Prezident Artilleriya Kənd Təsərrüfatı Kolleci. Kalininqrad Ticarət və İqtisadiyyat Kolleci Rusiya Federasiyası Prezidenti yanında Rusiya Xalq Təsərrüfatı və Dövlət İdarəçilik Akademiyasının filialıdır. Funksiyanın maksimum və minimumu

Kalininqrad Ticarət-İqtisadiyyat Kollecinin tarixi regionun tarixində 1946-cı ildən yazılan bir səhifədir. O vaxtdan bəri kolleci 25 mindən çox mütəxəssis bitirib.

2004-cü ildən kollec Moskva Orta Peşə Təhsilinin İnkişafı İnstitutu üçün “Regionda Böyüklər üçün Təhsil Mərkəzlərinin və Açıq Təhsil Mərkəzlərinin yaradılması və təşkili üzrə Avropa təcrübəsinin yayılması” mövzusunda eksperimental platformaya çevrilmişdir. On ildir ki, Rusiya Marketinq Assosiasiyasının üzvüdür, sosial yönümlü kollec statusuna malikdir. Sonuncu rayon rəhbərliyi tərəfindən sosial cəhətdən həssas tələbələrə, müəllimlərə, pensiyaçılara, hərbi qulluqçulara və onların ailə üzvlərinə, işləyən müəllim və qulluqçulara daim dəstək olmaq üçün kollecə təyin edilib.

Kalininqrad Ticarət və İqtisadiyyat Kollecində tələbələrin hazırlığı beş fakültədə aparılır: texnologiya və xidmət, marketinqin idarə edilməsi, hüquq, iqtisadiyyat və mühasibat uçotu, qeyri-ənənəvi təhsil formaları. Kollecin təhsil sahəsinə on altı ixtisas daxildir. Bunlara yemək texnologiyası, qida ticarəti, ticarət ticarəti, menecment, marketinq, hüquqi mühasibatlıq, bankçılıq, qonaqpərvərlik idarəçiliyi, maliyyə, turizm və s.

Kollecdə Peşə Rəhbərliyi və Abituriyentlərin Tədrisi Mərkəzi fəaliyyət göstərir. Qeyri-ənənəvi təhsil formaları fakültəsində siz nəinki bacarıqlarınızı təkmilləşdirə, həm də iş yerində yeni bir ixtisas əldə edə bilərsiniz. Hazırkı Açıq Təhsil Mərkəzi iyirmidən çox ixtisas üzrə peşə hazırlığına köməklik göstərməyə yönəlib. Burada siz öz bacarıqlarınızı təkmilləşdirə, yenidən hazırlıq keçə bilərsiniz. Metodlar çox müxtəlifdir: işgüzar oyunlar, təlimlər, seminarlar, məşqlər, açıq görüşlər, konfranslar, layihə işi.Bütün bunlar tələbələrə təklif olunan materialı maksimum dərəcədə mənimsəməyə imkan verir.

Kalininqrad Dövlət Universiteti, Kalininqrad Dövlət Texniki Universiteti, Baltik Dövlət Akademiyası ilə əməkdaşlıq kollecə bilikləri kapitala və regionun iqtisadi inkişafı üçün əsas resursa çevrilən mütəxəssislər hazırlamağa imkan verir. Bu qarşılıqlı əlaqə illərində iki yüzdən çox məzun xüsusi fakültədə qısaldılmış təhsil müddəti ilə ali təhsil alıb. Onların hamısı rayonun təsərrüfat kompleksi tərəfindən tələb olunur, bir çoxları regionun biznes korpusunun elitasına daxil olub.

Kalininqrad Ticarət və İqtisadiyyat Kolleci Danimarka, İsveç, Almaniya, Polşa və Finlandiya ilə əlaqə yaratmış və fəal əməkdaşlıq edir. Komanda beynəlxalq təhsil layihələrində iştirak edir. Onların mövzusu müxtəlifdir, o, “Kiçik və orta biznesin inkişafında Kalininqrad hakimiyyətinə yardım”, “Zabitlərə və onların ailələrinin işsiz üzvlərinə sonradan işə düzəlmək üçün mülki ixtisaslar almaqda köməklik”, “ kimi mühüm mövzuları əhatə edir. Andraqogiya üzrə müəllimlərin hazırlanması və sahibkarlıq üzrə təlim proqramlarının inkişafı”. Kalininqradda fəaliyyət” və s.

1999-cu ildə beynəlxalq layihə çərçivəsində direktorun tədris işləri üzrə müavini Lidiya İvanovna Motolyanetsin səyləri sayəsində real ticarət təşkilatının fəaliyyətini əks etdirən müəssisə modeli, effektiv ixtisaslaşdırılmış formada imitasiya firması yaradıldı. kiçik biznes sahəsində çalışan bütün səviyyələrdə kadrlar üçün təkmilləşdirmə.

Kollektivin missiyası - cəmiyyətin ehtiyaclarını ödəyəcək, bütöv bir insanın formalaşmasına töhfə verəcək təhsilə zəmanət vermək - tam şəkildə həyata keçirilir. Kalininqrad Ticarət və İqtisadiyyat Kolleci peşəkarlıq, məsuliyyət və nüfuz deməkdir.

KTEK
İqtisadiyyat və Mühasibat Uçotu PCC

15 nüsxə, 2006

Giriş. 4

Törəmə anlayışı. 5

Şəxsi törəmələr. on bir

Bükülmə nöqtələri. on altı

Həll məşqləri. 17

Test. 20

Təlimlərə cavablar.. 21

Ədəbiyyat. 23

Giriş

f(x x, sonra zəng etdi marjinal məhsul; əgər g(x) g(x) g′(x)çağırdı marjinal dəyəri.

Misal üçün, Qoy funksiya olsun u=u(t) u işləyərkən t. ∆t=t 1 - t 0:

z cf. =

z cf. saat ∆t→ 0: .

istehsal xərcləri K x, buna görə də yaza bilərik K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)- K(x).

Limit çağırdı

Törəmə anlayışı

x 0 nöqtəsində funksiyanın törəməsi funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır, bu şərtlə ki, arqumentin artımı sıfıra meyllidir.

Törəmə funksiya qeydi:

Bu. a-prior:

Törəmə tapmaq alqoritmi:

Qoy funksiya olsun y=f(x) seqmentdə davamlıdır , x

1. Arqumentin artımını tapın:

x arqumentin yeni dəyəridir

x0- ilkin dəyər

2. Funksiya artımını tapın:

f(x) funksiyanın yeni dəyəridir

f(x0)- funksiyanın ilkin dəyəri

3. Funksiya artımının arqument artımına nisbətini tapın:

4. Tapılan nisbətin həddini tapın

Törəmənin tərifinə əsasən funksiyanın törəməsini tapın.

Qərar:

verək X artım Δx, onda funksiyanın yeni dəyəri olacaq:

Gəlin funksiyanın artımını funksiyanın yeni və ilkin dəyərləri arasındakı fərq kimi tapaq:

Funksiya artımının arqument artımına nisbətini tapın:

.

Bu nisbətin həddini tapaq, bir şərtlə:

Beləliklə, törəmənin tərifinə görə: .

Funksiyanın törəməsinin tapılması deyilir fərqləndirmə.

Funksiya y=f(x)çağırdı diferensiallaşan intervalın hər bir nöqtəsində törəməsi varsa (a;b) intervalında.

teoremƏgər funksiya verilmiş nöqtədə diferensiallana bilirsə x 0, onda bu nöqtədə davamlıdır.

Əks ifadə doğru deyil, çünki elə funksiyalar var ki, müəyyən nöqtədə fasiləsizdir, lakin həmin nöqtədə diferensiallaşmır. Məsələn, x 0 =0 nöqtəsindəki funksiya.

Funksiyaların törəmələrini tapın

1) .

2) .

Funksiyanın eyni çevrilmələrini yerinə yetirək:

Daha yüksək sifarişlərin törəmələri

İkinci dərəcəli törəmə birinci törəmənin törəməsi adlanır. İşarələnmiş

n sıralı törəmə(n-1)-ci sıralı törəmənin törəməsi adlanır.

misal üçün,

Qismən törəmələr

özəl törəmə bu dəyişənlərdən birinə münasibətdə bir neçə dəyişənin funksiyası bütün digər dəyişənlərin sabit qalması şərti ilə bu dəyişənlə bağlı alınan törəmə adlanır.

misal üçün, funksiyası üçün birinci dərəcəli qismən törəmələr bərabər olacaq:

Funksiyanın maksimum və minimumu

Funksiyanın ən böyük qiymətə malik olduğu arqumentin dəyəri deyilir maksimum nöqtə.

Funksiyanın ən kiçik qiymətə malik olduğu arqumentin dəyəri deyilir minimum nöqtə.

Funksiyanın maksimum nöqtəsi funksiyanın artandan azalmaya keçidinin sərhəd nöqtəsidir, funksiyanın minimum nöqtəsi azalandan artana keçidin sərhəd nöqtəsidir..

Funksiya y=f(x) var (yerli) maksimum nöqtədə əgər hamı üçün x

Funksiya y=f(x) var (yerli) minimum nöqtədə əgər hamı üçün X, bərabərsizliyinə kifayət qədər yaxındır

Bir funksiyanın maksimum və minimum qiymətlərinin ümumi adı var ifrat, və onların çatdığı nöqtələr deyilir ekstremal nöqtələr.

teorem (ekstremumun mövcudluğu üçün zəruri şərt) Funksiya intervalda müəyyən edilsin və nöqtədə ən böyük (ən kiçik) qiymətə malik olsun. Sonra bu funksiyanın törəməsi bir nöqtədə mövcuddursa, o, sıfıra bərabərdir, yəni. .

Sübut:

Qoy x 0 nöqtəsində funksiya ən böyük qiymətə malik olsun, onda hər hansı biri üçün aşağıdakı bərabərsizlik doğrudur: .

İstənilən nöqtə üçün

Əgər x > x 0 olarsa, o zaman , yəni.

Əgər x< x 0 , то , т.е.

Çünki mövcuddur, bu, yalnız onlar sıfıra bərabər olduqda mümkündür, buna görə də, .

Nəticə:

Əgər nöqtədə diferensiallanan funksiya ən böyük (ən kiçik) qiymət alırsa, onda bu nöqtədə bu funksiyanın qrafikinə toxunan Ox oxuna paraleldir.

Birinci törəmənin sıfıra bərabər olduğu və ya mövcud olmadığı nöqtələr deyilir kritik - bunlar mümkün ekstremal nöqtələrdir.

Qeyd edək ki, birinci törəmənin sıfıra bərabərliyi ekstremum üçün yalnız zəruri şərt olduğundan, mümkün ekstremumun hər bir nöqtəsində ekstremumun olması məsələsini əlavə olaraq araşdırmaq lazımdır.

teorem(ekstremumun mövcudluğu üçün kifayət qədər şərt)

Qoy funksiya olsun y = f(x) nöqtənin bəzi qonşuluğunda davamlı və diferensiallaşır x0.Əgər, bir nöqtədən keçərkən x0 soldan sağa, birinci törəmə işarəni artıdan mənfiyə (mənfidən artıya), sonra nöqtədə dəyişir x0 funksiyası y = f(x) maksimum (minimum) var. Əgər birinci törəmə işarəni dəyişmirsə, onda bu funksiyanın nöqtədə ekstremumu yoxdur x 0.

Ekstremum üçün funksiyanın öyrənilməsi alqoritmi:

1.Funksiyanın birinci törəməsini tapın.

2. Birinci törəməni sıfıra bərabərləşdirin.

3. Tənliyi həll edin. Tənliyin tapılmış kökləri kritik nöqtələrdir.

4. Tapılmış kritik nöqtələri ədədi oxun üzərinə qoyun. Bir sıra intervallar alırıq.

5. Aralıqların hər birində birinci törəmənin işarəsini təyin edin və funksiyanın ekstremumunu göstərin.

6. Qrafik qurmaq üçün:

Ø ekstremal nöqtələrdə funksiya dəyərlərini təyin edin

Ø koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapın

Ø əlavə xal tapın

Kalay qutu radiuslu yuvarlaq silindr şəklinə malikdir r və hündürlük h. Konserv hazırlamaq üçün aydın şəkildə müəyyən edilmiş miqdarda qalay istifadə olunduğunu fərz etsək, onların arasında hansı nisbətdə olduğunu müəyyənləşdirin r və h bank ən böyük həcmə sahib olacaq.

İstifadə olunan qalay miqdarı qutunun tam səthinin sahəsinə bərabər olacaq, yəni. . (bir)

Bu bərabərlikdən tapırıq:

Sonra həcmi düsturla hesablamaq olar: . Problem funksiyanın maksimumunu tapmaq üçün azalacaq V(r). Bu funksiyanın birinci törəməsini tapın: . Birinci törəməni sıfıra bərabərləşdirin:

. Tapdıq: . (2)

Bu nöqtə maksimum nöqtədir, çünki birinci törəmə -də müsbət, -də isə mənfidir.

İndi bankanın radius və hündürlük arasında hansı nisbətdə ən böyük həcmə malik olacağını müəyyən edək. Bunun üçün bərabərliyi (1) bölürük r2 və (2) üçün istifadə əlaqəsi S. Alırıq: . Beləliklə, ən böyük həcmdə hündürlüyü diametrə bərabər olan bir kavanoz olacaq.

Bəzən mümkün ekstremum nöqtəsinin solunda və sağında birinci törəmənin işarəsini öyrənmək olduqca çətindir, sonra istifadə edə bilərsiniz. ikinci kifayət qədər ekstremal vəziyyət:

teorem Qoy funksiya olsun y = f(x) nöqtəsində var x0 mümkün ekstremum, sonuncu ikinci törəmə. Sonra funksiya y = f(x) nöqtəsində var x0 maksimum olarsa , və minimum əgər .

Qeyd Bu nöqtədə funksiyanın ikinci törəməsi sıfıra bərabərdirsə və ya mövcud deyilsə, bu teorem nöqtədəki funksiyanın ekstremumu məsələsini həll etmir.

Bükülmə nöqtələri

Qabarıqlığın qabarıqlıqdan ayrıldığı əyrinin nöqtələri deyilir əyilmə nöqtələri.

teorem (tələb olunan əyilmə nöqtəsi şərti): Qoy funksiyanın qrafiki nöqtədə əyilmə və funksiyanın x 0 nöqtəsində davamlı ikinci törəməsi olsun, onda

teorem (əyilmə nöqtəsi üçün kifayət qədər şərt): Qoy funksiyanın x 0 nöqtəsinin bəzi qonşuluğunda solunda və sağında fərqli işarələri olan ikinci törəməsi olsun. x0. onda funksiyanın qrafiki nöqtədə əyilmə olur.

Bükülmə nöqtələrini tapmaq üçün alqoritm:

1. Funksiyanın ikinci törəməsini tapın.

2. İkinci törəməni sıfıra bərabərləşdirin və tənliyi həll edin: . Yaranan kökləri nömrə xəttinə qoyun. Bir sıra intervallar alırıq.

3. Aralıqların hər birində ikinci törəmənin işarəsini tapın. Əgər iki bitişik intervalda ikinci törəmənin əlamətləri fərqlidirsə, onda kökün verilmiş qiymətində əyilmə nöqtəmiz var, işarələr eynidirsə, onda əyilmə nöqtələri yoxdur.

4. Əyilmə nöqtələrinin ordinatlarını tapın.

Qabarıqlıq və konkavlik üçün əyrini yoxlayın. Bükülmə nöqtələrini tapın.

1) ikinci törəməni tapın:

2) 2x bərabərsizliyini həll edin<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) əyri bükülmüş x üçün 2x>0 x>0 bərabərsizliyini həll edin

4) İkinci törəməni sıfıra bərabərləşdirdiyimiz əyilmə nöqtələrini tapın: 2x=0 x=0. Çünki x=0 nöqtəsində ikinci törəmə sol və sağda müxtəlif işarələrə malikdir, onda x=0 əyilmə nöqtəsinin absisidir. Bükülmə nöqtəsinin ordinatını tapın:

(0;0) əyilmə nöqtəsi.

Həll etmək üçün məşqlər

No 1 Bu funksiyaların törəmələrini tapın, verilmiş arqument dəyəri üçün törəmələrin qiymətini hesablayın:

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 Mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapın:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

№ 3 Problemləri həll edin:

1. Parabolaya x=3 nöqtəsində çəkilmiş tangensin mailliyini tapın.

2. X \u003d 1 nöqtəsində y \u003d 3x 2 -x paraboluna bir tangens və normal çəkilir. Onların tənliklərini yazın.

3. y=x 2 +3x-10 paraboluna toxunan OX oxu ilə 135 0 bucaq əmələ gətirdiyi nöqtənin koordinatlarını tapın.

4. OX oxu ilə kəsişmə nöqtəsində y \u003d 4x-x 2 funksiyasının qrafikinə toxunan tənlik qurun.

5. X-in hansı qiymətlərində y \u003d x düz xəttinə paralel y \u003d x 3 -x funksiyasının qrafikinə tangensdir.

6. Nöqtə S=2t 3 -3t 2 +4 qanununa əsasən düz xətt üzrə hərəkət edir. 3-cü saniyənin sonunda nöqtənin sürətini və sürətini tapın. Zamanın hansı nöqtəsində sürətlənmə sıfır olacaq?

7. S=t 2 -4t+5 qanununa görə hərəkət edən nöqtənin sürəti nə vaxt sıfıra bərabərdir?

#4 Törəmədən istifadə edərək funksiyaları araşdırın:

1. Monotonluq üçün y \u003d x 2 funksiyasını araşdırın

2. Funksiyanın artım və azalma intervallarını tapın .

3. Funksiyanın artım və azalma intervallarını tapın.

4. Maksimum və minimum funksiyanı araşdırın .

5. Ekstremum üçün funksiyanı araşdırın .

6. Ekstremum üçün y \u003d x 3 funksiyasını araşdırın

7. Ekstremum üçün funksiyanı araşdırın .

8. 24 rəqəmini iki şərtə bölün ki, onların hasilatı ən böyük olsun.

9. Bir vərəqdən sahəsi 100 sm 2 olan düzbucaqlı kəsmək lazımdır ki, bu düzbucağın perimetri ən kiçik olsun. Bu düzbucağın tərəfləri necə olmalıdır?

10. Ekstremum üçün y=2x 3 -9x 2 +12x-15 funksiyasını araşdırın və onun qrafikini qurun.

11. Əyri konkavlik və qabarıqlıq üçün yoxlayın.

12. Əyrinin qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını tapın .

13. Funksiyaların əyilmə nöqtələrini tapın: a) ; b) .

14. Funksiyanı araşdırın və onun qrafikini qurun.

15. Funksiyanı araşdırın və onun qrafikini qurun.

16. Funksiyanı araşdırın və onu tərtib edin.

17. Seqmentdə y \u003d x 2 -4x + 3 funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın.

Test sualları və nümunələr

1. Törəməni təyin edin.

2. Arqumentin artımı nə adlanır? funksiya artımı?

3. Törəmənin həndəsi mənası nədir?

4. Diferensiallaşma nə adlanır?

5. Törəmənin əsas xassələrini sadalayın.

6. Hansı funksiya kompleks adlanır? geri?

7. İkinci dərəcəli törəmə anlayışını verin.

8. Mürəkkəb funksiyanın diferensiallaşdırılması qaydasını tərtib edin?

9. Cism S=S(t) qanununa əsasən düz xətt üzrə hərəkət edir. Hərəkət haqqında nə demək olar, əgər:

5. Funksiya müəyyən intervalla artır. Bundan belə nəticə çıxır ki, onun törəməsi bu intervalda müsbətdir?

6. Funksiyanın ekstremumuna nə deyilir?

7. Müəyyən intervalda funksiyanın ən böyük qiyməti mütləq funksiyanın maksimum nöqtədəki qiyməti ilə üst-üstə düşürmü?

8. Funksiya üzərində müəyyən edilmişdir. x=a nöqtəsi bu funksiyanın ekstremum nöqtəsi ola bilərmi?

10. X 0 nöqtəsində funksiyanın törəməsi sıfırdır. Buradan belə nəticə çıxır ki, x 0 bu funksiyanın ekstremum nöqtəsidir?

Test

1. Bu funksiyaların törəmələrini tapın:

a)	e)
b)	g)
ilə)	h)
e)	və)

2. y=x 2 -2x-15 paraboluna toxunan tənlikləri yazın: a) absis x=0 olan nöqtədə; b) parabolanın absis oxu ilə kəsişmə nöqtəsində.

3. Funksiyanın artım və azalma intervallarını təyin edin

4. Funksiyanı araşdırın və onun qrafikini qurun

5. s =2e 3 t qanunu ilə hərəkət edən nöqtənin t=0 zamanda sürətini və təcilini tapın.

Təlimlərə cavablar

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (nəticə hissənin törəməsi üçün düsturdan istifadə etməklə alınır). Bu nümunəni başqa bir şəkildə həll edə bilərsiniz:

5.

8. Hər bir hədd 12-yə bərabər olarsa, məhsul ən böyük olacaqdır.

9. Düzbucaqlının tərəfləri hər biri 10 sm olarsa, onun perimetri ən kiçik olacaq, yəni. bir kvadrat kəsin.

17. Seqmentdə funksiya 3-ə bərabər olan ən böyük qiyməti alır x=0 və ən kiçik qiymət -1 at-a bərabərdir x=2.

Ədəbiyyat

KALİNİNQRAD TİCARƏT VƏ İQTİSADİYYAT KOLLECİ

mövzunun öyrənilməsi üçün

"funksiyanın törəməsi"

080110 “İqtisadiyyat və mühasibat uçotu”, 080106 “Maliyyə”,
080108 “Bank işi”, 230103 “Avtomatlaşdırılmış informasiya emalı və idarəetmə sistemləri”

Tərtib edən Fedorova E.A.

KALİNİNQRAD

Rəyçilər: Gorskaya Natalya Vladimirovna, Kalininqrad Ticarət və İqtisadiyyat Kollecinin müəllimi

Bu dərslikdə diferensial hesablamanın əsas anlayışları nəzərdən keçirilir: törəmə anlayışı, törəmələrin xassələri, analitik həndəsə və mexanikada tətbiqi, əsas diferensiallaşma düsturları verilmiş, nəzəri materialı təsvir etmək üçün nümunələr verilmişdir. Dərslik müstəqil iş üçün tapşırıqlar, onlara cavablar, suallar və biliklərə aralıq nəzarət üçün nümunə tapşırıqlar ilə tamamlanır. Orta ixtisas təhsili müəssisələrində “Riyaziyyat” fənni üzrə təhsil alan, əyani, qiyabi, axşam təhsili alan tələbələr, eksternat tələbələri və ya pulsuz davamiyyəti olan tələbələr üçün nəzərdə tutulmuşdur.

KTEK
İqtisadiyyat və Mühasibat Uçotu PCC

15 nüsxə, 2006

Giriş. 4

Bilik və bacarıqlara dair tələblər.. 5

Törəmə anlayışı. 5

Törəmənin həndəsi mənası. 7

Törəmənin mexaniki mənası. 7

Fərqləndirmənin əsas qaydaları. səkkiz

Əsas funksiyaları fərqləndirmək üçün düsturlar. doqquz

Tərs funksiyanın törəməsi. doqquz

Mürəkkəb funksiyaların diferensiallaşdırılması. on

Daha yüksək sifarişlərin törəmələri. on bir

Şəxsi törəmələr. on bir

Törəmələrin köməyi ilə funksiyaların tədqiqi. on bir

Artan və azalan funksiya. on bir

Funksiyanın maksimum və minimumu. on üç

Bir əyrinin qabarıqlığı və qabarıqlığı. on beş

Bükülmə nöqtələri. on altı

Funksiyaların öyrənilməsinin ümumi sxemi və qrafiki. 17

Həll məşqləri. 17

Test sualları və nümunələr.. 20

Test. 20

Təlimlərə cavablar.. 21

Ədəbiyyat. 23

Giriş

Riyazi təhlil iqtisadçının işlədiyi bir sıra fundamental anlayışları verir - bu funksiya, limit, törəmə, inteqral, diferensial tənlikdir. İqtisadi tədqiqatlarda törəmələrə istinad etmək üçün çox vaxt xüsusi terminologiyadan istifadə olunur. Məsələn, əgər f(x) hər hansı məhsulun buraxılışının amilin maya dəyərindən asılılığını ifadə edən istehsal funksiyasıdır x, sonra zəng etdi marjinal məhsul; əgər g(x) xərc funksiyasıdır, yəni. funksiyası g(x)ümumi məsrəflərin istehsalın həcmindən asılılığını ifadə edir x, onda g′(x)çağırdı marjinal dəyəri.

İqtisadiyyatda Marjinal Təhlil- istehsalın, istehlakın həcmi və s. dəyişdikdə dəyişən məsrəflərin və ya nəticələrin öyrənilməsi üsullarının məcmusu. onların məhdudlaşdırıcı qiymətlərinin təhlilinə əsaslanır.

Misal üçün, məhsuldarlığın tapılması. Qoy funksiya olsun u=u(t), istehsal olunan məhsulların miqdarını ifadə edir u işləyərkən t. Vaxt ərzində istehsal olunan məhsulun miqdarını hesablayaq ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

Orta əmək məhsuldarlığı istehsal olunan məhsulun miqdarının sərf olunan vaxta nisbətidir, yəni. z cf. =

İşçi məhsuldarlığı hazırda t 0 olan hədd adlanır z cf. saat ∆t→ 0: . Beləliklə, əmək məhsuldarlığının hesablanması törəmənin hesablanmasına endirilir:

istehsal xərcləri K homojen məhsullar məhsulların miqdarının funksiyasıdır x, buna görə də yaza bilərik K=K(x). Tutaq ki, istehsalın kəmiyyəti bir qədər artır ∆x. İstehsalın kəmiyyəti x+∆x istehsal xərclərinə uyğundur K(x+∆x). Buna görə də istehsalın miqdarında artım ∆x istehsal xərclərinin artmasına uyğundur ∆K=K(x+∆x)- K(x).

İstehsal xərclərinin orta artımı ∆K/∆x-dir. Bu, məhsulun miqdarında vahid artım üçün istehsal xərclərinin artımıdır.

Limit çağırdı istehsalın marjinal dəyəri.