Visoka škola za poljoprivredu topništva Predsjednička. Kalinjingradska škola za trgovinu i ekonomiju je podružnica Ruske akademije za nacionalnu ekonomiju i javnu upravu pod predsjednikom Ruske Federacije. Maksimum i minimum funkcije

Povijest Kalinjingradskog koledža za trgovinu i ekonomiju stranica je povijesti regije koja se piše od 1946. godine. Od tada je na fakultetu diplomiralo više od 25.000 stručnjaka.

Od 2004. godine koledž je postao eksperimentalna platforma za Moskovski institut za razvoj srednjeg strukovnog obrazovanja na temu „Širenje europskog iskustva u stvaranju i organizaciji centara za obrazovanje odraslih i centara za otvoreno obrazovanje u regiji“. Već deset godina član je Ruske marketinške udruge, ima status fakulteta društvenog usmjerenja. Potonje je učilištu dodijelila područna uprava za stalnu potporu socijalno ugroženim studentima, nastavnicima, umirovljenicima, vojnim osobama i njihovim obiteljima, zaposlenim nastavnicima i zaposlenicima.

Obuka studenata na Visokoj školi za trgovinu i ekonomiju u Kalinjingradu provodi se na pet fakulteta: tehnološki i uslužni, marketinški menadžment, pravo, ekonomija i računovodstvo, netradicionalni oblici obrazovanja. Obrazovno područje fakulteta uključuje šesnaest specijalnosti. To uključuje tehnologiju kuhanja, trgovinu hranom, trgovinu, menadžment, marketing, pravno računovodstvo, bankarstvo, ugostiteljstvo, financije, turizam i još mnogo toga.

Visoko učilište ima Centar za karijerno vođenje i osposobljavanje pristupnika. Na fakultetu netradicionalnih oblika obrazovanja ne samo da možete unaprijediti svoje vještine, već i steći novu specijalnost na poslu. Sadašnji Otvoreni obrazovni centar usmjeren je na pružanje pomoći u stručnom osposobljavanju u više od dvadeset specijalnosti. Ovdje možete poboljšati svoje vještine, proći prekvalifikaciju. Metode su vrlo raznolike: poslovne igre, treninzi, seminari, vježbe, otvoreni sastanci, konferencije, projektni rad.Sve to omogućuje studentima da maksimalno asimiliraju predloženi materijal.

Suradnja s Kalinjingradskim državnim sveučilištem, Kalinjingradskim državnim tehničkim sveučilištem, Baltičkom državnom akademijom omogućava fakultetu da osposobi stručnjake čije znanje postaje kapital i glavni resurs za gospodarski razvoj regije. Tijekom godina te interakcije više od dvjesto diplomanata steklo je visoko obrazovanje na posebnom fakultetu sa skraćenim razdobljem studiranja. Svi su traženi u gospodarskom kompleksu regije, mnogi su ušli u elitu poslovnog korpusa regije.

Visoka škola za trgovinu i ekonomiju u Kalinjingradu uspostavila je komunikaciju i aktivno surađuje s Danskom, Švedskom, Njemačkom, Poljskom i Finskom. Tim sudjeluje u međunarodnim obrazovnim projektima. Njihova tematika je raznolika, uključuje takve važne teme kao što su "Pomoć vlastima Kalinjingrada u razvoju malog i srednjeg poduzetništva", "Pomoć službenicima i nezaposlenim članovima njihovih obitelji u stjecanju civilnih specijaliteta za naknadno zapošljavanje", " Osposobljavanje nastavnika andragogije i razvijanje programa osposobljavanja za poduzetništvo". aktivnosti u Kalinjingradu" i slično.

Godine 1999., u okviru međunarodnog projekta, zahvaljujući naporima Lidije Ivanovne Motolyanets, zamjenice ravnatelja za akademska pitanja, stvorena je imitatorska tvrtka - model poduzeća koji odražava aktivnosti stvarne trgovačke organizacije, učinkovit specijalizirani oblik usavršavanje osoblja na svim razinama koje rade u području malog gospodarstva.

Misija kolektiva - jamčiti obrazovanje koje će zadovoljiti potrebe društva i pridonijeti formiranju cjelovite osobe - u potpunosti se ostvaruje. Kalinjingradska škola za trgovinu i ekonomiju znači profesionalizam, odgovornost i prestiž.

KTEK
PCC ekonomije i računovodstva

15 primjeraka, 2006

Uvod. 4

Pojam izvedenice. 5

Privatni derivati. jedanaest

Pregibne točke. šesnaest

Vježbe rješenja. 17

Test. 20

Odgovori na vježbe.. 21

Književnost. 23

Uvod

f(x x, a zatim nazvao granični proizvod; ako g(x) g(x) g′(x) pozvao granični trošak.

Na primjer, Neka funkcija u=u(t) u dok radi t. ∆t=t 1 - t 0:

z usp. =

z usp. na ∆t→ 0: .

troškovi proizvodnje K x, pa možemo pisati K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Ograničiti pozvao

Pojam izvedenice

Derivat funkcije u točki x 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, pod uvjetom da prirast argumenta teži nuli.

Oznaka derivacijske funkcije:

Da. a priori:

Algoritam za pronalaženje derivacije:

Neka funkcija y=f(x) kontinuirano na segmentu , x

1. Pronađite prirast argumenta:

x je nova vrijednost argumenta

x0- početna vrijednost

2. Pronađite prirast funkcije:

f(x) je nova vrijednost funkcije

f(x0)- početna vrijednost funkcije

3. Pronađite omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

4. Pronađite granicu omjera na

Nađite derivaciju funkcije na temelju definicije derivacije.

Odluka:

dajmo x prirast Δx, tada će nova vrijednost funkcije biti:

Nađimo prirast funkcije kao razliku između nove i početne vrijednosti funkcije:

Pronađite omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta:

.

Nađimo granicu ovog omjera pod uvjetom da:

Dakle, prema definiciji izvedenice: .

Pronalaženje derivacije funkcije se zove diferencijacija.

Funkcija y=f(x) pozvao diferencibilan na intervalu (a;b) ako ima derivaciju u svakoj točki intervala.

Teorema Ako je funkcija diferencibilna u danoj točki x 0, tada je u toj točki kontinuirano.

Obratna tvrdnja nije točna, jer postoje funkcije koje su u nekom trenutku kontinuirane, ali u toj točki nisu diferencibilne. Na primjer, funkcija u točki x 0 =0.

Pronađite derivacije funkcija

1) .

2) .

Izvršimo identične transformacije funkcije:

Derivati ​​višeg reda

Derivat drugog reda naziva se izvedenica prve derivacije. Označeno

derivacija n-reda naziva se derivacija derivacije (n-1)-tog reda.

na primjer,

Djelomične izvedenice

privatni derivat funkcija nekoliko varijabli s obzirom na jednu od tih varijabli naziva se derivacija uzeta s obzirom na tu varijablu, pod uvjetom da sve ostale varijable ostaju konstantne.

na primjer, za funkciju parcijalne derivacije prvog reda bit će jednake:

Maksimum i minimum funkcije

Poziva se vrijednost argumenta kod koje funkcija ima najveću vrijednost maksimalni bod.

Poziva se vrijednost argumenta kod koje funkcija ima najmanju vrijednost minimalna točka.

Maksimalna točka funkcije je granična točka prijelaza funkcije iz rastuće u opadajuću, minimalna točka funkcije je granična točka prijelaza iz opadajuće u rastuću.

Funkcija y=f(x) ima (lokalno) maksimum u točki ako za sve x

Funkcija y=f(x) ima (lokalno) minimum u točki ako za sve x, dovoljno blizu , nejednakosti

Maksimalna i minimalna vrijednost funkcije imaju zajednički naziv krajnosti, a točke u kojima se oni dosežu se nazivaju ekstremne točke.

Teorema (nužan uvjet za postojanje ekstrema) Neka je funkcija definirana na intervalu i ima najveću (najmanju) vrijednost u točki . Zatim, ako derivacija ove funkcije postoji u točki, tada je jednaka nuli, tj. .

Dokaz:

Neka u točki x 0 funkcija ima najveću vrijednost, tada je za bilo koju sljedeća nejednakost istinita: .

Za bilo koju točku

Ako je x > x 0 , tada , tj.

Ako je x< x 0 , то , т.е.

Jer postoji , što je moguće samo ako su jednake nuli, dakle, .

Posljedica:

Ako u točki diferencijabilna funkcija poprimi najveću (najmanju) vrijednost, tada je u točki tangenta na graf ove funkcije paralelna s osi Ox.

Točke u kojima je prva derivacija jednaka nuli ili ne postoji nazivaju se kritično - to su moguće ekstremne točke.

Imajte na umu da je jednakost prve derivacije nuli samo nužan uvjet za ekstrem, potrebno je dodatno istražiti pitanje prisutnosti ekstrema u svakoj točki mogućeg ekstremuma.

Teorema(dovoljan uvjet za postojanje ekstremuma)

Neka funkcija y = f(x) je kontinuiran i diferencibilan u nekom susjedstvu točke x0. Ako, prilikom prolaska kroz točku x0 s lijeva na desno, prva derivacija mijenja predznak iz plusa u minus (od minusa u plus), zatim u točki x0 funkcija y = f(x) ima maksimum (minimum). Ako prva derivacija ne promijeni predznak, tada ova funkcija nema ekstrem u točki x 0 .

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1. Pronađite prvi izvod funkcije.

2. Izjednačite prvi izvod s nulom.

3. Riješite jednadžbu. Pronađeni korijeni jednadžbe su kritične točke.

4. Pronađene kritične točke staviti na brojčanu os. Dobivamo niz intervala.

5. Odredite predznak prve derivacije u svakom od intervala i naznačite ekstreme funkcije.

6. Za izradu grafikona:

Ø odrediti vrijednosti funkcije u točkama ekstrema

Ø pronaći točke presjeka s koordinatnim osi

Ø pronaći dodatne točke

Limenka ima oblik okruglog cilindra polumjera r i visina h. Uz pretpostavku da se za izradu limenke koristi jasno određena količina kositra, odredite u kojem omjeru r i h banka će imati najveći volumen.

Količina korištenog kositra bit će jednaka površini pune površine limenke, tj. . (jedan)

Iz ove jednakosti nalazimo:

Tada se volumen može izračunati po formuli: . Problem će se svesti na pronalaženje maksimuma funkcije V(r). Pronađite prvi izvod ove funkcije: . Izjednačite prvu derivaciju s nulom:

. Pronašli smo: . (2)

Ova točka je maksimalna točka, jer prva derivacija je pozitivna na i negativna na .

Utvrdimo sada u kojem će omjeru između polumjera i visine banka imati najveći volumen. Da bismo to učinili, jednakost (1) podijelimo sa r2 i upotrijebite relaciju (2) za S. Dobivamo: . Dakle, najveći volumen će imati staklenku čija je visina jednaka promjeru.

Ponekad je prilično teško proučiti predznak prve derivacije lijevo i desno od moguće točke ekstrema, tada možete koristiti drugi dovoljan ekstremni uvjet:

Teorema Neka funkcija y = f(x) ima u točki x0 mogući ekstrem, posljednji drugi derivat. Zatim funkcija y = f(x) ima u točki x0 maksimalno ako , a minimalno ako .

Napomena Ovaj teorem ne rješava problem ekstrema funkcije u točki ako je drugi izvod funkcije u danoj točki jednak nuli ili ne postoji.

Pregibne točke

Točke krivulje u kojima se konveksnost odvaja od udubljenja nazivaju se prevojne točke.

Teorema (zahtijevano stanje prevojne točke): Neka graf funkcije ima infleksiju u točki i neka funkcija ima kontinuirani drugi izvod u točki x 0, tada

Teorema (dovoljan uvjet za točku pregiba): Neka funkcija ima drugi izvod u nekom susjedstvu točke x 0, koji ima različite predznake lijevo i desno od x0. tada graf funkcije ima infleksiju u točki .

Algoritam za pronalaženje prevojnih točaka:

1. Pronađite drugu derivaciju funkcije.

2. Drugi izvod izjednači s nulom i riješi jednadžbu: . Dobivene korijene stavite na brojevnu liniju. Dobivamo niz intervala.

3. Nađite predznak druge derivacije u svakom od intervala. Ako su predznaci druge derivacije u dva susjedna intervala različiti, tada imamo prevojnu točku na zadanoj vrijednosti korijena, ako su predznaci isti, onda nema prevojnih točaka.

4. Pronađite ordinate prijevojnih točaka.

Ispitajte krivulju na konveksnost i konkavnost. Pronađite točke pregiba.

1) pronađite drugu derivaciju:

2) Riješite nejednakost 2x<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) Riješite nejednakost 2x>0 x>0 za x krivulja je konkavna

4) Pronađite točke pregiba, za koje drugu derivaciju izjednačavamo s nulom: 2x=0 x=0. Jer u točki x=0 druga derivacija ima različite predznake lijevo i desno, tada je x=0 apscisa prevojne točke. Odredite ordinatu prevojne točke:

(0;0) prevojna točka.

Vježbe za rješavanje

Br. 1 Pronađite derivacije ovih funkcija, izračunajte vrijednost derivacija za danu vrijednost argumenta:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 Pronađite izvode složenih funkcija:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

br. 3 Riješite probleme:

1. Pronađite nagib tangente povučene na parabolu u točki x=3.

2. Na parabolu y = 3x 2 -x u točki x = 1 povučeni su tangenta i normala. Napišite njihove jednadžbe.

3. Pronađite koordinate točke u kojoj tangenta na parabolu y=x 2 +3x-10 tvori kut od 135 0 s osi OX.

4. Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d 4x-x 2 u točki presjeka s osi OX.

5. Pri kojim vrijednostima x je tangenta na graf funkcije y = x 3 -x paralelna s ravnom crtom y = x.

6. Točka se giba pravocrtno prema zakonu S=2t 3 -3t 2 +4. pronađite ubrzanje i brzinu točke na kraju 3. sekunde. U kojem trenutku će ubrzanje biti nula?

7. Kada je brzina točke koja se kreće po zakonu S=t 2 -4t+5 jednaka nuli?

#4 Istražite funkcije pomoću izvedenice:

1. Istražite monotonost funkcije y \u003d x 2

2. Pronađite intervale povećanja i smanjenja funkcije .

3. Pronađite intervale povećanja i smanjenja funkcije .

4. Istražite maksimalnu i minimalnu funkciju .

5. Istražite funkciju za ekstrem .

6. Istražite funkciju y \u003d x 3 za ekstrem

7. Istražite funkciju za ekstrem .

8. Razbijte broj 24 na dva člana tako da njihov umnožak bude najveći.

9. Od lista papira potrebno je izrezati pravokutnik površine ​​​100 cm 2 tako da obod ovog pravokutnika bude najmanji. Koje bi trebale biti stranice ovog pravokutnika?

10. Istražite funkciju y=2x 3 -9x 2 +12x-15 za ekstrem i izgradite njezin graf.

11. Ispitajte krivulju na konkavnost i konveksnost.

12. Nađite intervale konveksnosti i konkavnosti krivulje .

13. Pronađite prijevojne točke funkcija: a) ; b) .

14. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.

15. Istražite funkciju i izgradite njezin graf.

16. Funkcija istraživanja i zacrtaj ga.

17. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y \u003d x 2 -4x + 3 na segmentu

Test pitanja i primjeri

1. Definirajte izvedenicu.

2. Što se naziva inkrementom argumenta? povećanje funkcije?

3. Koje je geometrijsko značenje izvedenice?

4. Što se zove diferencijacija?

5. Navedite glavna svojstva izvedenice.

6. Koja se funkcija naziva kompleksnom? leđa?

7. Navedite pojam izvedenice drugog reda.

8. Formulirajte pravilo za diferenciranje složene funkcije?

9. Tijelo se giba pravocrtno prema zakonu S=S(t). Što se može reći o pokretu ako:

5. Funkcija raste u nekom intervalu. Slijedi li iz ovoga da je njegova derivacija pozitivna na tom intervalu?

6. Što se naziva ekstremima funkcije?

7. Poklapa li se najveća vrijednost funkcije na određenom intervalu nužno s vrijednošću funkcije u točki maksimuma?

8. Funkcija je definirana na . Može li točka x=a biti točka ekstrema ove funkcije?

10. Derivat funkcije u točki x 0 je nula. Slijedi li odavde da je x 0 točka ekstrema ove funkcije?

Test

1. Pronađite izvode ovih funkcija:

a)	e)
b)	g)
s)	h)
e)	i)

2. Napišite jednadžbe tangenti na parabolu y=x 2 -2x-15: a) u točki s apscisom x=0; b) u točki presjeka parabole s osi apscise.

3. Odredite intervale povećanja i smanjenja funkcije

4. Istražite funkciju i nacrtajte je

5. Pronađite u trenutku t=0 brzinu i ubrzanje točke koja se kreće prema zakonu s =2e 3 t

Odgovori na vježbe

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (rezultat se dobiva korištenjem formule za derivaciju kvocijenta). Ovaj primjer možete riješiti na drugi način:

5.

8. Umnožak će biti najveći ako je svaki član jednak 12.

9. Opseg pravokutnika bit će najmanji ako su stranice pravokutnika po 10 cm, t.j. izrežite kvadrat.

17. Na segmentu funkcija uzima najveću vrijednost, jednaku 3 kada x=0 a najmanja vrijednost jednaka –1 at x=2.

Književnost

KALININGRADSKA TRGOVAČKO-EKONOMSKA VIŠA

za proučavanje teme

"derivacija funkcije"

za studente specijalnosti 080110 "Ekonomija i računovodstvo", 080106 "Financije",
080108 "Bankarstvo", 230103 "Automatizirana obrada informacija i sustavi upravljanja"

Sastavila Fedorova E.A.

KALININGRAD

Recenzenti: Gorskaya Natalya Vladimirovna, predavač, Kalinjingradska škola za trgovinu i ekonomiju

U ovom priručniku razmatraju se osnovni pojmovi diferencijalnog računa: pojam derivacije, svojstva derivacija, primjena u analitičkoj geometriji i mehanici, dane su osnovne formule diferencijacije, dati su primjeri koji ilustriraju teorijsko gradivo. Priručnik je nadopunjen vježbama za samostalan rad, odgovorima na njih, pitanjima i oglednim zadacima za srednju kontrolu znanja. Namijenjen studentima koji studiraju disciplinu "Matematika" u srednjim specijaliziranim obrazovnim ustanovama, koji studiraju s punim radnim vremenom, izvanrednom, večernjom nastavom, vanjskim studentima ili imaju besplatno pohađanje nastave.

KTEK
PCC ekonomije i računovodstva

15 primjeraka, 2006

Uvod. 4

Zahtjevi za znanjem i vještinama.. 5

Pojam izvedenice. 5

Geometrijsko značenje izvedenice. 7

Mehaničko značenje izvedenice. 7

Osnovna pravila diferencijacije. osam

Formule za razlikovanje osnovnih funkcija. devet

Derivat inverzne funkcije. devet

Diferencijacija složenih funkcija. deset

Derivati ​​višeg reda. jedanaest

Privatni derivati. jedanaest

Istraživanje funkcija uz pomoć derivacija. jedanaest

Povećana i opadajuća funkcija. jedanaest

Maksimum i minimum funkcije. trinaest

Konveksnost i konkavnost krivulje. petnaest

Pregibne točke. šesnaest

Opća shema za proučavanje funkcija i crtanje. 17

Vježbe rješenja. 17

Ispitna pitanja i primjeri.. 20

Test. 20

Odgovori na vježbe.. 21

Književnost. 23

Uvod

Matematička analiza daje niz temeljnih pojmova kojima ekonomist operira - to je funkcija, granica, derivacija, integralna, diferencijalna jednadžba. U ekonomskim istraživanjima specifična terminologija se često koristi za označavanje izvedenica. Na primjer, ako f(x) je proizvodna funkcija koja izražava ovisnost outputa bilo kojeg proizvoda o trošku faktora x, a zatim nazvao granični proizvod; ako g(x) je funkcija troškova, t.j. funkcija g(x) izražava ovisnost ukupnih troškova o obujmu proizvodnje x, tada g′(x) pozvao granični trošak.

Marginalna analiza u ekonomiji- skup metoda za proučavanje promjenjivih vrijednosti troškova ili rezultata kada se mijenjaju obujam proizvodnje, potrošnje itd. na temelju analize njihovih graničnih vrijednosti.

Na primjer, pronalaženje produktivnosti. Neka funkcija u=u(t), izražavajući količinu proizvedenih proizvoda u dok radi t. Izračunajmo količinu proizvedene robe tijekom vremena ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Prosječna produktivnost rada je omjer količine proizvedene proizvodnje i utrošenog vremena, t.j. z usp. =

Produktivnost radnika u trenutku t 0 naziva se granica do koje z usp. na ∆t→ 0: . Stoga se izračun produktivnosti rada svodi na izračun izvedenice:

troškovi proizvodnje K homogeni proizvodi funkcija je količine proizvoda x, pa možemo pisati K=K(x). Pretpostavimo da se količina proizvodnje povećava za ∆x. Količina proizvodnje x+∆x odgovara troškovima proizvodnje K(x+∆x). Dakle, povećanje količine proizvodnje ∆x odgovara porastu troškova proizvodnje ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Prosječni porast troškova proizvodnje je ∆K/∆x. To je povećanje troškova proizvodnje po jediničnom prirastu količine proizvoda.

Ograničiti pozvao granični trošak proizvodnje.