Abstrakt i di veçoritë e grafikës së tyre. Funksionet elementare bazë, vetitë dhe grafikët e tyre Funksionet elementare dhe grafikët e tyre

Sistemi i koordinatave - këto janë dy vija koordinative reciproke pingule që kryqëzohen në pikën që është origjina për secilën prej tyre.

Boshtet e koordinatave janë vijat që formojnë sistemin koordinativ.

abshisë(boshti x) është boshti horizontal.

boshti Y(boshti y) është boshti vertikal.

Funksioni

Funksioniështë një pasqyrim i elementeve të bashkësisë X me bashkësinë Y. Në këtë rast, çdo element x i grupit X korrespondon me një vlerë të vetme y të grupit Y.

Drejt

Funksioni linear është një funksion i formës y = a x + b ku a dhe b janë çdo numër.

Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë.

Konsideroni se si do të duket grafiku në varësi të koeficientëve a dhe b:

Nese nje a > 0 , vija do të kalojë nëpër tremujorët e koordinatave I dhe III.

Nese nje a< 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b është pika e prerjes së drejtëzës me boshtin y.

Nese nje a = 0, funksioni bëhet y = b.

Më vete, ne zgjedhim grafikun e ekuacionit x \u003d a.

E rëndësishme: ky ekuacion nuk është funksion, pasi përkufizimi i funksionit është shkelur (funksioni lidh çdo element x të bashkësisë X me një vlerë të vetme y të bashkësisë Y). Ky ekuacion lidh një element x me një grup të pafund elementësh y. Megjithatë, grafiku i këtij ekuacioni mund të vizatohet. Le të mos e quajmë fjalën krenare "Funksion".

Parabola

Grafiku i funksionit y = a x 2 + b x + c është parabolë .

Për të përcaktuar në mënyrë të paqartë se si ndodhet grafiku i parabolës në aeroplan, duhet të dini se çfarë ndikojnë koeficientët a, b, c:

Koeficienti a tregon se ku janë drejtuar degët e parabolës.

Nëse a > 0, degët e parabolës janë të drejtuara lart.
Nese nje< 0 , ветки параболы направлены вниз.

Koeficienti c tregon se në cilën pikë parabola e pret boshtin y.
Koeficienti b ndihmon për të gjetur x në - koordinata e majës së parabolës.

x në \u003d - b 2 a

Diskriminuesi ju lejon të përcaktoni se sa pika kryqëzimi ka një parabolë me një bosht.

Nëse D > 0 - dy pika kryqëzimi.
Nëse D = 0 - një pikë kryqëzimi.
Nëse D< 0 — нет точек пересечения.

Grafiku i funksionit y = k x është hiperbolë .

Një tipar karakteristik i një hiperbole është se ajo ka asimptota.

Asimptotat e një hiperbole - vijat e drejta, tek të cilat priret, duke shkuar në pafundësi.

Boshti x është asimptota horizontale e hiperbolës

Boshti y është asimptota vertikale e hiperbolës.

Në grafik, asimptotat janë shënuar me një vijë të gjelbër me pika.

Nëse koeficienti k > 0, atëherë degët e hiperolës kalojnë nëpër çerekun I dhe III.

Nëse k< 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Sa më e vogël të jetë vlera absolute e koeficientit k (koeficienti k pa marrë parasysh shenjën), aq më afër janë degët e hiperbolës me boshtet x dhe y.

Rrenja katrore

Funksioni y = x ka grafikun e mëposhtëm:

Funksionet rritëse/zvogëluese

Funksioni y = f(x) rritet gjatë intervalit nëse një vlerë më e madhe e argumentit (një vlerë më e madhe x) korrespondon me një vlerë më të madhe funksioni (një vlerë më e madhe y).

Kjo do të thotë, sa më shumë (në të djathtë) x, aq më shumë (më e lartë) y. Grafiku ngrihet (shikoni nga e majta në të djathtë)

Funksioni y = f(x) zvogëlohet gjatë intervalit nëse një vlerë më e madhe argumenti (një vlerë më e madhe x) korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit (një vlerë më e madhe y).

Njohuri funksionet themelore elementare, vetitë dhe grafikët e tyre jo më pak e rëndësishme sesa njohja e tabelës së shumëzimit. Ata janë si një themel, gjithçka bazohet në to, gjithçka është ndërtuar prej tyre dhe gjithçka ulet atyre.

Në këtë artikull, ne rendisim të gjitha funksionet kryesore elementare, japim grafikët e tyre dhe i japim ato pa derivim dhe prova. vetitë e funksioneve elementare themelore sipas skemës:

sjellja e funksionit në kufijtë e fushës së përkufizimit, asimptota vertikale (nëse është e nevojshme, shihni klasifikimin e artikullit të pikave të ndërprerjes së një funksioni);
çift dhe tek;
intervalet e konveksitetit (konveksiteti lart) dhe konkaviteti (konveksiteti poshtë), pikat e përkuljes (nëse është e nevojshme, shihni funksionin e artikullit konveksiteti, drejtimi i konveksitetit, pikat e përkuljes, konveksiteti dhe kushtet e përkuljes);
asimptota të zhdrejtë dhe horizontale;
pika njëjës të funksioneve;
vetitë e veçanta të disa funksioneve (për shembull, periudha më e vogël pozitive për funksionet trigonometrike).

Nëse jeni të interesuar për ose, atëherë mund të shkoni te këto seksione të teorisë.

Funksionet themelore elementare janë: funksioni konstant (konstante), rrënja e shkallës së n-të, funksioni i fuqisë, funksioni eksponencial, logaritmik, funksionet trigonometrike dhe të anasjellta trigonometrike.

Navigimi i faqes.

Funksioni i përhershëm.

Një funksion konstant jepet në bashkësinë e të gjithë numrave realë me formulën , ku C është një numër real. Funksioni konstant i cakton çdo vlere reale të ndryshores së pavarur x të njëjtën vlerë të ndryshores së varur y - vlerën С. Një funksion konstant quhet gjithashtu konstante.

Grafiku i një funksioni konstant është një vijë e drejtë paralele me boshtin x dhe që kalon nga një pikë me koordinata (0,C). Për shembull, le të tregojmë grafikët e funksioneve konstante y=5 , y=-2 dhe , të cilët në figurën e mëposhtme i përgjigjen përkatësisht vijave të zeza, të kuqe dhe blu.

Vetitë e një funksioni konstant.

Fusha e përkufizimit: tërësia e numrave realë.
Funksioni konstant është i barabartë.
Gama e vlerave: grup i përbërë nga një numër i vetëm C.
Një funksion konstant është jo-rritës dhe jozvogëlues (prandaj është konstant).
Nuk ka kuptim të flasim për konveksitetin dhe konkavitetin e konstantës.
Nuk ka asimptotë.
Funksioni kalon në pikën (0,C) të planit koordinativ.

Rrënja e shkallës së n-të.

Merrni parasysh funksionin elementar bazë, i cili jepet me formulën , ku n është një numër natyror më i madh se një.

Rrënja e shkallës së n-të, n është një numër çift.

Le të fillojmë me funksionin e rrënjës së n-të për vlerat çift të eksponentit të rrënjës n.

Për shembull, ne japim një fotografi me imazhe të grafikëve të funksioneve dhe , ato korrespondojnë me vijat e zeza, të kuqe dhe blu.

Grafikët e funksioneve të rrënjës së një shkalle të barabartë kanë një formë të ngjashme për vlerat e tjera të treguesit.

Vetitë e rrënjës së shkallës së n-të për n çift.

Rrënja e shkallës së n-të, n është një numër tek.

Funksioni rrënjë i shkallës së n-të me një eksponent tek i rrënjës n përcaktohet në të gjithë grupin e numrave realë. Për shembull, ne paraqesim grafikët e funksioneve dhe , lakoret e zeza, të kuqe dhe blu korrespondojnë me to.

Për vlerat e tjera tek të eksponentit rrënjë, grafikët e funksionit do të kenë një pamje të ngjashme.

Vetitë e rrënjës së shkallës së n-të për n tek.

Funksioni i fuqisë.

Funksioni i fuqisë jepet me një formulë të formës .

Merrni parasysh llojin e grafikëve të një funksioni fuqie dhe vetitë e një funksioni fuqie në varësi të vlerës së eksponentit.

Le të fillojmë me një funksion fuqie me një eksponent numër të plotë a . Në këtë rast, forma e grafikëve të funksioneve të fuqisë dhe vetitë e funksioneve varen nga eksponenti çift ose tek, si dhe nga shenja e tij. Prandaj, së pari i konsiderojmë funksionet e fuqisë për vlerat teke pozitive të eksponentit a, pastaj për ato çifte pozitive, më pas për eksponentët negativë tek dhe në fund për vlerat çift negative a.

Vetitë e funksioneve të fuqisë me eksponentë thyesorë dhe irracionalë (si dhe lloji i grafikëve të këtyre funksioneve të fuqisë) varen nga vlera e eksponentit a. Ne do t'i konsiderojmë ato, së pari, kur a është nga zero në një, së dyti, kur a është më e madhe se një, së treti, kur a është nga minus një në zero dhe së katërti, kur a është më e vogël se minus një.

Në përfundim të këtij nënseksioni, për hir të plotësisë, ne përshkruajmë një funksion fuqie me eksponent zero.

Funksioni i fuqisë me eksponent pozitiv tek.

Konsideroni një funksion fuqie me një eksponent pozitiv tek, pra me a=1,3,5,… .

Figura më poshtë tregon grafikët e funksioneve të fuqisë - vijë e zezë, - vija blu, - vija e kuqe, - vija jeshile. Për a=1 kemi funksion linear y=x.

Vetitë e një funksioni fuqie me një eksponent pozitiv tek.

Funksioni i fuqisë me eksponent madje pozitiv.

Konsideroni një funksion fuqie me një eksponent çift pozitiv, domethënë për a=2,4,6,… .

Si shembull, le të marrim grafikët e funksioneve të fuqisë - vijë e zezë, - vija blu, - vija e kuqe. Për a=2 kemi një funksion kuadratik, grafiku i të cilit është parabolë kuadratike.

Vetitë e një funksioni fuqie me një eksponent të barabartë pozitiv.

Funksioni i fuqisë me një eksponent negativ tek.

Shikoni grafikët e funksionit eksponencial për vlerat teke negative të eksponentit, domethënë për një \u003d -1, -3, -5, ....

Figura tregon grafikët e funksioneve eksponenciale si shembuj - vijë e zezë, - vija blu, - vija e kuqe, - vija jeshile. Për a=-1 kemi proporcionaliteti i anasjelltë, grafiku i të cilit është hiperbolë.

Vetitë e një funksioni fuqie me një eksponent negativ tek.

Funksioni i fuqisë me një eksponent madje negativ.

Le të kalojmë te funksioni i fuqisë në a=-2,-4,-6,….

Figura tregon grafikët e funksioneve të fuqisë - vijë e zezë, - vija blu, - vija e kuqe.

Vetitë e një funksioni fuqie me një eksponent negativ çift.

Një funksion fuqie me një eksponent racional ose irracional, vlera e të cilit është më e madhe se zero dhe më e vogël se një.

Shënim! Nëse a është një thyesë pozitive me një emërues tek, atëherë disa autorë e konsiderojnë intervalin si domenin e funksionit të fuqisë. Në të njëjtën kohë, përcaktohet se eksponenti a është një thyesë e pareduktueshme. Tani autorët e shumë teksteve shkollore mbi algjebrën dhe fillimet e analizës NUK PËRCAKTOJNË funksionet e fuqisë me një eksponent në formën e një fraksioni me një emërues tek për vlerat negative të argumentit. Ne do t'i përmbahemi pikërisht një pikëpamjeje të tillë, domethënë, do të konsiderojmë domenet e funksioneve të fuqisë me eksponentë pozitivë të pjesshëm si grup. Ne i inkurajojmë studentët të marrin këndvështrimin e mësuesit tuaj për këtë pikë delikate për të shmangur mosmarrëveshjet.

Konsideroni një funksion fuqie me eksponent racional ose irracional a , dhe .

Paraqesim grafikët e funksioneve të fuqisë për a=11/12 (vijë e zezë), a=5/7 (vijë e kuqe), (vijë blu), a=2/5 (vijë e gjelbër).

Një funksion fuqie me një eksponent jo të plotë racional ose iracional më të madh se një.

Konsideroni një funksion fuqie me një eksponent jo të plotë racional ose irracional a , dhe .

Le të paraqesim grafikët e funksioneve të fuqisë të dhëna nga formula (vijat e zeza, të kuqe, blu dhe jeshile respektivisht).

Për vlerat e tjera të eksponentit a, grafikët e funksionit do të kenë një pamje të ngjashme.

Karakteristikat e funksionit të fuqisë për .

Një funksion fuqie me një eksponent real që është më i madh se minus një dhe më i vogël se zero.

Shënim! Nëse a është një thyesë negative me emërues tek, atëherë disa autorë e konsiderojnë intervalin . Në të njëjtën kohë, përcaktohet se eksponenti a është një thyesë e pareduktueshme. Tani autorët e shumë teksteve shkollore mbi algjebrën dhe fillimet e analizës NUK PËRCAKTOJNË funksionet e fuqisë me një eksponent në formën e një fraksioni me një emërues tek për vlerat negative të argumentit. Ne do t'i përmbahemi pikërisht një këndvështrimi të tillë, domethënë, do të konsiderojmë përkatësisht bashkësinë domenet e funksioneve të fuqisë me eksponentë negativë thyesorë të pjesshëm. Ne i inkurajojmë studentët të marrin këndvështrimin e mësuesit tuaj për këtë pikë delikate për të shmangur mosmarrëveshjet.

Kalojmë në funksionin e fuqisë , ku .

Për të pasur një ide të mirë të llojit të grafikëve të funksioneve të fuqisë për , ne japim shembuj të grafikëve të funksioneve (kthesa e zezë, e kuqe, blu dhe jeshile, përkatësisht).

Vetitë e një funksioni fuqie me eksponent a , .

Një funksion fuqie me një eksponent real jo të plotë që është më i vogël se minus një.

Le të japim shembuj të grafikëve të funksioneve të fuqisë për , ato janë paraqitur përkatësisht me vija të zeza, të kuqe, blu dhe jeshile.

Vetitë e një funksioni fuqie me një eksponent negativ jo të plotë më të vogël se minus një.

Kur a=0 dhe kemi një funksion - kjo është një vijë e drejtë nga e cila përjashtohet pika (0; 1) (shprehja 0 0 është rënë dakord të mos i kushtojë ndonjë rëndësi).

Funksioni eksponencial.

Një nga funksionet elementare bazë është funksioni eksponencial.

Grafiku i funksionit eksponencial, ku dhe merr formë të ndryshme në varësi të vlerës së bazës a. Le ta kuptojmë.

Së pari, merrni parasysh rastin kur baza e funksionit eksponencial merr një vlerë nga zero në një, domethënë .

Për shembull, ne paraqesim grafikët e funksionit eksponencial për a = 1/2 - vijën blu, a = 5/6 - vijën e kuqe. Grafikët e funksionit eksponencial kanë një pamje të ngjashme për vlerat e tjera të bazës nga intervali.

Vetitë e një funksioni eksponencial me bazë më të vogël se një.

I drejtohemi rastit kur baza e funksionit eksponencial është më e madhe se një, pra .

Si ilustrim, ne paraqesim grafikët e funksioneve eksponenciale - vijën blu dhe - vijën e kuqe. Për vlerat e tjera të bazës, më të mëdha se një, grafikët e funksionit eksponencial do të kenë një pamje të ngjashme.

Vetitë e një funksioni eksponencial me bazë më të madhe se një.

Funksioni logaritmik.

Funksioni tjetër elementar bazë është funksioni logaritmik, ku , . Funksioni logaritmik përcaktohet vetëm për vlerat pozitive të argumentit, domethënë për .

Grafiku i funksionit logaritmik merr një formë të ndryshme në varësi të vlerës së bazës a.

Gjatësia e segmentit në boshtin koordinativ gjendet me formulën:

Gjatësia e segmentit në planin koordinativ kërkohet me formulën:

Për të gjetur gjatësinë e një segmenti në një sistem koordinativ tredimensional, përdoret formula e mëposhtme:

Koordinatat e mesit të segmentit (për boshtin e koordinatave përdoret vetëm formula e parë, për planin koordinativ - dy formulat e para, për sistemin e koordinatave tredimensionale - të tre formula) llogariten me formulat:

Funksioniështë një korrespondencë e formularit y= f(x) ndërmjet variablave, për shkak të të cilave secili vlerëson vlerën e disa ndryshoreve x(argument ose ndryshore e pavarur) korrespondon me një vlerë të caktuar të një ndryshoreje tjetër, y(ndryshore e varur, ndonjëherë kjo vlerë quhet thjesht vlera e funksionit). Vini re se funksioni supozon një vlerë të argumentit X mund të ketë vetëm një vlerë të ndryshores së varur në. Megjithatë, e njëjta vlerë në mund të merret me të ndryshme X.

Shtrirja e funksionit janë të gjitha vlerat e ndryshores së pavarur (argumenti i funksionit, zakonisht X) për të cilin është përcaktuar funksioni, d.m.th. kuptimi i tij ekziston. Tregohet fusha e përkufizimit D(y). Në përgjithësi, ju tashmë jeni njohur me këtë koncept. Shtrirja e një funksioni quhet ndryshe domeni i vlerave të vlefshme, ose ODZ, të cilin keni mundur ta gjeni për një kohë të gjatë.

Gama e funksionit janë të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së varur të këtij funksioni. Shënohet E(në).

Funksioni rritet në intervalin në të cilin vlera më e madhe e argumentit i përgjigjet vlerës më të madhe të funksionit. Funksioni në rënie në intervalin në të cilin vlera më e madhe e argumentit korrespondon me vlerën më të vogël të funksionit.

Intervalet e funksionit janë intervalet e ndryshores së pavarur në të cilën ndryshorja e varur ruan shenjën e saj pozitive ose negative.

Funksioni zero janë ato vlera të argumentit për të cilat vlera e funksionit është e barabartë me zero. Në këto pika, grafiku i funksionit pret boshtin e abshisave (boshti OX). Shumë shpesh, nevoja për të gjetur zerot e një funksioni nënkupton thjesht zgjidhjen e ekuacionit. Gjithashtu, shpesh nevoja për të gjetur intervale të shenjës konstante nënkupton nevojën për të zgjidhur thjesht pabarazinë.

Funksioni y = f(x) quhen madje X

Kjo do të thotë që për çdo vlerë të kundërt të argumentit, vlerat e funksionit çift janë të barabarta. Grafiku i një funksioni çift është gjithmonë simetrik në lidhje me boshtin y të op-amp.

Funksioni y = f(x) quhen i rastësishëm, nëse është përcaktuar në një grup simetrik dhe për ndonjë X nga fusha e përkufizimit përmbushet barazia:

Kjo do të thotë që për çdo vlerë të kundërt të argumentit, vlerat e funksionit tek janë gjithashtu të kundërta. Grafiku i një funksioni tek është gjithmonë simetrik në lidhje me origjinën.

Shuma e rrënjëve të funksioneve çift dhe tek (pikat e kryqëzimit të boshtit të abshisave OX) është gjithmonë e barabartë me zero, sepse për çdo rrënjë pozitive X ka një rrënjë negative X.

Është e rëndësishme të theksohet se disa funksione nuk duhet të jenë çift ose tek. Ka shumë funksione që nuk janë as çift e as tek. Funksione të tilla quhen funksionet e përgjithshme, dhe asnjë nga barazitë ose vetitë e mësipërme nuk vlen për to.

Funksioni linear quhet një funksion që mund të jepet me formulën:

Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë dhe në rastin e përgjithshëm duket kështu (është dhënë një shembull për rastin kur k> 0, në këtë rast funksioni është në rritje; për rastin k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Grafiku i funksionit kuadratik (parabolë)

Grafiku i një parabole jepet nga një funksion kuadratik:

Një funksion kuadratik, si çdo funksion tjetër, pret boshtin OX në pikat që janë rrënjët e tij: ( x një; 0) dhe ( x 2; 0). Nëse nuk ka rrënjë, atëherë funksioni kuadratik nuk e pret boshtin OX, nëse ka një rrënjë, atëherë në këtë pikë ( x 0; 0) funksioni kuadratik prek vetëm boshtin OX, por nuk e pret atë. Një funksion kuadratik gjithmonë e pret boshtin OY në një pikë me koordinatat: (0; c). Grafiku i një funksioni kuadratik (parabolë) mund të duket kështu (figura tregon shembuj që nuk shterojnë të gjitha llojet e mundshme të parabolave):

ku:

nëse koeficienti a> 0, në funksion y = sëpatë 2 + bx + c, atëherë degët e parabolës janë të drejtuara lart;
nëse a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Koordinatat e kulmit të parabolës mund të llogariten duke përdorur formulat e mëposhtme. X majat (fq- në figurat e mësipërme) të një parabole (ose pikës në të cilën trinomi katror arrin vlerën e tij maksimale ose minimale):

Y majat (q- në figurat e mësipërme) të një parabole ose maksimale nëse degët e parabolës janë të drejtuara poshtë ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vlera e trinomit katror:

Grafikët e funksioneve të tjera

funksioni i fuqisë

Këtu janë disa shembuj të grafikëve të funksioneve të fuqisë:

Varësia në proporcion të kundërt thirrni funksionin e dhënë nga formula:

Në varësi të shenjës së numrit k Një grafik në përpjesëtim të zhdrejtë mund të ketë dy opsione themelore:

Asimptotëështë drejtëza së cilës vija e grafikut të funksionit i afrohet pafundësisht afër, por nuk ndërpritet. Asimptotat për grafikët e proporcionalitetit të anasjelltë të paraqitur në figurën e mësipërme janë boshtet koordinative, të cilave grafiku i funksionit afrohet pafundësisht afër, por nuk i pret ato.

funksioni eksponencial me bazë a thirrni funksionin e dhënë nga formula:

a grafiku i një funksioni eksponencial mund të ketë dy opsione themelore (do të japim edhe shembuj, shih më poshtë):

funksioni logaritmik thirrni funksionin e dhënë nga formula:

Varësisht nëse numri është më i madh apo më i vogël se një a Grafiku i një funksioni logaritmik mund të ketë dy opsione themelore:

Grafiku i funksionit y = |x| si vijon:

Grafikët e funksioneve periodike (trigonometrike).

Funksioni në = f(x) quhet periodike, nëse ekziston një numër i tillë jozero T, çfarë f(x + T) = f(x), për këdo X jashtë fushës së funksionit f(x). Nëse funksioni f(x) është periodike me periodë T, pastaj funksioni:

ku: A, k, b janë numra konstante, dhe k jo e barabartë me zero, gjithashtu periodike me një pikë T 1, e cila përcaktohet nga formula:

Shumica e shembujve të funksioneve periodike janë funksione trigonometrike. Këtu janë grafikët e funksioneve kryesore trigonometrike. Figura e mëposhtme tregon një pjesë të grafikut të funksionit y= mëkat x(i gjithë grafiku vazhdon pafundësisht majtas dhe djathtas), grafiku i funksionit y= mëkat x thirrur sinusoid:

Grafiku i funksionit y= cos x thirrur valë kosinus. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Që nga grafiku i sinusit, ai vazhdon pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas:

Grafiku i funksionit y=tg x thirrur tangentoid. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ashtu si grafikët e funksioneve të tjera periodike, ky grafik përsëritet pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas.

Dhe së fundi, grafiku i funksionit y=ctg x thirrur kotangjentoid. Ky grafik është paraqitur në figurën e mëposhtme. Ashtu si grafikët e funksioneve të tjera periodike dhe trigonometrike, ky grafik përsëritet pafundësisht përgjatë boshtit OX majtas dhe djathtas.

Mësoni të gjitha formulat dhe ligjet në fizikë, dhe formulat dhe metodat në matematikë. Në fakt, është gjithashtu shumë e thjeshtë ta bësh këtë, ka vetëm rreth 200 formula të nevojshme në fizikë, madje pak më pak në matematikë. Në secilën prej këtyre lëndëve ekzistojnë rreth një duzinë metodash standarde për zgjidhjen e problemeve të një niveli bazë kompleksiteti, të cilat gjithashtu mund të mësohen, dhe kështu, plotësisht automatikisht dhe pa vështirësi, të zgjidhin pjesën më të madhe të transformimit dixhital në kohën e duhur. Pas kësaj, do t'ju duhet të mendoni vetëm për detyrat më të vështira.

Merrni pjesë në të tre fazat e testimit provues në fizikë dhe matematikë. Çdo RT mund të vizitohet dy herë për të zgjidhur të dyja opsionet. Përsëri, në DT, përveç aftësisë për të zgjidhur shpejt dhe me efikasitet problemet, si dhe njohjen e formulave dhe metodave, është gjithashtu e nevojshme të jeni në gjendje të planifikoni siç duhet kohën, të shpërndani forcat dhe më e rëndësishmja të plotësoni saktë formularin e përgjigjes. , pa ngatërruar as numrat e përgjigjeve dhe detyrave, as mbiemrin tuaj. Gjithashtu, gjatë RT-së, është e rëndësishme të mësoheni me stilin e parashtrimit të pyetjeve në detyra, i cili mund të duket shumë i pazakontë për një person të papërgatitur në DT.

Zbatimi i suksesshëm, i zellshëm dhe i përgjegjshëm i këtyre tre pikave do t'ju lejojë të tregoni një rezultat të shkëlqyer në CT, maksimumin e asaj që jeni në gjendje.

Gjete një gabim?

Nëse, siç ju duket, keni gjetur një gabim në materialet e trajnimit, atëherë ju lutemi shkruani për të me postë. Ju gjithashtu mund të shkruani për gabimin në rrjetin social (). Në letër, tregoni lëndën (fizikë ose matematikë), emrin ose numrin e temës ose testit, numrin e detyrës ose vendin në tekst (faqe) ku, sipas mendimit tuaj, ka një gabim. Gjithashtu përshkruani se cili është gabimi i supozuar. Letra juaj nuk do të kalojë pa u vënë re, gabimi ose do të korrigjohet, ose do t'ju shpjegohet pse nuk është gabim.

Funksionet elementare dhe grafikët e tyre

Drejt proporcionaliteti. Funksioni linear.

Proporcion i kundërt. Hiperbola.

funksion kuadratik. Parabola katrore.

Funksioni i fuqisë. Funksioni eksponencial.

funksioni logaritmik. funksionet trigonometrike.

Funksionet trigonometrike të anasjellta.

1.	vlerat proporcionale. Nëse variablat y dhe x drejt proporcionale, atëherë varësia funksionale ndërmjet tyre shprehet me ekuacionin: y = k x, ku k- Vlera konstante ( faktor proporcionaliteti). Orari drejt proporcionaliteti- një vijë e drejtë që kalon nga origjina dhe formohet me boshtin X këndi tangjenta e të cilit është k:tan= k(Fig. 8). Prandaj quhet edhe koeficienti i proporcionalitetit faktori i pjerrësisë. Figura 8 tregon tre grafikë për k = 1/3, k= 1 dhe k = 3 .
2.	Funksioni linear. Nëse variablat y dhe x e lidhur me ekuacionin e shkallës 1: Ax + By = C , ku të paktën një nga numrat A ose B nuk është e barabartë me zero, atëherë grafiku i kësaj varësie funksionale është vijë e drejtë. Nese nje C= 0, pastaj kalon nga origjina, përndryshe nuk kalon. Grafikët e funksioneve lineare për kombinime të ndryshme A,B,C janë paraqitur në Fig.9.
3.	E kundërta proporcionaliteti. Nëse variablat y dhe x mbrapa proporcionale, atëherë varësia funksionale ndërmjet tyre shprehet me ekuacionin: y = k / x, ku k- një vlerë konstante. Komplot proporcional i anasjelltë - hiperbolë (Fig. 10). Kjo kurbë ka dy degë. Hiperbolat fitohen kur një kon rrethor pritet nga një rrafsh (për seksionet konike, shihni seksionin "Koni" në kapitullin "Stereometria"). Siç tregohet në figurën 10, prodhimi i koordinatave të pikave të hiperbolës është një vlerë konstante, në shembullin tonë e barabartë me 1. Në rastin e përgjithshëm, kjo vlerë është e barabartë me k, e cila rrjedh nga ekuacioni i hiperbolës: xy = k. Karakteristikat dhe vetitë kryesore të hiperbolës: Shtrirja e funksionit: x 0, diapazoni: y 0 ; Funksioni është monoton (në rënie) në x< 0 dhe në x > 0, por jo i përgjithshëm monoton për shkak të pikës së thyerjes x= 0 (mendoni pse?); Funksion i pakufizuar, i ndërprerë në një pikë x= 0, tek, jo periodike; - Funksioni nuk ka zero.
4.	Funksioni kuadratik. Ky është funksioni: y = sëpatë 2 + bx + c, ku a, b, c- të përhershme, a 0. Në rastin më të thjeshtë kemi: b=c= 0 dhe y = sëpatë 2. Grafiku i këtij funksioni parabola katrore - kurba që kalon nga origjina (Fig. 11). Çdo parabolë ka një bosht simetrie OY, e cila quhet boshti i parabolës. Pika O kryqëzimi i një parabole me boshtin e saj quhet maja e parabolës. Grafiku i funksionit y = sëpatë 2 + bx + cështë gjithashtu një parabolë katrore e të njëjtit lloj si y = sëpatë 2, por kulmi i tij nuk qëndron në origjinë, por në pikën me koordinatat: Forma dhe vendndodhja e një parabole katrore në sistemin koordinativ varet tërësisht nga dy parametra: koeficienti a në x 2 dhe diskriminues D:D = b 2 – 4ac. Këto veti rrjedhin nga analiza e rrënjëve të ekuacionit kuadratik (shih seksionin përkatës në kapitullin Algjebër). Të gjitha rastet e ndryshme të mundshme për një parabolë katrore janë paraqitur në Fig.12.

Ju lutemi vizatoni një parabolë katrore për rastin a > 0, D > 0 .

Karakteristikat dhe vetitë kryesore të një parabole katrore:

Shtrirja e funksionit:  < x+ (d.m.th. x R ), dhe zonën

vlerat: … (Ju lutemi përgjigjuni kësaj pyetjeje vetë!);

Funksioni në tërësi nuk është monoton, por në të djathtë ose në të majtë të kulmit

sillet si monoton;

Funksioni është i pakufizuar, kudo i vazhdueshëm, madje edhe për b = c = 0,

dhe jo periodike;

- në D< 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Funksioni i fuqisë. Ky është funksioni: y=sëpatë n, ku a, n- e përhershme. Në n= 1 marrim proporcionaliteti i drejtpërdrejtë: y=sëpatë; në n = 2 - parabolë katrore; në n = 1 - proporcionaliteti i anasjelltë ose hiperbolë. Kështu, këto funksione janë raste të veçanta të një funksioni fuqie. Ne e dimë se fuqia zero e çdo numri tjetër përveç zeros është e barabartë me 1, pra, kur n= 0 funksioni i fuqisë bëhet konstante: y= a, d.m.th. grafiku i tij është një vijë e drejtë paralele me boshtin X, duke përjashtuar origjinën e koordinatave (ju lutemi shpjegoni pse?). Të gjitha këto raste (me a= 1) janë paraqitur në figurën 13 ( n 0) dhe Fig.14 ( n < 0). Отрицательные значения x nuk konsiderohen këtu, sepse atëherë disa funksione: Nese nje n– të gjitha, funksionet e fuqisë kanë kuptim edhe kur x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n një numër çift ose një numër tek. Figura 15 tregon dy funksione të tilla të fuqisë: për n= 2 dhe n = 3. Në n= 2 funksioni është çift dhe grafiku i tij është simetrik rreth boshtit Y. Në n= 3 funksioni është tek dhe grafiku i tij është simetrik në lidhje me origjinën. Funksioni y = x 3 thirrur parabolë kubike. Figura 16 tregon funksionin . Ky funksion është inversi i parabolës katrore y = x 2 , grafiku i tij përftohet duke rrotulluar grafikun e një parabole katrore rreth përgjysmuesit të këndit të 1 koordinativKjo është një mënyrë për të marrë grafikun e çdo funksioni të anasjelltë nga grafiku i funksionit të tij origjinal. Nga grafiku mund të shohim se ky është një funksion me dy vlera (kjo tregohet edhe me shenjën  përballë rrënjës katrore). Funksione të tilla nuk studiohen në matematikën elementare, prandaj, si funksion, zakonisht konsiderojmë një nga degët e saj: të sipërme ose të poshtme.
6.	Demonstrimi funksionin. Funksioni y = a x, ku aështë një numër konstant pozitiv, i quajtur funksioni eksponencial. Argumenti x pranon çdo vlerë të vlefshme; pasi merren parasysh vlerat e funksionit vetëm numra pozitivë, pasi përndryshe kemi një funksion me shumë vlera. Po, funksioni y = 81 x ka në x= 1/4 katër vlera të ndryshme: y = 3, y = 3, y = 3 i dhe y = 3 i(Kontrollo, të lutem!). Por ne e konsiderojmë vetëm vlerën e funksionit y= 3. Grafikët e funksionit eksponencial për a= 2 dhe a= 1/2 janë paraqitur në Fig.17. Ata kalojnë nëpër pikën (0, 1). Në a= 1 kemi një grafik të një vije të drejtë paralele me boshtin X, d.m.th. funksioni kthehet në një vlerë konstante të barabartë me 1. Kur a> 1, funksioni eksponencial rritet dhe në 0< a < 1 – убывает. Karakteristikat dhe vetitë kryesore të funksionit eksponencial:  < x+ (d.m.th. x R ); diapazoni: y> 0 ; Funksioni është monoton: rritet me a> 1 dhe zvogëlohet në 0< a < 1; - Funksioni nuk ka zero.
7.	Funksioni logaritmik. Funksioni y= log a x, ku aështë një numër pozitiv konstant, jo e barabartë me 1 quhet logaritmike. Ky funksion është inversi i funksionit eksponencial; grafiku i tij (Fig. 18) mund të merret duke rrotulluar grafikun e funksionit eksponencial rreth përgjysmuesit të këndit të 1-rë koordinativ. Karakteristikat dhe vetitë kryesore të funksionit logaritmik: Shtrirja e funksionit: x> 0, dhe diapazoni i vlerave:  < y+ (d.m.th. y R ); Ky është një funksion monoton: rritet si a> 1 dhe zvogëlohet në 0< a < 1; Funksioni është i pakufizuar, kudo i vazhdueshëm, jo periodik; Funksioni ka një zero: x = 1.
8.	funksionet trigonometrike. Gjatë ndërtimit të funksioneve trigonometrike, ne përdorim radian masë e këndeve. Pastaj funksioni y= mëkat x e përfaqësuar nga një grafik (Fig. 19). Kjo kurbë quhet sinusoid. Grafiku i funksionit y= cos x treguar në Fig.20; është gjithashtu një valë sinusale që rezulton nga lëvizja e grafikut y= mëkat x përgjatë boshtit X majtas nga 2 Nga këta grafikë, karakteristikat dhe vetitë e këtyre funksioneve janë të dukshme: Domeni:  < x+  diapazoni: -1 y +1; Këto funksione janë periodike: periudha e tyre është 2; Funksione të kufizuara (\| y\| , kudo e vazhdueshme, jo monotone, por duke pasur të ashtuquajturat intervale monotonia, brenda së cilës ato sillen si funksione monotonike (shih grafikët në Fig. 19 dhe Fig. 20); Funksionet kanë një numër të pafund zerosh (për më shumë detaje, shihni seksionin "Ekuacionet trigonometrike"). Grafikët e funksionit y= tan x dhe y= ahur x treguar përkatësisht në Fig.21 dhe Fig.22 Nga grafikët shihet se këto funksione janë: periodike (periudha e tyre , të pakufizuara, përgjithësisht jo monotonike, por kanë intervale monotonie (çfarë?), i ndërprerë (çfarë pikash ndërprerje kanë këto funksione?). Rajon përkufizimet dhe diapazoni i këtyre funksioneve:
9.	Funksionet trigonometrike të anasjellta. Përkufizimet e anasjelltasve funksionet trigonometrike dhe vetitë e tyre kryesore janë dhënë në seksioni me të njëjtin emër në kapitullin “Trigonometria”. Prandaj, këtu e kufizojmë veten janë marrë vetëm komente të shkurtra në lidhje me grafikët e tyre duke rrotulluar grafikët e funksioneve trigonometrike rreth përgjysmuesit të 1-shit kënd koordinativ.

Funksione y= Arcsin x(fig.23) dhe y= Arccos x(fig.24) me shumë vlera, të pakufizuara; domeni i tyre i përkufizimit dhe diapazoni i vlerave, përkatësisht: 1 x+1 dhe  < y+. Meqenëse këto funksione janë me shumë vlera,