İfadənin natural loqarifmi. Loqarifmlərlə hərəkət qaydasının loqarifmi

tərifindən irəli gəlir. Və beləliklə ədədin loqarifmi b səbəblə aədədin qaldırılmalı olduğu eksponent kimi müəyyən edilir a nömrəni almaq üçün b(loqarifm yalnız müsbət ədədlər üçün mövcuddur).

Bu formuladan belə çıxır ki, hesablama x=log a b, tənliyin həllinə bərabərdir ax=b. Misal üçün, log 2 8 = 3çünki 8 = 2 3 . Loqarifmin tərtibi, əgər olduğunu əsaslandırmağa imkan verir b=a c, sonra ədədin loqarifmi b səbəblə a bərabərdir ilə. O da aydın olur ki, loqarifm mövzusu ədədin gücü mövzusu ilə sıx bağlıdır.

Loqarifmlərlə, hər hansı bir rəqəmdə olduğu kimi, yerinə yetirə bilərsiniz toplama, çıxma əməlləri və hər şəkildə dəyişdirin. Lakin loqarifmlərin kifayət qədər adi ədədlər olmadığını nəzərə alaraq, burada öz xüsusi qaydaları tətbiq olunur ki, bunlar da adlanır. əsas xassələri.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması.

İki loqarifmi götürək eyni əsaslar: log x və log a y. Sonra çıxarın, toplama və çıxma əməliyyatlarını yerinə yetirmək mümkündür:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

From bölgü loqarifm teoremləri loqarifmin daha bir xassəsini əldə etmək olar. Bu log yaxşı məlumdur a 1= 0, buna görə də,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Beləliklə, bərabərlik var:

log a 1 / b = - log a b.

Qarşılıqlı iki ədədin loqarifmləri eyni əsasda bir-birindən ancaq işarə ilə fərqlənəcək. Belə ki:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Bu video ilə mən loqarifmik tənliklər haqqında uzun dərslər silsiləsi başlayıram. İndi bir anda üç nümunəniz var, onların əsasında ən çox həll etməyi öyrənəcəyik sadə tapşırıqlar, adlanır protozoa.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Nəzərinizə çatdırım ki, ən sadə loqarifmik tənlik aşağıdakı kimidir:

log a f(x) = b

X dəyişəninin yalnız arqument daxilində, yəni yalnız f(x) funksiyasında olması vacibdir. Və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyalar deyil.

Əsas həll üsulları

Belə strukturları həll etməyin bir çox yolu var. Məsələn, məktəbdə əksər müəllimlər belə təklif edirlər: düsturdan istifadə edərək dərhal f ( x ) funksiyasını ifadə edin f( x ) = a b . Yəni, ən sadə tikinti ilə qarşılaşdığınız zaman, əlavə hərəkətlər və konstruksiyalar olmadan dərhal həllinə davam edə bilərsiniz.

Bəli, əlbəttə ki, qərar doğru çıxacaq. Ancaq bu formulun problemi tələbələrin əksəriyyətindədir başa düşməmək, haradan gəlir və niyə məhz a hərfini b hərfinə qaldırırıq.

Nəticədə, məsələn, bu hərflər bir-birini əvəz edəndə çox təhqiramiz səhvlər görürəm. Bu düstur ya başa düşülməlidir, ya da yadda saxlanmalıdır, ikinci üsul isə ən uyğun olmayan və ən həlledici məqamlarda səhvlərə yol açır: imtahanlarda, testlərdə və s.

Buna görə də bütün tələbələrimə standart məktəb düsturundan imtina etməyi və həll etmək üçün istifadə etməyi təklif edirəm loqarifmik tənliklər adından təxmin etdiyiniz kimi ikinci yanaşma adlanır kanonik forma.

Kanonik forma ideyası sadədir. Tapşırığımıza bir daha baxaq: solda log a var, a hərfi isə tam rəqəmi bildirir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyanı ifadə etmir. Buna görə də, bu məktub loqarifmin əsasına qoyulan bütün məhdudiyyətlərə tabedir. yəni:

1 ≠ a > 0

Digər tərəfdən, eyni tənlikdən görürük ki, loqarifm olmalıdır ədədinə bərabərdir b , və bu məktuba heç bir məhdudiyyət qoyulmur, çünki o, hər hansı bir dəyər ala bilər - həm müsbət, həm də mənfi. Hamısı f(x) funksiyasının hansı dəyərləri qəbul etməsindən asılıdır.

Və burada biz gözəl qaydamızı xatırlayırıq ki, istənilən b ədədi a əsasında a-dan b-nin qüvvəsinə qədər loqarifm kimi təqdim edilə bilər:

b = log a a b

Bu formulu necə yadda saxlamaq olar? Bəli, çox sadə. Aşağıdakı konstruksiyanı yazaq:

b = b 1 = b log a a

Təbii ki, bu halda başlanğıcda yazdığımız bütün məhdudiyyətlər yaranır. İndi isə loqarifmin əsas xassəsindən istifadə edək və b faktorunu a-nın gücü kimi daxil edək. Biz əldə edirik:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Nəticədə, orijinal tənlik aşağıdakı formada yenidən yazılacaq:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Hamısı budur. Yeni funksiya artıq loqarifmi ehtiva etmir və standart cəbri üsullarla həll edilir.

Təbii ki, indi kimsə etiraz edəcək: ümumiyyətlə, bir növ kanonik düsturla çıxış etmək nəyə lazım idi, ilkin konstruksiyadan dərhal son düstura keçmək mümkün idisə, nə üçün əlavə iki lazımsız addım atmaq lazımdır? Bəli, yalnız ona görə ki, əksər tələbələr bu formulun haradan gəldiyini başa düşmürlər və nəticədə onu tətbiq edərkən müntəzəm olaraq səhvlər edirlər.

Ancaq üç addımdan ibarət belə hərəkətlər ardıcıllığı, o son formulun haradan gəldiyini başa düşməsəniz belə, orijinal loqarifmik tənliyi həll etməyə imkan verir. Yeri gəlmişkən, bu giriş kanonik düstur adlanır:

log a f(x) = log a a b

Kanonik formanın rahatlığı həm də ondan ibarətdir ki, bu gün nəzərdən keçirdiyimiz ən sadələri deyil, çox geniş bir sinif loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

Həll nümunələri

Və indi nəzərdən keçirək real nümunələr. Beləliklə, qərar verək:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Gəlin bunu belə yenidən yazaq:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Bir çox tələbə tələsir və dərhal 0,5 rəqəmini ilkin problemdən bizə gələn gücə qaldırmağa çalışır. Və həqiqətən də, bu cür problemlərin həllində artıq yaxşı təlim keçmişsinizsə, dərhal bu addımı yerinə yetirə bilərsiniz.

Ancaq indi bu mövzunu öyrənməyə başlayırsınızsa, təhqiramiz səhvlərə yol verməmək üçün heç yerə tələsməmək daha yaxşıdır. Beləliklə, kanonik formaya sahibik. Bizdə:

3x - 1 = 0,5 -3

Bu, artıq loqarifmik tənlik deyil, x dəyişəninə münasibətdə xətti tənlikdir. Bunu həll etmək üçün əvvəlcə 0,5 rəqəminin −3 dərəcəsi ilə məşğul olaq. Qeyd edək ki, 0,5 1/2-dir.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Hamısı ondalıklar loqarifmik tənliyi həll edərkən normala çevirin.

Yenidən yazırıq və alırıq:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Hamısının cavabını aldıq. Birinci vəzifə həll olunur.

İkinci tapşırıq

İkinci tapşırığa keçək:

Gördüyünüz kimi, bu tənlik artıq ən sadə deyil. Yalnız fərq solda olduğuna görə və bir bazada bir loqarifm olmasın.

Ona görə də bu fərqdən birtəhər qurtulmaq lazımdır. AT bu məsələ hər şey çox sadədir. Əsaslara daha yaxından nəzər salaq: solda kökün altındakı rəqəm var:

Ümumi tövsiyə: bütün loqarifmik tənliklərdə radikallardan, yəni kökləri olan girişlərdən xilas olmağa çalışın və keçin. güc funksiyaları, sadəcə ona görə ki, bu güclərin göstəriciləri loqarifmin işarəsindən asanlıqla çıxarılır və sonda belə qeyd hesablamaları xeyli asanlaşdırır və sürətləndirir. Bunu belə yazaq:

İndi loqarifmin diqqətəlayiq xüsusiyyətini xatırlayırıq: arqumentdən, həm də əsasdan dərəcələri çıxara bilərsiniz. Baza vəziyyətində aşağıdakılar baş verir:

log a k b = 1/k loqa b

Başqa sözlə, baza dərəcəsində dayanan rəqəm irəli çəkilir və eyni zamanda çevrilir, yəni. əks nömrə. Bizim vəziyyətimizdə 1/2 göstərici ilə baza dərəcəsi var idi. Buna görə də onu 2/1 olaraq çıxara bilərik. Biz əldə edirik:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Diqqət edin: bu addımda heç bir halda loqarifmlərdən qurtulmamalısınız. 4-5-ci sinif riyaziyyatını və əməliyyatların ardıcıllığını xatırlayın: əvvəlcə vurma yerinə yetirilir, yalnız bundan sonra toplama və çıxma yerinə yetirilir. Bu halda 10 elementdən eyni elementlərdən birini çıxarırıq:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

İndi tənliyimiz lazım olduğu kimi görünür. bu ən sadə dizayn, və biz bunu kanonik forma ilə həll edirik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Hamısı budur. İkinci problem həll olunur.

Üçüncü misal

Üçüncü tapşırığa keçək:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Aşağıdakı düsturu xatırlayın:

log b = log 10 b

Əgər nədənsə lg b yazmaqla çaşıbsınızsa, bütün hesablamaları apararkən sadəcə olaraq log 10 b yaza bilərsiniz. Onluq loqarifmlərlə digərləri ilə eyni şəkildə işləyə bilərsiniz: səlahiyyətləri çıxarın, əlavə edin və istənilən ədədi lg 10 kimi təqdim edin.

Məhz bu xassələrdən indi problemi həll etmək üçün istifadə edəcəyik, çünki bu, dərsimizin əvvəlində yazdığımız ən sadə deyil.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, lg 5-dən əvvəl 2 amil daxil edilə bilər və baza 5-in gücünə çevrilir. Bundan əlavə, sərbəst termin 3 də loqarifm kimi təqdim edilə bilər - bunu bizim qeydimizdən müşahidə etmək çox asandır.

Özünüz mühakimə edin: istənilən rəqəm 10-cu bazaya log kimi təqdim edilə bilər:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Alınan dəyişiklikləri nəzərə alaraq orijinal problemi yenidən yazaq:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Qarşımızda yenə kanonik forma var və biz onu çevrilmə mərhələsini keçərək əldə etdik, yəni ən sadə loqarifmik tənlik bizimlə heç yerdə gəlmədi.

Dərsin lap əvvəlində mən də bundan danışırdım. Kanonik forma standartdan daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir. məktəb formuluəksər məktəb müəllimləri tərəfindən verilir.

Hamısı budur, ondalık loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və sadə xətti tikinti əldə edirik:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Hamısı! Problem həll olundu.

Əhatə dairəsi haqqında qeyd

Bura gətirmək istərdim vacib qeydəhatə dairəsi haqqında. Şübhəsiz ki, indi tələbələr və müəllimlər var: "Biz loqarifmlərlə ifadələri həll edərkən, f (x) arqumentinin sıfırdan böyük olması lazım olduğunu xatırlamaq vacibdir!" Bu baxımdan məntiqi sual yaranır: nə üçün nəzərdən keçirilən problemlərin heç birində bu bərabərsizliyin təmin olunmasını tələb etmədik?

Narahat olma. Bu hallarda əlavə köklər görünməyəcəkdir. Və bu, həlli sürətləndirməyə imkan verən başqa bir böyük hiylədir. Sadəcə bilin ki, əgər problemdə x dəyişəni yalnız bir yerdə (daha doğrusu, bir və yeganə loqarifmin tək və yeganə arqumentində) baş verirsə və bizim vəziyyətimizdə x dəyişəni başqa heç bir yerdə baş vermirsə, o zaman domenini yazın. lazım deyilçünki avtomatik işləyəcək.

Özünüz mühakimə edin: birinci tənlikdə biz əldə etdik ki, 3x - 1, yəni arqument 8-ə bərabər olmalıdır. Bu avtomatik olaraq o deməkdir ki, 3x - 1 sıfırdan böyük olacaq.

Eyni müvəffəqiyyətlə yaza bilərik ki, ikinci halda x 5 2-yə bərabər olmalıdır, yəni, əlbəttə ki, sıfırdan böyükdür. Və üçüncü halda, burada x + 3 = 25.000, yəni, yenidən, açıq-aydın sıfırdan böyükdür. Başqa sözlə, əhatə dairəsi avtomatikdir, ancaq x yalnız bir loqarifmin arqumentində baş verərsə.

Sadə problemləri həll etmək üçün bilməli olduğunuz hər şey budur. Təkcə bu qayda transformasiya qaydaları ilə birlikdə çox geniş bir sinif problemləri həll etməyə imkan verəcəkdir.

Ancaq gəlin dürüst olaq: bu texnikanı nəhayət başa düşmək üçün, loqarifmik tənliyin kanonik formasını tətbiq etməyi öyrənmək üçün sadəcə bir video dərsinə baxmaq kifayət deyil. Buna görə də, indi bu video təlimatına əlavə edilmiş müstəqil həll variantlarını yükləyin və bu iki müstəqil işdən ən azı birini həll etməyə başlayın.

Bu sizə bir neçə dəqiqə çəkəcək. Ancaq bu video təlimatına baxdığınız təqdirdə belə bir təlimin təsiri daha yüksək olacaqdır.

Ümid edirəm ki, bu dərs sizə loqarifmik tənlikləri başa düşməyə kömək edəcək. Kanonik formanı tətbiq edin, loqarifmlərlə işləmə qaydalarından istifadə edərək ifadələri sadələşdirin - və heç bir tapşırıqdan qorxmayacaqsınız. Və bu gün üçün əlimdə olan şey budur.

Əhatə dairəsinin nəzərə alınması

İndi isə loqarifmik funksiyanın oblastından, eləcə də bunun loqarifmik tənliklərin həllinə necə təsir etdiyindən danışaq. Formanın qurulmasını nəzərdən keçirin

log a f(x) = b

Belə bir ifadə ən sadə adlanır - onun yalnız bir funksiyası var və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənindən asılı olan funksiya deyil. Çox sadə həll olunur. Yalnız formuladan istifadə etməlisiniz:

b = log a a b

Bu formulalardan biridir əsas xassələri loqarifm və orijinal ifadəmizi əvəz edərkən aşağıdakıları alırıq:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Bu, artıq məktəb dərsliklərindən tanış olan düsturdur. Yəqin ki, bir çox tələbələrin sualı olacaq: orijinal ifadədəki f ( x ) funksiyası log işarəsinin altında olduğu üçün ona aşağıdakı məhdudiyyətlər qoyulur:

f(x) > 0

Bu məhdudiyyət tətbiq olunur, çünki loqarifmi mənfi ədədlər mövcud deyil. Beləliklə, bəlkə bu məhdudiyyətə görə cavablar üçün bir yoxlama təqdim etməlisiniz? Bəlkə onları mənbədə əvəz etmək lazımdır?

Xeyr, ən sadə loqarifmik tənliklərdə əlavə yoxlamaya ehtiyac yoxdur. Və buna görə. Son düsturumuza nəzər salın:

f(x) = a b

Fakt budur ki, a sayı istənilən halda 0-dan böyükdür - bu tələb də loqarifm tərəfindən qoyulur. a sayı əsasdır. Bu halda b sayına heç bir məhdudiyyət qoyulmur. Amma bunun heç bir əhəmiyyəti yoxdur, çünki müsbət rəqəmi hansı dərəcədə qaldırsaq da, çıxışda yenə də müsbət rəqəm alacağıq. Beləliklə, f (x) > 0 tələbi avtomatik yerinə yetirilir.

Həqiqətən yoxlamağa dəyər olan, log işarəsi altındakı funksiyanın əhatə dairəsidir. Olduqca mürəkkəb dizaynlar ola bilər və onların həlli prosesində mütləq onlara əməl etməlisiniz. Gəlin nəzər salaq.

Birinci tapşırıq:

Birinci addım: sağdakı kəsri çevirin. Biz əldə edirik:

Loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və adi irrasional tənliyi alırıq:

Əldə edilən köklərdən yalnız birincisi bizə uyğun gəlir, çünki ikinci kök sıfırdan azdır. Yeganə cavab 9 rəqəmi olacaq. Budur, problem həll olundu. Loqarifm işarəsi altındakı ifadənin 0-dan böyük olması üçün heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki o, sadəcə 0-dan böyük deyil, tənliyin şərtinə görə 2-yə bərabərdir. Buna görə də “sıfırdan böyük” tələbi avtomatik olaraq həyata keçirilir. razı.

İkinci tapşırığa keçək:

Burada hər şey eynidir. Üçlüyü əvəz edərək tikintini yenidən yazırıq:

Loqarifmin işarələrindən xilas oluruq və irrasional tənlik alırıq:

Məhdudiyyətləri nəzərə alaraq hər iki hissəni kvadratlaşdırırıq və alırıq:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Yaranan tənliyi diskriminant vasitəsilə həll edirik:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

Lakin x = −6 bizə uyğun gəlmir, çünki bu ədədi bərabərsizliyimizdə əvəz etsək, alırıq:

−6 + 4 = −2 < 0

Bizim vəziyyətimizdə onun 0-dan böyük və ya ekstremal hallarda bərabər olması tələb olunur. Lakin x = −1 bizə uyğundur:

−1 + 4 = 3 > 0

Bizim vəziyyətimizdə yeganə cavab x = −1-dir. Bütün həll yolu budur. Gəlin hesablamalarımızın ən əvvəlinə qayıdaq.

Bu dərsdən çıxan əsas nəticə ondan ibarətdir ki, ən sadə loqarifmik tənliklərdə funksiyanın hədlərini yoxlamaq tələb olunmur. Çünki həll prosesində bütün məhdudiyyətlər avtomatik olaraq yerinə yetirilir.

Bununla belə, bu, heç bir halda yoxlamanı tamamilə unuda biləcəyiniz anlamına gəlmir. Loqarifmik tənlik üzərində işləmə prosesində, bu gün iki fərqli nümunədə gördüyümüz sağ tərəf üçün öz məhdudiyyətləri və tələbləri olan irrasional bir tənliyə çevrilə bilər.

Bu cür problemləri həll etməkdə çekinmeyin və mübahisədə bir kök varsa xüsusilə diqqətli olun.

Müxtəlif əsaslı loqarifmik tənliklər

Biz loqarifmik tənlikləri öyrənməyə və daha çox həll etməyin dəbdə olduğu daha iki maraqlı fəndləri təhlil etməyə davam edirik. mürəkkəb strukturlar. Ancaq əvvəlcə ən sadə vəzifələrin necə həll edildiyini xatırlayaq:

log a f(x) = b

Bu qeyddə a və b sadəcə ədədlərdir və f (x) funksiyasında x dəyişəni olmalıdır və yalnız orada, yəni x yalnız arqumentdə olmalıdır. Bu cür loqarifmik tənlikləri kanonik formadan istifadə edərək çevirəcəyik. Bunun üçün qeyd edirik ki

b = log a a b

Və a b sadəcə bir arqumentdir. Bu ifadəni aşağıdakı kimi yenidən yazaq:

log a f(x) = log a a b

Biz məhz buna nail olmağa çalışırıq ki, həm solda, həm də sağda a əsasına loqarifm olsun. Bu halda, biz, obrazlı desək, log işarələrini kəsə bilərik və riyaziyyat baxımından, sadəcə olaraq, arqumentləri bərabərləşdirdiyimizi söyləyə bilərik:

f(x) = a b

Nəticədə daha asan həll ediləcək yeni bir ifadə alırıq. Gəlin bu qaydanı bugünkü tapşırıqlarımıza tətbiq edək.

Beləliklə, ilk dizayn:

İlk növbədə qeyd edirəm ki, sağda kəsr var, məxrəci logdur. Belə bir ifadə gördüyünüz zaman loqarifmlərin gözəl xüsusiyyətini xatırlamağa dəyər:

Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu o deməkdir ki, istənilən loqarifm hər hansı c əsası ilə iki loqarifmin bölünməsi kimi təqdim edilə bilər. Təbii ki, 0< с ≠ 1.

Beləliklə: bu formulun bir gözəli var xüsusi hal c dəyişəni dəyişənə bərabər olduqda b. Bu halda, formanın tikintisini alırıq:

Tənliyimizdə sağdakı işarədən müşahidə etdiyimiz bu konstruksiyadır. Bu konstruksiyanı log a b ilə əvəz edək, alırıq:

Başqa sözlə, ilkin tapşırıqla müqayisədə biz arqumenti və loqarifmin əsasını dəyişdirdik. Əvəzində fraksiyanı çevirməli olduq.

Xatırlayırıq ki, istənilən dərəcə aşağıdakı qaydaya əsasən bazadan çıxarıla bilər:

Başqa sözlə, əsasın dərəcəsi olan k əmsalı ters çevrilmiş kəsr kimi çıxarılır. Onu tərs kəsr kimi çıxaraq:

Kəsr amili qabağında qala bilməz, çünki bu halda biz bu qeydi kanonik forma kimi təqdim edə bilməyəcəyik (axı, kanonik formada ikinci loqarifmin qarşısında əlavə amil yoxdur). Buna görə də arqumentdə 1/4 kəsri güc kimi qoyaq:

İndi biz əsasları eyni olan arqumentləri bərabərləşdiririk (və həqiqətən də eyni əsaslara sahibik) və yazırıq:

x + 5 = 1

x = −4

Hamısı budur. Birinci loqarifmik tənliyin cavabını aldıq. Diqqət edin: orijinal məsələdə x dəyişəni yalnız bir logda baş verir və o, öz arqumentindədir. Buna görə də, domeni yoxlamağa ehtiyac yoxdur və x = −4 nömrəmiz həqiqətən cavabdır.

İndi ikinci ifadəyə keçək:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Burada adi loqarifmlərə əlavə olaraq lg f (x) ilə işləməli olacağıq. Belə bir tənliyi necə həll etmək olar? Hazırlıqsız bir tələbəyə bunun bir növ qalay olduğu görünə bilər, amma əslində hər şey elementar şəkildə həll olunur.

lg 2 log 2 termininə diqqətlə baxın 7. Bu barədə nə deyə bilərik? log və lg-nin əsasları və arqumentləri eynidir və bu, bəzi ipuçlarını verməlidir. Loqarifmin işarəsi altından dərəcələrin necə çıxarıldığını bir daha xatırlayaq:

log a b n = nlog a b

Başqa sözlə desək, arqumentdəki b rəqəminin gücü nə idi logun özü qarşısında faktora çevrilir. Gəlin bu düsturu lg 2 log 2 7 ifadəsinə tətbiq edək. lg 2-dən qorxma - bu, ən çox yayılmış ifadədir. Bunu belə yenidən yaza bilərsiniz:

Onun üçün hər hansı digər loqarifmə aid olan bütün qaydalar etibarlıdır. Xüsusilə, arqumentin gücünə qarşıdakı faktor daxil edilə bilər. Gəlin yazaq:

Çox vaxt tələbələr bu hərəkəti görmürlər, çünki bir log digərinin işarəsi altında daxil olmaq yaxşı deyil. Əslində bunda heç bir cinayət yoxdur. Üstəlik, vacib bir qaydanı xatırlayırsınızsa, hesablamaq asan olan bir düstur alırıq:

Bu düstur həm tərif kimi, həm də onun xüsusiyyətlərindən biri kimi qəbul edilə bilər. Hər halda, loqarifmik tənliyi çevirsəniz, bu düsturla hər hansı bir ədədin log şəklində təqdim edilməsi ilə eyni şəkildə bilməlisiniz.

Vəzifəmizə qayıdırıq. Bərabər işarənin sağındakı birinci həddin sadəcə olaraq lg 7-yə bərabər olacağını nəzərə alaraq onu yenidən yazırıq. Bizdə:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7-ni sola keçirək, əldə edirik:

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

Soldakı ifadələri çıxarırıq, çünki onlar eyni bazaya malikdirlər:

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

İndi isə əldə etdiyimiz tənliyə daha yaxından nəzər salaq. Praktik olaraq kanonik formadır, lakin sağda −3 amili var. Gəlin bunu düzgün lg arqumentinə qoyaq:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, buna görə də lg işarələrini kəsirik və arqumentləri bərabərləşdiririk:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Hamısı budur! İkinci loqarifmik tənliyi həll etdik. Bu halda heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki orijinal məsələdə x yalnız bir arqumentdə mövcud idi.

Yenidən sadalayacağam əsas məqamlar bu dərs.

Bu səhifədə loqarifmik tənliklərin həllinə həsr olunmuş bütün dərslərdə öyrənilən əsas düstur kanonik formadır. Məktəb dərsliklərinin çoxunun sizə bu cür problemləri fərqli şəkildə həll etməyin yollarını öyrətdiyinə görə ümidinizi kəsməyin. Bu alət çox səmərəli işləyir və dərsimizin əvvəlində öyrəndiyimiz ən sadə problemlərdən daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir.

Bundan əlavə, loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əsas xüsusiyyətləri bilmək faydalı olacaq. Məhz:

Bir bazaya keçmək üçün düstur və jurnalı çevirdiyimiz zaman xüsusi bir vəziyyət (bu, ilk tapşırıqda bizim üçün çox faydalı oldu);
Loqarifmin işarəsi altında səlahiyyətlərin daxil edilməsi və çıxarılması düsturu. Burada bir çox tələbələr ilişib qalır və boşluq görmürlər ki, çıxarılan və gətirilən gücün özündə log f (x) ola bilər. Bununla səhv bir şey yoxdur. Bir jurnalı digərinin işarəsinə uyğun olaraq təqdim edə bilərik və eyni zamanda problemin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə bilərik, ikinci halda müşahidə etdiyimiz budur.

Sonda əlavə etmək istərdim ki, bu halların hər birində əhatə dairəsini yoxlamaq tələb olunmur, çünki hər yerdə x dəyişəni logun yalnız bir işarəsində mövcuddur və eyni zamanda onun arqumentindədir. Nəticədə, bütün domen tələbləri avtomatik olaraq yerinə yetirilir.

Dəyişən baza ilə problemlər

Bu gün bir çox tələbələr üçün qeyri-standart görünən, tamamilə həll olunmayan loqarifmik tənlikləri nəzərdən keçirəcəyik. Söhbət rəqəmlərə deyil, dəyişənlərə və hətta funksiyalara əsaslanan ifadələrdən gedir. Bu cür konstruksiyaları standart texnikamızdan istifadə edərək, yəni kanonik forma vasitəsilə həll edəcəyik.

Başlamaq üçün, adi ədədlərə əsaslanan ən sadə məsələlərin necə həll edildiyini xatırlayaq. Beləliklə, ən sadə tikinti adlanır

log a f(x) = b

Bu cür problemləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərik:

b = log a a b

Orijinal ifadəmizi yenidən yazırıq və alırıq:

log a f(x) = log a a b

Sonra arqumentləri bərabərləşdiririk, yəni yazırıq:

f(x) = a b

Beləliklə, biz log işarəsindən xilas oluruq və adi problemi həll edirik. Bu halda məhlulda alınan köklər ilkin loqarifmik tənliyin kökləri olacaqdır. Bundan əlavə, həm sol, həm də sağ eyni əsasla eyni loqarifmdə olduqda qeyd kanonik forma adlanır. Məhz bu rekorda görə biz bugünkü tikintiləri azaltmağa çalışacağıq. Beləliklə, gedək.

Birinci tapşırıq:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1-i log x − 2 (x − 2) 1 ilə əvəz edin. Arqumentdə müşahidə etdiyimiz dərəcə, əslində, bərabər işarəsinin sağında olan b rəqəmidir. Beləliklə, ifadəmizi yenidən yazaq. Biz əldə edirik:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Biz nə görürük? Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, buna görə də arqumentləri etibarlı şəkildə bərabərləşdirə bilərik. Biz əldə edirik:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Ancaq həll yolu bununla bitmir, çünki bu tənlik ilkin tənliyə bərabər deyil. Axı, nəticədə qurulan quruluş bütün say xəttində müəyyən edilmiş funksiyalardan ibarətdir və orijinal loqarifmlərimiz hər yerdə və həmişə deyil.

Buna görə də tərif sahəsini ayrıca yazmalıyıq. Gəlin daha müdrik olmayaq və əvvəlcə bütün tələbləri yazaq:

Birincisi, loqarifmlərin hər birinin arqumenti 0-dan böyük olmalıdır:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

İkincisi, baza yalnız 0-dan böyük deyil, həm də 1-dən fərqli olmalıdır:

x − 2 ≠ 1

Nəticədə sistemi əldə edirik:

Ancaq narahat olmayın: loqarifmik tənlikləri işləyərkən belə bir sistem çox sadələşdirilə bilər.

Özünüz mühakimə edin: bir tərəfdən bizdən kvadrat funksiyanın sıfırdan böyük olması tələb olunur, digər tərəfdən isə bu kvadrat funksiya müəyyən xətti ifadəyə bərabər tutulur ki, onun da sıfırdan böyük olması tələb olunur.

Bu halda, əgər x − 2 > 0 olmasını tələb etsək, onda 2x 2 − 13x + 18 > 0 tələbi avtomatik yerinə yetiriləcək.Ona görə də tərkibində olan bərabərsizliyi təhlükəsiz şəkildə silə bilərik. kvadrat funksiya. Beləliklə, sistemimizdəki ifadələrin sayı üçə qədər azalacaq.

Əlbəttə, biz də üstündən xətt çəkə bilərik xətti bərabərsizlik, yəni x − 2 > 0-ı kəsin və 2x 2 − 13x + 18 > 0 olmasını tələb edin. Ancaq razılaşmalısınız ki, ən sadə xətti bərabərsizliyi həll etmək eyni kökləri aldığımız bu sistemdən çox daha sürətli və asandır.

Ümumiyyətlə, mümkün olduqda hesablamaları optimallaşdırmağa çalışın. Loqarifmik tənliklər vəziyyətində isə ən çətin bərabərsizlikləri kəsin.

Gəlin sistemimizi yenidən yazaq:

Budur, üç ifadədən ibarət belə bir sistemdir, onlardan ikisini, əslində, artıq başa düşmüşük. Ayrılıqda yazaq kvadrat tənlik və həll edin:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Qarşımızda azaldılmış kvadrat trinomial var və buna görə də Vyeta düsturlarından istifadə edə bilərik. Biz əldə edirik:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

İndi sistemimizə qayıdaq, görürük ki, x = 2 bizə uyğun deyil, çünki bizdən x-in 2-dən ciddi şəkildə böyük olması tələb olunur.

Ancaq x \u003d 5 bizə olduqca uyğundur: 5 rəqəmi 2-dən böyükdür və eyni zamanda 5 3-ə bərabər deyil. Buna görə də, bu sistemin yeganə həlli x \u003d 5 olacaqdır.

Hər şey, vəzifə ODZ nəzərə alınmaqla həll edilir. İkinci tənliyə keçək. Burada daha maraqlı və mənalı hesablamalar gözləyirik:

İlk addım: son dəfə olduğu kimi, biz bütün bu işi kanonik formaya gətiririk. Bunun üçün 9 rəqəmini aşağıdakı kimi yaza bilərik:

Kökü olan bazaya toxunmaq olmaz, amma arqumenti çevirmək daha yaxşıdır. Rasional göstərici ilə kökdən gücə keçək. Gəlin yazaq:

İcazə verin, bütün böyük loqarifmik tənliyimizi yenidən yazmayım, sadəcə olaraq arqumentləri bərabərləşdirək:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Bizdən əvvəl yenidən azaldılmış kvadrat trinomial var, biz Vyeta düsturlarından istifadə edəcəyik və yazacağıq:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Beləliklə, biz kökləri aldıq, lakin heç kim bizə onların orijinal loqarifmik tənliyə uyğun olacağına zəmanət vermədi. Axı, log işarələri əlavə məhdudiyyətlər qoyur (burada sistemi yazmaq məcburiyyətində qalacağıq, lakin bütün tikintinin çətinliyinə görə mən tərif sahəsini ayrıca hesablamaq qərarına gəldim).

Hər şeydən əvvəl, arqumentlərin 0-dan böyük olması lazım olduğunu unutmayın, yəni:

Bunlar tərif sahəsinin qoyduğu tələblərdir.

Dərhal qeyd edirik ki, sistemin ilk iki ifadəsini bir-birinə bərabərləşdirdiyimiz üçün onlardan hər hansı birinin üstündən xətt çəkə bilərik. Gəlin birincinin üstündən xətt çəkək, çünki ikincidən daha qorxulu görünür.

Əlavə olaraq qeyd edək ki, ikinci və üçüncü bərabərsizliklərin həlli eyni dəstlər olacaq (bəzi ədədin kubu sıfırdan böyükdür, əgər bu ədədin özü sıfırdan böyükdürsə; üçüncü dərəcənin kökü ilə eynilə - bu bərabərsizliklər tamamilə oxşardır, ona görə də onlardan birinin üstündən xətt çəkə bilərik).

Ancaq üçüncü bərabərsizliklə bu işləməyəcək. Sol tərəfdəki radikalın işarəsindən xilas olaq, bunun üçün hər iki hissəni bir kuba qaldırırıq. Biz əldə edirik:

Beləliklə, aşağıdakı tələbləri alırıq:

−2 ≠ x > −3

Köklərimizdən hansı: x 1 = -3 və ya x 2 = -1 bu tələblərə cavab verir? Aydındır ki, yalnız x = −1, çünki x = −3 birinci bərabərsizliyi təmin etmir (çünki bizim bərabərsizliyimiz sərtdir). Ümumilikdə problemimizə qayıdaraq bir kök alırıq: x = −1. Budur, problem həll olundu.

Bir daha bu tapşırığın əsas məqamları:

Kanonik formadan istifadə edərək loqarifmik tənlikləri tətbiq etməkdən və həll etməkdən çəkinməyin. İlkin məsələdən log a f (x ) = b kimi konstruksiyaya birbaşa tullanmaq əvəzinə, belə qeydi edən tələbələr çoxlu imkan verirlər. daha az səhv harasa tələsən, hesablamaların ara addımlarını atlayanlara nisbətən;
Loqarifmdə dəyişən baza görünən kimi problem ən sadə olmaqdan çıxır. Buna görə də onu həll edərkən tərif sahəsini nəzərə almaq lazımdır: arqumentlər sıfırdan böyük olmalıdır və əsaslar nəinki 0-dan böyük olmalıdır, həm də 1-ə bərabər olmamalıdır.

Yekun cavablara son tələbləri müxtəlif yollarla qoya bilərsiniz. Məsələn, bütün domen tələblərini ehtiva edən bütöv bir sistemi həll etmək mümkündür. Digər tərəfdən, əvvəlcə problemin özünü həll edə, sonra tərif sahəsi haqqında xatırlaya, onu ayrı-ayrılıqda sistem şəklində işləyə və əldə edilmiş köklərə tətbiq edə bilərsiniz.

Müəyyən bir loqarifmik tənliyi həll edərkən hansı yolu seçmək sizin ixtiyarınızdadır. Hər halda cavab eyni olacaq.

Bu gün haqqında danışacağıq loqarifm düsturları və nümayiş etdirin həll nümunələri.

Onlar öz-özlüyündə loqarifmlərin əsas xassələrinə görə həll nümunələrini nəzərdə tuturlar. Həll üçün loqarifm düsturlarını tətbiq etməzdən əvvəl sizin üçün ilk növbədə bütün xüsusiyyətləri xatırlayırıq:

İndi bu düsturlara (xüsusiyyətlərə) əsaslanaraq göstəririk loqarifmlərin həlli nümunələri.

Düsturlar əsasında loqarifmlərin həlli nümunələri.

Loqarifm müsbət rəqəm b a bazası üçün (log a b işarəsi ilə qeyd olunur) b > 0, a > 0 və 1 ilə b əldə etmək üçün a qaldırılmalı olan göstəricidir.

Tərifə görə log a b = x, a x = b ilə bərabərdir, ona görə də log a a x = x.

Loqarifmlər, misallar:

log 2 8 = 3, çünki 2 3 = 8

log 7 49 = 2 çünki 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünki 5 -1 = 1/5

Onluq loqarifm adi loqarifmdir, əsası 10. lg kimi işarələnir.

log 10 100 = 2 çünki 10 2 = 100

təbii loqarifm- həm də adi loqarifm loqarifmi, lakin artıq e bazası ilə (e \u003d 2.71828 ... - irrasional ədəd). ln kimi istinad edilir.

Loqarifmlərin düsturlarını və ya xassələrini xatırlamaq məqsədəuyğundur, çünki sonradan loqarifmləri, loqarifmik tənlikləri və bərabərsizlikləri həll edərkən onlara ehtiyacımız olacaq. Gəlin hər bir düstur üzərində nümunələrlə yenidən işləyək.

Əsas loqarifmik eynilik
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Loqarifm oluna bilən ədədin dərəcəsinin və loqarifmin əsasının xassələri
Loqarifm ədədinin göstəricisi log a b m = mlog a b

Loqarifmin əsasının göstəricisi log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

m = n olarsa, log a n b n = log a b alırıq

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Yeni bir təmələ keçid
log a b = log c b / log c a,
c = b olarsa, log b b = 1 alırıq

sonra log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüyünüz kimi, loqarifm düsturları göründüyü qədər mürəkkəb deyil. İndi loqarifmlərin həlli nümunələrini nəzərdən keçirərək, loqarifmik tənliklərə keçə bilərik. Loqarifmik tənliklərin həlli nümunələrini məqalədə daha ətraflı nəzərdən keçirəcəyik: "". Qaçırmayın!

Həll yolu ilə bağlı hələ də suallarınız varsa, onları məqalənin şərhlərində yazın.

Qeyd: seçim olaraq xaricdə başqa sinifdə təhsil almaq qərarına gəldik.

Loqarifmik ifadələr, misalların həlli. Bu yazıda loqarifmlərin həlli ilə bağlı məsələləri nəzərdən keçirəcəyik. Tapşırıqlar ifadənin qiymətini tapmaq məsələsini qoyur. Qeyd etmək lazımdır ki, loqarifm anlayışı bir çox tapşırıqlarda istifadə olunur və onun mənasını başa düşmək son dərəcə vacibdir. USE-ə gəldikdə, tənlikləri həll edərkən loqarifm istifadə olunur tətbiqi tapşırıqlar, həmçinin funksiyaların öyrənilməsi ilə bağlı tapşırıqlarda.

Loqarifmin mənasını başa düşmək üçün nümunələr:

Əsas loqarifmik eynilik:

Həmişə yadda saxlamalı olduğunuz loqarifmlərin xüsusiyyətləri:

*Məhsulun loqarifmi amillərin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.

* * *

* Hissənin (kəsirin) loqarifmi amillərin loqarifmlərinin fərqinə bərabərdir.

* * *

* Dərəcənin loqarifmi eksponentin və onun əsasının loqarifmasının hasilinə bərabərdir.

* * *

*Yeni bazaya keçid

* * *

Daha çox əmlak:

* * *

Loqarifmlərin hesablanması eksponentlərin xassələrindən istifadə etməklə sıx bağlıdır.

Onlardan bəzilərini sadalayırıq:

mahiyyəti əmlak verilmişdir odur ki, payı məxrəcə və əksinə köçürərkən göstəricinin işarəsi əks tərəfə dəyişir. Misal üçün:

Bu əmlakın nəticəsi:

* * *

Gücü bir gücə qaldırarkən, əsas eyni qalır, lakin eksponentlər vurulur.

* * *

Gördüyünüz kimi, loqarifmin özü sadədir. Əsas odur ki, müəyyən bir bacarıq verən yaxşı təcrübə lazımdır. Şübhəsiz ki, düsturları bilmək məcburidir. Elementar loqarifmləri çevirmək bacarığı formalaşmayıbsa, həll edərkən sadə tapşırıqlar səhv etmək asandır.

Təcrübə edin, əvvəlcə riyaziyyat kursundan ən sadə nümunələri həll edin, sonra daha mürəkkəb olanlara keçin. Gələcəkdə mütləq "çirkin" loqarifmlərin necə həll edildiyini göstərəcəyəm, imtahanda belələri olmayacaq, amma maraq göstərirlər, qaçırmayın!

Hamısı budur! Sənə uğurlar!

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Ədədin loqarifmi N səbəblə a eksponent adlanır X , hansı səviyyəyə qaldırmaq lazımdır a nömrəni almaq üçün N

Bir şərtlə ki
,
,

Loqarifmin tərifindən belə çıxır ki
, yəni.
- bu bərabərlik əsas loqarifmik eynilikdir.

10-cu bazaya qədər olan loqarifmlərə onluq loqarifmlər deyilir. Əvəzinə
yaz
.

əsas loqarifmlər e təbii adlanır və işarələnir
.

Loqarifmlərin əsas xassələri.

İstənilən əsas üçün vahid loqarifmi sıfırdır

Məhsulun loqarifmi amillərin loqarifmlərinin cəminə bərabərdir.

3) Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir

Amil
bazada loqarifmlərdən keçid modulu adlanır a bazasında loqarifmlərə b .

2-5 xassələrindən istifadə edərək, çox vaxt mürəkkəb ifadənin loqarifmini loqarifmlər üzərində sadə hesab əməliyyatlarının nəticəsinə endirmək mümkündür.

Misal üçün,

Loqarifmin belə çevrilmələrinə loqarifmlər deyilir. Loqarifmlərin qarşılıqlı çevrilmələri potensiasiya adlanır.

Fəsil 2. Ali riyaziyyatın elementləri.

1. Limitlər

funksiya həddi
cəhd edərkən sonlu A ədədidir xx 0 əvvəlcədən müəyyən edilmiş hər biri üçün
, nömrə var
ki, tezliklə
, sonra
.

Limiti olan funksiya ondan sonsuz kiçik məbləğlə fərqlənir:
, burada - b.m.w., yəni.
.

Misal. Funksiyanı nəzərdən keçirin
.

Çalışarkən
, funksiyası y sıfıra enir:

1.1. Limitlər haqqında əsas teoremlər.

Sabit dəyərin həddi bu sabit qiymətə bərabərdir

Sonlu sayda funksiyaların cəminin (fərqinin) həddi bu funksiyaların hədlərinin cəminə (fərqinə) bərabərdir.

Sonlu sayda funksiyanın hasilinin həddi bu funksiyaların hədlərinin hasilinə bərabərdir.

Məxrəcin həddi sıfıra bərabər deyilsə, iki funksiyanın həddi bu funksiyaların hədlərinin bölünməsinə bərabərdir.

Möhtəşəm Limitlər

,
, harada

1.2. Limitlərin hesablanması nümunələri

Lakin, bütün limitlər belə sadə hesablanmır. Daha tez-tez limitin hesablanması qeyri-müəyyənlik növünün açıqlanmasına endirilir: və ya .

2. Funksiyanın törəməsi

Qoy bir funksiyamız olsun
, seqmentdə davamlı
.

Arqument bir qədər təkan aldı
. Sonra funksiya artırılacaq
.

Arqument dəyəri funksiyanın dəyərinə uyğundur
.

Arqument dəyəri
funksiyanın dəyərinə uyğundur.

Beləliklə, .

Bu əlaqənin həddini -də tapaq
. Əgər bu hədd varsa, o zaman verilmiş funksiyanın törəməsi adlanır.

Verilmiş funksiyanın 3 törəməsinin tərifi
arqumentlə arqumentin artımı ixtiyari olaraq sıfıra meyl etdikdə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddi adlanır.

Funksiya törəməsi
aşağıdakı kimi qeyd edilə bilər:

; ; ; .

Tərif 4 Funksiyanın törəməsinin tapılması əməliyyatı adlanır fərqləndirmə.

2.1. Törəmənin mexaniki mənası.

Bəzi sərt cismin və ya maddi nöqtənin düzxətli hərəkətini nəzərdən keçirək.

Zamanın bir nöqtəsində icazə verin hərəkət nöqtəsi
məsafədə idi başlanğıc mövqeyindən
.

Bir müddət sonra
uzaqlaşdı
. Münasibət =- orta sürəti maddi nöqtə
. Bunu nəzərə alaraq bu nisbətin həddini tapaq
.

Nəticə etibarilə, maddi nöqtənin ani sürətinin təyini zamana görə yolun törəməsinin tapılmasına qədər azalır.

2.2. Törəmənin həndəsi qiyməti

Tutaq ki, qrafik olaraq müəyyən edilmiş bir funksiyamız var
.

düyü. 1. Törəmənin həndəsi mənası

Əgər a
, sonra nöqtə
, nöqtəyə yaxınlaşaraq əyri boyunca hərəkət edəcək
.

Beləliklə
, yəni. arqumentin dəyərinə görə törəmənin dəyəri ədədi olaraq oxun müsbət istiqaməti ilə verilmiş nöqtədə tangensin yaratdığı bucağın tangensinə bərabərdir.
.

2.3. Əsas fərqləndirmə düsturlarının cədvəli.

Güc funksiyası

Eksponensial funksiya

loqarifmik funksiya

triqonometrik funksiya

Tərs triqonometrik funksiya

2.4. Fərqləndirmə qaydaları.

törəməsi

Funksiyaların cəminin (fərqinin) törəməsi

İki funksiyanın hasilinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

2.5. törəməsi mürəkkəb funksiya.

Qoy funksiya olsun
kimi təmsil oluna bilsin

və
, burada dəyişən o zaman ara arqumentdir

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi verilmiş funksiyanın aralıq arqumentə görə törəməsinin x-ə münasibətdə aralıq arqumentinin törəməsi ilə hasilinə bərabərdir.

Misal 1.

Misal 2.

3. Funksiya diferensialı.

Var olsun
, bəzi intervalda diferensiallana bilir
gidelim saat bu funksiyanın törəməsi var

sonra yaza bilersiniz

(1),

harada - sonsuz kiçik miqdar,

çünki at

Bütün bərabərlik şərtlərinin (1) çarpılması
bizdə:

Harada
- b.m.v. daha yüksək sifariş.

Dəyər
funksiyanın diferensialı adlanır
və işarələnmişdir

3.1. Diferensialın həndəsi qiyməti.

Qoy funksiya olsun
.

Şəkil 2. Diferensialın həndəsi mənası.

Aydındır ki, funksiyanın diferensialı
verilmiş nöqtədə tangensin ordinatının artımına bərabərdir.

3.2. Müxtəlif sifarişli törəmələr və diferensiallar.

Varsa
, sonra
birinci törəmə adlanır.

Birinci törəmənin törəməsi ikinci dərəcəli törəmə adlanır və yazılır
.

Funksiyanın n-ci sırasının törəməsi
(n-1) sırasının törəməsi adlanır və yazılır:

Funksiyanın diferensialının diferensialına ikinci diferensial və ya ikinci dərəcəli diferensial deyilir.

.

.

3.3 Diferensiasiyadan istifadə etməklə bioloji məsələlərin həlli.

Tapşırıq 1. Tədqiqatlar mikroorqanizmlərin koloniyasının böyüməsinin qanuna tabe olduğunu göstərdi
, harada N – mikroorqanizmlərin sayı (minlərlə), t - vaxt (günlər).

b) Bu dövrdə koloniyanın əhalisi artacaq, yoxsa azalacaq?

Cavab verin. Koloniya böyüyəcək.

Tapşırıq 2. Göldəki su patogen bakteriyaların tərkibinə nəzarət etmək üçün vaxtaşırı sınaqdan keçirilir. vasitəsilə t testdən gün sonra bakteriyaların konsentrasiyası nisbətlə müəyyən edilir