Kvadrat tənliklərin tarixindən. Kvadrat tənliklərin inkişaf tarixi

1.1. Baş vermə tarixindən kvadrat tənliklər

Cəbr tənliklərdən istifadə etməklə müxtəlif məsələlərin həlli ilə əlaqədar yaranmışdır. Adətən məsələlərdə istənilən və verilmiş kəmiyyətlər üzrə yerinə yetirilən bəzi hərəkətlərin nəticələrini bilməklə, bir və ya bir neçə naməlumun tapılması tələb olunur. Belə məsələlər bir və ya bir neçə tənlik sisteminin həllinə, verilmiş kəmiyyətlər üzərində cəbri əməliyyatların köməyi ilə arzu olunanların tapılmasına qədər azaldılır. Cəbr kəmiyyətlər üzərində hərəkətlərin ümumi xassələrini öyrənir.

Xətti və kvadrat tənliklərin həlli üçün bəzi cəbri üsullar hələ 4000 il əvvəl Qədim Babildə məlum idi.

Qədim Babildə kvadrat tənliklər

Qədim dövrlərdə təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti torpaq sahələrinin tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli zərurətindən yaranmışdır. torpaq işləri hərbi təbiət, eləcə də astronomiya və riyaziyyatın özünün inkişafı ilə. Babillilər eramızdan əvvəl 2000-ci illərdə kvadrat tənlikləri necə həll etməyi bilirdilər. Müasir cəbri qeydləri tətbiq edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:

Babil mətnlərində qeyd olunan bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasirlə üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılan mixi yazıların, demək olar ki, hamısı, necə tapıldığı göstərilmədən, yalnız reseptlər şəklində ifadə edilən həlləri ilə bağlı problemlər verir. Rəğmən yüksək səviyyə Babildə cəbrin inkişafı, mixi mətnlərdə mənfi ədəd anlayışı yoxdur və ümumi üsullar kvadrat tənliklərin həlli.

Diofantın Arifmetikasında cəbrin sistemli ekspozisiyası yoxdur, lakin o, izahlarla müşayiət olunan və tənliklərin formalaşdırılması yolu ilə həll edilən sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir. müxtəlif dərəcələr.

Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.

Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.

Tapşırıq 2. "İki ədədi tapın, onların cəmi 20 və hasilinin 96 olduğunu bilərək."

Diophantus belə iddia edir: məsələnin şərtindən belə çıxır ki, istənilən ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydılar, onda onların hasilatı 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri ondan çox olacaq. onların cəminin yarısı, yəni .10 + x. Digəri daha kiçikdir, yəni 10 - x. Aralarındakı fərq 2xdir. Beləliklə, tənlik:

(10+x)(10-x)=96,

Beləliklə, x = 2. İstədiyiniz ədədlərdən biri 12, digəri 8-dir. Diofant üçün x = - 2 həlli mövcud deyil, çünki Yunan riyaziyyatı yalnız bilirdi. müsbət ədədlər.

Əgər naməlum ədədlərdən birini naməlum kimi seçərək bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələ bilərik:

Aydındır ki, Diophantus istənilən ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.

Hindistanda kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliklər üçün problemlər Hindistan riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş Aryabhattam astronomik traktatında artıq tapılır. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) izah etdi ümumi qayda vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli:

ax 2 + bx \u003d c, a> 0. (1)

(1) tənliyində əmsallar mənfi ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə üst-üstə düşür.

Hindistanda çətin problemlərin həllində ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarından birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, elmli adam da cəbri məsələləri təklif edərək və həll edən məclislərdə şöhrəti o qədər parlaq edəcək”. Tapşırıqlar çox vaxt poetik formada geyindirilirdi.

Burada XII əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biri var. Bhaskara.

Bhaskaranın həlli göstərir ki, müəllif kvadrat tənliklərin köklərinin iki dəyərliliyindən xəbərdar idi.

3-cü məsələyə uyğun tənlik belədir:

Bhaskara adı altında yazır:

x 2 - 64x = - 768

və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə 32 2 əlavə edərək, əldə edirik:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

Əl-Xarəzminin Kvadrat Tənlikləri

Əl-Xarəzminin cəbri traktatında xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sadalayır və onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

1) “Kvadratlar köklərə bərabərdir”, yəni balta 2 = bx.

2) “Kvadratlar ədədə bərabərdir”, yəni balta 2 = c.

3) "Köklər ədədə bərabərdir", yəni balta \u003d c.

4) “Kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir”, yəni ax 2 + c = bx.

5) "Kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir", yəni balta 2 + bx \u003d c.

6) “Köklər və ədədlər kvadratlara bərabərdir”, yəni bx + c == ax 2.

İstifadədən yayınan Əl-Xarəzmi üçün mənfi ədədlər, bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxmaq deyil, termindir. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif əl-cəbr və əl-müqəbələ üsullarından istifadə edərək bu tənliklərin həlli üsullarını qeyd edir. Onun qərarı, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Bunun sırf ritorik olması faktını demirik, məsələn, qeyd etmək lazımdır ki, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən XVII əsrə qədərki bütün riyaziyyatçılar kimi Əl-Xarəzmi də sıfırı nəzərə almır. həlli, yəqin ki, xüsusi praktiki tapşırıqlarda, bunun əhəmiyyəti olmadığı üçün. Tam kvadrat tənlikləri həll edərkən, Əl-Xarəzmi xüsusi ədədi nümunələrdən istifadə edərək onların həlli qaydalarını, sonra isə onların həndəsi sübutlarını müəyyən edir.

Bir misal götürək.

Məsələ 4. “Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. Kökü tapın "(x 2 + 21 \u003d 10x tənliyinin kökü deməkdir).

Həlli: köklərin sayını yarıya böl, 5-i al, 5-i özünə vur, hasildən 21 çıx, 4 qalar.4-ün kökünü götür, 2-ni al.5-dən 2-ni çıxar, 3-ü al, bu olacaq. istədiyiniz kök. Və ya 2-ni 5-ə əlavə edin, bu da 7 verəcək, bu da bir kökdür.

Əl-Xarəzminin traktatı bizə gəlib çatan ilk kitabdır ki, burada kvadrat tənliklərin təsnifatı sistemli şəkildə təqdim olunur və onların həlli üçün düsturlar verilir.

Avropada kvadrat tənliklər XII-XVII əsrlər.

Avropada Əl-Xarəzmi modeli üzrə kvadrat tənliklərin həlli formaları ilk dəfə 1202-ci ildə yazılmış “Abakus kitabı”nda təsvir edilmişdir. İtalyan riyaziyyatçısı Leonard Fibonacci. Müəllif müstəqil olaraq bəzi yeniliklər hazırladı cəbri nümunələr problemin həlli və mənfi ədədlərin tətbiqinə Avropada ilk yaxınlaşan oldu.

Bu kitab cəbr biliklərinin təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində yayılmasına öz töhfəsini verdi. Bu kitabdan bir çox tapşırıqlar 14-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərinə köçürüldü. X 2 + bx \u003d c işarələrinin və əmsallarının bütün mümkün birləşmələri ilə vahid kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda b, c, Avropada 1544-cü ildə M. Stiefel tərəfindən tərtib edilmişdir.

Kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun çıxarılması ümumi görünüş Vyet var, lakin Vyet yalnız müsbət kökləri tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. müsbət və mənfi köklərə əlavə olaraq nəzərə alın. Yalnız XVII əsrdə. Girard, Descartes, Newton və digər alimlərin əsərləri sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir görünüş..

Praktiki məsələlərin həlli üçün cəbri üsulların mənşəyi elmlə bağlıdır qədim dünya. Riyaziyyat tarixindən məlum olduğu kimi, Misir, Şumer, Babil katib-kompüterləri (e.ə. XX-VI əsrlər) tərəfindən həll edilən riyazi xarakterli məsələlərin əhəmiyyətli hissəsi hesablanmış xarakter daşıyırdı. Bununla belə, zaman-zaman kəmiyyətin arzuolunan dəyərinin müasir nöqteyi-nəzərimizdən tənlik və ya tənliklər sisteminin formalaşdırılmasını tələb edən bəzi dolayı şərtlərlə müəyyən edildiyi problemlər yarandı. İlkin olaraq belə məsələlərin həlli üçün hesab üsullarından istifadə olunurdu. Daha sonra cəbri təsvirlərin başlanğıcları formalaşmağa başladı. Məsələn, Babil kalkulyatorları baxımından azaldıla bilən problemləri həll edə bildi müasir təsnifat ikinci dərəcəli tənliklərə. Mətn problemlərinin həlli metodu yaradıldı, sonradan cəbri komponenti vurğulamaq və onun müstəqil öyrənilməsi üçün əsas oldu.

Bu tədqiqat artıq başqa bir dövrdə, ilk olaraq ərəb riyaziyyatçıları (eramızın VI-X əsrləri) tərəfindən tənliklərin aşağı salındığı xarakterik hərəkətləri ayırd etmişlər. standart görünüş oxşar terminlərin kiçilməsi, işarənin dəyişməsi ilə terminlərin tənliyin bir hissəsindən digərinə köçürülməsi. Və sonra İntibah dövrünün Avropa riyaziyyatçıları uzun axtarışlar nəticəsində müasir cəbrin dilini, hərflərdən istifadəni, hesab əməliyyatları üçün simvolların tətbiqini, mötərizələri və s. yaratdılar. 16-cı əsrin sonunda 17-ci əsrlər. Riyaziyyatın spesifik hissəsi kimi öz fənninə, metoduna, tətbiq sahələrinə malik olan cəbr artıq formalaşmışdır. Onun sonrakı inkişafı bizim dövrümüzə qədər metodların təkmilləşdirilməsindən, tətbiq dairəsinin genişləndirilməsindən, anlayışların və onların riyaziyyatın digər sahələrinin anlayışları ilə əlaqələrinin aydınlaşdırılmasından ibarət olmuşdur.

Beləliklə, tənlik anlayışı ilə əlaqəli materialın əhəmiyyətini və genişliyini nəzərə alaraq, onun müasir riyaziyyat metodologiyasında öyrənilməsi onun meydana gəlməsi və fəaliyyət göstərməsinin üç əsas sahəsi ilə əlaqələndirilir.

GİRİŞ

Məktəb cəbr kursunda tənliklər aparıcı yer tutur. Məktəb riyaziyyat kursunun hər hansı digər mövzusundan daha çox onların öyrənilməsinə vaxt ayrılır. Tənliklər nəzəriyyəsinin gücü ondan ibarətdir ki, o, təbii qanunların bilikləri üçün nəzəri əhəmiyyət kəsb etməklə yanaşı, həm də konkret praktiki məqsədlərə xidmət edir. Real dünyanın fəza formaları və kəmiyyət əlaqələri ilə bağlı problemlərin əksəriyyəti müxtəlif növ tənliklərin həllinə gəlir. Onların həlli yollarını mənimsəməklə insanlar cavab tapırlar müxtəlif suallar elm və texnologiyadan (nəqliyyat, kənd təsərrüfatı, sənaye, rabitə və s.). Həmçinin tənlikləri həll etmək bacarığının formalaşması üçün şagirdin tənlikləri həll etməyi öyrənməkdə müstəqil işi böyük əhəmiyyət kəsb edir. Hər hansı bir mövzunu öyrənərkən tənliklərdən nəzəri biliklərin möhkəmləndirilməsi, dərinləşdirilməsi, təkrarlanması və genişləndirilməsi, tələbələrin yaradıcı riyazi fəaliyyətinin inkişafı üçün səmərəli vasitə kimi istifadə edilə bilər.

Müasir dünyada tənliklərdən riyaziyyatın müxtəlif sahələrində, mühüm tətbiqi məsələlərin həllində geniş istifadə olunur. Bu mövzu təqdimatın böyük dərinliyi və öyrənmədə onun köməyi ilə qurulan əlaqələrin zənginliyi, təqdimatın məntiqi əsaslılığı ilə xarakterizə olunur. Buna görə də tənliklər xəttində müstəsna mövqe tutur. Tələbələr artıq müəyyən təcrübə toplamış, kifayət qədər böyük cəbri və ümumi riyazi anlayışlar, anlayışlar və bacarıqlara sahib olan “Kvadrat trinomiallar” mövzusunu öyrənməyə başlayırlar. Böyük dərəcədə bu mövzunun materialı üzərində tənliklərə aid materialı sintez etmək, tarixçilik və əlçatanlıq prinsiplərini həyata keçirmək lazımdır.

Uyğunluq Mövzu tarixçilik prinsiplərinin həyata keçirilməsi zərurəti və bunun “Kvadrat tənliklərin həlli” mövzusunda həyata keçirilməsi üçün materialın olmamasıdır.

Tədqiqat problemi: kvadrat tənlikləri həll etməyi öyrənmək üçün tarixi materialın müəyyən edilməsi.

Məqsəd: riyaziyyat dərslərində kvadrat tənliklər üzərində işləmək haqqında təsəvvürlərin formalaşdırılması, “Kvadrat tənliklər” mövzusunda tarixçilik elementləri ilə dərslər toplusunun seçilməsi.

Tədqiqat obyekti: 8-ci sinifdə tarixçiliyin elementlərindən istifadə etməklə kvadrat tənliklərin həlli.

Tədqiqat mövzusu: kvadrat tənliklər və tarixi materiallardan istifadə etməklə kvadrat tənlikləri həll etməyi öyrənməyə dair dərslərin işlənməsi.

Tapşırıqlar:

tədqiqat problemi üzrə elmi-metodiki ədəbiyyatın təhlilini aparmaq;

məktəb dərsliklərini təhlil etmək və onlarda kvadrat tənlikləri həll etməyi öyrənmə yerini vurğulamaq;

tarixi materiallardan istifadə edərək kvadrat tənliklərin həllinə dair dərslər toplusunu götürün.

Tədqiqat üsulları:

“Kvadrat tənliklərin həlli” mövzusunda ədəbiyyatın təhlili;

“Kvadrat tənliklərin həlli” mövzusunda dərs zamanı tələbələrin müşahidəsi;

material seçimi: tarixi istinaddan istifadə edərək "Kvadrat tənliklərin həlli" mövzusunda dərslər.

§ 1. Kvadrat tənliklərin yaranma tarixindən

Xətti və kvadrat tənliklərin həlli üçün bəzi cəbri üsullar hələ 4000 il əvvəl Qədim Babildə məlum idi.

Qədim Babildə kvadrat tənliklər

Qədim dövrlərdə təkcə birinci deyil, həm də ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti torpaq sahələrinin və hərbi xarakterli torpaq işlərinin tapılması, eləcə də astronomiyanın inkişafı ilə bağlı problemlərin həlli zərurəti ilə əlaqədar idi. riyaziyyatın özü. Babillilər eramızdan əvvəl 2000-ci illərdə kvadrat tənlikləri necə həll etməyi bilirdilər. Müasir cəbri qeydləri tətbiq edərək deyə bilərik ki, mixi mətnlərində natamam olanlarla yanaşı, məsələn, tam kvadrat tənliklər var:

Babil mətnlərində qeyd olunan bu tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə müasirlə üst-üstə düşür, lakin babillilərin bu qaydaya necə gəldiyi məlum deyil. İndiyə qədər tapılan mixi yazıların, demək olar ki, hamısı, necə tapıldığı göstərilmədən, yalnız reseptlər şəklində ifadə edilən həlləri ilə bağlı problemlər verir. Babildə cəbrin yüksək inkişaf səviyyəsinə baxmayaraq mixi yazılarda mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.

Diofantın Arifmetikasında cəbrin sistematik ekspozisiyası yoxdur, lakin o, izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklərin formalaşdırılması yolu ilə həll edilən sistematik bir sıra problemləri ehtiva edir.

Tənliklər tərtib edərkən Diophantus həlli sadələşdirmək üçün məharətlə naməlumları seçir.

Burada, məsələn, onun vəzifələrindən biridir.

Tapşırıq 2. "İki ədədi tapın, onların cəmi 20, hasilinin isə 96 olduğunu bilərək."

Diophantus belə iddia edir: məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, istənilən ədədlər bərabər deyil, çünki onlar bərabər olsaydı, onda onların hasilatı 96 deyil, 100-ə bərabər olardı. Beləliklə, onlardan biri ondan çox olacaq. onların məbləğinin yarısı, yəni.
. Digəri daha kiçikdir, yəni.
. Aralarındakı fərq
. Beləliklə, tənlik:

Buradan
. İstədiyiniz ədədlərdən biri 12, digəri 8-dir. Həlli
çünki Diophantus yoxdur, çünki yunan riyaziyyatı yalnız müsbət ədədləri bilirdi.

Əgər naməlum ədədlərdən birini naməlum kimi seçərək bu məsələni həll etsək, onda tənliyin həllinə gələ bilərik:

Aydındır ki, Diophantus istənilən ədədlərin yarı fərqini naməlum kimi seçməklə həlli sadələşdirir; natamam kvadrat tənliyin həllinə qədər problemi azaltmağı bacarır.

Hindistanda kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliklər üçün problemlər Hindistan riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş Aryabhattam astronomik traktatında artıq tapılır. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qaydanı açıqladı:

(1)

(1) tənliyində əmsallar mənfi ola bilər. Brahmaquptanın qaydası mahiyyətcə bizimki ilə üst-üstə düşür.

Burada XII əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biri var. Bhaskara.

Bhaskaranın həlli göstərir ki, müəllif kvadrat tənliklərin köklərinin iki dəyərliliyindən xəbərdar idi.

3-cü məsələyə uyğun tənlik belədir:

Bhaskara adı altında yazır:

və bu tənliyin sol tərəfini kvadrata tamamlamaq üçün hər iki tərəfə 322 əlavə edərək, əldə edir:

Əl-Xarəzminin Kvadrat Tənlikləri

Əl-Xarəzminin cəbri traktatında xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif 6 növ tənliyi sadalayır və onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

Mənfi ədədlərin istifadəsindən qaçan Əl-Xarəzmi üçün bu tənliklərin hər birinin şərtləri çıxma deyil, toplanır. Bu zaman müsbət həlli olmayan tənliklər açıq şəkildə nəzərə alınmır. Müəllif əl-cəbr və əl-müqəbələ üsullarından istifadə edərək bu tənliklərin həlli üsullarını qeyd edir. Onun qərarı, təbii ki, bizimki ilə tam üst-üstə düşmür. Bunun sırf ritorik olması faktını demirik, məsələn, qeyd etmək lazımdır ki, birinci növ natamam kvadrat tənliyi həll edərkən XVII əsrə qədərki bütün riyaziyyatçılar kimi Əl-Xarəzmi də sıfırı nəzərə almır. həlli, yəqin ki, xüsusi praktiki tapşırıqlarda, bunun əhəmiyyəti olmadığı üçün. Tam kvadrat tənlikləri həll edərkən, Əl-Xarəzmi xüsusi ədədi nümunələrdən istifadə edərək onların həlli qaydalarını, sonra isə onların həndəsi sübutlarını müəyyən edir.

Bir misal götürək.

Məsələ 4. “Kvadrat və 21 rəqəmi 10 kökə bərabərdir. Kökü tapın "(tənliyin kökü deməkdir
).

Əl-Xarəzminin traktatı bizə gəlib çatan ilk kitabdır ki, burada kvadrat tənliklərin təsnifatı sistemli şəkildə təqdim olunur və onların həlli üçün düsturlar verilir.

Avropada kvadrat tənliklərXII- XVIIin.

Avropada Əl-Xarəzmi modeli üzrə kvadrat tənliklərin həlli formaları ilk dəfə 1202-ci ildə yazılmış “Abakus kitabı”nda təsvir edilmişdir. İtalyan riyaziyyatçısı Leonard Fibonacci. Müəllif müstəqil olaraq problem həllinin bəzi yeni cəbri nümunələrini işləyib hazırlayıb və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşıb.

Bu kitab cəbr biliklərinin təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində yayılmasına öz töhfəsini verdi. Bu kitabdan bir çox tapşırıqlar 14-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərinə köçürüldü. Vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda
əlamətlər və əmsalların bütün mümkün birləşmələri ilə b, c, Avropada 1544-cü ildə M. Ştifel tərəfindən tərtib edilmişdir.

Vietada kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun ümumi törəməsi var, lakin Vyeta yalnız müsbət kökləri tanıdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. müsbət və mənfi köklərə əlavə olaraq nəzərə alın. Yalnız XVII əsrdə. Cirard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin əsərləri sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma alır.

Praktiki məsələlərin həlli üçün cəbri üsulların mənşəyi qədim dünya elmi ilə bağlıdır. Riyaziyyat tarixindən məlum olduğu kimi, Misir, Şumer, Babil katib-kompüterləri (e.ə. XX-VI əsrlər) tərəfindən həll edilən riyazi xarakterli məsələlərin əhəmiyyətli hissəsi hesablanmış xarakter daşıyırdı. Bununla belə, zaman-zaman kəmiyyətin arzuolunan dəyərinin müasir nöqteyi-nəzərimizdən tənlik və ya tənliklər sisteminin formalaşdırılmasını tələb edən bəzi dolayı şərtlərlə müəyyən edildiyi problemlər yarandı. İlkin olaraq belə məsələlərin həlli üçün arifmetik üsullardan istifadə olunurdu. Sonralar cəbri təsvirlərin başlanğıcları formalaşmağa başladı. Məsələn, Babil kalkulyatorları müasir təsnifat nöqteyi-nəzərindən ikinci dərəcəli tənliklərə endirilən məsələləri həll edə bildilər. Mətn problemlərinin həlli metodu yaradıldı, sonradan cəbri komponenti vurğulamaq və onun müstəqil öyrənilməsi üçün əsas oldu.

Bu tədqiqat artıq başqa bir dövrdə, ilk olaraq ərəb riyaziyyatçıları (eramızın VI-X əsrləri) tərəfindən həyata keçirilmişdir ki, onlar tənliklərin standart formaya salınması, oxşar terminlərin ixtisarı, terminlərin bir hissəsindən köçürülməsi xarakterik hərəkətləri ayırırlar. işarə dəyişikliyi ilə digər tənlik. Və sonra İntibah dövrünün Avropa riyaziyyatçıları uzun axtarışlar nəticəsində müasir cəbrin dilini, hərflərdən istifadəni, hesab əməliyyatları üçün simvolların tətbiqini, mötərizələri və s. yaratdılar. 16-cı əsrin sonunda 17-ci əsrlər. Riyaziyyatın spesifik hissəsi kimi öz fənninə, metoduna, tətbiq sahələrinə malik olan cəbr artıq formalaşmışdır. Onun sonrakı inkişafı bizim dövrümüzə qədər metodların təkmilləşdirilməsindən, tətbiq dairəsinin genişləndirilməsindən, anlayışların və onların riyaziyyatın digər sahələrinin anlayışları ilə əlaqələrinin aydınlaşdırılmasından ibarət olmuşdur.

Kovalçuk Kirill

Əsrlər və Ölkələr Arası Kvadrat Tənliklər layihəsi tələbələri kəşfləri əsas olan riyaziyyatçılarla tanış edir. elmi-texniki tərəqqi, tarixi materialla tanışlığa əsaslanaraq bir fənn kimi riyaziyyata marağı inkişaf etdirir, şagirdlərin dünyagörüşünü genişləndirir, onların idrak fəallığını və yaradıcılığını stimullaşdırır.

Yüklə:

Önizləmə:

Təqdimatların önizləməsindən istifadə etmək üçün özünüz üçün hesab yaradın ( hesab) Google və daxil olun: https://accounts.google.com

Slayd başlıqları:

Borisovka kəndinin 17 nömrəli MOU orta məktəbinin 8-ci sinif şagirdi Kovalçuk Kirill rəhbəri Mulyukova G.V.-nin dizayn işi.

Əsrlər və ölkələr üzrə kvadrat tənliklər

Layihənin məqsədi: Tələbələri kəşfləri elmi-texniki tərəqqinin əsası olan riyaziyyat alimləri ilə tanış etmək. Alimlərin əməyinin həndəsə və fizikanın inkişafı üçün əhəmiyyətini göstərin.???????????? Elmi kəşflərin həyatda tətbiqini nümayiş etdirin. Tarixi materialla tanışlığa əsaslanan bir fənn kimi riyaziyyata marağı inkişaf etdirmək. Şagirdlərin üfüqlərini genişləndirmək, onların idrak fəaliyyətini və yaradıcılığını stimullaşdırmaq

Təkcə birinci dərəcəli deyil, ikinci dərəcəli tənliklərin həlli zərurəti hətta qədim zamanlarda astronomiyanın və riyaziyyatın özünün inkişafı ilə torpaq sahələrinin tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli zərurətindən irəli gəlirdi. Kvadrat tənliklər təxminən eramızdan əvvəl 2000-ci ildə həll edə bildi. e. babillilər. Babil mətnlərində göstərilən bu tənliklərin həlli qaydaları mahiyyətcə müasir olanlarla üst-üstə düşür, lakin bu mətnlərdə mənfi ədəd anlayışı və kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi üsullar yoxdur.

. (e.ə. 365 - 300-cü illər) - qədim yunan riyaziyyatçısı, riyaziyyata dair bizə gəlib çatan ilk nəzəri traktatların müəllifi. Evklid və ya Evklid

Evklid Başlanğıc Nil çayının dənizlə qovuşduğu yerdə, Piramidaların qədim isti torpağında Yunan riyaziyyatçısı yaşayırdı - Bilikli, Müdrik Evklid. Həndəsə oxudu, Həndəsə öyrətdi. Böyük bir əsər yazıb. Bu kitab "Başlanğıclar" adlanır.

Evklid eramızdan əvvəl 3-cü əsr Evklid həndəsi üsulla kvadrat tənlikləri həll etdi. Qədim yunan risaləsindəki tapşırıqlardan biri budur: “Bir tərəfi naməlum ölçülü kvadrat şəklində haşiyəsi olan bir şəhər var, hər tərəfin mərkəzində bir darvaza var. Şimal darvazasından 20bu (1bu=1,6m) aralıda sütun var. 14bu cənub darvazasından düz getsəniz, sonra qərbə dönüb başqa 1775bu yolu keçsəniz, bir sütun görə bilərsiniz. Sual olunur: şəhərin sərhədi hansı tərəfdədir? »

Kvadratın naməlum tərəfini təyin etmək üçün x ² +(k+l)x-2kd =0 kvadrat tənliyini alırıq. Bu halda tənlik x ² +34x-71000=0 kimi görünür, buradan x=250bu l x d k

Hindistanda kvadrat tənliklər Kvadrat tənliklərə dair məsələlərə hind riyaziyyatçısı və astronomu Aryabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş “Aryabhattam” astronomik traktatında da rast gəlinir. Başqa bir hind alimi Brahmaqupta vahid kanonik formaya salınmış kvadrat tənliklərin həllinin ümumi qaydasını qeyd etdi: ax ² +bx=c , a>0 Qədim Hindistanda çətin məsələlərin həlli üçün ictimai yarışlar geniş yayılmışdı. Qədim hind kitablarının birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də ictimai məclislərdə, cəbri məsələləri təklif edib həll edərkən digərinin izzətini belə ötəcək”.

12-ci əsrin məşhur hind riyaziyyatçısı Bhaskara'nın tapşırıqlarından biri də doyunca yeyən meymun sürüsü əyləndi. Onların səkkizinci hissəsi bir meydanda, təmizlikdə əyləndim. Və on iki lianas boyunca ... Onlar asılaraq tullanmağa başladılar ... Mənə deyin, bu sürüdə neçə meymun var idi?

Qərar. () 2 +12 = x, x 2 - 64x +768 = 0, a = 1, b = -64, c = 768, onda D = (-64) 2 -4 1 768 = 1024 > 0. X 1, 2 \u003d, x 1 \u003d 48, x 2 \u003d 16. Cavab. 16 və ya 48 meymun var idi. Gəlin həll edək.

Kvadrat tənliyin kökləri üçün düstur dəfələrlə “yenidən kəşf edilmişdir”. Bu düsturun bu günə qədər gəlib çatmış ilk törəmələrindən biri hind riyaziyyatçısı Brahmaquptaya məxsusdur. Orta Asiya alimi əl-Xarəzmi “Kitab əl-cərb vəl-müqəbələ” traktatında bu düsturu tam kvadrat seçməklə əldə etmişdir.

Əl-Xarəzmi bu tənliyi necə həll etdi. O yazırdı: “Qayda belədir: köklərin sayını iki dəfə artırın, x = 2x 5 bu məsələdə beş alın, 5 buna bərabərdir, iyirmi beş olacaq, 5 5 = 25 bunu otuz doqquza əlavə edin. , 25 + 39 altmış dörd olacaq , 64 bundan kök alacaq, səkkiz, 8 olacaq və bunun yarısından köklərin sayını çıxarsaq, yəni beş, 8-5 üç qalacaq - bu və 3 kök olacaq axtardığınız meydanın. Bəs ikinci kök haqqında? Mənfi ədədlər məlum olmadığından ikinci kök tapılmadı. x 2 +10 x = 39

Avropada kvadrat tənliklər 13-17-ci əsrlər. Avropada əl-Xarəzmi modeli üzrə kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturlar ilk dəfə 1202-ci ildə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən yazılmış “Abakus kitabı”nda verilmişdir. İstər İslam ölkələrindən riyaziyyatın təsirini əks etdirən bu həcmli əsər, həm də Qədim Yunanıstan, təqdimatın həm tamlığı, həm də aydınlığı ilə fərqlənir. Müəllif müstəqil olaraq problemlərin bəzi yeni cəbri həllərini işləyib hazırladı və Avropada ilk olaraq mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşdı. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. “Abakus kitabı”ndan bir çox problemlər 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərinə keçdi. və qismən 18.

Fransua Viet - 16-cı əsrin ən böyük riyaziyyatçısı

F.Vyetadan əvvəl kvadrat tənliyin həlli çox uzun şifahi əsaslandırma və təsvirlər, kifayət qədər çətin hərəkətlər şəklində öz qaydalarına uyğun həyata keçirilirdi. Hətta tənliyin özü də yazıla bilmədi, bu, kifayət qədər uzun və mürəkkəb şifahi təsvir tələb etdi. O, “əmsal” ifadəsini işlətmişdir. O, tələb olunan dəyərlərin saitlərlə, məlumatların isə samitlərlə işarələnməsini təklif etdi. Vyeta simvolizmi sayəsində kvadrat tənliyi formada yaza bilərsiniz: ax 2 + bx + c \u003d 0. Teorem: Verilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi ikinci əmsala bərabərdir. əks işarə, köklərin hasili isə sərbəst terminə bərabərdir. Bu teoremin “Vyeta teoremi” adlandırılmasına baxmayaraq, ondan əvvəl də məlum idi və o, onu yalnız müasir formaya çevirmişdir. Vietanı "cəbrin atası" adlandırırlar.

Bəşəriyyət cəhalətdən biliyə qədər uzun bir yol keçmiş, bu yolda daim yarımçıq və natamam biliyi getdikcə daha dolğun və mükəmməl biliklərlə əvəz etmişdir. Son söz

yaşadığımız erkən XXIəsr, qədimlik cəlb edir. Əcdadlarımızda biz ilk növbədə müasir nöqteyi-nəzərdən onların çatışmayan cəhətlərini görürük və adətən onlarla müqayisədə özümüzün nəyin əskik olduğunu görmürük.

Onları da unutmayaq...

Diqqətinizə görə təşəkkürlər!

Əsərin HTML versiyası hələ yoxdur.

Oxşar Sənədlər

Kvadrat tənliklərin kökləri üçün düsturların inkişaf tarixi. Qədim Babildə kvadrat tənliklər. Kvadrat tənliklərin Diofant tərəfindən həlli. 13-17-ci əsrlərdə Hindistan, Xorəzm və Avropada kvadrat tənliklər. Vyeta teoremi, müasir cəbri qeyd.

test, 27/11/2010 əlavə edildi

Kvadrat tənliklərin tarixi: Qədim Babil və Hindistanda tənliklər. X-də bərabər əmsal üçün düsturlar. Xüsusi təbiətli kvadrat tənliklər. Daha yüksək dərəcəli çoxhədlilər üçün Vyeta teoremi. Bikvadrat tənliklərin öyrənilməsi. Cordano düsturunun mahiyyəti.

mücərrəd, 05/09/2009 əlavə edildi

Riyaziyyat tarixində kvadrat tənliyin həlli düsturunun çıxarılması. Müqayisəli təhlil texnologiyalar müxtəlif yollarla ikinci dərəcəli tənliklərin həlli, onların tətbiqi nümunələri. Qısa nəzəriyyə kvadrat tənliklərin həlli, məsələ kitabının tərtibi.

mücərrəd, 12/18/2012 əlavə edildi

Riyaziyyatın həyatımızda əhəmiyyəti. Hesabın tarixi. Müasir dövrdə hesablama riyaziyyatının metodlarının inkişafı. Riyaziyyatın digər elmlərdə istifadəsi, riyazi modelləşdirmənin rolu. Rusiyada riyazi təhsilin vəziyyəti.

məqalə, 01/05/2010 əlavə edildi

Yunan riyaziyyatı. Orta əsrlər və İntibah. Müasir riyaziyyatın başlanğıcları. Müasir riyaziyyat. Riyaziyyat məntiqə deyil, sağlam intuisiyaya əsaslanır. Riyaziyyatın əsaslarının problemləri fəlsəfidir.

mücərrəd, 09/06/2006 əlavə edildi

VI-XIV əsrlərdə Avropada riyaziyyat elminin inkişaf tarixi, onun nümayəndələri və nailiyyətləri. İntibah dövründə riyaziyyatın inkişafı. Hərfi hesablamanın yaradılması, Fransua Vyetanın fəaliyyəti. 16-cı əsrin sonu - 16-cı əsrin əvvəllərində hesablama texnikasının təkmilləşdirilməsi

təqdimat, 20/09/2015 əlavə edildi

XVII-XVIII əsrlərdə Avropa riyaziyyatının inkişafının icmalı. Avropa elminin qeyri-bərabər inkişafı. Analitik həndəsə. Riyazi analizin yaradılması. Leibniz elmi məktəbi. ümumi xüsusiyyətlər 18-ci əsrdə elm. Riyaziyyatın inkişaf istiqamətləri.

təqdimat, 20/09/2015 əlavə edildi

Riyaziyyatın yaranma dövrü (e.ə. 7-5-ci əsrlərə qədər). Sabitlərin riyaziyyatının vaxtı (e.ə. 7-5-ci əsrlər - eramızın XVII əsrləri). Dəyişənlərin riyaziyyatı (XVII-XIX əsrlər). Riyaziyyatın müasir inkişafı dövrü. Kompüter riyaziyyatının xüsusiyyətləri.

təqdimat, 20/09/2015 əlavə edildi

Eramızdan əvvəl 6-cı əsr arasında yaşamış qədim yunan riyaziyyatçılarının nailiyyətləri. və eramızın 5-ci əsri. Riyaziyyatın ilkin inkişafı dövrünün xüsusiyyətləri. Riyaziyyatın inkişafında Pifaqor məktəbinin rolu: Platon, Evdoks, Zenon, Demokrit, Evklid, Arximed, Apollonius.

test, 09/17/2010 əlavə edildi

Riyaziyyatın bir elm kimi formalaşma tarixi. Dövr ibtidai riyaziyyat. Dəyişənlər riyaziyyatının yaradılması dövrü. Analitik həndəsə, diferensial və inteqral hesablamaların yaradılması. XVIII-XIX əsrlərdə Rusiyada riyaziyyatın inkişafı.

Müxtəlif sivilizasiyaların nümayəndələri: qədim Misir, Qədim Babil, Qədim Yunanıstan, Qədim Hindistan, Qədim Çin, Orta əsr Şərqi, Avropa kvadrat tənliklərin həlli üsullarını mənimsəmişdir.

İlk dəfə Qədim Misir riyaziyyatçıları kvadrat tənliyi həll edə bildilər. Riyazi papiruslardan birində problem var:

"Sahəsi 12 və uzunluqları eninə bərabərdirsə, düzbucaqlı formasına malik olan sahənin tərəflərini tapın." Papirusda deyilir ki, “tarlanın uzunluğu 4-dür”.

Minilliklər keçdi, mənfi ədədlər cəbrə girdi. x² = 16 tənliyini həll edərək iki ədəd alırıq: 4, -4.

Təbii ki, Misir problemində biz X = 4 alacağıq, çünki sahənin uzunluğu yalnız müsbət qiymət ola bilər.

Bizə çatan mənbələr qədim alimlərin bəzilərinə sahib olduqlarını göstərir ümumi hiylələr naməlum kəmiyyətlərlə bağlı məsələlərin həlli. Babil mətnlərində ifadə edilən kvadrat tənliklərin həlli qaydası, mahiyyətcə, müasirlə eynidir, lakin babillilərin necə “bu nöqtəyə gəldiyi” məlum deyil. Amma tapılan demək olar ki, bütün papirus və mixi yazılarda yalnız həlli ilə bağlı problemlər verilir. Müəlliflər yalnız hərdən öz ədədi hesablamalarını “Bax!”, “Et!”, “Doğru tapdınız!” kimi mənasız şərhlərlə təmin ediblər.

Yunan riyaziyyatçısı Diofant kvadrat tənlikləri yazıb həll edirdi. Onun “Arifmetika”sında cəbrin sistemli təqdimatı yoxdur, lakin burada izahatlarla müşayiət olunan və müxtəlif dərəcəli tənliklər tərtib etməklə həll olunan sistemli məsələlər silsiləsi var.

Kvadrat tənliklərin tərtibi üçün tapşırıqlar artıq hind riyaziyyatçısı və astronomu Ariabhatta tərəfindən 499-cu ildə tərtib edilmiş "Aria-bhatiam" astronomik traktatında tapılıb.

Başqa bir hind alimi Brahmaqupta (7-ci əsr) ax² + bx = c şəklində olan kvadrat tənliklərin həllinin ümumi qaydasını qeyd etdi.

Qədim Hindistanda çətin problemlərin həlli üçün ictimai yarışlar adi hal idi. Qədim hind kitablarının birində belə yarışlar haqqında belə deyilir: “Günəş öz parlaqlığı ilə ulduzları üstələdiyi kimi, alim də cəbri məsələləri təklif edərək və həll edən məclislərdə digərinin izzətindən üstün olacaq”. Tapşırıqlar çox vaxt poetik formada geyindirilirdi.

Burada XII əsrin məşhur hind riyaziyyatçısının problemlərindən biri var. Bhaskara:

Çılpaq meymun sürüsü

Yaxşı yemək, əylənmək.

Meydanda olanların səkkizinci hissəsi təmizlikdə əyləndi.

Və on iki üzüm boyunca ... atlamağa başladı, asıldı ...

Neçə meymun var idi

Mənə deyirsən, bu sürüdə?

Bhaskara həlli göstərir ki, o, kvadrat tənliklərin köklərinin ikiqiymətliliyi haqqında bilirdi.

Bizə gəlib çatan ən qədim Çin riyazi mətnləri eramızdan əvvəl I əsrin sonlarına aiddir. e.ə. II əsrdə. e.ə. Riyaziyyat Doqquz Kitabda yazılmışdır. Daha sonra VII əsrdə uzun əsrlər boyu tədqiq edilən “On klassik traktat” toplusuna daxil edilmişdir. “Doqquz kitabda riyaziyyat” traktatı necə çıxarmağı izah edir Kvadrat kök iki ədədin cəminin kvadratının düsturundan istifadə etməklə.

Metod "tyan-yuan" (hərfi mənada - "səmavi element") adlanırdı - çinlilər naməlum kəmiyyəti ifadə etdikləri üçün.

Problemlərin həlli üçün geniş yayılmış ilk dərslik 9-cu əsrin Bağdad aliminin işi idi. Məhəmməd bin Musa əl-Xarəzmi. "Əl-cəbr" sözü - zaman keçdikcə məşhur "cəbr" sözünə çevrildi və əl-Xarəzminin əsərinin özü tənliklərin həlli elminin inkişafında başlanğıc nöqtəsi oldu. Əl-Xorəzminin cəbri traktatında xətti və kvadrat tənliklərin təsnifatı verilmişdir. Müəllif tənliklərin altı növünü sadalayır və onları aşağıdakı kimi ifadə edir:

-kvadratlar bərabər köklərə bərabərdir, yəni ah ² = bx;

-kvadratlar bərabər sayda, yəni ah ² = c;

-köklər ədədə bərabərdir, yəni ax = c;

-kvadratlar və ədədlər köklərə bərabərdir, yəni ah ²+ c \u003d bx;

-kvadratlar və köklər ədədə bərabərdir, yəni ah ² + bx \u003d c;

-köklər və ədədlər kvadratdır, yəni bx + c = balta ²;

Əl-Xarəzmi risaləsi bizə gəlib çatan ilk kitabdır ki, burada kvadrat tənliklərin təsnifatı sistemli şəkildə təqdim olunur və onların həlli üçün düsturlar verilir.

Avropada əl-Xarəzmi modeli üzrə kvadrat tənliklərin həlli üçün düsturlar ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Leonardo Fibonaççi tərəfindən 1202-ci ildə yazılmış “Abacus” kitabında verilmişdir. Müəllif müstəqil olaraq problem həllinin bəzi yeni cəbri nümunələrini işləyib hazırlayıb və Avropada ilk dəfə mənfi ədədlərin tətbiqinə yaxınlaşıb. Onun kitabı təkcə İtaliyada deyil, Almaniya, Fransa və digər Avropa ölkələrində cəbr biliklərinin yayılmasına töhfə verib. “Abacus Kitabı”ndan bir çox tapşırıqlar 16-17-ci əsrlərin demək olar ki, bütün Avropa dərsliklərinə daxil edilmişdir. və 18-ci əsrin bir hissəsi.

Tək kanonik formaya endirilmiş kvadrat tənliklərin həlli üçün ümumi qayda x ² + bx \u003d c, b və c əmsallarının bütün mümkün birləşmələri ilə Avropada yalnız 1544-cü ildə M. Stiefel tərəfindən tərtib edilmişdir.

Vietada kvadrat tənliyin həlli üçün düsturun ümumi törəməsi var, lakin o, yalnız müsbət kökləri də tanıyırdı. İtalyan riyaziyyatçıları Tartaglia, Cardano, Bombelli 16-cı əsrdə birincilərdən idi. müsbət və mənfi köklərə əlavə olaraq nəzərə alın. Yalnız XVII əsrdə Cirard, Dekart, Nyuton və başqa alimlərin əsərləri sayəsində kvadrat tənliklərin həlli üsulu müasir forma almışdır.