Do të jetë e dobishme për çdo student që përgatitet për provimin në matematikë të përsërisë temën "Gjetja e këndit midis rreshtave". Siç tregojnë statistikat, gjatë kalimit të një testi vërtetimi, detyrat në këtë seksion të stereometrisë shkaktojnë vështirësi për një numër të madh studentësh. Në të njëjtën kohë, detyrat që kërkojnë gjetjen e këndit midis vijave të drejta gjenden në USE si në nivelin bazë ashtu edhe në atë të profilit. Kjo do të thotë që të gjithë duhet të jenë në gjendje t'i zgjidhin ato.

Momentet themelore

Ekzistojnë 4 lloje të rregullimit të ndërsjellë të linjave në hapësirë. Ato mund të përkojnë, të kryqëzohen, të jenë paralele ose të kryqëzuara. Këndi midis tyre mund të jetë akut ose i drejtë.

Për të gjetur këndin midis rreshtave në Provimin e Unifikuar të Shtetit ose, për shembull, në zgjidhje, nxënësit e shkollave në Moskë dhe qytete të tjera mund të përdorin disa metoda për zgjidhjen e problemeve në këtë seksion të stereometrisë. Ju mund ta përfundoni detyrën me ndërtime klasike. Për ta bërë këtë, ia vlen të mësoni aksiomat dhe teoremat themelore të stereometrisë. Nxënësi duhet të jetë në gjendje të ndërtojë logjikisht arsyetimin dhe të krijojë vizatime në mënyrë që ta çojë detyrën në një problem planimetrik.

Ju gjithashtu mund të përdorni metodën vektor-koordinate, duke përdorur formula, rregulla dhe algoritme të thjeshta. Gjëja kryesore në këtë rast është kryerja e saktë e të gjitha llogaritjeve. Projekti arsimor Shkolkovo do t'ju ndihmojë të përmirësoni aftësitë tuaja në zgjidhjen e problemeve në stereometri dhe seksione të tjera të kursit shkollor.

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi ndaj palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Në rast se është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat ligjore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet shtetërore në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për arsye sigurie, zbatimi të ligjit ose arsye të tjera të interesit publik.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Ruajtja e privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Oh-oh-oh-oh-oh ... mirë, është e vogël, sikur ta lexoni fjalinë për veten tuaj =) Sidoqoftë, atëherë relaksimi do të ndihmojë, veçanërisht pasi sot bleva pajisje të përshtatshme. Prandaj, le të vazhdojmë në pjesën e parë, shpresoj se deri në fund të artikullit do të mbaj një humor të gëzuar.

Rregullimi i ndërsjellë i dy vijave të drejta

Rasti kur salla këndon së bashku në kor. Dy rreshta mund:

1) ndeshje;

2) të jetë paralel: ;

3) ose kryqëzohen në një pikë të vetme: .

Ndihmë për bedelët : ju lutem mbani mend shenjën matematikore të kryqëzimit , do të ndodhë shumë shpesh. Hyrja do të thotë që vija kryqëzohet me vijën në pikë.

Si të përcaktohet pozicioni relativ i dy rreshtave?

Le të fillojmë me rastin e parë:

Dy rreshta përkojnë nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre përkatës janë proporcionalë, domethënë ekziston një numër i tillë "lambda" që barazitë

Le të shqyrtojmë drejtëzat dhe të hartojmë tre ekuacione nga koeficientët përkatës: . Nga secili ekuacion rezulton se, pra, këto rreshta përkojnë.

Në të vërtetë, nëse të gjithë koeficientët e ekuacionit shumëzo me -1 (shenjat e ndryshimit), dhe të gjithë koeficientët e ekuacionit zvogëloni me 2, merrni të njëjtin ekuacion: .

Rasti i dytë kur linjat janë paralele:

Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre në variablat janë proporcionalë: , por.

Si shembull, merrni parasysh dy vija të drejta. Ne kontrollojmë proporcionalitetin e koeficientëve përkatës për variablat:

Megjithatë, është e qartë se.

Dhe rasti i tretë, kur linjat kryqëzohen:

Dy drejtëza kryqëzohen nëse dhe vetëm nëse koeficientët e tyre të variablave NUK janë proporcionalë dmth NUK ka një vlerë të tillë "lambda" që të plotësohen barazitë

Pra, për vijat e drejta do të përpilojmë një sistem:

Nga ekuacioni i parë rrjedh se , dhe nga ekuacioni i dytë: , pra, sistemi është i paqëndrueshëm(pa zgjidhje). Kështu, koeficientët në variablat nuk janë proporcionalë.

Përfundim: vijat kryqëzohen

Në problemet praktike, mund të përdoret skema e zgjidhjeve që sapo kemi marrë. Nga rruga, është shumë i ngjashëm me algoritmin për kontrollimin e vektorëve për kolinearitet, të cilin e kemi konsideruar në mësim. Koncepti i varësisë lineare (jo) të vektorëve. Baza vektoriale. Por ka një paketë më të civilizuar:

Shembulli 1

Gjeni pozicionin relativ të vijave:

Vendimi bazuar në studimin e vektorëve drejtues të drejtëzave:

a) Nga ekuacionet gjejmë vektorët e drejtimit të drejtëzave: .

, pra vektorët nuk janë kolinear dhe vijat ndërpriten.

Për çdo rast, unë do të vendos një gur me tregues në udhëkryq:

Pjesa tjetër kërcejnë mbi gurin dhe vazhdojnë, drejt e në Kashchei të pavdekshëm =)

b) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Vijat kanë të njëjtin vektor drejtimi, që do të thotë se ato janë ose paralele ose të njëjta. Këtu përcaktori nuk është i nevojshëm.

Është e qartë se koeficientët tek të panjohurat janë proporcionale, ndërsa .

Le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë:

Kështu,

c) Gjeni vektorët e drejtimit të drejtëzave:

Le të llogarisim përcaktorin, të përbërë nga koordinatat e këtyre vektorëve:
, pra, vektorët e drejtimit janë kolinearë. Linjat janë ose paralele ose përkojnë.

Faktori i proporcionalitetit "lambda" është i lehtë për t'u parë drejtpërdrejt nga raporti i vektorëve të drejtimit kolinear. Sidoqoftë, mund të gjendet edhe përmes koeficientëve të vetë ekuacioneve: .

Tani le të zbulojmë nëse barazia është e vërtetë. Të dy termat e lirë janë zero, kështu që:

Vlera që rezulton e plotëson këtë ekuacion (çdo numër në përgjithësi e plotëson atë).

Kështu, linjat përkojnë.

Përgjigju:

Shumë shpejt do të mësoni (ose madje keni mësuar tashmë) të zgjidhni problemin e konsideruar fjalë për fjalë fjalë për fjalë në disa sekonda. Në këtë drejtim, nuk shoh asnjë arsye për të ofruar diçka për një zgjidhje të pavarur, është më mirë të vendosni një tullë më të rëndësishme në themelin gjeometrik:

Si të vizatoni një vijë paralele me një të dhënë?

Për injorancën e kësaj detyre më të thjeshtë, Bilbili grabitës ndëshkon ashpër.

Shembulli 2

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni . Shkruani një ekuacion për një drejtëz paralele që kalon nëpër pikë.

Vendimi: Shëno vijën e panjohur me shkronjën . Çfarë thotë gjendja për të? Linja kalon nëpër pikën. Dhe nëse vijat janë paralele, atëherë është e qartë se vektori drejtues i drejtëzës "ce" është gjithashtu i përshtatshëm për ndërtimin e vijës "te".

Ne nxjerrim vektorin e drejtimit nga ekuacioni:

Përgjigju:

Gjeometria e shembullit duket e thjeshtë:

Verifikimi analitik përbëhet nga hapat e mëposhtëm:

1) Kontrollojmë që vijat të kenë të njëjtin vektor drejtimi (nëse ekuacioni i vijës nuk është thjeshtuar siç duhet, atëherë vektorët do të jenë kolinear).

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton.

Verifikimi analitik në shumicën e rasteve është i lehtë për t'u kryer verbalisht. Shikoni dy ekuacionet dhe shumë prej jush do të kuptojnë shpejt se si vijat janë paralele pa asnjë vizatim.

Shembujt për vetë-zgjidhje sot do të jenë krijues. Sepse ju ende duhet të konkurroni me Baba Yaga, dhe ajo, e dini, është një dashnore e të gjitha llojeve të gjëegjëzave.

Shembulli 3

Shkruani një ekuacion për një drejtëz që kalon në një pikë paralele me drejtëzën nëse

Ekziston një mënyrë racionale dhe jo shumë racionale për të zgjidhur. Rruga më e shkurtër është në fund të mësimit.

Bëmë një punë të vogël me vijat paralele dhe do t'u kthehemi më vonë. Rasti i rreshtave që përputhen është me pak interes, kështu që le të shqyrtojmë një problem që është i njohur për ju nga kurrikula shkollore:

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të dy drejtëzave?

Nëse drejt kryqëzohen në pikën , atëherë koordinatat e saj janë zgjidhja sistemet e ekuacioneve lineare

Si të gjeni pikën e kryqëzimit të vijave? Zgjidheni sistemin.

Këtu është për ju kuptimi gjeometrik i një sistemi me dy ekuacione lineare me dy të panjohura janë dy drejtëza të kryqëzuara (më shpesh) në një rrafsh.

Shembulli 4

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave

Vendimi: Ekzistojnë dy mënyra për të zgjidhur - grafike dhe analitike.

Mënyra grafike është thjesht të vizatoni linjat e dhëna dhe të zbuloni pikën e kryqëzimit direkt nga vizatimi:

Këtu është pika jonë: . Për të kontrolluar, duhet të zëvendësoni koordinatat e saj në çdo ekuacion të një vije të drejtë, ato duhet të përshtaten si atje ashtu edhe atje. Me fjalë të tjera, koordinatat e një pike janë zgjidhja e sistemit. Në fakt, ne konsideruam një mënyrë grafike për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare me dy ekuacione, dy të panjohura.

Metoda grafike, natyrisht, nuk është e keqe, por ka disavantazhe të dukshme. Jo, çështja nuk është që nxënësit e klasës së shtatë vendosin në këtë mënyrë, çështja është se do të duhet kohë për të bërë një vizatim të saktë dhe SAKTËS. Përveç kësaj, disa linja nuk janë aq të lehta për t'u ndërtuar dhe vetë pika e kryqëzimit mund të jetë diku në mbretërinë e tridhjetë jashtë fletës së fletores.

Prandaj, është më e përshtatshme për të kërkuar pikën e kryqëzimit me metodën analitike. Le të zgjidhim sistemin:

Për zgjidhjen e sistemit është përdorur metoda e mbledhjes termike të ekuacioneve. Për të zhvilluar aftësitë përkatëse, vizitoni mësimin Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh?

Përgjigju:

Verifikimi është i parëndësishëm - koordinatat e pikës së kryqëzimit duhet të plotësojnë çdo ekuacion të sistemit.

Shembulli 5

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave nëse ato kryqëzohen.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Është i përshtatshëm për të ndarë problemin në disa faza. Analiza e gjendjes sugjeron që është e nevojshme:
1) Shkruani ekuacionin e një drejtëze.
2) Shkruani ekuacionin e një drejtëze.
3) Gjeni pozicionin relativ të vijave.
4) Nëse linjat kryqëzohen, atëherë gjeni pikën e kryqëzimit.

Zhvillimi i një algoritmi veprimesh është tipik për shumë probleme gjeometrike, dhe unë do të fokusohem vazhdimisht në këtë.

Zgjidhja e plotë dhe përgjigja në fund të tutorialit:

Një palë këpucë nuk janë konsumuar ende, pasi arritëm në pjesën e dytë të mësimit:

Vija pingule. Distanca nga një pikë në një vijë.
Këndi ndërmjet vijave

Le të fillojmë me një detyrë tipike dhe shumë të rëndësishme. Në pjesën e parë, mësuam se si të ndërtojmë një vijë të drejtë paralele me atë të dhënë, dhe tani kasolle në këmbët e pulës do të kthehet 90 gradë:

Si të vizatoni një vijë pingul me një të dhënë?

Shembulli 6

Vija e drejtë jepet nga ekuacioni . Shkruani një ekuacion për një drejtëz pingule që kalon nëpër një pikë.

Vendimi: Dihet me supozim se . Do të ishte mirë të gjesh vektorin e drejtimit të vijës së drejtë. Meqenëse vijat janë pingule, truku është i thjeshtë:

Nga ekuacioni “heqim” vektorin normal: , i cili do të jetë vektori drejtues i drejtëzës.

Ne hartojmë ekuacionin e një drejtëze me një pikë dhe një vektor drejtues:

Përgjigju:

Le të shpalosim skicën gjeometrike:

Hmmm... Qiell portokalli, det portokalli, deve portokalli.

Verifikimi analitik i zgjidhjes:

1) Ne nxjerrim vektorët e drejtimit nga ekuacionet dhe përdorim produkt pikash i vektorëve arrijmë në përfundimin se drejtëzat janë vërtet pingule: .

Nga rruga, ju mund të përdorni vektorë normalë, është edhe më e lehtë.

2) Kontrolloni nëse pika plotëson ekuacionin që rezulton .

Verifikimi, përsëri, është i lehtë për t'u kryer verbalisht.

Shembulli 7

Gjeni pikën e prerjes së drejtëzave pingule, nëse barazimi është i njohur dhe pika.

Ky është një shembull bëjeni vetë. Ka disa veprime në detyrë, kështu që është e përshtatshme të rregulloni zgjidhjen pikë për pikë.

Udhëtimi ynë emocionues vazhdon:

Distanca nga pika në vijë

Para nesh është një rrip i drejtë i lumit dhe detyra jonë është ta arrijmë atë në mënyrën më të shkurtër. Nuk ka pengesa, dhe rruga më optimale do të jetë lëvizja përgjatë pingulit. Kjo do të thotë, distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e segmentit pingul.

Distanca në gjeometri tradicionalisht shënohet me shkronjën greke "ro", për shembull: - distanca nga pika "em" në vijën e drejtë "de".

Distanca nga pika në vijë shprehet me formulën

Shembulli 8

Gjeni distancën nga një pikë në një vijë

Vendimi: gjithçka që ju nevojitet është të zëvendësoni me kujdes numrat në formulë dhe të bëni llogaritjet:

Përgjigju:

Le të ekzekutojmë vizatimin:

Distanca e gjetur nga pika në vijë është saktësisht gjatësia e segmentit të kuq. Nëse bëni një vizatim në letër me kuadrate në një shkallë prej 1 njësi. \u003d 1 cm (2 qeliza), atëherë distanca mund të matet me një vizore të zakonshme.

Konsideroni një detyrë tjetër sipas të njëjtit vizatim:

Detyra është të gjejmë koordinatat e pikës, e cila është simetrike me pikën në lidhje me vijën. . Unë propozoj të kryeni veprimet vetë, megjithatë, unë do të përshkruaj algoritmin e zgjidhjes me rezultate të ndërmjetme:

1) Gjeni një drejtëz që është pingul me një drejtëz.

2) Gjeni pikën e kryqëzimit të drejtëzave: .

Të dy veprimet diskutohen në detaje në këtë mësim.

3) Pika është mesi i segmentit. Ne i dimë koordinatat e mesit dhe njërit nga skajet. Nga formulat për koordinatat e mesit të segmentit Gjej .

Nuk do të jetë e tepërt të kontrolloni që distanca të jetë gjithashtu e barabartë me 2.2 njësi.

Këtu mund të lindin vështirësi në llogaritjet, por në kullë një mikrollogaritës ndihmon shumë, duke ju lejuar të numëroni fraksionet e zakonshme. Kam këshilluar shumë herë dhe do të rekomandoj përsëri.

Si të gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele?

Shembulli 9

Gjeni distancën midis dy drejtëzave paralele

Ky është një shembull tjetër për një zgjidhje të pavarur. Një sugjerim i vogël: ka pafundësisht shumë mënyra për të zgjidhur. Debriefing në fund të mësimit, por më mirë përpiquni të merrni me mend vetë, mendoj se keni arritur ta shpërndani mirë zgjuarsinë tuaj.

Këndi midis dy vijave

Sido që të jetë këndi, atëherë bllokimi:


Në gjeometri, këndi ndërmjet dy drejtëzave merret si kënd MË I VOGËL, nga i cili automatikisht rezulton se nuk mund të jetë i mpirë. Në figurë, këndi i treguar nga harku i kuq nuk konsiderohet të jetë këndi midis vijave të kryqëzuara. Dhe fqinji i saj "i gjelbër" ose të orientuar në të kundërt këndi i kuq.

Nëse vijat janë pingule, atëherë secili nga 4 këndet mund të merret si kënd ndërmjet tyre.

Si ndryshojnë këndet? Orientim. Së pari, drejtimi i "lëvizjes" së këndit është thelbësisht i rëndësishëm. Së dyti, një kënd i orientuar negativisht shkruhet me një shenjë minus, për shembull, nëse .

Pse e thashë këtë? Duket se mund t'ia dalësh me konceptin e zakonshëm të një këndi. Fakti është se në formulat me të cilat do të gjejmë këndet, mund të merret lehtësisht një rezultat negativ dhe kjo nuk duhet t'ju habisë. Një kënd me një shenjë minus nuk është më i keq dhe ka një kuptim gjeometrik shumë specifik. Në vizatimin për një kënd negativ, është e domosdoshme të tregoni orientimin e tij (në drejtim të akrepave të orës) me një shigjetë.

Si të gjeni këndin midis dy vijave? Ekzistojnë dy formula pune:

Shembulli 10

Gjeni këndin midis vijave

Vendimi dhe Metoda e parë

Konsideroni dy drejtëza të dhëna nga ekuacionet në formë të përgjithshme:

Nëse drejt jo pingul, pastaj i orientuar këndi midis tyre mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Le t'i kushtojmë vëmendje emëruesit - kjo është saktësisht produkt skalar vektorët e drejtimit të vijave të drejta:

Nëse , atëherë emëruesi i formulës zhduket, dhe vektorët do të jenë ortogonalë dhe vijat do të jenë pingul. Për këtë arsye u bë një rezervë për mosperpendikularitetin e vijave në formulim.

Bazuar në sa më sipër, zgjidhja zyrtarizohet lehtësisht në dy hapa:

1) Llogaritni produktin skalar të vektorëve drejtues të drejtëzave:
pra vijat nuk janë pingule.

2) Këndin ndërmjet vijave e gjejmë me formulën:

Duke përdorur funksionin e kundërt, është e lehtë të gjesh vetë këndin. Në këtë rast, ne përdorim çuditshmërinë e tangjentës së harkut (shih Fig. Grafikët dhe vetitë e funksioneve elementare):

Përgjigju:

Në përgjigje, ne tregojmë vlerën e saktë, si dhe vlerën e përafërt (mundësisht si në gradë ashtu edhe në radianë), të llogaritur duke përdorur një kalkulator.

Epo, minus, pra minus, është në rregull. Këtu është një ilustrim gjeometrik:

Nuk është për t'u habitur që këndi doli të jetë me orientim negativ, sepse në gjendjen e problemit numri i parë është një vijë e drejtë dhe "përdredhja" e këndit filloi pikërisht prej saj.

Nëse vërtet dëshironi të merrni një kënd pozitiv, duhet të ndërroni linjat e drejta, domethënë të merrni koeficientët nga ekuacioni i dytë , dhe merrni koeficientët nga ekuacioni i parë. Me pak fjalë, duhet të filloni me një direktivë .

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Këndi ndërmjet vijave

Qëllimet dhe objektivat e orës së mësimit: Të formohet koncepti i këndit ndërmjet: Ndërprerjes; paralele; vijat e kryqëzuara. Mësoni të gjeni këndin ndërmjet: Ndërprerjes; paralele; vijat e kryqëzuara.

Kujtojmë: Baza e prizmit ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 është një trapez. Cilat nga çiftet e vijave të mëposhtme janë vija kryqëzuese?

Vendndodhja e drejtëzave në hapësirë ​​dhe këndi ndërmjet tyre 1. Vijat prerëse. 2. Vijat paralele. 3. Vijat prerëse.

Çdo dy drejtëza që kryqëzohen shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe formojnë katër kënde të pazgjeruara.

Nëse vijat e kryqëzuara formojnë katër kënde të barabarta, atëherë këndi ndërmjet këtyre vijave është 90°. a b

Këndi ndërmjet dy drejtëzave paralele është 0°.

Këndi ndërmjet dy drejtëzave të kryqëzuara në hapësirë ​​është më i vogli nga këndet që formojnë rrezet e këtyre drejtëzave me kulmin në pikën e kryqëzimit të tyre.

Këndi ndërmjet drejtëzave prerëse a dhe b është këndi ndërmjet drejtëzave ndërthurëse të ndërtuara dhe.

Këndi midis vijave kryqëzuese, si dhe midis vijave të të njëjtit plan, nuk mund të jetë më shumë se 90 °. Dy drejtëza të kryqëzuara që formojnë një kënd prej 90° quhen pingul. a b a 1 c c 1 d

Këndi ndërmjet vijave anore Le të jenë AB dhe CD dy vija anore. Le të marrim një pikë arbitrare M 1 të hapësirës dhe të vizatojmë vija A 1 B 1 dhe C 1 D 1 përmes saj, përkatësisht, paralele me linjat AB dhe CD . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 φ Nëse këndi ndërmjet drejtëzave A 1 B 1 dhe C 1 D 1 është i barabartë me φ, atëherë do të themi se këndi ndërmjet drejtëzave që ndërpriten AB dhe CD është i barabartë me φ.

Gjeni këndin ndërmjet vijave anore AB dhe CD Si pikë M 1, mund të merrni çdo pikë në njërën nga vijat e animuara. A B C D M 1 A 1 B 1 φ

Edukim fizik për sytë

Tregoni drejtëza pingule prerëse në mjedis.

Jepet një imazh i një kubi. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave të prera a dhe b. 90° 45° Përgjigje Përgjigje

Jepet një imazh i një kubi. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave të prera a dhe b. 90° 60° Përgjigje Përgjigje

Jepet një imazh i një kubi. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave të prera a dhe b 90° 90° Përgjigje Përgjigja

Detyrë shtëpie: §4 (fq. 85-89), #268, #269.

Minuta e edukimit fizik

Problemi №1 Në një piramidë të rregullt SABCD , të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1, pika E është mesi i skajit SC . Gjeni këndin midis drejtëzave AD dhe BE.

Punë në klasë: Detyrat: Nr 263 nr 265 nr 267

Pamja paraprake:

MIRATOJE

Mësues matematike

L. R. Volnyak

"__" ________ 2016

Subjekti : "Këndi midis vijave"

Tutorial:

Zhvillimi:

Edukative:

Lloji i mësimit: Mësimi i materialit të ri.

Metodat: verbale (histori), vizuale (prezantuese), dialoguese.

1. Koha e organizimit.

• pershendetje.

1. Përditësimi i njohurive.

1. Cili është pozicioni relativ i dy drejtëzave në hapësirë?
2. Sa kënde formohen kur dy drejtëza kryqëzohen në hapësirë?
3. Si të përcaktohet këndi midis vijave të kryqëzuara?

Slad3

1. Baza e prizmit ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - trapezoid. Cilat nga çiftet e vijave të mëposhtme janë vija kryqëzuese?

Përgjigje: AB dhe CC 1, A 1 D 1 dhe CC 1.

1. Mësimi i materialit të ri.

rrëshqitje 4

Vendndodhja e vijave në hapësirë ​​dhe këndi ndërmjet tyre.

1. Vijat kryqëzuese.
2. Vijat paralele.
3. Kalimi i vijave të drejta.

rrëshqitje 5

Çdo dy drejtëza që kryqëzohen shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe formojnë katër kënde të pazgjeruara.

rrëshqitje 6

Nëse vijat e kryqëzuara formojnë katër kënde të barabarta, atëherë këndi ndërmjet këtyre vijave është 90°.

Rrëshqitja 7

Këndi ndërmjet dy drejtëzave paralele është 0°.

Rrëshqitja 8

Këndi ndërmjet dy drejtëzave të kryqëzuara në hapësirë ​​është më i vogli nga këndet që formojnë rrezet e këtyre drejtëzave me kulmin në pikën e kryqëzimit të tyre.

Rrëshqitja 9 a dhe b dhe .

Rrëshqitja 10

Këndi midis vijave kryqëzuese, si dhe midis vijave të të njëjtit plan, nuk mund të jetë më shumë se 90 °. Dy drejtëza të kryqëzuara që formojnë një kënd prej 90° quhen pingul.

rrëshqitje 11

Këndi ndërmjet vijave të kryqëzimit.

Le të jenë AB dhe CD dy drejtëza të kryqëzuara.

Merrni një pikë arbitrare M 1 hapësirë ​​dhe vizatoni vija të drejta A 1 në 1 dhe C 1 D 1 , respektivisht, paralel me drejtëzat AB dhe CD.

Nëse këndi ndërmjet drejtëzave A 1 në 1 dhe C 1 D 1 është e barabartë me φ, atëherë do të themi se këndi ndërmjet drejtëzave prerëse AB dhe CD është i barabartë me φ.

rrëshqitje 12

Gjeni këndin midis vijave të animuara AB dhe CD.

Si pika M 1 mund të merret çdo pikë në një nga drejtëzat e kryqëzuara.

rrëshqitje 13

Minuta e edukimit fizik

Rrëshqitja 14

1. Tregoni drejtëza pingule prerëse në mjedis.

rrëshqitje 15

2. Jepet imazhi i një kubi. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave të prera a dhe b.

a) 90°; b) 45°;

rrëshqitje 16

c) 60°; d) 90°;

Rrëshqitja 17

e) 90°; f) 90°.

1. Rregullimi i materialit të ri

Rrëshqitja 19

Minuta e edukimit fizik

Rrëshqitja 20

№1.

Në piramidën e duhur SABCD , të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1, pika E - mesi i brinjës SC .Gjeni këndin ndërmjet vijave AD dhe B.E.

Vendimi:

Këndi i dëshiruar = këndi CBE .Trekëndëshi SBC është barabrinjës.

BE - përgjysmues kënd = 60. Këndi CBE është 30.

Përgjigje: 30°.

№263.

Përgjigje:

Këndi midis vijave të animuara a dhe b quhet këndi ndërmjet drejtëzave ndërthurëse të ndërtuara a 1 dhe b 1 , dhe a 1 || a, b 1 || b.

№265.

Këndi ndërmjet drejtëzave a dhe b është 90°. A është e vërtetë që drejtëzat a dhe b kryqëzohen?

Përgjigje:

E rreme, pasi vijat mund të kryqëzohen ose të kryqëzohen.

№267.

DABC është një katërkëndësh, pika O dhe F janë pikat e mesit të AD dhe CD, përkatësisht, segmenti TK është mesi i trekëndëshit ABC.

1. Cili është këndi midis vijave OF dhe CB?
2. A është e vërtetë që këndi ndërmjet vijave OF dhe TK është 60°?
3. Cili është këndi midis drejtëzave TF dhe DB?

Vendimi:

Dhënë: DABC,

O është mesi i pas Krishtit,

F është mesi i CD-së,

TC është vija e mesme ∆ABC.

Vendimi:

1. Reflektimi

• Çfarë kemi mësuar të re?
• A i kemi përballuar detyrat që u vendosën në fillim të orës së mësimit?
• Çfarë problemesh kemi mësuar të zgjidhim?

1. Detyre shtepie.

§4 (fq. 85-89), #268, #269.

Pamja paraprake:

MIRATOJE

Mësues matematike

L. R. Volnyak

"__" ________ 2016

Subjekti : "Këndi midis vijave"

Tutorial: me ndihmën e detyrave praktike, të sigurohet që nxënësit të kuptojnë përkufizimin e këndit ndërmjet vijave prerëse, paralele dhe anore;

Zhvillimi: të zhvillojë imagjinatën hapësinore të studentëve në zgjidhjen e problemeve gjeometrike, të menduarit gjeometrik, interesin për lëndën, veprimtarinë njohëse dhe krijuese të studentëve, të folurit matematikor, kujtesën, vëmendjen; zhvillojnë pavarësinë në zhvillimin e njohurive të reja.

Edukative: për të edukuar studentët në një qëndrim të përgjegjshëm ndaj punës edukative, cilësitë me vullnet të fortë; për të formuar një kulturë emocionale dhe një kulturë komunikimi.

Lloji i mësimit: përgjithësimi dhe sistemimi i njohurive dhe aftësive.

Metodat: verbal (histori), dialogues.

1. Koha e organizimit.

• pershendetje.
• Komunikimi i qëllimeve dhe objektivave të orës së mësimit.
• Motivimi për të mësuar materiale të reja.
• Ambienti psikologjik dhe pedagogjik i studentëve për aktivitetet e ardhshme.
• Kontrollimi i të pranishmëve në mësim;

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

№268

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped drejtkëndor, pika O dhe T - pikat e mesit të skajeve të SS 1 dhe DD 1 përkatësisht. a) A është e vërtetë që këndi ndërmjet drejtëzave AD dhe TO është 90°? b) Sa është këndi ndërmjet drejtëzave A 1 B 1 dhe para Krishtit?

Vendimi:

a) E vërtetë, pasi TO || DC =>(AD, TO) = ADC = 90° (ABCD është një drejtkëndësh).

b)BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 , BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.

Përgjigje: 90°, 90°.

№269

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kub. a) A është e vërtetë që këndi ndërmjet drejtëzave A 1 B dhe C 1 D është 90°? b) Gjeni këndin midis drejtëzave B 1 O dhe C 1 D. c) A është e vërtetë që këndi ndërmjet drejtëzave AC dhe C 1D është e barabartë me 45°?

Vendimi:

a) E vërtetë, sepse B 1 A || C 1 D => (A 1 B, C 1 D) = (B 1 A, A 1 B) = 90°, si këndi ndërmjet diagonaleve të katrorit.

b) 1. B 1 A || C 1 D=> (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.

2. në Δ AB 1 C AB 1 \u003d B 1 C = AC si diagonale me katrorë të barabartë B 1 O - mediana dhe përgjysmues AB 1 C=60° => AB 1 O=30°.

c) jo, pasi C 1 D || BA => (AC, C 1 D) \u003d B 1 AC=60° si kënd barabrinjës Δ AB 1 C.

Përgjigje: b) 30°.

1. Përditësimi i njohurive.

Metoda: sondazh frontal (me gojë):

1. Cilat degë studion gjeometria?
2. Cili është këndi midis drejtëzave paralele?
3. Cilat figura studiohen nga planimetria dhe cilat janë gjeometria e ngurtë?
4. Cili është këndi i animit?
5. Si quhen dy drejtëza të kryqëzuara që formojnë një kënd prej 90°?

1. Konsolidimi i asaj që është mësuar.

Diktimi (10 min):

Opsioni 1:

Buza e kubit është a .

Gjeni: (AB 1 ,SS 1 )

Vendimi:

SS1‖BB1

(AB1,CC1) = AB1B

AB1B=45˚

Përgjigje: (AB1, SS1) = 45˚

1. Le të jenë a dhe b drejtëza të kryqëzuara, dhe drejtëza b 1 || b. A është e vërtetë që këndi ndërmjet drejtëzave a dhe b është i barabartë me këndin ndërmjet drejtëzave a dhe b 1 ? Nëse po, pse?

Opsioni 2:

1. Cili është këndi midis vijave të animuara?

Buza e kubit është a .

Në këtë artikull, së pari do të përcaktojmë këndin midis vijave të animuara dhe do të japim një ilustrim grafik. Më pas, i përgjigjemi pyetjes: "Si të gjejmë këndin midis vijave të animuara nëse dihen koordinatat e vektorëve të drejtimit të këtyre vijave në një sistem koordinativ drejtkëndor"? Si përfundim, do të praktikojmë gjetjen e këndit midis vijave të animuara gjatë zgjidhjes së shembujve dhe problemeve.

Navigimi i faqes.

Këndi midis vijave të animuara - përkufizim.

Do t'i qasemi gradualisht përcaktimit të këndit ndërmjet vijave të kryqëzuara.

Le të kujtojmë fillimisht përkufizimin e vijave të animuara: dy rreshta në hapësirën tredimensionale quhen kryqëzimi nëse nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh. Nga ky përkufizim rrjedh se linjat e animuara nuk kryqëzohen, nuk janë paralele dhe, për më tepër, nuk përkojnë, përndryshe të dyja do të shtriheshin në një rrafsh.

Ne paraqesim disa argumente ndihmëse shtesë.

Le të jepen dy drejtëza të kryqëzuara a dhe b në hapësirën tredimensionale. Le t'i ndërtojmë drejtëzat a 1 dhe b 1 në mënyrë që ato të jenë paralele me vijat anore a dhe b, përkatësisht, dhe të kalojnë nëpër një pikë në hapësirën M 1 . Kështu, do të marrim dy drejtëza të kryqëzuara a 1 dhe b 1 . Le të jetë këndi ndërmjet drejtëzave të kryqëzuara a 1 dhe b 1 me këndin . Tani le të ndërtojmë drejtëzat a 2 dhe b 2 , paralelisht me vijat e anore a dhe b, përkatësisht, duke kaluar nëpër pikën M 2 , e cila është e ndryshme nga pika M 1 . Këndi ndërmjet vijave të kryqëzuara a 2 dhe b 2 do të jetë gjithashtu i barabartë me këndin. Ky pohim është i vërtetë, pasi rreshtat a 1 dhe b 1 do të përkojnë me rreshtat a 2 dhe b 2, përkatësisht, nëse kryeni një transferim paralel, në të cilin pika M 1 shkon në pikën M 2. Kështu, masa e këndit ndërmjet dy drejtëzave që kryqëzohen në pikën M, përkatësisht paralele me vijat e dhëna anore, nuk varet nga zgjedhja e pikës M.

Tani jemi gati të përcaktojmë këndin midis vijave të animuara.

Përkufizimi.

Këndi midis vijave të animuaraështë këndi ndërmjet dy drejtëzave të kryqëzuara që janë përkatësisht paralele me vijat e dhëna anore.

Nga përkufizimi rrjedh se këndi midis vijave të animuara gjithashtu nuk do të varet nga zgjedhja e pikës M. Prandaj, si pikë M, mund të merrni çdo pikë që i përket njërës prej vijave të animuara.

Ne japim një ilustrim të përkufizimit të këndit midis vijave të animuara.

Gjetja e këndit ndërmjet vijave anore.

Meqenëse këndi ndërmjet vijave ndërprerëse përcaktohet përmes këndit ndërmjet vijave të kryqëzuara, gjetja e këndit ndërmjet vijave të kryqëzuara reduktohet në gjetjen e këndit ndërmjet vijave kryqëzuese përkatëse në hapësirën tredimensionale.

Padyshim që metodat e studiuara në mësimet e gjeometrisë në shkollën e mesme janë të përshtatshme për gjetjen e këndit midis vijave anore. Kjo do të thotë, pasi të keni përfunduar ndërtimet e nevojshme, është e mundur të lidhni këndin e dëshiruar me çdo kënd të njohur nga gjendja, bazuar në barazinë ose ngjashmërinë e figurave, në disa raste do të ndihmojë. teorema e kosinusit, dhe ndonjëherë çon në rezultat përcaktimi i sinusit, kosinusit dhe tangjentës së një këndi trekëndësh kënddrejtë.

Sidoqoftë, është shumë i përshtatshëm për të zgjidhur problemin e gjetjes së këndit midis vijave të animuara duke përdorur metodën e koordinatave. Kjo është ajo që ne do të shqyrtojmë.

Le të futet Oxyz në hapësirën tre-dimensionale (megjithatë, në shumë probleme duhet të futet në mënyrë të pavarur).

Le t'i vendosim vetes detyrën: të gjejmë këndin midis drejtëzave të kryqëzuara a dhe b, të cilat korrespondojnë me disa ekuacione të drejtëzës në hapësirë ​​në sistemin koordinativ drejtkëndor Oxyz.

Le ta zgjidhim.

Le të marrim një pikë arbitrare të hapësirës tredimensionale M dhe të supozojmë se drejtëzat a 1 dhe b 1 kalojnë nëpër të, paralelisht me drejtëzat ndërpritëse a dhe b, përkatësisht. Atëherë këndi i kërkuar ndërmjet drejtëzave të prera a dhe b është i barabartë me këndin ndërmjet vijave prerëse a 1 dhe b 1 sipas përkufizimit.

Kështu, na mbetet të gjejmë këndin midis drejtëzave të kryqëzuara a 1 dhe b 1 . Për të zbatuar formulën për gjetjen e këndit ndërmjet dy drejtëzave të kryqëzuara në hapësirë, duhet të dimë koordinatat e vektorëve të drejtimit të drejtëzave a 1 dhe b 1 .

Si mund t'i marrim ato? Dhe është shumë e thjeshtë. Përkufizimi i vektorit drejtues të një drejtëze na lejon të pohojmë se grupet e vektorëve drejtues të drejtëzave paralele përputhen. Prandaj, si vektorë të drejtimit të drejtëzave a 1 dhe b 1, ne mund të marrim vektorët e drejtimit dhe vijat e drejta a dhe b, përkatësisht.

Kështu që, këndi ndërmjet dy drejtëzave a dhe b që ndërpriten llogaritet me formulë
, ku dhe janë vektorët e drejtimit të drejtëzave a dhe b përkatësisht.

Formula për gjetjen e kosinusit të këndit ndërmjet vijave anore a dhe b ka formën .

Ju lejon të gjeni sinusin e këndit midis vijave të animuara nëse dihet kosinusi: .

Mbetet për të analizuar zgjidhjet e shembujve.

Shembull.

Gjeni këndin ndërmjet vijave të animuara a dhe b, të cilat përcaktohen në sistemin koordinativ drejtkëndor Oxyz nga ekuacionet dhe .

Vendimi.

Ekuacionet kanonike të një vije të drejtë në hapësirë ​​ju lejojnë të përcaktoni menjëherë koordinatat e vektorit drejtues të kësaj vije të drejtë - ato jepen me numra në emëruesit e thyesave, d.m.th. . Ekuacionet parametrike të një vije të drejtë në hapësirë ​​gjithashtu bëjnë të mundur që menjëherë të shënohen koordinatat e vektorit të drejtimit - ato janë të barabarta me koeficientët përpara parametrit, d.m.th. - vektori i drejtimit drejt . Kështu, ne kemi të gjitha të dhënat e nevojshme për të aplikuar formulën me të cilën llogaritet këndi midis vijave të animuara:

Përgjigje:

Këndi ndërmjet vijave anore të dhëna është .

Shembull.

Gjeni sinusin dhe kosinusin e këndit ndërmjet vijave anore në të cilat shtrihen skajet AD dhe BC të piramidës ABCD, nëse dihen koordinatat e kulmeve të saj:.

Vendimi.

Vektorët e drejtimit të vijave kryqëzuese AD dhe BC janë vektorët dhe . Le të llogarisim koordinatat e tyre si ndryshim midis koordinatave përkatëse të pikave fundore dhe fillestare të vektorit:

Sipas formulës ne mund të llogarisim kosinusin e këndit midis vijave të lakuara të dhëna:

Tani llogarisim sinusin e këndit midis vijave të animuara: