Vyeta teoremi. İstifadə nümunələri. Fransua Vyet. Kvadrat tənliklər və yüksək güclərin tənlikləri üçün Vieta düsturları Vyeta teoreminin tərifi və düsturu

Riyaziyyatda bir çox kvadrat tənliklərin çox tez və heç bir ayrı-seçkilik olmadan həll olunduğu xüsusi fəndlər var. Üstəlik, düzgün təlimlə çoxları kvadrat tənlikləri şifahi olaraq, sözün əsl mənasında "bir baxışda" həll etməyə başlayır.

Təəssüf ki, məktəb riyaziyyatının müasir kursunda belə texnologiyalar demək olar ki, öyrənilmir. Və bilməlisən! Və bu gün biz bu üsullardan birini - Vyeta teoremini nəzərdən keçirəcəyik. Əvvəlcə yeni bir tərif təqdim edək.

x 2 + bx + c = 0 şəklində olan kvadrat tənliyə azaldılmış deyilir. Nəzərə alın ki, x 2-də əmsalı 1-ə bərabərdir. Əmsallarda başqa heç bir məhdudiyyət yoxdur.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 azaldılmış kvadrat tənlikdir;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - həmçinin azaldılmış;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - lakin bu heç bir azalma deyil, çünki x 2-də əmsalı 2-dir.

Təbii ki, ax 2 + bx + c = 0 formasının istənilən kvadratik tənliyini ixtisar etmək olar - bütün əmsalları a sayına bölmək kifayətdir. Biz bunu həmişə edə bilərik, çünki kvadrat tənliyin tərifindən belə nəticə çıxır ki, a ≠ 0.

Düzdür, bu çevrilmələr həmişə kök tapmaq üçün faydalı olmayacaq. Bir az aşağı, bunun yalnız son kvadrat tənlikdəki bütün əmsallar tam ədəd olduqda edilməli olduğuna əmin olacağıq. Hələlik bir neçə sadə nümunəyə baxaq:

Tapşırıq. Kvadrat tənliyi azaldılmış tənliyə çevirin:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Hər bir tənliyi x 2 dəyişəninin əmsalına bölək. Biz əldə edirik:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - hər şeyi 3-ə böldü;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4-ə bölünür;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - 1,5-ə bölünür, bütün əmsallar tam ədədlərə çevrilir;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 \u003d 0 - 2-yə bölünür. Bu vəziyyətdə fraksiya əmsalları yarandı.

Gördüyünüz kimi, verilmiş kvadrat tənliklər hətta ilkin tənlikdə kəsrlər olsa belə tam əmsallara malik ola bilər.

İndi biz əsas teoremi tərtib edirik, bunun üçün əslində azaldılmış kvadrat tənlik anlayışı təqdim olunur:

Vyeta teoremi. x 2 + bx + c \u003d 0 formasının azaldılmış kvadrat tənliyini nəzərdən keçirək. Tutaq ki, bu tənliyin x 1 və x 2 həqiqi kökləri var. Bu halda, aşağıdakı ifadələr doğrudur:

1. x1 + x2 = −b. Başqa sözlə, verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan x dəyişəninin əmsalına bərabərdir;
2. x 1 x 2 = c. Kvadrat tənliyin köklərinin hasili sərbəst əmsala bərabərdir.

Nümunələr. Sadəlik üçün əlavə çevrilmə tələb etməyən yalnız verilmiş kvadrat tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; köklər: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; köklər: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; köklər: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vyeta teoremi bizə kvadrat tənliyin kökləri haqqında əlavə məlumat verir. İlk baxışdan bu, mürəkkəb görünə bilər, lakin minimal məşqlə belə, bir neçə saniyə ərzində kökləri "görməyi" və sözün əsl mənasında təxmin etməyi öyrənəcəksiniz.

Tapşırıq. Kvadrat tənliyi həll edin:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Gəlin Vyeta teoreminə görə əmsalları yazmağa və kökləri "təxmin etməyə" çalışaq:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 azaldılmış kvadrat tənlikdir.
   Vyeta teoremi ilə bizdə: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Köklərin 2 və 7 rəqəmləri olduğunu görmək asandır;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - həm də kiçildilir.
   Vyeta teoremi ilə: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Beləliklə, köklər: 3 və 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - bu tənlik azalmır. Ancaq indi tənliyin hər iki tərəfini a \u003d 3 əmsalına bölməklə bunu düzəldəcəyik. Alırıq: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Vyeta teoreminə əsasən həll edirik: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ köklər: −10 və −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - yenə x 2-də əmsal 1-ə bərabər deyil, yəni. tənlik verilməyib. Hər şeyi a = −7 ədədinə bölürük. Alırıq: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Vyeta teoremi ilə: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; bu tənliklərdən kökləri tapmaq asandır: 5 və 6.

Yuxarıdakı əsaslandırmadan Vyeta teoreminin kvadrat tənliklərin həllini necə sadələşdirdiyini görmək olar. Mürəkkəb hesablamalar, arifmetik köklər və kəsrlər yoxdur. Hətta diskriminant (" Kvadrat tənliklərin həlli" dərsinə baxın) bizə lazım deyildi.

Əlbəttə ki, bütün düşüncələrimizdə biz iki vacib fərziyyədən çıxış etdik, ümumiyyətlə, real problemlərdə həmişə yerinə yetirilməyən:

1. Kvadrat tənlik azaldılır, yəni. x 2-də əmsal 1-dir;
2. Tənliyin iki fərqli kökü var. Cəbr nöqteyi-nəzərindən bu halda diskriminant D > 0 - əslində biz ilkin olaraq bu bərabərsizliyin doğru olduğunu fərz edirik.

Lakin tipik riyazi məsələlərdə bu şərtlər yerinə yetirilir. Hesablamalar nəticəsində "pis" kvadrat tənlik əldə edilərsə (x 2-də əmsal 1-dən fərqlidir), bunu düzəltmək asandır - dərsin əvvəlində nümunələrə nəzər salın. Mən ümumiyyətlə köklərə susuram: cavabı olmayan bu nə işdir? Təbii ki, kökləri olacaq.

Beləliklə, Vyeta teoreminə görə kvadrat tənliklərin həllinin ümumi sxemi aşağıdakı kimidir:

1. Kvadrat tənliyi verilmiş tənliyə endirin, əgər bu, məsələnin şərtində artıq edilməmişdirsə;
2. Yuxarıdakı kvadrat tənlikdəki əmsallar fraksiyalı olarsa, diskriminant vasitəsilə həll edirik. Daha "rahat" nömrələrlə işləmək üçün hətta orijinal tənliyə qayıda bilərsiniz;
3. Tam əmsallar vəziyyətində tənliyi Vyeta teoremindən istifadə edərək həll edirik;
4. Bir neçə saniyə ərzində kökləri təxmin etmək mümkün olmadıqda, biz Vyeta teoreminə qol vururuq və diskriminant vasitəsilə həll edirik.

Tapşırıq. Tənliyi həll edin: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Deməli, bizdə azaldılmayan bir tənlik var, çünki əmsalı a \u003d 5. Hər şeyi 5-ə bölün, alırıq: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Kvadrat tənliyin bütün əmsalları tam ədəddir - gəlin Vyeta teoremindən istifadə edərək həll etməyə çalışaq. Bizdə: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Bu halda, kökləri təxmin etmək asandır - bunlar 2 və 5-dir. Diskriminant vasitəsilə saymaq lazım deyil.

Tapşırıq. Tənliyi həll edin: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

Baxırıq: -5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - bu tənlik azalmır, hər iki tərəfi a = -5 əmsalı ilə bölürük. Alırıq: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - kəsr əmsalları olan bir tənlik.

Orijinal tənliyə qayıtmaq və diskriminant vasitəsilə saymaq daha yaxşıdır: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4.

Tapşırıq. Tənliyi həll edin: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Başlamaq üçün hər şeyi a \u003d 2 əmsalı ilə bölürük. X 2 + 5x - 300 \u003d 0 tənliyini alırıq.

Bu, Vyeta teoreminə görə, bizdə olan azaldılmış tənlikdir: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. Bu halda kvadrat tənliyin köklərini təxmin etmək çətindir - şəxsən mən bu məsələni həll edəndə ciddi şəkildə “donmuşam”.

Kökləri diskriminant vasitəsilə axtarmalı olacağıq: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Diskriminantın kökünü xatırlamırsınızsa, qeyd edim ki, 1225: 25 = 49. Buna görə də, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

İndi diskriminantın kökü məlum olduğu üçün tənliyi həll etmək çətin deyil. Alırıq: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Kvadrat tənliklərdə bir sıra əlaqələr mövcuddur. Əsas olanlar köklər və əmsallar arasındakı əlaqələrdir. Həmçinin, bir sıra əlaqələr Vyeta teoremi ilə verilən kvadratik tənliklərdə işləyir.

Bu mövzuda biz Vyeta teoreminin özünü və onun kvadrat tənlik üçün isbatını, Vyeta teoreminin əksi olan teoremi təqdim edirik və bir sıra məsələlərin həllinə dair nümunələri təhlil edirik. Materialda dərəcənin cəbri tənliyinin həqiqi kökləri arasındakı əlaqəni təyin edən Vyeta düsturlarının nəzərdən keçirilməsinə xüsusi diqqət yetirəcəyik. n və onun əmsalları.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vyeta teoreminin ifadəsi və sübutu

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur a x 2 + b x + c = 0 x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a şəklində, burada D = b 2 − 4 a c, nisbətini təyin edir x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Bu, Vyeta teoremi ilə təsdiqlənir.

Teorem 1

Kvadrat tənlikdə a x 2 + b x + c = 0, harada x 1 və x2- köklər, köklərin cəmi əmsalların nisbətinə bərabər olacaqdır b və a, əks işarə ilə qəbul edilmiş və köklərin məhsulu əmsalların nisbətinə bərabər olacaqdır c və a, yəni. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Sübut 1

Sübutun aparılması üçün sizə aşağıdakı sxemi təklif edirik: biz köklərin düsturunu götürürük, kvadrat tənliyin köklərinin cəmini və hasilini tərtib edirik və sonra alınan ifadələrin bərabər olduğuna əmin olmaq üçün onları çeviririk. -b a və c a müvafiq olaraq.

Köklərin cəmini tərtib edin x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Kəsrləri ortaq məxrəcə gətirək - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Yaranan kəsrin payında mötərizələri açıb oxşar şərtləri verək: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Kəsiri azaldın: 2 - b a \u003d - b a.

Beləliklə, biz kvadrat tənliyin köklərinin cəminə aid olan Vyeta teoreminin birinci əlaqəsini sübut etdik.

İndi keçək ikinci əlaqəyə.

Bunu etmək üçün kvadrat tənliyin köklərinin məhsulunu tərtib etməliyik: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Kəsrlərin vurulması qaydasını xatırlayın və son hasilatı aşağıdakı kimi yazın: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Mötərizədə mötərizəni kəsrin payındakı mötərizə ilə vuracağıq və ya bu məhsulu daha sürətli çevirmək üçün kvadratlar fərqinin düsturundan istifadə edəcəyik: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Aşağıdakı keçidi həyata keçirmək üçün kvadrat kökün tərifindən istifadə edək: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Düstur D = b 2 − 4 a c kvadrat tənliyin diskriminantına uyğun gəlir, buna görə də əvəzinə kəsrə çevrilir Dəvəz edilə bilər b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Mötərizələri açaq, bəyənmə şərtlərini verək və alaq: 4 · a · c 4 · a 2 . Qısaldsaq 4 a, sonra c a qalır. Beləliklə, biz köklərin hasili üçün Vyeta teoreminin ikinci əlaqəsini sübut etdik.

Vyeta teoreminin sübutunun qeydi, şərhləri buraxsaq, çox qısa bir formaya sahib ola bilər:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Kvadrat tənliyin diskriminantı sıfır olduqda, tənliyin yalnız bir kökü olacaq. Vyeta teoremini belə bir tənliyə tətbiq etmək üçün diskriminantı sıfıra bərabər olan tənliyin iki eyni kökə malik olduğunu düşünə bilərik. Həqiqətən, at D=0 kvadrat tənliyin kökü: - b 2 a, sonra x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a və x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2 və D \u003d 0 olduğundan, yəni b 2 - 4 a c = 0, buradan b 2 = 4 a c, onda b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Çox vaxt praktikada Vyeta teoremi formanın azaldılmış kvadrat tənliyinə münasibətdə tətbiq olunur. x 2 + p x + q = 0, burada aparıcı əmsalı a 1-ə bərabərdir. Bununla əlaqədar olaraq, Vyeta teoremi bu tip tənliklər üçün dəqiq şəkildə tərtib edilmişdir. Bu, hər hansı kvadrat tənliyi ekvivalent tənliklə əvəz edə bildiyinə görə ümumiliyi məhdudlaşdırmır. Bunun üçün onun hər iki hissəsini sıfırdan fərqli olan a sayına bölmək lazımdır.

Vyeta teoreminin daha bir mülahizəsini verək.

Teorem 2

Verilmiş kvadrat tənlikdəki köklərin cəmi x 2 + p x + q = 0əks işarə ilə alınan x-də əmsala bərabər olacaq, köklərin məhsulu sərbəst müddətə bərabər olacaq, yəni. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Vyeta teoreminə tərs teorem

Vyeta teoreminin ikinci düsturuna diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, köklər üçün x 1 və x2 azaldılmış kvadrat tənlik x 2 + p x + q = 0 x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q münasibətləri etibarlı olacaqdır. Bu münasibətlərdən x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, belə çıxır ki, x 1 və x2 kvadrat tənliyin kökləridir x 2 + p x + q = 0. Beləliklə, Vyeta teoreminin əksi olan bir ifadəyə çatırıq.

İndi biz bu müddəanı bir teorem kimi rəsmiləşdirməyi və onun isbatını həyata keçirməyi təklif edirik.

Teorem 3

Əgər nömrələr x 1 və x2 belədirlər x 1 + x 2 = − s və x 1 x 2 = q, sonra x 1 və x2 azaldılmış kvadrat tənliyin kökləridir x 2 + p x + q = 0.

Sübut 2

Əmsalların dəyişdirilməsi səh və q vasitəsilə ifadə etmək x 1 və x2 tənliyi çevirməyə imkan verir x 2 + p x + q = 0 ekvivalentində .

Nəticə tənliyində ədədi əvəz etsək x 1əvəzinə x, onda bərabərliyi əldə edirik x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu bərabərlik hər kəs üçün x 1 və x2 həqiqi ədədi bərabərliyə çevrilir 0 = 0 , kimi x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu o deməkdir ki x 1- tənliyin kökü x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, və nə x 1 həm də ekvivalent tənliyin köküdür x 2 + p x + q = 0.

Tənliyin dəyişdirilməsi x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 nömrələri x2 x əvəzinə bərabərliyi əldə etməyə imkan verir x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Bu bərabərliyi doğru hesab etmək olar, çünki x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Belə çıxır ki x2 tənliyin köküdür x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, və deməli, tənliklər x 2 + p x + q = 0.

Vyeta teoreminin əksi olan teorem sübut edilmişdir.

Vyeta teoremindən istifadə nümunələri

İndi mövzu ilə bağlı ən tipik nümunələrin təhlilinə davam edək. Vyeta teoreminin əksi olan teoremin tətbiqini tələb edən məsələlərin təhlilindən başlayaq. Hesablamalar zamanı alınan ədədlərin verilmiş kvadrat tənliyin kökləri olub-olmamasını yoxlamaq üçün istifadə edilə bilər. Bunun üçün onların cəmini və fərqini hesablamaq, sonra x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c nisbətlərinin etibarlılığını yoxlamaq lazımdır.

Hər iki münasibətin yerinə yetirilməsi hesablamalar zamanı alınan ədədlərin tənliyin kökləri olduğunu göstərir. Şərtlərdən ən azı birinin yerinə yetirilmədiyini görsək, onda bu ədədlər məsələnin şərtində verilmiş kvadrat tənliyin kökləri ola bilməz.

Misal 1

Rəqəm cütlərindən hansı 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 və ya 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 və ya 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 kvadrat tənliyin cüt kökləridir 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Qərar

Kvadrat tənliyin əmsallarını tapın 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Bu a = 4, b = - 16, c = 9-dur. Vyeta teoreminə uyğun olaraq, kvadrat tənliyin köklərinin cəminə bərabər olmalıdır. -b a, yəni 16 4 = 4 , və köklərin məhsulu bərabər olmalıdır c a, yəni 9 4 .

Verilmiş üç cütdən ədədlərin cəmini və hasilini hesablayaraq və onları alınan qiymətlərlə müqayisə edərək alınan ədədləri yoxlayaq.

Birinci halda x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Bu dəyər 4-dən fərqlidir, ona görə də yoxlamağa davam etmək lazım deyil. Vyeta teoreminin tərsi olan teoremə görə dərhal belə nəticəyə gələ bilərik ki, ilk cüt ədədlər bu kvadrat tənliyin kökləri deyil.

İkinci halda x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Birinci şərtin yerinə yetirildiyini görürük. Ancaq ikinci şərt deyil: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Aldığımız dəyər fərqlidir 9 4 . Bu o deməkdir ki, ikinci ədəd cütü kvadrat tənliyin kökləri deyil.

Üçüncü cütə keçək. Burada x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 və x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Hər iki şərt yerinə yetirilir, yəni x 1 və x2 verilmiş kvadrat tənliyin kökləridir.

Cavab: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Kvadrat tənliyin köklərini tapmaq üçün Vyeta teoreminin tərsinə də istifadə edə bilərik. Ən asan yol, tam əmsallı verilmiş kvadrat tənliklərin tam köklərini seçməkdir. Digər variantlar da nəzərdən keçirilə bilər. Ancaq bu, hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə çətinləşdirə bilər.

Kökləri seçmək üçün ondan istifadə edirik ki, əgər iki ədədin cəmi mənfi işarə ilə götürülmüş kvadrat tənliyin ikinci əmsalına bərabərdirsə və bu ədədlərin hasili sərbəst müddətə bərabərdirsə, onda bu ədədlər bu kvadrat tənliyin kökləri.

Misal 2

Nümunə olaraq kvadrat tənlikdən istifadə edirik x 2 − 5 x + 6 = 0. Nömrələri x 1 və x2 iki bərabərlik təmin olunarsa, bu tənliyin kökləri ola bilər x1 + x2 = 5 və x 1 x 2 = 6. Gəlin həmin nömrələri seçək. Bunlar 2 və 3 rəqəmləridir, çünki 2 + 3 = 5 və 2 3 = 6. Belə çıxır ki, 2 və 3 bu kvadrat tənliyin kökləridir.

Vyeta teoreminin tərsi birinci kök məlum və ya aşkar olduqda ikinci kökü tapmaq üçün istifadə edilə bilər. Bunun üçün x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a nisbətlərindən istifadə edə bilərik.

Misal 3

Kvadrat tənliyi nəzərdən keçirək 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. Bu tənliyin köklərini tapmaq lazımdır.

Qərar

Bu kvadrat tənliyin əmsallarının cəmi sıfır olduğu üçün tənliyin birinci kökü 1-dir. Belə çıxır ki x 1 = 1.

İndi ikinci kökü tapaq. Bunu etmək üçün nisbətdən istifadə edə bilərsiniz x 1 x 2 = c a. Belə çıxır ki 1 x 2 = − 3 512, harada x 2 \u003d - 3 512.

Cavab: məsələnin şərtində göstərilən kvadrat tənliyin kökləri 1 və - 3 512 .

Yalnız sadə hallarda Vyeta teoreminin əksinə olan teoremdən istifadə edərək kökləri seçmək mümkündür. Digər hallarda, diskriminant vasitəsilə kvadrat tənliyin köklərinin düsturundan istifadə edərək axtarış etmək daha yaxşıdır.

Vietanın əks teoremi sayəsində biz də kökləri verilmiş kvadrat tənliklər yarada bilərik. x 1 və x2. Bunun üçün köklərin cəmini hesablamalıyıq ki, bu da at əmsalı verir x azaldılmış kvadrat tənliyin əks işarəsi və sərbəst termini verən köklərin hasili ilə.

Misal 4

Kökləri ədədlər olan kvadrat tənliyi yazın − 11 və 23 .

Qərar

Bunu qəbul edək x 1 = − 11 və x2 = 23. Bu ədədlərin cəmi və məhsulu bərabər olacaq: x1 + x2 = 12 və x 1 x 2 = − 253. Bu o deməkdir ki, ikinci əmsal 12, sərbəst müddətdir − 253.

Bir tənlik edirik: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Cavab verin: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Kvadrat tənliklərin köklərinin işarələri ilə əlaqəli məsələləri həll etmək üçün Vyeta teoremindən istifadə edə bilərik. Vyeta teoremi arasındakı əlaqə azaldılmış kvadrat tənliyin köklərinin işarələri ilə bağlıdır. x 2 + p x + q = 0 aşağıdakı şəkildə:

• kvadrat tənliyin həqiqi kökləri varsa və sərbəst həddi varsa q müsbət ədəddir, onda bu köklər eyni işarəli "+" və ya "-" olacaq;
• kvadrat tənliyin kökləri varsa və sərbəst həddi varsa q mənfi ədəddir, onda bir kök "+" və ikinci "-" olacaqdır.

Bu ifadələrin hər ikisi formulun nəticəsidir x 1 x 2 = q müsbət və mənfi ədədlər, eləcə də müxtəlif işarəli ədədlər üçün vurma qaydaları.

Misal 5

Kvadrat tənliyin kökləridir x 2 - 64 x - 21 = 0 müsbət?

Qərar

Vyeta teoreminə görə, bu tənliyin kökləri hər ikisi müsbət ola bilməz, çünki onlar bərabərliyi təmin etməlidirlər. x 1 x 2 = − 21. Bu, müsbət ilə mümkün deyil x 1 və x2.

Cavab: yox

Misal 6

Parametrin hansı dəyərlərində r kvadrat tənlik x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 müxtəlif işarələrə malik iki həqiqi kökə malik olacaq.

Qərar

Nəyin dəyərlərini tapmaqla başlayaq r, bunun üçün tənliyin iki kökü var. Gəlin diskriminant tapaq və görək nə üçün r müsbət dəyərlər alacaq. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. İfadə dəyəri r2 + 8 hər hansı bir real üçün müsbət r, buna görə də diskriminant istənilən real üçün sıfırdan böyük olacaq r. Bu o deməkdir ki, ilkin kvadrat tənliyin parametrin istənilən real dəyəri üçün iki kökü olacaq r.

İndi köklərin nə vaxt fərqli əlamətlərə sahib olacağını görək. Bu, onların məhsulu mənfi olduqda mümkündür. Vyeta teoreminə görə, azaldılmış kvadrat tənliyin köklərinin hasili sərbəst müddətə bərabərdir. Beləliklə, düzgün həll bu dəyərlərdir r, bunun üçün r − 1 sərbəst termini mənfidir. r − 1 xətti bərabərsizliyini həll edirik< 0 , получаем r < 1 .

Cavab: r< 1 .

Vieta düsturları

Yalnız kvadrat deyil, kub və digər növ tənliklərin kökləri və əmsalları ilə əməliyyatları yerinə yetirmək üçün tətbiq olunan bir sıra düsturlar var. Onlara Vieta düsturları deyilir.

Dərəcənin cəbri tənliyi üçün n a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + şəklindədir. . . + a n - 1 x + a n = 0 tənliyin malik olduğu hesab edilir nəsl köklər x 1 , x 2 , … , x n, bunlara aşağıdakılar daxil ola bilər:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + . . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3. . . x n = (- 1) n a n a 0

Tərif 1

Vieta düsturlarını əldə edin bizə kömək edin:

• çoxhədlinin xətti amillərə parçalanması haqqında teorem;
• bərabər çoxhədlilərin bütün uyğun əmsallarının bərabərliyi vasitəsilə müəyyən edilməsi.

Deməli, a 0 x n + a 1 x n polinomu - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n və onun a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · formasının xətti amillərinə genişlənməsi. . . · (x - x n) bərabərdir.

Sonuncu məhsulda mötərizələri açsaq və müvafiq əmsalları bərabərləşdirsək, onda Vieta düsturlarını alırıq. N \u003d 2 götürərək, kvadrat tənlik üçün Vyeta düsturunu əldə edə bilərik: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Tərif 2

Kub tənliyi üçün Vyeta düsturu:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Vyeta düsturlarının sol tərəfində elementar simmetrik polinomlar var.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Bələdiyyə büdcəli təhsil müəssisəsi

"64 saylı orta məktəb", Bryansk

Şəhər elmi-praktik konfransı

“Elmdə ilk addımlar”

Tədqiqat işi

"Üçüncü və dördüncü dərəcəli tənliklər üçün Vyeta teoremi"

Riyaziyyat

Tamamladı: 11b sinif şagirdi

Şanov İlya Alekseeviç

Nəzarətçi:

riyaziyyat müəllimi,

Fizika-riyaziyyat elmləri namizədi Elmlər

Bykov Sergey Valentinoviç

Bryansk 2012

Giriş ……………………………………………………………… 3

Məqsədlər və məqsədlər ......................................................................

Qısa tarixi məlumat……………………………………… 4

Kvadrat tənlik ………………………………………………. 5

Kub tənliyi …………………………………………………… 6

Dördüncü dərəcəli tənlik……………………………………… 7

Praktik hissə…………………………………………………… doqquz

İstinadlar …………………………………………………… 12

Əlavə ………………………………………………………… 13

Giriş

Cəbrin Fundamental Teoremi bir sahənin cəbri olaraq qapalı olduğunu, başqa sözlə, sahə üzərində kompleks əmsalları olan (ümumiyyətlə) n-ci dərəcəli tənliyin tam olaraq n mürəkkəb kökə malik olduğunu bildirir. Üçüncü dərəcəli tənliklər Kordano düsturu ilə həll edilir. Ferrari metodu ilə dördüncü dərəcəli tənliklər. Bundan əlavə, cəbr nəzəriyyəsində sübut edilmişdir ki, əgər onda tənliyin köküdür həm də bu tənliyin köküdür. Bir kub tənliyi üçün aşağıdakı hallar mümkündür:

hər üç kök realdır;

iki mürəkkəb kök, biri real.

Bu o deməkdir ki, hər hansı bir kub tənliyinin ən azı bir həqiqi kökü var.

Dördüncü dərəcəli tənlik üçün:

Bütün dörd kök fərqlidir.

İki kök həqiqi, ikisi mürəkkəbdir.

Dörd kökün hamısı mürəkkəbdir.

Bu iş Vyeta teoreminin hərtərəfli öyrənilməsinə həsr edilmişdir: onun tərtibi, sübutu, həmçinin bu teoremdən istifadə edərək problemlərin həlli.

Görülən işlər imtahan vermək üzrə olan XI sinif şagirdinə, eləcə də riyaziyyatın müxtəlif sahələri üzrə daha sadə və səmərəli həll üsullarına biganə olmayan gənc riyaziyyatçılara köməklik məqsədi daşıyır.

Bu işin əlavəsində öyrəndiyim yeni materialın müstəqil həlli və konsolidasiyası üçün tapşırıqlar toplusu verilmişdir.

Bu məsələni nəzərdən qaçırmaq olmaz, çünki həm riyaziyyat, həm ümumən elm üçün, həm də tələbələr və bu cür məsələlərin həllində maraqlı olanlar üçün vacibdir.

İşin məqsəd və vəzifələri:

Üçüncü dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoreminin analoqunu əldə edin.

Üçüncü dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoreminin analoqunu sübut edin.

Dördüncü dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoreminin analoqunu əldə edin.

Dördüncü dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoreminin analoqunu sübut edin.

Bu sualların praktiki məsələlərin həllinə tətbiqini nəzərdən keçirin.

• Bu teoremin tətbiqinin praktikliyini yoxlayın.

Tənliklərin həlli sahəsində riyazi bilikləri dərinləşdirmək.

Riyaziyyata marağı inkişaf etdirmək.

Qısa tarixi məlumat

Mənzərə oxunmağa haqlı olaraq layiqdir

Köklərin xassələri haqqında VİETA TEOREMİ...

Fransua Viet (1540-1603) - fransız riyaziyyatçısı. İxtisasca hüquqşünasdır. 1591-ci ildə o, yalnız naməlum kəmiyyətlər üçün deyil, həm də tənliklərin əmsalları üçün hərf təyinatını təqdim etdi; bunun sayəsində ilk dəfə olaraq tənliklərin xassələrini və onların köklərini ümumi düsturlarla ifadə etmək mümkün olmuşdur. O, 2-ci, 3-cü və 4-cü dərəcəli tənliklərin həlli üçün vahid metodun yaradılmasına sahibdir. Kəşflər arasında Vyetin özü tənliklərin kökləri və əmsalları arasında əlaqənin qurulmasını xüsusilə yüksək qiymətləndirdi. Ədədi əmsallı tənliklərin təxmini həlli üçün Viet Nyutonun sonrakı metoduna bənzər bir üsul təklif etdi. Triqonometriyada Fransua Viet düz və ya sferik üçbucağın bütün elementlərini üç məlumat əsasında təyin etmək probleminin tam həllini verdi, cos-un mühüm genişlənməsini tapdı. nx və günah nx cos səlahiyyətlərində X və günah X. O, ilk dəfə sonsuz əsərlər hesab edirdi. Vyeta yazıları çətin bir dildə yazılmışdır və buna görə də bir dəfə layiq olduğundan daha az yayılmışdır. .

Kvadrat tənlik

Başlamaq üçün, məktəb kurikulumunda öyrəndiyimiz ikinci dərəcəli tənlik üçün Vyeta düsturlarını xatırlayaq.

T
Vyeta teoremikvadrat tənlik üçün (8-ci sinif)

E
Əgər və kvadrat tənliyin kökləridirsə, onda

yəni verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə alınan ikinci əmsala, köklərin hasili isə sərbəst müddətə bərabərdir.

Həmçinin teoremi xatırlayın Vyeta teoreminə ziddir:

Əgər nömrələr - səh və q belədirlər

onda və tənliyin kökləridir

Vyeta teoremi diqqətəlayiqdir ki, kvadrat üçhəmin köklərini bilmədən onların cəmini və hasilini, yəni ən sadə simmetrik ifadələri asanlıqla hesablaya bilərik.

Vyeta teoremi kvadrat trinomialın tam köklərini təxmin etməyə imkan verir.

kub tənliyi

İndi birbaşa Vyeta teoremindən istifadə edərək kub tənliyinin tərtibinə və həllinə keçək.

Sözlər

üçün
ubik tənlik üçüncü dərəcəli tənlikdir

harada a ≠ 0.

Əgər a a = 1, onda tənliyə endirilmiş kub tənliyi deyilir:

Beləliklə, tənlik üçün bunu sübut etməliyik

aşağıdakı teorem doğrudur:

P
onda bu tənliyin kökləri olsun

Sübut

Çoxhədli təsəvvür edin

Dönüşümləri edək:

Beləliklə, biz bunu əldə edirik

ikiçoxhədlilər o halda bərabərdirlər ki, onların əmsalları uyğun dərəcələrdə bərabər olsun.

Bu o deməkdir ki

Q.E.D.

İndi teoremi nəzərdən keçirin, üçüncü dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoreminə zidd.

F
ifadə

E
əgər rəqəmlər belədirsə

Dördüncü dərəcəli tənlik

İndi dördüncü dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoremindən istifadə edərək dördüncü dərəcəli tənliyin qurulmasına və həllinə keçək.

Sözlər

At
dördüncü dərəcəli tənlik - formanın tənliyi

G
de a ≠ 0.

E
əgər a = 1, onda tənlik azaldılmış adlanır

Və
buna görə də tənlik üçün bunu sübut edək

ilə
aşağıdakı teorem doğrudur: verilmiş tənliyin kökləri olsun, onda

Sübut

Çoxhədli təsəvvür edin

Dönüşümləri edək:

Beləliklə, biz bunu əldə edirik

Biz bunu bilirik iki çoxhədli o halda bərabər olur ki, onların əmsalları müvafiq dərəcələrdə bərabər olsun.

Bu o deməkdir ki

Q.E.D.

Teoremi nəzərdən keçirək dördüncü dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoreminə zidd.

Sözlər

Əgər rəqəmlər belədirsə

onda bu ədədlər tənliyin kökləridir

Praktik hissə

İndi üçüncü və dördüncü dərəcəli tənliklər üçün Vyeta teoremlərindən istifadə edərək məsələlərin həllini nəzərdən keçirək.

Tapşırıq №1

Cavab: 4, -4.

Tapşırıq №2

Cavab: 16, 24.

Bu tənlikləri həll etmək üçün müvafiq olaraq Kardano düsturlarından və Ferrari metodundan istifadə edə bilərsiniz, lakin Vieta teoremindən istifadə edərək bu tənliklərin köklərinin cəmini və hasilini bilirik.

Tapşırıq №3

Köklərin cəminin 6, köklərin qoşa hasilinin 3, hasilinin -4 olduğu məlumdursa, üçüncü dərəcəli tənliyi yazın.

Gəlin bir tənlik yaradaq, əldə edirik

Tapşırıq №4

Köklərin cəminin bərabər olduğu məlumdursa, üçüncü dərəcəli tənliyi yazın 8 , köklərin cüt məhsulu ilə bərabərdir 4 , üçqat məhsul bərabərdir 12 , və məhsul 20 .

Həll yolu: Vieta düsturundan istifadə edərək əldə edirik

Gəlin bir tənlik yaradaq, əldə edirik

Vyeta teoreminin köməyi ilə biz asanlıqla kökləri ilə tənliklər qura bilərik. Bu, bu problemləri həll etməyin ən rasional yoludur.

Tapşırıq №5

burada a, b, c Heron düsturlarıdır.

Mötərizələri açıb ifadəni çevirək, əldə edirik

W
Qeyd edək ki, radikal ifadədir kub ifadəsi. Müvafiq kub tənliyi üçün Vyeta teoremindən istifadə edirik, onda buna sahib oluruq

W

naya, nə əldə edirik:

Bu məsələnin həllindən görünür ki, Vyeta teoremi riyaziyyatın müxtəlif sahələrinə aid məsələlərə şamil edilir.

Nəticə

Bu işdə Vyeta teoremindən istifadə etməklə üçüncü və dördüncü dərəcəli tənliklərin həlli üsulu tədqiq edilmişdir. İşdə əldə edilən düsturlardan istifadə etmək asandır. Tədqiqat zamanı məlum oldu ki, bəzi hallarda bu üsul Cordano düsturundan və üçüncü və dördüncü dərəcə tənlikləri üçün Ferrari metodundan daha effektivdir.

Vyeta teoremi praktikada tətbiq edilmişdir. Yeni materialı daha yaxşı birləşdirməyə kömək edən bir sıra vəzifələr həll edildi.

Bu araşdırma mənim üçün çox maraqlı və məlumatlı oldu. Riyaziyyatda biliklərimi dərinləşdirərək çox maraqlı şeylər kəşf etdim və bu araşdırmanı etməkdən məmnun oldum.

Amma tənliklərin həlli sahəsində araşdırmalarım bitməyib. Gələcəkdə Vyeta teoremindən istifadə edərək n-ci dərəcəli tənliyin həllini öyrənməyi planlaşdırıram.

Elmi rəhbərimə, fizika-riyaziyyat elmləri namizədinə dərin minnətdarlığımı bildirmək istəyirəm və belə qeyri-adi təhsilin mümkünlüyünə və işə daim diqqət yetirilməsinə görə.

Biblioqrafiya

Vinoqradov İ.M. Riyazi ensiklopediya. M., 1977.

V. B. Lidski, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. İ. Şabunin. İbtidai riyaziyyatda problemlər, Fizmətlit, 1980.

Vyeta teoremi

Gəlin və azaldılmış kvadrat tənliyin köklərini işarə edək
(1) .
Onda köklərin cəmi əks işarə ilə alınan əmsala bərabərdir. Köklərin məhsulu sərbəst terminə bərabərdir:
;
.

Çoxlu köklər haqqında qeyd

Əgər (1) tənliyinin diskriminantı sıfırdırsa, bu tənliyin bir kökü var. Lakin, çətin düsturların qarşısını almaq üçün ümumiyyətlə qəbul edilir ki, bu halda (1) tənliyinin iki çox və ya bərabər kökü var:
.

Bir sübut

(1) tənliyinin köklərini tapaq. Bunu etmək üçün kvadrat tənliyin kökləri üçün formula tətbiq edin:
;
;
.

Köklərin cəminin tapılması:
.

Məhsulu tapmaq üçün formula tətbiq edirik:
.
Sonra

.

Teorem sübut edilmişdir.

Sübut iki

Əgər və rəqəmləri kvadrat tənliyin (1) kökləridirsə, onda
.
Mötərizələr açırıq.

.
Beləliklə, (1) tənliyi aşağıdakı formanı alacaq:
.
(1) ilə müqayisə edərək tapırıq:
;
.

Teorem sübut edilmişdir.

Tərs Vyeta teoremi

Qoy ixtiyari rəqəmlər olsun. Onda və kvadrat tənliyin kökləridir
,
harada
(2) ;
(3) .

Vyetanın əks teoreminin sübutu

Kvadrat tənliyi nəzərdən keçirək
(1) .
Sübut etməliyik ki, əgər və, onda və (1) tənliyinin kökləridir.

(2) və (3) bəndlərini (1) əvəz edin:
.
Tənliyin sol tərəfinin şərtlərini qruplaşdırırıq:
;
;
(4) .

(4)-də əvəz:
;
.

(4)-də əvəz:
;
.
Tənlik yerinə yetirilir. Yəni, ədəd (1) tənliyinin köküdür.

Teorem sübut edilmişdir.

Tam kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi

İndi tam kvadrat tənliyi nəzərdən keçirin
(5) ,
harada və bəzi rəqəmlərdir. Və .

(5) tənliyini aşağıdakılara bölürük:
.
Yəni yuxarıdakı tənliyi əldə etdik
,
harada; .

Onda tam kvadrat tənlik üçün Vyeta teoremi aşağıdakı formaya malikdir.

Tam kvadrat tənliyin köklərini qeyd edək və işarə edək
.
Sonra köklərin cəmi və məhsulu düsturlarla müəyyən edilir:
;
.

Kub tənliyi üçün Vyeta teoremi

Eynilə, kub tənliyinin kökləri arasında əlaqə qura bilərik. Kub tənliyini nəzərdən keçirək
(6) ,
burada , , , bəzi ədədlərdir. Və .
Bu tənliyi aşağıdakılara bölək:
(7) ,
harada , , .
(7) tənliyinin (və (6) tənliyinin) kökləri , , olsun. Sonra

.

(7) tənliyi ilə müqayisə edərək tapırıq:
;
;
.

n-ci dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoremi

Eyni şəkildə, n-ci dərəcə tənliyi üçün , , ... , , kökləri arasında əlaqə tapa bilərsiniz.
.

n-ci dərəcəli tənlik üçün Vyeta teoremi aşağıdakı formaya malikdir:
;
;
;

.

Bu düsturları almaq üçün tənliyi aşağıdakı formada yazırıq:
.
Sonra , , , ... -dəki əmsalları bərabərləşdiririk və sərbəst termini müqayisə edirik.

İstinadlar:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və Ali Təhsil Müəssisələrinin Tələbələri üçün Riyaziyyat Kitabı, Lan, 2009.
SM. Nikolski, M.K. Potapov və başqaları, Cəbr: təhsil müəssisələrinin 8-ci sinfi üçün dərslik, Moskva, Təhsil, 2006.