Eyni əsaslı loqarifmlər. Tənliklər və bərabərsizliklər. Loqarifm nədir

Müsbət b ədədinin a (a>0, a 1-ə bərabər deyil) əsası üçün loqarifmi elə c ədədidir ki, a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b) > 0)       

Qeyd edək ki, qeyri-müsbət ədədin loqarifmi müəyyən edilməyib. Bundan əlavə, loqarifmin əsası olmalıdır müsbət rəqəm, bu 1-ə bərabər deyil. Məsələn, -2-nin kvadratı olsaq, 4 rəqəmini alırıq, lakin bu, 4-ün əsas -2 loqarifminin 2 olması demək deyil.

Əsas loqarifmik eynilik

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bu formulun sağ və sol hissələrinin tərif sahələrinin fərqli olması vacibdir. Sol tərəf yalnız b>0, a>0 və a ≠ 1 üçün müəyyən edilir. Sağ tərəf hər hansı b üçün müəyyən edilir və ümumiyyətlə a-dan asılı deyil. Beləliklə, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində əsas loqarifmik "eyniliyin" tətbiqi DPV-nin dəyişməsinə səbəb ola bilər.

Loqarifmin tərifinin iki aşkar nəticəsi

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doğrudan da, a rəqəmini birinci dərəcəyə qaldıranda eyni rəqəmi, sıfır dərəcəsinə qaldırdıqda isə bir ədəd alırıq.

Məhsulun loqarifmi və hissənin loqarifmi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Mən məktəbliləri loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı bu düsturlardan düşünmədən istifadə etmələrinə qarşı xəbərdarlıq etmək istərdim. Onlardan "soldan sağa" istifadə edildikdə, ODZ daralır, loqarifmlərin cəmi və ya fərqindən məhsulun və ya hissənin loqarifminə keçdikdə, ODZ genişlənir.

Həqiqətən də log a (f (x) g (x)) ifadəsi iki halda müəyyən edilir: hər iki funksiya ciddi müsbət olduqda və ya f(x) və g(x) hər ikisi sıfırdan kiçik olduqda.

Bu ifadəni log a f (x) + log a g (x) cəminə çevirərək, özümüzü yalnız f(x)>0 və g(x)>0 olduğu halda məhdudlaşdırmağa məcbur oluruq. Ərazinin daralması var icazə verilən dəyərlər, və bu, qəti şəkildə qəbuledilməzdir, çünki bu, həllərin itirilməsinə səbəb ola bilər. Düstur (6) üçün də oxşar problem mövcuddur.

Dərəcə loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Və yenə də dəqiqliyə çağırmaq istərdim. Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Bərabərliyin sol tərəfi sıfırdan başqa f(x)-in bütün qiymətləri üçün açıq şəkildə müəyyən edilmişdir. Sağ tərəf yalnız f(x)>0 üçündür! Gücü logarifmadan çıxararaq, ODZ-ni yenidən daraldırıq. Əks prosedur icazə verilən dəyərlər diapazonunun genişlənməsinə gətirib çıxarır. Bütün bu qeydlər təkcə 2-nin gücünə deyil, həm də istənilən bərabər gücə aiddir.

Yeni bazaya keçmək üçün formula

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Dönüşüm zamanı ODZ-nin dəyişmədiyi nadir haldır. Əgər siz c əsasını ağıllı seçmisinizsə (müsbət və 1-ə bərabər deyil), yeni bazaya keçmək üçün formula tamamilə təhlükəsizdir.

Yeni c əsası kimi b ədədini seçsək, vacib alarıq xüsusi hal düsturlar (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Loqarifmlərlə bəzi sadə nümunələr

Misal 1 Hesablayın: lg2 + lg50.
Qərar. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Loqarifmlərin cəminin (5) düsturundan və onluq loqarifmin tərifindən istifadə etdik.

Misal 2 Hesablayın: lg125/lg5.
Qərar. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Biz yeni baza keçid düsturundan (8) istifadə etdik.

Loqarifmlərə aid düsturlar cədvəli

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^(b)=c\) \(\Sol sağ ox\) \(\log_(a)(c)=b\)

Daha asan izah edək. Məsələn, \(\log_(2)(8)\) gücə bərabərdir \(2\) \(8\) almaq üçün qaldırılmalıdır. Buradan aydın olur ki, \(\log_(2)(8)=3\).

Nümunələr:		\(\log_(5)(25)=2\)		çünki \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		çünki \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		çünki \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Loqarifmin arqumenti və əsası

İstənilən loqarifm aşağıdakı "anatomiyaya" malikdir:

Loqarifmin arqumenti adətən onun səviyyəsində yazılır, baza isə loqarifmin işarəsinə daha yaxın olan alt yazı ilə yazılır. Və bu giriş belə oxunur: "iyirmi beşdən beşin əsasına loqarifm".

Loqarifmi necə hesablamaq olar?

Loqarifmi hesablamaq üçün suala cavab verməlisiniz: arqumenti əldə etmək üçün baza hansı dərəcədə qaldırılmalıdır?

misal üçün, loqarifmi hesablayın: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) almaq üçün \(4\) hansı qüvvəyə yüksəldilməlidir? Aydındır ki, ikinci. Belə ki:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) almaq üçün \(\sqrt(5)\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Və hansı dərəcə istənilən ədədi vahid edir? Sıfır, əlbəttə!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) almaq üçün \(\sqrt(7)\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Birincidə - birinci dərəcəli hər hansı bir ədəd özünə bərabərdir.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) almaq üçün \(3\) hansı gücə qaldırılmalıdır? Biz bilirik ki, kəsr gücüdür, yəni Kvadrat kök dərəcədir \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Misal : \(\log_(4\sqrt(2))(8)\) loqarifmini hesablayın

Qərar :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Loqarifmin qiymətini tapmalıyıq, onu x kimi işarə edək. İndi loqarifmin tərifindən istifadə edək: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Sol sağ ox\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) və \(8\) hansı əlaqələndirir? İki, çünki hər iki ədəd iki ilə təmsil oluna bilər: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Solda dərəcə xüsusiyyətlərindən istifadə edirik: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) və \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Əsaslar bərabərdir, biz göstəricilərin bərabərliyinə keçirik
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Tənliyin hər iki tərəfini \(\frac(2)(5)\) ilə vurun
		Nəticədə kök loqarifmin dəyəridir

Cavab verin : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Loqarifm niyə icad edildi?

Bunu başa düşmək üçün tənliyi həll edək: \(3^(x)=9\). Bərabərliyin işləməsi üçün sadəcə \(x\) ilə uyğunlaşdırın. Əlbəttə, \(x=2\).

İndi tənliyi həll edin: \(3^(x)=8\) x nəyə bərabərdir? Məsələ bundadır.

Ən dahiyanə deyəcək: “X ikidən bir az azdır”. Bu rəqəm tam olaraq necə yazılmalıdır? Bu suala cavab vermək üçün loqarifmə gəldilər. Onun sayəsində burada cavab \(x=\log_(3)(8)\) kimi yazıla bilər.

Mən vurğulamaq istəyirəm ki, \(\log_(3)(8)\), eləcə də istənilən loqarifm sadəcə bir ədəddir. Bəli, qeyri-adi görünür, amma qısadır. Çünki formada yazmaq istəsəydik onluq kəsr, onda belə görünəcək: \(1.892789260714.....\)

Misal : \(4^(5x-4)=10\) tənliyini həll edin

Qərar :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) və \(10\) eyni bazaya endirilə bilməz. Beləliklə, burada logarifm olmadan edə bilməzsiniz. Loqarifmin tərifindən istifadə edək: \(a^(b)=c\) \(\Sol sağ ox\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Tənliyi çevirin ki, x solda olsun
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Bizdən əvvəl. \(4\) sağa köçürün. Və loqarifmadan qorxmayın, ona adi bir rəqəm kimi yanaşın.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Tənliyi 5-ə bölün
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Budur bizim kökümüz. Bəli, qeyri-adi görünür, amma cavab seçilmir.

Cavab verin : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Onluq və natural loqarifmlər

Loqarifmin tərifində deyildiyi kimi, onun əsası bir \((a>0, a\neq1)\) istisna olmaqla istənilən müsbət ədəd ola bilər. Bütün mümkün əsaslar arasında o qədər tez-tez baş verən ikisi var ki, onlarla loqarifmlər üçün xüsusi qısa notasiya icad edilmişdir:

Natural loqarifm: bazası Eyler ədədi \(e\) (təxminən \(2,7182818…\)-ə bərabərdir) və loqarifmi \(\ln(a)\) kimi yazılmış loqarifmdir.

yəni, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) ilə eynidir

Onluq loqarifm: Əsası 10 olan loqarifma \(\lg(a)\) yazılır.

yəni, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) ilə eynidir, burada \(a\) bəzi ədəddir.

Əsas loqarifmik eynilik

Loqarifmlər çoxlu xüsusiyyətlərə malikdir. Onlardan biri "Əsas loqarifmik eynilik" adlanır və belə görünür:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Bu xüsusiyyət birbaşa tərifdən irəli gəlir. Gəlin görək bu düstur necə dəqiq ortaya çıxdı.

Loqarifmin qısa tərifini xatırlayın:

əgər \(a^(b)=c\), onda \(\log_(a)(c)=b\)

Yəni \(b\) \(\log_(a)(c)\) ilə eynidir. Sonra \(a^(b)=c\) düsturunda \(b\) yerinə \(\log_(a)(c)\) yaza bilərik. Məlum oldu ki, \(a^(\log_(a)(c))=c\) - əsas loqarifmik eynilik.

Loqarifmlərin qalan xassələrini tapa bilərsiniz. Onların köməyi ilə birbaşa hesablanması çətin olan loqarifmlərlə ifadələrin dəyərlərini sadələşdirə və hesablaya bilərsiniz.

Misal : \(36^(\log_(6)(5))\) ifadəsinin qiymətini tapın

Qərar :

Cavab verin : \(25\)

Bir ədədi loqarifm kimi necə yazmaq olar?

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, istənilən loqarifm sadəcə bir ədəddir. Bunun əksi də doğrudur: istənilən ədədi loqarifm kimi yazmaq olar. Məsələn, \(\log_(2)(4)\) ikiyə bərabər olduğunu bilirik. Sonra iki əvəzinə \(\log_(2)(4)\) yaza bilərsiniz.

Lakin \(\log_(3)(9)\) da \(2\) bərabərdir, ona görə də \(2=\log_(3)(9)\) yaza bilərsiniz. Eyni şəkildə \(\log_(5)(25)\) və \(\log_(9)(81)\) ilə və s. Yəni belə çıxır

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Beləliklə, əgər bizə lazım olsa, ikisini hər hansı bir baza ilə loqarifm kimi yaza bilərik (hətta tənlikdə, hətta ifadədə, hətta bərabərsizlikdə belə) - sadəcə olaraq kvadrat bazanı arqument kimi yazırıq.

Üçlü ilə eynidir - o, \(\log_(2)(8)\) və ya \(\log_(3)(27)\) və ya \(\log_(4)() kimi yazıla bilər. 64) \) ... Burada arqument olaraq kubun əsasını yazırıq:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Və dördü ilə:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Və mənfi biri ilə:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Və üçdə biri ilə:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

İstənilən ədəd \(a\) əsası \(b\) olan loqarifm kimi təqdim edilə bilər: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Misal : İfadənin qiymətini tapın \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Qərar :

Cavab verin : \(1\)

Bildiyiniz kimi, ifadələri dərəcələrlə vurarkən onların göstəriciləri həmişə toplanır (a b * a c = a b + c). Bu riyazi qanunu Arximed çıxarmışdır və sonralar 8-ci əsrdə riyaziyyatçı Virasen tam ədədlər cədvəlini yaratmışdır. Məhz onlar loqarifmlərin sonrakı kəşfinə xidmət etmişlər. Bu funksiyadan istifadə nümunələri, demək olar ki, hər yerdə tapıla bilər, burada sadə toplamaya çətin vurmanı sadələşdirmək lazımdır. Bu yazını oxumağa 10 dəqiqə vaxt ayırsanız, sizə loqarifmlərin nə olduğunu və onlarla necə işləməyi izah edəcəyik. Sadə və əlçatan dil.

Riyaziyyatda tərif

Loqarifm aşağıdakı formanın ifadəsidir: log a b=c, yəni hər hansı qeyri-mənfi ədədin (yəni hər hansı müsbət) “b”-nin “a” əsasına görə loqarifmi “c”-nin gücü hesab olunur. , bunun üçün "a" bazası qaldırılmalıdır ki, sonda "b" dəyərini əldə edin. Nümunələrdən istifadə edərək loqarifmanı təhlil edək, tutaq ki, log 2 ifadəsi var 8. Cavabı necə tapmaq olar? Çox sadədir, elə bir dərəcə tapmaq lazımdır ki, 2-dən tələb olunan dərəcəyə qədər 8-i alırsınız. Fikrinizdə bəzi hesablamalar apardıqdan sonra 3 rəqəmini alırıq! Və haqlı olaraq, çünki 2-nin 3-ün qüvvəsi cavabda 8 rəqəmini verir.

Loqarifmlərin növləri

Bir çox şagird və tələbələr üçün bu mövzu mürəkkəb və anlaşılmaz görünür, amma əslində loqarifmlər o qədər də qorxulu deyil, əsas odur ki, onların ümumi mənasını başa düşmək və xassələrini və bəzi qaydaları yadda saxlamaq lazımdır. Üç var müəyyən növlər loqarifmik ifadələr:

1. Təbii loqarifm ln a, burada əsas Eyler ədədidir (e = 2.7).
2. Ondalık a, burada əsas 10-dur.
3. İstənilən b ədədinin a>1 əsasına loqarifmi.

Onların hər birinə qərar verilir standart şəkildə loqarifmik teoremlərdən istifadə etməklə sadələşdirmə, reduksiya və sonradan bir loqarifmə endirmə daxildir. Loqarifmlərin düzgün dəyərlərini əldə etmək üçün onların xassələrini və qərarlarında hərəkətlərin ardıcıllığını yadda saxlamaq lazımdır.

Qaydalar və bəzi məhdudiyyətlər

Riyaziyyatda aksioma kimi qəbul edilən, yəni müzakirə mövzusu olmayan və doğru olan bir neçə qayda-məhdudiyyət var. Məsələn, siz ədədləri sıfıra bölmək olmaz və cüt kök almaq da mümkün deyil mənfi ədədlər. Loqarifmlərin də öz qaydaları var, onlara əməl etməklə hətta uzun və tutumlu loqarifmik ifadələrlə işləməyi asanlıqla öyrənə bilərsiniz:

• "a" bazası həmişə sıfırdan böyük olmalı və eyni zamanda 1-ə bərabər olmamalıdır, əks halda ifadə öz mənasını itirəcək, çünki "1" və "0" istənilən dərəcədə həmişə öz qiymətlərinə bərabərdir;
• a > 0, onda a b > 0 olarsa, belə çıxır ki, "c" sıfırdan böyük olmalıdır.

Loqarifmləri necə həll etmək olar?

Məsələn, 10 x \u003d 100 tənliyinə cavab tapmaq tapşırığı verilir. Bu, çox asandır, 100 aldığımız on rəqəmini qaldıraraq belə bir güc seçmək lazımdır. Bu, əlbəttə ki, 10 2-dir. \u003d 100.

İndi bu ifadəni loqarifmik kimi təqdim edək. Biz log 10 100 = 2 alırıq. Loqarifmləri həll edərkən bütün hərəkətlər praktiki olaraq verilmiş ədədi əldə etmək üçün loqarifmin əsasının hansı dərəcədə daxil edilməli olduğunu tapmaq üçün birləşir.

Naməlum dərəcənin dəyərini dəqiq müəyyən etmək üçün dərəcələr cədvəli ilə işləməyi öyrənməlisiniz. Bu belə görünür:

Gördüyünüz kimi, texniki zehniyyətiniz və vurma cədvəli haqqında məlumatınız varsa, bəzi eksponentləri intuitiv olaraq təxmin etmək olar. Bununla belə, üçün böyük dəyərlər dərəcələr cədvəlinə ehtiyacınız var. Onu hətta mürəkkəb riyazi mövzularda ümumiyyətlə heç nə başa düşməyənlər də istifadə edə bilər. Sol sütunda rəqəmlər var (a bazası), nömrələrin yuxarı cərgəsi a rəqəminin qaldırıldığı c gücünün dəyəridir. Hüceyrələrdəki kəsişmədə cavab olan nömrələrin dəyərləri müəyyən edilir (a c = b). Məsələn, 10 rəqəmi olan ilk xananı götürək və onun kvadratına çevirək, iki xanamızın kəsişməsində göstərilən 100 qiymətini alırıq. Hər şey o qədər sadə və asandır ki, hətta ən real humanist də başa düşəcək!

Tənliklər və bərabərsizliklər

Belə çıxır ki, müəyyən şərtlərdə göstərici loqarifmdir. Buna görə də istənilən riyazi ədədi ifadələr loqarifmik tənlik kimi yazıla bilər. Məsələn, 3 4 =81 81-in 3 əsasına loqarifm kimi yazıla bilər ki, bu da dörddür (log 3 81 = 4). Mənfi güclər üçün qaydalar eynidir: 2 -5 = 1/32 loqarifm kimi yazırıq, log 2 (1/32) = -5 alırıq. Riyaziyyatın ən maraqlı bölmələrindən biri “loqarifmlər” mövzusudur. Tənliklərin nümunələrini və həllərini xassələrini öyrəndikdən dərhal sonra bir az aşağı nəzərdən keçirəcəyik. İndi bərabərsizliklərin necə göründüyünə və onları tənliklərdən necə ayırd etməyə baxaq.

Aşağıdakı formanın ifadəsi verilmişdir: log 2 (x-1) > 3 - loqarifmik bərabərsizlikdir, çünki naməlum "x" qiyməti loqarifmin işarəsi altındadır. Həm də ifadədə iki kəmiyyət müqayisə edilir: ikinci bazada istədiyiniz ədədin loqarifmi üç rəqəmindən böyükdür.

Loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər arasındakı ən mühüm fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmalı tənliklər (məsələn, 2 x = √9 loqarifmi) cavabda bir və ya bir neçə xüsusi ədədi dəyəri nəzərdə tutur, bərabərsizliyi həll edərkən, həm də məqbul dəyərlər və bu funksiyanı pozan nöqtələr. Nəticə etibarı ilə cavab tənliyin cavabında olduğu kimi sadə fərdi ədədlər toplusu deyil, davamlı sıra və ya ədədlər toplusudur.

Loqarifmlər haqqında əsas teoremlər

Loqarifmin qiymətlərini tapmaq üçün ibtidai tapşırıqları həll edərkən, onun xüsusiyyətləri məlum olmaya bilər. Lakin loqarifmik tənliklərdən və ya bərabərsizliklərdən söhbət gedəndə, ilk növbədə, loqarifmanın bütün əsas xassələrini aydın başa düşmək və praktikada tətbiq etmək lazımdır. Tənlik nümunələri ilə daha sonra tanış olacağıq, əvvəlcə hər bir xassəni daha ətraflı təhlil edək.

1. Əsas şəxsiyyət belə görünür: a logaB =B. O, yalnız a 0-dan böyükdürsə, birə bərabər deyilsə və B sıfırdan böyükdürsə tətbiq edilir.
2. Məhsulun loqarifmini aşağıdakı düsturla təqdim etmək olar: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bundan başqa, ilkin şərt belədir: d, s 1 və s 2 > 0; a≠1. Bu loqarifm düsturuna misallar və həll yolu ilə sübut verə bilərsiniz. Qoy log a s 1 = f 1 və log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Alırıq ki, s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (dərəcə xassələri) ), və daha sonra tərifinə görə: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, sübut edilməli idi.
3. Hissənin loqarifmi belə görünür: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Düstur şəklində olan teorem aşağıdakı formanı alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu düstur “loqarifmin dərəcəsinin xassəsi” adlanır. O, adi dərəcələrin xassələrinə bənzəyir və təəccüblü deyil, çünki bütün riyaziyyat müntəzəm postulatlara əsaslanır. Gəlin sübuta baxaq.

Qoy log a b \u003d t, belə çıxır a t \u003d b. Hər iki hissəni m gücünə qaldırsanız: a tn = b n ;

lakin a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan log a q b n = (n*t)/t, sonra log a q b n = n/q log a b. Teorem sübut edilmişdir.

Problemlər və bərabərsizliklər nümunələri

Loqarifm məsələlərinin ən çox yayılmış növləri tənlik və bərabərsizlik nümunələridir. Onlar demək olar ki, bütün problem kitablarında olur və riyaziyyatdan imtahanların məcburi hissəsinə də daxil edilir. Universitetə ​​daxil olmaq və ya riyaziyyatdan qəbul imtahanlarından keçmək üçün bu cür tapşırıqları necə düzgün həll edəcəyinizi bilməlisiniz.

Təəssüf ki, loqarifmin naməlum dəyərinin həlli və müəyyən edilməsi üçün vahid plan və ya sxem yoxdur, lakin hər bir riyazi bərabərsizliyə və ya loqarifmik tənliyə müəyyən qaydalar tətbiq edilə bilər. Hər şeydən əvvəl, ifadənin sadələşdirilə və ya azaldıla biləcəyini öyrənməlisiniz ümumi görünüş. Uzun loqarifmik ifadələrin xassələrindən düzgün istifadə etsəniz, onları sadələşdirə bilərsiniz. Gəlin tezliklə onlarla tanış olaq.

Loqarifmik tənlikləri həll edərkən qarşımızda hansı loqarifm olduğunu müəyyən etmək lazımdır: ifadə nümunəsində təbii loqarifm və ya onluq ola bilər.

Budur ln100, ln1026 nümunələri. Onların həlli ondan ibarətdir ki, 10-cu bazanın müvafiq olaraq 100 və 1026-ya bərabər olacağını müəyyən etmək lazımdır. Həlllər üçün təbii loqarifmlər loqarifmik eynilikləri və ya onların xassələrini tətbiq etmək lazımdır. Müxtəlif tipli loqarifmik məsələlərin həlli nümunələrinə baxaq.

Loqarifm Düsturlarından Necə İstifadə Edilir: Nümunələr və Həlllərlə

Beləliklə, loqarifmlər üzrə əsas teoremlərdən istifadə nümunələrinə baxaq.

1. Məhsulun loqarifminin xüsusiyyəti genişləndirmək lazım olan vəzifələrdə istifadə edilə bilər böyük əhəmiyyət kəsb edir b ədədlərini daha sadə amillərə çevirin. Məsələn, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cavab 9-dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüyünüz kimi, loqarifmin dərəcəsinin dördüncü xassəsindən istifadə edərək biz ilk baxışdan mürəkkəb və həll olunmayan ifadəni həll edə bildik. Yalnız bazanı faktorlara ayırmaq və sonra eksponent dəyərləri loqarifmin işarəsindən çıxarmaq lazımdır.

İmtahandan tapşırıqlar

Logarifmlərə tez-tez qəbul imtahanlarında, xüsusən Vahid Dövlət İmtahanında bir çox logarifmik problemə rast gəlinir (bütün məktəb məzunları üçün dövlət imtahanı). Adətən bu tapşırıqlar təkcə A hissəsində (imtahanın ən asan test hissəsi) deyil, həm də C hissəsində (ən çətin və həcmli tapşırıqlar) mövcuddur. İmtahan “Təbii loqarifmlər” mövzusunda dəqiq və mükəmməl biliyi nəzərdə tutur.

Nümunələr və problemlərin həlli imtahanın rəsmi versiyalarından götürülüb. Bu cür vəzifələrin necə həll edildiyinə baxaq.

Verilmiş log 2 (2x-1) = 4. Həlli:
ifadəni bir az sadələşdirərək yenidən yazaq log 2 (2x-1) = 2 2, loqarifmin tərifinə görə, alırıq ki, 2x-1 = 2 4, buna görə də 2x = 17; x = 8.5.

• Həll çətin və çaşdırıcı olmaması üçün bütün loqarifmləri eyni bazaya endirmək daha yaxşıdır.
• Loqarifmin işarəsi altında olan bütün ifadələr müsbət kimi göstərilir, buna görə də loqarifmin işarəsi altında olan və əsası olan ifadənin göstəricisinin göstəricisi çıxarıldıqda, loqarifmin altında qalan ifadə müsbət olmalıdır.

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür şəkildə əlavə edilə, çıxıla və çevrilə bilər. Lakin loqarifmlər kifayət qədər adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydalar bilinməlidir - onlarsız heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - hər şeyi bir gündə öyrənmək olar. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni bazaya malik iki loqarifmi nəzərdən keçirin: log a x və qeyd edin a y. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. log a x+log a y= log a (x · y);
2. log a x− jurnal a y= log a (x : y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə bərabərdir, fərq isə hissənin loqarifmidir. Qeyd: əsas məqam burada - eyni əsaslar. Əsaslar fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar hesablamanıza kömək edəcək loqarifmik ifadə hətta onun ayrı-ayrı hissələri nəzərə alınmadıqda belə (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

log 6 4 + log 6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğu üçün biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 2 48 − log 2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 3 135 − log 3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Gördüyünüz kimi, orijinal ifadələr ayrıca nəzərdən keçirilməyən "pis" loqarifmlərdən ibarətdir. Lakin transformasiyalardan sonra olduqca normal rəqəmlər çıxır. Bu fakta əsaslanaraq, çoxları test sənədləri. Bəli, nəzarət - imtahanda bütün ciddilikdə oxşar ifadələr (bəzən - faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Göstəricinin loqarifmdən çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumentində bir dərəcə varsa? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Sonuncu qaydanın onların ilk ikisinə uyğun olduğunu görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Əlbəttə ki, ODZ loqarifmi müşahidə edilərsə, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin, yəni. loqarifmin özünə loqarifmin işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 7 49 6 .

Birinci düstura görə arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

[Şəkil başlığı]

Qeyd edək ki, məxrəc əsası və arqumenti dəqiq dərəcələr olan loqarifmdir: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Bizdə:

[Şəkil başlığı]

Düşünürəm ki, sonuncu misal aydınlaşdırılmalıdır. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini dərəcələr şəklində təqdim etdilər və göstəriciləri çıxardılar - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldılar.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü hesaba köçürmək olar, bu da edildi. Nəticə cavabdır: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs əsaslar fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bazaya keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edirik:

Loqarifmi qeyd edək a x. Sonra istənilən nömrə üçün c belə c> 0 və c≠ 1, bərabərlik doğrudur:

[Şəkil başlığı]

Xüsusilə qoysaq c = x, alırıq:

[Şəkil başlığı]

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti bir-birini əvəz edə bilər, lakin bütün ifadə "çevrilmişdir", yəni. loqarifm məxrəcdədir.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək olar.

Bununla belə, yeni bir təmələ keçməkdən başqa heç bir şəkildə həll edilə bilməyən vəzifələr var. Bunlardan bir neçəsini nəzərdən keçirək:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 5 16 log 2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentləri dəqiq eksponentlərdir. Göstəriciləri çıxaraq: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

İndi ikinci loqarifmanı çevirək:

[Şəkil başlığı]

Məhsul faktorların dəyişməsindən dəyişmədiyi üçün biz sakitcə dörd və ikini vurduq və sonra loqarifmləri tapdıq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

[Şəkil başlığı]

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

[Şəkil başlığı]

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək tələb olunur. Bu vəziyyətdə düsturlar bizə kömək edəcək:

Birinci halda, nömrə n arqumentin eksponentinə çevrilir. Nömrə n tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifmin dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz edilmiş tərifdir. Buna əsas loqarifmik eynilik deyilir.

Həqiqətən, sayı olsa nə olacaq b gücə yüksəlt ki b bu dərəcədə bir rəqəm verir a? Düzdür: bu eyni rəqəmdir a. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona "asılır".

Yeni baza çevirmə düsturları kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

[Şəkil başlığı]

Qeyd edək ki, log 25 64 = log 5 8 - sadəcə bazadan kvadratı və loqarifmin arqumentini çıxartmaq lazımdır. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

[Şəkil başlığı]

Kiminsə xəbəri yoxdursa, bu imtahandan əsl tapşırıqdı :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, xassələri adlandırmaq çətin olan iki şəxsiyyət verəcəyəm - daha doğrusu, bunlar loqarifmin tərifindən gələn nəticələrdir. Onlar daim problemlər içində olurlar və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. log a a= 1 loqarifmik vahiddir. Birdəfəlik xatırlayın: istənilən bazaya loqarifm a bu bazadan özü birə bərabərdir.
2. log a 1 = 0 loqarifmik sıfırdır. Baza a hər şey ola bilər, amma arqument birdirsə, loqarifm sıfırdır! çünki a 0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Loqarifmləri öyrənməyə davam edirik. Bu yazıda biz danışacağıq loqarifmlərin hesablanması, bu proses adlanır loqarifm. Əvvəlcə loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması ilə məşğul olacağıq. Sonra, xassələrindən istifadə edərək loqarifmlərin qiymətlərinin necə tapıldığını nəzərdən keçirin. Bundan sonra, digər loqarifmlərin ilkin verilmiş qiymətləri vasitəsilə loqarifmlərin hesablanması üzərində dayanacağıq. Nəhayət, loqarifm cədvəllərindən necə istifadə edəcəyimizi öyrənək. Bütün nəzəriyyə ətraflı həlləri olan nümunələrlə təmin edilmişdir.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması

Ən sadə hallarda tez və asanlıqla yerinə yetirmək mümkündür tərifinə görə loqarifmin tapılması. Bu prosesin necə baş verdiyinə daha yaxından nəzər salaq.

Onun mahiyyəti b ədədini a c şəklində təmsil etməkdir, buna görə də loqarifmin tərifinə görə c ədədi loqarifmin qiymətidir. Yəni tərifinə görə, loqarifmin tapılması aşağıdakı bərabərliklər zəncirinə uyğundur: log a b=log a a c =c .

Beləliklə, loqarifmin hesablanması, tərifinə görə, belə bir c sayını tapmağa gəlir ki, a c \u003d b və c nömrəsinin özü logarifmin istənilən dəyəridir.

Əvvəlki bəndlərin məlumatlarını nəzərə alsaq, loqarifmin işarəsi altında olan ədəd loqarifmin əsasının müəyyən dərəcəsi ilə verildikdə, dərhal loqarifmin nəyə bərabər olduğunu göstərə bilərsiniz - bu, eksponentə bərabərdir. Nümunələr göstərək.

Misal.

log 2 2 −3-ü tapın, həmçinin e 5.3-ün natural loqarifmini hesablayın.

Qərar.

Loqarifmin tərifi dərhal log 2 2 −3 = −3 olduğunu söyləməyə imkan verir. Həqiqətən də, loqarifmin işarəsi altında olan ədəd 2-dən −3 dərəcəsinə bərabərdir.

Eynilə, ikinci loqarifmi tapırıq: lne 5.3 =5.3.

Cavab:

log 2 2 −3 = −3 və lne 5.3 =5.3 .

Əgər loqarifmin işarəsi altındakı b rəqəmi loqarifmin əsasının gücü kimi verilmirsə, onda siz b ədədinin a c şəklində təsvirini tapmağın mümkün olub-olmadığını diqqətlə nəzərdən keçirməlisiniz. Çox vaxt bu təmsil olduqca açıqdır, xüsusən loqarifmin işarəsi altındakı rəqəm 1, və ya 2 və ya 3, ... gücünə əsasa bərabər olduqda.

Misal.

log 5 25 və loqarifmlərini hesablayın.

Qərar.

25=5 2 olduğunu görmək asandır, bu, birinci loqarifmanı hesablamağa imkan verir: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

İkinci loqarifmin hesablanmasına davam edirik. Ədəd 7-nin gücü kimi təqdim edilə bilər: (lazım olduqda baxın). Beləliklə, .

Üçüncü loqarifmanı yenidən yazaq aşağıdakı forma. İndi bunu görə bilərsiniz , buradan belə nəticəyə gəlirik . Buna görə də, loqarifmin tərifinə görə .

Qısaca həll yolu aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Cavab:

log 5 25=2 , və .

Loqarifmin işarəsi altında kifayət qədər böyük dəyər olduqda natural ədəd, sonra onu parçalamaq zərər vermir əsas amillər. Çox vaxt belə bir ədədi loqarifmin əsasının bəzi gücü kimi təqdim etməyə və buna görə də bu loqarifmanı təriflə hesablamağa kömək edir.

Misal.

Loqarifmin qiymətini tapın.

Qərar.

Loqarifmlərin bəzi xassələri dərhal loqarifmaların qiymətini təyin etməyə imkan verir. Bu xassələrə birinin loqarifminin xassəsi və bazaya bərabər olan ədədin loqarifminin xassələri daxildir: log 1 1=log a a 0 =0 və log a a=log a a 1 =1 . Yəni 1 rəqəmi və ya a rəqəmi loqarifmin işarəsi altında, loqarifmin əsasına bərabər olduqda, bu hallarda loqarifmlər müvafiq olaraq 0 və 1-dir.

Misal.

Loqarifmlər və lg10 nədir?

Qərar.

olduğundan, loqarifmin tərifindən irəli gəlir .

İkinci misalda loqarifmin işarəsi altında olan 10 rəqəmi onun bazası ilə üst-üstə düşür, ona görə də onluq loqarifmi birə bərabərdir, yəni lg10=lg10 1 =1 .

Cavab:

Və lg10=1 .

Qeyd edək ki, loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması (bunu əvvəlki paraqrafda müzakirə etdik) loqarifmlərin xassələrindən biri olan log a a p =p bərabərliyinin istifadəsini nəzərdə tutur.

Təcrübədə loqarifmin işarəsi altında olan ədəd və loqarifmin əsası asanlıqla hansısa ədədin gücü kimi təqdim edildikdə, düsturdan istifadə etmək çox rahatdır. , loqarifmlərin xassələrindən birinə uyğundur. Bu düsturun istifadəsini təsvir edən loqarifmin tapılması nümunəsini nəzərdən keçirin.

Misal.

-nin loqarifmini hesablayın.

Qərar.

Cavab:

.

Hesablamada yuxarıda qeyd olunmayan loqarifmlərin xassələrindən də istifadə olunur, lakin bu barədə növbəti paraqraflarda danışacağıq.

Digər məlum loqarifmlər baxımından loqarifmlərin tapılması

Bu paraqrafdakı məlumatlar loqarifmlərin xassələrinin hesablanmasında istifadə mövzusunu davam etdirir. Amma burada əsas fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmlərin xassələri orijinal loqarifmanı dəyəri məlum olan başqa bir loqarifmlə ifadə etmək üçün istifadə olunur. Aydınlaşdırmaq üçün bir nümunə götürək. Tutaq ki, log 2 3≈1.584963 olduğunu bilirik, onda loqarifmin xassələrindən istifadə edərək kiçik bir transformasiya edərək, məsələn, log 2 6-nı tapa bilərik: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yuxarıdakı misalda məhsulun loqarifminin xassəsindən istifadə etməyimiz kifayət idi. Bununla birlikdə, orijinal loqarifmanı verilmişlər baxımından hesablamaq üçün daha çox loqarifmlərin xüsusiyyətlərinin daha geniş arsenalından istifadə etməlisiniz.

Misal.

log 60 2=a və log 60 5=b olduğu məlumdursa, 27-nin 60-a loqarifmini hesablayın.

Qərar.

Beləliklə, log 60 27 tapmalıyıq. Asanlıqla görmək olar ki, 27=3 3 və orijinal loqarifm, dərəcənin loqarifm xüsusiyyətinə görə, 3·log 60 3 kimi yenidən yazıla bilər.

İndi log 60 3-ün məlum loqarifmlərlə necə ifadə oluna biləcəyinə baxaq. Əsasına bərabər olan ədədin loqarifminin xassəsi 60 60=1 bərabərliyini yazmağa imkan verir. Digər tərəfdən, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Beləliklə, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Beləliklə, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Nəhayət, orijinal loqarifmi hesablayırıq: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Cavab:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Formanın loqarifminin yeni bazasına keçid üçün düsturun mənasını ayrıca qeyd etmək lazımdır. . İstənilən əsaslı loqarifmlərdən qiymətləri məlum olan və ya onları tapmaq mümkün olan müəyyən əsaslı loqarifmlərə keçməyə imkan verir. Adətən, orijinal loqarifmdan, keçid düsturuna uyğun olaraq, 2, e və ya 10 əsaslarından birində loqarifmlərə keçirlər, çünki bu əsaslar üçün müəyyən dərəcədə onların dəyərlərini hesablamağa imkan verən loqarifm cədvəlləri mövcuddur. dəqiqlik. Növbəti hissədə bunun necə edildiyini göstərəcəyik.

Loqarifm cədvəlləri, onlardan istifadə

Loqarifmlərin dəyərlərinin təxmini hesablanması üçün istifadə edilə bilər loqarifm cədvəlləri. Əsas 2 loqarifm cədvəli, natural loqarifm cədvəli və onluq loqarifm cədvəli ən çox istifadə olunur. Onluq say sistemində işləyərkən onluğu əsas götürmək üçün loqarifmlər cədvəlindən istifadə etmək rahatdır. Onun köməyi ilə loqarifmlərin dəyərlərini tapmağı öyrənəcəyik.

Təqdim olunan cədvəl, on mində bir dəqiqliklə 1.000-dən 9.999-a qədər (üç onluq yer ilə) ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmağa imkan verir. Onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək loqarifmin dəyərini tapmaq prinsipi təhlil ediləcəkdir konkret misal- daha aydın. lg1,256 tapaq.

Onluq loqarifmlər cədvəlinin sol sütununda biz 1.256 rəqəminin ilk iki rəqəmini tapırıq, yəni 1.2-ni tapırıq (aydınlıq üçün bu rəqəm mavi rənglə əhatə olunub). 1.256 (rəqəm 5) rəqəminin üçüncü rəqəmi qoşa sətrin solunda birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə qırmızı rənglə dövrələnmişdir). İlkin 1.256 (6 nömrə) rəqəminin dördüncü rəqəmi qoşa sətrin sağındakı birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə yaşıl rənglə əhatə olunub). İndi loqarifmlər cədvəlinin xanalarında qeyd olunan cərgə və işarələnmiş sütunların kəsişməsində nömrələri tapırıq (bu nömrələr vurğulanır) narıncı). İşarələnmiş ədədlərin cəmi onluq loqarifmin istənilən qiymətini verir dördüncü əlamət vergüldən sonra, yəni log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yuxarıdakı cədvəldən istifadə edərək, ondalık nöqtədən sonra üçdən çox rəqəmi olan ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmaq, həmçinin 1-dən 9.999-a qədər olan hüdudları aşmaq mümkündürmü? Bəli sən bacararsan. Bunun necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

Gəlin hesablayaq lg102.76332 . Əvvəlcə yazmaq lazımdır nömrədə standart forma : 102.76332=1.0276332 10 2 . Bundan sonra, mantissa üçüncü onluq yerə qədər yuvarlaqlaşdırılmalıdır, bizdə var 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, orijinal onluq loqarifm təxminən nəticədə çıxan ədədin loqarifminə bərabər olduğu halda, yəni lg102.76332≈lg1.028·10 2 götürürük. İndi loqarifmin xassələrini tətbiq edin: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nəhayət, lg1.028 onluq loqarifmlər cədvəlinə uyğun olaraq lg1.028 loqarifminin qiymətini tapırıq lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Nəticədə, loqarifmin hesablanmasının bütün prosesi belə görünür: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

Sonda qeyd etmək lazımdır ki, onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək istənilən loqarifmin təxmini dəyərini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün, ondalık loqarifmlərə keçmək, cədvəldə onların dəyərlərini tapmaq və qalan hesablamaları yerinə yetirmək üçün keçid düsturundan istifadə etmək kifayətdir.

Məsələn, log 2 3 hesablayaq. Loqarifmin yeni bazasına keçid düsturuna görə bizdə . Onluq loqarifmlər cədvəlindən biz lg3≈0,4771 və lg2≈0,3010 tapırıq. Beləliklə, .

Biblioqrafiya.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları.Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Ümumi təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə abituriyentlər üçün dərslik).