Təcrübədə, funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini hesablamaq üçün törəmədən istifadə etmək olduqca yaygındır. Xərcləri minimuma endirmək, mənfəəti artırmaq, istehsala optimal yükü hesablamaq və s., yəni parametrin optimal dəyərini təyin etmək lazım olduqda bu hərəkəti həyata keçiririk. Belə məsələləri düzgün həll etmək üçün funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətinin nə olduğunu yaxşı başa düşmək lazımdır.
Adətən biz bu dəyərləri müəyyən x intervalında təyin edirik, bu da öz növbəsində funksiyanın bütün əhatə dairəsinə və ya onun bir hissəsinə uyğun gələ bilər. O, ya seqment ola bilər [ a ; b ] , və açıq interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , sonsuz interval (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) və ya sonsuz interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
Bu yazıda bir y=f(x) y = f (x) dəyişəni ilə açıq şəkildə verilmiş funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətinin necə hesablandığını təsvir edəcəyik.
Əsas təriflər
Biz həmişə olduğu kimi, əsas təriflərin tərtibi ilə başlayırıq.
Tərif 1
y = f (x) funksiyasının bəzi x intervalında ən böyük qiyməti m a x y = f (x 0) x ∈ X dəyəridir ki, istənilən x x ∈ X , x ≠ x 0 dəyəri üçün f (x) bərabərsizliyini edir. ) ≤ f (x 0) .
Tərif 2
y = f (x) funksiyasının bəzi x intervalında ən kiçik qiyməti m i n x ∈ X y = f (x 0) qiymətidir ki, istənilən x ∈ X , x ≠ x 0 qiyməti üçün f(X) bərabərsizliyini yaradır. f (x) ≥ f(x0) .
Bu təriflər kifayət qədər aydındır. Bunu demək daha sadə ola bilər: funksiyanın ən böyük dəyəri onun absis x 0-da məlum intervalda ən böyük qiymətidir, ən kiçiki isə x 0-da eyni intervalda qəbul edilən ən kiçik qiymətdir.
Tərif 3
Stasionar nöqtələr funksiya arqumentinin törəməsinin 0-a çevrildiyi qiymətlərdir.
Stasionar nöqtələrin nə olduğunu niyə bilməliyik? Bu suala cavab vermək üçün Fermat teoremini xatırlamaq lazımdır. Buradan belə nəticə çıxır ki, stasionar nöqtə diferensiallanan funksiyanın ekstremumunun yerləşdiyi nöqtədir (yəni onun yerli minimumu və ya maksimumu). Nəticə etibarilə, funksiya müəyyən intervalda ən kiçik və ya ən böyük dəyəri məhz stasionar nöqtələrdən birində alacaq.
Başqa bir funksiya, funksiyanın özünün müəyyən olduğu və birinci törəməsinin mövcud olmadığı nöqtələrdə ən böyük və ya ən kiçik qiymət ala bilər.
Bu mövzunu öyrənərkən ortaya çıxan ilk sual budur: bütün hallarda verilmiş intervalda funksiyanın maksimum və ya minimum qiymətini müəyyən edə bilərikmi? Xeyr, verilmiş intervalın sərhədləri tərif sahəsinin hüdudları ilə üst-üstə düşərsə və ya sonsuz intervalla məşğul olarkən bunu edə bilmərik. Həm də belə olur ki, verilmiş intervalda və ya sonsuzluqda funksiya sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük qiymətlər alacaq. Bu hallarda ən böyük və/və ya ən kiçik dəyəri müəyyən etmək mümkün deyil.
Qrafiklərdəki şəkildən sonra bu anlar daha aydın olacaq:
Birinci rəqəm bizə [ - 6 ; 6].
İkinci qrafikdə göstərilən işi ətraflı nəzərdən keçirək. Seqmentin qiymətini [ 1 ; 6] və biz əldə edirik ki, funksiyanın ən böyük qiyməti intervalın sağ sərhəddində absis olduğu nöqtədə, ən kiçiki isə stasionar nöqtədə əldə olunacaq.
Üçüncü şəkildə nöqtələrin absisləri seqmentin sərhəd nöqtələrini təmsil edir [ - 3 ; 2]. Onlar verilmiş funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətinə uyğundur.
İndi dördüncü şəkilə baxaq. Onda funksiya açıq intervalda (- 6 ; 6) stasionar nöqtələrdə m a x y (ən böyük qiymət) və m i n y (ən kiçik qiymət) alır.
[1] intervalını götürsək; 6) , onda onun üzərindəki funksiyanın ən kiçik qiymətinə stasionar nöqtədə çatılacağını deyə bilərik. Maksimum dəyəri bilməyəcəyik. Funksiya x = 6 intervala aid olarsa, x-də 6-ya bərabər ən böyük dəyəri ala bilər. Məhz bu vəziyyət Şəkil 5-də göstərilmişdir.
Qrafik 6-da bu funksiya intervalın sağ sərhədində ən kiçik qiyməti alır (- 3 ; 2 ] və biz ən böyük qiymət haqqında dəqiq nəticələr çıxara bilmirik.
Şəkil 7-də görürük ki, funksiya 1-ə bərabər absissə malik stasionar nöqtədə m a x y olacaqdır. Funksiya minimum dəyərinə sağ tərəfdəki interval sərhədində çatır. Mənfi sonsuzluqda funksiyanın dəyərləri asimptotik olaraq y = 3-ə yaxınlaşacaq.
x ∈ 2 intervalını götürsək; + ∞ , onda görərik ki, verilmiş funksiya onun üzərinə nə ən kiçik, nə də ən böyük qiymət almayacaq. Əgər x 2-yə meyl edirsə, onda funksiyanın dəyərləri mənfi sonsuzluğa meyl edəcək, çünki x = 2 düz xətti şaquli asimptotdur. Əgər absis üstəgəl sonsuzluğa meyllidirsə, onda funksiyanın dəyərləri asimptotik olaraq y = 3-ə yaxınlaşacaq. Bu, Şəkil 8-də göstərilən vəziyyətdir.
Bu paraqrafda müəyyən intervalda funksiyanın ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq üçün yerinə yetirilməli olan hərəkətlərin ardıcıllığını verəcəyik.
- Əvvəlcə funksiyanın oblastını tapaq. Şərtdə göstərilən seqmentin ona daxil olub-olmadığını yoxlayaq.
- İndi bu seqmentdə birinci törəmənin olmadığı nöqtələri hesablayaq. Çox vaxt onlar arqumenti modul işarəsi altında yazılmış funksiyalarda və ya eksponenti fraksiya rasional ədəd olan güc funksiyalarında tapıla bilər.
- Sonra hansı stasionar nöqtələrin verilmiş seqmentə düşdüyünü öyrənirik. Bunun üçün funksiyanın törəməsini hesablamaq, sonra onu 0-a bərabərləşdirmək və nəticədə yaranan tənliyi həll etmək, sonra isə uyğun kökləri seçmək lazımdır. Tək bir stasionar nöqtə əldə etməsək və ya onlar verilmiş seqmentə düşmürsə, növbəti mərhələyə keçirik.
- Verilmiş stasionar nöqtələrdə (əgər varsa) və ya birinci törəmənin olmadığı nöqtələrdə (əgər varsa) funksiyanın hansı dəyərləri alacağını müəyyən edək və ya x = a və x üçün dəyərləri hesablayırıq. = b .
- 5. Bizim bir sıra funksiya dəyərlərimiz var ki, indi onlardan ən böyüyü və ən kiçikini seçməliyik. Bu, tapmalı olduğumuz funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri olacaqdır.
Gəlin görək məsələləri həll edərkən bu alqoritmi necə düzgün tətbiq edək.
Misal 1
Vəziyyət: y = x 3 + 4 x 2 funksiyası verilmişdir. Onun seqmentlər üzrə ən böyük və ən kiçik qiymətini təyin edin [ 1 ; 4 ] və [ - 4 ; - bir].
Qərar:
Bu funksiyanın domenini tapmaqla başlayaq. Bu halda o, 0-dan başqa bütün real ədədlərin çoxluğu olacaq. Başqa sözlə, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞ . Şərtdə göstərilən hər iki seqment tərif sahəsinin daxilində olacaq.
İndi kəsrin diferensiasiya qaydasına uyğun olaraq funksiyanın törəməsini hesablayırıq:
y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Öyrəndik ki, funksiyanın törəməsi seqmentlərin bütün nöqtələrində mövcud olacaq [ 1 ; 4 ] və [ - 4 ; - bir].
İndi funksiyanın stasionar nöqtələrini təyin etməliyik. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 tənliyi ilə edək. Onun yalnız bir həqiqi kökü var, o da 2. O, funksiyanın stasionar nöqtəsi olacaq və birinci seqmentə düşəcək [ 1 ; 4].
Birinci seqmentin sonunda və verilmiş nöqtədə funksiyanın dəyərlərini hesablayaq, yəni. x = 1 , x = 2 və x = 4 üçün:
y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
Aldıq ki, m a x y x ∈ funksiyasının ən böyük qiyməti [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 x = 1-də əldə ediləcək və ən kiçik m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2-də.
İkinci seqmentə heç bir stasionar nöqtə daxil deyil, ona görə də funksiya dəyərlərini yalnız verilmiş seqmentin sonunda hesablamalıyıq:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Deməli, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Cavab: Seqment üçün [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , seqment üçün [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Şəkilə baxın:
Bu metodu öyrənməzdən əvvəl sizə birtərəfli həddi və sonsuzluq həddini necə düzgün hesablamağı nəzərdən keçirməyi, həmçinin onları tapmaq üçün əsas üsulları öyrənməyi məsləhət görürük. Açıq və ya sonsuz intervalda funksiyanın ən böyük və/yaxud ən kiçik qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı addımları ardıcıllıqla yerinə yetiririk.
- Əvvəlcə verilmiş intervalın verilmiş funksiyanın domeninin alt çoxluğu olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır.
- Tələb olunan intervalda olan və birinci törəmənin mövcud olmadığı bütün nöqtələri müəyyən edək. Adətən onlar arqumentin modulun işarəsinə daxil olduğu funksiyalarda və fraksiya rasional göstəricisi olan güc funksiyalarında baş verir. Bu nöqtələr yoxdursa, növbəti mərhələyə keçə bilərsiniz.
- İndi hansı stasionar nöqtələrin verilmiş intervala düşdüyünü müəyyən edirik. Əvvəlcə törəməni 0-a bərabərləşdiririk, tənliyi həll edirik və uyğun kökləri tapırıq. Tək stasionar nöqtəmiz yoxdursa və ya müəyyən edilmiş intervala düşmürsə, dərhal sonrakı hərəkətlərə davam edirik. Onlar intervalın növü ilə müəyyən edilir.
- Əgər interval [ a ; b) , onda funksiyanın x = a nöqtəsindəki qiymətini və lim x → b birtərəfli limitini hesablamalıyıq - 0 f (x) .
- Əgər interval (a ; b ] formasına malikdirsə, onda funksiyanın x = b nöqtəsindəki qiymətini və birtərəfli limit lim x → a + 0 f (x) hesablamalıyıq.
- Əgər interval (a ; b) formasına malikdirsə, onda birtərəfli hədləri hesablamalıyıq lim x → b - 0 f (x) , lim x → a + 0 f (x) .
- Əgər interval [ a ; + ∞) , onda x = a nöqtəsindəki qiyməti və plus sonsuzluq həddini hesablamaq lazımdır lim x → + ∞ f (x) .
- Əgər interval (- ∞ ; b ] kimi görünürsə, x = b nöqtəsindəki qiyməti və mənfi sonsuzluqdakı limiti lim x → - ∞ f (x) hesablayırıq.
- Əgər - ∞ ; b , onda birtərəfli həddi lim x → b - 0 f (x) və mənfi sonsuzluqdakı həddi lim x → - ∞ f (x) hesab edirik.
- Əgər - ∞ ; + ∞ , onda mənfi və üstəgəl sonsuzluğun hədlərini lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) hesab edirik.
- Sonda funksiyanın və limitlərin əldə edilmiş dəyərlərinə əsaslanaraq nəticə çıxarmaq lazımdır. Burada bir çox variant var. Deməli, əgər birtərəfli hədd mənfi sonsuzluğa və ya üstəgəl sonsuzluğa bərabərdirsə, o zaman dərhal aydın olur ki, funksiyanın ən kiçik və ən böyük qiyməti haqqında heç nə demək olmaz. Aşağıda bir tipik nümunəni nəzərdən keçirəcəyik. Ətraflı təsvirlər nəyin nə olduğunu anlamağa kömək edəcək. Lazım gələrsə, materialın birinci hissəsində 4 - 8 rəqəmlərinə qayıda bilərsiniz.
Şərt: y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 funksiyası verilmişdir. Onun ən böyük və ən kiçik qiymətini intervallarda hesablayın - ∞ ; - 4 , - ∞ ; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .
Qərar
Hər şeydən əvvəl funksiyanın oblastını tapırıq. Kəsrin məxrəci 0-a keçməməli olan kvadrat trinomialdır:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Şərtdə göstərilən bütün intervalların aid olduğu funksiyanın əhatə dairəsini əldə etdik.
İndi funksiyanı fərqləndirək və əldə edək:
y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Nəticə etibarilə, funksiyanın törəmələri onun tərifinin bütün sahəsində mövcuddur.
Gəlin stasionar nöqtələrin tapılmasına keçək. x = - 1 2 olduqda funksiyanın törəməsi 0 olur. Bu (- 3 ; 1 ] və (- 3 ; 2) intervallarında olan stasionar nöqtədir.
(- ∞ ; - 4 ] intervalı üçün x = - 4-də funksiyanın qiymətini, həmçinin mənfi sonsuzluqdakı limiti hesablayaq:
y (- 4) \u003d 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, onda m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Bu, funksiyanın ən kiçik qiymətini unikal şəkildə təyin etməyə imkan vermir. Yalnız bu nəticəyə gəlmək olar ki, - 1-dən aşağıda bir limit var, çünki funksiya bu qiymətə minus sonsuzluqda asimptotik şəkildə yaxınlaşır.
İkinci intervalın bir xüsusiyyəti ondan ibarətdir ki, onun tək stasionar nöqtəsi və tək sərt sərhədi yoxdur. Buna görə də funksiyanın nə ən böyük, nə də ən kiçik qiymətini hesablaya bilmirik. Həddini mənfi sonsuzluqda təyin etməklə və arqument sol tərəfdə - 3-ə meylləndiyi üçün biz yalnız dəyərlər diapazonunu alırıq:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Bu o deməkdir ki, funksiya dəyərləri intervalda yerləşəcək - 1 ; +∞
Üçüncü intervalda funksiyanın maksimum qiymətini tapmaq üçün x = 1 olarsa, onun x = - 1 2 stasionar nöqtəsində qiymətini təyin edirik. Arqumentin sağ tərəfdə - 3-ə meylli olduğu hal üçün birtərəfli limiti də bilməliyik:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Məlum oldu ki, funksiya stasionar m a x y x ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 nöqtəsində ən böyük qiyməti alacaq. Ən kiçik qiymətə gəlincə, biz onu müəyyən edə bilmirik. Bütün bunları biz bilirik , - 4 - dən aşağı hədd varlığıdır .
(- 3 ; 2) intervalı üçün əvvəlki hesablamanın nəticələrini götürək və sol tərəfdən 2-yə meyl edərkən birtərəfli limitin nəyə bərabər olduğunu bir daha hesablayaq:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Deməli, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 və ən kiçik qiyməti müəyyən edilə bilməz və funksiyanın qiymətləri aşağıdan - 4 rəqəmi ilə məhdudlaşır.
Əvvəlki iki hesablamada etdiklərimizə əsaslanaraq iddia edə bilərik ki, intervalda [ 1 ; 2) funksiya x = 1-də ən böyük qiyməti alacaq və ən kiçikini tapmaq mümkün deyil.
(2 ; + ∞) intervalında funksiya nə ən böyük, nə də ən kiçik qiymətə çatmayacaq, yəni. intervaldan dəyərlər alacaq - 1 ; +∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
x = 4-də funksiyanın qiymətinin nəyə bərabər olacağını hesablayaraq məlum olur ki, m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 və əlavə sonsuzluqda verilmiş funksiya asimptotik olaraq y = - 1 xəttinə yaxınlaşacaq.
Gəlin hər bir hesablamada əldə etdiyimizi verilmiş funksiyanın qrafiki ilə müqayisə edək. Şəkildə asimptotlar nöqtəli xətlərlə göstərilmişdir.
Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapmaq haqqında danışmaq istədiyimiz bütün bunlardır. Verdiyimiz hərəkətlərin ardıcıllığı sizə lazımi hesablamaları mümkün qədər tez və sadə şəkildə aparmağa kömək edəcəkdir. Ancaq unutmayın ki, əvvəlcə funksiyanın hansı intervallarda azalacağını və hansı intervallarda artacağını öyrənmək çox vaxt faydalıdır, bundan sonra əlavə nəticələr çıxarmaq olar. Beləliklə, siz funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini daha dəqiq müəyyən edə və nəticələri əsaslandıra bilərsiniz.
Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Qrafikdən istifadə edərək funksiyanı necə tədqiq edəcəyimizi görək. Belə çıxır ki, qrafikə baxaraq bizi maraqlandıran hər şeyi tapa bilərsiniz, yəni:
- funksiyanın əhatə dairəsi
- funksiya diapazonu
- funksiya sıfırlar
- artım və azalma dövrləri
- yüksək və aşağı nöqtələr
- intervalda funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti.
Terminologiyaya aydınlıq gətirək:
Absis nöqtənin üfüqi koordinatıdır.
Ordinasiya etmək- şaquli koordinat.
absis- üfüqi ox, ən çox ox adlanır.
Y oxu- şaquli ox və ya ox.
Arqument funksiyanın qiymətlərinin asılı olduğu müstəqil dəyişəndir. Ən tez-tez göstərilir.
Başqa sözlə, özümüz seçirik, funksiya düsturunda əvəz edirik və alırıq.
domen funksiyalar - funksiyanın mövcud olduğu arqumentin həmin (və yalnız həmin) dəyərlərinin çoxluğu.
İşarə olunur: və ya .
Şəkilimizdə funksiyanın oblastı seqmentdir. Məhz bu seqmentdə funksiyanın qrafiki çəkilir. Yalnız burada bu funksiya mövcuddur.
Funksiya diapazonu dəyişənin qəbul etdiyi dəyərlər toplusudur. Bizim rəqəmimizdə bu bir seqmentdir - ən aşağıdan ən yüksək dəyərə qədər.
Funksiya sıfırları- funksiyanın dəyərinin sıfıra bərabər olduğu nöqtələr, yəni. Şəkilimizdə bunlar nöqtələrdir və .
Funksiya dəyərləri müsbətdir harada. Şəkilimizdə bunlar intervallardır və .
Funksiya dəyərləri mənfidir harada. Bizdə bu interval (və ya interval) -dən.
Ən vacib anlayışlar - artan və azalan funksiyalar bəzi dəstdə. Çoxluq olaraq bir seqment, interval, intervallar birliyi və ya bütün ədəd xəttini götürə bilərsiniz.
Funksiya artır
Başqa sözlə, nə qədər çox , nə qədər çox , yəni qrafik sağa və yuxarıya doğru gedir.
Funksiya azalırçoxluqda əgər varsa və çoxluğa aid olan bərabərsizlik bərabərsizliyi nəzərdə tutur.
Azalan bir funksiya üçün daha böyük bir dəyər daha kiçik bir dəyərə uyğun gəlir. Qrafik sağa və aşağıya doğru gedir.
Şəkilimizdə funksiya intervalda artır, intervallarda isə azalır və.
Nə olduğunu müəyyən edək funksiyanın maksimum və minimum nöqtələri.
Maksimum nöqtə- bu tərif sahəsinin daxili nöqtəsidir ki, onun içindəki funksiyanın dəyəri ona kifayət qədər yaxın olan bütün nöqtələrdən böyük olsun.
Başqa sözlə, maksimum nöqtə belə bir nöqtədir, funksiyanın dəyəri daha çox qonşulara nisbətən. Bu, qrafikdə yerli “təpə”dir.
Bizim rəqəmimizdə - maksimum nöqtə.
Aşağı nöqtə- tərif sahəsinin daxili nöqtəsi, belə ki, içindəki funksiyanın dəyəri ona kifayət qədər yaxın olan bütün nöqtələrdən kiçikdir.
Yəni minimum nöqtə elədir ki, içindəki funksiyanın qiyməti qonşulardan az olsun. Qrafikdə bu, yerli “deşik” dir.
Şəkilimizdə - minimum nöqtə.
Nöqtə sərhəddir. O, tərif sahəsinin daxili nöqtəsi deyil və buna görə də maksimum nöqtənin tərifinə uyğun gəlmir. Axı onun solunda qonşusu yoxdur. Eyni şəkildə, qrafikimizdə minimum nöqtə ola bilməz.
Maksimum və minimum ballar birlikdə adlanır funksiyanın ekstremal nöqtələri. Bizim vəziyyətimizdə bu və .
Bəs tapmaq lazımdırsa, məsələn, minimum funksiya kəsik üzrə? Bu halda cavab belədir: çünki minimum funksiya minimum nöqtədə onun dəyəridir.
Eynilə, funksiyamızın maksimumu . Bu nöqtəyə çatır.
Deyə bilərik ki, funksiyanın ekstremumları və -yə bərabərdir.
Bəzən tapşırıqlarda tapmaq lazımdır funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətləri müəyyən bir seqmentdə. Onlar mütləq ifratlarla üst-üstə düşmür.
Bizim vəziyyətimizdə ən kiçik funksiya dəyəri interval üzrə funksiyanın minimumuna bərabərdir və onunla üst-üstə düşür. Lakin bu seqmentdə onun ən böyük dəyəri bərabərdir. Bu seqmentin sol ucunda çatılır.
Hər halda, bir seqmentdə davamlı funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri ya ekstremal nöqtələrdə, ya da seqmentin uclarında əldə edilir.
Bəzən B15 məsələlərində törəməni tapmaq çətin olan “pis” funksiyalar olur. Əvvəllər bu, yalnız zondlarda idi, lakin indi bu tapşırıqlar o qədər geniş yayılmışdır ki, artıq bu imtahana hazırlaşarkən onları nəzərdən qaçırmaq olmaz.
Bu vəziyyətdə digər fəndlər işləyir, onlardan biri - monoton.
Bu seqmentin hər hansı x 1 və x 2 nöqtələri üçün aşağıdakılar doğru olarsa, f (x) funksiyası seqmentdə monoton artan adlanır:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x2).
Bu seqmentin hər hansı x 1 və x 2 nöqtələri üçün aşağıdakılar doğru olarsa, f (x) funksiyası seqmentdə monoton azalan adlanır:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f( x2).
Başqa sözlə, artan funksiya üçün x nə qədər böyükdürsə, f(x) də o qədər böyükdür. Azalan funksiya üçün bunun əksi doğrudur: x nə qədər çox olarsa daha kiçik f(x).
Məsələn, əsas a > 1 olduqda loqarifm monoton şəkildə artır və 0 olarsa monoton şəkildə azalır.< a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Arifmetik kvadrat (və təkcə kvadrat deyil) kök bütün tərif sahəsi üzərində monoton şəkildə artır:
Eksponensial funksiya loqarifmə oxşar şəkildə davranır: a > 1 olduqda artır və 0 üçün azalır.< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Nəhayət, mənfi eksponentli dərəcələr. Onları kəsr kimi yaza bilərsiniz. Onların monotonluğun pozulduğu bir qırılma nöqtəsi var.
Bütün bu funksiyalar heç vaxt təmiz formada tapılmır. Onlara polinomlar, fraksiyalar və digər cəfəngiyyatlar əlavə olunur, buna görə törəməni hesablamaq çətinləşir. Bu vəziyyətdə nə baş verir - indi təhlil edəcəyik.
Parabolanın təpə koordinatları
Çox vaxt funksiya arqumenti ilə əvəz olunur kvadrat trinomial y = ax 2 + bx + c şəklindədir. Onun qrafiki bizi maraqlandıran standart paraboladır:
- Parabola budaqları - yuxarı (a > 0 üçün) və ya aşağı (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Parabolanın təpəsi kvadratik funksiyanın ekstremum nöqtəsidir, burada bu funksiya ən kiçik (a > 0 üçün) və ya ən böyük (a) alır.< 0) значение.
Ən çox maraq doğurur parabolanın üstü, onun absisi düsturla hesablanır:
Beləliklə, kvadrat funksiyanın ekstremum nöqtəsini tapdıq. Lakin orijinal funksiya monotondursa, onun üçün x 0 nöqtəsi də ekstremum nöqtə olacaqdır. Beləliklə, əsas qaydanı formalaşdırırıq:
Kvadrat trinomialın ekstremum nöqtələri və onun daxil olduğu kompleks funksiya üst-üstə düşür. Buna görə də, kvadrat trinomial üçün x 0 axtara və funksiyanı unuda bilərsiniz.
Yuxarıdakı əsaslandırmadan, hansı nöqtəni əldə etdiyimiz qeyri-müəyyən olaraq qalır: maksimum və ya minimum. Bununla belə, tapşırıqlar xüsusi olaraq hazırlanmışdır ki, əhəmiyyəti yoxdur. Özünüz mühakimə edin:
- Problemin vəziyyətində heç bir seqment yoxdur. Buna görə də f(a) və f(b)-nin hesablanması tələb olunmur. Yalnız ekstremal nöqtələri nəzərə almaq qalır;
- Ancaq belə bir nöqtə var - bu, x 0 parabolunun yuxarı hissəsidir, koordinatları hərfi mənada şifahi olaraq və heç bir törəmə olmadan hesablanır.
Beləliklə, problemin həlli çox sadələşdirilmiş və yalnız iki addıma endirilmişdir:
- y = ax 2 + bx + c parabola tənliyini yazın və düsturdan istifadə edərək onun təpəsini tapın: x 0 = −b /2a;
- Bu nöqtədə orijinal funksiyanın qiymətini tapın: f (x 0). Əlavə şərtlər olmasa, bu cavab olacaq.
İlk baxışdan bu alqoritm və onun əsaslandırılması mürəkkəb görünə bilər. Mən qəsdən "çılpaq" bir həll sxemi dərc etmirəm, çünki bu cür qaydaların düşünmədən tətbiqi səhvlərlə doludur.
Riyaziyyatdan sınaq imtahanından real tapşırıqları nəzərdən keçirin - bu texnikanın ən çox yayıldığı yer budur. Eyni zamanda, əmin olacağıq ki, bu şəkildə B15-in bir çox problemləri demək olar ki, şifahi olur.
Kökün altında y \u003d x 2 + 6x + 13 kvadratik funksiya var. Bu funksiyanın qrafiki budaqları yuxarı olan paraboladır, çünki əmsalı a \u003d 1\u003e 0-dır.
Parabolanın üstü:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -6 / (2 1) \u003d -6 / 2 \u003d -3
Parabolanın budaqları yuxarıya doğru yönəldildiyi üçün x 0 \u003d −3 nöqtəsində y \u003d x 2 + 6x + 13 funksiyası ən kiçik dəyəri alır.
Kök monoton şəkildə artır, ona görə də x 0 bütün funksiyanın minimum nöqtəsidir. Bizdə:
Tapşırıq. Funksiyanın ən kiçik qiymətini tapın:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Loqarifmin altında yenə kvadrat funksiya var: y \u003d x 2 + 2x + 9. Qrafik budaqları yuxarı olan paraboladır, çünki a = 1 > 0.
Parabolanın üstü:
x 0 \u003d -b / (2a) \u003d -2 / (2 1) \u003d -2/2 \u003d -1
Deməli, x 0 = −1 nöqtəsində kvadratik funksiya ən kiçik qiyməti alır. Lakin y = log 2 x funksiyası monotondur, ona görə də:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Göstərici y = 1 − 4x − x 2 kvadratik funksiyadır. Onu normal formada yenidən yazaq: y = −x 2 − 4x + 1.
Aydındır ki, bu funksiyanın qrafiki paraboladır, aşağı budaqlanır (a = -1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 (−1)) = 4/(−2) = −2
Orijinal funksiya eksponensialdır, monotondur, ona görə də ən böyük dəyər tapılan x 0 = −2 nöqtəsində olacaq:
Diqqətli oxucu, şübhəsiz ki, kök və loqarifmin icazə verilən dəyərlərinin sahəsini yazmadığımızı görəcəkdir. Ancaq bu tələb olunmadı: içəridə dəyərləri həmişə müsbət olan funksiyalar var.
Funksiya çərçivəsindən nəticələr
Bəzən B15 məsələsini həll etmək üçün sadəcə parabolanın təpəsini tapmaq kifayət etmir. İstədiyiniz dəyər yalan ola bilər seqmentin sonunda, lakin ekstremal nöqtədə deyil. Tapşırıqda ümumiyyətlə seqment göstərilmirsə, baxın tolerantlıq diapazonu orijinal funksiya. Məhz:
Bir daha diqqət yetirin: sıfır kökün altında ola bilər, lakin heç vaxt kəsrin loqarifmində və ya məxrəcində olmamalıdır. Bunun konkret nümunələrlə necə işlədiyini görək:
Tapşırıq. Funksiyanın ən böyük dəyərini tapın:
Kök altında yenə kvadrat funksiya var: y \u003d 3 - 2x - x 2. Onun qrafiki paraboladır, lakin a = −1 olduğundan aşağı budaqlanır< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.
İcazə verilən dəyərlərin sahəsini (ODZ) yazırıq:
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; bir]
İndi parabolanın təpəsini tapın:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 (−1)) = 2/(−2) = −1
X 0 = −1 nöqtəsi ODZ seqmentinə aiddir və bu yaxşıdır. İndi funksiyanın x 0 nöqtəsində, eləcə də ODZ-nin uclarında dəyərini nəzərdən keçiririk:
y(−3) = y(1) = 0
Beləliklə, biz 2 və 0 rəqəmlərini aldıq. Bizdən ən böyüyü tapmaq tələb olunur - bu, 2 rəqəmidir.
Tapşırıq. Funksiyanın ən kiçik qiymətini tapın:
y = log 0,5 (6x - x 2 - 5)
Loqarifmin içərisində y \u003d 6x - x 2 - 5 kvadrat funksiyası var. Bu, budaqları aşağı olan paraboladır, lakin loqarifmda mənfi ədədlər ola bilməz, ona görə də ODZ-ni yazırıq:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Diqqət yetirin: bərabərsizlik ciddidir, buna görə də uclar ODZ-yə aid deyil. Beləliklə, loqarifm kökdən fərqlənir, burada seqmentin ucları bizə kifayət qədər uyğun gəlir.
Parabolanın təpəsini axtarırıq:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 (−1)) = −6/(−2) = 3
Parabolanın yuxarı hissəsi ODZ boyunca uyğun gəlir: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Lakin seqmentin ucları bizi maraqlandırmadığı üçün funksiyanın qiymətini yalnız x 0 nöqtəsində hesab edirik:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
\(\blacktrianglerright\) \(\) seqmentində funksiyanın ən böyük/kiçik qiymətini tapmaq üçün bu seqmentdə funksiyanın qrafikini sxematik şəkildə təsvir etmək lazımdır.
Bu altmövzudan olan məsələlərdə bunu törəmədən istifadə etməklə etmək olar: artım (\(f">0\) ) və azalma (\(f") intervallarını tapın.<0\)
) функции, критические точки (где \(f"=0\)
или \(f"\)
не существует).
\(\blacktrianglerright\) Unutmayın ki, funksiya təkcə \(\) seqmentinin daxili nöqtələrində deyil, həm də onun uclarında maksimum/ən kiçik qiymət ala bilər.
\(\blacktrianglerright\) Funksiyanın ən böyük/kiçik qiyməti \(y=f(x)\) koordinatının qiymətidir.
\(\blacktrianglerright\) \(f(t(x))\) mürəkkəb funksiyasının törəməsi qaydaya uyğun olaraq axtarılır: \[(\Böyük(f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)))\]
\[\begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funksiya ) f(x) & \text(Törəmə ) f"(x)\\ \hline \textbf(1) & c & 0\\&&\\ \textbf(2) & x^a & a\cdot x^(a-1)\\&&\\ \textbf(3) & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \ textbf(4) & \log_ax & \dfrac1(x\cdot \ln a)\\&&\\ \textbf(5) & e^x & e^x\\&&\\ \textbf(6) & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf(7) & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf(8) & \cos x & -\sin x\\ \hline \end(massiv) \quad \quad \quad \quad \begin(massiv)(|r|c|c|) \hline & \text(Funksiya ) f(x) & \text(Törəmə ) f"(x) \\ \hline \textbf(9) & \mathrm(tg)\, x & \dfrac1(\cos^2 x)\\&&\\ \textbf(10) & \mathrm(ctg)\, x & -\ ,\dfrac1(\sin^2 x)\\&&\\ \textbf(11) & \arcsin x & \dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(12) & \ arccos x & -\,\dfrac1(\sqrt(1-x^2))\\&&\\ \textbf(13) & \mathrm(arctg)\, x & \dfrac1(1+x^2)\\ &&\\ \textbf(14) & \mathrm(arcctg)\, x & -\,\dfrac1(1+x^2)\\ \hline \end(massiv)\]
Tapşırıq 1 №2357
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
\([-10; -2]\) intervalında \(y = e^(x^2 - 4)\) funksiyasının ən kiçik qiymətini tapın.
ODZ: \(x\) - ixtiyari.
1) \
\ Beləliklə, \(y" = 0\) \(x = 0\) olduqda.
3) Nəzərdən keçirilən seqmentdə \([-10; -2]\) sabit işarəli \(y"\) intervallarını tapaq:
4) \([-10; -2]\) seqmentində qrafikin eskizi:
Beləliklə, funksiya ən kiçik dəyərinə \([-10; -2]\) üzərində \(x = -2\) nöqtəsində çatır.
\ Cəmi: \(1\) \([-10; -2]\) üzərində \(y\) funksiyasının ən kiçik qiymətidir.
Cavab: 1
Tapşırıq 2 №2355
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
\(y = \sqrt(2)\cdot\sqrt(x^2 + 1)\) seqmentdə \([-1; 1]\) .
ODZ: \(x\) - ixtiyari.
1) \
Gəlin kritik nöqtələri (yəni törəməsi \(0\)-a bərabər olan və ya mövcud olmayan funksiyanın oblastının daxili nöqtələrini tapaq): \[\sqrt(2)\cdot\dfrac(x)(\sqrt(x^2 + 1)) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Törəmə istənilən \(x\) üçün mövcuddur.
2) \(y"\) işarəsinin daimi intervallarını tapın:
3) Nəzərə alınan seqmentdə \([-1; 1]\) sabit işarəli \(y"\) intervallarını tapaq:
4) \([-1; 1]\) seqmentində qrafikin eskizi:
Beləliklə, funksiya \(x = -1\) və ya \(x = 1\) -də \([-1; 1]\) üzərində maksimum dəyərinə çatır. Bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətlərini müqayisə edək.
\ Cəmi: \(2\) \([-1; 1]\) üzərindəki \(y\) funksiyasının ən böyük qiymətidir.
Cavab: 2
Tapşırıq 3 №2356
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
\(\) intervalında \(y = \cos 2x\) funksiyasının ən kiçik qiymətini tapın.
ODZ: \(x\) - ixtiyari.
1) \
Gəlin kritik nöqtələri (yəni törəməsi \(0\)-a bərabər olan və ya mövcud olmayan funksiyanın oblastının daxili nöqtələrini tapaq): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb(Z)\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac(\pi n)(2), n\in\mathbb(Z)\,.\] Törəmə istənilən \(x\) üçün mövcuddur.
2) \(y"\) işarəsinin daimi intervallarını tapın:
(burada törəmənin işarələrinin bir-birini əvəz etdiyi sonsuz sayda boşluqlar var).
3) Nəzərə alınan \(\) seqmentində \(y"\) sabitlik intervallarını tapaq:
4) \(\) seqmentindəki qrafikin eskizi:
Beləliklə, funksiya ən kiçik dəyərinə \(\) üzərində \(x = \dfrac(\pi)(2)\) nöqtəsində çatır.
\ Cəmi: \(-1\) \(\) üzərində \(y\) funksiyasının ən kiçik qiymətidir.
Cavab: -1
Tapşırıq 4 №915
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
Funksiyanın ən böyük qiymətini tapın
\(y = -\log_(17)(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2)\).
ODZ: \(2x^2 - 2\sqrt(2)x + 2 > 0\) . ODZ haqqında qərar verək:
1) \(2x^2-2\sqrt(2)x+2=t(x)\) , sonra \(y(t)=-\log_(17)t\) işarələyin.
Gəlin kritik nöqtələri (yəni törəməsi \(0\)-a bərabər olan və ya mövcud olmayan funksiyanın oblastının daxili nöqtələrini tapaq): \[-\dfrac(1)(\ln 17)\cdot\dfrac(4x-2\sqrt(2))(2x^2-2\sqrt(2)x+2) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt(2) = 0\]– ODZ-də kökü tapdığımız yerdən \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) . \(2x^2-2\sqrt(2)x+2 = 0\) üçün \(y\) funksiyasının törəməsi mövcud deyil, lakin bu tənliyin mənfi diskriminantı var, ona görə də onun həlli yoxdur. Funksiyanın ən böyük/ən kiçik qiymətini tapmaq üçün onun qrafikinin sxematik olaraq necə göründüyünü başa düşməlisiniz.
2) \(y"\) işarəsinin daimi intervallarını tapın:
3) Qrafik eskiz:
Beləliklə, funksiya \(x = \dfrac(\sqrt(2))(2)\) nöqtəsində maksimum dəyərinə çatır:
\(y\left(\dfrac(\sqrt(2))(2)\sağ) = -\log_(17)1 = 0\),
Cəmi: \(0\) \(y\) funksiyasının ən böyük dəyəridir.
Cavab: 0
Tapşırıq 5 № 2344
Tapşırıq səviyyəsi: Vahid Dövlət İmtahanına bərabərdir
Funksiyanın ən kiçik qiymətini tapın
\(y = \log_(3)(x^2 + 8x + 19)\).
ODZ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . ODZ haqqında qərar verək:
1) \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , sonra \(y(t)=\log_(3)t\) işarələyin.
Gəlin kritik nöqtələri (yəni törəməsi \(0\)-a bərabər olan və ya mövcud olmayan funksiyanın oblastının daxili nöqtələrini tapaq): \[\dfrac(1)(\ln 3)\cdot\dfrac(2x+8)(x^2 + 8x + 19) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\]- ODZ-də, kökü tapdığımız yerdən \ (x \u003d -4 \) . \(y\) funksiyasının törəməsi \(x^2 + 8x + 19 = 0\) üçün mövcud deyil, lakin bu tənliyin mənfi diskriminantı var, ona görə də onun həlli yoxdur. Funksiyanın ən böyük/ən kiçik qiymətini tapmaq üçün onun qrafikinin sxematik olaraq necə göründüyünü başa düşməlisiniz.
2) \(y"\) işarəsinin daimi intervallarını tapın:
3) Qrafik eskiz:
Beləliklə, \(x = -4\) \(y\) funksiyasının minimum nöqtəsidir və onda ən kiçik qiymətə çatılır:
\(y(-4) = \log_(3)3 = 1\) .
Cəmi: \(1\) \(y\) funksiyasının ən kiçik qiymətidir.
Cavab: 1
Tapşırıq 6 №917
Tapşırıq səviyyəsi: İmtahandan daha çətindir
Funksiyanın ən böyük qiymətini tapın
\(y = -e^((x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2))\).
Praktik nöqteyi-nəzərdən ən maraqlısı funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapmaq üçün törəmənin istifadəsidir. Nə ilə bağlıdır? Mənfəəti maksimuma çatdırmaq, xərcləri minimuma endirmək, avadanlıqların optimal yüklənməsini müəyyən etmək... Başqa sözlə, həyatın bir çox sahələrində bəzi parametrlərin optimallaşdırılması problemini həll etmək lazımdır. Və bu, funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq problemidir.
Qeyd etmək lazımdır ki, funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti adətən hansısa X intervalında axtarılır ki, bu da ya funksiyanın bütün sahəsi, ya da oblastın bir hissəsidir. X intervalının özü xətt seqmenti, açıq interval ola bilər 
, sonsuz interval.
Bu yazıda y=f(x) dəyişəninin açıq şəkildə verilmiş funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq haqqında danışacağıq.
Səhifə naviqasiyası.
Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti - təriflər, təsvirlər.
Əsas təriflər üzərində qısaca dayanaq.
Funksiyanın ən böyük dəyəri 
, hər hansı bir üçün 
bərabərsizlik doğrudur.
Funksiyanın ən kiçik dəyəri X intervalında y=f(x) belə qiymət adlanır 
, hər hansı bir üçün bərabərsizlik doğrudur.
Bu təriflər intuitivdir: funksiyanın ən böyük (ən kiçik) qiyməti absis ilə nəzərdən keçirilən intervalda qəbul edilən ən böyük (ən kiçik) qiymətdir.
Stasionar nöqtələr funksiyanın törəməsinin itdiyi arqumentin qiymətləridir.
Ən böyük və ən kiçik dəyərləri taparkən stasionar nöqtələrə niyə ehtiyacımız var? Bu sualın cavabı Fermat teoremi ilə verilir. Bu teoremdən belə nəticə çıxır ki, əgər diferensiallanan funksiya hansısa nöqtədə ekstremuma (lokal minimum və ya lokal maksimum) malikdirsə, bu nöqtə stasionardır. Beləliklə, funksiya çox vaxt bu intervaldan stasionar nöqtələrdən birində X intervalında ən böyük (ən kiçik) qiymətini alır.
Həmçinin, funksiya tez-tez bu funksiyanın ilk törəməsinin mövcud olmadığı və funksiyanın özünün müəyyən edildiyi nöqtələrdə ən böyük və ən kiçik dəyərləri qəbul edə bilər.
Bu mövzuda ən çox yayılmış suallardan birinə dərhal cavab verək: "Funksiyanın ən böyük (ən kiçik) qiymətini təyin etmək həmişə mümkündürmü"? Xeyr həmişə deyil. Bəzən X intervalının sərhədləri funksiyanın oblastının sərhədləri ilə üst-üstə düşür və ya X intervalı sonsuz olur. Sonsuzluqda və tərif sahəsinin sərhədlərində olan bəzi funksiyalar həm sonsuz böyük, həm də sonsuz kiçik qiymətlər ala bilər. Bu hallarda funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti haqqında heç nə demək olmaz.
Aydınlıq üçün qrafik təsviri veririk. Şəkillərə baxın - və çox şey aydın olacaq.
Seqmentdə
Birinci şəkildə funksiya seqment daxilində stasionar nöqtələrdə ən böyük (max y ) və ən kiçik (min y ) qiymətləri alır [-6;6] .
İkinci şəkildə göstərilən işi nəzərdən keçirək. Seqmenti olaraq dəyişdirin. Bu misalda funksiyanın ən kiçik dəyəri stasionar nöqtədə, ən böyüyü isə intervalın sağ sərhəddinə uyğun gələn absis ilə nöqtədə əldə edilir.
Şəkil 3-də [-3; 2] seqmentinin sərhəd nöqtələri funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətinə uyğun gələn nöqtələrin absisləridir.
Açıq diapazonda
Dördüncü şəkildə, funksiya açıq intervalda (-6;6) stasionar nöqtələrdə ən böyük (max y ) və ən kiçik (min y ) dəyərləri alır.
İntervalda ən böyük dəyər haqqında heç bir nəticə çıxarmaq olmaz.
Sonsuzluqda
Yeddinci şəkildə göstərilən misalda funksiya absis x=1 olan stasionar nöqtədə ən böyük qiyməti (max y ) alır və ən kiçik qiymətə (min y ) intervalın sağ sərhəddində çatır. Mənfi sonsuzluqda funksiyanın qiymətləri asimptotik şəkildə y=3-ə yaxınlaşır.
İntervalda funksiya nə ən kiçik, nə də ən böyük qiymətə çatmır. x=2 sağa meyl etdiyi üçün funksiya dəyərləri mənfi sonsuzluğa meyllidir (x=2 düz xətt şaquli asimptotdur) və absis üstəgəl sonsuzluğa meylləndiyi üçün funksiya dəyərləri asimptotik olaraq y=3-ə yaxınlaşır. . Bu nümunənin qrafik təsviri Şəkil 8-də göstərilmişdir.
Seqmentdə fasiləsiz funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq üçün alqoritm.
Biz seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapmağa imkan verən alqoritm yazırıq.
- Biz funksiyanın domenini tapırıq və onun bütün seqmenti ehtiva edib-etmədiyini yoxlayırıq.
- Birinci törəmənin olmadığı və seqmentdə olan bütün nöqtələri tapırıq (adətən belə nöqtələr modul işarəsi altında arqumenti olan funksiyalarda və fraksiya-rasional eksponentli güc funksiyalarında olur). Belə nöqtələr yoxdursa, növbəti nöqtəyə keçin.
- Seqmentə düşən bütün stasionar nöqtələri təyin edirik. Bunun üçün onu sıfıra bərabərləşdiririk, yaranan tənliyi həll edirik və uyğun kökləri seçirik. Heç bir stasionar nöqtə yoxdursa və ya heç biri seqmentə düşmürsə, növbəti mərhələyə keçin.
- Seçilmiş stasionar nöqtələrdə (əgər varsa), birinci törəmənin olmadığı nöqtələrdə (əgər varsa) və həmçinin x=a və x=b-də funksiyanın dəyərlərini hesablayırıq.
- Funksiyanın əldə edilən dəyərlərindən ən böyüyü və ən kiçikini seçirik - onlar müvafiq olaraq funksiyanın istənilən maksimum və ən kiçik dəyərləri olacaqdır.
Seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq üçün nümunə həll edərkən alqoritmi təhlil edək.
Misal.
Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın
- seqmentdə;
- [-4;-1] intervalında.
Qərar.
Funksiya sahəsi sıfırdan başqa bütün həqiqi ədədlər toplusudur, yəni . Hər iki seqment tərif sahəsinə düşür.
Funksiyanın törəməsini tapırıq: 
Aydındır ki, funksiyanın törəməsi seqmentlərin bütün nöqtələrində mövcuddur və [-4;-1] .
Sabit nöqtələr tənlikdən müəyyən edilir. Yeganə həqiqi kök x=2-dir. Bu stasionar nöqtə birinci seqmentə düşür.
Birinci halda, funksiyanın seqmentin uclarında və stasionar nöqtədə, yəni x=1, x=2 və x=4 üçün qiymətlərini hesablayırıq: 
Buna görə də funksiyanın ən böyük dəyəri 
x=1 və ən kiçik qiymətə çatır 
– x=2-də.
İkinci halda, funksiyanın dəyərlərini yalnız [-4;-1] seqmentinin uclarında hesablayırıq (çünki heç bir stasionar nöqtə yoxdur): 
Qərar.
Gəlin funksiyanın əhatə dairəsindən başlayaq. Kəsrin məxrəcindəki kvadrat üçbucaq itməməlidir: 
Problemin şərtindən bütün intervalların funksiyanın oblastına aid olduğunu yoxlamaq asandır.
Funksiyanı fərqləndirək: 
Aydındır ki, törəmə funksiyanın bütün sahəsində mövcuddur.
Stasionar nöqtələri tapaq. Törəmə -də yox olur. Bu stasionar nöqtə (-3;1] və (-3;2) intervallarına düşür.
İndi isə hər bir nöqtədə alınan nəticələri funksiyanın qrafiki ilə müqayisə edə bilərsiniz. Mavi nöqtəli xətlər asimptotları göstərir.
Bu, funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapmaqla bitə bilər. Bu məqalədə müzakirə olunan alqoritmlər minimum hərəkətlərlə nəticə əldə etməyə imkan verir. Bununla belə, əvvəlcə funksiyanın artım və azalma intervallarını müəyyən etmək və yalnız bundan sonra istənilən intervalda funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti haqqında nəticə çıxarmaq faydalı ola bilər. Bu, daha aydın şəkil və nəticələrin ciddi əsaslandırılmasını təmin edir.
