Formula za površinu krivuljastog trapeza. Određeni integral. Kako izračunati površinu figure. Pronalaženje površine zakrivljenog sektora

Definicija. Slika omeđena grafom kontinuirane, znak-konstantne funkcije f(x), osi apscise i ravnih linija x=a, x=b, naziva se krivuljasti trapez.

Načini pronalaženja površine krivuljastog trapeza

Teorema. Ako je f(x) kontinuirana i nenegativna funkcija na intervalu, tada je površina odgovarajućeg krivolinijskog trapeza jednaka prirastu antiderivata.

Zadano: f(x) - kontinuirano beskonačno. funkcija, xO.

Dokažite: S = F(b) - F(a), gdje je F(x) antiderivat od f(x).

Dokaz:

1) Razmotrimo pomoćnu funkciju S(x). Svakom xO dodijelimo onaj dio krivuljastog trapeza koji leži lijevo od ravne crte (slika 2), prolazi kroz točku s ovom apscisom i paralelan s y-osi.

Stoga je S(a)=0 i S(b)=Str

Dokažimo da je S(a) antiderivat od f(x).

D(f) = D(S) =

S"(x0)= lim(S(x0+Dx) - S(x0) / Dx), za Dx®0 DS je pravokutnik

Dx®0 sa stranama Dx i f(x0)

S "(x0) \u003d lim (Dx f (x0) / Dx) \u003d lim f (x0) \u003d f (x0): budući da je x0 točka, tada je S (x) -

Dx®0 Dx®0 antiderivat f(x).

Stoga je prema teoremu o općem obliku antiderivata S(x)=F(x)+C.

Jer S(a)=0, tada je S(a) = F(a)+C

S = S(b)=F(b)+C = F(b)-F(a)

jedan). Podijelimo segment na n jednakih dijelova. Razdvojeni korak (slika 3)

Dx=(b-a)/n. U ovom slučaju Str=lim(f(x0)Dx+f(x1)Dx+...+f(xn))Dx=n®Ґ = lim Dx(f(x0)+f(x1)+...+ f (xn))

Za n®Ґ dobivamo da je Str= Dx(f(x0)+f(x1)+...+f(xn))

Granica tog zbroja naziva se definitivnim integralom.

Zbroj ispod granice naziva se integralni zbroj.

Određeni integral je granica integralnog zbroja na segmentu kao n®Ґ. Integralni zbroj dobiva se kao granica zbroja proizvoda duljine segmenta dobivenog cijepanjem domene funkcije u bilo kojoj točki ovog intervala.

a - donja granica integracije;

b - vrh.

Newton-Leibnizova formula.

Uspoređujući formule za područje krivuljastog trapeza, zaključujemo:

ako je F antiderivat od b na , tada

f(x)dx = F(b)-F(a)

t f(x)dx = F(x) f = F(b) - F(a)

Svojstva određenog integrala.

t f(x)dx = t f(z)dz

t f(x)dx = F(a) - F(a) = 0

t f(x)dx = - t f(x)dx

t f(x)dx = F(a) - F(b) t f(x)dx = F(b) - F(a) = - (F(a) - F(b))

Ako su a, b i c bilo koje točke intervala I na kojima kontinuirana funkcija f(x) ima antiderivat, tada

t f(x)dx = t f(x)dx + t f(x)dx

F(b) - F(a) = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a)

(ovo je svojstvo aditivnosti određenog integrala)

Ako su l i m konstante, onda

t (lf(x) +m j(x))dx = l t f(x)dx + m tj(x))dx -

Ovo je svojstvo linearnosti određenog integrala.

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

t (f(x)+g(x)+...+h(x))dx = (F(b) + G(b) +...+ H(b)) - (F(a) + G(a) +...+ H(a)) +C = F(b)-F(a)+C1 +G(b)-G(a)+C2+...+H(b)-H (a)+Cn=b b b = t f(x)dx+ t g(x)dx+...+ t h(x)dx

Skup standardnih slika (sl. 4, 5, 6, 7, 8)

Riža. 4

Riža. 6 Riža. 7

Jer f(x)<0, то формулу Ньютона-Лейбница составить нельзя, теорема верна только для f(x)і0.

Potrebno je: uzeti u obzir simetriju funkcije u odnosu na os OX. ABCD®A"B"CD b

S (ABCD) \u003d S (A "B" CD) \u003d t -f (x) dx

S= t f(x)dx = t g(x)dx

S = t(f(x)-g(x))dx+t(g(x)-f(x))dx

S= t (f(x)+m-g(x)-m)dx =

t (f(x)-g(x))dx

t ((f(x)-g(x))dx

S= t (f(x)+m-g(x)-m)dx =

T (f(x)- g(x))dx

Ako je na segmentu f(x)íg(x), tada je površina između ovih grafova jednaka

t ((f(x)-g(x))dx

Funkcije f(x) i g(x) su proizvoljne i nenegativne

S=t f(x)dx - t g(x)dx = t (f(x)-g(x))dx

Slika omeđena grafom kontinuirane nenegativne funkcije $f(x)$ na intervalu $$ i linijama $y=0, \ x=a$ i $x=b$ naziva se krivolinijski trapez.

Površina odgovarajućeg krivolinijskog trapeza izračunava se po formuli:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Probleme pronalaženja površine krivolinijskog trapeza uvjetno ćemo podijeliti na tipove od 4$. Razmotrimo svaku vrstu detaljnije.

Tip I: krivocrtni trapez je izričito dan. Zatim odmah primijenite formulu (*).

Na primjer, pronađite područje krivolinijskog trapeza omeđenog grafom funkcije $y=4-(x-2)^(2)$ i linijama $y=0, \ x=1$ i $x =3$.

Nacrtajmo ovaj krivocrtni trapez.

Primjenom formule (*) nalazimo površinu ovog krivolinijskog trapeza.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\lijevo(4-(x-2)^(2)\desno)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\desno|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\lijevo((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\desno)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\lijevo((1)^(3)-(-1)^(3)\desno) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip II: krivocrtni trapez je dan implicitno. U ovom slučaju, ravne linije $x=a, \ x=b$ obično nisu navedene ili su djelomično navedene. U ovom slučaju morate pronaći točke presjeka funkcija $y=f(x)$ i $y=0$. Ove točke će biti točke $a$ i $b$.

Na primjer, pronađite područje figure ograničeno grafovima funkcija $y=1-x^(2)$ i $y=0$.

Nađimo točke sjecišta. Da bismo to učinili, izjednačavamo prave dijelove funkcija.

Dakle, $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo ovaj krivocrtni trapez.

Pronađite površinu ovog krivolinijskog trapeza.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \lijevo.\frac(x^(3))(3)\desno|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\lijevo(1^(3)-(-1)^(3)\desno)=2 – \frac(1)(3) \lijevo(1+1\desno) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Tip III: površina lika ograničena presjekom dviju neprekinutih nenegativnih funkcija. Ova brojka neće biti krivolinijski trapez, što znači da pomoću formule (*) ne možete izračunati njegovu površinu. Kako biti? Ispada da se područje ove figure može pronaći kao razlika između područja krivolinijskih trapeza ograničenih gornjom funkcijom i $y=0$ ($S_(uf)$) i donjom funkcijom i $y= 0$ ($S_(lf)$), pri čemu ulogu $x=a, \ x=b$ imaju $x$ koordinate presječnih točaka ovih funkcija, tj.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Najvažnija stvar pri izračunu takvih površina je ne "promašiti" s izborom gornje i donje funkcije.

Na primjer, pronađite područje figure ograničeno funkcijama $y=x^(2)$ i $y=x+6$.

Nađimo točke presjeka ovih grafova:

Prema Vietinom teoremu,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

To jest, $a=-2, \ b=3$. Nacrtajmo figuru:

Dakle, gornja funkcija je $y=x+6$, a donja je $y=x^(2)$. Zatim pronađite $S_(uf)$ i $S_(lf)$ koristeći formulu (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\lijevo.\frac(x^(2))(2)\desno|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (jedinica $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\lijevo.\frac(x^(3))(3)\desno|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Zamjena pronađena u (**) i dobiti:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (jedinica $^(2)$).

Tip IV: područje lika ograničeno funkcijom(ama) koja ne zadovoljava uvjet nenegativnosti. Da biste pronašli područje takve figure, morate biti simetrični oko osi $Ox$ ( drugim riječima, stavite "minuse" ispred funkcija) prikažite područje i pomoću metoda opisanih u tipovima I - III pronađite područje prikazanog područja. Ovo područje će biti potrebno područje. Prvo, možda ćete morati pronaći točke presjeka grafova funkcija.

Na primjer, pronađite područje figure ograničeno grafovima funkcija $y=x^(2)-1$ i $y=0$.

Nađimo točke presjeka grafova funkcija:

oni. $a=-1$ i $b=1$. Nacrtajmo područje.

Prikažimo područje simetrično:

$y=0 \ \Strelica desno \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Strelica desno \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Dobivate krivuljasti trapez omeđen grafom funkcije $y=1-x^(2)$ i $y=0$. Ovo je problem nalaženja krivuljastog trapeza drugog tipa. Već smo to riješili. Odgovor je bio: $S= 1\frac(1)(3)$ (jedinice $^(2)$). Dakle, površina željenog krivolinijskog trapeza jednaka je:

$S=1\frac(1)(3)$ (jedinica$^(2)$).

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Trapez (značenja). Trapez (od drugog grčkog τραπέζιον "stol"; ... Wikipedia

I Površina je jedna od osnovnih veličina povezanih s geometrijskim oblicima. U najjednostavnijim slučajevima mjeri se brojem jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ravnu figuru, odnosno kvadrata čija je stranica jednaka jednoj duljini. Izračun P......

Metode dobivanja numeričkih rješenja raznih zadataka pomoću grafičkih konstrukcija. G. c. (grafičko množenje, grafičko rješavanje jednadžbi, grafička integracija itd.) predstavljaju sustav konstrukcija koje ponavljaju ili zamjenjuju ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Površina, jedna od osnovnih veličina povezanih s geometrijskim oblicima. U najjednostavnijim slučajevima mjeri se brojem jediničnih kvadrata koji ispunjavaju ravnu figuru, odnosno kvadrata čija je stranica jednaka jednoj duljini. Izračun P. bio je već u antici ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Greenov teorem uspostavlja vezu između krivolinijskog integrala nad zatvorenom konturom C i dvostrukog integrala nad područjem D omeđenim ovom konturom. Zapravo, ovaj teorem je poseban slučaj općenitijeg Stokesovog teorema. Teorem je nazvan u ... Wikipediji

Odjeljak 4.3 već je zapaženo da određeni integral () od

nenegativna funkcija je brojčano jednaka površini krivuljastog trapeza omeđenog grafom funkcije = (), ravnim crtama = , = i = 0.

Primjer 4.24. Izračunajte površinu figure zatvorene između osi i sinusoida \u003d sin, (slika 4.6).

Ako lik nije krivolinijski trapez, tada pokušavaju prikazati njegovu površinu kao zbroj ili razliku površina likova koji su krivocrtni trapezi. Konkretno, teorem je istinit.

Teorem 4.13. Ako je lik odozgo i odozdo omeđen grafovima kontinuiranih funkcija = 1 (), = 2 () (ne nužno nenegativno, ( slika 4.7 ), tada se njegova površina može naći po formuli

2 () − 1 () .

Primjer 4.25. Izračunajte površinu lika ograničenog krivuljom = 4 i ravnim linijama = i = 4.

Dio I. Teorija

Poglavlje 4. Teorija integracije 4.4. Primjene integrala. Nepravilni integrali

4.4.2. Duljina luka krivulje

Proračun duljina krivulja također dovodi do integrala. Neka je funkcija = () kontinuirana na segmentu [; ] i diferencibilan je na intervalu (;). Njegov graf predstavlja neku krivulju, (; ()), (; ()) (slika 4.9). Krivulju dijelimo s točkama 0 = , 1 , 2 , . . . , = na proizvoljnim dijelovima. Spojimo dvije susjedne točke −1 i tetivama,= 1, 2, . . . , . Dobivamo -link izlomljenu liniju upisanu u krivulju. Neka bude

je duljina tetive −1 , = 1, 2, . . . , = max16 6 . Duljina polilinije bit će izražena formulom

Prirodno je duljinu krivulje definirati kao graničnu vrijednost duljina izlomljenih linija kada je → 0, t.j.

Tada su koordinate točaka (; ()), i, koristeći formula za udaljenost između dvije točke, pronaći

Stoga postoji integralni zbroj za funkciju √ 1 + (′ ())2 na intervalu [ ; ]. Tada na temelju jednakosti (4.31) imamo:

Odluka. Izgradimo graf navedene funkcije (slika 4.10).

Slika 4.10

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako ste zainteresirani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ključne riječi: integralni, krivocrtni trapez, područje figura omeđeno ljiljanima

Oprema: ploča, računalo, multimedijski projektor

Vrsta lekcije: lekcija-predavanje

Ciljevi lekcije:

• obrazovni: formirati kulturu umnog rada, stvoriti situaciju uspjeha za svakog učenika, formirati pozitivnu motivaciju za učenje; razviti sposobnost govora i slušanja drugih.
• razvijanje: formiranje samostalnosti mišljenja učenika u primjeni znanja u različitim situacijama, sposobnost analize i donošenja zaključaka, razvoj logike, razvoj sposobnosti pravilnog postavljanja pitanja i pronalaženja odgovora na njih. Poboljšanje oblikovanja računalnih, računskih vještina, razvijanje mišljenja učenika tijekom izvođenja predloženih zadataka, razvijanje algoritamske kulture.
• obrazovne: formirati pojmove o krivolinijskom trapezu, o integralu, ovladati vještinama izračunavanja površina ravnih figura

Nastavna metoda: objašnjavajuće i ilustrativno.

Tijekom nastave

U prethodnim razredima naučili smo izračunati površine likova čije su granice izlomljene linije. U matematici postoje metode koje vam omogućuju izračunavanje površine figura ograničenih krivuljama. Takve brojke nazivaju se krivuljastim trapezima, a njihova se površina izračunava pomoću antiderivata.

Krivolinijski trapez ( slajd 1)

Krivolinijski trapez je lik omeđen grafom funkcije, ( w.m.), ravno x = a i x = b i apscisa

Različite vrste krivolinijskih trapeza ( slajd 2)

Razmatramo različite vrste krivolinijskih trapeza i primjećujemo: jedan od pravaca je degeneriran u točku, ulogu granične funkcije igra pravac

Područje krivolinijskog trapeza (slajd 3)

Popravi lijevi kraj intervala a, i pravo x promijenit ćemo, tj. pomaknemo desni zid krivuljastog trapeza i dobijemo promjenjiv lik. Područje promjenljivog krivolinijskog trapeza omeđenog grafom funkcije je antiderivat F za funkciju f

A na segmentu [ a; b] područje krivuljastog trapeza kojeg čini funkcija f, jednak je prirastu antiderivata ove funkcije:

Vježba 1:

Nađite površinu krivuljastog trapeza omeđenog grafom funkcije: f(x) = x 2 i izravna y=0, x=1, x=2.

Odluka: ( prema algoritmu slajda 3)

Nacrtajte graf funkcije i linije

Pronađite jedan od antiderivata funkcije f(x) = x 2 :

Samoprovjera slajdova

Sastavni

Razmotrimo krivocrtni trapez zadan funkcijom f na segmentu [ a; b]. Podijelimo ovaj segment na nekoliko dijelova. Površina cijelog trapeza podijelit će se na zbroj površina manjih krivolinijskih trapeza. ( slajd 5). Svaki takav trapez može se približno smatrati pravokutnikom. Zbroj površina ovih pravokutnika daje približnu ideju o cijeloj površini krivuljastog trapeza. Što manji razbijemo segment [ a; b], točnije izračunamo površinu.

Zapisujemo ova razmatranja u obliku formula.

Podijelite segment [ a; b] na n dijelova s ​​točkama x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Duljina k- th označiti sa xk = xk - xk-1. Da sumiramo

Geometrijski, ovaj zbroj je površina lika zasjenjena na slici ( sh.m.)

Zbrojevi oblika nazivaju se integralnim zbrojima za funkciju f. (sch.m.)

Integralni zbroji daju približnu vrijednost površine. Točna vrijednost dobiva se prelaskom na granicu. Zamislite da pročistimo particiju segmenta [ a; b] tako da duljine svih malih odsječaka teže nuli. Tada će se površina sastavljene figure približiti području krivuljastog trapeza. Možemo reći da je površina krivolinijskog trapeza jednaka granici integralnih suma, Sk.t. (sch.m.) ili integralni, tj.

Definicija:

integral funkcije f(x) iz a prije b naziva se granica integralnih suma

= (sch.m.)

Newton-Leibnizova formula.

Zapamtite da je granica integralnih suma jednaka površini krivolinijskog trapeza, tako da možemo napisati:

Sk.t. = (sch.m.)

S druge strane, površina krivuljastog trapeza izračunava se po formuli

S do. t. (sch.m.)

Uspoređujući ove formule, dobivamo:

Ova se jednakost naziva Newton-Leibnizova formula.

Za praktičnost izračuna, formula je napisana kao:

Zadaci: (sch.m.)

1. Izračunajte integral pomoću Newton-Leibnizove formule: ( provjeri slajd 5)

2. Sastavite integrale prema crtežu ( provjeri na slajdu 6)

3. Pronađite površinu figure omeđenog linijama: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slajd 7)

Pronalaženje površina ravnih figura ( slajd 8)

Kako pronaći područje figura koje nisu krivolinijski trapezi?

Neka su zadane dvije funkcije čije grafove vidite na slajdu . (sch.m.) Pronađite područje zasjenjene figure . (sch.m.). Je li dotični lik krivocrtni trapez? I kako možete pronaći njegovo područje, koristeći svojstvo aditivnosti područja? Razmotrimo dva krivolinijska trapeza i oduzmimo površinu drugog od površine jednog od njih ( w.m.)

Napravimo algoritam za pronalaženje područja iz animacije na slajdu:

1. Funkcije zapleta
2. Projicirajte presječne točke grafova na os x
3. Zasjeniti lik dobiven križanjem grafikona
4. Nađi krivuljaste trapeze čiji je sjecište ili sjedinjenje zadana figura.
5. Izračunajte površinu svake
6. Pronađite razliku ili zbroj površina

Usmeni zadatak: Kako dobiti površinu zasjenjene figure (prikazati pomoću animacije, slajd 8 i 9)

Domaća zadaća: Izradite sažetak, br. 353 (a), br. 364 (a).

Bibliografija

1. Algebra i početak analize: udžbenik za 9.-11. razred večernje (smjenske) škole / ur. G.D. Glazer. - M: Prosvjeta, 1983.
2. Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: udžbenik za 10.-11. razred srednje škole / Bashmakov M.I. - M: Prosvjeta, 1991.
3. Bašmakov M.I. Matematika: udžbenik za ustanove poč. i prosj. prof. obrazovanje / M.I. Bašmakov. - M: Akademija, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra i početak analize: udžbenik za 10-11 ćelija. obrazovne ustanove / A.N. Kolmogorov. - M: Prosvjeta, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Kako napraviti prezentaciju za lekciju? / S.L. Ostrovskog. – M.: Prvi rujan, 2010.