Bu dərsdə vektorlarla daha iki əməliyyata baxacağıq: vektorların çarpaz məhsulu və vektorların qarışıq məhsulu (ehtiyacı olanlar üçün dərhal link). Tamam, bəzən olur ki, tam xoşbəxtlik üçün əlavə olaraq vektorların nöqtə hasili, getdikcə daha çox ehtiyac duyulur. Bu vektor asılılığıdır. İnsanda elə təəssürat yarana bilər ki, biz analitik həndəsə cəngəlliyinə giririk. Bu doğru deyil. Ali riyaziyyatın bu bölməsində Pinokkio üçün bəlkə də kifayət qədər odun istisna olmaqla, ümumiyyətlə az odun var. Əslində, material çox yaygın və sadədir - eyni şeydən çətin ki, daha çətindir skalyar məhsul, hətta daha az tipik tapşırıqlar olacaq. Analitik həndəsədə əsas şey, çoxlarının görəcəyi və ya artıq gördüyü kimi, hesablamalarda səhv etməməkdir. Bir sehr kimi təkrarlayın və xoşbəxt olacaqsınız =)

Vektorlar üfüqdə ildırım kimi uzaq bir yerdə parıldayırsa, fərq etməz, dərsdən başlayın Butaforlar üçün vektorlar vektorlar haqqında əsas bilikləri bərpa etmək və ya yenidən əldə etmək. Daha hazırlıqlı oxucular məlumatla seçmə şəkildə tanış ola bilərlər, mən praktiki işdə tez-tez rast gəlinən ən dolğun nümunələr toplusunu toplamağa çalışdım.

Sizi nə xoşbəxt edəcək? Mən balaca olanda iki, hətta üç topla hoqqabazlıq edə bilirdim. Yaxşı nəticə verdi. İndi ümumiyyətlə hoqqabazlığa ehtiyac yoxdur, çünki nəzərdən keçirəcəyik yalnız kosmik vektorlar, və iki koordinatlı düz vektorlar kənarda qalacaq. Niyə? Bu hərəkətlər belə yarandı - vektorların vektoru və qarışıq hasilatı müəyyən edilir və üçölçülü məkanda işləyir. Artıq daha asan!

Bu əməliyyatda, skalyar hasildə olduğu kimi, iki vektor. Qoy ölməz hərflər olsun.

Fəaliyyətin özü işarələnmişdir aşağıdakı şəkildə: . Başqa variantlar da var, amma mən vektorların çarpaz hasilini bu şəkildə, kvadrat mötərizədə xaçla işarələyirdim.

Və dərhal sual: varsa vektorların nöqtə hasili iki vektor iştirak edir və burada iki vektor da vurulur, onda fərq nədir? Aydın fərq, ilk növbədə, NƏTİCƏ:

Vektorların skalyar hasilinin nəticəsi SƏDƏdir:

Vektorların çarpaz məhsulunun nəticəsi VEKTOR-dur: , yəni vektorları çoxaldıb yenidən vektor alırıq. Qapalı klub. Əslində əməliyyatın adı belədir. Müxtəlif tədris ədəbiyyatlarında təyinatlar da dəyişə bilər, mən hərfdən istifadə edəcəyəm.

Çarpaz məhsulun tərifi

Əvvəlcə şəkilli tərif, sonra şərhlər olacaq.

Tərif: çarpaz məhsul qeyri-kollinear vektorlar, bu qaydada alınır, VEKTOR adlanır, uzunluqədədi olaraq paraleloqramın sahəsinə bərabərdir, bu vektorlar üzərində qurulmuşdur; vektor vektorlara ortoqonaldır, və əsasın düzgün istiqamətə malik olması üçün yönəldilir:

Tərifi sümüklərlə təhlil edirik, çox maraqlı şeylər var!

Beləliklə, aşağıdakı mühüm məqamları qeyd edə bilərik:

1) Tərifinə görə qırmızı oxlarla göstərilən mənbə vektorları kollinear deyil. Kollinear vektorlar məsələsinə bir az sonra baxmaq məqsədəuyğun olar.

2) Vektorlar götürülür ciddi qaydada: – "a" "ol" ilə vurulur, "a"ya "olmaq" deyil. Vektorun vurulmasının nəticəsi mavi ilə işarələnmiş VEKTOR-dur. Vektorlar tərs ardıcıllıqla vurularsa, onda uzunluğa bərabər və əks istiqamətdə (qırmızı rəng) bir vektor alırıq. Yəni bərabərlik .

3) İndi vektor hasilinin həndəsi mənası ilə tanış olaq. Bu çox vacib bir məqamdır! Mavi vektorun (və deməli, qırmızı vektorun) UZUNLUĞU vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın SAHƏSİ ilə ədədi olaraq bərabərdir. Şəkildə bu paraleloqram qara rənglə kölgələnib.

Qeyd : rəsm sxematikdir və əlbəttə ki, çarpaz məhsulun nominal uzunluğu paraleloqramın sahəsinə bərabər deyil.

Həndəsi düsturlardan birini xatırlayırıq: paraleloqramın sahəsi bitişik tərəflərin hasilinə və aralarındakı bucağın sinusuna bərabərdir. Buna görə də, yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, vektor məhsulunun UZUNLUĞUNUN hesablanması düsturu etibarlıdır:

Vurğulayıram ki, düsturda vektorun özündən yox, vektorun UZUNLUĞundan danışırıq. Praktik məna nədir? Və mənası belədir ki, analitik həndəsə problemlərində paraleloqramın sahəsi çox vaxt vektor məhsulu anlayışı vasitəsilə tapılır:

İkinci vacib düsturu alırıq. Paraleloqramın diaqonalı (qırmızı nöqtəli xətt) onu iki bərabər üçbucağa ayırır. Buna görə vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsi (qırmızı kölgə) düsturla tapıla bilər:

4) Eyni dərəcədə vacib bir fakt, vektorun vektorlara ortoqonal olmasıdır, yəni . Əlbəttə ki, əks istiqamətli vektor (qırmızı ox) orijinal vektorlara da ortoqonaldır.

5) Vektor elə yönəldilmişdir ki əsas Bu var sağ oriyentasiya. haqqında bir dərsdə yeni əsasa keçid haqqında ətraflı danışmışam təyyarə oriyentasiyası, və indi kosmosun oriyentasiyasının nə olduğunu anlayacağıq. Barmaqlarınızla izah edəcəyəm sağ əl. Zehni olaraq birləşdirin şəhadət barmağı vektor ilə və orta barmaq vektor ilə. Üzük barmaq və kiçik barmaq ovucunuza sıxın. Nəticə olaraq baş barmaq- vektor məhsulu yuxarıya baxacaq. Bu, sağ yönümlü əsasdır (şəkildədir). İndi vektorları dəyişdirin ( şəhadət və orta barmaqlar) bəzi yerlərdə nəticədə baş barmaq dönəcək və vektor məhsulu artıq aşağıya baxacaq. Bu da sağ yönümlü əsasdır. Bəlkə bir sualınız var: hansı əsasda sol yönüm var? Eyni barmaqları "təyin edin" sol əl vektorları və sol əsas və sol boşluq oriyentasiyasını əldə edin (bu halda baş barmaq aşağı vektor istiqamətində yerləşəcək). Obrazlı desək, bu əsaslar məkanı müxtəlif istiqamətlərdə “burur” və ya istiqamətləndirir. Və bu konsepsiya uzaq və ya mücərrəd bir şey hesab edilməməlidir - məsələn, ən adi güzgü kosmosun istiqamətini dəyişdirir və əgər siz "əks olunan obyekti güzgüdən çıxarsanız", onda ümumiyyətlə mümkün olmayacaqdır. onu "orijinal" ilə birləşdirin. Yeri gəlmişkən, üç barmağınızı güzgüyə gətirin və əksini təhlil edin ;-)

... indi bildiyiniz nə qədər yaxşıdır sağa və sola yönəldilmişdirəsaslar, çünki bəzi mühazirəçilərin oriyentasiya dəyişikliyi ilə bağlı açıqlamaları dəhşətlidir =)

Kollinear vektorların vektor məhsulu

Tərif ətraflı şəkildə işlənmişdir, vektorlar kollinear olduqda nə baş verdiyini tapmaq qalır. Vektorlar kollineardırsa, onda onlar bir düz xətt üzərində yerləşdirilə bilər və bizim paraleloqramımız da bir düz xəttə "qatlanır". Bu sahə, riyaziyyatçıların dediyi kimi, degenerasiya etmək paraleloqram sıfırdır. Eyni şey düsturdan gəlir - sıfır və ya 180 dərəcə sinusu sıfıra bərabərdir, yəni sahə sıfırdır

Beləliklə, əgər varsa, onda və . Nəzərə alın ki, çarpaz məhsulun özü sıfır vektoruna bərabərdir, lakin praktikada buna çox vaxt əhəmiyyət verilmir və onun da sıfıra bərabər olduğu yazılır.

Xüsusi hal vektorun və özünün vektor məhsuludur:

Çarpaz məhsuldan istifadə edərək, siz üçölçülü vektorların kollinearlığını yoxlaya bilərsiniz və biz başqaları arasında bu problemi də təhlil edəcəyik.

Praktik nümunələri həll etmək üçün lazım ola bilər triqonometrik cədvəl ondan sinusların dəyərlərini tapmaq.

Yaxşı, atəş açaq:

Misal 1

a) Əgər vektorların vektor hasilinin uzunluğunu tapın

b) Əgər vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsini tapın

Qərar: Xeyr, bu, hərf səhvi deyil, mən şərti maddələrdəki ilkin məlumatları qəsdən eyni etdim. Çünki həllərin dizaynı fərqli olacaq!

a) Şərtə görə tapmaq tələb olunur uzunluq vektor (vektor məhsulu). Müvafiq düstura görə:

Cavab verin:

Uzunluğu haqqında soruşulduğundan, cavabda ölçüsü - vahidləri göstəririk.

b) Şərtə görə tapmaq tələb olunur kvadrat vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqram. Bu paraleloqramın sahəsi ədədi olaraq çarpaz məhsulun uzunluğuna bərabərdir:

Cavab verin:

Nəzərə alın ki, vektor məhsulu ilə bağlı cavabda ümumiyyətlə söhbət yoxdur, bizdən soruşuldu fiqur sahəsi, müvafiq olaraq, ölçü kvadrat vahidlərdir.

Biz həmişə şərtə görə NƏNƏ tapılmalı olduğuna baxırıq və buna əsaslanaraq formullaşdırırıq aydın cavab. Bu, hərfilik kimi görünə bilər, amma müəllimlər arasında kifayət qədər hərfçilər var və yaxşı şanslarla tapşırıq yenidən nəzərdən keçiriləcək. Baxmayaraq ki, bu, xüsusilə gərgin nitpick deyil - əgər cavab səhvdirsə, o zaman adamın sadə şeyləri başa düşmədiyi və / və ya tapşırığın mahiyyətini araşdırmadığı təəssüratı yaranır. Ali riyaziyyatda və digər fənlərdə də istənilən problemi həll edərkən bu məqam həmişə nəzarətdə saxlanılmalıdır.

Böyük "en" hərfi hara getdi? Prinsipcə, əlavə olaraq həllə yapışdırıla bilərdi, amma rekordu qısaltmaq üçün etmədim. Ümid edirəm ki, hamı bunu başa düşür və eyni şeyin təyinatıdır.

Öz əlinizlə həll üçün məşhur bir nümunə:

Misal 2

Əgər vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsini tapın

Vektor məhsulu vasitəsilə üçbucağın sahəsini tapmaq üçün düstur tərifin şərhlərində verilmişdir. Həll və cavab dərsin sonunda.

Praktikada, vəzifə həqiqətən çox yaygındır, üçbucaqlar ümumiyyətlə işgəncə edilə bilər.

Digər problemləri həll etmək üçün bizə lazımdır:

Vektorların çarpaz məhsulunun xassələri

Biz vektor məhsulunun bəzi xüsusiyyətlərini artıq nəzərdən keçirdik, lakin mən onları bu siyahıya daxil edəcəyəm.

İxtiyari vektorlar və ixtiyari ədədlər üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

1) Digər məlumat mənbələrində bu maddə adətən xassələrinə görə fərqlənmir, lakin praktiki baxımdan çox vacibdir. Qoy belə olsun.

2) - mülkdən də yuxarıda bəhs edilir, bəzən ona da deyilir antikommutativlik. Başqa sözlə, vektorların sırası vacibdir.

3) - birləşmə və ya assosiativ vektor məhsul qanunları. Sabitlər vektor məhsulunun hüdudlarından asanlıqla çıxarılır. Doğrudan da, onların orada nə işi var?

4) - paylama və ya paylanması vektor məhsul qanunları. Mötərizənin açılmasında da heç bir problem yoxdur.

Nümayiş olaraq, qısa bir nümunəyə nəzər salın:

Misal 3

Əgər tapın

Qərar:Şərtə görə, vektor məhsulunun uzunluğunu tapmaq yenidən tələb olunur. Miniatürümüzü rəngləyək:

(1) Assosiativ qanunlara görə, vektor məhsulunun hüdudlarından kənara çıxan sabitləri çıxarırıq.

(2) Biz sabiti moduldan çıxarırıq, modul isə mənfi işarəni “yeyir”. Uzunluq mənfi ola bilməz.

(3) Aşağıdakılar aydındır.

Cavab verin:

Odun üzərinə odun atmağın vaxtı gəldi:

Misal 4

Əgər vektorlar üzərində qurulmuş üçbucağın sahəsini hesablayın

Qərar: Düsturdan istifadə edərək üçbucağın sahəsini tapın . Problem ondadır ki, "ce" və "te" vektorları özləri vektorların cəmi kimi təmsil olunurlar. Burada alqoritm standartdır və bir qədər dərsin 3 və 4 nömrəli misallarını xatırladır. Vektorların nöqtə hasili. Aydınlıq üçün bunu üç addıma bölək:

1) İlk addımda vektor məhsulunu vektor məhsulu ilə ifadə edirik, əslində, vektoru vektorla ifadə edin. Uzunluğu haqqında hələ söz yoxdur!

(1) vektorların ifadələrini əvəz edirik.

(2) Paylanma qanunlarından istifadə edərək, çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizələri açın.

(3) Assosiativ qanunlardan istifadə edərək vektor məhsullarından kənar bütün sabitləri çıxarırıq. Az təcrübə ilə 2 və 3-cü hərəkətlər eyni vaxtda yerinə yetirilə bilər.

(4) Xoş xassə görə birinci və son şərtlər sıfıra bərabərdir (sıfır vektor). İkinci termində vektor məhsulunun antikommutativ xassəsindən istifadə edirik:

(5) Biz oxşar şərtləri təqdim edirik.

Nəticədə vektor bir vektor vasitəsilə ifadə edildi, buna nail olmaq lazım idi:

2) İkinci addımda bizə lazım olan vektor məhsulunun uzunluğunu tapırıq. Bu hərəkət Misal 3-ə bənzəyir:

3) İstədiyiniz üçbucağın sahəsini tapın:

Məhlulun 2-3 addımları bir sətirdə təşkil edilə bilər.

Cavab verin:

Baxılan problem testlərdə olduqca yaygındır, burada müstəqil həll üçün bir nümunə var:

Misal 5

Əgər tapın

Qısa həll və dərsin sonunda cavab. Əvvəlki nümunələri öyrənərkən nə qədər diqqətli olduğunuzu görək ;-)

Koordinatlarda vektorların çarpaz hasili

Düstur həqiqətən sadədir: biz koordinat vektorlarını determinantın yuxarı sətirinə yazırıq, vektorların koordinatlarını ikinci və üçüncü sətirlərə "paketləyirik" və biz qoyuruq. ciddi qaydada- əvvəlcə “ve” vektorunun koordinatları, sonra “double-ve” vektorunun koordinatları. Vektorları fərqli ardıcıllıqla çoxaltmaq lazımdırsa, o zaman xətlər də dəyişdirilməlidir:

Misal 10

Aşağıdakı kosmik vektorların kollinear olub olmadığını yoxlayın:
a)
b)

Qərar: Test bu dərsdəki ifadələrdən birinə əsaslanır: vektorlar kollineardırsa, onların çarpaz hasilatı sıfırdır (sıfır vektor): .

a) vektor məhsulunu tapın:

Beləliklə, vektorlar kollinear deyil.

b) vektor məhsulunu tapın:

Cavab verin: a) kollinear deyil, b)

Burada, bəlkə də vektorların vektor məhsulu haqqında bütün əsas məlumatlar var.

Bu bölmə çox böyük olmayacaq, çünki vektorların qarışıq məhsulunun istifadə edildiyi bir neçə problem var. Əslində, hər şey tərifə, həndəsi mənaya və bir neçə iş düsturuna əsaslanacaq.

Vektorların qarışıq hasili üç vektorun məhsuludur:

Beləcə qatar kimi düzülüb gözləyirlər, hesablanana qədər gözləyə bilmirlər.

Əvvəlcə tərif və şəkil:

Tərif: Qarışıq məhsul qeyri-düzgün vektorlar, bu qaydada alınır, adlanır paralelepipedin həcmi, bu vektorlar üzərində qurulmuş, əsas sağdırsa "+" işarəsi, əsas qaldıqda isə "-" işarəsi ilə təchiz edilmişdir.

Gəlin rəsm çəkək. Bizə görünməyən xətlər nöqtəli xəttlə çəkilir:

Gəlin tərifə keçək:

2) Vektorlar götürülür müəyyən qaydada, yəni məhsulda vektorların dəyişdirilməsi, təxmin etdiyiniz kimi, nəticəsiz keçmir.

3) Həndəsi mənasını şərh etməzdən əvvəl açıq bir faktı qeyd edəcəm: vektorların qarışıq hasilatı SƏDDİR: . Təhsil ədəbiyyatında dizayn bir qədər fərqli ola bilər, mən qarışıq məhsulu təyin edirdim və "pe" hərfi ilə hesablamaların nəticəsi.

A-prior qarışıq məhsul paralelepipedin həcmidir, vektorlar üzərində qurulmuşdur (şəkil qırmızı vektorlar və qara xətlərlə çəkilmişdir). Yəni, ədəd verilmiş paralelepipedin həcminə bərabərdir.

Qeyd : Rəsm sxematikdir.

4) Bazisin və məkanın oriyentasiyası anlayışı ilə yenə narahat olmayaq. Son hissənin mənası odur ki, həcmə mənfi işarə əlavə edilə bilər. Sadə dillə desək, qarışıq məhsul mənfi ola bilər: .

Vektorlar üzərində qurulmuş paralelepipedin həcminin hesablanması düsturu birbaşa tərifdən irəli gəlir.

Əvvəlcə vektor məhsulunun nə olduğunu xatırlayaq.

Qeyd 1

vektor sənəti$\vec(a)$ və $\vec(b)$ üçün $\vec(c)$-dır ki, bu da $\vec(c)= ||$ üçüncü vektorudur və bu vektor xüsusi xüsusiyyətlərə malikdir:

• Yaranan vektorun skalyarı $|\vec(a)|$ və $|\vec(b)|$ və $\vec(c)= ||= |\vec(a) bucağının sinusunun hasilidir. )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Bütün $\vec(a), \vec(b)$ və $\vec(c)$ sağ üçlü təşkil edir;
• Nəticə vektor $\vec(a)$ və $\vec(b)$-a ortoqonaldır.

Əgər vektorlar üçün bəzi koordinatlar varsa ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ və $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), onda onların vektor hasilində Kartezyen koordinat sistemi aşağıdakı düsturla müəyyən edilə bilər:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

Bu düsturu yadda saxlamağın ən asan yolu onu determinant şəklində yazmaqdır:

$ = \begin(massiv) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(massiv)$.

Bu düsturdan istifadə etmək olduqca rahatdır, lakin onu necə istifadə edəcəyinizi başa düşmək üçün əvvəlcə matrislər və onların təyinediciləri mövzusu ilə tanış olmalısınız.

Paraleloqram sahəsi tərəfləri $\vec(a)$ və $vec(b)$ iki vektoru ilə müəyyən edilən , bərabərdir verilmiş iki vektorun çarpaz hasilinin skalyarına.

Bu nisbəti əldə etmək olduqca asandır.

$a$ və $b$ seqmentləri ilə xarakterizə edilə bilən adi bir paraleloqramın sahəsini tapmaq üçün düsturu xatırlayın:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

Bu halda tərəflərin uzunluqları $\vec(a)$ və $\vec(b)$ vektorlarının skalyar qiymətlərinə bərabərdir ki, bu da bizim üçün olduqca uyğundur, yəni skalyarın bu vektorların vektor məhsulu nəzərdən keçirilən fiqurun sahəsi olacaqdır.

Misal 1

Verilmiş vektorlar $\vec(c)$ koordinatları $\(5;3; 7\)$ və vektoru $\(3; 7;10 \)$ koordinatları ilə $\(3; 7;10 \)$ Dekart koordinatlarında. $\vec(c)$ və $\vec(g)$ ilə əmələ gələn paraleloqramın sahəsini tapın.

Qərar:

Bu vektorlar üçün vektor məhsulunu tapın:

$ = \begin(massiv) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(massiv)= i \cdot \begin(massiv) (|cc) |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(massiv) - j \cdot \begin(massiv) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(massiv) + k \cdot \begin(massiv) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(massiv) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

İndi ortaya çıxan istiqamət seqmentinin modul dəyərini tapaq, bu qurulmuş paraleloqramın sahəsinin dəyəridir:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34$.

Bu mülahizə xətti təkcə 3 ölçülü fəzada sahə tapmaq üçün deyil, həm də ikiölçülü üçün də etibarlıdır. Bu mövzuda növbəti suala baxın.

Misal 2

Paraleloqramın sahəsini hesablayın, əgər onun yaradan seqmentləri $\(2; 3\)$ koordinatları ilə $\vec(m)$ və $\vec(d)$ koordinatları ilə $\(-5); 6\)$.

Qərar:

Bu məsələ yuxarıda həll olunmuş 1-ci məsələnin xüsusi nümunəsidir, lakin hər iki vektor eyni müstəvidə yerləşir, bu o deməkdir ki, üçüncü koordinat, $z$, sıfır kimi qəbul edilə bilər.

Yuxarıdakıları yekunlaşdırmaq üçün paraleloqramın sahəsi belə olacaq:

$S = \begin(massiv) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(massiv) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Misal 3

Verilmiş vektorlar $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Onların əmələ gətirdiyi paraleloqramın sahəsini tapın.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \ dəfə 5i = 15 - 5 + $

Vahid vektorlar üçün verilmiş cədvələ əsasən sadələşdirək:

Şəkil 1. Bazis baxımından vektorun parçalanması. Author24 - tələbə sənədlərinin onlayn mübadiləsi

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

Hesablama vaxtı:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Əvvəlki problemlər koordinatları Dekart koordinat sistemində verilmiş vektorlar haqqında idi, lakin əsas vektorlar arasındakı bucaq $90°$-dan fərqli olduğu halı da nəzərdən keçirin:

Misal 4

$\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$ vektoru, $\vec(a)$ və $\vec(b)$ uzunluqları bir-birinə bərabərdir və birinə bərabərdir və $\vec(a)$ ilə $\vec(b)$ arasındakı bucaq 45°-dir.

Qərar:

$\vec(d) \times \vec(f)$ vektor məhsulunu hesablayaq:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \ dəfə (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Vektor məhsulları üçün xassələrinə görə aşağıdakılar doğrudur: $$ və $$ sıfıra bərabərdir, $ = - $.

Bunu sadələşdirmək üçün istifadə edək:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

İndi $(1)$ düsturundan istifadə edək:

$[\vec(d) \times \vec(f) ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5.5$.

Vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsi bu vektorların uzunluqlarının hasilinə və onların arasında yerləşən bucağın bucağına bərabərdir.

Bu eyni vektorların uzunluqları şərtlərə uyğun olaraq verildikdə yaxşıdır. Bununla belə, elə olur ki, vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsi üçün düsturu yalnız koordinatlar üzrə hesablamalardan sonra tətbiq etmək mümkündür.
Əgər şanslısınızsa və vektorların uzunluqları şərtlərə uyğun olaraq verilirsə, onda sadəcə məqalədə ətraflı təhlil etdiyimiz düsturu tətbiq etməlisiniz. Sahə modulların məhsuluna və aralarındakı bucağın sinusuna bərabər olacaq:

Vektorlar üzərində qurulmuş bir paraleloqramın sahəsinin hesablanması nümunəsini nəzərdən keçirin.

Tapşırıq: Paraleloqram və vektorları üzərində qurulur. Əgər sahəni tapın və aralarındakı bucaq 30°-dir.
Vektorları qiymətləri ilə ifadə edək:

Bəlkə bir sualınız var - sıfırlar haradan gəldi? Vektorlarla və onlar üçün işlədiyimizi xatırlamağa dəyər . onu da qeyd edək ki, nəticədə ifadə alsaq, o zaman ona çevriləcək. İndi son hesablamaları aparaq:

Şərtlərdə vektorların uzunluqları göstərilmədikdə məsələyə qayıdaq. Paraleloqramınız Kartezyen koordinat sistemində yerləşirsə, aşağıdakıları etməlisiniz.

Koordinatlarla verilən fiqurun tərəflərinin uzunluqlarının hesablanması

Başlamaq üçün vektorların koordinatlarını tapırıq və son koordinatlardan müvafiq başlanğıc koordinatlarını çıxarırıq. a (x1;y1;z1) vektorunun və b (x3;y3;z3) vektorunun koordinatlarını qəbul edək.
İndi hər bir vektorun uzunluğunu tapırıq. Bunu etmək üçün hər bir koordinat kvadrata çevrilməlidir, sonra nəticələri əlavə edin və sonlu ədəddən kök çıxarın. Vektorlarımıza görə aşağıdakı hesablamalar aparılacaq:


İndi vektorlarımızın nöqtə hasilini tapmalıyıq. Bunun üçün onların müvafiq koordinatları vurulur və əlavə edilir.

Vektorların uzunluqlarını və onların nöqtə məhsulunu nəzərə alsaq, onlar arasındakı bucağın kosinusunu tapa bilərik .
İndi eyni bucağın sinusunu tapa bilərik:
İndi bütün lazımi kəmiyyətlərə sahibik və artıq məlum düsturdan istifadə edərək vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsini asanlıqla tapa bilərik.