vështrim në disa nga kjo qasje.
Supozoni se si rezultat i testit ndodh një dhe vetëm një nga ngjarjet e mëposhtme: w i(i=1, 2, .... n). Ngjarjet w i, quhet ngjarje elementare (rezultatet elementare). O rrjedh se ngjarjet elementare janë të papajtueshme në çift. Grupi i të gjitha ngjarjeve elementare që mund të shfaqen në një gjykim quhet hapësirë elementare e ngjarjeveΩ (shkronja greke omega kapitale), dhe vetë ngjarjet elementare - pika në këtë hapësirë..
Ngjarja POR identifikuar me një nëngrup (të hapësirës Ω) elementët e së cilës janë rezultate elementare favorizuese POR; ngjarje ATështë një nëngrup Ω, elementët e të cilit janë rezultate që favorizojnë AT, etj Kështu, bashkësia e të gjitha ngjarjeve që mund të ndodhin në test është bashkësia e të gjitha nëngrupeve të Ω. Vetë Ω ndodh me çdo rezultat të testit, prandaj Ω është një ngjarje e caktuar; një nëngrup bosh i hapësirës Ω është një ngjarje -e pamundur (nuk ndodh për asnjë rezultat të testit).
Ngjarjet elementare dallohen nga të gjitha ngjarjet sipas temave, "secila prej tyre përmban vetëm një element Ω
Për çdo rezultat elementar w i përputhen me një numër pozitiv p iështë probabiliteti i këtij rezultati dhe shuma e të gjithave p i e barabartë me 1 ose me shenjën e shumës, ky fakt do të shkruhet si shprehje:
Sipas përkufizimit, probabiliteti P(A) ngjarjet PORështë e barabartë me shumën e probabiliteteve të rezultateve elementare favorizuese POR. Prandaj, probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një, e pamundur - në zero, arbitrare - është midis zeros dhe një.
Le të shqyrtojmë një rast të veçantë të rëndësishëm, kur të gjitha rezultatet janë njësoj të mundshme.Numri i rezultateve është i barabartë me n, shuma e probabiliteteve të të gjitha rezultateve është e barabartë me një; prandaj probabiliteti i secilit rezultat është 1/n. Lëreni ngjarjen POR favorizon m rezultate.
Probabiliteti i ngjarjes PORështë e barabartë me shumën e probabiliteteve të rezultateve favorizuese POR:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Është marrë përkufizimi klasik i probabilitetit.
Ende ka aksiomatike qasja ndaj konceptit të "probabilitetit". Në sistemin e aksiomave të propozuara. Kolmogorov A.N., konceptet e papërcaktuara janë ngjarje elementare dhe probabilitet. Ndërtimi i një teorie probabiliteti të plotë logjikisht bazohet në përkufizimin aksiomatik të një ngjarjeje të rastësishme dhe probabilitetit të saj.
Këtu janë aksiomat që përcaktojnë probabilitetin:
1. Çdo ngjarje POR i është caktuar një numër real jo negativ P(A). Ky numër quhet probabiliteti i ngjarjes. POR.
2. Probabiliteti i një ngjarje të caktuar është i barabartë me një:
3. Probabiliteti i ndodhjes së të paktën një prej ngjarjeve të papajtueshme në çift është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.
Bazuar në këto aksioma, vetitë e probabiliteteve për marrëdhënien ndërmjet tyre nxirren si teorema.
Teoria e probabilitetit është një shkencë matematikore që studion modelet e ngjarjeve të rastësishme. Një eksperiment probabilistik (test, vëzhgim) është një eksperiment, rezultati i të cilit nuk mund të parashikohet paraprakisht. Në këtë eksperiment, çdo rezultat (rezultat) i tij është ngjarje.
Ngjarja mund të jetë të besueshme(ndodh gjithmonë si rezultat i testimit); e pamundur(sigurisht nuk ndodh gjatë testimit); e rastit(mund ose nuk mund të ndodhë në kushtet e këtij eksperimenti).
Një ngjarje që nuk mund të ndahet në ngjarje më të thjeshta quhet elementare. Një ngjarje e përfaqësuar si një grup i disa ngjarjeve elementare quhet vështirë(firma nuk ka pësuar humbje - fitimi mund të jetë pozitiv ose i barabartë me zero).
Dy ngjarje që nuk mund të ndodhin në të njëjtën kohë (rritja e taksave - rritja e të ardhurave të disponueshme; rritja e investimeve - zvogëlimi i rrezikut) quhen të papajtueshme.
Me fjalë të tjera, dy ngjarje janë të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e tjetrës. Përndryshe, ata janë të përbashkët(rritje e shitjeve - rritje e fitimeve). Ngjarjet quhen e kundërt, nëse njëri prej tyre ndodh nëse dhe vetëm nëse tjetri nuk ndodh (produkti shitet - produkti nuk shitet).
Probabiliteti i një ngjarjeje -është një masë numerike që futet për të krahasuar ngjarjet sipas shkallës së mundësisë së ndodhjes së tyre.
Përkufizimi klasik i probabilitetit. Probabiliteti R(POR) ngjarjet POR quhet raporti i numrit m ngjarje (rezultate) elementare po aq të mundshme që favorizojnë pamjen e ngjarjes POR, në numrin e përgjithshëm n të gjitha rezultatet e mundshme elementare të këtij eksperimenti:
Karakteristikat e mëposhtme themelore të probabilitetit rrjedhin nga sa më sipër:
1,0 £ R(POR) 1 £.
2. Probabiliteti i ngjarjes së caktuar PORështë e barabartë me 1: R(POR) = 1.
3. Probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur A është 0: R(POR) = 0.
4. Nëse ngjarjet POR dhe AT jo konsistente, atëherë R(POR + AT) = R(POR) + R(AT); nëse ngjarjet POR dhe AT të përbashkët, atëherë R(POR + AT) = R(POR) + R(AT) - R(POR . B).(R(POR . b)është probabiliteti i shfaqjes së përbashkët të këtyre ngjarjeve).
5. Nëse POR dhe ngjarje të kundërta R() = 1 - R(POR).
Nëse probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nuk e ndryshon probabilitetin e ndodhjes së një tjetër, atëherë ngjarje të tilla quhen i pavarur.
Kur llogariten drejtpërdrejt probabilitetet e ngjarjeve të karakterizuara nga një numër i madh rezultatesh, duhet të përdoren formulat e kombinatorikës. Për të studiuar një grup ngjarjesh (hipoteza)
aplikoni formulat e probabilitetit total, Bayes dhe Bernoulli ( n teste të pavarura - përsëritje e eksperimenteve).
Në përkufizimi statistikor i probabilitetit ngjarjet POR nën n i referohet numrit të përgjithshëm të testeve të kryera realisht në të cilat ndodh ngjarja POR u takua saktësisht m një herë. Në këtë rast, marrëdhënia m/n quhet frekuenca relative (frekuenca) W n(A) ndodhja e ngjarjes POR në n testet e kryera.
Gjatë përcaktimit të probabilitetit nga metoda e vlerësimit të ekspertëve nën n i referohet numrit të ekspertëve (specialistë të fushës) të intervistuar për mundësinë e një ngjarjeje POR. ku m prej tyre pretendojnë se ngjarja POR do të ndodhë.
Koncepti i një ngjarjeje të rastësishme nuk është i mjaftueshëm për të përshkruar rezultatet e vëzhgimeve të sasive që kanë një shprehje numerike. Për shembull, kur analizojnë rezultatin financiar të një ndërmarrje, ata janë të interesuar kryesisht për madhësinë e saj. Prandaj, koncepti i një ngjarjeje të rastësishme plotësohet nga koncepti i një ndryshoreje të rastësishme.
Nën ndryshore e rastësishme(SV) kuptohet si një sasi që, si rezultat i vëzhgimit (testimit), merr një nga grupet e mundshme të vlerave të saj, të panjohur paraprakisht dhe në varësi të rrethanave të rastësishme. Për çdo ngjarje elementare, CV-ja ka një vlerë të vetme.
Të dallojë SW diskrete dhe të vazhdueshme. Për diskrete CV grupi i vlerave të tij të mundshme është i fundëm ose i numërueshëm, pra CV merr vlera të veçanta të izoluara, të cilat mund të numërohen paraprakisht, me probabilitete të caktuara. Për e vazhdueshme CB grupi i vlerave të tij të mundshme është i pafund dhe i panumërueshëm, për shembull, të gjithë numrat e intervalit të dhënë, d.m.th. vlerat e mundshme të SW nuk mund të numërohen paraprakisht dhe të plotësojnë vazhdimisht një boshllëk të caktuar.
Shembuj të ndryshoreve të rastësishme: X- numri ditor i klientëve në supermarket (CB diskrete); Y- numri i fëmijëve të lindur gjatë ditës në një qendër të caktuar administrative (BK diskrete); Z- koordinata e pikës së goditjes së një predhe artilerie (VL e vazhdueshme).
Shumë RV të konsideruara në ekonomi kanë një numër kaq të madh vlerash të mundshme saqë është më e përshtatshme t'i përfaqësosh ato si RV të vazhdueshme. Për shembull, kurset e këmbimit, të ardhurat e familjes, etj.
Për të përshkruar SW, është e nevojshme të vendoset një marrëdhënie midis të gjitha vlerave të SW të mundshme dhe probabiliteteve të tyre. Ky raport do të quhet ligji i shpërndarjes. Për një SW diskrete, mund të specifikohet në një tabelë, në mënyrë analitike (në formën e një formule) ose grafikisht. Për shembull, tabela për SV X
AKADEMIA RUSE E EKONOMISË KOMBËTARE DHE SHËRBIMIT PUBLIK NË PRESIDENTIN E FEDERATES RUSE
DEGA OREL
Departamenti i Sociologjisë dhe Teknologjisë së Informacionit
Llogaritja tipike nr. 1
në disiplinën "Teoria e probabilitetit dhe statistika matematikore"
me temën "Bazat e teorisë së probabilitetit"
Shqiponja - 2016.
Objektiv: konsolidimi i njohurive teorike mbi temën e themeleve të teorisë së probabilitetit, duke zgjidhur probleme tipike. Zotërimi i koncepteve të llojeve kryesore të ngjarjeve të rastësishme dhe zhvillimi i aftësive të veprimeve algjebrike mbi ngjarjet.
Kërkesat për paraqitjen e punës: puna është bërë në formë të shkruar me dorë, puna duhet të përmbajë të gjitha shpjegimet dhe përfundimet e nevojshme, formulat duhet të përmbajnë një dekodim të emërtimeve të pranuara, faqet duhet të jenë të numëruara.
Numri i variantit korrespondon me numrin serial të studentit në listën e grupeve.
Informacioni bazë teorik
Teoria e probabilitetit- një degë e matematikës që studion modelet e dukurive të rastësishme.
Koncepti i një ngjarjeje. Klasifikimi i ngjarjeve.
Një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit është koncepti i një ngjarjeje. Ngjarjet tregohen me germa të mëdha latine. POR, AT, Me,…
Ngjarja- ky është një rezultat (rezultat) i mundshëm i një testi ose përvoje.
Testimi kuptohet si çdo veprim i qëllimshëm.
Shembull : Qitësi gjuan në objektiv. Një gjuajtje është një provë, goditja e një objektivi është një ngjarje.
Ngjarja quhet e rastit , nëse në kushtet e një eksperimenti të caktuar mund të ndodhë dhe të mos ndodhë.
Shembull : E shtënë nga arma - provë
Inc. POR- goditja e objektivit
Inc. AT– miss – ngjarje të rastësishme.
Ngjarja quhet të besueshme nëse si rezultat i provës domosdo duhet të ndodhë.
Shembull : Hidhni jo më shumë se 6 pikë kur hidhni zare.
Ngjarja quhet e pamundur nëse në kushtet e eksperimentit të dhënë nuk mund të ndodhë fare.
Shembull : Më shumë se 6 pikë u rrotulluan gjatë hedhjes së një kërpudhe.
Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre e përjashton ndodhjen e ndonjë tjetër. Përndryshe, ngjarjet quhen të përbashkëta.
Shembull : Hidhet një zare. Një rrotull me 5 eliminon një rrotull me 6. Këto janë ngjarje të papajtueshme. Një student që merr nota "të mira" dhe "të shkëlqyera" në provimet në dy disiplina të ndryshme është një ngjarje e përbashkët.
Quhen dy ngjarje të papajtueshme, nga të cilat njëra duhet të ndodhë medoemos e kundërt . Ngjarja e kundërt me ngjarjen POR caktoj Ā .
Shembull : Shfaqja e "stemës" dhe shfaqja e "bishtit" kur hedh një monedhë janë ngjarje të kundërta.
Quhen disa ngjarje në këtë përvojë po aq e mundur nëse ka arsye për të besuar se asnjë nga këto ngjarje nuk është më e mundshme se të tjerat.
Shembull : tërheqja e asit, dhjetëra, mbretëreshat nga një kuvertë letrash - ngjarjet janë po aq të mundshme.
Formohen disa ngjarje grupi i plotë nëse, si rezultat i testit, duhet të ndodhë medoemos një dhe vetëm një nga këto ngjarje.
Shembull : Rënia e numrit të pikëve 1, 2, 3, 4, 5, 6 kur hedh një kapelë.
Përkufizimi klasik i probabilitetit të një ngjarjeje. Vetitë e probabilitetit
Për aktivitetet praktike, është e rëndësishme të jeni në gjendje të krahasoni ngjarjet sipas shkallës së mundësisë së ndodhjes së tyre.
Probabiliteti Një ngjarje është një masë numerike e shkallës së mundësisë objektive të ndodhjes së një ngjarjeje.
Le të thërrasim rezultati elementar secili prej rezultateve po aq të mundshme të testit.
Eksodi quhet i favorshëm ngjarje (e favorshme). POR, nëse ndodhja e tij sjell ndodhjen e një ngjarjeje POR.
Përkufizimi klasik : probabiliteti i ngjarjes PORështë e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme për një ngjarje të caktuar me numrin total të rezultateve të mundshme.
(1) ku P(A) është probabiliteti i një ngjarjeje POR,
m- numri i rezultateve të favorshme,
nështë numri i të gjitha rezultateve të mundshme.
Shembull : Në short janë 1000 bileta, nga të cilat 700 nuk janë fituese. Sa është probabiliteti për të fituar në një biletë të blerë.
Ngjarja POR- bleu një biletë fituese
Numri i rezultateve të mundshme n=1000 është numri total i biletave të lotarisë.
Numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen PORështë numri i biletave fituese, d.m.th. m=1000-700=300.
Sipas përkufizimit klasik të probabilitetit: 
Përgjigje:
.
shënim vetitë e probabilitetit të ngjarjeve:
1) Probabiliteti i ndonjë ngjarje është ndërmjet zeros dhe një, d.m.th. 0≤ P(A)≤1.
2) Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është 1.
3) Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është 0.
Përveç klasikes, ekzistojnë edhe përkufizime gjeometrike dhe statistikore të probabilitetit.
Elementet e kombinatorikës.
Formulat e kombinatorikës përdoren gjerësisht për të llogaritur numrin e rezultateve të favorshme për ngjarjen në fjalë ose numrin total të rezultateve.
Le të ketë një grup N nga n elemente të ndryshme.
Përkufizimi 1: Kombinime, secila prej të cilave përfshin të gjitha n elementet dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga radha e elementeve quhen permutacionet nga n elementet.
P n=n! (2), ku n! (n-faktoriale) - produkt n numrat e parë të serisë natyrore, d.m.th.
n! = 1∙2∙3∙…∙(n–1)∙n
Kështu, për shembull, 5!=1∙2∙3∙4∙5 = 120
Përkufizimi 2: m elementet ( m≤n) dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri qoftë në përbërjen e elementeve ose në renditjen e tyre quhen vendosjet nga n në m elementet.
(3) Përkufizimi 3: Kombinimet, secila përmban m elementet ( m≤n) dhe që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm në përbërjen e elementeve quhen kombinime nga n në m elementet.
(4)
Koment: ndryshimi i renditjes së elementeve brenda të njëjtit kombinim nuk rezulton në një kombinim të ri.
Ne formulojmë dy rregulla të rëndësishme që përdoren shpesh në zgjidhjen e problemeve të kombinuara
Rregulli i shumës: nëse objekt POR mund të zgjidhet m mënyrat dhe objekti AT – n mënyra, atëherë zgjedhja është ose POR ose AT mund të bëhet m+n mënyrat.
Rregulli i produktit: nëse objekt POR mund të zgjidhet m mënyrat dhe objekti AT pas çdo zgjedhjeje të tillë, njeriu mund të zgjedhë n mënyra, pastaj një palë objektesh POR dhe AT mund të zgjidhen në atë mënyrë. m ∙ n mënyrat.
Përkufizime të ndryshme të probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme
Teoria e probabilitetit- një shkencë matematikore që, sipas probabiliteteve të disa ngjarjeve, na lejon të vlerësojmë probabilitetet e ngjarjeve të tjera që lidhen me të parën.
Konfirmimi se koncepti i "probabilitetit të një ngjarjeje" nuk ka përkufizim është fakti se në teorinë e probabilitetit ekzistojnë disa qasje për të shpjeguar këtë koncept:
Përkufizimi klasik i probabilitetit ngjarje e rastësishme .
Probabiliteti i një ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të përvojës të favorshme për ngjarjen me numrin total të rezultateve të përvojës.
ku
Numri i rezultateve të favorshme të përvojës;
Numri i përgjithshëm i rezultateve të përvojës.
Rezultati i përvojës quhet i favorshëm për një ngjarje, nëse një ngjarje u shfaq në këtë rezultat të përvojës. Për shembull, nëse ngjarja është shfaqja e një kartoni me kostum të kuq, atëherë shfaqja e një asi diamanti është një rezultat i favorshëm për ngjarjen.
Shembuj.
1) Probabiliteti për të marrë 5 pikë në faqen e kallëpit është i barabartë me , meqenëse diapazoni mund të bjerë në secilën nga 6 faqet lart, dhe 5 pikë janë vetëm në njërën faqe.
2) Probabiliteti që një stemë të bjerë jashtë kur një monedhë hidhet një herë është , pasi një monedhë mund të bjerë me një stemë ose bisht - dy rezultate të përvojës, dhe stema përshkruhet vetëm në njërën anë të monedhë.
3) Nëse ka 12 topa në urnë, nga të cilat 5 janë të zeza, atëherë probabiliteti për të nxjerrë një top të zi është , pasi ka gjithsej 12 rezultate të kërpudhave dhe 5 prej tyre janë të favorshme.
Komentoni. Përkufizimi klasik i probabilitetit zbatohet në dy kushte:
1) të gjitha rezultatet e eksperimentit duhet të jenë njëlloj të mundshme;
2) përvoja duhet të ketë një numër të kufizuar rezultatesh.
Në praktikë, mund të jetë e vështirë të vërtetohet se ngjarjet janë të mundshme: për shembull, kur kryeni një eksperiment me hedhjen e një monedhe, rezultati i eksperimentit mund të ndikohet nga faktorë të tillë si asimetria e monedhës, efekti i formës së saj në karakteristikat aerodinamike të fluturimit, kushtet atmosferike, etj., përveç kësaj, ka eksperimente me një numër të pafund rezultatesh.
Shembull . Fëmija hedh topin dhe distanca maksimale që mund ta hedhë topin është 15 metra. Gjeni probabilitetin që topi të fluturojë përtej shenjës 3 m.
Vendimi.Probabiliteti i dëshiruar propozohet të konsiderohet si raporti i gjatësisë së segmentit të vendosur përtej shenjës prej 3 m (zona e favorshme) me gjatësinë e të gjithë segmentit (të gjitha rezultatet e mundshme):
Shembull. Një pikë hidhet rastësisht në një rreth me rreze 1. Sa është probabiliteti që pika të bjerë në një katror të brendashkruar në rreth?
Vendimi.Probabiliteti që një pikë të bjerë në një katror kuptohet në këtë rast si raporti i sipërfaqes së katrorit (zona e favorshme) me sipërfaqen e rrethit (sipërfaqja totale e figurës ku është pika është hedhur):
Diagonalja e një katrori është 2 dhe shprehet në termat e brinjës së tij duke përdorur teoremën e Pitagorës:
Arsyetim i ngjashëm kryhet në hapësirë: nëse një pikë zgjidhet rastësisht në trupin e vëllimit, atëherë probabiliteti që pika të jetë pjesë e trupit të vëllimit llogaritet si raport i vëllimit të pjesës së favorshme me totalin. vëllimi i trupit:
Duke kombinuar të gjitha rastet, ne mund të formulojmë një rregull për llogaritjen e probabilitetit gjeometrik:
Nëse një pikë zgjidhet rastësisht në një zonë, atëherë probabiliteti që pika të jetë pjesë e kësaj zone është e barabartë me:
, ku
Tregon masën e sipërfaqes: në rastin e një segmenti, kjo është gjatësia, në rastin e një zone të sheshtë, kjo është sipërfaqja, në rastin e një trupi tredimensional, ky është vëllimi, në sipërfaqe , sipërfaqja, në kurbë, gjatësia e kurbës.
Një aplikim interesant i konceptit të probabilitetit gjeometrik është problemi i takimit.
Detyrë. (Rreth takimit)
Dy studentë ranë dakord të takoheshin, për shembull, në orën 10 të mëngjesit me kushtet e mëposhtme: secili vjen në çdo kohë gjatë orës nga ora 10 deri në 11 dhe pret 10 minuta, pas së cilës ai largohet. Sa është probabiliteti i takimit?
Vendimi.Ne ilustrojmë kushtet e problemit si më poshtë: në bosht ne paraqesim kohën për të parën nga ato që ndodhin, dhe në bosht - kohën për të dytën. Duke qenë se eksperimenti zgjat një orë, atëherë në të dy akset kemi lënë mënjanë segmente me gjatësi 1. Momentet kohore kur takimi ka mbërritur në të njëjtën kohë interpretohet me diagonalen e katrorit.
Lëreni të parën të arrijë në një moment në kohë. Studentët do të takohen nëse koha e mbërritjes së studentit të dytë në pikën e takimit është ndërmjet
Duke argumentuar në këtë mënyrë për çdo moment të kohës, marrim se rajoni kohor që interpreton mundësinë e një takimi (“kryqëzimi i kohërave” i studentëve të parë dhe të dytë që janë në vendin e duhur) është midis dy vijave të drejta: dhe . Probabiliteti i takimit përcaktohet nga formula e probabilitetit gjeometrik:
Në 1933 Kolmogorov A.M. (1903 - 1987) propozoi një qasje aksiomatike për ndërtimin dhe paraqitjen e teorisë së probabilitetit, e cila është bërë përgjithësisht e pranuar në kohën e tanishme. Kur ndërtohet një teori e probabilitetit si një teori formale aksiomatike, kërkohet jo vetëm të prezantohet një koncept bazë - probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme, por edhe të përshkruhen vetitë e saj duke përdorur aksioma (deklarata që janë intuitivisht të vërteta, të pranuara pa prova).
Deklarata të tilla janë deklarata të ngjashme me vetitë e shpeshtësisë relative të ndodhjes së një ngjarjeje.
Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje të rastësishme është raporti i numrit të ndodhive të një ngjarjeje në prova me numrin total të provave të kryera:
Natyrisht, për një ngjarje të caktuar, për një ngjarje të pamundur, për ngjarje të papajtueshme, dhe sa vijon është e vërtetë:
Shembull. Le të ilustrojmë deklaratën e fundit. Lërini të nxjerrin letra nga një kuvertë me 36 letra. Lëreni që ngjarja të nënkuptojë shfaqjen e diamanteve, ngjarja nënkupton shfaqjen e zemrave dhe ngjarja - shfaqjen e një karte të kostumit të kuq. Natyrisht, ngjarjet dhe janë të papajtueshme. Kur shfaqet një kostum i kuq, vendosim një shenjë pranë ngjarjes, kur shfaqen diamante - afër ngjarjes, dhe kur shfaqen krimbat - afër ngjarjes. Është e qartë se etiketa pranë ngjarjes do të vendoset nëse dhe vetëm nëse etiketa vendoset pranë ngjarjes ose afër ngjarjes, d.m.th. .
Le ta quajmë probabilitetin e një ngjarjeje të rastësishme numrin e lidhur me ngjarjen sipas rregullit të mëposhtëm:
Për ngjarje të papajtueshme dhe
Kështu që,
|
Frekuenca relative |
