Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie. algebraické zlomky s rôznych menovateľov. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rôznymi menovateľmi. Na to je potrebné zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Zároveň už vieme, ako zredukovať algebraické zlomky na spoločného menovateľa. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je jedným z najdôležitejších a ťažké témy v 8. ročníku. Okrem toho sa táto téma nachádza v mnohých témach kurzu algebry, ktoré budete študovať v budúcnosti. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi, ako aj analyzujeme množstvo typických príkladov.
Zvážte najjednoduchší príklad pre bežné zlomky.
Príklad 1 Pridajte zlomky: .
rozhodnutie:
Pamätajte na pravidlo sčítania zlomkov. Na začiatok treba zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom obyčajných zlomkov je najmenší spoločný násobok(LCM) pôvodných menovateľov.
Definícia
Najmenej prirodzené číslo, ktorý je deliteľný súčasne číslami a .
Na nájdenie LCM je potrebné rozšíriť menovateľov do hlavné faktory a potom vyberte všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté v expanzii oboch menovateľov.
; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve 2 a dve 3: .
Po nájdení spoločného menovateľa je potrebné nájsť ďalší faktor pre každý zo zlomkov (v skutočnosti vydeľte spoločného menovateľa menovateľom príslušného zlomku).
Potom sa každý zlomok vynásobí výsledným dodatočným faktorom. Dostaneme zlomky s rovnakými menovateľmi, ktoré sme sa naučili sčítať a odčítať v predchádzajúcich lekciách.
Dostaneme: 
.
odpoveď:.
Zvážte teraz sčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv zvážte zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla.
Príklad 2 Pridajte zlomky: .
rozhodnutie:
Algoritmus riešenia je úplne podobný predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké nájsť spoločného menovateľa pre tieto zlomky: a ďalšie faktory pre každý z nich.
.
odpoveď:.
Poďme teda formulovať algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:
1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.
2. Nájdite ďalšie faktory pre každý zo zlomkov (vydelením spoločného menovateľa menovateľom tohto zlomku).
3. Vynásobte čitateľov príslušnými dodatočnými faktormi.
4. Sčítajte alebo odčítajte zlomky pomocou pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Uvažujme teraz o príklade so zlomkami, ktorých menovateľ má doslovné výrazy.
Príklad 3 Pridajte zlomky: .
rozhodnutie:
Keďže doslovné výrazy v oboch menovateľoch sú rovnaké, mali by ste pre čísla nájsť spoločného menovateľa. Konečný spoločný menovateľ bude vyzerať takto: . Takže riešenie tohto príkladu je:
odpoveď:.
Príklad 4 Odčítajte zlomky: .
rozhodnutie:
Ak nemôžete „podvádzať“ pri výbere spoločného menovateľa (nemôžete ho faktorizovať ani použiť skrátené vzorce na násobenie), potom musíte za spoločného menovateľa brať súčin menovateľov oboch zlomkov.
odpoveď:.
Vo všeobecnosti pri rozhodovaní podobné príklady, najťažšou úlohou je nájsť spoločného menovateľa.
Pozrime sa na zložitejší príklad.
Príklad 5 Zjednodušiť: .
rozhodnutie:
Pri hľadaní spoločného menovateľa sa musíte najskôr pokúsiť rozložiť menovateľov pôvodných zlomkov (pre zjednodušenie spoločného menovateľa).
V tomto konkrétnom prípade:
Potom je ľahké určiť spoločného menovateľa: 
.
Zisťujeme ďalšie faktory a riešime uvedený príklad:
odpoveď:.
Teraz opravíme pravidlá sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad 6 Zjednodušiť: .
rozhodnutie:
odpoveď:.
Príklad 7 Zjednodušiť: .
rozhodnutie:
.
odpoveď:.
Uvažujme teraz o príklade, v ktorom sa nepridávajú dva, ale tri zlomky (napokon, pravidlá sčítania a odčítania pre viac zlomky zostávajú rovnaké).
Príklad 8 Zjednodušiť: .
Obsah lekcieSčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Sčítanie zlomkov je dvoch typov:
- Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
- Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Začnime sčítaním zlomkov s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a menovateľa ponechať nezmenený. Sčítajme napríklad zlomky a . Pridáme čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:
Príklad 2 Pridajte zlomky a .
Odpoveď je nesprávny zlomok. Ak príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nesprávnej frakcie, musíte v nej vybrať celú časť. V našom prípade je celá časť ľahko rozlíšiteľná - dve delené dvoma sa rovnajú jednej:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pízz, získate jednu celú pizzu:
Príklad 3. Pridajte zlomky a .
Opäť pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:
Príklad 4 Nájdite hodnotu výrazu 
Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:
Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú pizzu a viac pízz.
Ako vidíte, pridávanie zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je ťažké. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:
- Ak chcete pridať zlomky s rovnakým menovateľom, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;
Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítaní zlomkov musia byť menovatelia týchto zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.
Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.
Zlomky však nemožno sčítať naraz, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.
Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes zvážime iba jednu z nich, pretože ostatné metódy sa pre začiatočníka môžu zdať komplikované.
Podstata tejto metódy spočíva v tom, že sa hľadá prvý (LCM) z menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhým zlomkom - LCM sa vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor.
Potom sa čitatelia a menovatelia zlomkov vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.
Príklad 1. Pridajte frakcie a
V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6
LCM (2 a 3) = 6
Teraz späť k zlomkom a . Najprv vydelíme LCM menovateľom prvého zlomku a získame prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.
Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným faktorom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobíme malú šikmú čiaru nad zlomkom a nad ním zapíšeme nájdený dodatočný faktor:
To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.
Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným faktorom. Napíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru nad druhým zlomkom a nad ňu napíšeme nájdený ďalší faktor:
Teraz sme všetci pripravení pridať. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:
Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Dokončite tento príklad až do konca:
Tým sa príklad končí. Ak chcete pridať, ukazuje sa.
Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:
Redukciu zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením zlomkov a do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto dve frakcie budú reprezentované rovnakými plátkami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).
Prvý obrázok ukazuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Zložením týchto kúskov dostaneme (sedem kúskov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme v ňom zvýraznili celočíselnú časť. Výsledok bol (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).
Všimnite si, že sme tento príklad namaľovali príliš podrobne. AT vzdelávacie inštitúcie nebýva zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo znásobiť dodatočné faktory nájdené vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:
Je tu však aj druhá strana mince. Ak sa v prvých fázach štúdia matematiky nerobia podrobné poznámky, potom otázky tohto druhu "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.
Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:
- Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
- Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok;
- Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
- Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
- Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 
.
Využime vyššie uvedené pokyny.
Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov
Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4
Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte ďalší multiplikátor pre každý zlomok
Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez prvý zlomok:
Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Získame druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho cez druhý zlomok:
Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Získame tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez tretí zlomok:
Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov vašimi ďalšími faktormi
Čitateľov a menovateľov vynásobíme našimi ďalšími faktormi:
Krok 4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva pridať tieto zlomky. Sčítať:
Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, tak sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, prenesie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadka a na začiatok je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Nový riadok. Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.
Krok 5. Ak sa odpoveď ukázala ako nesprávny zlomok, vyberte v nej celú časť
Naša odpoveď je nesprávny zlomok. Musíme vyčleniť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:
Dostal som odpoveď
Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
Existujú dva typy odčítania zlomkov:
- Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
- Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s rovnakými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať rovnaký.
Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Na vyriešenie tohto príkladu je potrebné odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a ponechať menovateľa nezmenený. Poďme to spraviť:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.
Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:
Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si predstavíme pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu 
Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:
Ako vidíte, pri odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:
- Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
- Ak sa ukázalo, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.
Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Napríklad zlomok možno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rovnakých menovateľov. Zlomok však nemožno od zlomku odčítať, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.
Spoločný menovateľ sa nachádza podľa rovnakého princípu, aký sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez prvý zlomok. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý sa prepíše cez druhý zlomok.
Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, zmenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu:
Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.
Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12
LCM (3 a 4) = 12
Teraz späť k zlomkom a
Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Štvorku napíšeme nad prvý zlomok:
To isté robíme s druhým zlomkom. LCM delíme menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku cez druhý zlomok:
Teraz sme všetci pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončite tento príklad až do konca:
Dostal som odpoveď
Skúsme znázorniť naše riešenie pomocou obrázka. Ak nakrájate pizzu z pizze, dostanete pizzu.
Toto je podrobná verzia riešenia. Byť v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:
Redukciu zlomkov a na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Privedením týchto zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké zlomky (redukované na rovnakého menovateľa):
Prvý obrázok ukazuje zlomok (osem kusov z dvanástich) a druhý obrázok zobrazuje zlomok (tri kusy z dvanástich). Odrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.
Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu 
Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, takže ich najprv musíte priviesť k rovnakému (spoločnému) menovateľovi.
Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.
Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30
LCM(10,3,5) = 30
Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, delíme LCM menovateľom každého zlomku.
Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho cez prvý zlomok:
Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 číslom 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho cez druhý zlomok:
Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Vydelením 30 číslom 5 dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho cez tretí zlomok:
Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:
Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré majú rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.
Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:
Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok a zdá sa, že nám všetko vyhovuje, ale je príliš ťažkopádna a škaredá. Mali by sme to uľahčiť. čo sa dá robiť Tento zlomok môžete znížiť.
Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte vydeliť jeho čitateľa a menovateľa (gcd) číslami 20 a 30.
Nájdeme teda GCD čísel 20 a 30:
Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným GCD, to znamená 10
Dostal som odpoveď
Násobenie zlomku číslom
Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa daného zlomku týmto číslom a menovateľa ponechať rovnaký.
Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.
Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1
Vstup možno chápať tak, že si vezmete polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu 1 krát, dostanete pizzu
Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene násobiteľa a násobiteľa, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:
Tento zápis možno chápať ako odber polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4
Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:
Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete pizzu 4-krát, dostanete dve celé pizze.
A ak miestami zameníme násobilku a násobiteľa, dostaneme výraz. Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:
Násobenie zlomkov
Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak je odpoveďou nesprávny zlomok, musíte v nej vybrať celú časť.
Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.
Dostal som odpoveď. Je žiaduce znížiť daný zlomok. Zlomok možno zmenšiť o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu podobu:
Výraz možno chápať tak, že zoberiete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:
Ako odobrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:
A vezmite si dva z týchto troch kúskov:
Dáme si pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:
Jeden plátok z tejto pizze a dva plátky, ktoré sme odobrali, budú mať rovnaké rozmery:
Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto je hodnota výrazu
Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:
Odpoveď je nesprávny zlomok. Zoberme si z toho celú časť:
Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu
Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:
Odpoveď sa ukázala ako správny zlomok, ale bude dobré, ak sa zníži. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločný deliteľ(gcd) čísla 105 a 450.
Takže nájdime GCD čísel 105 a 450:
Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede na GCD, ktorú sme teraz našli, teda 15
Predstavuje celé číslo ako zlomok
Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . Z toho päť nezmení svoj význam, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“, a to, ako viete, sa rovná päť:
Obrátené čísla
Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavou témou z matematiky. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.
Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jednotku.
Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:
Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku.
Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že môžete. Predstavme päť ako zlomok:
Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, len prevrátený:
Aký bude výsledok? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:
To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo, pretože keď sa 5 vynásobí jednotkou, dostaneme jednotku.
Prevrátenú hodnotu možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.
Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu pre akýkoľvek iný zlomok. K tomu ho stačí otočiť.
Delenie zlomku číslom
Povedzme, že máme polovicu pizze:
Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?
Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.
Delenie zlomkov sa robí pomocou reciprokých. Recipročné vám umožňujú nahradiť delenie násobením.
Ak chcete rozdeliť zlomok číslom, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa.
Pomocou tohto pravidla si zapíšeme rozdelenie našej polovice pizze na dve časti.
Preto musíte zlomok vydeliť číslom 2. Dividenda je tu zlomok a deliteľ je 2.
Ak chcete rozdeliť zlomok číslom 2, musíte tento zlomok vynásobiť prevrátenou hodnotou deliteľa 2. Prevrátená hodnota deliteľa 2 je zlomok. Takže musíte násobiť
§ 87. Sčítanie zlomkov.
Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je činnosť spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.
Postupne zvážime tri prípady:
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad: 1/5 + 2/5 .
Vezmite segment AB (obr. 17), vezmite ho ako jednotku a rozdeľte ho na 5 rovnakých častí, potom sa časť AC tohto segmentu bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.
Z nákresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Vzhľadom na tieto pojmy a výslednú sumu vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.
Odtiaľto sa dostaneme ďalšie pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnakého menovateľa.
Zvážte príklad:
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pridajme zlomky: 3/4 + 3/8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:
Medzičlánok 6/8 + 3/8 nemohol byť napísaný; pre väčšiu prehľadnosť sme to napísali sem.
Ak teda chcete sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi, pridať ich čitateľov a podpísať spoločného menovateľa.
Zvážte príklad (napíšeme ďalšie faktory nad zodpovedajúce zlomky):
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
Sčítajme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najprv privedieme zlomkové časti našich čísel k spoločnému menovateľovi a znova ich prepíšeme:
Teraz postupne pridajte celé číslo a zlomkové časti:
§ 88. Odčítanie zlomkov.
Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pri ktorej sa na základe súčtu dvoch výrazov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Pozrime sa postupne na tri prípady:
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad:
13 / 15 - 4 / 15
Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED, rovný 4/15 AB.
Musíme odpočítať 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:
Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov a menovateľ zostal rovnaký.
Preto, aby ste odčítali zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa podhodnoty od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad. 3/4 - 5/8
Najprv zredukujme tieto zlomky na najmenšieho spoločného menovateľa:
Pre prehľadnosť je tu napísaný medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8, ale v budúcnosti sa dá preskočiť.
Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najskôr priviesť k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, potom odčítať čitateľa podradníka od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.
Zvážte príklad:
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Priblížme zlomkové časti minuendu a subtrahendu k najnižšiemu spoločnému menovateľovi:
Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celočíselnej časti redukovaného, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať k zlomkovej časti redukovaného. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:
§ 89. Násobenie zlomkov.
Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percent daného čísla. Uvažujme ich postupne.
1. Násobenie zlomku celým číslom.
Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobenie zlomku (násobiteľa) celým číslom (násobiteľom) znamená zostavenie súčtu identických členov, pričom každý člen sa rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.
Ak teda potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:
Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. teda
Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko jednotiek obsahuje celé číslo. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa
alebo znížením jeho menovateľa 
, potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a ponechať rovnaký menovateľ alebo, ak je to možné, vydeliť menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.
Pri násobení sú možné skratky, napr.
2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito úlohami a ostatnými je v tom, že udávajú počet niektorých predmetov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Aby sme uľahčili pochopenie, najprv uvedieme príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.
Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?
Úloha 2. Vlak musí prekonať vzdialenosť medzi mestami A a B, ktorá sa rovná 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?
Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko tehlové domy?
Tu sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa musíme vysporiadať, aby sme našli zlomok daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.
Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; Ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:
Riešenie problému 2. Význam problému je, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Vypočítajte prvú 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:
300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, to znamená vynásobiť 2:
100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).
Riešenie problému 3. Tu je potrebné určiť počet murovaných domov, ktorých sú 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,
400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).
Na výpočet troch štvrtín zo 400 sa musí výsledný kvocient strojnásobiť, to znamená vynásobiť 3:
100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).
Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete zistiť hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
Skôr (§ 26) sa stanovilo, že násobenie celých čísel by sa malo chápať ako sčítanie rovnakých výrazov (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odseku (odsek 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.
V oboch prípadoch násobenie spočívalo v nájdení súčtu identických členov.
Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je celkom zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia v tomto prípade neplatí. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.
Kvôli tomu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t.j. inými slovami, odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.
Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobiť celé číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.
Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.
Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo práve na prvý pohľad rôzne aktivity, ako hľadanie súčtu rovnakých čísel a hľadanie zlomku čísla, sa v aritmetike nazývajú rovnakým slovom "násobenie"?
Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpoveď na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia jednou a tou istou akciou.
Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?
Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).
Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené ako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?
Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).
Čísla v ňom môžete zmeniť aj niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad zoberte 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.
Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.
Ako sa celé číslo vynásobí zlomkom?
Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:
Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdeme 1/4 z 50 a potom 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z 50 je .
Preto
Zvážte ďalší príklad: 12 5 / 8 = ?
1/8 z 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
teda
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.
Toto pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38
Je potrebné mať na pamäti, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) škrty, Napríklad:
4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, to znamená, že pri násobení zlomku zlomkom je potrebné nájsť zlomok v násobilke z prvého zlomku (násobilky).
Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.
Ako vynásobíte zlomok zlomkom?
Vezmime si príklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Nájdite najskôr 1/7 z 3/4 a potom 5/7
1/7 z 3/4 by bola vyjadrená takto:
5/7 číslic 3/4 budú vyjadrené takto:
teda
Ďalší príklad: 5/8 krát 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 čísla 5/8 sú .
teda 
Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.
Toto je pravidlo v všeobecný pohľad možno napísať takto:
Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Zvážte príklady:
5. Násobenie zmiešaných čísel. Keďže zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v tých prípadoch, kde je vyjadrený multiplikátor, alebo faktor, alebo oba faktory zmiešané čísla, potom sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobte napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Premeňme každý z nich na správny zlomok a potom vynásobíme výsledné zlomky podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom:
Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom.
Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, násobenie možno vykonať na základe distribučného zákona takto:
6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a pri vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Treba však mať na pamäti, že mnohé veličiny nepripúšťajú žiadne, ale prirodzené členenia. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to cent, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok alebo desetník. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Neberte si napríklad 2/7 rubľov, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.
Jednotka hmotnosti, t.j. kilogram, umožňuje v prvom rade desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/ 13 nie sú bežné.
Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desiatkové delenie.
Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto opodstatneným delením je delenie na „stovky“. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.
1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.
Príklad. Predchádzajúca cena knihy je 10 rubľov. Klesla o 1 rubeľ. 20 kop.
2. Záložne vyplácajú v priebehu roka vkladateľom 2/100 zo sumy, ktorá sa vloží do sporenia.
Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.
PRÍKLAD Na škole študovalo len 1200 žiakov, z nich 60 školu ukončilo.
Stotina čísla sa nazýva percento..
Slovo „percento“ je prevzaté z latinčina a jeho koreň "cent" znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že spočiatku v staroveký Rímúroky boli peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každú stovku“. Slovo "cent" sa počúva v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (hovoria centimeter).
Napríklad, namiesto toho, aby sme povedali, že závod vyrobil 1/100 všetkých produktov, ktoré vyrobil za posledný mesiac, povieme toto: závod vyrobil za posledný mesiac jedno percento nepodarkov. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.
Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:
1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.
2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy vloženej do sporenia.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent z počtu všetkých žiakov školy.
Na skrátenie písmena je zvykom písať namiesto slova „percento“ znak %.
Treba však pamätať na to, že znamienko % sa zvyčajne nezapisuje do výpočtov, môže sa zapísať do úlohy a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s touto ikonou napísať zlomok s menovateľom 100.
Musíte byť schopní nahradiť celé číslo zadanou ikonou zlomkom s menovateľom 100:
Naopak, musíte si zvyknúť písať celé číslo s naznačenou ikonou namiesto zlomku s menovateľom 100:
7. Nájdenie percent daného čísla.
Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového dreva?
Význam tohto problému je v tom, že brezové palivové drevo bolo len časťou palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená zlomkom 30/100. Stojíme teda pred úlohou nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30 / 100 (úlohy na nájdenie zlomku čísla riešime vynásobením čísla zlomkom.).
Takže 30 % z 200 sa rovná 60.
Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, umožňuje zníženie o 10. Toto zníženie by bolo možné vykonať od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.
Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Detí vo veku 11 rokov bolo 21 %, detí vo veku 12 rokov bolo 61 % a napokon 13-ročných 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?
V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, to znamená postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.
Takže tu bude potrebné nájsť zlomok čísla trikrát. Poďme na to:
1) Koľko detí malo 11 rokov?
2) Koľko detí malo 12 rokov?
3) Koľko detí malo 13 rokov?
Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:
63 + 183 + 54 = 300
Mali by ste tiež venovať pozornosť skutočnosti, že súčet percent uvedených v podmienke problému je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje celkový počet deti, ktoré boli v tábore boli brané ako 100%.
3 a da cha 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na stravu, 6 % na byt a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?
Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte 5-krát nájsť zlomok čísla 1 200. Poďme na to.
1) Koľko peňazí sa minie na jedlo? Úloha hovorí, že tento výdavok je 65 % zo všetkých zárobkov, teda 65 / 100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:
2) Koľko peňazí sa zaplatilo za byt s kúrením? Argumentujúc ako predchádzajúci, dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:
3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?
4) Koľko peňazí sa vynakladá na kultúrne potreby?
5) Koľko peňazí pracovník ušetril?
Pre overenie je užitočné pridať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percent uvedených vo vyhlásení o probléme.
Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto úlohy boli o rôznych veciach (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky pracovníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent z daných čísel.
§ 90. Delenie zlomkov.
Pri štúdiu delenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla podľa jeho zlomku.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Uvažujme ich postupne.
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
Ako bolo naznačené v časti celé čísla, delenie je dej spočívajúci v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.
Delenie celého čísla celým číslom sme uvažovali v oddelení celých čísel. Stretli sme sa tam s dvomi prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150 : 10 = 15) a delenie so zvyškom (100 : 9 = 11 a 1 vo zvyšku). Môžeme teda povedať, že v oblasti celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa a celého čísla. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).
Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin krát 12 by bol 7. Toto číslo je zlomok 7/12, pretože 7/12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.
Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ je deliteľ.
2. Delenie zlomku celým číslom.
Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa definície delenia uvedenej vyššie tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); je potrebné nájsť taký druhý faktor, ktorý po vynásobení 3 dostane daný súčin 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá bola pred nami, bolo znížiť zlomok 6/7 3-krát.
Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď zmenšením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:
V tomto prípade je čitateľ 6 deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.
Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:
Na základe toho môžeme stanoviť pravidlo: Ak chcete rozdeliť zlomok celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.
3. Delenie celého čísla zlomkom.
Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Je zrejmé, že toto číslo musí byť väčšie ako 5, keďže 1/2 je vlastný zlomok, a pri vynásobení čísla správnym zlomkom musí byť súčin menší ako násobiteľ. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.
Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobiť určité číslo 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X je 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 \u003d 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Skontrolujme to: 
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 6 2/3. Skúsme najskôr nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslite segment AB, ktorý sa rovná 6 z niektorých jednotiek, a rozdeľte každú jednotku na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3 / 3) v celom segmente AB 6-krát väčšie, t.j. napríklad 18/3. Spájame pomocou malých konzol 18 získaných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v b jednotkách 9-krát, alebo, inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. teda
Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Budeme argumentovať nasledovne: je potrebné deliť 6 2/3, t.j. je potrebné odpovedať na otázku, koľkokrát je 2/3 obsiahnutých v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnuté v 6? V celej jednotke - 3 tretiny a v 6 jednotkách - 6 krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. Preto 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale polovične, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:
Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.
Pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Všimnite si, že tam bol získaný rovnaký vzorec.
Pri delení sú možné skratky, napr.
4. Delenie zlomku zlomkom.
Nech je potrebné deliť 3/4 3/8. Čo bude označovať číslo, ktoré sa získa v dôsledku delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).
Vezmite segment AB, vezmite ho ako celok, rozdeľte ho na 4 rovnaké časti a označte 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch počiatočných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojíme 3 takéto segmenty s oblúkmi, potom sa každý zo segmentov AD a DC bude rovnať 3/8 segmentu AB. Na výkrese je znázornené, že segment rovnajúci sa 3/8 je obsiahnutý v segmente rovnajúcemu sa 3/4 presne 2-krát; Takže výsledok delenia možno zapísať takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 15/16 3/32:
Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznáme číslo X make up 15/16
1/32 neznáme číslo X je ,
32/32 čísel X makeup .
teda
Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa a druhý menovateľ.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Pri delení sú možné skratky, napr.
5. Delenie zmiešaných čísel.
Pri delení zmiešaných čísel ich treba najskôr previesť na nesprávne zlomky, výsledné zlomky potom rozdeľte podľa pravidiel na delenie zlomkových čísel. Zvážte príklad:
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Teraz sa rozdeľme:
Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť podľa pravidla na delenie zlomkov.
6. Nájdenie čísla podľa jeho zlomku.
Medzi rôzne úlohy na zlomkoch sa niekedy vyskytujú také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a je potrebné toto číslo nájsť. Tento typ problému bude inverzný k problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu je zadaný zlomok čísla a je potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa obrátime na riešenie tohto typu problému.
Úloha 1. V prvý deň sklenári zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?
rozhodnutie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.
Dom mal 150 okien.
Úloha 2. Predajňa predala 1500 kg múky, čo sú 3/8 z celkových zásob múky v predajni. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?
rozhodnutie. Zo stavu problému je vidieť, že predaných 1500 kg múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto zásoby bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:
1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).
Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. teda
500 8 \u003d 4 000 (kg).
Počiatočná zásoba múky v predajni bola 4000 kg.
Z uvažovania o tomto probléme možno odvodiť nasledujúce pravidlo.
Ak chcete nájsť číslo zadanou hodnotou jeho zlomku, stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.
Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť dobre vidieť z posledného, sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).
Keď sme si však preštudovali delenie zlomkov, vyššie uvedené problémy možno vyriešiť jednou akciou, a to: delenie zlomkom.
Napríklad posledná úloha sa dá vyriešiť jednou akciou takto:
V budúcnosti vyriešime problém hľadania čísla jeho zlomkom v jednej akcii – delení.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
V týchto úlohách budete musieť nájsť číslo a poznať niekoľko percent tohto čísla.
Úloha 1. Začiatkom tohto roka som dostal od sporiteľne 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne.)
Zmysel problému je v tom, že určitú sumu peňazí som vložil do sporiteľne a ležal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?
Preto, keď poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce úlohy sa riešia delením:
Do sporiteľne sa teda vložilo 3 000 rubľov.
Úloha 2. Za dva týždne rybári splnili mesačný plán na 64 %, keď pripravili 512 ton rýb. Aký mali plán?
Zo stavu problému je známe, že rybári časť plánu splnili. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Koľko ton rýb treba podľa plánu vyloviť, nevieme. Riešenie problému bude spočívať v nájdení tohto čísla.
Takéto úlohy sa riešia rozdelením:
Takže podľa plánu musíte pripraviť 800 ton rýb.
Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30% celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?
Zo stavu problému je zrejmé, že 30% cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:
§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.
Vezmite zlomok 2/3 a preusporiadajte čitateľa na miesto menovateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme zlomok, recipročný tohto.
Aby ste dostali zlomok prevrátený k danému, musíte na miesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a na miesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať zlomok, ktorý je prevrátený k ľubovoľnému zlomku. Napríklad:
3/4, spätný chod 4/3; 5/6, spätný chod 6/5
Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.
Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Hľadáme zlomok, ktorý je prevrátený, a dostali sme celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:
1/3, prevrátená 3; 1/5, obrátene 5
Keďže pri hľadaní recipročných sme sa stretli aj s celými číslami, v budúcnosti sa nebudeme baviť o recipročných, ale o recipročné.
Poďme zistiť, ako napísať prevrátenú hodnotu celého čísla. V prípade zlomkov je to vyriešené jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľa 1. Takže prevrátená hodnota 7 bude 1 / 7, pretože 7 \u003d 7 / 1; pre číslo 10 je to naopak 1/10, pretože 10 = 10/1
Túto myšlienku možno vyjadriť aj inak: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. Skutočne, ak chcete napísať číslo, inverzný zlomok 5/9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť to 5/9, t.j.
Teraz poukážeme na jeden nehnuteľnosť vzájomne recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin vzájomne recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:
Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné hodnoty nasledujúcim spôsobom. Nájdite prevrátenú hodnotu 8.
Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdime iné číslo, prevrátené číslo 7/12, označme ho písmenom X , potom 7/12 X = 1, teda X = 1:7 / 12 alebo X = 12 / 7 .
Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.
Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:
zaplatiť Osobitná pozornosť k výrazu a porovnajte ho s daným: .
Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch je výsledok rovnaký. Takže môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.
Štúdium problematiky odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi sa nachádza v školskom predmete Algebra v ôsmom ročníku a deťom to niekedy sťažuje pochopenie. Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi použite nasledujúci vzorec:
Postup pri odčítaní zlomkov je podobný ako pri sčítaní, pretože úplne kopíruje princíp činnosti.
Najprv vypočítame najviac malý počet, čo je násobok jedného aj druhého menovateľa.
Po druhé, vynásobíme čitateľa a menovateľa každého zlomku určitým číslom, čo nám umožní dostať menovateľa na daný minimálny spoločný menovateľ.
Po tretie, prebieha samotný postup odčítania, keď sa v dôsledku toho menovateľ duplikuje a čitateľ druhého zlomku sa odpočíta od prvého.
Príklad: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 celé číslo 1/6
Najprv ich musíte priviesť k rovnakému menovateľovi a potom ich odpočítať. Napríklad 1/2 – 1/4 = 2/4 – 1/4 = 1/4. Alebo ťažšie, 1/3 - 1/5 = 5/15 - 3/15 = 2/15. Potrebujete vysvetliť, ako sa zlomky redukujú na spoločného menovateľa?
Pri operáciách ako sčítanie alebo odčítanie obyčajných zlomkov s rôznymi menovateľmi platí jednoduché pravidlo – menovatele týchto zlomkov sa zredukujú na jedno číslo a samotná operácia sa vykoná s číslami v čitateli. To znamená, že zlomky majú spoločného menovateľa a zdá sa, že sú spojené do jedného. Nájdenie spoločného menovateľa pre ľubovoľné zlomky zvyčajne spočíva v jednoduchom vynásobení každého zo zlomkov menovateľom druhého zlomku. Ale v jednoduchších prípadoch môžete okamžite nájsť faktory, ktoré prinesú menovateľov zlomkov na rovnaké číslo.
Príklad odčítania zlomkov: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Mnohí dospelí už zabudli ako odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, ale tento úkon patrí do elementárnej matematiky.
Odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich priviesť k spoločnému menovateľovi, to znamená nájsť najmenší spoločný násobok menovateľov, potom vynásobiť čitateľov ďalšími faktormi, ktoré sa rovnajú podielu najmenšieho spoločného násobku a menovateľa.
Znaky zlomkov sú zachované. Keď majú zlomky rovnakých menovateľov, môžete zlomok odpočítať a potom, ak je to možné, zlomok zmenšiť.
Elena, rozhodla si sa zopakovať si kurz školskej matematiky?)))
Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najskôr zredukovať na rovnakého menovateľa a potom ich odpočítať. Najjednoduchšia možnosť: Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku a vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého zlomku. Získajte dva zlomky s rovnakými menovateľmi. Teraz odčítame čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a majú rovnakého menovateľa.
Napríklad tri pätiny odčítajú dve sedminy sa rovná dvadsaťjeden tridsiatich pätín odpočítaných desať tridsiatich pätín a to sa rovná jedenástim tridsiatim pätinám.
Ak sú menovateľmi veľké čísla, potom môžete nájsť ich najmenší spoločný násobok, t.j. číslo, ktoré bude deliteľné jedným aj druhým menovateľom. A priviesť oba zlomky k spoločnému menovateľovi (najmenší spoločný násobok)
Ako odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi úloha je veľmi jednoduchá - zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi a potom odčítame v čitateli.
Mnoho ľudí čelí ťažkostiam, keď sa vedľa týchto zlomkov nachádzajú celé čísla, preto som chcel ukázať, ako to urobiť na nasledujúcom príklade:
odčítanie zlomkov s celočíselnou časťou a s rôznymi menovateľmi
najprv odčítame celé časti 8-5 = 3 (trojka zostane blízko prvého zlomku);
zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi 6 (ak je čitateľ prvého zlomku väčší ako druhý, odčítame a zapíšeme blízko celočíselnej časti, v našom prípade ideme ďalej);
celú časť 3 rozložíme na 2 a 1;
1 sa píše ako zlomok 6/6;
6/6+3/6-4/6 zapíšeme pod spoločného menovateľa 6 a vykonáme úkony v čitateli;
zapíšte nájdený výsledok 2 5/6.
Je dôležité si uvedomiť, že zlomky sa odčítajú, ak majú rovnaký menovateľ. Preto, keď máme zlomky v rozdiele s rôznych menovateľov, treba ich jednoducho priviesť k spoločnému menovateľovi, čo nie je ťažké. Musíme len vynásobiť čitateľa každého zlomku a vypočítať najmenší spoločný násobok, ktorý nesmie byť nula. Nezabudnite tiež vynásobiť čitateľa ďalšími získanými faktormi, ale tu je príklad pre pohodlie:
Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte najprv nájsť spoločného menovateľa pre tieto dva zlomky. A potom odčítajte druhý od čitateľa prvého zlomku. Ukáže sa nový zlomok s novou hodnotou.
Pokiaľ si pamätám z kurzu matematiky v 3. ročníku, na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné najprv vypočítať spoločného menovateľa a priviesť ho k nemu a potom sa čitatelia jednoducho odčítajú od seba a menovateľ zostane spoločný.
Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi musíme najskôr nájsť najmenšieho spoločného menovateľa týchto zlomkov.
Pozrime sa na príklad:
Rozdeliť viac 25 až menej ako 20. Nedeliteľné. Vynásobíme teda menovateľa 25 takým číslom, aby sa výsledný súčet dal vydeliť 20. Toto číslo bude 4. 25x4 \u003d 100. 100:20=5. Našli sme teda najnižšieho spoločného menovateľa - 100.
Teraz musíme nájsť ďalší faktor pre každý zlomok. Aby sme to dosiahli, vydelíme nového menovateľa starým.
Vynásobte 9 číslom 4 = 36. Vynásobte číslo 7 číslom 5 = 35.
Ak máme spoločného menovateľa, odčítame, ako je znázornené v príklade, a dostaneme výsledok.
Zlomkové výrazy sú pre dieťa ťažko pochopiteľné. Väčšina ľudí má problémy s . Pri štúdiu témy „sčítanie zlomkov s celými číslami“ dieťa upadá do strnulosti a je pre neho ťažké vyriešiť úlohu. V mnohých príkladoch sa pred vykonaním akcie musí vykonať séria výpočtov. Napríklad previesť zlomky alebo previesť nesprávny zlomok na správny.
Vysvetlite dieťaťu jasne. Vezmite tri jablká, z ktorých dve budú celé a tretie nakrájajte na 4 časti. Jeden plátok oddeľte od nakrájaného jablka a zvyšné tri položte k dvom celým ovocím. Získame ¼ jabĺk na jednej strane a 2 ¾ na druhej strane. Ak ich spojíme, získame tri celé jablká. Skúsme zmenšiť 2 ¾ jabĺk o ¼, čiže odobrať ešte jeden plátok, dostaneme 2 2/4 jabĺk.
Pozrime sa bližšie na akcie so zlomkami, ktoré zahŕňajú celé čísla:
Najprv si pripomeňme pravidlo výpočtu pre zlomkové výrazy so spoločným menovateľom:
Na prvý pohľad je všetko ľahké a jednoduché. Ale to platí len pre výrazy, ktoré nevyžadujú konverziu.
Ako nájsť hodnotu výrazu, kde sú menovatele odlišné
V niektorých úlohách je potrebné nájsť hodnotu výrazu, kde sú menovatele rozdielne. Zvážte konkrétny prípad:
3 2/7+6 1/3
Nájdite hodnotu tohto výrazu, nájdeme na to spoločného menovateľa pre dva zlomky.
Pre čísla 7 a 3 je to 21. Celé časti necháme rovnaké a zlomkové časti zmenšíme na 21, preto vynásobíme prvý zlomok 3, druhý 7, dostaneme:
21.6.+7.21., nezabudnite, že celé časti nepodliehajú konverzii. Výsledkom je, že dostaneme dva zlomky s jedným menovateľom a vypočítame ich súčet:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Čo ak je výsledkom sčítania nesprávny zlomok, ktorý už má celú časť:
2 1/3+3 2/3
V tomto prípade spočítame celé čísla a zlomkové časti, dostaneme:
5 3/3, ako viete, 3/3 je jedna, takže 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6
Pri hľadaní súčtu je všetko jasné, poďme analyzovať odčítanie:
Zo všetkého, čo bolo povedané, vyplýva pravidlo operácií so zmiešanými číslami, ktoré znie takto:
- Ak je potrebné odčítať celé číslo od zlomkového výrazu, nie je potrebné reprezentovať druhé číslo ako zlomok, stačí pracovať len s celými časťami.
Skúsme si vypočítať hodnotu výrazov sami:
Pozrime sa bližšie na príklad pod písmenom „m“:
4 5/11-2 8/11, čitateľ prvého zlomku je menší ako druhý. Aby sme to urobili, vezmeme jedno celé číslo z prvého zlomku, dostaneme,
3 5/11+11/11=3 celé 16/11, odpočítajte druhý od prvého zlomku:
3 16/11-2 8/11=1 celý 8/11
- Pri plnení úlohy buďte opatrní, nezabudnite previesť nesprávne zlomky na zmiešané a zvýrazniť celú časť. Aby ste to dosiahli, je potrebné vydeliť hodnotu čitateľa hodnotou menovateľa, potom to, čo sa stalo, nahradí celú časť, zvyšok bude čitateľ, napríklad:
19/4=4 ¾, kontrola: 4*4+3=19, v menovateli 4 zostáva nezmenený.
zhrnúť:
Pred pristúpením k úlohe súvisiacej so zlomkami je potrebné rozobrať, o aký výraz ide, aké transformácie je potrebné na zlomku vykonať, aby bolo riešenie správne. Hľadajte racionálnejšie riešenia. Nechoďte ťažšou cestou. Naplánujte si všetky akcie, rozhodnite sa ako prvé verzia návrhu, potom preneste do školského zošita.
Aby nedošlo k zmätku pri riešení zlomkových výrazov, je potrebné dodržať pravidlo postupnosti. Rozhodnite sa o všetkom opatrne, bez ponáhľania.
