DƏRSİN MƏTN İZAHI:
Kosmosda bir təyyarə ideyası, məsələn, masanın və ya divarın səthini əldə etməyə imkan verir. Bununla belə, bir masa və ya divar sonlu ölçülərə malikdir və müstəvi onların hüdudlarından kənara sonsuzluğa qədər uzanır.
İki kəsişən təyyarəni nəzərdən keçirək. Onlar kəsişdikdə ortaq kənarı olan dörd dihedral bucaq əmələ gətirirlər.
Dihedral bucağın nə olduğunu xatırlayaq.
Reallıqda biz dihedral bucaq formasına malik obyektlərlə qarşılaşırıq: məsələn, aralıq qapı və ya yarı açıq qovluq.
İki alfa və beta müstəvisinin kəsişməsində dörd dihedral bucaq alırıq. Dihedral bucaqlardan biri (phi), ikincisi (1800 -), üçüncü, dördüncü (1800-) bərabər olsun.
Dihedral bucaqlardan birinin 900-ə bərabər olduğu halı nəzərdən keçirək.
Onda, bu vəziyyətdə bütün dihedral bucaqlar 900-ə bərabərdir.
Perpendikulyar müstəvilərin tərifini təqdim edək:
Aralarındakı dihedral bucaq 90° olarsa, iki müstəviyə perpendikulyar deyilir.
Siqma və epsilon müstəviləri arasındakı bucaq 90 dərəcədir, yəni təyyarələr perpendikulyardır.
Perpendikulyar müstəvilərə nümunələr verək.
Divar və tavan.
Yan divar və masa üstü.
İki müstəvinin perpendikulyarlığının işarəsini formalaşdıraq:
TEOREM: Əgər iki müstəvidən biri digər müstəviyə perpendikulyar olan xəttdən keçirsə, bu müstəvilər perpendikulyardır.
Bu xüsusiyyəti sübut edək.
Şərtlə məlumdur ki, AM xətti α müstəvisində yerləşir, AM xətti β müstəvisinə perpendikulyardır,
Sübut edin: α və β müstəviləri perpendikulyardır.
Sübut:
1) α və β müstəviləri AR düz xətti boyunca kəsişir, AM AR isə şərti ilə AM β olduğundan, yəni AM β müstəvisində yerləşən istənilən xəttə perpendikulyardır.
2) β müstəvisində AP-yə perpendikulyar AT xətti çəkək.
TAM bucağını alırıq - dihedral bucağın xətti bucağı. Lakin TAM bucağı = 90°, çünki MA β. Beləliklə, α β.
Q.E.D.
İki təyyarənin perpendikulyarlıq əlamətindən mühüm nəticə əldə edirik:
NƏTİCƏ: İki təyyarənin kəsişdiyi xəttə perpendikulyar olan müstəvi bu müstəvilərin hər birinə perpendikulyardır.
Yəni: α∩β=с və γ с olarsa, γ α və γ β olar.
Gəlin bu nəticəni sübut edək: qamma müstəvisi c düz xəttinə perpendikulyardırsa, iki müstəvinin paralellik əlamətinə görə qamma alfaya perpendikulyardır. Eynilə, qamma betaya perpendikulyardır.
Gəlin bu nəticəni dihedral bucaq üçün yenidən formalaşdıraq:
Dihedral bucağın xətti bucağından keçən müstəvi bu dihedral bucağın kənarına və üzlərinə perpendikulyardır. Başqa sözlə desək, dihedral bucağın xətti bucağını qurmuşuqsa, ondan keçən müstəvi bu ikibucaqlı bucağın kənarına və üzlərinə perpendikulyardır.
Verilmişdir: ΔABC, C = 90°, AC α müstəvisində yerləşir, α və ABC müstəviləri arasındakı bucaq = 60°, AC = 5 sm, AB = 13 sm.
Tapın: B nöqtəsindən α müstəvisinə qədər olan məsafə.
1) VC α-nı quraq. Onda CS BC-nin bu müstəviyə proyeksiyasıdır.
2) BC AS (şərtlə), deməli, üç perpendikulyar teoremlə (TTP), CS AS. Odur ki, VSK α müstəvisi ilə ABC üçbucağının müstəvisi arasındakı dihedral bucağın xətti bucağıdır. Yəni WSC = 60°.
3) Pifaqor teoreminə görə ΔBCA-dan:
Cavab VK üç sm-lik 6 kökə bərabərdir
İki təyyarənin perpendikulyarlığının praktiki istifadəsi (tətbiqi xarakter).
Kosmosda iki düz xətt, aralarındakı bucaq 90 o olarsa, perpendikulyar adlanır.
düyü. 37 |
Perpendikulyar xətlər kəsişə bilər və əyri ola bilər. Lemma.İki paralel xəttdən biri üçüncü xəttə perpendikulyardırsa, digər xətt də bu xəttə perpendikulyardır. Tərif. Müstəvidə yerləşən hər hansı bir xəttə perpendikulyar olan xətt müstəviyə perpendikulyar deyilir. Biz də deyirik ki, müstəvi a xəttinə perpendikulyardır. |
düyü. 38 |
Əgər a xətti müstəviyə perpendikulyardırsa, o, açıq şəkildə bu müstəvini kəsir. Həqiqətən də, əgər a xətti müstəvi ilə kəsişməsəydi, o zaman bu müstəvidə yatar və ya ona paralel olardı. Amma hər iki halda müstəvidə a xəttinə perpendikulyar olmayan xətlər, məsələn, ona paralel xətlər olacaq ki, bu mümkün deyil. Beləliklə, a xətti təyyarə ilə kəsişir. |
Paralel xətlər arasında əlaqə və onların müstəviyə perpendikulyarlığı.
Düz xəttin və təyyarənin perpendikulyarlığının əlaməti.
Qeydlər.
- Kosmosun hər hansı bir nöqtəsindən müəyyən bir xəttə perpendikulyar olan bir müstəvi keçir və üstəlik, yeganədir.
- Kosmosun hər hansı bir nöqtəsindən verilmiş müstəviyə perpendikulyar düz xətt keçir və üstəlik, yalnız bir.
- İki müstəvi bir xəttə perpendikulyardırsa, deməli paraleldirlər.
“Mövzu 5. “Düz xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığı” mövzusunda tapşırıqlar və testlər.
- Xəttin və müstəvinin perpendikulyarlığı
- Dihedral bucaq. Müstəvi perpendikulyarlığı - Xətlərin və müstəvilərin perpendikulyarlığı 10 sinif
Dərslər: 1 Tapşırıqlar: 10 Viktorina: 1
- Perpendikulyar və əyri. Xətt və müstəvi arasındakı bucaq - Xətlərin və müstəvilərin perpendikulyarlığı 10 sinif
Dərslər: 2 Tapşırıqlar: 10 Testlər: 1
- Xətlərin, xəttin və müstəvilərin paralelliyi - Düz xətlərin və müstəvilərin paralelliyi 10-cu sinif
Dərslər: 1 Tapşırıqlar: 9 Testlər: 1
- Perpendikulyar xətlər - Əsas həndəsi məlumatlar 7-ci sinif
Dərslər: 1 Tapşırıqlar: 17 Testlər: 1
Mövzunun materialı planimetriyadan sizə məlum olan xətlərin perpendikulyarlığı haqqında məlumatları ümumiləşdirir və sistemləşdirir. Kosmosda xətlərin və müstəvilərin paralelliyi ilə perpendikulyarlığı arasındakı əlaqəyə dair teoremlərin, eləcə də perpendikulyar və maillik materialın öyrənilməsini planimetriyadan müvafiq materialın sistemli şəkildə təkrarlanması ilə birləşdirmək məqsədəuyğundur.
Demək olar ki, bütün hesablama problemlərinin həlli Pifaqor teoreminin tətbiqinə və onun nəticələrinə qədər azaldılır. Bir çox məsələlərdə Pifaqor teoreminin və ya onun nəticələrinin tətbiqi mümkünlüyü üç perpendikulyar teoremlə və ya müstəvilərin paralellik və perpendikulyarlıq xassələri ilə əsaslandırılır.
Perpendikulyar müstəvilər anlayışı
İki təyyarə kəsişdikdə, biz $4$ dihedral açılar alırıq. Künclərdən ikisi $\varphi $, digər ikisi isə $(180)^0-\varphi $-dır.
Tərif 1
Təyyarələr arasındakı bucaq bu təyyarələrin yaratdığı dihedral bucaqların ən kiçikidir.
Tərif 2
Bu müstəvilər arasındakı bucaq $90^\circ$-a bərabər olarsa, kəsişən iki müstəvi perpendikulyar adlanır (şək. 1).
Şəkil 1. Perpendikulyar müstəvilər
İki təyyarənin perpendikulyarlığının işarəsi
Teorem 1
Əgər müstəvi xətti digər müstəviyə perpendikulyardırsa, bu müstəvilər bir-birinə perpendikulyardır.
Sübut.
Bizə $AC$ xətti boyunca kəsişən $\alpha $ və $\beta $ təyyarələri verilsin. $\alpha $ müstəvisində uzanan $AB$ xətti $\beta $ müstəvisinə perpendikulyar olsun (şək. 2).
Şəkil 2.
$AB$ xətti $\beta $ müstəvisinə perpendikulyar olduğundan o, $AC$ xəttinə də perpendikulyardır. Əlavə olaraq $AC$ xəttinə perpendikulyar $\beta $ müstəvisində $AD$ xəttini çəkək.
Alırıq ki, $BAD$ bucağı $90^\circ$-a bərabər olan dihedral bucağın xətti bucağıdır. Yəni 1-ci tərifə görə, müstəvilər arasındakı bucaq $90^\circ$-a bərabərdir, yəni bu təyyarələr perpendikulyardır.
Teorem sübut edilmişdir.
Bu teoremdən aşağıdakı teorem gəlir.
Teorem 2
Əgər müstəvi digər iki təyyarənin kəsişdiyi xəttə perpendikulyardırsa, o da bu müstəvilərə perpendikulyardır.
Sübut.
Bizə $c$ düz xətti boyunca kəsişən $\alpha $ və $\beta $ iki təyyarə verilsin. $\qamma $ müstəvisi $c$ xəttinə perpendikulyardır (şək. 3)
Şəkil 3
$c$ xətti $\alpha $ müstəvisinə aid olduğundan və $\qamma $ müstəvisi $c$ xəttinə perpendikulyar olduğundan, Teorem 1-ə görə $\alpha $ və $\qamma $ müstəviləri perpendikulyardır.
$c$ xətti $\beta $ müstəvisinə aid olduğundan və $\qamma $ müstəvisi $c$ xəttinə perpendikulyar olduğundan, Teorem 1-ə görə $\beta $ və $\qamma $ müstəviləri perpendikulyardır.
Teorem sübut edilmişdir.
Bu teoremlərin hər biri üçün əks ifadələr də doğrudur.
Tapşırıq nümunələri
Misal 1
Bizə $ABCDA_1B_1C_1D_1$ düzbucaqlı qutu verilsin. Perpendikulyar müstəvilərin bütün cütlərini tapın (şək. 5).
Şəkil 4
Qərar.
Kuboid və perpendikulyar müstəvilərin tərifinə əsasən, biz bir-birinə perpendikulyar olan aşağıdakı səkkiz cüt təyyarə görürük: $(ABB_1)$ və $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ və $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1) $ və $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ və $(ABC)$, $(DCC_1)$ və $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ və $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ və $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ və $(ABC)$.
Misal 2
Bizə qarşılıqlı perpendikulyar iki müstəvi verilsin. Bir müstəvidə bir nöqtədən digər müstəviyə perpendikulyar çəkilir. Bu xəttin verilmiş müstəvidə olduğunu sübut edin.
Sübut.
Bizə müstəvilərə perpendikulyar və $c$ düz xətti boyunca kəsişən $\alpha $ və $\beta $ verilsin. $\beta $ təyyarəsinin $A$ nöqtəsindən $\alpha $ müstəvisinə perpendikulyar $AC$ çəkilir. Fərz edək ki, $AC$ $\beta $ müstəvisində yerləşmir (şək. 6).
Şəkil 5
$ABC$ üçbucağını nəzərdən keçirək. Düzbucaqlı düzbucaqlıdır, $ACB$. Beləliklə, $\bucaq ABC\ne (90)^0$.
Lakin, digər tərəfdən, $\angle ABC$ bu müstəvilərin əmələ gətirdiyi dihedral bucağın xətti bucağıdır. Yəni bu müstəvilərin əmələ gətirdiyi dihedral bucaq 90 dərəcəyə bərabər deyil. Alırıq ki, təyyarələr arasındakı bucaq $90^\circ$-a bərabər deyil. Ziddiyyət. Beləliklə, $AC$ $\beta $ müstəvisində yerləşir.
Bu dərs "İki müstəvinin perpendikulyarlığının əlaməti" mövzusu haqqında təsəvvür əldə etmək istəyənlərə kömək edəcəkdir. Bunun əvvəlində dihedral və xətti bucağın tərifini təkrarlayacağıq. Sonra hansı müstəvilərin perpendikulyar adlandırıldığını nəzərdən keçirəcəyik və iki müstəvinin perpendikulyarlıq meyarını sübut edəcəyik.
Mövzu: Xətlərin və müstəvilərin perpendikulyarlığı
Dərs: İki müstəvinin perpendikulyarlığının işarəsi
Tərif. Dihedral bucaq eyni müstəviyə aid olmayan iki yarım müstəvi və onların ümumi düz xətti a (a kənardır) tərəfindən əmələ gələn fiqurdur.
düyü. bir
İki yarım müstəvini α və β nəzərdən keçirək (şək. 1). Onların ümumi sərhədi l. Bu rəqəm dihedral bucaq adlanır. İki kəsişən təyyarə ortaq kənarı olan dörd dihedral bucaq əmələ gətirir.
Dihedral bucaq onun xətti bucağı ilə ölçülür. Dihedral bucağın l ortaq kənarında ixtiyari bir nöqtə seçirik. α və β yarımmüstəvilərində bu nöqtədən l düz xəttinə a və b perpendikulyarları çəkirik və dihedral bucağın xətti bucağını alırıq.
a və b düz xətləri φ, 180° - φ, φ, 180° - φ-ə bərabər dörd bucaq əmələ gətirir. Xatırladaq ki, bu bucaqların ən kiçiyi xətlər arasındakı bucaq adlanır.
Tərif. Təyyarələr arasındakı bucaq bu təyyarələrin yaratdığı dihedral bucaqların ən kiçikidir. φ - α və β təyyarələri arasındakı bucaq, əgər
Tərif. İki kəsişən müstəvi, aralarındakı bucaq 90° olarsa, perpendikulyar (qarşılıqlı perpendikulyar) adlanır.
düyü. 2
l kənarında ixtiyari M nöqtəsi seçilir (şək. 2). l kənarına müvafiq olaraq α və β müstəvisində MA = a və MB = b iki perpendikulyar xətti çəkək. AMB bucağını əldə etdik. AMB bucağı dihedral bucağın xətti bucağıdır. Əgər AMB bucağı 90° olarsa, α və β müstəvilərinə perpendikulyar deyilir.
b xətti konstruksiyaya görə l xəttinə perpendikulyardır. α və β müstəviləri arasındakı bucaq 90° olduğundan b xətti a xəttinə perpendikulyardır. Alırıq ki, b xətti α müstəvisindən kəsişən iki a və l xəttinə perpendikulyardır. Deməli, b xətti α müstəvisinə perpendikulyardır.
Eynilə, a xəttinin β müstəvisinə perpendikulyar olduğunu sübut etmək olar. a xətti konstruksiyaya görə l xəttinə perpendikulyardır. α və β müstəviləri arasındakı bucaq 90° olduğundan a xətti b xəttinə perpendikulyardır. Alırıq ki, a xətti β müstəvisindən kəsişən iki b və l xəttinə perpendikulyardır. Deməli, a xətti β müstəvisinə perpendikulyardır.
Əgər iki müstəvidən biri digər müstəviyə perpendikulyar olan xəttdən keçirsə, belə müstəvilər perpendikulyardır.
Sübut edin:
düyü. 3
Sübut:
α və β müstəviləri AC düz xətti boyunca kəsilsin (şək. 3). Təyyarələrin qarşılıqlı perpendikulyar olduğunu sübut etmək üçün onların arasında xətti bucaq qurmaq və bu bucağın 90 ° -ə bərabər olduğunu göstərmək lazımdır.
AB xətti şərti ilə β müstəvisinə və deməli, β müstəvisində yerləşən AC xəttinə də perpendikulyardır.
β müstəvisində AC xəttinə perpendikulyar olan AD xəttini çəkək. Onda BAD dihedral bucağın xətti bucağıdır.
AB xətti β müstəvisinə və deməli, β müstəvisində yerləşən AD xəttinə də perpendikulyardır. Beləliklə, BAD xətti bucağı 90°-dir. Deməli, α və β müstəviləri perpendikulyardır və bu, sübut edilməli idi.
Verilmiş iki təyyarənin kəsişdiyi xəttə perpendikulyar olan müstəvi bu müstəvilərin hər birinə perpendikulyardır (şək. 4).
Sübut edin:
düyü. 4
Sübut:
l xətti γ müstəvisinə perpendikulyardır və α müstəvisi l xəttindən keçir. Deməli, müstəvilərin perpendikulyarlıq kriteriyası ilə α və γ müstəviləri perpendikulyardır.
l xətti γ müstəvisinə perpendikulyardır və β müstəvisi l xəttindən keçir. Deməli, müstəvilərin perpendikulyarlıq əlamətinə görə β və γ müstəviləri perpendikulyardır.
"İki müstəvinin perpendikulyarlığının əlaməti" mövzusunda mühazirə
Kosmosda bir təyyarə ideyası, məsələn, masanın və ya divarın səthini əldə etməyə imkan verir. Bununla belə, bir masa və ya divar sonlu ölçülərə malikdir və müstəvi onların hüdudlarından kənara sonsuzluğa qədər uzanır.İki kəsişən təyyarəni nəzərdən keçirək. Onlar kəsişdikdə ortaq kənarı olan dörd dihedral bucaq əmələ gətirirlər.
Dihedral bucağın nə olduğunu xatırlayaq.
Reallıqda biz dihedral bucaq formasına malik obyektlərlə qarşılaşırıq: məsələn, aralıq qapı və ya yarı açıq qovluq.
İki alfa və beta müstəvisinin kəsişməsində dörd dihedral bucaq alırıq. Dihedral bucaqlardan biri (phi), ikincisi (180) bərabər olsun 0 -), üçüncü, dördüncü (180 0 -).
α vəβ, 0°< 90 °
Dihedral bucaqlardan birinin 90-a bərabər olduğu halı nəzərdən keçirək 0 .
Onda, bu vəziyyətdə bütün dihedral bucaqlar 90-a bərabərdir 0 .
təyyarələr arasındakı dihedral bucaqα vəβ,
90º
Perpendikulyar müstəvilərin tərifini təqdim edək:
Aralarındakı dihedral bucaq 90° olarsa, iki müstəviyə perpendikulyar deyilir.
Siqma və epsilon müstəviləri arasındakı bucaq 90 dərəcədir, yəni təyyarələr perpendikulyardır.
Çünki =90°
Perpendikulyar müstəvilərə nümunələr verək.
Divar və tavan.
Yan divar və masa üstü.
Divar və tavan
İki müstəvinin perpendikulyarlığının işarəsini formalaşdıraq:
TEOREM:Əgər iki müstəvidən biri digər müstəviyə perpendikulyar olan xəttdən keçirsə, bu müstəvilər perpendikulyardır.
Bu xüsusiyyəti sübut edək.
Fərziyyə ilə məlumdur ki, xəttAM α müstəvisində yerləşir, AM xətti β müstəvisinə perpendikulyardır,
Sübut edin: α və β müstəviləri perpendikulyardır.
Sübut:
1) α və müstəviləriβ AR xətti boyunca kəsişir, AM AR isə şərti ilə AM β olduğundan, yəni AM β müstəvisində yerləşən istənilən xəttə perpendikulyardır.
2) β müstəvisində düz xətt çəkinAT perpendikulyarAR.
T bucağını alırıqAM dihedral bucağın xətti bucağıdır. Lakin bucaq TAM = 90°, çünki MA β. Beləliklə, α β.
Q.E.D.
TEOREM:Əgər müstəvi başqa müstəviyə perpendikulyar olan xəttdən keçirsə, bu təyyarələr perpendikulyardır.
Verildi:α, β, AM α, AMβ, AM∩=A
Sübut edin: αβ.
Sübut:
1) α∩β = АР, AM AR isə şərti ilə AM β olduğundan, yəni AM β müstəvisində yerləşən istənilən xəttə perpendikulyardır.
2) ATβ,ATAR.
TAM dihedral bucağın xətti bucağıdır. TAM = 90°, çünki MA β. Beləliklə, α β.
Q.E.D
İki təyyarənin perpendikulyarlıq əlamətindən mühüm nəticə əldə edirik:
NƏTİCƏ:İki təyyarənin kəsişdiyi xəttə perpendikulyar olan müstəvi bu müstəvilərin hər birinə perpendikulyardır.
Gəlin bu nəticəni sübut edək: qamma müstəvisi c düz xəttinə perpendikulyardırsa, iki müstəvinin paralellik əlamətinə görə qamma alfaya perpendikulyardır. Eynilə, qamma betaya perpendikulyardır.
Yəni: α∩β=с və γs olarsa, γα və γβ.
çünkiγα perpendikulyarlıq işarəsindən γс və сα.
Eynilə, γ β
Gəlin bu nəticəni dihedral bucaq üçün yenidən formalaşdıraq:
Dihedral bucağın xətti bucağından keçən müstəvi bu dihedral bucağın kənarına və üzlərinə perpendikulyardır. Başqa sözlə desək, dihedral bucağın xətti bucağını qurmuşuqsa, ondan keçən müstəvi bu ikibucaqlı bucağın kənarına və üzlərinə perpendikulyardır.
Tapşırıq.
Verilmişdir: ΔABC, C = 90°, AC α müstəvisində yerləşir, α və müstəviləri arasındakı bucaqABC= 60°, AC = 5 sm, AB = 13 sm.
Tapın: B nöqtəsindən α müstəvisinə qədər olan məsafə.
Qərar:
1) VC α-nı quraq. Onda CS BC-nin bu müstəviyə proyeksiyasıdır.
2) BC AS (şərtlə), deməli, üç perpendikulyar teoremlə (TTP), CS AS. Buna görə də, VSK α müstəvisi ilə ABC üçbucağının müstəvisi arasındakı dihedral bucağın xətti bucağıdır. Yəni WSC = 60°.
3) Pifaqor teoreminə görə ΔBCA-dan:
ΔVKS-dən: 
