Vietin teorem. Primjeri korištenja. François Viet. Vietine formule za kvadratne jednadžbe i jednadžbe viših potencija Definicija i formula Vietinog teorema

U matematici postoje posebni trikovi kojima se mnoge kvadratne jednadžbe rješavaju vrlo brzo i bez ikakvih diskriminanata. Štoviše, uz odgovarajuću obuku, mnogi počinju rješavati kvadratne jednadžbe usmeno, doslovno "na prvi pogled".

Nažalost, u suvremenom tečaju školske matematike takve se tehnologije gotovo i ne proučavaju. I morate znati! A danas ćemo razmotriti jednu od tih tehnika - Vietin teorem. Najprije uvedemo novu definiciju.

Kvadratna jednadžba oblika x 2 + bx + c = 0 naziva se reducirana. Imajte na umu da je koeficijent na x 2 jednak 1. Nema drugih ograničenja za koeficijente.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je reducirana kvadratna jednadžba;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - također smanjen;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ali to nije ništa smanjeno, budući da je koeficijent na x 2 2.

Naravno, svaka kvadratna jednadžba oblika ax 2 + bx + c = 0 može se reducirati – dovoljno je sve koeficijente podijeliti brojem a. To uvijek možemo učiniti, budući da iz definicije kvadratne jednadžbe proizlazi da je a ≠ 0.

Istina, ove transformacije neće uvijek biti korisne za pronalaženje korijena. Malo niže, pobrinut ćemo se da to treba učiniti samo kada su u konačnoj kvadratnoj jednadžbi svi koeficijenti cijeli brojevi. Za sada, pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera:

Zadatak. Pretvori kvadratnu jednadžbu u smanjenu:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Podijelimo svaku jednadžbu s koeficijentom varijable x 2 . dobivamo:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - podijeliti sve s 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - podijeljeno s −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - podijeljeno s 1,5, svi koeficijenti su postali cijeli brojevi;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - podijeljeno s 2. U ovom slučaju nastali su razlomčki koeficijenti.

Kao što možete vidjeti, dane kvadratne jednadžbe mogu imati cjelobrojne koeficijente čak i ako je izvorna jednadžba sadržavala razlomke.

Sada formuliramo glavni teorem, za koji je, zapravo, uveden koncept reducirane kvadratne jednadžbe:

Vietin teorem. Razmotrimo smanjenu kvadratnu jednadžbu oblika x 2 + bx + c \u003d 0. Pretpostavimo da ova jednadžba ima realne korijene x 1 i x 2. U ovom slučaju istinite su sljedeće tvrdnje:

1. x1 + x2 = −b. Drugim riječima, zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je koeficijentu varijable x, uzetoj s suprotnim predznakom;
2. x 1 x 2 = c. Umnožak korijena kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom koeficijentu.

Primjeri. Radi jednostavnosti razmotrit ćemo samo dane kvadratne jednadžbe koje ne zahtijevaju dodatne transformacije:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korijeni: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; korijeni: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korijeni: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vietin teorem daje nam dodatne informacije o korijenima kvadratne jednadžbe. Na prvi pogled ovo se može činiti kompliciranim, ali čak i uz minimalnu obuku naučit ćete "vidjeti" korijene i doslovno ih pogoditi u nekoliko sekundi.

Zadatak. Riješite kvadratnu jednadžbu:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Pokušajmo zapisati koeficijente prema Vietinom teoremu i "pogoditi" korijene:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 je redukovana kvadratna jednadžba.
   Prema Vietinom teoremu imamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Lako je vidjeti da su korijeni brojevi 2 i 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - također smanjen.
   Prema Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Odatle korijeni: 3 i 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ova se jednadžba ne reducira. Ali to ćemo sada popraviti dijeljenjem obje strane jednadžbe s koeficijentom a = 3. Dobivamo: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Rješavamo prema Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korijena: −10 i −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - opet koeficijent kod x 2 nije jednak 1, tj. jednadžba nije data. Sve dijelimo brojem a = −7. Dobivamo: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Prema Vietinom teoremu: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; iz ovih jednadžbi lako je pogoditi korijene: 5 i 6.

Iz gornjeg obrazloženja može se vidjeti kako Vietin teorem pojednostavljuje rješenje kvadratnih jednadžbi. Bez kompliciranih izračuna, bez aritmetičkih korijena i razlomaka. Pa čak ni diskriminant (vidi lekciju "Rješavanje kvadratnih jednadžbi") nije nam trebao.

Naravno, u svim svojim promišljanjima polazili smo od dvije važne pretpostavke, koje, općenito govoreći, nisu uvijek ispunjene u stvarnim problemima:

1. Kvadratna se jednadžba reducira, t.j. koeficijent kod x 2 je 1;
2. Jednadžba ima dva različita korijena. Sa stajališta algebre, u ovom slučaju diskriminant D > 0 - zapravo, u početku pretpostavljamo da je ta nejednakost istinita.

Međutim, u tipičnim matematičkim problemima ovi uvjeti su ispunjeni. Ako se kao rezultat izračuna dobije "loša" kvadratna jednadžba (koeficijent na x 2 razlikuje se od 1), to je lako popraviti - pogledajte primjere na samom početku lekcije. O korijenima općenito šutim: kakav je to zadatak u kojem nema odgovora? Naravno da će biti korijena.

Dakle, opća shema za rješavanje kvadratnih jednadžbi prema Vietinom teoremu je sljedeća:

1. Kvadratnu jednadžbu svesti na zadanu, ako to već nije učinjeno u uvjetu zadatka;
2. Ako su se koeficijenti u gornjoj kvadratnoj jednadžbi pokazali razlomcima, rješavamo kroz diskriminant. Možete se čak vratiti na izvornu jednadžbu da biste radili s "prikladnijim" brojevima;
3. U slučaju cjelobrojnih koeficijenata rješavamo jednadžbu pomoću Vietinog teorema;
4. Ako u roku od nekoliko sekundi nije bilo moguće pogoditi korijene, bodujemo na Vietin teorem i rješavamo kroz diskriminant.

Zadatak. Riješite jednadžbu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Dakle, imamo jednadžbu koja nije redukovana, jer koeficijent a \u003d 5. Podijelite sve s 5, dobivamo: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Svi koeficijenti kvadratne jednadžbe su cijeli brojevi - pokušajmo riješiti pomoću Vietinog teorema. Imamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. U ovom slučaju, korijene je lako pogoditi - to su 2 i 5. Ne morate brojati kroz diskriminant.

Zadatak. Riješite jednadžbu: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Gledamo: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - ova se jednadžba ne reducira, obje strane dijelimo s koeficijentom a = -5. Dobivamo: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - jednadžbu s razlomnim koeficijentima.

Bolje je vratiti se na izvornu jednadžbu i brojati kroz diskriminant: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2 ; x 2 \u003d 0,4.

Zadatak. Riješite jednadžbu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Za početak, sve dijelimo s koeficijentom a = 2. Dobivamo jednadžbu x 2 + 5x - 300 = 0.

Ovo je reducirana jednadžba, prema Vietinom teoremu imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Korijene kvadratne jednadžbe u ovom slučaju teško je pogoditi – osobno sam se ozbiljno “smrznuo” kada sam riješio ovaj problem.

Morat ćemo tražiti korijene kroz diskriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Ako se ne sjećate korijena diskriminanta, samo ću primijetiti da je 1225: 25 = 49. Dakle, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Sada kada je korijen diskriminanta poznat, rješavanje jednadžbe nije teško. Dobivamo: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Postoji niz odnosa u kvadratnim jednadžbama. Glavni su odnosi između korijena i koeficijenata. Također, brojni odnosi rade u kvadratnim jednadžbama, koje su dane Vietinim teoremom.

U ovoj temi predstavljamo sam Vietin teorem i njegov dokaz za kvadratnu jednadžbu, teorem suprotan Vietinom teoremu, te analiziramo niz primjera rješavanja problema. Posebnu pozornost u materijalu posvetit ćemo razmatranju Vietinih formula koje definiraju odnos između realnih korijena algebarske jednadžbe stupnjeva n i njegovi koeficijenti.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tvrdnja i dokaz Vietinog teorema

Formula za korijene kvadratne jednadžbe a x 2 + b x + c = 0 oblika x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, gdje je D = b 2 − 4 a c, uspostavlja omjer x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. To potvrđuje Vietin teorem.

Teorem 1

U kvadratnoj jednadžbi a x 2 + b x + c = 0, gdje x 1 i x2- korijeni, zbroj korijena će biti jednak omjeru koeficijenata b i a, koji je uzet s suprotnim predznakom, a umnožak korijena bit će jednak omjeru koeficijenata c i a, tj. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Dokaz 1

Nudimo vam sljedeću shemu za provođenje dokaza: uzimamo formulu korijena, sastavljamo zbroj i umnožak korijena kvadratne jednadžbe i zatim transformiramo rezultirajuće izraze kako bismo bili sigurni da su jednaki -b a i c a odnosno.

Sastavite zbroj korijena x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Dovedemo razlomke na zajednički nazivnik - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Otvorimo zagrade u brojniku dobivenog razlomka i damo slične pojmove: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Smanjite razlomak za: 2 - b a \u003d - b a.

Tako smo dokazali prvu relaciju Vietinog teorema, koja se odnosi na zbroj korijena kvadratne jednadžbe.

Prijeđimo sada na drugu relaciju.

Da bismo to učinili, moramo sastaviti proizvod korijena kvadratne jednadžbe: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Prisjetite se pravila za množenje razlomaka i zadnji umnožak zapišite na sljedeći način: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Provest ćemo množenje zagrade zagradama u brojniku razlomka ili ćemo koristiti formulu razlike kvadrata kako bismo brže transformirali ovaj proizvod: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Koristimo definiciju kvadratnog korijena da izvršimo sljedeći prijelaz: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formula D = b 2 − 4 a c odgovara diskriminantu kvadratne jednadžbe, dakle, u razlomak umjesto na D može se zamijeniti b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Otvorimo zagrade, damo slične pojmove i dobijemo: 4 · a · c 4 · a 2 . Ako ga skratimo na 4 a, zatim c a ostaje. Tako smo dokazali drugu relaciju Vietinog teorema za umnožak korijena.

Zapis dokaza Vietinog teorema može imati vrlo sažet oblik, ako izostavimo objašnjenja:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Kada je diskriminant kvadratne jednadžbe nula, jednadžba će imati samo jedan korijen. Da bismo mogli primijeniti Vietin teorem na takvu jednadžbu, možemo pretpostaviti da jednadžba s diskriminantom jednakim nuli ima dva identična korijena. Doista, kod D=0 korijen kvadratne jednadžbe je: - b 2 a, zatim x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a i x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, a budući da je D \u003d 0, tj. 0, odakle je b 2 = 4 a c, tada je b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Najčešće se u praksi Vietin teorem primjenjuje u odnosu na reduciranu kvadratnu jednadžbu oblika x 2 + p x + q = 0, gdje je vodeći koeficijent a jednak 1. U tom smislu, Vietin teorem je formuliran upravo za jednadžbe ovog tipa. To ne ograničava općenitost zbog činjenice da se svaka kvadratna jednadžba može zamijeniti ekvivalentnom jednadžbom. Da biste to učinili, potrebno je podijeliti oba njegova dijela brojem a koji je različit od nule.

Navedimo još jednu formulaciju Vietinog teorema.

Teorem 2

Zbroj korijena u zadanoj kvadratnoj jednadžbi x 2 + p x + q = 0će biti jednak koeficijentu na x, koji se uzima s suprotnim predznakom, umnožak korijena će biti jednak slobodnom članu, t.j. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Teorem inverzan Vietinom teoremu

Ako pomno pogledate drugu formulaciju Vietinog teorema, to možete vidjeti za korijene x 1 i x2 reducirana kvadratna jednadžba x 2 + p x + q = 0 vrijedit će odnosi x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q. Iz ovih odnosa x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, slijedi da x 1 i x2 su korijeni kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0. Tako dolazimo do tvrdnje koja je inverzna Vietinom teoremu.

Sada predlažemo formalizirati ovu tvrdnju kao teorem i provesti njezin dokaz.

Teorem 3

Ako brojevi x 1 i x2 su takvi da x 1 + x 2 = − str i x 1 x 2 = q, onda x 1 i x2 su korijeni reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Dokaz 2

Promjena koeficijenata str i q na njihov izraz kroz x 1 i x2 omogućuje transformaciju jednadžbe x 2 + p x + q = 0 u ekvivalentu .

Zamijenimo li broj u rezultirajuću jednadžbu x 1 umjesto x, tada dobivamo jednakost x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Ova jednakost za bilo koje x 1 i x2 pretvara u pravu brojčanu jednakost 0 = 0 , kao x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. To znači da x 1- korijen jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, i što x 1 je također korijen ekvivalentne jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Zamjena jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 brojevima x2 umjesto x omogućuje vam da dobijete jednakost x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Ova se jednakost može smatrati istinitom, budući da x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Ispostavilo se da x2 je korijen jednadžbe x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, a time i jednadžbe x 2 + p x + q = 0.

Dokazan je teorem suprotan Vietinom teoremu.

Primjeri korištenja Vietinog teorema

Prijeđimo sada na analizu najtipičnijih primjera na tu temu. Počnimo s analizom problema koji zahtijevaju primjenu teorema, obrnuto od Vietinog teorema. Može se koristiti za provjeru brojeva dobivenih tijekom proračuna, jesu li korijeni zadane kvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, morate izračunati njihov zbroj i razliku, a zatim provjeriti valjanost omjera x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Ispunjenje obje relacije pokazuje da su brojevi dobiveni tijekom proračuna korijeni jednadžbe. Ako vidimo da barem jedan od uvjeta nije ispunjen, onda ti brojevi ne mogu biti korijeni kvadratne jednadžbe zadane u uvjetu zadatka.

Primjer 1

Koji od parova brojeva 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, ili 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, ili 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 je par korijena kvadratne jednadžbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Odluka

Nađite koeficijente kvadratne jednadžbe 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Ovo je a = 4, b = − 16, c = 9. U skladu s Vietinim teoremom, zbroj korijena kvadratne jednadžbe mora biti jednak -b a, tj. 16 4 = 4 , a umnožak korijena trebao bi biti jednak c a, tj. 9 4 .

Provjerimo dobivene brojeve tako da izračunamo zbroj i umnožak brojeva iz tri zadana para i usporedimo ih s dobivenim vrijednostima.

U prvom slučaju x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Ova se vrijednost razlikuje od 4, tako da ne morate nastaviti s provjerom. Prema teoremu, inverznom Vietinu teoremu, možemo odmah zaključiti da prvi par brojeva nisu korijeni ove kvadratne jednadžbe.

U drugom slučaju x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vidimo da je prvi uvjet ispunjen. Ali drugi uvjet nije: x 1 x 2 = 1 - 3 3 + 3 = 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Vrijednost koju smo dobili je drugačija od 9 4 . To znači da drugi par brojeva nisu korijeni kvadratne jednadžbe.

Prijeđimo na treći par. Ovdje x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 i x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Oba uvjeta su zadovoljena, što znači da x 1 i x2 su korijeni zadane kvadratne jednadžbe.

Odgovor: x 1 = 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Također možemo koristiti inverziju Vietinog teorema da pronađemo korijene kvadratne jednadžbe. Najlakši način je odabir cjelobrojnih korijena zadanih kvadratnih jednadžbi s cjelobrojnim koeficijentima. Mogu se razmotriti i druge opcije. Ali to može značajno zakomplicirati izračune.

Za odabir korijena koristimo se činjenicom da ako je zbroj dvaju brojeva jednak drugom koeficijentu kvadratne jednadžbe, uzetoj sa predznakom minus, a umnožak tih brojeva jednak je slobodnom članu, onda su ti brojevi korijene ove kvadratne jednadžbe.

Primjer 2

Kao primjer koristimo kvadratnu jednadžbu x 2 − 5 x + 6 = 0. Brojevi x 1 i x2 mogu biti korijeni ove jednadžbe ako su dvije jednakosti zadovoljene x1 + x2 = 5 i x 1 x 2 = 6. Odaberimo te brojeve. To su brojevi 2 i 3 jer 2 + 3 = 5 i 2 3 = 6. Ispada da su 2 i 3 korijeni ove kvadratne jednadžbe.

Inverznost Vietinog teorema može se koristiti za pronalaženje drugog korijena kada je prvi poznat ili očit. Za to možemo koristiti omjere x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Primjer 3

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Moramo pronaći korijene ove jednadžbe.

Odluka

Prvi korijen jednadžbe je 1 jer je zbroj koeficijenata ove kvadratne jednadžbe nula. Ispostavilo se da x 1 = 1.

Sada pronađimo drugi korijen. Da biste to učinili, možete koristiti omjer x 1 x 2 = c a. Ispostavilo se da 1 x 2 = − 3 512, gdje x 2 \u003d - 3 512.

Odgovor: korijene kvadratne jednadžbe navedene u uvjetu problema 1 i - 3 512 .

Korištenjem teorema obrnutog Vietinom teoremu moguće je odabrati korijene samo u jednostavnim slučajevima. U drugim slučajevima, bolje je tražiti pomoću formule korijena kvadratne jednadžbe kroz diskriminant.

Zahvaljujući obrnutom Vietinom teoremu, također možemo oblikovati kvadratne jednadžbe s obzirom na korijene x 1 i x2. Da bismo to učinili, moramo izračunati zbroj korijena, koji daje koeficijent at x s suprotnim predznakom reducirane kvadratne jednadžbe, i umnožak korijena, koji daje slobodni član.

Primjer 4

Napišite kvadratnu jednadžbu čiji su korijeni brojevi − 11 i 23 .

Odluka

Prihvatimo to x 1 = − 11 i x2 = 23. Zbroj i umnožak ovih brojeva bit će jednak: x1 + x2 = 12 i x 1 x 2 = − 253. To znači da je drugi koeficijent 12, slobodni pojam − 253.

Napravimo jednadžbu: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Odgovor: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Vietin teorem možemo koristiti za rješavanje problema koji se odnose na predznake korijena kvadratnih jednadžbi. Veza između Vietinog teorema povezana je sa predznacima korijena reducirane kvadratne jednadžbe x 2 + p x + q = 0 na sljedeći način:

• ako kvadratna jednadžba ima realne korijene i ako je slobodni član q je pozitivan broj, tada će ti korijeni imati isti znak "+" ili "-";
• ako kvadratna jednadžba ima korijene i ako je slobodni član q je negativan broj, tada će jedan korijen biti "+", a drugi "-".

Obje ove izjave posljedica su formule x 1 x 2 = q i pravila množenja pozitivnih i negativnih brojeva, kao i brojeva s različitim predznacima.

Primjer 5

Jesu li korijeni kvadratne jednadžbe x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitivan?

Odluka

Prema Vietinom teoremu, korijeni ove jednadžbe ne mogu biti pozitivni, jer moraju zadovoljiti jednakost x 1 x 2 = − 21. To nije moguće uz pozitivu x 1 i x2.

Odgovor: Ne

Primjer 6

Na kojim vrijednostima parametra r kvadratna jednadžba x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 imat će dva prava korijena s različitim predznacima.

Odluka

Počnimo s pronalaženjem vrijednosti čega r, za koji jednadžba ima dva korijena. Nađimo diskriminanta i vidimo za što r poprimit će pozitivne vrijednosti. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Vrijednost izraza r2 + 8 pozitivno za svaku stvarnu r, dakle, diskriminant će biti veći od nule za bilo koju realnu r. To znači da će izvorna kvadratna jednadžba imati dva korijena za sve stvarne vrijednosti parametra r.

Sada da vidimo kada će korijeni imati različite znakove. To je moguće ako je njihov proizvod negativan. Prema Vietinom teoremu, umnožak korijena reducirane kvadratne jednadžbe jednak je slobodnom članu. Dakle, ispravno rješenje su te vrijednosti r, za koji je slobodni član r − 1 negativan. Rješavamo linearnu nejednadžbu r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Odgovor: na r< 1 .

Vieta formule

Postoji niz formula koje su primjenjive za izvođenje operacija s korijenima i koeficijentima ne samo kvadratnih, već i kubičnih i drugih vrsta jednadžbi. Zovu se Vieta formule.

Za algebarsku jednadžbu stupnjeva n oblika a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 smatra se da jednadžba ima n pravim korijenima x 1 , x 2 , … , x n, što može uključivati ​​sljedeće:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

Definicija 1

Neka nam Vieta formule pomognu:

• teorem o dekompoziciji polinoma na linearne faktore;
• definicija jednakih polinoma kroz jednakost svih njihovih odgovarajućih koeficijenata.

Dakle, polinom a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n i njegovo širenje u linearne faktore oblika a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) su jednaki.

Ako otvorimo zagrade u posljednjem umnošku i izjednačimo odgovarajuće koeficijente, onda ćemo dobiti Vietine formule. Uzimajući n = 2, možemo dobiti Vietinu formulu za kvadratnu jednadžbu: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Definicija 2

Vietina formula za kubičnu jednadžbu:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Lijeva strana Vietinih formula sadrži takozvane elementarne simetrične polinome.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Općinska proračunska obrazovna ustanova

"Srednja škola br. 64", Brjansk

Gradski znanstveno-praktični skup

"Prvi koraci u znanosti"

Istraživački rad

"Vietin teorem za jednadžbe trećeg i četvrtog stupnja"

Matematika

Završio: učenik 11b razreda

Šanov Ilja Aleksejevič

Nadglednik:

nastavnik matematike,

Kandidat fizike i matematike znanosti

Bikov Sergej Valentinovič

Brjansk 2012

Uvod ……………………………………………………………………………… 3

Ciljevi i zadaci ……………………………………………………………………… 4

Kratka povijesna pozadina ……………………………………………………… 4

Kvadratna jednadžba …………………………………………………. 5

Kubična jednadžba ……………………………………………………. 6

Jednadžba četvrtog stupnja ……………………………………………………… 7

Praktični dio ……………………………………………………. devet

Reference …………………………………………………………………… 12

Dodatak ……………………………………………………………………… 13

Uvod

Temeljni teorem algebre kaže da je polje algebarski zatvoreno, drugim riječima, da jednadžba n-tog stupnja s kompleksnim koeficijentima (općenito) nad poljem ima točno n kompleksnih korijena. Jednadžbe trećeg stupnja rješavaju se Cordanovom formulom. Jednadžbe četvrtog stupnja po Ferrari metodi. Uz to što se u teoriji algebre dokazuje da ako je dakle korijen jednadžbe je također korijen ove jednadžbe. Za kubičnu jednadžbu mogući su sljedeći slučajevi:

sva tri korijena su stvarna;

dva složena korijena, jedan pravi.

To implicira da svaka kubična jednadžba ima barem jedan pravi korijen.

Za jednadžbu četvrtog stupnja:

Sva četiri korijena su različita.

Dva korijena su stvarna, dva su složena.

Sva četiri korijena su složena.

Ovaj rad je posvećen temeljitom proučavanju Vietinog teorema: njegovoj formulaciji, dokazu, kao i rješavanju problema korištenjem ovog teorema.

Obavljeni rad usmjeren je na pomoć učeniku 11. razreda koji je pred polaganjem ispita, kao i mladim matematičarima koji nisu ravnodušni prema jednostavnijim i učinkovitijim metodama rješavanja iz različitih područja matematike.

U prilogu ovog rada data je zbirka zadataka za samostalno rješavanje i učvršćivanje novog gradiva koje proučavam.

Ovo pitanje se ne može zanemariti, jer je važno za matematiku, kako za znanost općenito, tako i za studente i one koji su zainteresirani za rješavanje takvih problema.

Ciljevi i zadaci rada:

Dobiti analog Vietinog teorema za jednadžbu trećeg stupnja.

Dokažite analogiju Vietinog teorema za jednadžbu trećeg stupnja.

Dobiti analog Vietinog teorema za jednadžbu četvrtog stupnja.

Dokažite analogiju Vietinog teorema za jednadžbu četvrtog stupnja.

Razmotrite primjenu ovih pitanja na rješavanje praktičnih problema.

• Provjerite praktičnost primjene ovog teorema.

Produbiti matematičko znanje iz područja rješavanja jednadžbi.

Razvijati interes za matematiku.

Kratka povijesna pozadina

S pravom dostojan da se opjeva u stihovima

O svojstvima korijena VIETA TEOREM...

Francois Viet (1540-1603) - francuski matematičar. Po zanimanju pravnik. Godine 1591. uveo je slovne oznake ne samo za nepoznate veličine, već i za koeficijente jednadžbi; zahvaljujući tome, prvi put je postalo moguće izraziti svojstva jednadžbi i njihovih korijena općim formulama. Vlasnik je uspostavljanja jedinstvene metode za rješavanje jednadžbi 2., 3. i 4. stupnja. Među otkrićima, sam Viet posebno je cijenio uspostavljanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi. Za približno rješenje jednadžbi s brojčanim koeficijentima Viet je predložio metodu sličnu Newtonovoj kasnijoj metodi. François Viet je u trigonometriji dao cjelovito rješenje problema određivanja svih elemenata ravnog ili sfernog trokuta iz tri podatka, pronašao važne ekspanzije cos nx i grijeh nx u moćima cos x i grijeh X. On je prvi put razmatrao beskonačna djela. Vietini spisi napisani su teškim jezikom i stoga su u jednom trenutku dobili manje distribucije nego što su zaslužili. .

Kvadratna jednadžba

Za početak prisjetimo se Vietinih formula za jednadžbu drugog stupnja, koje smo naučili u školskom programu.

T
Vieta teoremza kvadratnu jednadžbu (8. ocjena)

E
ako su i korijeni kvadratne jednadžbe tada

tj. zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom s suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Također, zapamtite teorem suprotno Vietinom teoremu:

Ako brojevi - str i q su takvi da

tada su i korijeni jednadžbe

Vietin teorem je izvanredan po tome što, bez poznavanja korijena kvadratnog trinoma, možemo lako izračunati njihov zbroj i umnožak, odnosno najjednostavnije simetrične izraze.

Vietin teorem omogućuje vam da pogodite cjelobrojne korijene kvadratnog trinoma.

kubna jednadžba

Prijeđimo sada izravno na formulaciju i rješenje kubične jednadžbe koristeći Vietin teorem.

Izbor riječi

Do
ubična jednadžba je jednadžba trećeg reda, oblika

gdje a ≠ 0.

Ako je a a = 1, tada se jednadžba naziva redukovana kubična jednadžba:

Dakle, moramo to dokazati za jednadžbu

vrijedi sljedeći teorem:

P
neka su onda korijeni ove jednadžbe

Dokaz

Zamislite polinom

Napravimo transformacije:

Tako da to razumijemo

Dvapolinomi su jednaki ako i samo ako su im koeficijenti jednaki na odgovarajućim potencijama.

To znači da

Q.E.D.

Sada razmotrite teorem, konvertirati s Vietinim teoremom za jednadžbu trećeg stupnja.

F
izbor riječi

E
ako su brojevi takvi da

Jednadžba četvrtog stupnja

Prijeđimo sada na postavljanje i rješavanje jednadžbe četvrtog stupnja koristeći Vietin teorem za jednadžbu četvrtog stupnja.

Izbor riječi

Na
jednadžba četvrtog stupnja – jednadžba oblika

G
de a ≠ 0.

E
ako a = 1, tada se jednadžba naziva reduciranom

I
pa, dokažimo to za jednadžbu

s
sljedeći je teorem točan: neka su onda korijeni zadane jednadžbe

Dokaz

Zamislite polinom

Napravimo transformacije:

Tako da to razumijemo

Mi to znamo dva polinoma su jednaka ako i samo ako su im koeficijenti jednaki na odgovarajućim potencijama.

To znači da

Q.E.D.

Razmotrimo teorem konvertirati s Vietinim teoremom za jednadžbu četvrtog stupnja.

Izbor riječi

Ako su brojevi takvi da

onda su ti brojevi korijeni jednadžbe

Praktični dio

Sada razmotrite rješavanje problema korištenjem Vietinih teorema za jednadžbe trećeg i četvrtog stupnja.

Zadatak #1

Odgovor: 4, -4.

Zadatak #2

Odgovor: 16, 24.

Za rješavanje ovih jednadžbi možete koristiti Cardanove formule i Ferrarijevu metodu, ali koristeći Vietin teorem, sigurno znamo zbroj i umnožak korijena tih jednadžbi.

Zadatak #3

Napišite jednadžbu trećeg stupnja, ako je poznato da je zbroj korijena 6, parni umnožak korijena 3, a umnožak -4.

Napravimo jednadžbu, dobivamo

Zadatak #4

Napišite jednadžbu trećeg stupnja, ako je poznato da je zbroj korijena jednak 8 , po parnom umnošku korijena jednak je 4 , trostruki proizvod je jednak 12 , i proizvod 20 .

Rješenje: pomoću Vieta formule dobivamo

Napravimo jednadžbu, dobivamo

Uz pomoć Vietinog teorema lako možemo sastaviti jednadžbe po njihovim korijenima. Ovo je najracionalniji način rješavanja ovih problema.

Zadatak #5

gdje su a, b, c Heronove formule.

Otvorimo zagrade i transformirajmo izraz, dobivamo

W
Imajte na umu da je radikalni izraz kubni izraz. Koristimo Vietin teorem za odgovarajuću kubičnu jednadžbu, onda to imamo

W

ne, što dobivamo:

Iz rješenja ovog problema može se vidjeti da je Vietin teorem primjenjiv na probleme iz različitih područja matematike.

Zaključak

U ovom radu istražena je metoda rješavanja jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja primjenom Vietinog teorema. Formule izvedene u radu jednostavne su za korištenje. Tijekom istraživanja postalo je očito da je u nekim slučajevima ova metoda učinkovitija od Cordanove formule i Ferrarijeve metode za jednadžbe trećeg i četvrtog stepena.

Vietin teorem je primijenjen u praksi. Riješen je niz zadataka koji su pomogli u boljoj konsolidaciji novog gradiva.

Ova studija mi je bila vrlo zanimljiva i poučna. Produbljujući svoje znanje iz matematike, otkrio sam puno zanimljivih stvari i rado sam radio ovo istraživanje.

Ali moje istraživanje u području rješavanja jednadžbi nije završilo. U budućnosti planiram proučavati rješenje jednadžbe n-tog stupnja koristeći Vietin teorem.

Želim izraziti duboku zahvalnost svom mentoru, kandidatu fizikalno-matematičkih znanosti, i mogućnosti ovako nesvakidašnjeg studija i stalne pažnje u radu.

Bibliografija

Vinogradov I.M. Matematička enciklopedija. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Zadaci iz osnovne matematike, Fizmatlit, 1980.

Vietin teorem

Neka i označimo korijene reducirane kvadratne jednadžbe
(1) .
Tada je zbroj korijena jednak koeficijentu pri uzetom s suprotnim predznakom. Umnožak korijena jednak je slobodnom članu:
;
.

Napomena o više korijena

Ako je diskriminant jednadžbe (1) nula, tada ova jednadžba ima jedan korijen. Ali, kako bi se izbjegle glomazne formulacije, općenito je prihvaćeno da u ovom slučaju jednadžba (1) ima dva višestruka ili jednaka korijena:
.

Dokaz jedan

Nađimo korijene jednadžbe (1). Da biste to učinili, primijenite formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
;
;
.

Pronalaženje zbroja korijena:
.

Da bismo pronašli proizvod, primjenjujemo formulu:
.
Zatim

.

Teorem je dokazan.

Dokaz dva

Ako su brojevi i korijeni kvadratne jednadžbe (1), onda
.
Otvaramo zagrade.

.
Dakle, jednadžba (1) će poprimiti oblik:
.
Uspoređujući s (1) nalazimo:
;
.

Teorem je dokazan.

Inverzni Vietin teorem

Neka postoje proizvoljni brojevi. Tada su i korijeni kvadratne jednadžbe
,
gdje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietinog obrnutog teorema

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu
(1) .
Moramo dokazati da ako i , Tada i su korijeni jednadžbe (1).

Zamijenite (2) i (3) u (1):
.
Grupiramo članove lijeve strane jednadžbe:
;
;
(4) .

Zamjena u (4):
;
.

Zamjena u (4):
;
.
Jednadžba je ispunjena. Odnosno, broj je korijen jednadžbe (1).

Teorem je dokazan.

Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu

Sada razmotrite kompletnu kvadratnu jednadžbu
(5) ,
gdje , i su neki brojevi. i .

Jednadžbu (5) dijelimo sa:
.
To jest, dobili smo gornju jednadžbu
,
gdje ; .

Tada Vietin teorem za potpunu kvadratnu jednadžbu ima sljedeći oblik.

Neka i označimo korijene potpune kvadratne jednadžbe
.
Tada se zbroj i umnožak korijena određuju formulama:
;
.

Vietin teorem za kubičnu jednadžbu

Slično, možemo uspostaviti veze između korijena kubične jednadžbe. Razmotrimo kubičnu jednadžbu
(6) ,
gdje su , , , neki brojevi. i .
Podijelimo ovu jednadžbu sa:
(7) ,
gdje , , .
Neka su , , korijeni jednadžbe (7) (i jednadžbe (6)). Zatim

.

Uspoređujući s jednadžbom (7) nalazimo:
;
;
.

Vietin teorem za jednadžbu n-tog stupnja

Na isti način možete pronaći veze između korijena , , ... , , za jednadžbu n-tog stupnja
.

Vietin teorem za jednadžbu n-tog stupnja ima sljedeći oblik:
;
;
;

.

Da bismo dobili ove formule, zapisujemo jednadžbu u sljedećem obliku:
.
Zatim izjednačavamo koeficijente na , , , ... , i uspoređujemo slobodni pojam.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokih učilišta, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov i dr., Algebra: udžbenik za 8. razred obrazovnih ustanova, Moskva, Obrazovanje, 2006.