Pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov zmiešaných čísel. Pravidlo pre násobenie zlomkov celými číslami

Násobenie bežné zlomky Pozrime sa na niekoľko možných možností.

Násobenie zlomku zlomkom

Toto je najjednoduchší prípad, v ktorom musíte použiť nasledujúce pravidlá násobenia zlomkov.

Komu vynásobte zlomok zlomkom, potrebné:

• vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a ich súčin zapíšte do čitateľa nového zlomku;
• vynásobte menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku a ich súčin zapíšte do menovateľa nového zlomku;

Pred násobením čitateľov a menovateľov skontrolujte, či je možné zlomky zmenšiť. Zníženie zlomkov vo výpočtoch výrazne uľahčí vaše výpočty.



Násobenie zlomku prirodzeným číslom

Na zlomok vynásobiť prirodzené číslo musíte vynásobiť čitateľa zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa zlomku nezmenený.

Ak je výsledkom násobenia nesprávny zlomok, nezabudnite ho premeniť na zmiešané číslo, to znamená vybrať celú časť.



Násobenie zmiešaných čísel

Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr premeniť na nesprávne zlomky a potom násobiť podľa pravidla na násobenie obyčajných zlomkov.



Ďalší spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom

Niekedy je pri výpočtoch vhodnejšie použiť inú metódu vynásobenia obyčajného zlomku číslom.

Ak chcete vynásobiť zlomok prirodzeným číslom, musíte vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a čitateľa ponechať rovnaký.



Ako vidno z príkladu, túto verziu pravidla je vhodnejšie použiť, ak je menovateľ zlomku bezo zvyšku deliteľný prirodzeným číslom.

Akcie so zlomkami

Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Sčítanie zlomkov je dvoch typov:

• Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
• Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Začnime sčítaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:



Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:



Odpoveď je nesprávny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nesprávnej frakcie, musíte v nej vybrať celú časť. V našom prípade je celá časť pridelená jednoducho - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:



Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pízz, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .



Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú pizzu a viac pízz.

Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa rovnakého;
2. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať naraz, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa pre začiatočníka môžu zdať komplikované.

Podstatou tejto metódy je, že sa najskôr hľadá najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - NOC sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.

Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajte frakcie a

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:

Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:



Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:



Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).



Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Všimnite si, že sme vymaľovali uvedený príklad príliš podrobné. AT vzdelávacie inštitúcie nebýva zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:



Je tu však aj druhá strana mince. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

3. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
4. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok;
5. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
6. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
7. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Použime vyššie uvedený diagram.

Krok 1. Nájdite LCM pre menovateľov zlomkov

Nájdeme LCM pre menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4. Pre tieto čísla musíte nájsť LCM:

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. 12 vydelíme 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:



Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, tak sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadka a na začiatok je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Nový riadok. Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte jeho celú časť

Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:



Dostal som odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

8. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
9. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa rovnakého. Poďme to spraviť:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte rovnaký:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:

Odpoveď je nesprávny zlomok. Ak je príklad úplný, je zvykom zbaviť sa nesprávneho zlomku. Zbavme sa nesprávneho zlomku v odpovedi. Ak to chcete urobiť, vyberte celú jeho časť:

Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz späť k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štvorku napíšeme nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Trojku napíšeme nad druhý zlomok:

Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:

Dostal som odpoveď

Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak z pizze nakrájate pizzu, dostanete pizzu.

Toto je podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):

Prvý obrázok ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to urobiť jednoduchšie a estetickejšie. čo sa dá robiť Tento zlomok môžete znížiť. Pripomeňme, že zmenšenie zlomku je rozdelenie čitateľa a menovateľa najväčším spoločný deliteľčitateľ a menovateľ.

Ak chcete zlomok správne zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 20 a 30.

Nezamieňajte GCD s NOC. Najčastejšia chyba mnohých začiatočníkov. GCD je najväčší spoločný deliteľ. Nájdeme to pre redukciu zlomkov.

A LCM je najmenší spoločný násobok. Nájdeme ho, aby sme zlomky priviedli k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.

Teraz nájdeme najväčšieho spoločného deliteľa (gcd) čísel 20 a 30.

Nájdeme teda GCD pre čísla 20 a 30:

GCD (20 a 30) = 10

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku 10:

Dostal som peknú odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Vstup možno chápať tak, že si vezmete polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.

A ak miestami zameníme násobilku a násobiteľa, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť daný zlomok. Zlomok možno zmenšiť o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu podobu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kusov:

Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:

Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto je hodnota výrazu

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Aby sa tento zlomok znížil, musí sa vydeliť gcd čitateľa a menovateľa. Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:

GCD pre (105 a 150) je 15

Teraz rozdelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD:

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako viete, sa rovná piatim:

Obrátené čísla

Teraz sa zoznámime s zaujímavá téma v matematike. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na číslo a je číslo, ktoré po vynásobení a dáva jednotku.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme si päť ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobte zlomok sám o sebe, iba obrátený:

Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.

Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

• prevrátená 3 je zlomok
• prevrátená 4 je zlomok

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.

Násobenie celého čísla zlomkom je jednoduchá úloha. Existujú však jemnosti, ktoré ste pravdepodobne pochopili v škole, ale odvtedy ste na ne zabudli.

Ako vynásobiť celé číslo zlomkom - niekoľko pojmov

Ak si pamätáte, čo je čitateľ a menovateľ a ako sa správny zlomok líši od nesprávneho, tento odsek preskočte. Je pre tých, ktorí úplne zabudli na teóriu.

Čitateľ je vrchná časť zlomky sú to, čo delíme. Menovateľ je ten spodný. To je to, čo zdieľame.
Vlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný menovateľovi.

Ako vynásobiť celé číslo zlomkom

Pravidlo pre násobenie celého čísla zlomkom je veľmi jednoduché - čitateľa vynásobíme celým číslom a menovateľa sa nedotkneme. Napríklad: dve vynásobené jednou pätinou – dostaneme dve pätiny. Štyri krát tri šestnástky je dvanásť šestnástok.

Zníženie

V druhom príklade je možné výslednú frakciu znížiť.
Čo to znamená? Všimnite si, že čitateľ aj menovateľ tohto zlomku sú deliteľné štyrmi. Delenie oboch čísel spoločným deliteľom sa nazýva zmenšovanie zlomku. Dostaneme tri štvrtiny.

Nepravé zlomky

Predpokladajme však, že vynásobíme štyri krát dve pätiny. Má osem pätín. Toto je nesprávny zlomok.
Treba to priviesť správna forma. Aby ste to dosiahli, musíte z nej vybrať celú časť.
Tu je potrebné použiť delenie so zvyškom. Zostáva nám jedna a tri.
Jeden celok a tri pätiny je náš správny zlomok.

Oprava tridsiatich piatich osmin je o niečo náročnejšia. Najbližšie číslo k tridsiatim siedmim, ktoré je deliteľné ôsmimi, je tridsaťdva. Pri rozdelení dostaneme štyri. Od tridsiatich piatich odpočítame tridsaťdva – dostaneme tri. Výsledok: štyri celé a tri osminy.

Rovnosť čitateľa a menovateľa. A tu je všetko veľmi jednoduché a krásne. Keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký, výsledok je len jeden.

V tomto článku budeme analyzovať násobenie zmiešaných čísel. Najprv vyslovíme pravidlo pre násobenie zmiešaných čísel a zvážime uplatnenie tohto pravidla pri riešení príkladov. Ďalej si povieme niečo o násobení zmiešaného čísla a prirodzeného čísla. Nakoniec sa naučíme, ako vynásobiť zmiešané číslo a obyčajný zlomok.

Navigácia na stránke.

Násobenie zmiešaných čísel.

Násobenie zmiešaných čísel možno redukovať na násobenie obyčajných zlomkov. Na to stačí previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky.

Poďme si zapísať pravidlo násobenia pre zmiešané čísla:

• Po prvé, zmiešané čísla, ktoré sa majú vynásobiť, musia byť nahradené nesprávnymi zlomkami;
• Po druhé, musíte použiť pravidlo násobenia zlomku zlomkom.

Zvážte príklady použitia tohto pravidla pri násobení zmiešaného čísla zmiešaným číslom.

Vykonajte násobenie zmiešaných čísel a .

Najprv predstavíme vynásobené zmiešané čísla ako nesprávne zlomky: a . Teraz môžeme nahradiť násobenie zmiešaných čísel násobením obyčajných zlomkov: . Aplikovaním pravidla násobenia zlomkov dostaneme . Výsledný zlomok je neredukovateľný (pozri redukovateľné a neredukovateľné zlomky), ale je nesprávny (pozri pravidelné a nevlastné zlomky), preto, aby sme dostali konečnú odpoveď, zostáva extrahovať celú časť z nesprávneho zlomku: .

Celé riešenie napíšme do jedného riadku: .

.

Ak chcete upevniť zručnosti násobenia zmiešaných čísel, zvážte riešenie iného príkladu.

Vykonajte násobenie.

Vtipné čísla a sú rovné zlomkom 13/5 a 10/9. Potom . V tejto fáze je čas pripomenúť si redukciu zlomkov: nahraďme všetky čísla v zlomku ich rozšíreniami na hlavné faktory a vykonať redukciu rovnakých faktorov.

Násobenie zmiešaného čísla a prirodzeného čísla

Po výmene zmiešaného čísla správny zlomok, vynásobením zmiešaného čísla a prirodzeného čísla sa redukuje na násobenie obyčajného zlomku a prirodzeného čísla.

Vynásobte zmiešané číslo a prirodzené číslo 45 .

Zmiešané číslo je teda zlomok . Nahraďme čísla vo výslednom zlomku ich expanziami na prvočísla, urobme redukciu, po ktorej vyberieme celočíselnou časť: .

.

Násobenie zmiešaného čísla a prirodzeného čísla sa niekedy pohodlne vykonáva pomocou distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie. V tomto prípade sa súčin zmiešaného čísla a prirodzeného čísla rovná súčtu súčinov celočíselnej časti daným prirodzeným číslom a zlomkovej časti daným prirodzeným číslom, tj. .

Vypočítajte produkt.

Zmiešané číslo nahradíme súčtom celých a zlomkových častí, po čom aplikujeme distributívnu vlastnosť násobenia: .

Násobenie zmiešaného čísla a spoločného zlomku najpohodlnejšie je zredukovať na násobenie obyčajných zlomkov, ktoré predstavujú vynásobené zmiešané číslo ako nevlastný zlomok.

Vynásobte zmiešané číslo spoločným zlomkom 4/15.

Nahradením zmiešaného čísla zlomkom dostaneme .

www.cleverstudents.ru

Násobenie zlomkových čísel

§ 140. Definície. 1) Násobenie zlomkového čísla celým číslom je definované rovnakým spôsobom ako násobenie celých čísel, a to: vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) celým číslom (násobiteľom) znamená vytvoriť súčet rovnakých členov, v ktorých sa každý člen rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.

Takže vynásobenie číslom 5 znamená nájdenie súčtu:
2) Vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.

Takže nájdenie zlomku daného čísla, o ktorom sme uvažovali predtým, budeme teraz nazývať násobenie zlomkom.

3) Vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) zmiešaným číslom (faktorom) znamená vynásobiť násobiteľ najprv celým číslom činiteľa, potom zlomkom činiteľa a výsledky týchto dvoch násobení spočítať.

Napríklad:

Číslo získané po vynásobení je vo všetkých týchto prípadoch tzv práca, teda rovnakým spôsobom ako pri násobení celých čísel.

Z týchto definícií je zrejmé, že násobenie zlomkových čísel je činnosť, ktorá je vždy možná a vždy jednoznačná.

§ 141. Účelnosť týchto definícií. Aby sme pochopili účelnosť zavedenia posledných dvoch definícií násobenia do aritmetiky, zoberme si nasledujúci problém:

Úloha. Vlak, ktorý sa pohybuje rovnomerne, jazdí 40 km za hodinu; ako zistiť, koľko kilometrov tento vlak prejde za daný počet hodín?

Ak by sme zostali pri tej jednej definícii násobenia, ktorá je uvedená v aritmetike celých čísel (sčítanie rovnakých členov), potom by náš problém mal tri rôzne riešenia, a to:

Ak je daný počet hodín celé číslo (napríklad 5 hodín), na vyriešenie problému je potrebné vynásobiť 40 km týmto počtom hodín.

Ak je daný počet hodín vyjadrený ako zlomok (napríklad hodiny), potom budete musieť nájsť hodnotu tohto zlomku zo 40 km.

Nakoniec, ak sa daný počet hodín zmieša (napríklad hodín), potom bude potrebné vynásobiť 40 km celým číslom obsiahnutým v zmiešanom čísle a k výsledku pridať taký zlomok zo 40 km, aký je v zmiešané číslo.

Definície, ktoré sme uviedli, nám umožňujú dať jednu všeobecnú odpoveď na všetky tieto možné prípady:

40 km treba vynásobiť daným počtom hodín, nech je to čokoľvek.

Ak je teda úloha prezentovaná v všeobecný pohľad Takže:

Vlak idúci rovnomerne prejde v km za hodinu. Koľko kilometrov prejde vlak za t hodín?

potom, nech sú čísla v a t akékoľvek, môžeme vyjadriť jednu odpoveď: požadované číslo je vyjadrené vzorcom v · t.

Poznámka. Nájdenie nejakého zlomku daného čísla podľa našej definície znamená to isté ako vynásobenie daného čísla týmto zlomkom; preto napríklad nájsť 5 % (t. j. päť stotín) daného čísla znamená to isté, ako vynásobiť dané číslo číslom alebo číslom; nájdenie 125 % daného čísla je to isté ako vynásobenie tohto čísla pomocou alebo pomocou atď.

§ 142 Poznámka o tom, kedy sa číslo zväčšuje a kedy od násobenia klesá.

Od násobenia správnym zlomkom číslo klesá a od násobenia o nesprávny zlomokčíslo sa zvýši, ak je tento nesprávny zlomok väčší ako jedna, a zostane nezmenené, ak sa rovná jednej.
Komentujte. Pri násobení zlomkových čísel, ako aj celých čísel, sa súčin rovná nule, ak sa niektorý z faktorov rovná nule, takže,.

§ 143. Odvodenie pravidiel násobenia.

1) Násobenie zlomku celým číslom. Zlomok nech sa vynásobí 5. To znamená zväčšiť 5-krát. Na zväčšenie zlomku o 5 stačí, ak 5-násobne zväčšíte jeho čitateľa alebo znížite jeho menovateľa (§ 127).

Takže:
Pravidlo 1. Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a menovateľa ponechať rovnaký; namiesto toho môžete tiež rozdeliť menovateľ zlomku daným celým číslom (ak je to možné) a čitateľa ponechať rovnaký.

Komentujte. Súčin zlomku a jeho menovateľa sa rovná jeho čitateľovi.

Takže:
Pravidlo 2. Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.
Pravidlo 3. Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý menovateľom súčinu.

Komentujte. Toto pravidlo možno použiť aj na násobenie zlomku celým číslom a celého čísla zlomkom, ak celé číslo považujeme za zlomok s menovateľom jedna. Takže:

Tri teraz uvedené pravidlá sú teda obsiahnuté v jednom, ktorý možno vo všeobecnosti vyjadriť takto:
4) Násobenie zmiešaných čísel.

Pravidlo 4. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidiel pre násobenie zlomkov. Napríklad:
§ 144. Zníženie množenia. Ak je to možné, pri násobení zlomkov by sa malo vykonať predbežné zníženie, ako je možné vidieť z nasledujúcich príkladov:

Takéto zníženie možno vykonať, pretože hodnota zlomku sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zníži v rovnaké číslo raz.

§ 145. Zmena produktu so zmenou faktorov. Keď sa faktory zmenia, súčin zlomkových čísel sa zmení presne tak, ako súčin celých čísel (§ 53), a to: ak zväčšíte (alebo znížite) ktorýkoľvek faktor niekoľkokrát, súčin sa zvýši (alebo zníži) o rovnakú sumu.

Takže, ak v príklade:
na vynásobenie viacerých zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov medzi sebou a menovateľov medzi sebou a urobiť z prvého súčinu čitateľa az druhého menovateľa súčinu.

Komentujte. Toto pravidlo možno aplikovať aj na také súčiny, v ktorých sú niektoré činitele čísla celé alebo zmiešané, ak celé číslo považujeme za zlomok, ktorého menovateľ je jedna, a zmiešané čísla zmeníme na nesprávne zlomky. Napríklad:
§ 147. Základné vlastnosti násobenia. K násobeniu zlomkových čísel patria aj tie vlastnosti násobenia, ktoré sme uviedli pri celých číslach (§ 56, 57, 59). Upresnime tieto vlastnosti.

1) Produkt sa nemení zmenou miesta faktorov.

Napríklad:

Podľa pravidla predchádzajúceho odseku sa prvý produkt rovná zlomku a druhý sa rovná zlomku. Ale tieto zlomky sú rovnaké, pretože ich členy sa líšia iba v poradí celočíselných faktorov a súčin celých čísel sa pri zmene miest faktorov nemení.

2) Produkt sa nezmení, ak sa niektorá skupina faktorov nahradí ich produktom.

Napríklad:

Výsledky sú rovnaké.

Z tejto vlastnosti násobenia možno vyvodiť nasledujúci záver:

ak chcete vynásobiť nejaké číslo súčinom, môžete toto číslo vynásobiť prvým faktorom, výsledné číslo vynásobiť druhým atď.

Napríklad:
3) Distributívny zákon násobenia (vzhľadom na sčítanie). Ak chcete vynásobiť súčet nejakým číslom, môžete každý výraz vynásobiť týmto číslom samostatne a výsledky sčítať.

Tento zákon sme vysvetlili (§ 59) tak, že sa vzťahuje na celé čísla. Pre zlomkové čísla zostáva pravdivý bez akýchkoľvek zmien.

Ukážme v skutočnosti, že rovnosť

(a + b + c + .) m = am + bm + cm +.

(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie) zostáva pravdivý, aj keď písmená znamenajú zlomkové čísla. Zoberme si tri prípady.

1) Najprv predpokladajme, že faktor m je celé číslo, napríklad m = 3 (a, b, c sú ľubovoľné čísla). Podľa definície násobenia celým číslom možno písať (pre jednoduchosť obmedzené na tri výrazy):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Na základe asociatívneho zákona sčítania môžeme všetky zátvorky na pravej strane vynechať; použitím komutatívneho zákona sčítania a potom opäť kombinačného zákona môžeme samozrejme prepísať pravú stranu takto:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Distributívny zákon je teda v tomto prípade potvrdený.

Násobenie a delenie zlomkov

Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažším momentom týchto akcií bolo privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Na začiatok zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva kladné zlomky bez oddelenej celočíselnej časti.

Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.

Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou.

Z definície vyplýva, že delenie zlomkov sa redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok obrátiť, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto celú lekciu budeme uvažovať hlavne o násobení.

Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovaný zlomok - samozrejme, treba ho zmenšiť. Ak sa po všetkých redukciách zlomok ukázal ako nesprávny, mala by sa v ňom rozlíšiť celá časť. Čo sa však pri násobení určite nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, maximálne faktory a najmenšie spoločné násobky.

Podľa definície máme:

Násobenie zlomkov celočíselnou časťou a zápornými zlomkami

Ak je v zlomkoch celočíselná časť, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.

Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho vyňať z hraníc násobenia alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:

1. Plus krát mínus dáva mínus;
2. Dve negatíva znamenajú pozitívnu odpoveď.

Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre produkt ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko mínusov naraz:

1. Mínusy vo dvojiciach škrtáme, kým úplne nezmiznú. V extrémnom prípade môže prežiť jeden mínus - ten, ktorý nenašiel zhodu;
2. Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, keďže nenašlo pár, vytiahneme ho z hraníc násobenia. Dostanete záporný zlomok.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všetky zlomky preložíme na nesprávne a mínusy potom vytiahneme mimo hraníc násobenia. To, čo zostane, sa rozmnožuje podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:

Ešte raz vám pripomeniem, že mínus, ktoré nasleduje pred zlomkom so zvýraznenou celočíselnou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nielen na jeho celočíselnú časť (to platí pre posledné dva príklady).

Venujte pozornosť aj záporné čísla: Po vynásobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.

Znižovanie frakcií za chodu

Násobenie je veľmi pracná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie úlohy sa môžete pokúsiť zlomok ešte zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Podľa definície máme:

Vo všetkých príkladoch sú červenou farbou vyznačené čísla, ktoré boli zredukované a to, čo z nich zostalo.

Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Jednotky zostali na svojom mieste, ktoré možno vo všeobecnosti vynechať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.

Túto techniku ​​však v žiadnom prípade nepoužívajte pri sčítaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Pozrite sa sem:

To nemôžeš!

Chyba sa vyskytuje v dôsledku skutočnosti, že pri sčítaní zlomku sa v čitateli zlomku objaví súčet a nie súčin čísel. Preto nie je možné použiť hlavnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.

Jednoducho neexistuje žiadny iný dôvod na znižovanie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúca úloha vyzerá takto:

Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.

Násobenie zlomkov.

Aby ste správne vynásobili zlomok zlomkom alebo zlomok číslom, musíte vedieť jednoduché pravidlá. Teraz tieto pravidlá podrobne rozoberieme.

Násobenie zlomku zlomkom.

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vypočítať súčin čitateľov a súčin menovateľov týchto zlomkov.

Zvážte príklad:
Čitateľ prvého zlomku vynásobíme čitateľom druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku vynásobíme aj menovateľom druhého zlomku.

Násobenie zlomku číslom.

Začnime pravidlom akékoľvek číslo môže byť vyjadrené ako zlomok \(\bf n = \frac \) .

Využime toto pravidlo na násobenie.

Nesprávny zlomok \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) bol prevedený na zmiešaná frakcia.

Inými slovami, Pri násobení čísla zlomkom vynásobte číslo čitateľom a menovateľ ponechajte nezmenený. Príklad:

Násobenie zmiešaných frakcií.

Ak chcete násobiť zmiešané zlomky, musíte najprv každý zmiešaný zlomok reprezentovať ako nesprávny zlomok a potom použiť pravidlo násobenia. Čitateľ sa násobí čitateľom, menovateľ sa násobí menovateľom.

Násobenie vzájomných zlomkov a čísel.

Súvisiace otázky:
Ako vynásobiť zlomok zlomkom?
Odpoveď: súčin obyčajných zlomkov je vynásobením čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom. Ak chcete získať produkt zmiešaných zlomkov, musíte ich previesť na nesprávny zlomok a vynásobiť podľa pravidiel.

Ako násobiť zlomky s rôznymi menovateľmi?
Odpoveď: nezáleží na tom, či sú menovatelia zlomkov rovnakí alebo rôzni, násobenie nastáva podľa pravidla na nájdenie súčinu čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom.

Ako násobiť zmiešané zlomky?
Odpoveď: Najprv musíte previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu a potom nájsť produkt podľa pravidiel násobenia.

Ako vynásobiť číslo zlomkom?
Odpoveď: Číslo vynásobíme čitateľom a menovateľa necháme rovnaký.

Príklad č. 1:
Vypočítajte súčin: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Príklad č. 2:
Vypočítajte súčin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac \) b) \(\frac \krát 11\)

Príklad č. 3:
Napíšte prevrátenú hodnotu zlomku \(\frac \)?
Odpoveď: \(\frac = 3\)

Príklad č. 4:
Vypočítajte súčin dvoch recipročných hodnôt: a) \(\frac \krát \frac \)

Príklad č. 5:
Môžu byť vzájomne inverzné zlomky:
a) oba vlastné zlomky;
b) súčasne nesprávne zlomky;
c) prirodzené čísla súčasne?

rozhodnutie:
a) Na odpoveď na prvú otázku použijeme príklad. Zlomok \(\frac \) je správny, jeho prevrátená hodnota sa bude rovnať \(\frac \) - nevlastný zlomok. odpoveď: nie.

b) takmer vo všetkých výpočtoch zlomkov táto podmienka nie je splnená, no sú čísla, ktoré zároveň spĺňajú podmienku, že ide o nevlastný zlomok. Napríklad nevlastný zlomok je \(\frac \) , jeho recipročný zlomok je \(\frac \). Dostaneme dva nesprávne zlomky. Odpoveď: nie vždy za určitých podmienok, keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký.

c) prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame pri počítaní napríklad 1, 2, 3, .... Ak vezmeme číslo \(3 = \frac \), potom jeho recipročné bude \(\frac \). Zlomok \(\frac \) nie je prirodzené číslo. Ak prejdeme cez všetky čísla, prevrátená hodnota je vždy zlomok, okrem 1. Ak vezmeme číslo 1, potom jej prevrátená hodnota bude \(\frac = \frac = 1\). Číslo 1 je prirodzené číslo. Odpoveď: môžu to byť súčasne prirodzené čísla iba v jednom prípade, ak je toto číslo 1.

Príklad č. 6:
Vykonajte súčin zmiešaných frakcií: a) \(4 \krát 2\frac \) b) \(1\frac \krát 3\frac \)

rozhodnutie:
a) \(4 \krát 2\frac = \frac \krát \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \krát 3\frac = \frac \krát \frac = \frac = 4\frac \)

Príklad č. 7:
Môžu dvaja navzájom recipročné byť súčasne zmiešané čísla?

Pozrime sa na príklad. Vezmite zmiešaný zlomok \(1\frac \), nájdite ho recipročné, preto to preložíme na nesprávny zlomok \(1\frac = \frac \) . Jeho recipročná hodnota sa bude rovnať \(\frac \) . Zlomok \(\frac \) je vlastný zlomok. Odpoveď: Dva vzájomne inverzné zlomky nemôžu byť súčasne zmiešanými číslami.

Násobenie desatinného čísla prirodzeným číslom

Prezentácia na lekciu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

• Zábavnou formou priblížiť žiakom pravidlo násobenia desatinného zlomku prirodzeným číslom, bitovou jednotkou a pravidlo vyjadrenia desatinného zlomku v percentách. Rozvíjať schopnosť aplikovať získané poznatky pri riešení príkladov a problémov.
• Rozvíjať a aktivovať logické mysleniežiakov, schopnosť identifikovať vzory a zovšeobecňovať ich, posilňovať pamäť, schopnosť spolupracovať, poskytovať si pomoc, hodnotiť svoju prácu a prácu toho druhého.
• Pestovať záujem o matematiku, aktivitu, mobilitu, schopnosť komunikovať.

Vybavenie: interaktívna tabuľa, plagát so cyphergramom, plagáty s výrokmi matematikov.

1. Organizácia času.
2. Ústne počítanie je zovšeobecnenie predtým preštudovaného materiálu, príprava na štúdium nového materiálu.
3. Vysvetlenie nového materiálu.
4. Domáca úloha.
5. Matematická telesná výchova.
6. Zovšeobecnenie a systematizácia získaných vedomostí hravou formou pomocou počítača.
7. Klasifikácia.

2. Chlapci, dnes budeme mať trochu nezvyčajnú lekciu, pretože ju nestrávim sám, ale s priateľom. A môj priateľ je tiež nezvyčajný, teraz ho uvidíte. (Na obrazovke sa objaví kreslený počítač.) Môj priateľ má meno a vie rozprávať. Ako sa voláš, priateľ? Komposha odpovedá: "Volám sa Komposha." Si pripravený mi dnes pomôcť? ÁNO! Nuž, začnime s lekciou.

Dnes som dostal zašifrovaný šifrovací gram, chlapci, ktorý musíme spoločne vyriešiť a rozlúštiť. (Na nástenke je vyvesený plagát s ústne počítanie na sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov, v dôsledku čoho chlapci dostanú nasledujúci kód 523914687. )

Komposha pomáha dešifrovať prijatý kód. V dôsledku dekódovania sa získa slovo MULTIPLICATION. Násobenie je kľúčové slovo témy dnešnej lekcie. Na monitore sa zobrazí téma lekcie: „Násobenie desatinného zlomku prirodzeným číslom“

Chlapci, vieme, ako sa vykonáva násobenie prirodzených čísel. Dnes sa pozrieme na násobenie. desatinné čísla na prirodzené číslo. Násobenie desatinného zlomku prirodzeným číslom možno považovať za súčet členov, z ktorých každý sa rovná tomuto desatinnému zlomku a počet členov sa rovná tomuto prirodzenému číslu. Napríklad: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Takže 5,21 3 = 15,63. Reprezentujúc 5,21 ako obyčajný zlomok prirodzeného čísla, dostaneme

A v tomto prípade sme dostali rovnaký výsledok 15,63. Teraz, ignorujúc čiarku, zoberme namiesto čísla 5,21 číslo 521 a vynásobme daným prirodzeným číslom. Tu si musíme uvedomiť, že v jednom z faktorov je čiarka posunutá o dve miesta doprava. Pri vynásobení čísel 5, 21 a 3 dostaneme súčin rovný 15,63. Teraz v tomto príklade posunieme čiarku o dve číslice doľava. Teda, koľkokrát sa zvýšil jeden z faktorov, toľkokrát sa znížil produkt. Na základe podobných bodov týchto metód vyvodíme záver.

Na množenie desiatkový na prirodzené číslo potrebujete:
1) ignorujúc čiarku, vykonajte násobenie prirodzených čísel;
2) vo výslednom produkte oddeľte čiarkou vpravo toľko znakov, koľko je v desatinnom zlomku.

Na monitore sú zobrazené nasledujúce príklady, ktoré analyzujeme spolu s Komposha a chalanmi: 5,21 3 = 15,63 a 7,624 15 = 114,34. Potom, čo ukážem násobenie podľa okrúhle číslo 12,6 50 = 630. Ďalej prejdem k násobeniu desatinného zlomku bitovou jednotkou. Ukážem nasledujúce príklady: 7,423 100 \u003d 742,3 a 5,2 1000 \u003d 5200. Zavádzam teda pravidlo pre násobenie desatinného zlomku bitovou jednotkou:

Na vynásobenie desatinného zlomku bitovými jednotkami 10, 100, 1000 atď. je potrebné posunúť čiarku v tomto zlomku doprava o toľko číslic, koľko núl je v zázname bitovej jednotky.

Výklad končím vyjadrením desatinného zlomku v percentách. Zadávam pravidlo:

Ak chcete vyjadriť desatinné číslo v percentách, vynásobte ho 100 a pridajte znak %.

Uvádzam príklad na počítači 0,5 100 = 50 alebo 0,5 = 50 %.

4. Na konci výkladu dávam chlapom domáca úloha, ktorý sa zobrazuje aj na monitore počítača: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Aby si chalani trochu oddýchli, upevnili tému, robíme spolu s Kompošou matematickú telesnú výchovu. Každý sa postaví, ukáže triede vyriešené príklady a oni musia odpovedať, či je príklad správny alebo nesprávny. Ak je príklad vyriešený správne, zdvihnú ruky nad hlavu a tlieskajú dlaňami. Ak príklad nie je vyriešený správne, chlapci natiahnu ruky do strán a miesia prsty.

6. A teraz si trochu oddýchnite, môžete riešiť úlohy. Otvor si učebnicu na stranu 205, № 1029. v tejto úlohe je potrebné vypočítať hodnotu výrazov:

Úlohy sa zobrazia v počítači. Po ich vyriešení sa objaví obrázok s obrázkom člna, ktorý po úplnom zložení odpláva.

Riešením tejto úlohy na počítači sa raketa postupne vyvíja, vyriešením posledného príkladu raketa odletí. Učiteľka dáva žiakom malú informáciu: „Každý rok vzlietnuť z kazašskej zeme z kozmodrómu Bajkonur ku hviezdam. vesmírne lode. Neďaleko Bajkonuru buduje svoj vlastný Kazachstan nový kozmický prístav Baiterek.

Ako ďaleko prejde auto za 4 hodiny, ak je rýchlosť osobný automobil 74,8 km/h.

Darčekový certifikát Neviete čím obdarovať svoju polovičku, priateľov, zamestnancov, príbuzných? Využite našu špeciálnu ponuku: „Darčekový certifikát hotela Blue Osoka Country Hotel.“ Certifikát […]

) a menovateľ menovateľom (dostaneme menovateľa súčinu).

Vzorec na násobenie zlomkov:

Napríklad:

Pred pristúpením k násobeniu čitateľov a menovateľov je potrebné skontrolovať možnosť zníženia zlomkov. Ak sa vám podarí zlomok znížiť, bude pre vás jednoduchšie pokračovať vo výpočtoch.

Delenie obyčajného zlomku zlomkom.

Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené číslo.

Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako v prípade sčítania prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:

Násobenie zmiešaných frakcií.

Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):

• previesť zmiešané frakcie na nesprávne;
• vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov;
• znížime zlomok;
• ak dostaneme nevlastný zlomok, tak premeníme nevlastný zlomok na zmiešaný.

Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr uviesť do tvaru nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.

Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.

Výhodnejšie je použiť druhú metódu násobenia obyčajného zlomku číslom.

Poznámka! Na vynásobenie zlomku prirodzeným číslom je potrebné vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a ponechať čitateľa nezmenený.

Z uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť vtedy, keď je menovateľ zlomku bezo zvyšku delený prirodzeným číslom.

Viacúrovňové zlomky.

Na strednej škole sa často nachádzajú trojposchodové (alebo viac) zlomky. Príklad:

Aby sa takýto zlomok dostal do jeho obvyklej podoby, používa sa rozdelenie na 2 body:

Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.

Poznámka, Napríklad:

Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:

Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Je lepšie zapísať si do návrhu pár riadkov navyše, ako sa zmiasť vo výpočtoch v hlave.

2. V úlohách s odlišné typy zlomky - prejdite na formu obyčajných zlomkov.

3. Všetky frakcie redukujeme, až kým to už nie je možné.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy prenesieme na bežné, pomocou delenia cez 2 body.

5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.

Násobenie obyčajných zlomkov

Zvážte príklad.

Nech je na tanieri $\frac(1)(3)$ časť jablka. Musíme nájsť jeho časť $\frac(1)(2)$. Požadovaná časť je výsledkom vynásobenia zlomkov $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(2)$. Výsledkom násobenia dvoch spoločných zlomkov je spoločný zlomok.

Násobenie dvoch bežných zlomkov

Pravidlo na násobenie obyčajných zlomkov:

Výsledkom vynásobenia zlomku zlomkom je zlomok, ktorého čitateľ sa rovná súčinu čitateľov vynásobených zlomkov a menovateľ sa rovná súčinu menovateľov:

Príklad 1

Vynásobte obyčajné zlomky $\frac(3)(7)$ a $\frac(5)(11)$.

rozhodnutie.

Využime pravidlo násobenia obyčajných zlomkov:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

odpoveď:$\frac(15)(77)$

Ak sa v dôsledku násobenia zlomkov získa zrušiteľný alebo nesprávny zlomok, potom je potrebné ho zjednodušiť.

Príklad 2

Vynásobte zlomky $\frac(3)(8)$ a $\frac(1)(9)$.

rozhodnutie.

Na násobenie obyčajných zlomkov používame pravidlo:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Výsledkom je, že sme dostali redukovateľný zlomok (na základe delenia 3 $. Vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku 3 $, dostaneme:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Krátke riešenie:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

odpoveď:$\frac(1)(24).$

Pri násobení zlomkov môžete zmenšiť čitateľov a menovateľov, aby ste našli ich súčin. V tomto prípade sa čitateľ a menovateľ zlomku rozložia na jednoduché faktory, po ktorých sa opakujúce sa faktory znížia a nájde sa výsledok.

Príklad 3

Vypočítajte súčin zlomkov $\frac(6)(75)$ a $\frac(15)(24)$.

rozhodnutie.

Na násobenie obyčajných zlomkov použijeme vzorec:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ obsahujú čísla, ktoré možno v pároch zmenšiť o čísla $2$, $3$ a $5$. Rozložíme čitateľa a menovateľa na jednoduché faktory a urobíme redukciu:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

odpoveď:$\frac(1)(20).$

Pri násobení zlomkov možno použiť komutatívny zákon:

Násobenie zlomku prirodzeným číslom

Pravidlo pre násobenie obyčajného zlomku prirodzeným číslom:

Výsledkom vynásobenia zlomku prirodzeným číslom je zlomok, v ktorom sa čitateľ rovná súčinu čitateľa vynásobeného zlomku prirodzeným číslom a menovateľ sa rovná menovateľovi vynásobeného zlomku:

kde $\frac(a)(b)$ je bežný zlomok, $n$ je prirodzené číslo.

Príklad 4

Vynásobte zlomok $\frac(3)(17)$ hodnotou $4$.

rozhodnutie.

Využime pravidlo násobenia obyčajného zlomku prirodzeným číslom:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

odpoveď:$\frac(12)(17).$

Nezabudnite skontrolovať výsledok násobenia na kontrahovateľnosť zlomku alebo na nesprávny zlomok.

Príklad 5

Vynásobte zlomok $\frac(7)(15)$ hodnotou $3$.

rozhodnutie.

Použime vzorec na násobenie zlomku prirodzeným číslom:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Kritériom delenia číslom $3$) možno určiť, že výsledný zlomok možno zmenšiť:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Výsledkom je nesprávny zlomok. Zoberme si celú časť:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Krátke riešenie:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Zlomky bolo možné zmenšiť aj nahradením čísel v čitateli a menovateli ich rozšíreniami na prvočísla. V tomto prípade môže byť riešenie napísané takto:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

odpoveď:$1\frac(2)(5).$

Pri násobení zlomku prirodzeným číslom môžete použiť komutatívny zákon:

Delenie obyčajných zlomkov

Operácia delenia je inverzná k násobeniu a jej výsledkom je zlomok, ktorým musíte vynásobiť známy zlomok, aby ste získali známy súčin dvoch zlomkov.

Delenie dvoch bežných zlomkov

Pravidlo na delenie obyčajných zlomkov: Je zrejmé, že čitateľ a menovateľ výsledného zlomku možno rozložiť na jednoduché faktory a znížiť:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

V dôsledku toho sme dostali nesprávny zlomok, z ktorého vyberieme celú časť:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

odpoveď:$1\frac(5)(9).$