Probabiliteti është një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. Ekzistojnë disa përkufizime të këtij koncepti. Le të japim një përkufizim që quhet klasik.
Probabiliteti ngjarja është raporti i numrit të rezultateve elementare që favorizojnë një ngjarje të caktuar me numrin e të gjitha rezultateve po aq të mundshme të përvojës në të cilat mund të shfaqet kjo ngjarje.
Probabiliteti i një ngjarje A shënohet me P(A)(këtu R- shkronja e parë e fjalës franceze probabiliteti- probabiliteti).
Sipas përcaktimit
ku është numri i rezultateve të testit elementar që favorizojnë shfaqjen e ngjarjes;
Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme elementare të gjykimit.
Ky përkufizim i probabilitetit quhet klasike. Ajo u ngrit në fazën fillestare të zhvillimit të teorisë së probabilitetit.
Numri shpesh referohet si frekuenca relative e ndodhjes së ngjarjes. POR në përvojë.
Sa më i madh të jetë probabiliteti i një ngjarjeje, aq më shpesh ndodh dhe anasjelltas, sa më i ulët të jetë probabiliteti i një ngjarjeje, aq më rrallë ndodh. Kur probabiliteti i një ngjarjeje është afër një ose i barabartë me një, atëherë ajo ndodh pothuajse në të gjitha sprovat. Një ngjarje e tillë thuhet të jetë pothuajse e sigurt, d.m.th., që me siguri mund të mbështetet në ofensivën e tij.
Në të kundërt, kur probabiliteti është zero ose shumë i vogël, atëherë ngjarja ndodh jashtëzakonisht rrallë; një ngjarje e tillë thuhet të jetë pothuajse e pamundur.
Ndonjëherë probabiliteti shprehet si përqindje: R(A) 100%është përqindja mesatare e numrit të dukurive të ngjarjes A.
Shembulli 2.13. Kur thirrni një numër telefoni, pajtimtari harroi një shifër dhe e thirri atë në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që shifra e dëshiruar të jetë thirrur.
Vendimi.
Shënoni me POR ngjarje - "numri i kërkuar është thirrur".
Abonenti mund të thirrë cilindo nga 10 shifrat, kështu që numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme elementare është 10. Këto rezultate janë të papajtueshme, po aq të mundshme dhe formojnë një grup të plotë. Favorizon ngjarjen POR vetëm një rezultat (numri i kërkuar është vetëm një).
Probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve që favorizojnë ngjarjen me numrin e të gjitha rezultateve elementare:
Formula klasike e probabilitetit ofron një mënyrë shumë të thjeshtë për të llogaritur probabilitetet që nuk kërkon eksperimentim. Megjithatë, thjeshtësia e kësaj formule është shumë mashtruese. Fakti është se kur e përdorni, si rregull, lindin dy pyetje shumë të vështira:
1. Si të zgjidhni një sistem të rezultateve të përvojës në mënyrë që ato të jenë njësoj të mundshme, dhe a është e mundur të bëhet kjo fare?
2. Si të gjeni numrat m dhe n?
Nëse në një eksperiment përfshihen shumë subjekte, nuk është gjithmonë e lehtë të shihen rezultate po aq të mundshme.
Filozofi dhe matematikani i madh francez d'Alembert hyri në historinë e teorisë së probabilitetit me gabimin e tij të famshëm, thelbi i të cilit ishte se ai përcaktoi gabimisht ekuiprobabilitetin e rezultateve në një eksperiment me vetëm dy monedha!
Shembulli 2.14. ( Gabim i d'Alembert). Hidhen dy monedha identike. Sa është probabiliteti që të bien në të njëjtën anë?
Zgjidhja e d'Alembert.
Përvoja ka tre rezultate po aq të mundshme:
1. Të dyja monedhat do të bien mbi “shqiponjën”;
2. Të dyja monedhat do të bien në "bisht";
3. Njëra prej monedhave do të bjerë mbi kokat, tjetra në bisht.
Zgjidhja e duhur.
Përvoja ka katër rezultate po aq të mundshme:
1. Monedha e parë do të bjerë mbi “shqiponjën”, e dyta edhe mbi “shqiponjën”;
2. Monedha e parë do të bjerë në “bisht”, e dyta do të bjerë edhe në “bisht”;
3. Monedha e parë do të bjerë mbi kokat dhe e dyta në bisht;
4. Monedha e parë do të bjerë në bisht, dhe e dyta në kokë.
Nga këto, dy rezultate do të jenë të favorshme për ngjarjen tonë, kështu që probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me .
d'Alembert bëri një nga gabimet më të zakonshme të bëra gjatë llogaritjes së probabilitetit: ai kombinoi dy rezultate elementare në një, duke e bërë kështu të pabarabartë në probabilitet me rezultatet e mbetura të eksperimentit.
“Randomiteti nuk është i rastësishëm”... Tingëllon sikur ka thënë një filozof, por në fakt studimi i aksidenteve është fati i shkencës së madhe të matematikës. Në matematikë, rastësia është teoria e probabilitetit. Formulat dhe shembujt e detyrave, si dhe përkufizimet kryesore të kësaj shkence do të paraqiten në artikull.
Çfarë është Teoria e Probabilitetit?
Teoria e probabilitetit është një nga disiplinat matematikore që studion ngjarjet e rastësishme.
Për ta bërë pak më të qartë, le të japim një shembull të vogël: nëse hedh një monedhë lart, ajo mund të bjerë koka ose bisht. Për sa kohë që monedha është në ajër, të dyja këto mundësi janë të mundshme. Kjo do të thotë, probabiliteti i pasojave të mundshme lidhet 1:1. Nëse dikush nxirret nga një kuvertë me 36 letra, atëherë probabiliteti do të tregohet si 1:36. Duket se nuk ka asgjë për të eksploruar dhe parashikuar, veçanërisht me ndihmën e formulave matematikore. Sidoqoftë, nëse përsëritni një veprim të caktuar shumë herë, atëherë mund të identifikoni një model të caktuar dhe, mbi bazën e tij, të parashikoni rezultatin e ngjarjeve në kushte të tjera.
Për të përmbledhur të gjitha sa më sipër, teoria e probabilitetit në kuptimin klasik studion mundësinë e ndodhjes së një prej ngjarjeve të mundshme në kuptimin numerik.
Nga faqet e historisë
Teoria e probabilitetit, formulat dhe shembujt e detyrave të para u shfaqën në mesjetën e largët, kur u shfaqën për herë të parë përpjekjet për të parashikuar rezultatin e lojërave me letra.
Fillimisht, teoria e probabilitetit nuk kishte asnjë lidhje me matematikën. Ajo justifikohej nga fakte empirike ose veti të një ngjarjeje që mund të riprodhohej në praktikë. Punimet e para në këtë fushë si disiplinë matematikore u shfaqën në shekullin e 17-të. Themeluesit ishin Blaise Pascal dhe Pierre Fermat. Për një kohë të gjatë ata studiuan lojërat e fatit dhe panë modele të caktuara, për të cilat vendosën t'i tregonin publikut.
E njëjta teknikë u shpik nga Christian Huygens, megjithëse ai nuk ishte i njohur me rezultatet e hulumtimit të Pascal dhe Fermat. Koncepti i "teorisë së probabilitetit", formula dhe shembuj, të cilët konsiderohen të parët në historinë e disiplinës, u prezantuan prej tij.
Jo pak rëndësi kanë veprat e Jacob Bernoulli-t, teoremat e Laplace-it dhe Poisson-it. Ata e bënë teorinë e probabilitetit më shumë si një disiplinë matematikore. Teoria e probabilitetit, formulat dhe shembujt e detyrave themelore morën formën e tyre aktuale falë aksiomave të Kolmogorov. Si rezultat i të gjitha ndryshimeve, teoria e probabilitetit është bërë një nga degët matematikore.
Konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. Ngjarjet
Koncepti kryesor i kësaj disipline është "ngjarja". Ngjarjet janë tre llojesh:
- E besueshme. Ato që do të ndodhin gjithsesi (monedha do të bjerë).
- E pamundur. Ngjarje që nuk do të ndodhin në asnjë skenar (monedha do të mbetet e varur në ajër).
- E rastësishme. Ato që do të ndodhin ose nuk do të ndodhin. Ato mund të ndikohen nga faktorë të ndryshëm që janë shumë të vështira për t'u parashikuar. Nëse flasim për një monedhë, atëherë faktorë të rastësishëm që mund të ndikojnë në rezultat: karakteristikat fizike të monedhës, forma e saj, pozicioni i saj fillestar, forca e hedhjes, etj.
Të gjitha ngjarjet në shembujt shënohen me shkronja të mëdha latine, me përjashtim të R, e cila ka një rol të ndryshëm. Për shembull:
- A = "studentët erdhën në leksion."
- Ā = "nxënësit nuk erdhën në leksion".
Në detyrat praktike, ngjarjet zakonisht regjistrohen me fjalë.
Një nga karakteristikat më të rëndësishme të ngjarjeve është mundësia e tyre e barabartë. Kjo do të thotë, nëse hedh një monedhë, të gjitha variantet e rënies fillestare janë të mundshme derisa të bjerë. Por edhe ngjarjet nuk janë po aq të mundshme. Kjo ndodh kur dikush ndikon qëllimisht në rezultatin. Për shembull, letra të "shënuara" të lojës ose zare, në të cilat qendra e gravitetit është zhvendosur.
Ngjarjet janë gjithashtu të pajtueshme dhe të papajtueshme. Ngjarjet e përputhshme nuk e përjashtojnë shfaqjen e njëra-tjetrës. Për shembull:
- A = "studenti erdhi në leksion."
- B = "studenti erdhi në leksion."
Këto ngjarje janë të pavarura nga njëra-tjetra dhe shfaqja e njërës prej tyre nuk ndikon në pamjen e tjetrës. Ngjarjet e papajtueshme përkufizohen me faktin se ndodhja e njërës përjashton ndodhjen e tjetrës. Nëse flasim për të njëjtën monedhë, atëherë humbja e “bishtave” e bën të pamundur shfaqjen e “kokave” në të njëjtin eksperiment.
Veprimet në ngjarje
Ngjarjet mund të shumëzohen dhe shtohen, përkatësisht, lidhëzat logjike "AND" dhe "OR" futen në disiplinë.
Shuma përcaktohet nga fakti se ngjarja A, ose B, ose të dyja mund të ndodhin në të njëjtën kohë. Në rastin kur ato janë të papajtueshme, opsioni i fundit është i pamundur, ose A ose B do të braktisin.
Shumëzimi i ngjarjeve konsiston në shfaqjen e A dhe B në të njëjtën kohë.
Tani mund të jepni disa shembuj për të kujtuar më mirë bazat, teorinë e probabilitetit dhe formulat. Shembuj të zgjidhjes së problemeve më poshtë.
Ushtrimi 1: Firma është në ofertë për kontrata për tre lloje pune. Ngjarjet e mundshme që mund të ndodhin:
- A = "firma do të marrë kontratën e parë."
- A 1 = "firma nuk do të marrë kontratën e parë."
- B = "firma do të marrë një kontratë të dytë."
- B 1 = "firma nuk do të marrë një kontratë të dytë"
- C = "firma do të marrë një kontratë të tretë."
- C 1 = "firma nuk do të marrë një kontratë të tretë."
Le të përpiqemi të shprehim situatat e mëposhtme duke përdorur veprime në ngjarje:
- K = "firma do të marrë të gjitha kontratat."
Në formën matematikore, ekuacioni do të duket kështu: K = ABC.
- M = "firma nuk do të marrë një kontratë të vetme."
M \u003d A 1 B 1 C 1.
Ne e ndërlikojmë detyrën: H = "firma do të marrë një kontratë." Meqenëse nuk dihet se cilën kontratë do të marrë firma (e para, e dyta apo e treta), është e nevojshme të regjistrohet e gjithë gama e ngjarjeve të mundshme:
H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
Dhe 1 BC 1 është një seri ngjarjesh ku firma nuk merr kontratën e parë dhe të tretë, por merr të dytën. Ngjarjet e tjera të mundshme regjistrohen gjithashtu me metodën përkatëse. Simboli υ në disiplinë tregon një grumbull "OR". Nëse shembullin e mësipërm e përkthejmë në gjuhën njerëzore, atëherë kompania do të marrë ose kontratën e tretë, ose të dytën, ose të parën. Në mënyrë të ngjashme, mund të shkruani kushte të tjera në disiplinën "Teoria e probabilitetit". Formulat dhe shembujt e zgjidhjes së problemeve të paraqitura më sipër do t'ju ndihmojnë ta bëni vetë.
Në fakt, probabiliteti
Ndoshta, në këtë disiplinë matematikore, probabiliteti i një ngjarjeje është një koncept qendror. Ekzistojnë 3 përkufizime të probabilitetit:
- klasike;
- statistikore;
- gjeometrike.
Secila ka vendin e vet në studimin e probabiliteteve. Teoria e probabilitetit, formulat dhe shembujt (klasa 9) përdorin kryesisht përkufizimin klasik, i cili tingëllon si ky:
- Probabiliteti i situatës A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve që favorizojnë shfaqjen e saj me numrin e të gjitha rezultateve të mundshme.
Formula duket si kjo: P (A) \u003d m / n.
Dhe, në fakt, një ngjarje. Nëse ndodh e kundërta e A, ajo mund të shkruhet si Ā ose A 1 .
m është numri i rasteve të mundshme të favorshme.
n - të gjitha ngjarjet që mund të ndodhin.
Për shembull, A \u003d "nxirr një kartë kostum zemre". Ka 36 letra në një kuvertë standarde, 9 prej tyre janë me zemra. Prandaj, formula për zgjidhjen e problemit do të duket si kjo:
P(A)=9/36=0,25.
Si rezultat, probabiliteti që një kartë e përshtatshme për zemrën të tërhiqet nga kuverta do të jetë 0.25.
në matematikë të lartë
Tani është bërë pak e njohur se çfarë është teoria e probabilitetit, formula dhe shembuj të zgjidhjes së detyrave që hasen në kurrikulën shkollore. Megjithatë, teoria e probabilitetit gjendet edhe në matematikën e lartë, e cila mësohet në universitete. Më shpesh, ato funksionojnë me përkufizime gjeometrike dhe statistikore të teorisë dhe formulave komplekse.
Teoria e probabilitetit është shumë interesante. Formulat dhe shembujt (matematika e lartë) është më mirë të filloni të mësoni nga një i vogël - nga një përkufizim statistikor (ose frekuencë) i probabilitetit.
Qasja statistikore nuk bie ndesh me qasjen klasike, por e zgjeron pak atë. Nëse në rastin e parë ishte e nevojshme të përcaktohet se me çfarë shkalle probabiliteti do të ndodhë një ngjarje, atëherë në këtë metodë është e nevojshme të tregohet se sa shpesh do të ndodhë. Këtu prezantohet një koncept i ri i "frekuencës relative", i cili mund të shënohet me W n (A). Formula nuk është e ndryshme nga ajo klasike:
Nëse formula klasike llogaritet për parashikim, atëherë ajo statistikore llogaritet sipas rezultateve të eksperimentit. Merrni, për shembull, një detyrë të vogël.
Departamenti i kontrollit teknologjik kontrollon produktet për cilësi. Nga 100 produkte, 3 rezultuan të ishin të cilësisë së dobët. Si të gjeni probabilitetin e frekuencës së një produkti cilësor?
A = "shfaqja e një produkti cilësor."
W n (A)=97/100=0,97
Kështu, frekuenca e një produkti cilësor është 0.97. Nga e morët 97? Nga 100 produkte që u kontrolluan, 3 rezultuan të cilësisë së dobët. Ne zbresim 3 nga 100, marrim 97, kjo është sasia e një produkti cilësor.
Pak për kombinatorikën
Një metodë tjetër e teorisë së probabilitetit quhet kombinatorika. Parimi i tij themelor është se nëse një zgjedhje e caktuar A mund të bëhet në m mënyra të ndryshme, dhe një zgjedhje B në n mënyra të ndryshme, atëherë zgjedhja e A dhe B mund të bëhet duke shumëzuar.
Për shembull, ka 5 rrugë nga qyteti A në qytetin B. Ka 4 rrugë nga qyteti B në qytetin C. Sa mënyra ka për të shkuar nga qyteti A në qytetin C?
Është e thjeshtë: 5x4 = 20, domethënë ka njëzet mënyra të ndryshme për të kaluar nga pika A në pikën C.
Le ta bëjmë detyrën më të vështirë. Sa mënyra ka për të luajtur letra në diamant? Në një kuvertë prej 36 letrash, kjo është pika e fillimit. Për të zbuluar numrin e mënyrave, duhet të "zbrisni" një kartë nga pika e fillimit dhe të shumëzoni.
Kjo do të thotë, 36x35x34x33x32…x2x1= rezultati nuk përshtatet në ekranin e kalkulatorit, kështu që thjesht mund të shënohet si 36!. Shenjë "!" pranë numrit tregon se e gjithë seria e numrave shumëzohet mes tyre.
Në kombinatorikë, ekzistojnë koncepte të tilla si ndërrimi, vendosja dhe kombinimi. Secila prej tyre ka formulën e vet.
Një grup i renditur i elementeve të grupit quhet plan urbanistik. Vendosjet mund të jenë të përsëritura, që do të thotë se një element mund të përdoret disa herë. Dhe pa përsëritje, kur elementet nuk përsëriten. n janë të gjithë elementët, m janë elementët që marrin pjesë në vendosje. Formula për vendosjen pa përsëritje do të duket si kjo:
A n m =n!/(n-m)!
Lidhjet e n elementeve që ndryshojnë vetëm në radhën e vendosjes quhen permutacione. Në matematikë, kjo duket si: P n = n!
Kombinimet e n elementeve me m janë komponime të tilla në të cilat është e rëndësishme se cilët elementë ishin dhe sa është numri i tyre i përgjithshëm. Formula do të duket si kjo:
A n m =n!/m!(n-m)!
Formula e Bernulit
Në teorinë e probabilitetit, si dhe në çdo disiplinë, ka vepra të studiuesve të shquar në fushën e tyre, të cilët e kanë çuar atë në një nivel të ri. Një nga këto vepra është formula e Bernoulli, e cila ju lejon të përcaktoni probabilitetin që një ngjarje e caktuar të ndodhë në kushte të pavarura. Kjo sugjeron që shfaqja e A në një eksperiment nuk varet nga shfaqja ose mosndodhja e së njëjtës ngjarje në testet e mëparshme ose të mëvonshme.
Ekuacioni i Bernoulli:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .
Probabiliteti (p) i ndodhjes së ngjarjes (A) është i pandryshuar për çdo provë. Probabiliteti që situata të ndodhë saktësisht m herë në n numër eksperimentesh do të llogaritet me formulën e paraqitur më sipër. Prandaj, lind pyetja se si të zbulohet numri q.
Nëse ngjarja A ndodh p disa herë, në përputhje me rrethanat, ajo mund të mos ndodhë. Një njësi është një numër që përdoret për të përcaktuar të gjitha rezultatet e një situate në një disiplinë. Prandaj, q është një numër që tregon mundësinë që ngjarja të mos ndodhë.
Tani ju e dini formulën e Bernulit (teoria e probabilitetit). Shembuj të zgjidhjes së problemeve (niveli i parë) do të shqyrtohen më poshtë.
Detyra 2: Një vizitor i dyqanit do të bëjë një blerje me një probabilitet prej 0.2. 6 vizitorë hynë në dyqan në mënyrë të pavarur. Sa është probabiliteti që një vizitor të bëjë një blerje?
Zgjidhja: Meqenëse nuk dihet se sa vizitorë duhet të bëjnë një blerje, një apo të gjashtë, është e nevojshme të llogariten të gjitha probabilitetet e mundshme duke përdorur formulën Bernoulli.
A = "vizitori do të bëjë një blerje."
Në këtë rast: p = 0.2 (siç tregohet në detyrë). Prandaj, q=1-0,2 = 0,8.
n = 6 (sepse ka 6 klientë në dyqan). Numri m do të ndryshojë nga 0 (asnjë klient nuk do të bëjë një blerje) në 6 (të gjithë vizitorët e dyqanit do të blejnë diçka). Si rezultat, marrim zgjidhjen:
P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0,8) 6 \u003d 0,2621.
Asnjë nga blerësit nuk do të bëjë një blerje me një probabilitet prej 0.2621.
Si përdoret ndryshe formula e Bernulit (teoria e probabilitetit)? Shembuj të zgjidhjes së problemeve (niveli i dytë) më poshtë.
Pas shembullit të mësipërm, lindin pyetje se ku kanë shkuar C dhe p. Në lidhje me p, një numër në fuqinë 0 do të jetë i barabartë me një. Sa për C, ajo mund të gjendet me formulën:
C n m = n! /m!(n-m)!
Meqenëse në shembullin e parë m = 0, përkatësisht, C=1, që në parim nuk ndikon në rezultat. Duke përdorur formulën e re, le të përpiqemi të zbulojmë se cila është probabiliteti i blerjes së mallrave nga dy vizitorë.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.
Teoria e probabilitetit nuk është aq e ndërlikuar. Formula e Bernulit, shembujt e së cilës janë paraqitur më sipër, është një provë e drejtpërdrejtë e kësaj.
Formula Poisson
Ekuacioni Poisson përdoret për të llogaritur situata të rastësishme të pamundura.
Formula bazë:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
Në këtë rast, λ = n x p. Këtu është një formulë kaq e thjeshtë Poisson (teoria e probabilitetit). Shembuj të zgjidhjes së problemeve do të shqyrtohen më poshtë.
Detyra 3 Përgjigje: Fabrika prodhoi 100,000 pjesë. Pamja e një pjese me defekt = 0.0001. Sa është probabiliteti që të ketë 5 pjesë të dëmtuara në një grumbull?
Siç mund ta shihni, martesa është një ngjarje e pamundur, dhe për këtë arsye formula Poisson (teoria e probabilitetit) përdoret për llogaritjen. Shembujt e zgjidhjes së problemeve të këtij lloji nuk ndryshojnë nga detyrat e tjera të disiplinës, ne zëvendësojmë të dhënat e nevojshme në formulën e mësipërme:
A = "një pjesë e zgjedhur rastësisht do të jetë me defekt."
p = 0,0001 (sipas kushtit të caktimit).
n = 100000 (numri i pjesëve).
m = 5 (pjesë me defekt). Ne zëvendësojmë të dhënat në formulë dhe marrim:
R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0,0375.
Ashtu si formula e Bernulit (teoria e probabilitetit), shembujt e zgjidhjeve duke përdorur të cilat janë shkruar më sipër, ekuacioni Poisson ka një e të panjohur. Në thelb, ai mund të gjendet me formulën:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Megjithatë, ka tabela të veçanta që përmbajnë pothuajse të gjitha vlerat e e.
Teorema e De Moivre-Laplace
Nëse në skemën Bernoulli numri i provave është mjaft i madh dhe probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në të gjitha skemat është i njëjtë, atëherë probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A një numër të caktuar herë në një seri provash mund të gjendet me formula e Laplace:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
Xm = m-np/√npq.
Për të kujtuar më mirë formulën Laplace (teoria e probabilitetit), shembuj të detyrave për të ndihmuar më poshtë.
Së pari gjejmë X m, i zëvendësojmë të dhënat (të gjitha janë treguar më lart) në formulë dhe marrim 0.025. Duke përdorur tabelat, gjejmë numrin ϕ (0,025), vlera e të cilit është 0,3988. Tani mund të zëvendësoni të gjitha të dhënat në formulën:
P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 \u003d 3/40 x 0,3988 \u003d 0,03.
Pra, probabiliteti që fletushka të godasë saktësisht 267 herë është 0.03.
Formula e Bayes
Formula e Bayes (teoria e probabilitetit), shembuj të zgjidhjes së detyrave duke përdorur të cilat do të jepen më poshtë, është një ekuacion që përshkruan probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në rrethanat që mund të shoqërohen me të. Formula kryesore është si më poshtë:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A dhe B janë ngjarje të përcaktuara.
P(A|B) - probabiliteti i kushtëzuar, domethënë ngjarja A mund të ndodhë, me kusht që ngjarja B të jetë e vërtetë.
Р (В|А) - probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes В.
Pra, pjesa e fundit e kursit të shkurtër "Teoria e probabilitetit" është formula e Bayes, shembuj të zgjidhjes së problemave me të cilat janë më poshtë.
Detyra 5: Në magazinë janë sjellë telefona nga tre kompani. Në të njëjtën kohë, një pjesë e telefonave që prodhohen në fabrikën e parë është 25%, në të dytin - 60%, në të tretën - 15%. Dihet gjithashtu se përqindja mesatare e produkteve me defekt në fabrikën e parë është 2%, në të dytën - 4%, dhe në të tretën - 1%. Është e nevojshme të gjendet probabiliteti që një telefon i zgjedhur rastësisht të jetë me defekt.
A = "telefon i marrë rastësisht."
B 1 - telefoni që bëri fabrika e parë. Prandaj, do të shfaqen B 2 dhe B 3 hyrëse (për fabrikat e dyta dhe të treta).
Si rezultat, marrim:
P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0,25; P (B 2) \u003d 0,6; P (B 3) \u003d 0.15 - kështu që gjetëm probabilitetin e secilit opsion.
Tani ju duhet të gjeni probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes së dëshiruar, domethënë probabilitetin e produkteve me defekt në firma:
P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;
P (A / B 2) \u003d 0,04;
P (A / B 3) \u003d 0,01.
Tani ne i zëvendësojmë të dhënat në formulën Bayes dhe marrim:
P (A) \u003d 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 \u003d 0,0305.
Artikulli paraqet teorinë e probabilitetit, formulat dhe shembujt e zgjidhjes së problemeve, por kjo është vetëm maja e ajsbergut të një disipline të gjerë. Dhe pas gjithë asaj që është shkruar, do të jetë logjike të shtrohet pyetja nëse teoria e probabilitetit është e nevojshme në jetë. Është e vështirë për një person të thjeshtë të përgjigjet, është më mirë të pyesësh dikë që ka goditur xhekpotin më shumë se një herë me ndihmën e saj.
Bazat e teorisë së probabilitetit
Plani:
1. Ngjarje të rastësishme
2. Përkufizimi klasik i probabilitetit
3. Llogaritja e probabiliteteve të ngjarjeve dhe e kombinatorikës
4. Probabiliteti gjeometrik
Informacion teorik
Ngjarje të rastësishme.
fenomen i rastësishëm- një fenomen, rezultati i të cilit përcaktohet pa mëdyshje. Ky koncept mund të interpretohet në një kuptim mjaft të gjerë. Domethënë: çdo gjë në natyrë është krejt aksidentale, paraqitja dhe lindja e çdo individi është një fenomen i rastësishëm, zgjedhja e mallrave në një dyqan është gjithashtu një fenomen i rastësishëm, marrja e një note në provim është një fenomen i rastësishëm, sëmundja dhe shërimi janë të rastësishme. dukuritë etj.
Shembuj të dukurive të rastësishme:
~ Xhirimi kryhet nga një armë e vendosur në një kënd të caktuar në horizont. Goditja e tij në objektiv është aksidentale, por goditja e një predhe në një "pirun" të caktuar është një model. Ju mund të specifikoni distancën më afër se dhe përtej së cilës predha nuk do të fluturojë. Merrni pak "dispersion me pirun të predhave"
~ I njëjti trup peshohet disa herë. Në mënyrë të rreptë, rezultate të ndryshme do të merren çdo herë, megjithëse ndryshojnë në një sasi të vogël, por të ndryshme.
~ Një avion që fluturon përgjatë të njëjtës rrugë ka një korridor të caktuar fluturimi brenda të cilit avioni mund të manovrojë, por kurrë nuk do të ketë saktësisht të njëjtën rrugë
~ Një atlet nuk do të jetë kurrë në gjendje të vrapojë të njëjtën distancë me të njëjtën kohë. Rezultatet e tij do të jenë gjithashtu brenda një diapazoni të caktuar numerik.
Përvoja, eksperimenti, vëzhgimi janë teste
Gjyqi- vëzhgimi ose përmbushja e një grupi të caktuar kushtesh që kryhen në mënyrë të përsëritur, dhe përsëriten rregullisht në këtë dhe të njëjtën sekuencë, kohëzgjatje, duke respektuar parametra të tjerë identikë.
Le të shqyrtojmë performancën nga sportisti i një gjuajtje në objektiv. Që të prodhohet duhet të plotësohen kushte të tilla si përgatitja e sportistit, mbushja e armës, synimi etj. "Hit" dhe "miss" janë ngjarje si rezultat i një goditjeje.
Ngjarja- rezultati cilësor i testit.
Një ngjarje mund ose nuk mund të ndodhë Ngjarjet tregohen me shkronja të mëdha latine. Për shembull: D ="Qiësuesi goditi objektivin". S="Top i bardhë i tërhequr". K="Biletë e rastësishme llotarie pa fituar.".
Hedhja e një monedhe është një provë. Rënia e "stemës" së saj është një ngjarje, rënia e "numrit" të saj është ngjarja e dytë.
Çdo test përfshin shfaqjen e disa ngjarjeve. Disa prej tyre mund të nevojiten në një kohë të caktuar nga studiuesi, ndërsa të tjerat mund të mos jenë të nevojshme.
Ngjarja quhet e rastësishme, nëse nën zbatimin e një grupi të caktuar kushtesh S mund të ndodhë ose të mos ndodhë. Në vijim, në vend që të themi "është plotësuar grupi i kushteve S", do të themi shkurt: "prova u krye". Kështu, ngjarja do të konsiderohet si rezultat i testit.
~ Qitësi gjuan në një objektiv të ndarë në katër zona. Goditja është një provë. Goditja e një zone të caktuar të objektivit është një ngjarje.
~ Ka topa me ngjyra në urnë. Një top nxirret rastësisht nga urna. Heqja e një topi nga një urnë është një provë. Shfaqja e një topi të një ngjyre të caktuar është një ngjarje.
Llojet e ngjarjeve të rastësishme
1. Ngjarjet thuhet se janë të papajtueshme nëse ndodhja e njërës prej tyre përjashton ndodhjen e ngjarjeve të tjera në të njëjtin gjykim.
~ Një pjesë është marrë rastësisht nga një kuti me pjesë. Pamja e një pjese standarde përjashton pamjen e një pjese jo standarde. Ngjarje € u shfaq një pjesë standarde" dhe me një pjesë jo standarde u shfaq" - e papajtueshme.
~ Hidhet një monedhë. Pamja e "stemës" përjashton pamjen e mbishkrimit. Ngjarjet "u shfaq një stemë" dhe "u shfaq një mbishkrim" janë të papajtueshme.
Formohen disa ngjarje grupi i plotë, nëse të paktën njëri prej tyre shfaqet si rezultat i testit. Me fjalë të tjera, ndodhja e të paktën një prej ngjarjeve të grupit të plotë është një ngjarje e caktuar.
Në veçanti, nëse ngjarjet që formojnë një grup të plotë janë të papajtueshme në çift, atëherë si rezultat i testit do të shfaqet një dhe vetëm një nga këto ngjarje. Ky rast i veçantë është me interes më të madh për ne, pasi përdoret më poshtë.
~ Janë blerë dy bileta të shortit të parave dhe veshjeve. Një dhe vetëm një nga ngjarjet e mëposhtme duhet të ndodhë:
1. "fitimet ranë në biletën e parë dhe nuk ranë në të dytën",
2. "fitimet nuk ranë në biletën e parë dhe ranë në të dytën",
3. "fitimet ranë në të dyja biletat",
4. "të dyja biletat nuk fituan."
Këto ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift,
~ Qitësi qëlloi me një plumb në objektiv. Një nga dy ngjarjet e mëposhtme është e sigurt që do të ndodhë: godit, humb. Këto dy ngjarje të ndara gjithashtu formojnë një grup të plotë.
2. Ngjarjet quhen po aq e mundur nëse ka arsye për të besuar se asnjëra nuk është më e mundshme se tjetra.
~ Shfaqja e një "steme" dhe shfaqja e një mbishkrimi kur hidhet një monedhë janë ngjarje po aq të mundshme. Në të vërtetë, supozohet se monedha është bërë nga një material homogjen, ka një formë cilindrike të rregullt dhe prania e një prerje monedhash nuk ndikon në humbjen e njërës ose tjetrës anë të monedhës.
~ Shfaqja e një numri pikësh në një zare të hedhur është një ngjarje po aq e mundshme. Në të vërtetë, supozohet se koka është bërë nga një material homogjen, ka formën e një poliedri të rregullt dhe prania e pikave nuk ndikon në humbjen e asnjë fytyre.
3. Ngjarja quhet autentike, nëse nuk mund të ndodhë
4. Ngjarja quhet jo i besueshëm nëse nuk mund të ndodhë.
5. Ngjarja quhet e kundërt ndaj ndonjë ngjarjeje nëse konsiston në mosngjarje të ngjarjes së dhënë. Ngjarjet e kundërta nuk janë të përputhshme, por njëra prej tyre duhet domosdoshmërisht të ndodhë. Ngjarjet e kundërta zakonisht quhen mohime, d.m.th. shkruhet një vizë sipër shkronjës. Ngjarjet janë të kundërta: A dhe Ā; U dhe Ū, etj. .
Përkufizimi klasik i probabilitetit
Probabiliteti është një nga konceptet bazë të teorisë së probabilitetit.
Ekzistojnë disa përkufizime të këtij koncepti. Le të japim një përkufizim që quhet klasik. Më pas, vëmë në dukje dobësitë e këtij përkufizimi dhe japim përkufizime të tjera që bëjnë të mundur tejkalimin e mangësive të përkufizimit klasik.
Merrni parasysh situatën: Një kuti përmban 6 topa identikë, 2 të kuq, 3 të kaltër dhe 1 të bardhë. Natyrisht, mundësia për të nxjerrë një top me ngjyrë (d.m.th., të kuq ose blu) në mënyrë të rastësishme nga një urnë është më e madhe se mundësia e vizatimit të një topi të bardhë. Kjo mundësi mund të karakterizohet nga një numër, i cili quhet probabiliteti i një ngjarjeje (shfaqja e një topi me ngjyrë).
Probabiliteti- një numër që karakterizon shkallën e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes.
Në situatën në shqyrtim, shënojmë:
Ngjarja A = "Nxjerrja e një topi me ngjyrë".
Secili prej rezultateve të mundshme të testit (testi konsiston në nxjerrjen e një topi nga urna) quhet rezultati dhe ngjarja elementare (e mundshme). Rezultatet elementare mund të shënohen me shkronja me indekset më poshtë, për shembull: k 1 , k 2 .
Në shembullin tonë, ka 6 topa, pra ka 6 rezultate të mundshme: u shfaq një top i bardhë; u shfaq një top i kuq; u shfaq një top blu, e kështu me radhë. Është e lehtë të shihet se këto rezultate formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme në çift (vetëm një top do të shfaqet domosdoshmërisht) dhe ato janë po aq të mundshme (topi nxirret në mënyrë të rastësishme, topat janë të njëjtë dhe të përzier plotësisht).
Rezultatet elementare, në të cilat ndodh ngjarja me interes për ne, do t'i quajmë rezultate të favorshme këtë ngjarje. Në shembullin tonë, ngjarja është e favorizuar POR(shfaqja e një topi me ngjyrë) 5 rezultatet e mëposhtme:
Kështu ngjarja POR vërehet nëse një ndodh në test, pa marrë parasysh se cili prej rezultateve elementare që favorizojnë POR. Kjo është pamja e çdo topi me ngjyrë, nga të cilat ka 5 pjesë në kuti
Në shembullin e konsideruar të rezultateve elementare 6; nga të cilat 5 favorizojnë ngjarjen POR. Prandaj, P(A)= 5/6. Ky numër jep atë kuantifikimin e shkallës së mundësisë së shfaqjes së një topi me ngjyrë.
Përkufizimi i probabilitetit:
Probabiliteti i ngjarjes Aështë raporti i numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të të gjitha rezultateve elementare të papajtueshme po aq të mundshme që formojnë një grup të plotë.
P(A)=m/n ose P(A)=m: n, ku:
m është numri i rezultateve elementare që favorizojnë POR;
P- numri i të gjitha rezultateve të mundshme elementare të testit.
Këtu supozohet se rezultatet elementare janë të papajtueshme, po aq të mundshme dhe përbëjnë një grup të plotë.
Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:
1. Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një.
Në të vërtetë, nëse ngjarja është e besueshme, atëherë çdo rezultat elementar i testit favorizon ngjarjen. Në këtë rast m = n pra p=1
2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.
Në të vërtetë, nëse ngjarja është e pamundur, atëherë asnjë nga rezultatet elementare të gjykimit nuk e favorizon ngjarjen. Në këtë rast m=0, pra p=0.
3.Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv midis zeros dhe një. 0
Në temat vijuese do të jepen teorema që lejojnë, nga probabilitetet e njohura të disa ngjarjeve, të gjejmë probabilitetet e ngjarjeve të tjera.
Matja. Në grupin e nxënësve janë 6 vajza dhe 4 djem. Sa është probabiliteti që një student i përzgjedhur rastësisht të jetë vajzë? do të jetë një djalë i ri?
p dev = 6 / 10 = 0,6 p qershor = 4 / 10 = 0,4
Koncepti i "probabilitetit" në kurset moderne rigoroze të teorisë së probabilitetit është ndërtuar mbi një bazë teorike të grupeve. Le të hedhim një vështrim në disa nga kjo qasje.
Supozoni se si rezultat i testit ndodh një dhe vetëm një nga ngjarjet e mëposhtme: w i(i=1, 2, .... n). Ngjarjet w i, quhet ngjarje elementare (rezultatet elementare). O rrjedh se ngjarjet elementare janë të papajtueshme në çift. Grupi i të gjitha ngjarjeve elementare që mund të shfaqen në një gjykim quhet hapësirë elementare e ngjarjeveΩ (shkronja greke omega kapitale), dhe vetë ngjarjet elementare - pika në këtë hapësirë..
Ngjarja POR identifikuar me një nëngrup (të hapësirës Ω) elementët e së cilës janë rezultate elementare favorizuese POR; ngjarje ATështë një nëngrup Ω, elementët e të cilit janë rezultate që favorizojnë AT, etj Kështu, bashkësia e të gjitha ngjarjeve që mund të ndodhin në test është bashkësia e të gjitha nëngrupeve të Ω. Vetë Ω ndodh me çdo rezultat të testit, prandaj Ω është një ngjarje e caktuar; një nëngrup bosh i hapësirës Ω është një ngjarje -e pamundur (nuk ndodh për asnjë rezultat të testit).
Ngjarjet elementare dallohen nga të gjitha ngjarjet sipas temave, "secila prej tyre përmban vetëm një element Ω
Për çdo rezultat elementar w i përputhen me një numër pozitiv p iështë probabiliteti i këtij rezultati dhe shuma e të gjithave p i e barabartë me 1 ose me shenjën e shumës, ky fakt do të shkruhet si shprehje:
Sipas përkufizimit, probabiliteti P(A) ngjarjet PORështë e barabartë me shumën e probabiliteteve të rezultateve elementare favorizuese POR. Prandaj, probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një, e pamundur - në zero, arbitrare - është midis zeros dhe një.
Le të shqyrtojmë një rast të veçantë të rëndësishëm, kur të gjitha rezultatet janë njësoj të mundshme.Numri i rezultateve është i barabartë me n, shuma e probabiliteteve të të gjitha rezultateve është e barabartë me një; prandaj probabiliteti i secilit rezultat është 1/n. Lëreni ngjarjen POR favorizon m rezultate.
Probabiliteti i ngjarjes PORështë e barabartë me shumën e probabiliteteve të rezultateve favorizuese POR:
P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1
Është marrë përkufizimi klasik i probabilitetit.
Ende ka aksiomatike qasja ndaj konceptit të "probabilitetit". Në sistemin e aksiomave të propozuara. Kolmogorov A.N., konceptet e papërcaktuara janë ngjarje elementare dhe probabilitet. Ndërtimi i një teorie probabiliteti të plotë logjikisht bazohet në përkufizimin aksiomatik të një ngjarjeje të rastësishme dhe probabilitetit të saj.
Këtu janë aksiomat që përcaktojnë probabilitetin:
1. Çdo ngjarje POR i është caktuar një numër real jo negativ P(A). Ky numër quhet probabiliteti i ngjarjes. POR.
2. Probabiliteti i një ngjarje të caktuar është i barabartë me një:
3. Probabiliteti i ndodhjes së të paktën një prej ngjarjeve të papajtueshme në çift është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.
Bazuar në këto aksioma, vetitë e probabiliteteve për marrëdhënien ndërmjet tyre nxirren si teorema.
Për aktivitetet praktike, është e rëndësishme të jeni në gjendje të krahasoni ngjarjet sipas shkallës së mundësisë së ndodhjes së tyre. Natyrisht, ngjarjet - "reshje shiu" dhe "reshje bore" në ditën e parë të verës në një zonë të caktuar, "fitimi i një bilete" dhe "fitimi i secilës prej 5 biletave të blera" të lotarisë së parave dhe veshjeve kanë shkallë të ndryshme mundësie të ndodhjen e tyre. Prandaj, nevojitet një masë e caktuar për të krahasuar ngjarjet.
Për të përcaktuar shkallën e mundësisë së një ngjarjeje të rastësishme, përdoret termi probabilitet.
Le të vendosim detyrën për të përcaktuar sasinë e mundësisë që 4 pikë të bien kur hedhin një za. Humbja e katër pikëve do të konsiderohet si ngjarja A. Secili prej rezultateve të mundshme të testit (test - hedhja e zarit) do të quhet rezultat elementar (ngjarje elementare). Në shembullin tonë, 6 rezultatet e mëposhtme elementare janë të mundshme: 1 pikë, 2 pikë, 3 pikë, 4 pikë, 5 pikë, 6 pikë. Ato rezultate elementare në të cilat ndodh ngjarja me interes për ne, do t'i quajmë të favorshme për këtë ngjarje. Në shembullin tonë, nga gjashtë rezultate elementare, ngjarja A favorizohet nga një. Prandaj, probabiliteti që numri i pikave të rrotulluara të jetë i barabartë me 4 është i barabartë me 1/6. Ky numër jep vlerësimin sasior të shkallës së mundësisë së shfaqjes së katër pikave, të cilat ne donim të gjenim.
Sipas përkufizimit klasik, probabiliteti i një ngjarje A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme për këtë ngjarje me numrin total të rezultateve elementare po aq të mundshme.
Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:
Vetia 1. Probabiliteti i një ngjarjeje të caktuar është i barabartë me një.
P(A) = m/n = n/n = 1.
Vetia 2. Probabiliteti i një ngjarjeje të pamundur është zero.
P(A) = m/n = 0/n = 0.
Vetia 3. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme është një numër pozitiv ndërmjet zeros dhe njës.
0
P(A) 
1.
Shembulli 1. Në territorin e ndërmarrjes ka ndodhur një dështim i furnizimit me ujë. Gjatësia totale e ujësjellësit është 150 m. Përfshirë 50 m të tubacionit bie në vende të vështira për t'u arritur. Sa është probabiliteti që riparimi do të duhet të bëhet në një zonë të vështirë për t'u arritur?
P(A) = 50/150 = 1/3
Shembulli 2. Një urnë përmban m topa të bardhë dhe n të zinj. Sa është probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë (ngjarja A)?
3. Përkufizimi statistikor i probabilitetit.
Duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit, mund të llogaritet probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme pa përdorur përvojë. Megjithatë, kjo nuk është gjithmonë e realizueshme, sepse në praktikë nuk është gjithmonë e mundur të vëzhgohet kushti i ekuiprobabilitetit që qëndron në themel të përkufizimit klasik.
Për shembull, nëse monedha është rrafshuar, atëherë ngjarjet "shfaqja e një steme" dhe "shfaqja e një numri" nuk mund të konsiderohen po aq të mundshme dhe formula (1) nuk do të zbatohet për të llogaritur probabilitetin e ndonjë prej tyre. . Për këtë arsye, krahas përkufizimit klasik, përdoret përkufizimi statistikor i probabilitetit.
Gjatë studimit të fenomeneve masive, një ngjarje e rastësishme ose ndryshore e rastësishme mund të shfaqet disa herë gjatë testit. Le të, për shembull, në n prova, ngjarja A u shfaq m herë. Numri m quhet frekuenca e ndodhjes së ngjarjes A. Raporti i shpeshtësisë së ngjarjes A me numrin total të provave P quhet shpeshtësia e ngjarjes ose frekuenca relative, e cila shënohet me
Nëse një ngjarje e rastësishme ka një frekuencë të qëndrueshme gjatë një serie provash, d.m.th. në çdo seri testesh, frekuenca e kësaj ngjarjeje ndryshon pak dhe luhatet rreth një numri të caktuar pozitiv, atëherë ky numër merret si probabilitet i kësaj ngjarjeje. Probabiliteti i llogaritur në këtë mënyrë quhet probabilitet statistikor.
(2)
Shembulli 1. Le ta kthejmë një monedhë 10 herë dhe të marrim, për shembull, rezultatet e mëposhtme:
|
G, G, C, G, C, |
G, C, G, C, 10) C, |
Me një rritje të numrit të testeve, luhatjet e frekuencës zvogëlohen dhe frekuenca bëhet praktikisht e qëndrueshme. Një frekuencë e tillë e qëndrueshme merret e barabartë me probabilitetin e ngjarjes me interes për ne.
Në shembullin e hedhjes së monedhës, numri i provave është arbitrar. Në fakt, për të marrë një vlerë të besueshme probabiliteti, numri i eksperimenteve duhet të jetë shumë më i madh.
Në ekonomi, si dhe në fusha të tjera të veprimtarisë njerëzore apo në natyrë, ne vazhdimisht duhet të përballemi me ngjarje që nuk mund të parashikohen saktë. Kështu, vëllimi i shitjeve të mallrave varet nga kërkesa, e cila mund të ndryshojë ndjeshëm, dhe nga një sërë faktorësh të tjerë që janë pothuajse të pamundur të merren parasysh. Prandaj, gjatë organizimit të prodhimit dhe shitjes, duhet të parashikohet rezultati i aktiviteteve të tilla në bazë të përvojës së mëparshme, ose përvojës së ngjashme të njerëzve të tjerë, ose intuitës, e cila gjithashtu bazohet kryesisht në të dhëna eksperimentale.
Për të vlerësuar disi ngjarjen në shqyrtim, është e nevojshme të merren parasysh ose të organizohen posaçërisht kushtet në të cilat është regjistruar kjo ngjarje.
Zbatimi i kushteve ose veprimeve të caktuara për të identifikuar ngjarjen në fjalë quhet përvojë ose eksperiment.
Ngjarja quhet e rastit nëse, si rezultat i eksperimentit, mund të ndodhë ose jo.
Ngjarja quhet autentike, nëse domosdoshmërisht shfaqet si rezultat i kësaj përvoje, dhe e pamundur nëse nuk mund të shfaqet në këtë përvojë.
Për shembull, reshjet e borës në Moskë më 30 nëntor janë një ngjarje e rastësishme. Lindja e përditshme e diellit mund të konsiderohet një ngjarje e caktuar. Reshjet e borës në ekuator mund të shihen si një ngjarje e pamundur.
Një nga problemet kryesore në teorinë e probabilitetit është problemi i përcaktimit të një mase sasiore të mundësisë së ndodhjes së një ngjarjeje.
Algjebra e ngjarjeve
Ngjarjet quhen të papajtueshme nëse nuk mund të vëzhgohen së bashku në të njëjtën përvojë. Pra, prania e dy dhe tre makinave në një dyqan në të njëjtën kohë janë dy ngjarje të papajtueshme.
shuma ngjarje është një ngjarje që konsiston në ndodhjen e të paktën një prej këtyre ngjarjeve
Një shembull i shumës së ngjarjeve është prania e të paktën një prej dy produkteve në një dyqan.
puna ngjarje quhet një ngjarje që konsiston në shfaqjen e njëkohshme të të gjitha këtyre ngjarjeve
Një ngjarje që konsiston në paraqitjen e dy mallrave në të njëjtën kohë në dyqan është produkt i ngjarjeve: - shfaqja e një produkti, - shfaqja e një produkti tjetër.
Ngjarjet formojnë një grup të plotë ngjarjesh nëse të paktën njëra prej tyre ndodh domosdoshmërisht në përvojë.
Shembull. Porti ka dy shtretër për anijet. Mund të konsiderohen tre ngjarje: - mungesa e anijeve në shtrat, - prania e një anijeje në një nga shtratet, - prania e dy anijeve në dy shtretër. Këto tre ngjarje formojnë një grup të plotë ngjarjesh.
E kundërt quhen dy ngjarje unike të mundshme që formojnë një grup të plotë.
Nëse një nga ngjarjet që janë të kundërta shënohet me , atëherë ngjarja e kundërt zakonisht shënohet me .
Përkufizime klasike dhe statistikore të probabilitetit të një ngjarjeje
Secili prej rezultateve (eksperimenteve) po aq të mundshme të testit quhet rezultat elementar. Zakonisht ato shënohen me shkronja. Për shembull, hidhet një zare. Mund të ketë gjashtë rezultate elementare sipas numrit të pikëve në anët.
Nga rezultatet elementare, mund të kompozoni një ngjarje më komplekse. Pra, ngjarja e një numri çift pikash përcaktohet nga tre rezultate: 2, 4, 6.
Një masë sasiore e mundësisë së ndodhjes së ngjarjes në shqyrtim është probabiliteti.
Dy përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje përdoren më gjerësisht: klasike dhe statistikore.
Përkufizimi klasik i probabilitetit lidhet me nocionin e një rezultati të favorshëm.
Eksodi quhet i favorshëm kjo ngjarje, nëse ndodhja e saj përfshin edhe ndodhjen e kësaj ngjarjeje.
Në shembullin e dhënë, ngjarja në shqyrtim është një numër çift pikash në skajin e rënë, ka tre rezultate të favorshme. Në këtë rast, gjenerali
numri i rezultateve të mundshme. Pra, këtu mund të përdorni përkufizimin klasik të probabilitetit të një ngjarjeje.
Përkufizimi klasikështë e barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin total të rezultateve të mundshme
ku është probabiliteti i ngjarjes, është numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen, është numri total i rezultateve të mundshme.
Në shembullin e konsideruar
Përkufizimi statistikor i probabilitetit shoqërohet me konceptin e shpeshtësisë relative të shfaqjes së një ngjarjeje në eksperimente.
Frekuenca relative e shfaqjes së një ngjarjeje llogaritet me formulën
ku është numri i ndodhjes së një ngjarjeje në një seri eksperimentesh (testesh).
Përkufizimi statistikor. Probabiliteti i një ngjarjeje është numri në lidhje me të cilin frekuenca relative stabilizohet (vendoset) me një rritje të pakufizuar të numrit të eksperimenteve.
Në problemet praktike, frekuenca relative për një numër mjaft të madh provash merret si probabilitet i një ngjarjeje.
Nga këto përkufizime të probabilitetit të një ngjarjeje, shihet se pabarazia qëndron gjithmonë
Për të përcaktuar probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në formulën (1.1), formulat e kombinatorikës përdoren shpesh për të gjetur numrin e rezultateve të favorshme dhe numrin total të rezultateve të mundshme.
