Definición.
Rectángulo Es un cuadrilátero con dos lados opuestos iguales y los cuatro ángulos iguales.Los rectángulos difieren entre sí solo en la relación entre el lado largo y el corto, pero las cuatro esquinas son rectas, es decir, 90 grados cada una.
El lado largo de un rectángulo se llama longitud del rectángulo, y el corto ancho del rectángulo.
Los lados de un rectángulo son también sus alturas.
Propiedades básicas de un rectángulo.
Un rectángulo puede ser un paralelogramo, un cuadrado o un rombo.
1. Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud, es decir, son iguales:
AB=CD, BC=AD
2. Los lados opuestos del rectángulo son paralelos:
3. Los lados adyacentes de un rectángulo siempre son perpendiculares:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Las cuatro esquinas del rectángulo son rectas:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. La suma de los ángulos de un rectángulo es 360 grados:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Las diagonales de un rectángulo tienen la misma longitud:
7. La suma de los cuadrados de la diagonal de un rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Cada diagonal del rectángulo divide el rectángulo en dos figuras idénticas, a saber, triángulos rectángulos.
9. Las diagonales del rectángulo se cortan y se dividen por la mitad en el punto de intersección:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. El punto de intersección de las diagonales se llama centro del rectángulo y también es el centro de la circunferencia circunscrita
11. La diagonal de un rectángulo es el diámetro del círculo circunscrito
12. Siempre se puede describir un círculo alrededor de un rectángulo, ya que la suma de los ángulos opuestos es 180 grados:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. No se puede inscribir un círculo en un rectángulo cuyo largo no sea igual al ancho, ya que las sumas lados opuestos no son iguales entre sí (sólo se puede inscribir un círculo en caso especial rectángulo - cuadrado).
Lados de un rectángulo
Definición.
Longitud del rectángulo llama la longitud del par mayor de sus lados. Ancho del rectángulo nombre la longitud del par más corto de sus lados.Fórmulas para determinar las longitudes de los lados de un rectángulo.
1. La fórmula para el lado de un rectángulo (la longitud y el ancho del rectángulo) en términos de la diagonal y el otro lado:
un = √ re 2 - segundo 2
segundo = √ d 2 - un 2
2. La fórmula para el lado de un rectángulo (la longitud y el ancho del rectángulo) en términos del área y el otro lado:
| b = d cos | β |
| 2 |
Rectángulo Diagonal
Definición.
rectángulo diagonal Se llama cualquier segmento que conecta dos vértices de esquinas opuestas de un rectángulo.Fórmulas para determinar la longitud de la diagonal de un rectángulo.
1. La fórmula para la diagonal de un rectángulo en términos de dos lados del rectángulo (mediante el teorema de Pitágoras):
re = √ a 2 + b 2
2. La fórmula para la diagonal de un rectángulo en términos de área y cualquier lado:
4. La fórmula para la diagonal de un rectángulo en términos del radio del círculo circunscrito:
d=2R
5. La fórmula de la diagonal de un rectángulo en términos del diámetro del círculo circunscrito:
d = do
6. La fórmula de la diagonal de un rectángulo en términos del seno del ángulo adyacente a la diagonal y la longitud del lado opuesto a este ángulo:
8. La fórmula de la diagonal de un rectángulo en función del seno ángulo agudo entre las diagonales y el area del rectangulo
d = √2S: sinβ
perímetro de un rectángulo
Definición.
El perímetro de un rectángulo. es la suma de las longitudes de todos los lados del rectángulo.Fórmulas para determinar la longitud del perímetro de un rectángulo.
1. La fórmula para el perímetro de un rectángulo en términos de dos lados del rectángulo:
PAG = 2a + 2b
PAG = 2(a+b)
2. La fórmula para el perímetro de un rectángulo en términos de área y cualquier lado:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| un | b |
3. Fórmula para el perímetro de un rectángulo en función de la diagonal y cualquier lado:
PAG = 2(a + √ d 2 - un 2) = 2(b + √ re 2 - segundo 2)
4. La fórmula para el perímetro de un rectángulo en términos del radio del círculo circunscrito y cualquier lado:
PAG = 2(a + √4R 2 - un 2) = 2(b + √4R 2 - segundo 2)
5. La fórmula para el perímetro de un rectángulo en términos del diámetro del círculo circunscrito y cualquier lado:
PAG = 2(a + √D o 2 - un 2) = 2(b + √D o 2 - segundo 2)
área del rectángulo
Definición.
área del rectángulo se llama el espacio acotado por los lados del rectángulo, es decir, dentro del perímetro del rectángulo.Formulas para determinar el area de un rectangulo
1. La fórmula para el área de un rectángulo en términos de dos lados:
S = un segundo
2. La fórmula para el área de un rectángulo por el perímetro y cualquier lado:
5. La fórmula para el área de un rectángulo en términos del radio del círculo circunscrito y cualquier lado:
S = un √4R 2 - un 2= segundo √4R 2 - segundo 2
6. La fórmula para el área de un rectángulo en términos del diámetro del círculo circunscrito y cualquier lado:
S \u003d a √ D o 2 - un 2= segundo √ re o 2 - segundo 2
Círculo circunscrito alrededor de un rectángulo
Definición.
Un círculo circunscrito alrededor de un rectángulo. Se llama circunferencia a la que pasa por cuatro vértices de un rectángulo cuyo centro se encuentra en la intersección de las diagonales del rectángulo.Fórmulas para determinar el radio de un círculo circunscrito alrededor de un rectángulo
1. La fórmula para el radio de un círculo circunscrito alrededor de un rectángulo a través de dos lados:
Perímetro (otro - griego περίμετρον - círculo, otro - griego περιμετρέο - mido alrededor) - la longitud total del borde de la figura (la mayoría de las veces en el plano). Tiene la misma dimensión que la longitud. A veces, el perímetro se llama el límite de una figura geométrica.
Área - una característica numérica de una figura geométrica bidimensional (plana o curva), informalmente hablando, que muestra el tamaño de esta figura. Históricamente, el cálculo del área se llamaba cuadratura. Una figura que tiene un área se llama cuadrado. El valor específico del área para figuras simples inequívocamente se sigue de la práctica requisitos importantes(vea abajo). Las figuras que tienen la misma área se llaman áreas iguales.
El perímetro de la figura tiene solo un parámetro: la longitud, o longitud, expresada en unidades de longitud: metro, yarda, arshin, codo. O derivados de ellos: kilómetro, centímetro, decímetro.
El área de una figura tiene dos parámetros, por ejemplo, largo y ancho, o radio y pi, según la forma. El tamaño del área se expresa en unidades al cuadrado: metros cuadrados, hectáreas, millas cuadradas
Perímetro y su definición.
Se acostumbra llamar perímetro a la longitud del borde de una figura plana, que consta de segmentos rectos, donde el comienzo de cada subsiguiente se une al final del anterior.
Estrictamente hablando, un círculo también tiene un perímetro, pero para los límites curvilíneos se acostumbra hablar de la circunferencia o la longitud del arco.
Para determinar la longitud del perímetro, es necesario medir o calcular la longitud de cada lado de la figura y luego sumar los números resultantes.
El área de una figura y su definición
área de protozoos formas geométricas determinado por fórmulas.
El área de un rectángulo es igual al producto de las longitudes de los lados.
El área de un círculo es igual al producto del cuadrado del radio y el número Pi \u003d 3.1415
Hay fórmulas para un triángulo, sector, trapezoide, paralelogramo.
El área de figuras curvilíneas complejas se calcula mediante la integral. Tomar la integral de la fórmula que describe el límite de la figura dará como resultado el área. Este es el significado geométrico de la integral: calcula el área delimitada por el gráfico de la función en un área determinada.
Una figura compleja, de la que no existe una fórmula general, se divide mentalmente en figuras simples para determinar el área. Las áreas de figuras simples se calculan y luego se suman.
El perímetro y el área de una figura geométrica están relacionados y siempre se puede calcular un parámetro a partir del otro con un mínimo de datos adicionales.
Perímetro es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
- Para calcular el perímetro de las formas geométricas, se utilizan fórmulas especiales, donde el perímetro se indica con la letra "P". Se recomienda escribir el nombre de la figura en minúsculas debajo del signo “P” para saber de quién es el perímetro que estás encontrando.
- El perímetro se mide en unidades de longitud: mm, cm, m, km, etc.
Características distintivas del rectángulo.
- Un rectángulo es un cuadrilátero.
- todos los lados paralelos son iguales
- Todos los ángulos = 90º.
- por ejemplo, en La vida cotidiana un rectángulo se puede encontrar en forma de libro, monitor, mantel o puerta.
Como calcular el perimetro de un rectangulo
Hay 2 formas de encontrarlo:
- 1 manera Suma todos los lados. PAG = un + un + segundo + segundo
- 2 vías. Sume el ancho y el largo y multiplique por 2. PAG = (a + b) 2. O P \u003d 2 a + 2 b. Los lados de un rectángulo que se encuentran uno frente al otro (opuestos) se llaman largo y ancho.
"un"- la longitud del rectángulo, el par más largo de sus lados.
"b"- el ancho del rectángulo, el par más corto de sus lados.
Un ejemplo de un problema para calcular el perímetro de un rectángulo:
Calcula el perímetro de un rectángulo, si su ancho es de 3 cm y su largo de 6.
¡Memoriza las fórmulas para calcular el perímetro de un rectángulo!
semiperímetro es la suma de un largo y un ancho .
- semiperimetro de un rectangulo - cuando realiza la primera acción entre paréntesis - (a+b).
- Para obtener el perímetro del semiperímetro, debe aumentarlo 2 veces, es decir multiplicar por 2
Como sacar el area de un rectangulo
fórmula del área del rectángulo S=a*b
Si la longitud de un lado y la longitud de la diagonal se conocen en la condición, entonces el área se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras en tales problemas, le permite encontrar la longitud del lado triángulo rectángulo si se conocen las longitudes de los otros dos lados.
- : un 2 + segundo 2 = do 2, donde a y b son los lados del triángulo, y c es la hipotenusa, el lado más largo.
¡Recordar!
- Todos los cuadrados son rectángulos, pero no todos los rectángulos son cuadrados. Como:
- Rectángulo es un cuadrilátero con todos sus ángulos rectos.
- Cuadrado Un rectángulo con todos los lados iguales.
- Si encuentras el área, la respuesta siempre estará en unidades cuadradas (mm 2, cm 2, m 2, km 2, etc.)
Al resolver, es necesario tener en cuenta que resolver el problema de encontrar el área de un rectángulo solo a partir de la longitud de sus lados esta prohibido.
Esto es fácil de verificar. Sea el perímetro del rectángulo 20 cm. Esto será cierto si sus lados son 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7 cm. Todos estos tres rectángulos tendrán el mismo perímetro, igual a veinte centímetros. (1 + 9) * 2 = 20 al igual que (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Como puede ver, podemos elegir una infinidad de opciones las dimensiones de los lados del rectángulo, cuyo perímetro será igual al valor dado.
El área de los rectángulos con un perímetro dado de 20 cm, pero con diferentes lados será diferente. Para el ejemplo dado - 9, 16 y 21 centímetros cuadrados, respectivamente.
S 1 \u003d 1 * 9 \u003d 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm 2
Como puedes ver, hay una infinidad de opciones para el área de una figura con un perímetro dado.
Así, para calcular el área de un rectángulo a partir de su perímetro, es necesario conocer o bien la razón de sus lados o bien la longitud de uno de ellos. La única figura que tiene una dependencia inequívoca de su área con el perímetro es un círculo. Solo para circulo y posiblemente una solución.
En esta lección:
- Tarea 4. Cambia la longitud de los lados manteniendo el área del rectángulo.
Tarea 1. Encuentra los lados de un rectángulo desde el área
El perímetro de un rectángulo es de 32 centímetros, y la suma de las áreas de los cuadrados construidos en cada uno de sus lados es de 260 centímetros cuadrados. Encuentra los lados del rectángulo.Decisión.
2(x+y)=32
Según la condición del problema, la suma de las áreas de los cuadrados construidos en cada uno de sus lados (cuadrados, respectivamente, cuatro) será igual a
2x2+2y2=260
x+y=16
x=16-y
2(16 años) 2 +2años 2 =260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64y+4y 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
Ahora tomemos en cuenta que en base al hecho de que x+y=16 (ver arriba) en x=9, entonces y=7 y viceversa, si x=7, entonces y=9
Responder: Los lados de un rectángulo miden 7 y 9 centímetros
Tarea 2. Encuentra los lados de un rectángulo desde el perímetro.
El perímetro de un rectángulo es de 26 cm, y la suma de las áreas de los cuadrados construidos en sus dos lados adyacentes es de 89 metros cuadrados. ver Hallar los lados del rectángulo.
Decisión.
Denotemos los lados del rectángulo como x e y.
Entonces el perímetro del rectángulo es:
2(x+y)=26
La suma de las áreas de los cuadrados construidos en cada uno de sus lados (hay dos cuadrados, respectivamente, y estos son los cuadrados del ancho y la altura, ya que los lados son adyacentes) será igual a
x2+y2=89
Resolvemos el sistema de ecuaciones resultante. De la primera ecuación deducimos que
x+y=13
y=13-y
Ahora realizamos una sustitución en la segunda ecuación, reemplazando x con su equivalente.
(13) 2 + y 2 = 89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y2 -26y+80=0
Resolvemos la ecuación cuadrática resultante.
D=676-640=36
x1=5
x2=8
Ahora tomemos en cuenta que en base al hecho de que x+y=13 (ver arriba) en x=5, entonces y=8 y viceversa, si x=8, entonces y=5
Respuesta: 5 y 8 cm
Tarea 3. Encuentra el área de un rectángulo a partir de la proporción de sus lados.
Calcula el área de un rectángulo si su perímetro es de 26 cm y los lados son proporcionales de 2 a 3.
Decisión.
Denotemos los lados del rectángulo por el coeficiente de proporcionalidad x.
Desde donde la longitud de un lado será igual a 2x, el otro - 3x.
Entonces:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Ahora, en base a los datos obtenidos, determinamos el área del rectángulo:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2
Tarea 4. Cambiar la longitud de los lados manteniendo el área de un rectángulo
La longitud del rectángulo aumentó en un 25%. ¿En qué porcentaje debe reducirse el ancho para que su área no cambie?Decisión.
el area del rectangulo es
S = ab
En nuestro caso, uno de los factores aumentó un 25%, lo que significa a 2 = 1.25a. Por lo tanto, NUEVA Área el rectángulo debe ser igual
S 2 \u003d 1.25ab
Entonces, para devolver el área del rectángulo a su valor inicial, entonces
S2 = S/ 1.25
S 2 \u003d 1.25ab / 1.25
Dado que el nuevo tamaño a no se puede cambiar, entonces
S 2 \u003d (1.25a) b / 1.25
1 / 1,25 = 0,8
Por lo tanto, el valor del segundo lado debe reducirse en (1 - 0,8) * 100% = 20%
Responder: El ancho debe reducirse en un 20%.
Antes de resolver problemas sobre cómo encontrar el perímetro y el área de formas geométricas, déjame recordarte que ...
nivelo
1. El largo del rectángulo es de 8 dm, el ancho es de 7 dm. Encuentra su área.
2. La longitud del lado del cuadrado es de 6 cm. Halla el área y el perímetro del cuadrado.
3. El rectángulo tiene una longitud de 7 cm, un ancho de 5 cm. Halla el área y el perímetro del rectángulo.
4. Halla el perímetro y el área de un rectángulo de 6 cm y 8 cm de lado.
5. El largo del rectángulo es de 8 dm, el ancho es de 5 dm. Encuentra su área.
6. Calcula el área de un rectángulo cuyos lados miden 6 mm y 8 mm.
7. El ancho del rectángulo es de 7 dm y el largo es de 12 dm. Calcula el área.
8. El largo del rectángulo es de 9 dm, el ancho es de 7 cm, encuentra su área.
9. La longitud del lado del cuadrado es de 6 cm. Halla el área.
10. Calcula el perímetro de un cuadrado de 4 cm de lado.
11. El ancho del rectángulo es de 9 dm y el largo es de 6 dm más. Encuentra su área.
12. El largo del rectángulo es 5 dm, el ancho es 4 cm menos. Encuentra la P y la S de este rectángulo.
13. Dibuja un rectángulo, la longitud de un lado del cual es de 2 cm, y la longitud del otro es 3 veces mayor. Halla su perímetro y área.
14. Dibuja un rectángulo, la longitud de un lado del cual es de 6 cm, y la longitud del otro es 2 veces mayor. Halla su perímetro y área.
15. Dibuja un rectángulo de 2 cm de ancho y 3 cm de largo más. Calcula su perímetro.
16. El lado del cuadrado mide 3 cm ¿Cuál es el perímetro?
17. Una hoja de papel tiene forma cuadrada. Su lado mide 10 cm ¿Cuál es el perímetro?
18. Dibuja un cuadrado de 6 cm de lado y encuentra su perímetro. El perímetro de un cuadrado es de 28 cm ¿Cuál es su lado?
19.Ancho de la ventana forma rectangular 4 dm, y la longitud es 2 veces mayor. Calcula el área de la ventana.
20. El ancho del rectángulo es de 4 dm y el largo es 5 veces el ancho. Encuentra el área del rectángulo.
21. El área de un rectángulo es de 36 cm², su largo es de 9 cm, ¿cuál es el ancho del rectángulo?
II nivel
1. Dibuja un rectángulo cuya longitud de un lado sea de 2 cm y la longitud del otro sea 4 veces mayor. Halla su perímetro y área.
2. El largo del rectángulo es 5 dm, el ancho es 4 cm menos. Encuentra la P y la S de este rectángulo.
3. Dado: rectángulo, a \u003d 8 dm, b - 2 cm menos. Encuentre R y S.
4. El largo del rectángulo es de 12 cm y su ancho es de 2 cm menos. Encuentra el área y el perímetro del rectángulo.
5. La suma de los dos lados del cuadrado es 12 dm. Encuentra el perímetro y el área del cuadrado.
6. Encuentra la longitud del rectángulo por su ancho - 8 dm y perímetro - 30 dm.
7. El perímetro de un cuadrado es de 32 cm ¿Cuál es su lado?
8. El perímetro del triángulo es de 21 cm. Pon la longitud del tercer lado de este triángulo si las longitudes de los dos lados son de 7 cm y 8 cm.
9. El perímetro del rectángulo es de 20 cm. La longitud de su lado es de 6 cm. Halla el ancho del rectángulo y dibújalo.
10. El área del rectángulo es de 270 cm cuadrados, su longitud es de 9 dm. Encuentra el perímetro de este rectángulo.
11.Perímetro rectángulo mide 54 m. Halla el área de este rectángulo si uno de sus lados mide 18 m.
12. Halla el área de un cuadrado cuyo perímetro es de 360 mm.
13. El perímetro del rectángulo es de 40 cm, un lado mide 5 cm, ¿cuál es su área?
14. Dibuja un cuadrado cuyo perímetro sea igual al perímetro de un rectángulo de 2 cm y 6 cm de lado.
15. Zona de casas de campo forma rectangular tiene una longitud de 20 m y un ancho de 12 m ¿Cuánto tiempo debe colocarse la cerca alrededor del sitio?
16. El perímetro de un cuadrado es igual al perímetro de un triángulo de lados 6 cm, 3 cm y 7 cm ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
17. ¿Qué figura tiene un área mayor y por cuánto: un cuadrado con un lado de 4 cm o un rectángulo con lados de 2 cm y 6 cm?
18. El perímetro de un rectángulo es de 54 m. Halla el área de este rectángulo si uno de sus lados mide 18 m.
19. El perímetro de un cajón de arena cuadrado es de 12 m. Halla el área de este cajón de arena.
20. Escribe todo opciones posibles largo y ancho de un rectángulo si su perímetro es de 24 cm.
Compilado por Kislova Lyudmila Borisovna
