Tədqiqatın məqsədi avtonom ikili dinamik sistemlərin hərəkət trayektoriyalarının dinamikasının keyfiyyətcə öyrənilməsi üçün kompüter sisteminin yaradılması və istifadəsi üçün superkompüter yönümlü məntiqi metodu (Boolean məhdudlaşdırma metodu) və xidmət yönümlü texnologiyanı inkişaf etdirməkdir. sonlu zaman intervalı. Mövzunun aktuallığı ikili modellərin elmi və tətbiqi tədqiqatlarda davamlı olaraq artan tətbiq dairəsi, eləcə də böyük dövlət vektor ölçüsü olan belə modellərin keyfiyyət təhlilinə ehtiyac ilə təsdiqlənir. Sonlu zaman intervalında avtonom ikili sistemin riyazi modeli və bu sistemə ekvivalent olan Boole tənliyi təqdim olunur. Dinamik xassələrin spesifikasiyasının məhdud ekzistensial və universal kvantivatorlardan istifadə etməklə predikat məntiqi dilində yazılması təklif olunur. Binar sistemin tarazlıq hallarının və dövrlərinin axtarışı üçün məntiqi tənliklər və onların təcrid olunması şərtləri alınır. Əlçatanlıq növünün əsas xüsusiyyətləri müəyyən edilir (əlçatanlıq, təhlükəsizlik, eyni vaxtda əlçatanlıq, faza məhdudiyyətləri altında əlçatanlıq, cazibə, əlaqə, ümumi əlçatanlıq). Hər bir xassə üçün onun modeli xüsusiyyətin məntiqi spesifikasiyasını və sistem dinamikasının tənliklərini təmin edən Boolean məhdudiyyəti (Boole tənliyi və ya kəmiyyətləşdirilmiş Boole düsturu) şəklində qurulur. Beləliklə, sonlu zaman intervalında avtonom binar dinamik sistemlərin hərəkət trayektoriyalarının müxtəlif xassələrinin mümkünlüyünün yoxlanılması müasir SAT və TQBF həlledicilərindən istifadə edərək Boolean məhdudiyyətlərinin mümkünlüyü probleminə endirilir. Əvvəllər verilmiş bəzi xassələrin mümkünlüyünü yoxlamaq üçün bu texnologiyadan istifadənin nümayiş nümunəsi verilmişdir. Yekun olaraq, Boolean məhdudlaşdırma metodunun əsas üstünlükləri sadalanmış, onun xidmət yönümlü yanaşma çərçivəsində proqram təminatının həyata keçirilməsinin xüsusiyyətləri və binar dinamik sistemlərin digər sinifləri üçün metodun gələcək inkişafının istiqamətləri göstərilmişdir.
ikili dinamik sistem
dinamik xüsusiyyət
keyfiyyət təhlili
boolean məhdudiyyətləri
Boolean məmnunluq problemi
1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. SAT həllinin nəzəriyyəsi və təcrübəsi. Dagstuhl Reports. 2015.cild. 5. yox. 4. R. 98–122.
2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. On iki illik QBF qiymətləndirmələri: QSAT PSPACE-Çətindir və göstərir. fond. məlumat vermək. 2016.cild. 149. R. 133-58.
3. Bohman D., Posthof H. Binar dinamik sistemlər. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 s.
4. Maslov S.Yu. Deduktiv sistemlər nəzəriyyəsi və onun tətbiqi. Moskva: Radio və rabitə, 1986. 133 s.
5. Jhala R., Majumdar R. Proqram modelinin yoxlanılması. ACM Hesablama Sorğuları. 2009.cild. 41 yox. 4 R. 21:1–21:54.
6. Vasiliev S.N. Dinamik sistemlərin reduksiya üsulu və keyfiyyət təhlili. I–II // İzvestiya RAN. Nəzəriyyə və idarəetmə sistemləri. 2006. № 1. S. 21–29. № 2, səh. 5–17.
7. DIMACS formatı [Elektron resurs]. Giriş rejimi: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (giriş tarixi 24.07.2018).
8. QDIMACS standartı [Elektron resurs]. Giriş rejimi: http://qbflib.org/qdimacs.html (24/07/2018 daxil olub).
9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Hadisəyə əsaslanan dinamika ilə diskret zaman sistemləri: Analiz və sintez metodlarında son inkişaflar. Mario Alberto Jordan (Red.). Diskret Zaman Sistemləri. intech. 2011. R. 447–476.
10. Vasiliev S.N. Ümumi keçid qaydası olan avtomat şəbəkəsində əlçatanlıq və əlaqə // Diferensial tənliklər. 2002. V. 38. No 11. S. 1533–1539.
11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Paylanmış hesablama mühitində Boole tənliklərinin paralel həllinin avtomatlaşdırılması üçün multi-agent texnologiyası // Hesablama texnologiyaları. 2016. V. 21. No 3. S. 5–17.
12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Asılılıqdan xəbərdar olan QBF həlledicisi. Məmnuniyyət haqqında jurnal. Boolean Modelləşdirmə və Hesablama. 2010. cild. 9. R. 71–76.
13. Oparin G.A., Boqdanova V.G., Paşinin A.A., Qorski S.A. Mikroservislər və Agent Şəbəkələri əsasında Tətbiqi Problemlərin Paylanmış Həllediciləri. Proc. 41-ci Təcrübəçidən. İnformasiya və Kommunikasiya Texnologiyaları, Elektronika və Mikroelektronika üzrə Konvensiya (MIPRO-2018). R. 1643–1648.
14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Boolean Məmnuniyyət Problemlərinin Ölçəklənən Paralel Həlli. Proc. 41-ci Təcrübəçidən. İnformasiya və Kommunikasiya Texnologiyaları üzrə Konvensiya. Elektronika və Mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244–249.
15. Bıçkov İ.V., Oparin G.A., Boqdanova V.G., Paşinin A.A. Paylanmış Hesablama Mövzu Domen Modelinə əsaslanan Tətbiqi Problemlərin Həlli Texnologiyası: Mərkəzləşdirilməmiş Yanaşma // Paralel Hesablama Texnologiyaları XII Beynəlxalq Konfransı, PaVT’2018, Rostov-on-Don, 2-6 aprel 2018. Qısa məqalələr və poster təsvirləri. Çelyabinsk: SUSU Nəşriyyat Mərkəzi, 2018. S. 34–48.
Binar dinamik modellərin tətbiq dairəsi olduqca genişdir və hər il onların istifadəsi tələb olunan obyektlərin və tapşırıqların sayı yalnız artır. Klassik nümunə, idarəetmə sistemlərində, kompüter texnologiyasında, telemexanikada bir çox diskret cihazların modeli olan ikili sinxron avtomatdır. Binar dinamik modellərin müasir tətbiqlərinə bioinformatika, iqtisadiyyat, sosiologiya və iki dəyərli dəyişənlərin istifadəsindən uzaq görünən bir sıra digər sahələrin problemləri daxildir. Bu baxımdan, binar dinamik sistemlərin (DDS) trayektoriyalarının davranışının keyfiyyətcə təhlili üçün yeni üsulların işlənib hazırlanması və mövcud metodların təkmilləşdirilməsinin aktuallığı əhəmiyyətli dərəcədə artır.
Məlum olduğu kimi, dinamik sistemin (yalnız binar deyil) keyfiyyət təhlilinin məqsədi suala müsbət və ya mənfi cavab almaqdır: Tələb olunan dinamik xassə verilmiş sistemdə özünü saxlayırmı? Bu sualı aşağıdakı kimi təkrarlayaq: Dinamik sistemin trayektoriyalarının davranışı xassəni xarakterizə edən müəyyən məhdudiyyətlər toplusunu təmin edirmi? Bundan əlavə, sistemin dinamik xüsusiyyətlərinin keyfiyyət təhlili məqsədinin bu şərhindən istifadə edəcəyik.
Əməliyyatı sonlu zaman intervalında nəzərə alınan DDS üçün belə məhdudiyyətlər Booleandır və kəmiyyət göstəriciləri ilə Boolean tənlikləri və ya Boolean düsturlarının dilində yazılır. Məhdudiyyətlərin birinci növü SAT probleminin həlli zərurətinə gətirib çıxarır (boolean razılıq problemi); ikinci növ məhdudiyyətlər TQBF probleminin həlli ilə bağlıdır (kəmiyyətləşdirilmiş Boolean düsturlarının doğruluğunun yoxlanılması). Birinci problem NP mürəkkəblik sinfinin tipik nümayəndəsi, ikinci problem isə PSPACE mürəkkəblik sinfidir. Məlum olduğu kimi, diskret problemin PSPACE-tamlığı NP-tamlığından daha çox həll oluna bilməyəcəyini sübut edir. Buna görə də DDS-nin keyfiyyət təhlili probleminin SAT probleminə endirilməsi TQBF probleminin azaldılmasından daha üstündür. Ümumi halda, DDS-nin hər bir xassəsinin öyrənilməsi Boolean tənliklərinin dilində təqdim oluna bilməz.
DDS-nin keyfiyyət analizində Boolean məhdudiyyətlərindən (yəni, Boole tənliklərindən) istifadənin nəzəri imkanları ilk dəfə olaraq . Lakin qeyd etmək lazımdır ki, həmin dövrdə bu yanaşmanın praktikada tətbiqi məntiqi tənliklərin (xüsusilə çoxlu sayda naməlum dəyişənlərlə) həlli üçün səmərəli alqoritmlərin və proqramların olmaması ilə məhdudlaşırdı ki, bu da axtarış sahəsini əhəmiyyətli dərəcədə azaldır. Son onillikdə bu sahədə aparılan intensiv tədqiqatlar nəticəsində həllində müasir nailiyyətlərdən (yeni evristika, sürətli verilənlər strukturları, paralel hesablamalar və s.) istifadə edən kifayət qədər sayda müxtəlif səmərəli Boolean tənlik həllediciləri (SAT həllediciləri) meydana çıxmışdır. Boolean məmnunluq problemi. Oxşar proseslər (lakin müəyyən gecikmə ilə) TQBF probleminin həlli üçün getdikcə daha səmərəli alqoritmlərin və proqramların yaradılması sahəsində də müşahidə olunur. Beləliklə, bu günə qədər DDS-nin keyfiyyət təhlilində Boolean məhdudiyyətlər metodunun sistemli inkişafı, onun proqram təminatının tətbiqi və elmi və tətbiqi problemlərin həllində tətbiqi üçün bütün zəruri ilkin şərtlər mövcuddur.
Boolean məhdudlaşdırma metoduna əlavə olaraq, keyfiyyət təhlilinin digər üsulları da DDS-ə tətbiq edilə bilər ki, bunlara deduktiv təhlil, model yoxlaması və azalma metodu daxildir. Bu metodların hər biri (boolean məhdudlaşdırma metodu daxil olmaqla) öz məhdudiyyətləri, üstünlükləri və mənfi cəhətləri var. Ümumi çatışmazlıq ondan ibarətdir ki, bütün üsullar sadalama xarakterlidir və bu metodlar üçün siyahının azaldılması problemi əsasdır.
Sistemin düzgün işləməsini sübut etmək üçün aksiomların və nəticə çıxarma qaydalarının tətbiqini nəzərdə tutan deduktiv təhlilin əhəmiyyəti geniş mütəxəssislər dairəsi tərəfindən qəbul edilir, lakin bu, çox zəhmət tələb edən və buna görə də nadir hallarda istifadə olunan bir üsuldur. Modelin yoxlanılması metodunda tələb olunan xassə spesifikasiyası dili avtomatların dinamikası üzrə mütəxəssislər üçün qeyri-adi olan temporal məntiq dilindən istifadə edir. Reduksiya üsulu ilkin sistemin sadələşdirilmiş (müəyyən mənada) modelinin qurulması, onun xassələrinin öyrənilməsi və bu xassələrin ilkin kompleks sistemə köçürülməsi şərtləri ilə bağlıdır. Əmlakların köçürülməsi şərtləri yalnız bu halda kifayətdir. DDS-nin keyfiyyət təhlilində azalma metodu ideyasının sadəliyi metodun bütün şərtlərinə cavab verən sadələşdirilmiş sistemin seçilməsi problemi ilə üzləşir.
Boolean məhdudlaşdırma metodunun praktiki istifadəsi aşağıdakı proseslərin alqoritmləşdirilməsini və avtomatlaşdırılmasını əhatə edir:
1) sistem dinamikası üzrə mütəxəssisə yönəlmiş dinamik xüsusiyyətlərin dəqiqləşdirilməsi üçün məntiqi dilin inkişafı;
2) xassələrin məntiqi spesifikasiyasına və binar sistemin dinamika tənliklərinə cavab verən bu və ya digər tipli Boolean məhdudiyyəti şəklində dinamik xassə modelinin qurulması;
3) alınan modelin DIMACS və ya QDIMACS beynəlxalq formatında təqdimatı;
4) Boolean məhdudiyyətlərinin ödənilməsi probleminin səmərəli paralel (paylanmış) həlledicisinin (SAT və ya TQBF həlledicisinin) seçilməsi (inkişafı);
5) proqram təminatı xidmətlərinin yaradılması alətlərinin işlənib hazırlanması;
6) DDS-nin müxtəlif dinamik xassələrinin keyfiyyətli tədqiqi xidmətlərinin inkişafı.
məqsəd Bu işin mahiyyəti avtonom (idarəetmə girişləri olmadan) sinxron DDS-nin keyfiyyət tədqiqatlarının alqoritmləşdirilməsi ilə bağlı yalnız ilk iki problemin həllidir. İngilisdilli nəşrlərdəki belə sistemlərə sinxron Boolean şəbəkələri (Boolean şəbəkəsi) deyilir. Boolean məhdudiyyət metodunun tətbiqinin digər aspektləri (o cümlədən nəzarət girişləri olan DDS üçün) aşağıdakı nəşrlərin mövzusudur.
Avtonom DDS-nin riyazi modeli
X = Bn (B = (0, 1) n ölçüsünün ikili vektorlarının çoxluğu (DDS vəziyyət fəzası) olsun) t∈T = (1,…,k) diskret vaxtı (dövrün nömrəsini) işarə etsin.
İlkin vəziyyət adlanan hər bir x0∈X vəziyyəti üçün x(t, x0) trayektoriyasını X çoxluğundan x0, x1,…, xk vəziyyətlərinin sonlu ardıcıllığı kimi təyin edirik. Bundan əlavə, hər bir cütün olduğu DDS-i nəzərdən keçirəcəyik. qonşu dövlətlərin xt, x(t - 1) (t∈T) trayektoriyaları əlaqə ilə bağlıdır.
xt = F(xt - 1). (bir)
Burada F:X>X məntiqi cəbr vektor funksiyasıdır, keçid funksiyası adlanır. Beləliklə, hər hansı x0∈X üçün Boole tənlikləri sistemi (1) T = (1, 2,…,k) sonlu zaman intervalında X dövlət fəzasında DDS trayektoriyalarının davranışının dinamikasının modelini təmsil edir. Burada və aşağıda T çoxluğunun tərifindəki k qiymətinin əvvəlcədən təyin edilmiş sabit olduğu qəbul edilir. Bu məhdudiyyət olduqca təbiidir. Məsələ ondadır ki, DDS trayektoriyalarının davranışının keyfiyyətcə təhlili zamanı sabit, çox böyük olmayan k üçün bəzi dinamik xassələrin məqsədəuyğunluğu haqqında nə demək olar sualı praktiki maraq doğurur. Hər bir konkret halda k qiymətinin seçimi simulyasiya edilmiş diskret sistemdə proseslərin müddəti haqqında aprior məlumatlara əsaslanır.
Məlumdur ki, T = (1, 2,…,k) üçün ilkin vəziyyəti x0∈X olan (1) Boole tənlikləri sistemi formanın bir Boole tənliyinə ekvivalentdir.
k = 1 (yalnız bir addımlı keçidlər nəzərə alınır) üçün (2) tənliyi formasını alır
(3)
Bu tənliyin həlləri X çoxluğunun 2n vəziyyətindən biri ilə işarələnmiş 2n təpədən ibarət istiqamətlənmiş qrafiki təyin edir. Qrafikin x0 və x1 təpələri x0 vəziyyətindən x1 vəziyyətinə yönəlmiş qövslə birləşdirilir. İkili avtomatlar nəzəriyyəsində belə qrafikə keçid diaqramı deyilir. DDS davranışının keçid diaqramı şəklində təsviri həm trayektoriyaların qurulması, həm də onların xassələrinin öyrənilməsi zamanı çox aydındır, lakin x∈X dövlət vektorunun kiçik n ölçüləri üçün praktiki olaraq həyata keçirilir.
Dinamik xassələri təyin etmək üçün dil vasitələri
Formal məntiq dilində dinamik xassə spesifikasiyasını təyin etmək ən əlverişlidir. Məqalədən sonra biz X0∈X, X1∈X, X*∈X ilə ilkin, icazə verilən və hədəf vəziyyətlərin dəstlərini işarə edirik.
Dinamik xassə məntiqi formulunun əsas sintaktik elementləri bunlardır: 1) subyekt dəyişənləri (x0, x1,..., xk, zaman t vektorlarının komponentləri); 2) varlığın və universallığın məhdud kəmiyyətləri; 3) məntiqi bağlayıcılar v, &; son düsturlar. Yekun düstur x(t, x0) (x0∈X0) trayektoriyalar toplusunun bəzi hallarının X* və X1 qiymətləndirmə dəstlərinə aid olmasının təsdiqini əks etdirir.
Qeyd etmək lazımdır ki, məhdud ekzistensial və universal kəmiyyət göstəricilərindən istifadə dinamika üzrə mütəxəssisə tanış olan dinamik xassə yazmaq üsulunu təmin edir. Boolean modelinin qurulması prosesində (1) sisteminin xassələri aşağıdakı təriflərə uyğun olaraq məhdud kəmiyyət göstəriciləri ilə adi olanlarla əvəz olunur:
burada A(y) y dəyişəninin qiymətini məhdudlaşdıran predikatdır.
t dəyişəninin diapazonunun sonluluğuna görə bu dəyişənə münasibətdə mövcudluğun və universallığın məhdud kəmiyyət göstəriciləri tərkibində kəmiyyət göstəriciləri olmayan ekvivalent düsturlarla əvəz olunur.
Bundan sonra X0, X1, X* çoxluqlarının elementlərinin müvafiq olaraq aşağıdakı Boole tənliklərinin sıfırları ilə təyin olunduğunu fərz edəcəyik.
və ya bu çoxluqların xarakterik funksiyaları, .
G0(x) = 0 ilkin vəziyyətlərinin məhdudlaşdırılmasını nəzərə alaraq (2, 3) tənliklərlə birlikdə qeydi qısaltmaq üçün aşağıdakı Boole tənliklərindən istifadə edəcəyik:
(4)
Avtonom DDS-nin ilkin keyfiyyət təhlili
İlkin təhlil mərhələsində dövlətin budaqlanması (onun bilavasitə sələflərinin toplusu), tarazlıq vəziyyətlərinin və qapalı traektoriyaların (dövlələrin) mövcudluğu (zəruri olduqda) müəyyən edilə bilər.
(3)-dəki x1 vəziyyəti x0 vəziyyətinin varisi, x0 isə x1 vəziyyətinin sələfi adlanacaq. Avtonom DDS-də hər bir dövlətin yalnız bir varisi var və verilmiş dövlətin sələflərinin sayı sıfırdan 2n - 1-ə qədər dəyişə bilər. s∈X vəziyyətinin bütün bilavasitə x0 sələfləri Boole tənliyinin sıfırlarıdır.
Əgər (6) tənliyinin həlli yoxdursa, s halının sələfləri yoxdur.
Tarazlıq halları (əgər onlar varsa) Boole tənliyinin həlləridir
Əgər x0, x1,…, xk-1 vəziyyətləri bir-birindən cüt-cüt fərqlidirsə və xk = x0 olarsa, x0, x1,…, xk trayektoriyası k uzunluğunda dövrə adlanır. Uzunluğu k olan siklik ardıcıllıq (əgər varsa) Boole tənliyinin həllidir.
burada = 0 ( 
) - k uzunluğunda dövrün C hallar çoxluğu üçün cüt fərq şərtləri. Əgər dövr vəziyyətlərinin heç birində C çoxluğuna aid olmayan sələfləri yoxdursa, onda belə dövrə təcrid olunmuş adlanır. C çoxluğunun s elementləri Gc(s) = 0 Boole tənliyinin həlli ilə müəyyən edilsin. Onda aşağıdakı Boole tənliyində siklin təcrid şərtinin sıfırların olmamasına ekvivalent olduğunu göstərmək asandır:
(7) tənliyinin həlli (əgər onlar varsa) C çoxluğuna aid olmayan sələfləri olan dövr vəziyyətlərini müəyyən edir.
Tarazlıq vəziyyəti k = 1 uzunluğunda bir dövr olduğundan, onun təcrid vəziyyəti k ≥ 2 olan təcrid vəziyyətinə bənzəyir, fərqlə ki, Gc(lər) bu tarazlıq vəziyyətini təyin edən tam disyunksiya formasına malikdir.
Bundan sonra, təcrid olunmamış tarazlıq vəziyyətləri və dövrələr atraktorlar adlanacaqdır.
Əlçatanlıq növünün dinamik xüsusiyyətlərinin spesifikasiyası
DDS-nin əsas xüsusiyyəti, praktikada ən çox ortaya çıxan yoxlama ehtiyacı, qrafik nəzəriyyəsində ənənəvi olaraq öyrənilən əlçatanlıq xüsusiyyətidir (bizim vəziyyətimizdə belə bir qrafik keçid diaqramıdır) və onun müxtəlif variasiyalarıdır. Əlçatanlıq DDS trayektoriyalarının davranışını təhlil etmək üçün klassik problem kimi müəyyən edilir.
Bu xassənin tərifi əvvəllər təqdim edilmiş X0, X*, X1 çoxluqlarının təyin edilməsi ilə bağlıdır (bu Boolean tənliklərinin bu dəstlərinə uyğundur). Ehtimal olunur ki, X0, X*, X1 çoxluqları məhdudiyyəti ödəyir
T çoxluğu sonlu olduğundan, əlçatanlıq xassəsi və onun variasiyaları daha sonra praktik əlçatanlığın (son sayda dövrlərdə əlçatanlıq) xüsusiyyəti kimi başa düşüləcəkdir. Aşağıdakı əlçatanlıq tipi xüsusiyyətləri nəzərə alınır:
1. X0 çoxluğundan X* çoxluğunun əsas əldə olunma xassəsi aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: X0 ilkin vəziyyətlər dəstindən işə salınan istənilən trayektoriya X* hədəf dəstinə çatır. Məhdud ekzistensial və universal kəmiyyət göstəricilərindən istifadə edərək, bu xassə üçün düstur belədir:
2. Təhlükəsizlik xüsusiyyəti X0-dan başlayan hər hansı trayektoriya üçün X* dəstinin əlçatmaz olmasını təmin edir:
3. Eyni vaxtda əlçatanlıq xüsusiyyəti. Bəzi hallarda, hər bir trayektoriyanın təyin olunmuş hədəfə tam k dövründə (k∈T) çatmasından ibarət olan daha “ciddi tələb” qoyula bilər:
4. Faza məhdudiyyətləri altında əlçatanlıq xüsusiyyəti:
Bu xüsusiyyət X0 dəstindən yayılan bütün trayektoriyaların X* hədəf dəstinə çatana qədər X1 dəstində olmasına zəmanət verir.
5. Cazibə xüsusiyyəti. X* cəlbedici olsun. Sonra cazibə xassəsinin məntiqi düsturu əsas əlçatanlıq xassəsinin düsturu ilə üst-üstə düşür:
olanlar. X0 çoxluğundan buraxılan hər bir trayektoriya üçün t∈T vaxtı var, ondan başlayaraq trayektoriya X* çoxluğundan kənara çıxmır. Bu vəziyyətdə X0 dəsti X* dəstinin cazibə sahəsinin bir hissəsinə aiddir (X0∈Xa, burada Xа atraktorun tam cazibə sahəsidir (hovuz).
Qeyd edək ki, xassələrin yuxarıdakı düsturlarındakı bütün dəyişənlər əslində bağlıdır, çünki x0, x1,…, xk trayektoriyası tamamilə ilkin vəziyyətlə müəyyən edilir. Dəyişən t-ə münasibətdə kəmiyyət göstəriciləri çoxyerli disjunksiya və ya müvafiq predikatların birləşməsi əməliyyatları ilə əvəz olunduğundan, düsturların hər birində onların mümkünlüyünün şərtlərini yazmağa imkan verən vahid məhdud universal kəmiyyət göstəricisi () qalır. Boolean tənliklərinin dilində xassələri (SAT məsələsi şəklində).
Biz iki xassə təqdim edirik ki, onların yoxlanılması TQBF probleminin həllinin zəruriliyinə gətirib çıxarır.
6. Hədəf dəstinin əlaqə xüsusiyyəti:
olanlar. x0∈X0 ilkin vəziyyəti var ki, x*⊆X* hər bir hədəf vəziyyətinə müəyyən vaxtda t∈T çatmaq mümkün olsun, bu o deməkdir ki, bu vəziyyətə uyğun gələn trayektoriya var ki, bütün hədəf dövlətləri x*∈X* aid olsun. bu trayektoriyaya.
7. X0-dan X* dəstinin ümumi əlçatanlıq xüsusiyyəti:
olanlar. hər bir hədəf dövlət X0-dan əldə edilə bilər.
Dinamik xassələrin mümkünlüyünün yoxlanılması
Xassələr (1-5) üçün onların mümkünlüyünün yoxlanılması Boole tənliyinin sıfırlarının tapılmasına qədər azaldılır, formalaşma texnologiyası standart xarakter daşıyır və yalnız əsas əldə edilə bilən xüsusiyyət üçün ətraflı nəzərdən keçirilir. Xüsusiyyətlər (6, 7) kəmiyyətləşdirilmiş Boolean düsturunun doğruluğunu yoxlamaq probleminə gətirib çıxarır.
1. Əlçatanlığın əsas xüsusiyyəti. Onun məntiqi formuludur
(4) nəzərə alaraq düstur (8)-i belə yazırıq
burada x0∈X0 ilkin vəziyyətdən çıxan trayektoriyanın vəziyyətlər çoxluğunun xarakterik funksiyası. (9)-dakı ekzistensial kvantivatordan xilas olaq. Sonra bizdə olacaq
X* çoxluğunun xarakterik funksiyası haradadır. Məhdud universal kəmiyyət göstəricilərini adi kəmiyyət göstəriciləri ilə əvəz edirik. Nəticədə alırıq
Düstur (10) o zaman doğru olur ki, yalnız və yalnız altkvantator ifadəsi eyni dərəcədə doğrudur, yəni.
Nəticənin eyni həqiqəti o deməkdir ki, Boolean funksiyası funksiyanın məntiqi nəticəsidir, yəni. ilkin vəziyyəti x0∈X0 olan istənilən trayektoriya X* hədəf dəstinə çatır.
Şəxsiyyətin təmin edilməsi (11) Boole tənliyində sıfırların olmamasına bərabərdir
(12) törəmədə biz implikasiyadan xilas olduq və ϕ*(x0, x1,..., xk) ilə əvəz etdik. 
. Əgər (12) tənliyinin ən azı bir həlli varsa, o zaman əlçatanlıq xassəsinə uyğun gəlmir. Belə bir həll yoxlanılan əmlak üçün (müəyyən mənada) əks nümunədir və tədqiqatçıya səhvin səbəbini müəyyən etməyə kömək edə bilər.
Bundan əlavə, qısalıq üçün hər bir xüsusiyyət (2-4) üçün yalnız (12) tipli bir tənlik yazırıq, oxucuya əsas əlçatanlıq xüsusiyyəti üçün verilənlərə yaxın zəruri arqumentləri müstəqil şəkildə təkrarlamağı təklif edirik.
2. Təhlükəsizlik mülkiyyəti
3. Eyni vaxtda əlçatanlıq xüsusiyyəti
4. Faza məhdudiyyətləri altında əlçatanlıq xüsusiyyəti
5. Cazibə xüsusiyyəti. Bu əmlakın məqsədəuyğunluğu iki mərhələdə yoxlanılır. Birinci mərhələdə X* çoxluğunun cəlbedici olub-olmadığı aşkarlanır. Cavab bəli olarsa, ikinci mərhələdə əsas əlçatanlıq xüsusiyyəti yoxlanılır. X*-a X0-dan çatmaq olarsa, cazibə xassəsinin bütün şərtləri təmin edilir.
6. Bağlantı xüsusiyyəti
7. Ümumi əlçatanlıq xüsusiyyəti`
(6, 7) xassələri üçün iki Boole vektorunun bərabərliyinin skalyar forması xt = x* formasına malikdir.
İşdən model 3.2 üçün yuxarıda göstərilən bəzi xassələrin mümkünlüyünü yoxlayarkən, Boolean məhdudiyyət metodundan istifadə edərək, avtonom DDS-nin keyfiyyət təhlili üçün yuxarıda göstərilən texnologiyanı nümayiş etdirək:
Modelin (13) ilkin vəziyyətini x0∈X = B3 ilə işarələyin. T = (1, 2) olsun. Xassələrin spesifikasiyası üçün tələb olunan modelin (13) bir pilləli və iki pilləli keçidlərinin funksiyalarını yazaq:
(14)
harada işarəsi "." birləşmənin işini bildirir.
Hər bir xassə uyğunluğunu yoxlamaq üçün G0(x) = 0, G*(x) = 0 tənliklərinin sıfırları və ya xarakteristikası ilə təyin olunan ilkin (X0) və hədəf (X*) dəstləri müəyyən edilir. bu dəstlərin funksiyaları (bax. Bölmə 2). SAT həlledicisi olaraq REBUS instrumental kompleksi (IC) həlledicisi istifadə olunur və TQBF həlledicisi DepQBF-dir. Bu həlledicilər üçün aşağıda nəzərdən keçirilən xassələrin Boolean modellərində dəyişənlərin kodlaşdırılması Cədvəldə verilmişdir. 1, DIMACS və QDIMACS formatlarında bu xassələrin Boolean modelləri Cədvəldə yerləşir. 2.
Cədvəl 1
Dəyişən kodlaşdırma
|
Boolean modelində dəyişən sayı |
||||||||||||
|
Mülk 1 |
||||||||||||
|
Əmlak 2 |
||||||||||||
|
Əmlak 3 |
||||||||||||
|
Əmlak 4 |
||||||||||||
|
Əmlak 5 |
cədvəl 2
Boolean mülkiyyət modelləri
|
Mülk 1 |
Əmlak 2 |
Əmlak 3 |
Mülk 4 (A) |
Mülk 4 (B) |
Əmlak 5 |
|
e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0 |
1. Əsas əlçatanlıq xüsusiyyəti (k = 2). X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1) olsun. İlkin və hədəf dəstləri müvafiq olaraq G0(x) = x1 = 0 və tənlikləri ilə müəyyən edilir. Bu vəziyyətdə məntiq tənliyi (12) formasını alır
burada (14) ϕ(x0, x1, x2) funksiyası müəyyən edilir. IR REBUS həlledicisi "unsat" cavabını verir (tənlikdə sıfır yoxdur), beləliklə, X0-dan X* əlçatanlıq xüsusiyyəti təmin edilir, bu şəkildə göstərilən növbəti keçid diaqramından aydın görünür.
2. Uzunluğu k = 2 olan dövrələr. Uzunluğu 2 olan siklik ardıcıllıq (əgər varsa) Boole tənliyinin həllidir.
Funksiya bənzəyir
(13) modelində k = 1 uzunluqlu dövrlər (tarazlıq halları) olmadığından dövr tapılan zaman R(x0, x1) ifadəsi tənliyə daxil edilməmişdir. IR REBUS həlledicisindən istifadə edərək iki cavab əldə edildi (DIMACS çıxış formatında): 1 2 3 4 5 -6 0 və 1 2 -3 4 5 6 0, tsiklik ardıcıllığa uyğundur (şəkil): ((1 1 1) , (1 1 0)) və ((1 1 0), (1 1 1)). Hər iki dövrün vəziyyət dəstləri üst-üstə düşür, bu o deməkdir ki, model (13) k = 2 uzunluğunda bir dövrəyə malikdir.
Sistem keçid diaqramı (13)
3. Dövrün təcrid olunma xüsusiyyəti. Uzunluğu k = 2 olan dövrün C vəziyyətlər çoxluğunun s elementləri Gc(s) = 0 Boole tənliyinin həlli ilə müəyyən edilirsə, onda dövrün təcrid olunması şərti aşağıdakı Booleanda sıfırların olmamasına bərabərdir. tənlik:
C = ((1 1 1), (1 1 0)) olduğundan, bizdə var
Bu tənlik üçün IR REBUS həlledicisi iki həll yolu tapır: -1 2 3 4 5 -6 0 və -1 2 -3 4 5 -6 0 (ikili təsvirdə, Cədvəl 1-də dəyişənlərin kodlaşdırılmasına əsasən, bunlar cütlərdir. dövlətlərin (0 1 1), (1 1 0) və ((0 1 0), (1 1 0)) Beləliklə, sikl vəziyyətinin (1 1 0) iki sələfi var, (0 1 1) və (0 1) 0), dövlət təyin olunmuş dövrünə aid olmayan Bu, dövrün izolyasiya xüsusiyyətinin təmin edilməməsi deməkdir, yəni bu dövr bir cəlbedicidir.
4. Attraksion xüsusiyyəti. X* = C cəlbedici olsun. Cazibə xassəsinin məntiqi düsturu əsas əlçatanlıq xassəsinin düsturu ilə eynidir
və bizim vəziyyətimiz üçün müvafiq Boole tənliyi formaya malikdir
G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) və funksiyalarını yazaq. ϕ(x0, x1, x2) funksiyası (14)-də verilmişdir. X* = C üçün ifadə . K = 2 dövr üçün cazibə xassəsinin yerinə yetirilməsi (A) və yerinə yetirilməməsi (B) halları üçün X0 ilkin vəziyyətlər dəstini təyin etmək üçün iki variantı nəzərdən keçirin.
A. Qoy. Sonra
Bu halda, (15) Boole tənliyi üçün cavab "unsat"dır. Verilmiş X0 dəsti üçün cəlbedici xüsusiyyət təmin edilir.
B. Qoy. Sonra
Bu halda (15) tənliyi üçün IR REBUS həllini tapır: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, trayektoriyaya ((1 0 1),(1 0 0),(0) uyğun gəlir. 1 1)) . Başlanğıc vəziyyəti x0 = (1 0 1) olan bu trayektoriya iki dövrədə X* = C çoxluğuna çatmır, bu isə o deməkdir ki, verilmiş X0 üçün cazibə xassəsi təmin edilə bilməz.
5. Bağlantı xüsusiyyəti. Bağlantı xassəsinin məntiqi düsturu aşağıdakı ifadə formasına malikdir:
k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2) üçün, burada (14) ϕ(x0, x1, x2) funksiyası verilmişdir. Başlanğıc olaraq vəziyyəti (1 0 1) seçək. Sonra . Hədəf X* = ((0 1 1), (1 0 0)) təyin etsin. Bu halda G*(x*) funksiyası formaya malikdir
CNF formatında G*(x*) yazaq:
De-Morgan qanunundan istifadə edərək ϕ*(x0, x1, x2) funksiyasının inkarını tapırıq. Alınan bütün funksiyaları (16)-da əvəz edərək və Boolean dəyişənlərinin kodlaşdırılmasını nəzərə alaraq (Cədvəl 1) QDIMACS formatında Boolean modelini əldə edirik (Cədvəl 2). DepQBF həlledicisi "otur" cavabını verir, bu ifadənin doğruluğunu bildirir (16). Verilmiş X0, X*, T = (1, 2) üçün bağlılıq xassəsi ödənilir.
Nəticə
DDS-nin keyfiyyətcə öyrənilməsində Boolean məhdudiyyət metodunun əsas üstünlüklərinə aşağıdakılar daxildir:
1. Avtomatlar dinamikası üzrə mütəxəssisin məhdud mövcudluq və universallıq kəmiyyət göstəricilərindən istifadə etməklə dinamik xassəni təyin etmək üçün istifadə etdiyi məntiqi dil.
2. Xassə düsturu və dinamik tənliklər əsasında müvafiq Boole tənliyinin və ya kəmiyyətləşdirilmiş Boole düsturunun qurulması avtomatik həyata keçirilir.
3. SAT həllediciləri və QBF həllediciləri üçün daxil olan DIMAX və QDIMAX formatlarında faylın sonrakı nəsli ilə nəticələnən Boolean ifadələrinin konyunktiv normal formaya çevrilməsi prosesini avtomatlaşdırmaq kifayət qədər asandır.
4. Sadalamanın azaldılması problemi müəyyən dərəcədə bu həlledicilərin tərtibatçıları tərəfindən həll edilir və DDS-nin keyfiyyət analizində mütəxəssislərdən qorunur.
5. Kifayət qədər uzun T zaman intervalında n dövlət vektorunun böyük ölçüləri üçün DDS-nin keyfiyyət təhlili məsələsinin həlli imkanları təmin edilir.Ştatlar sayı baxımından Boolean məhdudlaşdırma üsulu modelin yoxlanılması ilə kəmiyyətcə mütənasibdir. üsul. Son illərdə SAT və TQBF problemlərinin həlli üçün ixtisaslaşmış alqoritmlərin performansında əhəmiyyətli artım olduğu üçün müasir həlledicilər üçün Boole xassə modelində dəyişənlərin ümumi sayı minlərlə ölçülə bilər.
Boolean məhdudiyyətləri metodu əsasında DDS-nin keyfiyyət təhlili üçün proqram təminatı, Boolean tənliklərinin ixtisaslaşmış həlledicilərindən istifadə etməklə xidmət yönümlü yanaşma çərçivəsində həyata keçirilir. Məqalədə gen tənzimləyici şəbəkələrdə dövrlərin və tarazlıq hallarının axtarışı üçün xidmət yönümlü yanaşmaya əsaslanan Boolean məhdudlaşdırma metodunun tətbiqi nümunəsi təqdim olunur.
Qeyd etmək lazımdır ki, Boolean məhdudlaşdırma metodu sonlu zaman intervalında DDS-nin keyfiyyət təhlili üçün kifayət qədər ümumi metoddur. Bu, yalnız avtonom sistemlərə deyil, həm də idarəetmə girişləri olan sistemlərə, yaddaş dərinliyi birdən çox olan sistemlərə, keçid funksiyası xt vəziyyətinə görə həll olunmayan və F(xt) formasına malik olan ümumi DDS-yə şamil edilir. , xt-1) = 0. Girişləri olan DDS üçün idarəolunma xüsusiyyəti və onun müxtəlif variasiyaları xüsusi əhəmiyyət kəsb edir. DDS təhlili problemlərinə əlavə olaraq, Boolean məhdudlaşdırma metodu sintez edilmiş sistemdə tələb olunan dinamik xassələrin yerinə yetirilməsini təmin edən əks əlaqə sintezi problemlərinə (statik və ya dinamik, vəziyyətə və ya girişə görə) tətbiq olunur.
Tədqiqat Rusiya Əsas Tədqiqatlar Fondu, 18-07-00596/18 saylı layihə tərəfindən dəstəklənib.
Biblioqrafik keçid
Oparin G.A., Boqdanova V.G., Paşinin A.A. BİNAR DİNAMİK SİSTEMLƏRİN KEYFİYYƏT TƏHLİLİNDƏ BOUL MƏHDUDLƏRİ // Beynəlxalq Tətbiqi və Fundamental Tədqiqatlar Jurnalı. - 2018. - No 9. - S. 19-29;URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (giriş tarixi: 18/03/2020). “Akademiya Təbiət Tarixi” nəşriyyatında çap olunan jurnalları diqqətinizə çatdırırıq.
transkript
1 Dinamik sistemlərin keyfiyyət təhlili DS-nin faza portretlərinin qurulması
2 Dinamik sistem 2 Dinamik sistem real fiziki, kimyəvi, bioloji və digər sistemlərə, zamanla təkamülə uyğun gələn, istənilən vaxt intervalında ilkin vəziyyəti ilə unikal şəkildə təyin olunan riyazi obyektdir. Belə bir riyazi obyekt avtonom diferensial tənliklər sistemi ola bilər. Dinamik sistemin təkamülünü sistemin vəziyyət fəzasında müşahidə etmək olar. Diferensial tənliklər nadir hallarda açıq şəkildə analitik şəkildə həll olunur. Kompüterdən istifadə sonlu zaman intervalında diferensial tənliklərin təxmini həllini verir ki, bu da ümumilikdə faza trayektoriyalarının davranışını anlamağa imkan vermir. Buna görə də diferensial tənliklərin keyfiyyətcə öyrənilməsi üsulları mühüm rol oynayır.
3 3 Müəyyən bir sistemdə hansı davranış rejimlərini qurmaq olar sualına cavabı sistemin faza portreti adlanan, faza dəyişənləri məkanında təsvir olunan bütün trayektoriyalarının məcmusundan (faza məkanı) əldə etmək olar. . Bu trayektoriyalar arasında sistemin keyfiyyət xassələrini müəyyən edən bir sıra əsaslar var. Bunlara ilk növbədə sistemin stasionar rejimlərinə uyğun gələn tarazlıq nöqtələri və dövri rəqslərin rejimlərinə uyğun gələn qapalı trayektoriyalar (məhdud dövrələr) daxildir. Rejimin sabit olub-olmayacağını qonşu trayektoriyaların davranışı ilə qiymətləndirmək olar: sabit tarazlıq və ya dövrə bütün yaxın trayektoriyaları cəlb edir, qeyri-sabit olan isə ən azı bəzilərini dəf edir. Beləliklə, "trayektoriyalara bölünmüş faza müstəvisi dinamik sistemin asanlıqla görünən "portretini" verir, müxtəlif ilkin şərtlərdə yarana biləcək bütün hərəkətlər toplusunu dərhal, bir baxışda əhatə etməyə imkan verir." (A.A.Andronov, A.A.Vitt, S.E.Xaykin. Salınma nəzəriyyəsi)
4 1-ci hissə Xətti dinamik sistemlərin keyfiyyət təhlili
5 5 Xətti Avtonom Dinamik Sistem Sabit əmsalları olan xətti homojen sistemi nəzərdən keçirək: (1) dx ax by, dt dy cx dy. dt xoy koordinat müstəvisi onun faza müstəvisi adlanır. Təyyarənin istənilən nöqtəsindən bir və yalnız bir faza əyrisi (trayektoriya) keçir. Sistemdə (1) üç növ faza trayektoriyası mümkündür: nöqtə, qapalı əyri və açıq əyri. Faza müstəvisindəki nöqtə (1) sisteminin stasionar həllinə (tarazlıq vəziyyəti, istirahət nöqtəsi), qapalı əyri dövri həllə, açıq əyri isə qeyri-dövriyə uyğundur.
6 DS 6-nın tarazlıq mövqeləri (1) sisteminin tarazlıq mövqelərini sistemi həll etməklə tapırıq: (2) ax 0, cx dy 0. Sistem (1) sistem matrisinin determinantı olduqda vahid sıfır tarazlıq mövqeyinə malikdir: det a b A ad cb 0. c d Əgər det A = 0 olarsa, sıfır tarazlıqdan başqa başqaları da var, çünki bu halda (2) sistem sonsuz həllər toplusuna malikdir. Faza trayektoriyalarının keyfiyyət davranışı (tarazlıq vəziyyətinin növü) sistem matrisinin xüsusi dəyərləri ilə müəyyən edilir.
7 İstirahət nöqtələrinin təsnifatı 7 Tənliyi həll etməklə sistemin matrisinin xüsusi qiymətlərini tapırıq: (3) 2 λ (a d)λ ad bc 0. Qeyd edək ki, a + d = tr A (matris izi) və ad bc = det A. det A 0 olduğu halda istirahət nöqtələrinin təsnifatı cədvəldə verilmişdir: (3) 1, 2 - həqiqi, eyni işarəli (1 2 > 0) 1, 2 - tənliyinin kökləri. real, müxtəlif əlamətlər (1 2< 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр
8 İstirahət nöqtələrinin sabitliyi 8 Sistemin (1) matrisinin xüsusi qiymətləri tarazlıq mövqelərinin dayanıqlığının xarakterini unikal şəkildə müəyyən edir: (3) tənliyinin köklərinin həqiqi hissəsinə dair şərt 1. Əgər hamısının həqiqi hissələri (3) tənliyinin kökləri mənfidir, onda sistemin (1) istirahət nöqtəsi asimptotik sabitdir. 2. Əgər (3) tənliyinin ən azı bir kökünün həqiqi hissəsi müsbətdirsə, (1) sisteminin istirahət nöqtəsi qeyri-sabitdir. Nöqtənin növü və sabitliyin xarakteri Stabil düyün, sabit fokus Yəhər, Qeyri-sabit qovşaq, Qeyri-sabit fokus 3. Əgər (3) tənliyinin sırf xəyali kökləri varsa, o zaman (1) sisteminin istirahət nöqtəsi sabitdir, lakin asimptotik deyil. Mərkəz
9 Faza portretləri 9 Sabit düyün 1 2, 1< 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >
10 Faza portretləri 10 Sabit fokus 1,2 = i,< 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, >0, 0 Faza əyrisindəki istiqamət t artdıqca faza nöqtəsinin əyri boyunca hərəkət etdiyi istiqaməti göstərir.
11 Faza portretləri 11 Yəhər 1 2, 1< 0, 2 >0 Mərkəz 1,2 = i, 0 Faza əyrisindəki istiqamət t artdıqca faza nöqtəsinin əyri boyunca hərəkət etdiyi istiqaməti göstərir.
12 Faza portretləri 12 Dikritik düyün forma sistemləri üçün baş verir: dx ax, dt dy ay, dt a 0 olduqda. Bu halda 1 = 2 = a. Qeyri-sabit dikritik düyün Əgər a< 0, то узел асимптотически устойчив, если a >0, onda qeyri-sabitdir. Faza əyrisindəki istiqamət t artdıqca faza nöqtəsinin əyri boyunca hərəkət etdiyi istiqaməti göstərir.
13 Faza portretləri 13 Əgər 1 = 2 0 və sistemdə (1) b 2 + c 2 0 olarsa, degenerasiya qovşağı. 1 olarsa< 0, то устойчивый Если 1 >0, sonra qeyri-sabit Faza əyrisindəki istiqamət t artdıqca əyri boyunca faza nöqtəsinin hərəkət istiqamətini göstərir.
14 Sonsuz istirahət nöqtələri çoxluğu 14 Əgər det A = 0 olarsa, (1) sistemin sonsuz tarazlıq mövqeləri çoxluğu var. Bu halda üç hal mümkündür: (3) tənliyinin kökləri 1 1 = 0, = 2 = = 2 = 0 İstirahət nöqtələrinin təyini Sistem (2) x + y = 0 formasında olan bir tənliyə ekvivalentdir Sistem ( 2) ədədi bərabərliyə ekvivalentdir 0 = 0 Sistem (2) x + y = 0 tənliyinə ekvivalentdir İstirahət nöqtələrinin həndəsi yeri Faza müstəvisində xətt: x + y = 0 Bütün faza müstəvisi X + y = 0 İkinci halda, hər hansı bir istirahət nöqtəsi Lyapunov sabitdir. Birinci halda, yalnız 2< 0.
15 Faza portretləri 15 Sabit istirahət nöqtələrinin xətti 1 = 0, 2< 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 >0 Faza əyrisindəki istiqamət t artdıqca faza nöqtəsinin əyri boyunca hərəkət etdiyi istiqaməti göstərir.
16 Faza portretləri 16 Qeyri-sabit istirahət nöqtələrinin xətti 1 = 2 = 0 Əgər dy cx dy dx ax by tənliyinin birinci inteqralı x formasına malikdirsə, faza xətləri istirahət nöqtələrinin düz xəttinə (x + y = 0) paralel olacaq. + y = C, burada C ixtiyari sabitdir. Faza əyrisindəki istiqamət t artdıqca faza nöqtəsinin əyri boyunca hərəkət etdiyi istiqaməti göstərir.
17 İstirahət nöqtəsinin növünü təyin etmək qaydaları 17 Sistemin (1) matrisinin xüsusi qiymətlərini tapmadan, ancaq onun yalnız tr A izini və determinant det A. det A matrisinin təyinedicisi< 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A >0 tr A< 0 tr A >0 tr A< 0 tr A = 0 tr A >0 Sabit nöqtənin növü Yəhər Sabit qovşaq (ST) Qeyri-sabit qovşaq (NU) Kritik və ya degenerasiyalı CL Kritik və ya degenerasiyalı NU Sabit fokus (UF) Mərkəz Qeyri-sabit fokus (NF)
18 Mərkəz Bifurkasiya diaqramı 18 det A det tra A 2 2 UU UF NF NU tr A Yəhər
19 19 LDS faza portretinin qurulması alqoritmi (1) 1. Tənliklər sistemini həll etməklə tarazlıq mövqelərini təyin edin: ax-0, cx dy Xarakterik tənliyi həll etməklə sistem matrisinin xüsusi qiymətlərini tapın: 2 λ (a d) )λ ad bc İstirahət nöqtəsinin növünü müəyyənləşdirin və davamlılıq haqqında nəticə çıxarın. 4. Əsas üfüqi və şaquli izoklinlərin tənliklərini tapın və onların faza müstəvisində qrafasını çəkin. 5. Əgər tarazlıq vəziyyəti yəhər və ya düyündürsə, başlanğıcdan keçən düz xətlər üzərində uzanan faza trayektoriyalarını tapın. 6. Faza trayektoriyalarını çəkin. 7. Faza portretində oxlarla göstərərək, faza trayektoriyaları boyunca hərəkət istiqamətini müəyyənləşdirin.
20 Əsas izoklinlər 20 Şaquli izoklin (VİS) faza müstəvisində faza trayektoriyasına çəkilmiş tangensin şaquli oxa paralel olduğu nöqtələr toplusudur. Faza trayektoriyalarının bu nöqtələrində x (t) = 0 olduğundan, LDS (1) üçün VI tənliyi formaya malikdir: ax + by = 0. . Faza trayektoriyalarının bu nöqtələrində y (t) = 0 olduğundan, LDS (1) üçün GI tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: cx + dy = 0. Qeyd edək ki, faza müstəvisində istirahət nöqtəsi əsas trayektoriyanın kəsişməsidir. izoklinlər. Faza müstəvisində şaquli izoklin şaquli vuruşlarla, üfüqi isə üfüqi vuruşlarla qeyd olunacaq.
21 Faza trayektoriyaları 21 Əgər tarazlıq vəziyyəti yəhər və ya düyündürsə, o zaman başlanğıcdan keçən düz xətlər üzərində uzanan faza trayektoriyaları var. Belə xətlərin tənliklərini * y = k x şəklində axtarmaq olar. y = k x-i tənlikdə: dy cx dy, dx ax ilə əvəz edərək k-ni təyin etsək, alarıq: (4) c kd () 0. a bk 2 k bk a d k c Faza trayektoriyalarını sayından və çoxluğundan asılı olaraq təsvir edək. (4) tənliyinin kökləri. * Faza trayektoriyalarını ehtiva edən düz xətlərin tənliklərini x = k y şəklində də axtarmaq olar. ak b ck d Onda əmsalları tapmaq üçün k tənliyini həll etmək lazımdır.
22 Faza trayektoriyaları 22 Tənliyin kökləri (4) k 1 k 2 İstirahət nöqtəsinin növü Yəhər qovşağı Faza trayektoriyalarının təsviri y = k 1 x və y = k 2 x düz xətlərə ayırmalar deyilir. Qalan faza trayektoriyaları hiperbolalardır, onlar üçün tapılan xətlər asimptotlardır.Y = k 1 x və y = k 2 x xətləri. Faza trayektoriyalarının qalan hissəsi başlanğıcda tapılan xətlərdən birinə toxunan parabolaları əmələ gətirir. Faza trayektoriyaları daha kiçik mütləq qiymətə ((3) tənliyinin kökü) uyğun olan xüsusi vektor boyunca yönəlmiş düz xəttə toxunur.
23 Faza traektoriyaları 23 (4) tənliyinin kökləri k 1 k 2! k 1 İstirahət nöqtəsinin növü Degenerasiya qovşağı Yəhər qovşağı Faza trayektoriyalarının təsviri Düz xətt y = k 1 x. Qalan faza trayektoriyaları başlanğıcda bu xəttə toxunan parabolanın qollarıdır.* y = k 1 x və x = 0 xətləri ayırıcılardır. Qalan faza trayektoriyaları hiperbolalardır ki, onlar üçün tapılan xətlər asimptotadır.Xətlər* y = k 1 x və x = 0. Qalan faza trayektoriyaları başlanğıcda tapılmış xətlərdən birinə toxunan parabolaları əmələ gətirir. * Əgər xətlərin tənlikləri x = k y şəklində axtarılırsa, o zaman bunlar x = k 1 y və y = 0 xətləri olacaqdır.
24 Faza trayektoriyaları 24 Tənliyin kökləri (4) kr İstirahət nöqtəsinin növü Dikritik düyün Faza trayektoriyalarının təsviri Bütün faza trayektoriyaları y = k x, kr düz xətlər üzərində yerləşir. Əgər tarazlıq mövqeyi mərkəzdirsə, faza trayektoriyaları ellipsdir. Əgər tarazlıq mövqeyi fokusdursa, faza traektoriyaları spiraldir. LDS-də istirahət nöqtələri xətti olduqda, tənliyi həll etməklə bütün faza trayektoriyalarının tənliklərini tapmaq mümkündür: dy cx dy dx ax ilə Onun birinci inteqralı x + y = C faza xətləri ailəsini müəyyən edir. .
25 Hərəkət istiqaməti 25 Əgər tarazlıq vəziyyəti düyün və ya fokusdursa, faza trayektoriyaları üzrə hərəkət istiqaməti onun sabitliyi (mənşəyə doğru) və ya qeyri-sabitliyi (mənşədən) ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. Düzdür, fokus vəziyyətində, spiralın bükülmə (açılma) istiqamətini saat yönünün əksinə və ya saat yönünün əksinə təyin etmək lazımdır. Bu, məsələn, belə edilə bilər. x oxunun nöqtələrində y (t) törəməsinin işarəsini təyin edin. dy cx 0 olduqda, əgər x 0 olarsa, o zaman “x oxunun müsbət şüasını” keçərkən faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı artır. Bu o deməkdir ki, trayektoriyaların “burulması (burulması)” saat yönünün əksinə baş verir. dt dy dt y0 y0 cx 0 olduqda, əgər x 0 olarsa, onda trayektoriyaların "burulması (burulması)" saat əqrəbi istiqamətində baş verir.
26 Hərəkət istiqaməti 26 Əgər tarazlıq mövqeyi mərkəzdirsə, onda faza trayektoriyaları üzrə hərəkət istiqaməti (saat əqrəbi və ya saat əqrəbinin əksinə) trayektoriyanın “burulma (açılması)” istiqaməti ilə eyni şəkildə müəyyən edilə bilər. fokus halı. "Yəhər" vəziyyətində onun ayırmalarından biri boyunca hərəkət koordinatların başlanğıcı istiqamətində, digəri boyunca isə koordinatların başlanğıcı istiqamətində baş verir. Bütün digər faza trayektoriyalarında hərəkət ayırmalar boyunca hərəkətə uyğun olaraq baş verir. Buna görə də, əgər tarazlıq vəziyyəti yəhərdirsə, o zaman hansısa trayektoriya üzrə hərəkət istiqamətini təyin etmək kifayətdir. Və sonra birmənalı şəkildə bütün digər traektoriyalar boyunca hərəkət istiqamətini təyin edə bilərsiniz.
27 Hərəkət istiqaməti (yəhər) 27 Yəhər vəziyyətində faza trayektoriyaları üzrə hərəkət istiqamətini təyin etmək üçün aşağıdakı üsullardan birini istifadə edə bilərsiniz: Metod 1 İki ayırıcıdan hansının mənfi xüsusi qiymətə uyğun olduğunu müəyyən edin. Onun boyunca hərəkət istirahət nöqtəsinə qədər baş verir. Metod 2 Hərəkət edən nöqtənin absislərinin hər hansı bir ayırma boyunca necə dəyişdiyini müəyyən edin. Məsələn, y = k 1 x üçün bizdə var: dx (abk1) t ax bk1x (a bk1) x, x(t) x(0) e. dt yk x 1 Əgər t+-da x(t) olarsa, y = k 1 x ayırıcısı boyunca hərəkət istirahət nöqtəsinə doğru baş verir. Əgər x(t) t+-da olarsa, hərəkət istirahət nöqtəsindən gəlir.
28 Hərəkət istiqaməti (yəhər) 28 Metod 3 Əgər x oxu ayırıcı deyilsə, x oxunu kəsərkən hərəkət nöqtəsinin ordinatının faza trayektoriyası boyunca necə dəyişdiyini müəyyən edin. dy dt y0 cx 0 olduqda, əgər x 0 olarsa, onda nöqtənin ordinatı artır və deməli, x oxunun müsbət hissəsini kəsən faza trayektoriyaları boyunca aşağıdan yuxarıya doğru hərəkət baş verir. Ordinat azalarsa, hərəkət yuxarıdan aşağıya doğru baş verəcəkdir. Əgər y oxunu kəsən faza trayektoriyası boyunca hərəkət istiqamətini təyin etsəniz, onda hərəkət edən nöqtənin absisindəki dəyişikliyi təhlil etmək daha yaxşıdır.
29 Hərəkət istiqaməti 29 4 yol* Faza müstəvisinin (tarazlıq mövqeyindən başqa) ixtiyari nöqtəsində (x 0,y 0) sürət vektorunu qurun: dx dy v, (ax0 by0, cx0 dy0). dt dt (x, y) 0 0 Onun istiqaməti (x 0,y 0) nöqtəsindən keçən faza trayektoriyası boyunca hərəkət istiqamətini göstərəcək : (x 0, y 0) v * Bu üsuldan istənilən növ istirahət nöqtəsi üçün faza traektoriyaları boyunca hərəkət istiqaməti.
30 Hərəkət istiqaməti 30 Metod 5* Törəmələrin “sabitlik” sahələrini təyin edin: dx dt dy ax by, cx dy. dt Bu regionların sərhədləri əsas izoklinlər olacaqdır. Törəmə işarəsi faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatının və absisinin müxtəlif sahələrdə necə dəyişdiyini göstərəcək. y y x (t)<0, y (t)>0x(t)<0, y (t)<0 x x x (t)>0, y(t)>0 x(t)>0, y(t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.
31 Nümunə dx dt dy dt 2x 2 y, x 2y 1. Sistem unikal sıfır tarazlıq mövqeyinə malikdir, çünki det A = Müvafiq xarakterik tənliyi 2 6 = 0 quraraq onun köklərini 1,2 6 tapırıq. tarazlıq vəziyyəti yəhərdir. 3. Yəhərin ayırmaları y = kx şəklində axtarılır. 4. Şaquli izoklin: x + y = 0. Üfüqi izoklin: x 2y = 0. Həqiqi və müxtəlif köklər. 1 2k 2 6 k k k k k k 2 2k ,2, 1 2, 22, 2 0, 22.
32 Nümunə 1 (yəhər) 32 Faza müstəvisində y = k 1 x və y = k 2 x ayırıcıları və əsas izoklinləri çəkin. y x Təyyarənin qalan hissəsi trayektoriyalarla - hiperbolalarla doludur, onlar üçün separatrislər asimptotdur.
33 Nümunə 1 (yəhər) 33 y x Trayektoriyalar üzrə hərəkət istiqamətini tapın. Bunun üçün x oxunun nöqtələrində y (t) törəməsinin işarəsini təyin etmək olar. y = 0 üçün bizdə: dy dt y0 x 0, əgər x 0 olarsa. Beləliklə, “x oxunun müsbət şüasını” kəsərkən faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı azalır. Bu o deməkdir ki, x oxunun müsbət hissəsini kəsən faza trayektoriyaları boyunca hərəkət yuxarıdan aşağıya doğru baş verir.
34 Nümunə 1 (yəhər) 34 İndi başqa yollar üçün hərəkət istiqamətini təyin etmək asandır. y x
35 Nümunə dx 4x2 y, dt dy x3y dt 1. Sistem unikal sıfır tarazlıq mövqeyinə malikdir, çünki det A = Müvafiq xarakterik tənliyi quraraq = 0, onun köklərini 1 = 2, 2 = 5 tapırıq. Buna görə də tarazlıq mövqe qeyri-sabit düyündür. 3. Düz xətlər: y = kx. 1 3k 1 k k k k k 4 2k , Şaquli izoklin: 2x + y = 0. Üfüqi izoklin: x + 3y = 0.
36 Nümunə 2 (qeyri-sabit düyün) 36 y x 2 = (1,1) m, biz müəyyən edirik ki, parabolaları əmələ gətirən qalan faza trayektoriyaları başlanğıcda y = x xəttinə toxunur. Tarazlıq mövqeyinin qeyri-sabitliyi istirahət nöqtəsindən hərəkət istiqamətini unikal şəkildə müəyyənləşdirir.
37 Nümunə 2 (qeyri-sabit qovşaq) 37 1 = 2 mütləq qiymətində kiçik olduğundan, müvafiq xüsusi vektoru taparaq = (a 1,a 2) m: 4 2 a1 a1 2 a1 a2 0, 1 3 a a 2 2 = (1,1) m, biz müəyyən edirik ki, parabola əmələ gətirən qalan faza trayektoriyaları başlanğıcda y = x düz xəttinə toxunur. Tarazlıq mövqeyinin qeyri-sabitliyi istirahət nöqtəsindən hərəkət istiqamətini unikal şəkildə müəyyənləşdirir. y x
38 Misal dx x 4 y, dt dy 4x2y dt< 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.
39 Nümunə 3 (sabit fokus) 39 x oxu nöqtələrində y (t) törəməsinin işarəsini təyin edin. y = 0 üçün bizdə: dy 4x 0 əgər x 0. dt y0 y Beləliklə, “x oxunun müsbət şüası” kəsişdikdə faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı artır. Bu o deməkdir ki, traektoriyaların “burulması” saat əqrəbinin əksinə baş verir. x
40 Nümunə dx x4 y, dt dy x y dt 1. Sistem unikal sıfır tarazlıq mövqeyinə malikdir, çünki det A = Müvafiq xarakterik tənliyi 2 3 = 0 quraraq onun köklərini 1,2 = i3 tapırıq. Buna görə də tarazlıq mövqeyi mərkəzdir. 3. Şaquli izoklin: x 4y = 0. Üfüqi izoklin: x y 0. Sistemin faza trayektoriyaları ellipsdir. Onlar boyunca hərəkət istiqaməti, məsələn, bu kimi təyin edilə bilər.
41 Nümunə 4 (mərkəz) 41 X oxundakı nöqtələrdə y (t) törəməsinin işarəsini təyin edin. y = 0 üçün bizdə: dy dt y0 x 0, əgər x 0 olarsa. y Beləliklə, “x oxunun müsbət şüasını” kəsərkən faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı artır. Bu o deməkdir ki, ellipslər boyunca hərəkət saat yönünün əksinə baş verir. x
42 Nümunə 5 (degenerasiya olunmuş düyün) 42 dx x y, dt dy x3y dt degenerate node. 3. Düz xətt: y = kx. 13k k 2 k k k k1.2 4. Şaquli izoklin: x + y = 0. Üfüqi izoklin: x 3y = 0.
43 Nümunə 5 (degenerativ düyün) 43 y x Faza trayektoriyalarını ehtiva edən faza müstəvisində izoklinlər və düz xətt çəkək. Təyyarənin qalan hissəsi y = x xəttinə toxunan parabolaların budaqları üzərində uzanan trayektoriyalarla doludur.
44 Nümunə 5 (degenerativ düyün) 44 Tarazlıq vəziyyətinin sabitliyi başlanğıc nöqtəyə doğru hərəkət istiqamətini unikal şəkildə müəyyən edir. y x
45 Nümunə dx 4x 2 y, dt dy 2x y dt Sistem matrisinin determinantı det A = 0 olduğundan, sistem sonsuz sayda tarazlıq mövqelərinə malikdir. Onların hamısı y 2 x xəttində yerləşir. Uyğun 2 5 = 0 xarakterik tənliyini quraraq, onun köklərini 1 = 0, 2 = 5 tapırıq. Nəticədə, bütün tarazlıq mövqeləri Lyapunov sabitdir. Qalan faza trayektoriyaları üçün tənlikləri quraq: dy 2x y dy 1 1, =, y x C. dx 4x 2y dx Beləliklə, faza trayektoriyaları y x C, C const düz xətləri üzərində yerləşir. 2
46 Nümunə Hərəkət istiqaməti y 2 x düz xəttinin nöqtələrinin sabitliyi ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. y x
47 Nümunə dx 2 x y, dt dy 4x2y dt Sistem matrisinin determinantı det A = 0 olduğundan, sistem sonsuz sayda tarazlıq mövqelərinə malikdir. Onların hamısı y 2 x xəttində yerləşir. Sistem matrisinin izi tr A olduğundan, xarakterik tənliyin kökləri 1 = 2 = 0-dır. Nəticədə, bütün tarazlıq mövqeləri qeyri-sabitdir. Qalan faza trayektoriyaları üçün tənlikləri quraq: dy 4x 2 y dy, 2, y 2 x C. dx 2x y dx Beləliklə, faza trayektoriyaları y 2 x C, C const xətləri üzərində yerləşir və onlara paraleldir. istirahət nöqtələrinin xətti. Trayektoriyalar boyunca hərəkət istiqamətini aşağıdakı kimi təyin edin.
48 Nümunə y (t) törəməsinin x oxunun nöqtələrində işarəsini təyin edək. y = 0 üçün bizdə: dy 0, əgər x 0 olarsa, 4 x dt y0 0, əgər x 0 olarsa. Beləliklə, “x oxunun müsbət şüasını” kəsərkən faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin ordinatı artır. "mənfi" şüa azalır. Bu o deməkdir ki, faza trayektoriyaları boyunca düz istirahət nöqtələrinin sağında hərəkət aşağıdan yuxarıya, sola isə yuxarıdan aşağı olacaq. y x
49 Çalışmalar 49 İş 1. Verilmiş sistemlər üçün tarazlıq vəziyyətinin dayanıqlığının növünü və xarakterini müəyyən edin. Faza portretlərini qurun. 1. dx 3, 3. dx 2 5, 5. dx x y x y 2 x y, dt dt dt dy dy 6x 5 y; 2x2y; 4x2y; dt dt dt 2. dx, 4. dx 3, 6. dx x x y 2x 2 y, dt dt dt dy dy dy 2 x y; x y; x y. dt dt dt Çalışma 2. a R parametrinin hansı qiymətləri üçün dx dy 2 ax y, ay 2ax dt dt sistemi tarazlıq mövqeyinə malikdir və o, yəhərdir? düyün? diqqət? Sistemin faza portreti nədir?
50 Qeyri-bircins LDS 50 Sabit əmsalları olan xətti qeyri-homogen sistemi (LDS) nəzərdən keçirək: dx ax by, (5) dt dy cx dy, dt olduqda 2 2. Tənliklər sistemini həll etdikdən sonra: ax by, cx dy sualına cavab veririk. sistemin (5) tarazlıq vəziyyətinə malik olub-olmaması. Əgər det A 0 olarsa, sistemin unikal tarazlığı P(x 0,y 0) olur. Əgər det A 0 olarsa, o zaman sistem ya ax + ilə + = 0 (və ya cx + dy + = 0) tənliyi ilə müəyyən edilmiş düz xəttin nöqtəsinin sonsuz sayda tarazlığına malikdir, ya da heç bir tarazlığı yoxdur.
51 NLDS transformasiyası 51 Əgər (5) sistemin tarazlığı varsa, onda dəyişənləri dəyişdirməklə: xx0, y y0, burada (5) sistemin sonsuz sayda tarazlığa malik olduğu halda, x 0, y 0 aid olan istənilən nöqtənin koordinatlarıdır. xəttin dayanıqlı nöqtələrinə, biz bircins sistem əldə edirik: d a b, (6) dt d c d. dt P istirahət nöqtəsində mərkəzləşdirilmiş x0y faza müstəvisində yeni koordinat sistemini təqdim edərək, orada sistemin (6) faza portretini qururuq. Nəticədə x0y müstəvisində sistemin (5) faza portretini alırıq.
52 Misal dx 2x 2y12, dt dy x 2y 3 dt 2x 2y 12 0, x 3, x 2y 3 0 y 3 olduğundan, DS unikal tarazlıq mövqeyi P(3;3) olur. Dəyişənlərin x = + 3, y = + 3 dəyişdirilməsini həyata keçirərək sistemi əldə edirik: d 2 2, dt d 2, dt sıfır mövqeyi qeyri-sabit və yəhərdir (misal 1-ə bax).
53 Nümunə P müstəvisində faza portretini quraraq, P nöqtəsinin onda hansı koordinatlara malik olduğunu bilməklə, onu x0y faza müstəvisi ilə birləşdiririk.y P x
54 NLDS faza portretləri 54 Sistemin (5) tarazlıq mövqeləri olmadığı halda faza portretlərini qurarkən aşağıdakı tövsiyələrdən istifadə etmək olar: 1. dx dy, ax ilə cx dy tənliyinin birinci inteqralını tapın və beləliklə ailəni təyin edin. bütün faza trayektoriyalarının. 2. Əsas izoklinləri tapın: ax by 0 (MI), cx dy 0 (MI). 3. y = kx + şəklində faza trayektoriyalarını ehtiva edən xətləri tapın. Eyni zamanda, k əmsallarını tapmaq üçün və c: a d: b olduğunu nəzərə alaraq, tənliyi qurun: dy (ax by) k. dx y kx ax by (a kb) x b y kx
55 NLDS-nin faza portretləri 55 (a kb) x b ifadəsi x-dən asılı olmadığı üçün a + kb = 0 olarsa, k və tapmaq üçün aşağıdakı şərtləri alırıq: a kb 0, k. b Düz xəttin tənliyini x = ky + şəklində də axtarmaq olar. k və müəyyən etmək üçün şərtlər oxşar şəkildə qurulur. Yalnız bir düz xətt varsa, o zaman trayektoriyaların qalan hissəsi üçün asimptotdur. 2. Faza trayektoriyaları boyunca hərəkət istiqamətini müəyyən etmək üçün sistemin sağ hissələrinin "sabit işarəsi" sahələrini təyin edin (5). 3. Faza trayektoriyalarının qabarıqlığının (konkavlığının) xarakterini müəyyən etmək üçün y (x) törəməsini qurun və onun “sabit işarəsi”nin sahələrini təyin edin. Nümunələrdən istifadə edərək mərhələli portretlərin qurulması üçün müxtəlif üsulları nəzərdən keçirəcəyik.
56 Nümunə dx dt dy dt 0, 1. y Tənliyin həlli: dx dy 0 0, 1 alırıq ki, bütün faza trayektoriyaları x C, C R xətləri üzərində yerləşir. Y (t) = 1 > 0 olduğundan, ordinat hərəkət nöqtəsi istənilən faza trayektoriyası boyunca artır. Nəticə etibarilə, faza trayektoriyaları boyunca hərəkət aşağıdan yuxarıya doğru baş verir. x
57 Misal dx dt dy dt 2, 2. y Tənliyin həlli: dy dx 2 1, 2 alırıq ki, bütün faza trayektoriyaları y x + C, C R xətləri üzərində yerləşir. y (t) olduğundan< 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x
58 Nümunə dx 1, dt dy x 1. dt Tənliyi həll etdikdə: dy x 1, dx 2 (x 1) y C, C R, 2 sistemin faza trayektoriyalarının parabola olduğunu alırıq: oxları oxları üzərində yerləşir. üfüqi izoklin x 1 0 və budaqlar yuxarıya doğru yönəldilmişdir. x (t) 1 > 0 olduğundan, istənilən faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin absisi artır. Nəticə etibarilə, parabolanın sol qolu boyunca hərəkət düz üfüqi izoklinlə kəsişənə qədər yuxarıdan aşağıya, sonra isə aşağıdan yuxarıya doğru baş verir.
59 Nümunə y Sistemin düzgün hissələrinin “sabitlik” sahələrini təyin etməklə faza trayektoriyaları üzrə hərəkət istiqamətini müəyyən etmək mümkün olardı. y 1 x x"(t) > 0, y"(t)< 0 x"(t) >0, y"(t) > 0 x 1
60 Misal dx y, dt dy y 1. dt Şaquli izoklin y = 0; üfüqi izoklin y 1= 0. Faza trayektoriyalarını ehtiva edən düz xətlərin olub-olmadığını öyrənək. Belə xətlərin tənlikləri y = kx + b şəklində axtarılacaqdır. k dy y , dx y y kx b ykxb ykxb ykxb olduğundan, k = 0 olarsa, sonuncu ifadə x-dən asılı deyildir. Onda b-ni tapmaq üçün b 1 alarıq. b Beləliklə, faza trayektoriyaları y = 1 xəttində yerləşir. . Bu düz xətt faza müstəvisində asimptotdur.
61 Nümunə Faza trayektoriyalarının x oxuna görə hansı qabarıqlığa (konkavliyə) malik olduğunu müəyyən edək. Bunun üçün y (x) törəməsini tapırıq: y (x)\u003e 0 y 1 1 "() 1 1, dx dx y dx y y y 2 d y d y d y x y və nəticədə ifadənin "sabitlik" sahələrini müəyyənləşdiririk. y (x)> olan sahələr< 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) >0 x
62 Nümunə Sistemin dx y, dt dy y 1 sağ hissələrinin “işarə sabitliyi” sahələrini təyin etməklə faza trayektoriyaları üzrə hərəkət istiqamətlərini öyrənək. dt Bu sahələrin hüdudları şaquli və üfüqi izoklinlər olacaqdır. Alınan məlumat faza portretini qurmaq üçün kifayətdir. y x (t) > 0, y (t) > 0 y (x) > 0 x (t) > 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x (t) >0,y(t)< 0 y (x) >0 x
63 Misal x (t) > 0, y (t) > 0 y (x) > 0 y y x (t) > 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x x x (t) >0,y(t)< 0 y (x) > 0
64 Misal dx 2, dt dy 2 x y. dt Horizontal izoklin: 2x y = 0. Faza trayektoriyalarını ehtiva edən xətlərin olub olmadığını öyrənin. Belə xətlərin tənlikləri y = kx + b şəklində axtarılacaqdır. dy 2 x y (2 k) x b k, 2 2 dx y kx b y kx b olduğundan, k = 2 olarsa, sonuncu ifadə x-dən asılı deyil. Onda b tapmaq üçün b 2 b 4 alarıq. 2 Beləliklə, üzərində y = 2x 4 fazalı trayektoriyalar xətti uzanır. Bu düz xətt faza müstəvisində asimptotdur.
65 Nümunə Faza trayektoriyalarının x oxuna görə hansı qabarıqlığa (konkavliyə) malik olduğunu müəyyən edək. Bunun üçün y (x) törəməsini tapırıq:< 0, выпуклость «вверх». y (x) >0 y x y (x)< 0
66 Nümunə Sistemin sağ hissələrinin “işarə sabitliyi” sahələrini təyin etməklə faza trayektoriyaları üzrə hərəkət istiqamətini öyrənək: dx 2, dt dy 2 x y. dt Bu rayonların sərhəddi üfüqi izoklin olacaq. x (t)>0, y (t)<0 y x (t)>0, y (t)>0 x Əldə edilmiş məlumat faza portretini qurmaq üçün kifayətdir.
67 Nümunə y (x) > 0 y x y y (x)< 0 x x (t)>0,y(t)<0 y x x (t)>0,y(t)>0
68 Misal dx x y, dt dy 2(x y) 2. dt Şaquli izoklin: x y = 0; üfüqi izoklin: x y + 1= 0. Faza trayektoriyalarını ehtiva edən xətlərin olub olmadığını öyrənin. Belə xətlərin tənlikləri y = kx + b şəklində axtarılacaqdır. dy 2(x y) k 2 2, dx x y x y (1 k) x b ykxb ykxb ykxb olduğundan, k = 1 olarsa, sonuncu ifadə x-dən asılı deyil. Onda b-ni tapmaq üçün b 2-ni alarıq. b Beləliklə, on y = x +2 xətti faza trayektoriyalarıdır. Bu düz xətt faza müstəvisində asimptotdur.
69 Nümunə Faza trayektoriyası boyunca hərəkət edən nöqtənin absis və ordinatının necə dəyişdiyini müəyyən edək. Bunu etmək üçün sistemin düzgün hissələrinin "işarə sabitliyi" sahələrini qururuq. y x (t)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)>0, y (t)>0 Bu məlumat trayektoriyalar üzrə hərəkət istiqamətini müəyyən etmək üçün tələb olunacaq.
70 Nümunə Faza trayektoriyalarının x oxuna görə hansı qabarıqlığa (konkavliyə) malik olduğunu müəyyən edək. Bunun üçün y (x) törəməsini tapırıq: 2(x y) () 2 2("() 1) x y 2(2) dx dx x y (x y) (x y) (x y) 2 d y d x y y x x y Sahələri təyin edək. y (x) > 0 olan ərazilərdə faza trayektoriyaları “aşağı” qabarıqlığa malikdir və burada y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x)>0 y y (x)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0
71 Nümunə 14 (FP) 71 y y x y x x
72 Tapşırıqlar 72 Aşağıdakı sistemlər üçün faza portretlərini qurun: dx 3x 3, dt dy 2x y1; dt dx x, dt dy 2x 4; dt dx x y 2, dt dy 2x 2y1; dt dx 1, dt dy 2 x y; dt dx dt dy dt dx dt dy dt 2, 4; y 2, 2.
73 Ədəbiyyat 73 Pontryagin L.S. Adi diferensial tənliklər. M., Filippov A.F. Diferensial tənliklərə dair məsələlər toplusu. M., Panteleev A.V., Yakimova A.S., Bosov A.V. Nümunələr və məsələlərdə adi diferensial tənliklər. M .: Daha yüksək. məktəb, 2001.
4.03.07 Dərslər 4. Müstəvidə xətti dinamik (LDS) sistemlərin tarazlıq mövqelərinin mövcudluğu və sabitliyi. LDS-nin parametrik portretini və müvafiq mərhələ portretlərini (x, il, ar) qurun:
Seminar 4 İki adi diferensial tənliklər sistemi (ODE). faza müstəvisi. Faza portreti. Kinetik əyrilər. xüsusi nöqtələr. Sabit Dövlət Sabitliyi. Sistem xəttiləşdirmə
Ekologiyada riyazi üsullar: Tapşırıqlar və tapşırıqlar toplusu / Komp. ONU. Semenova, E.V. Kudryavtsev. Petrozavodsk: PetrSU nəşriyyatı, 005..04.09 Dərs 7 Lotka-Volterra 86 “yırtıcı-yırtıcı” modeli (tikinti)
RUSİYA TEXNOLOJİ UNİVERSİTETİ MİREA ALİ RİYAZİYYATIN ƏLAVƏ FƏSİLLƏRİ FƏSİL 5. İSTİRAFƏT NÖQLƏRİ İş ali riyaziyyat elementlərindən istifadə etməklə dinamik sistemlərin modelləşdirilməsinə həsr edilmişdir.
Sabit əmsallı xətti diferensial tənliklər sistemi. Koltsov S.N. www.linis.ru İxtiyari sabitlərin dəyişməsi üsulu. Xətti qeyri-homogen diferensial tənliyi nəzərdən keçirin:
Səhifə Mühazirə 3 DE SİSTEMLƏRİN HƏLLLƏRİNİN SABİTLİYİ Müəyyən hadisə DE dx dt i = f (t, x, x...x) sistemi ilə təsvir edilirsə, i =..n ilkin i n şərtləri ilə x i (t 0) = x i0, i =.. n, adətən olan
4.04.7 Dərs 7. Avtonom sistemlərin tarazlıq mövqelərinin sabitliyi (Lyapunov xəttiləşdirmə üsulu, Lyapunov teoremi) x "(f (x, y), f, g C (). y" (g(x, y), D Axtarış). tarazlıq mövqeləri üçün P (x*, : f
5 VƏ 6 SEMİNARLAR İki avtonom adi xətti diferensial tənliklər sistemi. faza müstəvisi. İzoklinlər. Faza portretlərinin qurulması. Kinetik əyrilər. TRAX proqramına giriş. Faza
Mühazirə 6. Sabit real əmsallı iki tənlikdən ibarət xətti sistemin istirahət nöqtələrinin təsnifatı. Sabit real olan iki xətti diferensial tənliklər sistemini nəzərdən keçirək
SEMİNAR 4 İki avtonom adi xətti diferensial tənliklər sistemi (ODE). İki xətti avtonom ODE sisteminin həlli. Tək nöqtələrin növləri. XƏTTİ DİFERFENSİAL TƏNLƏR SİSTEMİNİN HƏLLİ
Rusiya Federasiyası Təhsil və Elm Nazirliyi Federal Dövlət Büdcə Ali Təhsil Təşkilatı "Ufa Dövlət Neft Texniki Universiteti" Departamenti
Mühazirə 1 Düz xətt üzərində fasiləsiz vaxtı olan dinamik sistemlərin keyfiyyət analizinin elementləri Biz istifadə oluna bilən du = f(u), (1) dt avtonom diferensial tənliyini nəzərdən keçirəcəyik.
SEMİNAR 7 İkinci dərəcəli qeyri-xətti sistemlərin stasionar hallarının dayanıqlığının tədqiqi. V. Volterranın klassik sistemi. Analitik tədqiqat (stasionar vəziyyətlərin və onların sabitliyinin təyini)
İkinci və üçüncü dərəcəli sistemlərdə tək nöqtələr. Xətti və qeyri-xətti sistemlərin stasionar halları üçün sabitlik meyarları. Cavab planı Mərkəzin tək nöqtəsinin tərifi. Tək Nöqtə Tərifi
DİFERFENSİAL TƏNLƏR ÜZRƏ PRAKTİKİ İSTƏKİLƏR Metodik işlənmə Tərtib edən: professor A.N. Salamatin Əsasında: A.F.Filippov
1 MÜHAZİRƏ 2 Qeyri-xətti diferensial tənliklər sistemləri. Dövlət məkanı və ya faza məkanı. Tək nöqtələr və onların təsnifatı. sabitlik üçün şərait. Node, fokus, yəhər, mərkəz, limit dövrü.
7 İKİNCİ TƏRTƏBLİ XƏTTİ AVTONOM SİSTEMLƏRİN TƏRƏZİYYƏT İSTİYAMLARI (t) (t) funksiyaları üçün avtonom sistem d d P() Q() (7) dt dt diferensial tənliklər sistemidir.
Rusiya Federasiyasının Təhsil və Elm Nazirliyi Yaroslavl Dövlət Universiteti P. G. Demidova Cəbr və riyazi məntiq kafedrası S. İ. Yablokova İkinci dərəcəli əyrilər Hissə Praktikum
IV fəsil. ODE sistemlərinin ilk inteqralları 1. Adi diferensial tənliklərin avtonom sistemlərinin birinci inteqralları Bu bölmədə f x = f 1 x, f n x C 1 formalı avtonom sistemləri nəzərdən keçirəcəyik.
Mühazirə 9 Diferensial tənliklərin xəttiləşdirilməsi Yüksək tərtibli xətti diferensial tənliklər Homojen tənliklər onların həllinin xassələri Bircins olmayan tənliklərin həllərinin xassələri Tərif 9 Xətti
İnteqral əyrilərin qurulması və avtonom tənliyin faza portreti F(u) hamar funksiyasının qrafikinə malik olmaqla, biz du dt = f(u) tənliyi üçün sxematik şəkildə inteqral əyriləri qura bilərik. (1) Tikinti əsaslanır
7.0.07 Peşə. Xəttdə fasiləsiz vaxta malik dinamik sistemlər. Tapşırıq 4. Dinamik sistem üçün bifurkasiya diaqramını və tipik faza portretlərini qurun: d dt f tənliyinin həlli (, 5 5,
Lyapunovun sabitlik nəzəriyyəsi. Mexanika və texnologiyanın bir çox problemində arqumentin müəyyən bir dəyəri üçün həllin xüsusi dəyərlərini deyil, dəyişdirilərkən həllin davranışının xarakterini bilmək vacibdir.
Səhifə 17 26.10.2012 11:39 Peşə təhsili sahəsində attestasiya imtahanı İxtisas: 010300.62 Riyaziyyat. Kompüter Elmləri İntizamı: Diferensial Tənliklərin İcra Müddəti
Seminar 5 İki avtonom diferensial tənlik sistemləri ilə təsvir edilən modellər. İkinci dərəcəli qeyri-xətti sistemlərin tədqiqi. Model qablar. Volterra modeli. Ümumiyyətlə, sistemlər tərəfindən təsvir edilən modellər
Seminar Birinci dərəcəli diferensial tənlik. faza boşluğu. Faza dəyişənləri. Stasionar vəziyyət. Lyapunov görə stasionar vəziyyətin sabitliyi. Bir qonşuluqda sistemin xəttiləşdirilməsi
Riyazi analiz Bölmə: diferensial tənliklər Mövzu: Diferensial tənliklərin həllinin sabitlik anlayışı və diferensial tənliklər sisteminin həlli Müəllim Paxomova E.G. 2012 5. Həllin sabitliyi konsepsiyası 1. İlkin qeydlər
Parametrli məsələlər (həllin qrafik üsulu) Giriş Parametrli məsələlərin öyrənilməsində qrafiklərdən istifadə son dərəcə səmərəlidir. Onların tətbiqi üsulundan asılı olaraq iki əsas yanaşma var.
RUSİYA TEXNOLOJİ UNİVERSİTETİ MİREA ALİ RİYYAZİYYATIN ƏLAVƏ FƏSİLLƏRİ FƏSİL 3. DİFERFENSİAL TƏNLİKLƏR SİSTEMLERİ İş elementlərdən istifadə etməklə dinamik sistemlərin modelləşdirilməsinə həsr edilmişdir.
Kvadrat TƏNLƏR
7..5,..5 Fəaliyyət,. Düz xətt üzərində diskret dinamik sistemlər Tapşırıq Əhali sıxlığının (t) dinamikasını öyrənmək üçün tənliklə təsvir olunur: t t, const. t Tənliyin hər hansı həlli varmı?
Funksiyasının tədqiqi və onun qrafikinin qurulması Tədqiqat Nöqtələri: 1) Funksiyanın təyini sahəsi, davamlılığı, cüt/tək, dövriliyi. 2) Funksiya qrafikinin asimptotları. 3) Funksiya sıfırları, intervallar
MÜHAZİrə 16 MÜHAFİZƏLİ SİSTEMDƏ TƏRAZİL MÖVQEYİN SABİTLİK MƏSƏLƏSİ 1. Konservativ sistemin tarazlıq vəziyyətinin dayanıqlığına dair Laqranj teoremi Sərbəstliyin n dərəcəsi olsun. q 1, q 2,
İkinci dərəcəli əyrilər Dairə Ellips Hiperbola Parabola Müstəvidə düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi verilsin. İkinci dərəcəli əyri koordinatları təmin edən nöqtələr toplusudur
Mühazirə 1 Birinci dərəcəli diferensial tənliklər 1 Diferensial tənlik anlayışı və onun həlli I dərəcəli adi diferensial tənlik F(x, y, y) 0 formasının ifadəsidir, burada.
Mövzu 41 “Parametrli tapşırıqlar” Parametrli tapşırıqların əsas düsturları: 1) Hər biri müəyyən şərti yerinə yetirən bütün parametr qiymətlərini tapın.) ilə tənliyi və ya bərabərsizliyi həll edin.
Mühazirə 3. Müstəvidə faza axınları 1. Stasionar nöqtələr, xəttiləşmə və dayanıqlıq. 2. Dövrləri məhdudlaşdırın. 3. Müstəvidə faza axınlarının bifurkasiyası. 1. Stasionar nöqtələr, xəttiləşmə və sabitlik.
Mühazirə 3 Sistemin tarazlığının və hərəkətinin sabitliyi Sabit hərəkətləri nəzərdən keçirərkən pozulmuş hərəkətin tənliklərini d dt A Y şəklində yazırıq, burada sütun vektoru sabit əmsalların kvadrat matrisidir.
5. Attraksionların dayanıqlığı 1 5. Attraksionların dayanıqlığı Sonuncu bölmədə biz dinamik sistemlərin sabit nöqtələrini tapmağı öyrəndik. Bir neçə fərqli sabit növü olduğunu da öyrəndik
4 fevral, 9 d Praktiki dərs Əhali dinamikasına nəzarətin ən sadə məsələləri Problem Populyasiyanın sərbəst inkişafı Maltus modeli ilə təsvir olunsun N N burada N populyasiyanın biokütləsinin sayı və ya həcmidir
1) İkinci dərəcəli x 4x y 0 əyrisinin tənliyini kanonik formaya gətirin və onun x y 0 düz xətti ilə kəsişmə nöqtələrini tapın. Alınmış həllin qrafik təsvirini yerinə yetirin. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4
FƏSİL 4 Adi diferensial tənliklər sistemləri ÜMUMİ ANLAŞMALAR VƏ TƏYİFLƏR Əsas təriflər Bəzi prosesləri və hadisələri təsvir etmək üçün çox vaxt bir neçə funksiya tələb olunur Bu funksiyaları tapmaq
Seminar 9 İki tənlikli sistemin homogen stasionar vəziyyətinin dayanıqlığının xətti təhlili diffuziya reaksiyası Turinq qeyri-sabitliyi Aktivator və inhibitor Dissipativ strukturların yaranması şərtləri
MÜHAZİrə 17 ROUT-HURWITZ MEYYARI. KİÇİK SƏRƏNƏNMƏLƏR 1. Xətti sistemin sabitliyi İki tənlik sistemini nəzərdən keçirək. Narahat hərəkət tənlikləri aşağıdakı formaya malikdir: dx 1 dt = x + ax 3 1, dx dt = x 1 + ax 3,
RUSİYA FEDERASİYASININ TƏHSİL VƏ ELM NAZİRLİYİ NOVOSİBİRSK DÖVLƏT UNİVERSİTETİ Fizika fakültəsi Fizika fakültəsinin Ali riyaziyyat kafedrası Adi diferensial tənliklərin həlli üsulları.
1. Adi diferensial tənliklər və sistemlər nədir. Həll konsepsiyası. Avtonom və avtonom olmayan tənliklər. Birincidən yüksək nizamlı tənliklər və sistemlər və onların birinci dərəcəli sistemlərə endirilməsi.
Mühazirə 1 Bir sərbəstlik dərəcəsi olan mühafizəkar sistemdə hərəkətin tədqiqi 1. Əsas anlayışlar. Bir sərbəstlik dərəcəsi olan mühafizəkar sistem diferensial ilə təsvir edilən sistemdir
FƏSİL. XƏTİ SİSTEMLƏRİN DABANLILIĞI + işarəsi ilə 8 dərəcə, əldə ediləndən belə çıxır ki, () π -dən π-ə qədər artır. Beləliklə, ϕ i() və k () + terminləri, yəni (i) ϕ vektoru monoton ϕ monoton şəkildə artır.
-İNCİ TƏRTİLLİ QEYRİ XƏTTİ AVTONOM TƏNLİK ÜÇÜN FAZA MÜSTƏNİLİ.Məsələnin ifadəsi. = f formasının avtonom tənliyini nəzərdən keçirək. () Bildiyiniz kimi, bu tənlik aşağıdakı normal sistemə bərabərdir
DIFFERENTİAL TƏNLƏR 1. Əsas anlayışlar Bəzi funksiyaya münasibətdə diferensial tənlik bu funksiyanı müstəqil dəyişənləri və törəmələri ilə birləşdirən tənlikdir.
Ekologiyada riyazi üsullar: Tapşırıqlar və tapşırıqlar toplusu / Komp. ONU. Semenova, E.V. Kudryavtsev. Petrozavodsk: PetrGU nəşriyyatı, 2005. 2-ci semestr Dərs. Model "Yırtıcı-yırtıcı" Lotka-Volterra Mövzu 5.2.
Törəmənin həndəsi mənası, tangens 1. Şəkildə y \u003d f (x) funksiyasının qrafiki və absis x 0 olan nöqtədə ona toxunan təsvir göstərilir. f funksiyasının törəməsinin qiymətini tapın ( x) x 0 nöqtəsində. Qiymət
Mühazirə 23 MÜRƏKKƏB NÖQTƏSİNİN FUNKSİYASI QRAFİQİNİN QABAR VƏ BUQAVİ y \u003d f (x) funksiyasının qrafiki (a; b) intervalında qabarıq adlanırsa, əgər o, bu intervaldakı hər hansı bir tangensdən aşağıda yerləşirsə. Qrafik
Fəsil 6 Stabillik nəzəriyyəsinin əsasları Mühazirə Problemin ifadəsi Əsas anlayışlar Əvvəllər göstərilmişdi ki, normal ODE = f, () sistemi üçün Koşi məsələsinin həlli davamlı olaraq ilkin şərtlərdən asılıdır.
11/19/15 Dərs 16. Əsas model "brusselator" 70-ci illərin əvvəllərinə qədər. əksər kimyaçılar kimyəvi reaksiyaların salınım rejimində gedə bilməyəcəyinə inanırdılar. Sovet alimlərinin eksperimental tədqiqatları
Fəsil 8 Funksiyalar və Qrafiklər Dəyişənlər və onlar arasındakı asılılıqlar. İki kəmiyyət və onların nisbəti sabitdirsə, düz mütənasib adlanır, yəni = olarsa, dəyişmə ilə dəyişməyən sabit ədəddir.
Tələbələrin profil səviyyəli riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq sistemi. (parametrli tapşırıqlar) Nəzəri material Tərif. Parametr problemdə dəyəri nəzərə alınan müstəqil dəyişəndir
Mühazirə Funksiyanın tədqiqi və onun qrafikinin qurulması Xülasə: Funksiya monotonluq, ekstremum, qabarıqlıq-konkavlik, asimptotların mövcudluğu üçün tədqiq edilir.
29. Adi diferensial tənliklər sistemlərinin həllərinin asimptotik sabitliyi, cazibə dairəsi və onun qiymətləndirilməsi üsulları. Teorem V.I. Zubov cəlbedici rayonun sərhədi haqqında. V.D.Nogin 1 o. Tərif
Mühazirə 13 Mövzu: İkinci tərtib əyrilər Müstəvidə ikinci tərtib əyrilər: ellips, hiperbola, parabola. İkinci dərəcəli əyrilərin həndəsi xassələri əsasında tənliklərinin çıxarılması. Ellipsin formasının öyrənilməsi,
TƏSDİQ EDİLMİŞ Tədris işləri və universitetəqədər hazırlıq üzrə prorektor A. A. Voronov 09 yanvar 2018-ci il fənn üzrə PROQRAM: Tədris sahəsində dinamik sistemlər: 03.03.01 “Tətbiqi riyaziyyat
Avtomatlaşdırma və telemexanika, L-1, 2007
RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j
© 2007 Yu.S. POPKOV, tech. Elm (RAS Sistem Təhlili İnstitutu, Moskva)
Vd-ENTROPİYA OPERATORU İLƏ DİNAMİK SİSTEMLƏRİN KEYFİYYƏTLİ TƏHLİLİ
DSEE-nin nəzərdən keçirilən sinfinin tək nöqtələrinin mövcudluğunu, unikallığını və lokalizasiyasını öyrənmək üçün bir üsul təklif olunur. “Kiçikdə” və “böyükdə” sabitlik şərtləri əldə edilir. Alınan şərtlərin tətbiqi nümunələri verilmişdir.
1. Giriş
Entropiya operatoru (DEOS) ilə dinamik sistemlər konsepsiyası əsasında dinamik proseslərin riyazi modelləşdirilməsinin bir çox problemləri həll edilə bilər. DSEE qeyri-xəttiliyin entropiyanın maksimumlaşdırılmasının parametrik problemi ilə təsvir olunduğu dinamik bir sistemdir. Feio-moyoloji cəhətdən DSEO "yavaş" özünü çoxaltma və "sürətli" resurs bölgüsü ilə makrosistem modelidir. DSEO-nun bəzi xassələri tədqiq edilmişdir. Bu iş DSEO-ların keyfiyyət xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi silsiləsini davam etdirir.
Vd-entropiya operatoru olan dinamik sistemi nəzərdən keçiririk:
^ = £(x, y(x)), x e En:
y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.
Bu ifadələrdə:
C(x, y), u(x) fasiləsiz diferensiallanan vektor funksiyalardır;
Entropiya
(1.2) Hv (y) = uz 1n kimi > 0, s = T~m;
T - (r x w)- ^ 0 elementli matris r-ə bərabər ümumi dərəcəyə malikdir;
u(x) vektor funksiyasının davamlı diferensiallana bilən çoxluğu nəzərdə tutulur
(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,
burada a- və a + E+-dan vektordur, burada a- kiçik komponentli vektordur.
Entropiya operatorunun Laqranj çarpanları baxımından məlum təmsilindən istifadə. sistemi (1.1) aşağıdakı formaya çeviririk:
- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+
Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-
O(x, z) = Ty(z) = q(x),
burada rk = exp(-Ak) > 0 eksponensial Laqranj çarpanlarıdır.
Ümumi formanın (1.1) DSEE ilə yanaşı, bəndində verilmiş təsnifatdan sonra nəzərdən keçirəcəyik.
Ayrılabilir axınlı DSEE:
(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),
burada B (n x m)-matris;
Multiplikativ axını ilə DSEO:
(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab
burada W qeyri-mənfi elementləri olan (n x m)-matris, a müsbət komponentləri olan vektor, ® koordinat üzrə vurmanın əlamətidir.
Bu işin məqsədi DSEE-nin tək nöqtələrinin mövcudluğunu, unikallığını və lokalizasiyasını və onların sabitliyini öyrənməkdir.
2. Tək nöqtələr
2.1. Varlıq
Sistemi nəzərdən keçirin (1.4). Bu dinamik sistemin tək nöqtələri aşağıdakı tənliklərlə müəyyən edilir:
(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;
(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:
(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.
Əvvəlcə köməkçi tənliklər sistemini nəzərdən keçirək:
(2.4) C(q, z) = r, q e R,
burada R çoxluğu (1.3) bərabərliklə müəyyən edilir və C(q, r) komponentləri olan vektor funksiyasıdır.
(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.
(2.4) tənliyində Vg-entropiya operatorunun xassələrindən irəli gələn hər bir sabit vektor q üçün unikal həll r* var (bax).
С(g, z) vektor funksiyasının komponentlərinin tərifindən aydın qiymətləndirmə baş verir:
(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:
Birinci tənliyin həllini r+, ikincisini isə r- ilə işarə edək. müəyyən edək
(2.7) C (a+,z) = z, C(a
(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk
və r-ölçülü vektorlar
(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin).
Lemma 2.1. Bütün q G Q (1 . 3) üçün (2.4) tənliyinin z*(q) həlləri seqmentin 1 vektoruna aiddir.
zmin< z*(q) < zmax,
burada zmin və zmax vektorları (2.7)-(2.9) ifadələri ilə müəyyən edilir.
Teoremin sübutu Əlavədə verilmişdir. Qq
x G Rn üçün qk(x) (1.3), onda bizdə var
Nəticə 2.1. Bütün ex x G Rn üçün Lemma 2.1-in şərtləri, qk(x) funksiyaları isə (1.3) şərtlərini ödəsin. Onda bütün x G Rm üçün (2.3) tənliyinin z* həlləri vektor seqmentinə aiddir
zmin< z* < zmax
İndi (2.2) tənliklərinə qayıdaq. y(z) vektor funksiyasının komponentlərini təyin edən. Yakobi elementlərinin forması var
(2.10) jb aj zk JJ & > 0
0 və g istisna olmaqla, bütün z G R+ üçün. Buna görə y(z) vektor funksiyası ciddi şəkildə monoton artır. Lemma 2.1-ə görə, aşağıdan və yuxarıdan məhdudlaşır, yəni. bütün z G Rr üçün (deməli, bütün x G Rn üçün) onun dəyərləri çoxluğa aiddir
(2.11) Y = (y: y-< y < y+},
burada yk, y+ vektorlarının komponentləri aşağıdakı ifadələrlə təyin olunur:
(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.
(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,
(2.1)-dəki birinci tənliyi nəzərdən keçirin və onu aşağıdakı kimi yenidən yazın:
(2.14) L(x, y) = 0 bütün y e Y ⊂ E^ üçün.
Bu tənlik x dəyişəninin Y-ə aid olan y dəyişənindən asılılığını müəyyən edir
biz (1.4) (2.14) tənliyi ilə müəyyən edilmiş gizli x(y) funksiyasının mövcudluğuna qədər azaldır.
Lemma 2.2. Aşağıdakı şərtlər yerinə yetirilsin:
a) vektor funksiyası L(x, y) dəyişənlər çoxluğunda fasiləsizdir;
b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;
c) hər hansı sabit y e Y üçün bütün ex x e En üçün det J (x, y) = 0.
Sonra Y üzərində müəyyən edilmiş unikal gizli x*(y) funksiyası var. Bu lemmada J(x, y) elementləri olan Yakobidir.
(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.
Sübut Əlavədə verilmişdir. Yuxarıdakı lemmalardan belə çıxır
Teorem 2.1. Lemma 2.1 və 2.2-nin şərtləri təmin edilsin. Sonra DSEE-nin unikal tək nöqtəsi (1.4) və müvafiq olaraq (1.1) mövcuddur.
2.2. Lokallaşdırma
Tək nöqtənin lokalizasiyasının tədqiqi onun yerləşdiyi intervalı təyin etmək imkanı kimi başa düşülür. Bu tapşırıq çox sadə deyil, lakin bəzi DSEE sinifləri üçün belə bir interval təyin edilə bilər.
(2.1)-dəki birinci qrup tənliklərə müraciət edək və onları formada təqdim edək
(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,
burada y- və y+ (2.12), (2.13) bərabərlikləri ilə müəyyən edilir.
Teorem 2.2. L(x,y) vektor funksiyası hər iki dəyişəndə davamlı diferensiallanan və monoton artan olsun, yəni.
--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj
Onda (2.16) sisteminin x dəyişəninə münasibətdə həlli (2.17) xmin x x x xmax intervalına aiddir,
a) xmin, xmax vektorları formaya malikdir
Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;
\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):
xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;
6) x- və x+ - aşağıdakı tənliklərin həllinin komponentləri
(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0
oo m ilə əlbəttə.
Teoremin sübutu Əlavədə verilmişdir.
3. DSEA-nın "kiçikdə" davamlılığı
3.1. Ayrıla bilən axınlı DSEE Gəlin ayrıla bilən axınlı DSEE tənliklərinə müraciət edək və onları aşağıdakı formada təqdim edək:
- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab
Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1
0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.
Burada q(x) vektor funksiyasının komponentlərinin qiymətləri Q (1.3) çoxluğuna aiddir, (n × w)-matris B n (n)-ə bərabər ümumi dərəcəyə malikdir.< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.
Baxılan sistemin tək x nöqtəsi olsun. Bu tək nöqtənin "kiçikdə" sabitliyini öyrənmək üçün xəttiləşdirilmiş bir sistem qururuq
burada A (n x n)-matrisdir, onun elementləri x nöqtəsində hesablanır və vektor t = x - x. (3.1)-dəki birinci tənliyə görə xəttiləşdirilmiş sistemin matrisi vardır
A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),
| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,
I k \u003d 1, g, I \u003d 1, s
(3.1)-dən Yr: dy matrisinin elementləri müəyyən edilir.
"bkz P" 8=1
3, r8 x8, 5 1, r.
Zx matrisinin elementlərini təyin etmək üçün (3.1) tənliklərin sonuncu qrupuna müraciət edirik. B göstərir ki, bu tənliklər g(x) vektor funksiyası davamlı diferensiallanarsa, davamlı diferensiallanan r(x) gizli vektor funksiyasını təyin edir. z(x) vektor funksiyasının Yakobi Zx tənliyi ilə müəyyən edilir
<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),
vg (X) \u003d T Ug (X),
ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \
Bu tənlikdən (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x) olur.
Bu nəticənin bərabərliklə əvəz edilməsi (3.3). alırıq:
A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).
Beləliklə, xəttiləşdirilmiş sistemin tənliyi formasını alır
(c.i) | = (j+p)e
Burada J, P matrislərinin elementləri sinqulyar nöqtədə hesablanır. "Kiçik" DSEE-də (3.1) kifayət qədər sabitlik şərtləri aşağıdakılarla müəyyən edilir
Teorem 3.1. DSEE (3.1) aşağıdakı şərtlər yerinə yetirildiyi təqdirdə "kiçikdə" sabit olan tək x nöqtəsinə malikdir:
a) xəttiləşdirilmiş sistemin (3.11) J, P (3.10) matrisləri həqiqi və fərqli, J matrisi isə maksimum xüsusi qiymətə malikdir.
Pmax = max Pg > 0,
Wmax = maxUi< 0;
Umax + Ptah<
Bu teoremdən və bərabərlikdən (3.10) belə nəticə çıxır ki, Qx(x) = 0 və (və ya) X, = 0 və tkj ^ 1 olan tək nöqtələr üçün bütün ex k,j üçün teoremin kafi şərtləri olmur. razı.
3.2. Multiplikativ axını ilə DSEE (1.6) tənlikləri nəzərdən keçirin. formada təqdim edir:
X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;
yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;
(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts
Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.
sistemləri. Olacaq:
(3.13)
Bu ifadədə diaq C] a1,..., an, Yr, Zx müsbət elementləri olan diaqonal matrisdir (3.4)-(3.7) bərabərlikləri ilə təyin olunan matrislərdir.
A matrisini formada təqdim edirik
(3.14) A = diaq + P (x),
(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).
Qeyd edək: maxi ai = nmax və wmax P(x) matrisinin maksimum xüsusi dəyəridir (3.15). O zaman 3.1 teorem DSEE (1.6) üçün də etibarlıdır. (3.12).
4. DSEA-nın davamlılığı "böyük"
Q(x) vektor funksiyasının komponentlərinin qiymətlərinin Q (1.3) dəstinə aid olduğu DESO tənliklərinə (1.4) müraciət edək. Baxılan sistemdə z(x) = z ^ z-> 0 vektorları olan tək Z nöqtəsi var və
y(x) = y(z) = y > y- > 0.
Tək nöqtədən £, C, П kənarlaşma vektorlarını təqdim edək: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.
ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009
Bilik bazasında yaxşı işinizi göndərin sadədir. Aşağıdakı formadan istifadə edin
Tədris və işlərində bilik bazasından istifadə edən tələbələr, aspirantlar, gənc alimlər Sizə çox minnətdar olacaqlar.
http://www.allbest.ru/ ünvanında yerləşir
Məşq edin
avtomatik nyquist tezliyinə nəzarət
Aşağıdakı addımları əhatə edən Şəkil 1-də göstərilən blok diaqramı ilə verilmiş avtomatik idarəetmə sisteminin dinamik xüsusiyyətlərini təhlil edin:
Tədqiqat metodlarının seçilməsi və əsaslandırılması, ACS-nin riyazi modelinin qurulması;
Hesablama hissəsi, o cümlədən kompüterdə ACS-nin riyazi modelləşdirilməsi;
İdarəetmə obyektinin və ACS-nin riyazi modelinin dayanıqlığının təhlili;
İdarəetmə obyektinin və ACS-nin riyazi modelinin dayanıqlığının öyrənilməsi.
Tədqiq olunan ACS-nin struktur diaqramı, burada idarəetmə obyektinin (OC), icraedicinin (IM), sensorun (D) və düzəldici qurğunun (CU) ötürmə funksiyaları.
K1, K2, K3, K4, T1, T2, T3 və T4 əmsallarının dəyərləri Cədvəl 1-də göstərilmişdir.
Kurs işi üçün tapşırığın variantı
|
Seçimlər |
|||||||
Giriş
Avtomatlaşdırmanın dizaynı mühəndisliyin ən mürəkkəb və vacib sahələrindən biridir, buna görə də avtomatlaşdırmanın əsaslarını bilmək, müxtəlif texnoloji proseslərdə avtomatlaşdırma səviyyəsini başa düşmək, istifadə olunan avtomatlaşdırma vasitələri və dizayn əsasları mühəndislərin uğurlu işi üçün zəruri şərtlərdir. və texnoloqlar. İstənilən texnoloji prosesin normal aparılması parametrlərin müəyyən qiymətləri ilə xarakterizə olunur və avadanlığın iqtisadi və təhlükəsiz istismarı iş parametrlərinin tələb olunan hədlərdə saxlanılması ilə təmin edilir. Avadanlıqların normal işləməsi, eləcə də istənilən istilik qurğularında tələb olunan texnoloji prosesin həyata keçirilməsi üçün dizayn işlərində avtomatlaşdırma avadanlığını təmin etmək lazımdır. Hazırda xalq təsərrüfatının bütün sahələrində, o cümlədən kənd təsərrüfatında avtomatik idarəetmə sistemlərindən getdikcə daha çox istifadə olunur. Bu təəccüblü deyil, çünki texnoloji proseslərin avtomatlaşdırılması insan operatorunun xüsusi texniki nəzarət və idarəetmə vasitələri ilə qismən və ya tam dəyişdirilməsi ilə xarakterizə olunur. Texnoloji proseslərin mexanikləşdirilməsi, elektrikləşdirilməsi və avtomatlaşdırılması kənd təsərrüfatında ağır və aşağıixtisaslı fiziki əməyin xüsusi çəkisinin azaldılmasını təmin edir ki, bu da onun məhsuldarlığının artmasına səbəb olur.
Beləliklə, texnoloji proseslərin avtomatlaşdırılması zərurəti göz qabağındadır və onların biliklərinin praktikada sonradan tətbiqi üçün avtomatik idarəetmə sistemlərinin (AİS) parametrlərinin hesablanması üsullarını öyrənməyə ehtiyac var.
Kurs işində idarəetmə obyektlərinin riyazi modellərinin tərtibi və təhlili ilə ACS-nin verilmiş struktur diaqramının dinamik xassələrinin təhlili aparılmışdır.
1 . Nyquist meyarına görə ACS sabitliyinin təhlili
ACS-nin sabitliyini qiymətləndirmək üçün onun xarakterik tənliyinin köklərinin dəqiq dəyərlərini təyin etməyə ehtiyac yoxdur. Buna görə də, sistemin xarakterik tənliyinin tam həlli açıq şəkildə lazımsızdır və sabitliyin bu və ya digər dolayı kriteriyasından istifadə etməklə məhdudlaşdırıla bilər. Xüsusilə, sistemin sabitliyi üçün onun xarakterik tənliyinin bütün əmsallarının eyni işarəyə malik olmasının zəruri olduğunu (lakin qeyri-kafi deyil) və ya xarakterik tənliyin bütün köklərinin həqiqi hissələrinin olması kifayət olduğunu göstərmək asandır. mənfi olmaq. Xarakterik tənliyin bütün köklərinin həqiqi hissələri mənfi deyilsə, bu ACS-nin dayanıqlığını təyin etmək üçün digər meyarlara uyğun olaraq öyrənmək lazımdır, çünki yuxarıdakı meyara görə köçürmə funksiyası bir məxrəci müsbət real hissəyə malik köklərə malik olan qeyri-sabit blok, onda müəyyən şərtlərdə qapalı sistem bu halda da sabit ola bilər.
Bir çox prosesə nəzarət sistemlərinin dayanıqlığını öyrənmək üçün ən əlverişlisi aşağıdakı kimi formalaşan Nyquist sabitlik meyarıdır.
Açıq vəziyyətdə sabit olan sistem mənfi əks əlaqə ilə bağlandıqdan sonra da sabit qalacaq, əgər açıq vəziyyətdə olan W(jш) CFC hodoqrafı kompleks müstəvidə koordinatları (-1; j0) olan nöqtəni əhatə etmirsə. .
Nyquist kriteriyasının yuxarıdakı tərtibində hesab olunur ki, CFC W(jw) hodoqrafı göstərilən nöqtədən çəkilmiş vektorun ümumi fırlanma bucağı (-1; j0) nöqtəsini “örtmür”. tezlik w=0-dan w > ?-ə dəyişdikdə hodoqraf W(jw) sıfıra bərabərdir.
Əgər kritik tezlik ck adlanan müəyyən tezlikdə CFC hodoqrafı W(jsh) (-1; j0) nöqtəsindən keçirsə, onda qapalı sistemdə keçici proses ck tezlikli sönümsüz rəqslərdir, yəni. sistem sabitlik sərhədindədir, aşağıdakı kimi ifadə edilir:
Burada W(p) açıq ACS-nin ötürmə funksiyasıdır. Tutaq ki, açıq sistem sabitdir. Onda qapalı ACS-nin dayanıqlılığı üçün açıq sistemin W(jw) amplituda-faza xarakteristikasının hodoqrafının (göstərilən xarakteristika p=jw əvəz etməklə W(p) əldə edilir) zəruri və kifayətdir. nöqtəni koordinatlarla (-1, j0) əhatə etməsin. |W(jw)| olan tezlik = 1 kəsilmə tezliyi adlanır (w cf).
Sistemin sabitlik sərhədindən nə qədər uzaq olduğunu qiymətləndirmək üçün sabitlik marjası anlayışı təqdim edilir. Amplituda (modulda) sabitlik marjası, faza yerdəyişməsini dəyişdirmədən sistemi sabitlik sərhədinə çatdırmaq üçün AFC hodoqrafının radius-vektorunun uzunluğunu neçə dəfə dəyişdirməyin lazım olduğunu göstərir. Tamamilə sabit sistemlər üçün sabitlik marjası modulu DK düsturla hesablanır:
burada w 0 tezliyi arg W(jw 0) = - 180 0 münasibətindən müəyyən edilir.
DK amplituda sabitlik marjası da düsturla hesablanır:
DK \u003d 1 - K 180;
burada K 180 -180° faza yerdəyişməsində ötürmə əmsalının qiymətidir.
Öz növbəsində, faza sabitlik marjası modulun dəyərini dəyişdirmədən sistemi sabitlik sərhədinə çatdırmaq üçün mütləq dəyərdə AFC arqumentini nə qədər artırmaq lazım olduğunu göstərir.
Faza sabitlik marjası Dj düsturla hesablanır:
Dj \u003d 180 ° - j K \u003d 1;
burada j K=1 - ötürmə əmsalında faza sürüşməsinin qiyməti K = 1;
Dj = 180 0 + arg W (j; w cf) dəyəri faza sabitlik marjasını müəyyən edir. Nyquist meyarından belə çıxır ki, kəsilmə tezliyində faza sürüşməsi -180°-ə çatmazsa, açıq vəziyyətdə sabit olan ACS qapalı vəziyyətdə də sabit olacaqdır. Bu şərtin yerinə yetirilməsi açıq dövrəli ACS-nin loqarifmik tezlik reaksiyalarının qrafikini çəkməklə yoxlanıla bilər.
2. Nyquist meyarına görə ACS sabitliyinin öyrənilməsi
AFC-ni açıq ACS ilə təhlil edərək Nyquist meyarına uyğun olaraq sabitliyin öyrənilməsi. Bunun üçün öyrənilən ACS-nin blok diaqramında göstərildiyi kimi sistemi pozuruq:
Tədqiq olunan ACS-nin struktur diaqramı
Aşağıda idarəetmə obyektinin (CO), aktuatorun (IM), sensorun (D) və düzəldici cihazın (CU) ötürmə funksiyaları verilmişdir:
Tapşırıq üçün əmsalların dəyərləri aşağıdakılardır:
K1 =1,0; K2 = 0,2; K3 = 2; K4 = 1,0; T1 = 0,4; T2 = 0,2; T3 = 0,07; T4 = 0,4.
Sistemin kəsilməsindən sonra köçürmə funksiyasını hesablayaq:
W (p) \u003d W ku (p) W W im (p) W W oy (p) W W d (p);
W(p) = H W H
Verilmiş əmsalları funksiyaya əvəz edərək əldə edirik:
Bu funksiyanı riyazi modelləşdirmə proqramında (“MATLAB”) təhlil edərək, şəkildə göstərilən kompleks müstəvidə açıq ACS-nin amplituda-faza-tezlik xarakteristikasının (APFC) hodoqrafını alırıq.
Kompleks müstəvidə açıq ACS-nin APFC hodoqrafı.
AFC-də ACS-nin sabitliyinin öyrənilməsi
-180 °, K 180 \u003d 0,0395 bir faza sürüşməsi üçün ötürmə əmsalını hesablayırıq.
Düstura görə amplituda sabitlik marjası DK:
DK \u003d 1 - K 180 \u003d 1 - 0,0395 \u003d 0,9605; burada K 180 = 0,0395.
Dj faza marjasını təyin edək:
faza sabitlik marjası Dj düsturla müəyyən edilir: Dj = 180° - j K=1 ; burada j K=1 ötürmə əmsalı K = 1-də faza yerdəyişməsinin qiymətidir. Lakin bizim halda j K=1 müşahidə olunmadığından (amplituda həmişə birdən kiçikdir) tədqiq olunan sistem istənilən vaxt sabitdir. faza sürüşməsinin dəyəri (ACS bütün tezlik diapazonunda sabitdir).
ACS sabitliyinin loqarifmik xarakteristikalar üzrə öyrənilməsi
Açıq ACS-nin loqarifmik amplituda-tezlik xarakteristikası
Açıq ACS-nin loqarifmik faza-tezlik xarakteristikası
Riyazi modelləşdirmə proqramından (“MATLAB”) istifadə edərək tədqiq olunan ACS-nin Şəkil 4 (loqarifmik amplituda-tezlik xarakteristikası) və Şəkil 5-də (loqarifmik faza-tezlik xarakteristikası) verilmiş loqarifmik xarakteristikalarını alırıq, burada;
L(w) = 20lg|W (j; w) |).
ACS-nin loqarifmik sabitlik meyarı Nyquist kriteriyasının loqarifmik formada ifadəsidir.
180°-lik faza sürüşmə dəyərindən öyrənmək üçün (Şəkil 5) LFC ilə kəsişməyə üfüqi bir xətt çəkirik, bu kəsişmə nöqtəsindən LFC ilə kəsişməyə qədər şaquli xətt çəkirik (Şəkil 4). 180 ° faza sürüşməsində ötürmə əmsalının dəyərini alırıq:
20lgK 180 ° = - 28.05862;
isə K 180 ° \u003d 0,0395 (DK "\u003d 28,05862).
Amplituda sabitlik marjası şaquli xətti 20lgK 180 ° = 0 dəyərinə qədər davam etdirməklə tapılır.
Faza sabitlik marjasını tapmaq üçün LFC ilə kəsişənə qədər 20lgK 180 ° \u003d 0 xətti boyunca üfüqi bir xətt keçir və LFC ilə kəsişənə qədər bu nöqtədən şaquli xətt keçir. Bu halda, faza sürüşməsinin tapılmış dəyəri ilə 180 ° -ə bərabər olan faza sürüşməsi arasındakı fərq faza sabitlik marjası olacaqdır.
Dj \u003d 180 ° - j K;
Dj = 180° - 0 = 180°.
burada: j K - faza sürüşməsinin tapılan qiyməti;
Tədqiq olunan ACS-nin LFC-si 20lgK 180 ° = 0 xəttinin altında olduğundan, ACS sıfırdan 180 °-ə qədər istənilən faza sürüşmə dəyərində faza sabitlik marjasına sahib olacaqdır.
Nəticə: LAFC və LPFC-ni təhlil etdikdən sonra tədqiq olunan ACS-nin bütün tezlik diapazonunda sabit olduğu nəticələnir.
Nəticə
Bu kurs işində idarəetmə nəzəriyyəsinin müasir üsul və vasitələrindən istifadə edilməklə alətlərin izlənilməsi sistemi sintez edilmiş və tədqiq edilmişdir. Bu hesablama və qrafik işdə verilmiş blok-sxemdən və dinamik keçidlərin ötürmə funksiyaları üçün məlum ifadələrdən istifadə etməklə qapalı avtomatik idarəetmə sisteminin ötürmə funksiyasını tapdıq.
Biblioqrafiya
1. İ.F. Borodin, Yu.A. Sudnik. Texnoloji proseslərin avtomatlaşdırılması. Ali məktəblər üçün dərslik. Moskva. Kolos, 2004.
2. V.S. Qutnikov. Ölçmə cihazlarında inteqrasiya olunmuş elektronika. Energoatomizdat. Leninqrad filialı, 1988.
3. N.N. İvaşçenko. Avtomatik tənzimləmə. Sistemlərin nəzəriyyəsi və elementləri. Moskva. "Mühəndislik", 1978.
Allbest.ru saytında yerləşdirilib
...Oxşar Sənədlər
Avtomatik idarəetmə sisteminin keçidlərinin ötürmə funksiyalarının və keçid xarakteristikalarının təyini. Amplituda-faza xarakteristikasının qurulması. Sistemin sabitliyinin qiymətləndirilməsi. Düzəldici cihazın seçimi. Tənzimləyici keyfiyyət göstəriciləri.
kurs işi, 21/02/2016 əlavə edildi
Mühərrikin sürətinə nəzarət sisteminin düzəldici dövrə ilə və olmadan öyrənilməsi. Hurwitz, Mixaylov və Nyquist meyarlarına görə sistemin sabitliyinin qiymətləndirilməsi. Loqarifmik amplituda-tezlik və faza-tezlik xarakteristikalarının qurulması.
kurs işi, 22/03/2015 əlavə edildi
Korreksiyaedici qurğularla düzəldilmiş avtomatik idarəetmə sisteminin elektrik fundamental riyazi modelinin diaqramının işlənməsi. Rout-Hurwitz metodu ilə ilkin sistemin dayanıqlığının qiymətləndirilməsi. İstənilən tezlik reaksiyasının sintezi.
kurs işi, 24/03/2013 əlavə edildi
İdarəetmə obyektinin (qazan barabanının) xüsusiyyətləri, avtomatik idarəetmə sisteminin dizaynı və istismarı, onun funksional diaqramı. Hurwitz və Nyquist meyarlarına görə sistemin sabitliyinin təhlili. Keçid funksiyaları üzrə idarəetmənin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsi.
kurs işi, 09/13/2010 əlavə edildi
Dalma daşlamada çarpaz yem üçün avtomatik idarəetmə sisteminin məqsədi. Funksional diaqramın qurulması. Konvertorun, elektrik mühərrikinin, reduktorun ötürmə funksiyalarının hesablanması. Nyquist meyarı ilə sabitliyin təyini.
kurs işi, 08/12/2014 əlavə edildi
Cəbri (Rauth və Hurvitz meyarları) və tezlik sabitlik meyarları (Mixailov və Nyquist meyarları) ilə sistemin sabitliyini təyin etmək, onların nəticələrinin düzgünlüyünü qiymətləndirmək üçün bir üsul. Qapalı sistem üçün ötürmə funksiyasının tərtibinin xüsusiyyətləri.
laboratoriya işi, 12/15/2010 əlavə edildi
Elementar sxemin qurulması və avtomatik idarəetmə sisteminin iş prinsipinin öyrənilməsi, onun QİÇS sisteminin tənzimlənməsi metodunun həyata keçirilməsində əhəmiyyəti. Sistemin əsas elementləri və onların əlaqəsi. Dövrənin dayanıqlığının və onun optimal tezliklərinin təhlili.
test, 09/12/2009 əlavə edildi
Açıq sistemin ötürmə funksiyasının, onun qeydinin standart formasının və astatizm dərəcəsinin təyini. Amplituda-faza, real və xəyali tezlik xüsusiyyətlərinin öyrənilməsi. AFC hodoqrafının tikintisi. Rout və Hurvitsin cəbri meyarları.
kurs işi, 05/09/2011 əlavə edildi
Polad emalı sənayesinin nasos sirkulyasiya stansiyasının işinə təsir edən yeni funksiyaların həyata keçirilməsi. Nəzarət və ölçü avadanlığının quraşdırılması. Mixaylov sabitlik meyarları və amplituda-faza Nyquist meyarları. Sistemin təkmilləşdirilməsi.
dissertasiya, 01/19/2017 əlavə edildi
Kartof anbarında tədarük havasının istiliyinə avtomatik nəzarət sisteminin funksional diaqramı. Sistemin tənzimlənməsi qanununun müəyyən edilməsi. Hurwitz və Nyquist meyarlarına uyğun olaraq sabitliyin təhlili. Keçid funksiyaları ilə idarəetmənin keyfiyyəti.
Giriş
Qeyri-xətti dinamik sistem anlayışı sistemin gələcək davranışının keçmiş tərəfindən müəyyən edildiyi son dərəcə geniş prosesləri əhatə etmək üçün kifayət qədər zəngin olduğundan, bu sahədə işlənmiş təhlil üsulları çox müxtəlif kontekstlərdə faydalıdır.
Qeyri-xətti dinamika ədəbiyyata ən azı üç yolla daxil olur. Birincisi, bir və ya bir neçə kəmiyyətin zamanla dəyişməsi ilə bağlı eksperimental məlumatların qeyri-xətti dinamik nəzəriyyəyə əsaslanan texnikalardan istifadə etməklə toplandığı və təhlil edildiyi, verilənləri yaradan prosesi tənzimləyən əsas tənliklər haqqında minimal fərziyyələrlə rast gəlinən hallar var. Yəni, ilk öncə modeli təxmin etmək və sonra onu verilənlərlə müqayisə etmək əvəzinə, riyazi modelin inkişafına rəhbərlik edə biləcək verilənlərdə korrelyasiya tapmağa çalışdığı bir haldır.
İkincisi, qeyri-xətti dinamik nəzəriyyənin bəzi sadələşdirilmiş modelin verilmiş sistemin mühüm xüsusiyyətlərini nümayiş etdirməli olduğunu bildirmək üçün istifadə oluna biləcəyi hallar var ki, bu da təsvir edən modelin geniş parametrlər diapazonunda qurulması və öyrənilməsini nəzərdə tutur. Bu, tez-tez müxtəlif parametrlər altında keyfiyyətcə fərqli davranan və bir bölgənin real sistemdə müşahidə edilənə çox oxşar davranış nümayiş etdirdiyini nümayiş etdirən modellərlə nəticələnir. Bir çox hallarda modelin davranışı parametrlərdəki dəyişikliklərə kifayət qədər həssasdır, ona görə də modelin parametrləri real sistemdə ölçülə bilirsə, model bu dəyərlərdə real davranış nümayiş etdirir və əmin olmaq olar ki, model sistemin əsas xüsusiyyətləri.
Üçüncüsü, məlum fizikanın ətraflı təsvirləri əsasında model tənliklərinin qurulduğu hallar var. Ədədi təcrübələr daha sonra fiziki eksperimentlər üçün mümkün olmayan dəyişənlər haqqında məlumat verə bilər.
İkinci yola əsaslanaraq, bu iş mənim əvvəlki işim "Bir-birindən asılı sənayelərin qeyri-xətti dinamik modeli" adlı başqa bir işin davamıdır (Dmitriev, 2015)
İşdə lazım olan bütün lazımi təriflər və digər nəzəri məlumatlar lazım gəldikdə birinci fəsildə göstəriləcəkdir. Burada tədqiqat mövzusunun özünün açıqlanması üçün zəruri olan iki tərif veriləcəkdir.
Əvvəlcə sistem dinamikasını müəyyən edək. Təriflərdən birinə görə, sistem dinamikası öz üsulları və vasitələri sayəsində mürəkkəb sistemlərin strukturunu və onların dinamikasını qiymətləndirməyə kömək edən simulyasiya modelləşdirmə yanaşmasıdır (Şterman). Əlavə etmək lazımdır ki, sistem dinamikası həm də daha səmərəli bir şirkət / təşkilat yaratmaq, habelə daha səmərəli bir şirkət / təşkilat yaratmaq üçün mürəkkəb sistemlər üçün düzgün (dəqiqlik baxımından) kompüter modellərini yenidən yaratmaq üçün istifadə olunan bir modelləşdirmə üsuludur. bu sistemlə qarşılıqlı əlaqə. Əsasən sistem dinamikasına ehtiyac uzunmüddətli, strateji modellərlə qarşılaşdıqda yaranır və onun kifayət qədər mücərrəd olduğunu da qeyd etmək lazımdır.
Qeyri-xətti diferensial dinamikadan danışarkən, qeyri-xətti sistemi nəzərdən keçirəcəyik ki, bu da tərifinə görə, nəticədəki dəyişikliyin giriş parametrlərindəki dəyişikliyə mütənasib olmayan və funksiyanı təsvir etdiyi bir sistemdir. zamanın dəyişməsindən və kosmosda nöqtənin mövqeyindən asılılıq (Boeing, 2016).
Yuxarıdakı təriflərə əsasən aydın olur ki, bu işdə şirkətlərin qarşılıqlı əlaqəsini təsvir edən müxtəlif qeyri-xətti diferensial sistemlər, habelə onların əsasında qurulmuş simulyasiya modelləri nəzərdən keçiriləcək. Bunun əsasında işin məqsədi müəyyən ediləcək.
Beləliklə, bu işin məqsədi birinci yaxınlaşmada şirkətlərin qarşılıqlı əlaqəsini təsvir edən dinamik sistemlərin keyfiyyət təhlilini aparmaq və onların əsasında simulyasiya modelini qurmaqdır.
Bu məqsədə çatmaq üçün aşağıdakı vəzifələr müəyyən edilmişdir:
Sistemin dayanıqlığının müəyyən edilməsi.
Faza portretlərinin qurulması.
Sistemlərin inteqral trayektoriyalarının tapılması.
Simulyasiya modellərinin qurulması.
Bu tapşırıqların hər biri işin hər bir fəslinin bölmələrindən birinə həsr olunacaq.
Təcrübəyə əsaslanaraq, müxtəlif fiziki sistemlərdə və proseslərdə dinamikanı effektiv modelləşdirən fundamental riyazi strukturların qurulması göstərir ki, müvafiq riyazi model müəyyən dərəcədə tədqiq olunan orijinala yaxınlığı əks etdirir, o zaman onun xarakterik xüsusiyyətləri xassələrindən və xüsusiyyətlərindən əldə edilə bilər. sistemin dinamikasını təşkil edən hərəkət növündən strukturlar. Bu gün iqtisad elmi özünün inkişaf mərhələsindədir ki, burada iqtisadi proseslərin fiziki-riyazi modelləşdirilməsinin yeni, bir çox hallarda isə qeyri-standart üsul və üsullarından xüsusilə səmərəli istifadə olunur. İqtisadi vəziyyəti bir şəkildə təsvir edə bilən modellərin yaradılması, öyrənilməsi və qurulması zərurəti ilə bağlı nəticə buradan gəlir.
Kəmiyyət təhlilinin yox, keyfiyyət təhlilinin seçilməsinin səbəbinə gəlincə, qeyd etmək lazımdır ki, əksər hallarda dinamik sistemlərin keyfiyyət təhlilinin nəticələri və nəticələri onların kəmiyyət təhlilinin nəticələrindən daha əhəmiyyətli olur. Belə bir vəziyyətdə V.P.-nin açıqlamalarına diqqət yetirmək yerinə düşər. Milovanov, o, ənənəvi olaraq real obyektlərin təhlilinə riyazi metodların tətbiqi zamanı gözlənilən nəticələrin ədədi nəticəyə endirilməsi lazım olduğuna inandıqlarını bildirir. Bu mənada keyfiyyət metodlarının bir qədər fərqli vəzifəsi var. Sistemin keyfiyyətini xarakterizə edən nəticənin əldə edilməsinə, bütövlükdə bütün hadisələrin xarakterik xüsusiyyətlərinin axtarışına, proqnozlaşdırılmasına diqqət yetirir. Əlbəttə ki, müəyyən bir növ malın qiymətləri dəyişdikdə tələbin necə dəyişəcəyini anlamaq vacibdir, lakin unutmayın ki, belə şərtlərdə bu malların çatışmazlığı və ya artıqlığının olub olmadığını anlamaq daha vacibdir (Dmitriev , 2016).
Bu tədqiqatın obyekti qeyri-xətti diferensial və sistem dinamikasıdır.
Bu zaman tədqiqatın predmetini qeyri-xətti diferensial və sistem dinamikası vasitəsilə şirkətlər arasında qarşılıqlı əlaqə prosesinin təsviri təşkil edir.
Tədqiqatın praktik tətbiqi haqqında danışarkən, onu dərhal iki hissəyə bölməyə dəyər. Yəni nəzəri, yəni sistemlərin keyfiyyət təhlili və simulyasiya modellərinin qurulmasının nəzərdən keçiriləcəyi praktiki.
Bu tədqiqatın nəzəri hissəsi əsas anlayışlar və hadisələri təmin edir. Bir çox başqa müəlliflərin əsərlərində olduğu kimi sadə diferensial sistemləri nəzərdən keçirir (Teschl, 2012; Nolte, 2015), lakin eyni zamanda şirkətlər arasında qarşılıqlı əlaqəni təsvir etməyə imkan verir. Buna əsaslanaraq, gələcəkdə daha dərin tədqiqatlar aparmaq və ya sistemlərin keyfiyyət analizini təşkil edən şeylərlə tanışlığa başlamaq mümkün olacaq.
İşin praktiki hissəsindən qərara dəstək sistemi yaratmaq üçün istifadə etmək olar. Qərarların qəbuluna dəstək sistemi - bir çox müxtəlif alternativlər arasında seçim etməyə imkan verən bir təşkilatda biznes və ya qərar qəbulunu dəstəkləməyə yönəlmiş avtomatlaşdırılmış məlumat sistemi (Keen, 1980). Hal-hazırda modellər çox dəqiq olmasa da, onları müəyyən bir şirkət üçün dəyişdirərək, daha dəqiq nəticələr əldə edə bilərsiniz. Beləliklə, onlarda bazarda yarana biləcək müxtəlif parametrləri və şərtləri dəyişdirərkən, siz gələcək üçün proqnoz əldə edə və əvvəlcədən daha sərfəli qərar verə bilərsiniz.
1. Qarşılıqlılıq şəraitində şirkətlərin qarşılıqlı fəaliyyəti
Məqalə yüksək səviyyəli sistemlərlə müqayisədə olduqca sadə olan, lakin eyni zamanda bizə ehtiyac duyduğumuz təşkilatlar arasında əlaqələri nümayiş etdirməyə imkan verən iki ölçülü sistemləri təqdim edəcəkdir.
Gələcəkdə təsvir ediləcək qarşılıqlı əlaqə növünü seçməklə işə başlamağa dəyər, çünki növlərin hər biri üçün onları təsvir edən sistemlər, bir qədər də olsa, fərqlidir. Şəkil 1.1-də Eujima Odumun iqtisadi qarşılıqlı əlaqə üçün dəyişdirilmiş əhalinin qarşılıqlı əlaqəsi təsnifatı göstərilir (Odum, 1968), bunun əsasında şirkətlərin qarşılıqlı əlaqəsini daha sonra nəzərdən keçirəcəyik.
Şəkil 1.1. Müəssisələr arasında qarşılıqlı əlaqənin növləri
Şəkil 1.1-ə əsasən, biz qarşılıqlı əlaqənin 4 növünü ayırırıq və onların hər biri üçün Maltus modelinə (Malthus, 1798) əsaslanaraq onları təsvir edən tənliklər sistemini təqdim edirik. Buna əsasən, böyümə sürəti növlərin mövcud bolluğu ilə mütənasibdir, başqa sözlə, aşağıdakı diferensial tənliklə təsvir edilə bilər:
burada a əhalinin təbii artımından asılı olan parametrdir. Onu da əlavə etmək lazımdır ki, aşağıda nəzərdən keçirilən sistemlərdə bütün parametrlər, eləcə də dəyişənlər mənfi olmayan dəyərlər qəbul edirlər.
Xammal istehsalı yırtıcı-yırtıcı modelinə bənzər məhsulların istehsalıdır. Lotka-Volterra modeli kimi də tanınan yırtıcı-ov modeli, biri yırtıcı, digəri isə yırtıcı olan iki növdən ibarət bioloji sistemin dinamikasını təsvir edən bir cüt qeyri-xətti birinci dərəcəli diferensial tənlikdir (Llibre). , 2007). Bu növlərin bolluğundakı dəyişiklik aşağıdakı tənliklər sistemi ilə təsvir olunur:
(1.2)
burada - ikincinin təsiri olmadan birinci müəssisənin istehsalının artımını xarakterizə edir (yırtıcı-yırtıcı modelində, yırtıcılar olmadan yırtıcı populyasiyanın artması),
Birincinin təsiri olmadan ikinci müəssisənin istehsalının artımını xarakterizə edir (ovsuz yırtıcıların populyasiyasının artması),
İkinci müəssisənin ona təsirini nəzərə alaraq birinci müəssisənin istehsalının artımını xarakterizə edir (yırtıcılarla qarşılıqlı əlaqədə olduqda yırtıcıların sayının artması),
Birinci müəssisənin ona təsirini (qurbanlarla qarşılıqlı əlaqə zamanı yırtıcıların sayının artması) nəzərə alaraq, ikinci müəssisənin istehsalının artımını xarakterizə edir.
Birincisi, yırtıcı, sistemdən, eləcə də Odumun təsnifatından göründüyü kimi, onların qarşılıqlı təsiri əlverişli təsir göstərir. Digər tərəfdən əlverişsiz. İqtisadi reallıqlarda nəzərə alınarsa, şəkildən göründüyü kimi, ən sadə analoq müvafiq olaraq yırtıcı və yırtıcıya uyğun gələn istehsalçı və onun resurs tədarükçüsüdür. Beləliklə, xammal olmadıqda məhsul eksponent olaraq azalır.
Rəqabət iki və ya daha çox (bizim vəziyyətimizdə iki ölçülü sistemləri nəzərdən keçiririk, ona görə də tam olaraq iki növ rəqabəti götürürük) növlər, ərazilər üçün iqtisadi qruplar, məhdud resurslar və ya digər dəyərlər arasında rəqabətdir (Elton, 1968). Növlərin və ya bizim vəziyyətimizdə məhsulların sayındakı dəyişikliklər aşağıdakı sistemlə təsvir olunur:
(1.3)
Bu zaman bir məhsul istehsal edən növlər və ya şirkətlər bir-birinə mənfi təsir göstərir. Yəni rəqib olmadıqda məhsulun artımı eksponent olaraq artacaq.
İndi hər iki müəssisənin bir-birinə müsbət təsir göstərdiyi simbiotik qarşılıqlı əlaqəyə keçək. Qarşılıqlılıqdan başlayaq. Mutualizm müxtəlif növlər arasında hər birinin digərinin hərəkətindən faydalandığı münasibət növüdür və qeyd etmək lazımdır ki, ortağın olması mövcudluq üçün zəruri şərtdir (Tompson, 2005). Bu tip əlaqə sistem tərəfindən təsvir edilir:
(1.4)
Şirkətlər arasında qarşılıqlı əlaqə onların mövcudluğu üçün zəruri olduğundan, bir şirkətin məhsulu olmadıqda, digərinin məhsulunun istehsalı eksponent olaraq azalır. Bu, şirkətlərin satınalma üçün başqa alternativləri olmadıqda mümkündür.
Simbiotik qarşılıqlı əlaqənin başqa bir növünü, protokooperasiyanı nəzərdən keçirək. Proto-kooperasiya qarşılıqlıizmə bənzəyir, yeganə istisna olmaqla, tərəfdaşın mövcudluğuna ehtiyac yoxdur, çünki məsələn, başqa alternativlər var. Bənzər olduqları üçün sistemləri bir-birinə demək olar ki, eyni görünür:
(1.5)
Beləliklə, bir şirkətin məhsulunun olmaması digər şirkətin məhsulunun böyüməsinə mane olmur.
Əlbəttə ki, 3 və 4-cü bəndlərdə sadalananlara əlavə olaraq, simbiotik əlaqələrin digər növlərini də qeyd etmək olar: komensalizm və amensalizm (Hanski, 1999). Lakin onlar daha sonra qeyd edilməyəcək, çünki komensalizmdə tərəfdaşlardan biri digəri ilə qarşılıqlı əlaqəyə biganədir, lakin hələ də təsirin olduğu halları nəzərdən keçiririk. Və amensalizm nəzərə alınmır, çünki iqtisadi nöqteyi-nəzərdən belə münasibətlər, onların qarşılıqlı təsiri birinə zərər verdikdə, digəri isə laqeyd olduqda, sadəcə mövcud ola bilməz.
Şirkətlərin bir-birinə təsirinə, yəni simbiotik əlaqələrin şirkətlərin sabit birgə mövcudluğuna səbəb olmasına əsaslanaraq, bu yazıda biz yalnız qarşılıqlılıq və proto-kooperasiya hallarını nəzərdən keçirəcəyik, çünki hər iki halda qarşılıqlı əlaqə hamı üçün faydalıdır.
Bu fəsil mutualizm şəraitində şirkətlərin qarşılıqlı fəaliyyətinə həsr edilmişdir. Burada Maltus modelinə əsaslanan sistemlərin sonrakı inkişafı olan iki sistemi, yəni istehsalın artmasına məhdudiyyətlər qoyulmuş sistemləri nəzərdən keçirəcək.
Qarşılıqlı əlaqələrlə bağlanan cütün dinamikası, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, sistemin ilk yaxınlaşmasında təsvir edilə bilər:
(1.6)
Görünür ki, böyük ilkin istehsal miqdarı ilə sistem qeyri-müəyyən müddətə böyüyür, az miqdarda istehsal azalır. Qarşılıqlılıqdan yaranan təsirin ikixətli təsvirinin yanlışlığı da buradadır. Şəkili düzəltməyə çalışmaq üçün yırtıcı heyvanın doymasına bənzəyən bir faktoru, yəni həddindən artıq olduqda istehsalın artım sürətini azaldacaq bir amili təqdim edirik. Bu vəziyyətdə aşağıdakı sistemə gəlirik:
(1.7)
birinci şirkətin məhsul istehsalındakı artım, doyma nəzərə alınmaqla ikincisi ilə qarşılıqlı əlaqədə haradadır,
Doyma nəzərə alınmaqla birinci ilə qarşılıqlı əlaqədə ikinci şirkətin məhsulunun istehsalında artım,
Doyma əmsalları.
Beləliklə, iki sistem əldə etdik: doyma ilə və doymadan Maltusian böyümə modeli.
1.1 Birinci yaxınlaşmada sistemlərin dayanıqlığı
Birinci yaxınlaşmada sistemlərin dayanıqlığı bir çox xarici (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 və s.) və rusdilli əsərlərdə (Axromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidoviç, 1967; Krasovsky, 1959 və başqaları) və onun tərifi sistemdə baş verən proseslərin təhlili üçün əsas addımdır. Bunu etmək üçün aşağıdakı zəruri addımları yerinə yetirin:
Gəlin tarazlıq nöqtələrini tapaq.
Sistemin Yakobi matrisini tapaq.
Yakobi matrisinin xüsusi qiymətlərini tapın.
Biz tarazlıq nöqtələrini Lyapunov teoreminə əsasən təsnif edirik.
Addımları nəzərdən keçirərək, onların izahı üzərində daha ətraflı dayanmağa dəyər, buna görə də təriflər verəcəyəm və bu addımların hər birində istifadə edəcəyimiz üsulları təsvir edəcəyəm.
İlk addım, tarazlıq nöqtələrinin axtarışı. Onları tapmaq üçün hər bir funksiyanı sıfıra bərabərləşdiririk. Yəni sistemi həll edirik:
burada a və b tənliyin bütün parametrlərini bildirir.
Növbəti addım Yakobi matrisini tapmaqdır. Bizim vəziyyətimizdə, bu, aşağıda göstərildiyi kimi, müəyyən bir nöqtədə birinci törəmələri olan 2-dən 2-yə bir matris olacaq:
İlk iki addımı tamamladıqdan sonra aşağıdakı xarakterik tənliyin köklərini tapmağa davam edirik:
Nöqtə birinci addımda tapılan tarazlıq nöqtələrinə uyğundur.
Və tapdıqdan sonra dördüncü addıma keçirik və aşağıdakı Lyapunov teoremlərindən istifadə edirik (Parks, 1992):
Teorem 1: Əgər xarakterik tənliyin bütün kökləri mənfi real hissəyə malikdirsə, onda ilkin və xəttiləşdirilmiş sistemlərə uyğun gələn tarazlıq nöqtəsi asimptotik sabitdir.
Teorem 2: Xarakterik tənliyin köklərindən heç olmasa birinin müsbət həqiqi hissəsi varsa, ilkin və xətti sistemlərə uyğun gələn tarazlıq nöqtəsi asimptotik qeyri-sabitdir.
Həmçinin, baxaraq və Şəkil 1.2-də (Lamar Universiteti) göstərilən bölgü əsasında dayanıqlığın növünü daha dəqiq müəyyən etmək mümkündür.
Şəkil 1.2. Tarazlıq nöqtələrinin dayanıqlığının növləri
Lazımi nəzəri məlumatları nəzərdən keçirərək sistemlərin təhlilinə müraciət edirik.
Doyma olmayan bir sistemi nəzərdən keçirin:
Çox sadədir və praktiki istifadə üçün uyğun deyil, çünki heç bir məhdudiyyət yoxdur. Ancaq sistem analizinin ilk nümunəsi olaraq nəzərdən keçirmək üçün uyğundur.
Əvvəlcə tənliklərin sağ tərəflərini sıfıra bərabərləşdirməklə tarazlıq nöqtələrini tapaq. Beləliklə, iki tarazlıq nöqtəsi tapırıq, onları A və B adlandıraq: 
.
Addımı Yakobi matrisinin axtarışı, xarakterik tənliyin kökləri və sabitlik növünün təyini ilə birləşdirək. Onlar elementar olduqları üçün dərhal cavab alırıq:
1. , , nöqtəsində sabit düyün var.
Nöqtədə: 
...yəhər.
Artıq yazdığım kimi, bu sistem çox əhəmiyyətsizdir, ona görə də izahat tələb olunmur.
İndi sistemi doymadan təhlil edək:
(1.9)
Müəssisələr tərəfindən məhsulların qarşılıqlı doymasına məhdudiyyətin yaranması bizi baş verənlərin real mənzərəsinə yaxınlaşdırır, həm də sistemi bir az çətinləşdirir.
Əvvəlki kimi sistemin düzgün hissələrini sıfıra bərabərləşdiririk və nəticədə yaranan sistemi həll edirik. Nöqtə dəyişməz qaldı, lakin bu vəziyyətdə digər nöqtə əvvəlkindən daha çox parametr ehtiva edir: 
.
Bu halda Yakobi matrisi aşağıdakı formanı alır:
Ondan çarpılan eynilik matrisini çıxarın və A və B nöqtələrində yaranan matrisin determinantını sıfıra bərabərləşdirin.
Bənzər bir erkən şəkil nöqtəsində:
sabit düyün.
Amma nöqtədə hər şey bir qədər daha mürəkkəbdir və riyaziyyat hələ də olduqca sadə olsa da, mürəkkəblik uzun hərfi ifadələrlə işləməkdə narahatlıq yaradır. Dəyərlər kifayət qədər uzun və əlverişsiz bir şəkildə yazıldıqları üçün verilmədikləri üçün, əvvəlki sistemdə olduğu kimi, bu vəziyyətdə də əldə edilən sabitliyin növünün yəhər olduğunu söyləmək kifayətdir.
2 Sistemlərin faza portretləri
Qeyri-xətti dinamik modellərin böyük əksəriyyəti ya həll edilə bilməyən mürəkkəb diferensial tənliklərdir, ya da bu bir növ mürəkkəblikdir. Buna misal olaraq əvvəlki bölmədəki sistem göstərilə bilər. Görünən sadəliyə baxmayaraq, ikinci tarazlıq nöqtəsində sabitliyin növünü tapmaq asan məsələ deyildi (riyazi baxımdan olmasa da) və parametrlərin, məhdudiyyətlərin və tənliklərin artması ilə qarşılıqlı əlaqədə olan müəssisələrin sayını artırmaq üçün mürəkkəblik yalnız artacaq. Əlbəttə ki, əgər parametrlər ədədi ifadələrdirsə, onda hər şey inanılmaz dərəcədə sadələşəcək, lakin sonra təhlil birtəhər bütün mənasını itirəcək, çünki sonda tarazlıq nöqtələrini tapa və onların sabitlik növlərini yalnız müəyyən bir nöqtə üçün tapa biləcəyik. ümumi hal deyil.
Belə hallarda, faza müstəvisini və faza portretlərini xatırlamağa dəyər. Tətbiqi riyaziyyatda, xüsusən də qeyri-xətti sistemlərin təhlili kontekstində faza müstəvisi müəyyən növ diferensial tənliklərin müəyyən xarakteristikalarının vizual təsviridir (Nolte, 2015). Sistemin vəziyyətini xarakterizə edən hər hansı bir cüt dəyişənin dəyərlərinin oxları olan koordinat müstəvisi ümumi n ölçülü faza fəzasının ikiölçülü halıdır.
Faza müstəvisi sayəsində diferensial tənliyin həllində həddi dövrlərin mövcudluğunu qrafik şəkildə müəyyən etmək mümkündür.
Diferensial tənliyin həlli funksiyalar ailəsidir. Qrafik olaraq, bu faza müstəvisində iki ölçülü vektor sahəsi kimi təsvir edilə bilər. Müstəvidə hansısa parametrə, bizim vəziyyətimizdə zamana, yəni () görə xarakterik nöqtələrdə törəmələri təmsil edən vektorlar çəkilir. Bir sahədə kifayət qədər bu oxlarla sistemin davranışı vizuallaşdırıla və məhdudiyyət dövrləri asanlıqla müəyyən edilə bilər (Boeing, 2016).
Vektor sahəsi faza portretidir, axın xətti boyunca müəyyən bir yol (yəni həmişə vektorlara toxunan yol) bir faza yoludur. Vektor sahəsindəki axınlar diferensial tənliklə təsvir edilən zamanla sistemdəki dəyişikliyi göstərir (Jordan, 2007).
Qeyd etmək lazımdır ki, faza portreti hətta diferensial tənliyi həll etmədən də qurula bilər və eyni zamanda yaxşı vizuallaşdırma bir çox faydalı məlumat verə bilər. Bundan əlavə, hazırda faza diaqramlarının qurulmasına kömək edə biləcək bir çox proqram var.
Beləliklə, faza təyyarələri fiziki sistemlərin davranışını vizuallaşdırmaq üçün faydalıdır. Xüsusilə, yuxarıda qeyd olunan yırtıcı-yırtıcı modeli kimi salınım sistemləri. Bu modellərdə faza trayektoriyaları sıfıra doğru “burula”, sonsuzluğa “spiraldan çıxa” və ya mərkəzlər adlanan neytral sabit vəziyyətə çata bilər. Bu, dinamikanın sabit olub-olmadığını müəyyən etmək üçün faydalıdır (Jordan, 2007).
Bu bölmədə təqdim olunan mərhələ portretləri WolframAlpha alətlərindən istifadə etməklə qurulacaq və ya digər mənbələrdən təqdim olunacaq. Doyma olmadan Maltus böyümə modeli.
Davranışlarını müqayisə etmək üçün üç parametr dəsti ilə birinci sistemin faza portretini quraq. Tək dəst kimi istinad ediləcək A dəsti ((1,1), (1,1)), B dəsti ((10,0.1), (2,2)) seçildikdə sistem kəskin istehsalın azalması , və C dəsti ((1,10), (1,10)) üçün, əksinə, kəskin və qeyri-məhdud artım baş verir. Qeyd etmək lazımdır ki, faza diaqramlarını bir-biri ilə müqayisə etmək rahatlığı üçün bütün hallarda oxlar boyunca dəyərlər -10 ilə 10 arasında eyni intervallarda olacaqdır. Təbii ki, bu, oxları ölçüsüz olan sistemin keyfiyyətli portretinə aid deyil.
Şəkil 1.3 A parametrləri ilə faza portreti
mutualizm diferensial həddi tənliyi
Yuxarıdakı Şəkil 1.3 üç müəyyən edilmiş parametrlər dəsti üçün sistemin faza portretlərini, həmçinin sistemin keyfiyyət davranışını təsvir edən faza portretini göstərir. Unutmayın ki, praktiki baxımdan ən vacibi birinci rübdür, çünki yalnız qeyri-mənfi ola biləcək istehsal həcmi bizim baltalarımızdır.
Rəqəmlərin hər birində tarazlıq nöqtəsində (0,0) sabitlik aydın görünür. Və birinci şəkildə "yəhər nöqtəsi" (1,1) nöqtəsində də nəzərə çarpır, başqa sözlə, parametrlər dəstinin dəyərlərini sistemə əvəz etsək, B tarazlıq nöqtəsində. Modelin konstruksiyasının sərhədləri dəyişdikdə yəhər nöqtəsinə digər faza portretlərində də rast gəlinir.
Doymadan böyümənin Maltus modeli.
Doyma olan ikinci sistem üçün üç yeni parametr dəyəri dəsti ilə faza diaqramlarını quraq. A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) və C ((20,1,100), (20,1,100) dəstini )).
Şəkil 1.4. A parametrləri ilə mərhələli portret
Gördüyünüz kimi, istənilən parametrlər toplusu üçün (0,0) nöqtəsi tarazlıqdır, həm də sabitdir. Həmçinin bəzi rəqəmlərdə yəhər nöqtəsini görə bilərsiniz.
Bu zaman sistemə doyma əmsalı əlavə olunduqda da keyfiyyət mənzərəsinin dəyişmədiyini, yəni təkcə doyma kifayət etmədiyini daha aydın nümayiş etdirmək üçün müxtəlif miqyaslar nəzərdən keçirilmişdir. Nəzərə almaq lazımdır ki, praktikada şirkətlərin sabitliyə ehtiyacı var, yəni qeyri-xətti diferensial tənlikləri nəzərə alsaq, o zaman bizi ən çox sabit tarazlıq nöqtələri maraqlandırır və bu sistemlərdə yalnız sıfır nöqtələri belə nöqtələrdir, yəni bu cür riyazi modellərin müəssisələr üçün açıq şəkildə uyğun olmadığını. . Axı bu o deməkdir ki, yalnız sıfır istehsalla şirkətlər sabitlikdədirlər ki, bu da dünyanın real mənzərəsindən açıq şəkildə fərqlənir.
Riyaziyyatda inteqral əyri adi diferensial tənliyin və ya tənliklər sisteminin xüsusi həllini təmsil edən parametrik əyridir (Lang, 1972). Əgər diferensial tənlik vektor sahəsi kimi təqdim edilirsə, onda müvafiq inteqral əyrilər hər nöqtədə sahəyə toxunan olur.
İnteqral əyrilər diferensial tənliyin və ya vektor sahəsinin xarakterindən və şərhindən asılı olaraq başqa adlarla da tanınır. Fizikada elektrik sahəsi və ya maqnit sahəsi üçün inteqral əyrilər sahə xətləri, maye sürət sahəsi üçün isə inteqral əyrilər axın xətləri kimi tanınır. Dinamik sistemlərdə diferensial tənlik üçün inteqral əyrilər trayektoriya adlanır.
Şəkil 1.5. İnteqral əyrilər
Sistemlərdən hər hansı birinin həlli də inteqral əyrilərin tənlikləri kimi qəbul edilə bilər. Aydındır ki, hər bir faza trayektoriyası x,y,t fəzasında bəzi inteqral əyrinin faza müstəvisinə proyeksiyasıdır.
İnteqral əyriləri qurmağın bir neçə yolu var.
Onlardan biri izoklin üsuludur. İzoklin ilkin şərtlərdən asılı olmayaraq, nəzərdən keçirilən funksiyanın yamacının həmişə eyni olacağı nöqtələrdən keçən əyridir (Hanski, 1999).
Tez-tez adi diferensial tənliklərin həlli üçün qrafik metod kimi istifadə olunur. Məsələn, y "= f (x, y) formasında olan tənlikdə izoklinlər f (x, y) sabitinə bərabər tutulmaqla alınan (x, y) müstəvisində xətlərdir. Bu, bir sıra xətlər verir ( müxtəlif sabitlər üçün) əyri məhlulları eyni qradientə malikdir. Hər bir izoklin üçün bu qradiyenti hesablamaqla yamac sahəsi vizuallaşdırıla bilər ki, bu da təxmini həll əyrilərini çəkməyi nisbətən asanlaşdırır. Aşağıdakı şəkildə izoklin metodundan istifadə nümunəsi göstərilir. .
Şəkil 1.6. İzoklin üsulu
Bu üsul kompüter hesablamalarını tələb etmir və keçmişdə çox məşhur idi. İndi kompüterlərdə son dərəcə dəqiq və tez inteqral əyrilər quracaq proqram həlləri var. Bununla belə, izoklin metodu inteqral əyrilərin tipik davranış sahələrini göstərməyə imkan verdiyi üçün həllərin davranışını öyrənmək üçün bir vasitə kimi özünü yaxşı göstərdi.
Doyma olmadan Maltus böyümə modeli.
Gəlin ondan başlayaq ki, müxtəlif tikinti üsullarının mövcud olmasına baxmayaraq, tənliklər sisteminin inteqral əyrilərini göstərmək o qədər də asan deyil. Əvvəldə qeyd olunan izoklin üsulu uyğun deyil, çünki birinci dərəcəli diferensial tənliklər üçün işləyir. Və bu cür əyriləri çəkmək qabiliyyətinə malik proqram vasitələri ictimai sahəyə aid deyil. Məsələn, buna qadir olan Wolfram Mathematica ödənişlidir. Buna görə də, Wolfram Alpha-nın imkanlarından maksimum istifadə etməyə çalışacağıq, onunla iş müxtəlif məqalələrdə və əsərlərdə təsvir edilmişdir (Orca, 2009). Baxmayaraq ki, şəkil tamamilə etibarlı olmayacaq, lakin heç olmasa bu, təyyarələrdə (x, t), (y, t) asılılığı göstərməyə imkan verəcəkdir. Əvvəlcə t üçün tənliklərin hər birini həll edək. Yəni dəyişənlərin hər birinin zamana görə asılılığını çıxarırıq. Bu sistem üçün alırıq:
(1.10)
(1.11)
Tənliklər simmetrikdir, ona görə də biz onlardan yalnız birini, yəni x(t) hesab edirik. Sabit 1-ə bərabər olsun. Bu halda biz qrafik qurma funksiyasından istifadə edəcəyik.
Şəkil 1.7. (1.10) tənliyi üçün üçölçülü model
Doymadan böyümənin Maltus modeli.
Eyni şeyi digər model üçün də edək. Nəhayət, dəyişənlərin zamandan asılılığını nümayiş etdirən iki tənlik əldə edirik.
(1.12)
(1.13)
Yenidən üç ölçülü model və səviyyə xətləri quraq.
Şəkil 1.8. (1.12) tənliyi üçün üçölçülü model
Dəyişənlərin dəyərləri mənfi olmadığı üçün eksponentli kəsrdə mənfi bir ədəd alırıq. Beləliklə, inteqral əyri zamanla azalır.
Əvvəllər işin mahiyyətini anlamaq üçün sistem dinamikasının tərifi verilirdisə, indi bu barədə daha ətraflı dayanaq.
Sistem dinamikası mürəkkəb problemlərin formalaşması, başa düşülməsi və müzakirəsi üçün ilkin olaraq 1950-ci illərdə Cey Forrester tərəfindən işlənib hazırlanmış və işində təsvir edilmiş (Forrester, 1961) riyazi modelləşdirmənin metodologiyası və üsuludur.
Sistem dinamikası mürəkkəb sistemlərin dinamik davranışını anlamaq üçün bir üsul kimi sistemlər nəzəriyyəsinin bir aspektidir. Metodun əsası hər hansı bir sistemin strukturunun onun komponentləri arasında çoxsaylı əlaqələrdən ibarət olduğunun qəbul edilməsidir ki, bu da çox vaxt fərdi komponentlərin özləri kimi onun davranışını müəyyən etmək üçün vacibdir. Nümunələr müxtəlif müəlliflərin əsərlərində təsvir olunan xaos nəzəriyyəsi və sosial dinamikadır (Grebogi, 1987; Sontaq, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Həm də iddia edilir ki, element xassələrində bütöv xassələrə çox vaxt rast gəlmək mümkün olmadığından, bəzi hallarda bütünün davranışı hissələrin davranışı ilə izah edilə bilməz.
Simulyasiya həqiqətən dinamik sistemin tam praktik əhəmiyyətini göstərə bilər. Elektron cədvəllərdə mümkün olsa da, bu məqsəd üçün xüsusi olaraq optimallaşdırılmış bir çox proqram paketləri mövcuddur.
Modelləşdirmənin özü real dünyada onun fəaliyyətini proqnozlaşdırmaq üçün fiziki modelin prototipinin yaradılması və təhlili prosesidir. Simulyasiya modelləşdirməsi dizaynerlərə və mühəndislərə prosesin hansı şəraitdə və hansı hallarda uğursuz ola biləcəyini və hansı yüklərə tab gətirə biləcəyini anlamağa kömək etmək üçün istifadə olunur (Khemdy, 2007). Modelləşdirmə həmçinin maye axınlarının və digər fiziki hadisələrin davranışını proqnozlaşdırmağa kömək edə bilər. Model tətbiq olunan simulyasiya proqramı sayəsində təxmini iş şəraitini təhlil edir (Strogalev, 2008).
Simulyasiya modelləşdirmə imkanları ilə bağlı məhdudiyyətlərin ümumi səbəbi var. Dəqiq modelin qurulması və ədədi hesablanması yalnız dəqiq kəmiyyət nəzəriyyəsinin mövcud olduğu sahələrdə, yəni müəyyən hadisələri təsvir edən tənliklər məlum olduqda və vəzifə yalnız bu tənlikləri lazımi dəqiqliklə həll etməkdən ibarət olan sahələrdə müvəffəqiyyətə zəmanət verir. Kəmiyyət nəzəriyyəsinin olmadığı sahələrdə dəqiq model qurmaq məhdud dəyərə malikdir (Bazykin, 2003).
Bununla belə, modelləşdirmə imkanları məhdud deyil. Hər şeydən əvvəl, bu, simulyasiya modelinin əhatə dairəsini, xüsusən də proqnozun lazımi dəqiqliklə qurulmasının mümkün olduğu müddətin qiymətləndirilməsinin çətin olması ilə əlaqədardır (Qanun, 2006). Bundan əlavə, öz təbiətinə görə, simulyasiya modeli müəyyən bir obyektə bağlıdır və onu başqa, hətta oxşar obyektə tətbiq etmək istəyərkən, köklü düzəliş və ya ən azı əhəmiyyətli dəyişiklik tələb edir.
Simulyasiyaya məhdudiyyətlərin olmasının ümumi səbəbi var. “Dəqiq” modelin qurulması və ədədi hesablanması o zaman müvəffəq olur ki, kəmiyyət nəzəriyyəsi mövcud olsun, yəni bütün tənliklər məlum olsun və problem yalnız bu tənliklərin müəyyən dəqiqliklə həllinə qədər azalsın (Bazykin, 2003).
Lakin buna baxmayaraq, simulyasiya modelləşdirməsi dinamik prosesləri vizuallaşdırmaq üçün əla vasitədir və az-çox düzgün modellə onun nəticələrinə əsasən qərarlar qəbul etməyə imkan verir.
Bu işdə AnyLogic proqramının təklif etdiyi sistem dinamikası alətlərindən istifadə etməklə sistem modelləri qurulacaq.
Doyma olmadan Maltus böyümə modeli/
Model qurmazdan əvvəl istifadə edəcəyimiz sistem dinamikasının elementlərini nəzərdən keçirmək və onları sistemimizlə əlaqələndirmək lazımdır. Aşağıdakı təriflər AnyLogic proqramının yardım məlumatından götürülmüşdür.
Sürücü sistem dinamikası diaqramlarının əsas elementidir. Onlar müəyyən resursların toplandığı real dünyanın obyektlərini təmsil etmək üçün istifadə olunur: pul, maddələr, insan qruplarının sayı, bəzi maddi obyektlər və s. Akkumulyatorlar simulyasiya edilmiş sistemin statik vəziyyətini əks etdirir və onların dəyərləri zamanla sistemdə mövcud olan axınlara uyğun olaraq dəyişir. Buradan belə çıxır ki, sistemin dinamikası axınlarla müəyyən edilir. Akkumulyatora daxil olan və çıxan axınlar akkumulyatorun dəyərlərini artırır və ya azaldır.
Axın, eləcə də yuxarıda qeyd olunan sürücü, sistem-dinamik diaqramların əsas elementidir.
Zibillər sistemin statik hissəsini müəyyən edərkən, axınlar qutuların dəyişmə sürətini, yəni ehtiyatların zamanla necə dəyişdiyini müəyyən edir və bununla da sistemin dinamikasını müəyyən edir.
Agentdə dəyişənlər ola bilər. Dəyişənlər adətən agentin dəyişən xüsusiyyətlərini modelləşdirmək və ya modelin nəticələrini saxlamaq üçün istifadə olunur. Tipik olaraq, dinamik dəyişənlər akkumulyator funksiyalarından ibarətdir.
Agentin parametrləri ola bilər. Parametrlər çox vaxt modelləşdirilmiş obyektin bəzi xüsusiyyətlərini təmsil etmək üçün istifadə olunur. Onlar obyekt nümunələri sinifdə təsvir edilən eyni davranışa malik olduqda faydalıdır, lakin bəzi parametr dəyərlərində fərqlənir. Dəyişənlər və parametrlər arasında aydın fərq var. Dəyişən modelin vəziyyətini təmsil edir və simulyasiya zamanı dəyişə bilər. Parametr adətən obyektləri statik olaraq təsvir etmək üçün istifadə olunur. Modelin bir "çalışması" zamanı parametr adətən sabitdir və yalnız modelin davranışını yenidən konfiqurasiya etmək lazım olduqda dəyişdirilir.
Link sistem dinamikasının elementidir, axın diaqramının elementləri ilə akkumulyatorlar arasında əlaqəni müəyyən etmək üçün istifadə olunur.O, avtomatik olaraq keçidlər yaratmır, lakin istifadəçini onları açıq şəkildə qrafik redaktorda çəkməyə məcbur edir (lakin bunu qeyd etmək lazımdır). ki, AnyLogic həmçinin çatışmayan keçidlərin tez qurulması mexanizmini dəstəkləyir). Nümunə olaraq, tənlikdə A elementinin hər hansı bir elementi və ya B elementinin ilkin dəyəri qeyd edilirsə, onda əvvəlcə bu elementləri A-dan B-yə gedən bir əlaqə ilə birləşdirməlisiniz və yalnız bundan sonra B-nin xassələrinə ifadə daxil edin. .
Sistem dinamikasının bəzi başqa elementləri var, lakin onlar işin gedişatına cəlb edilməyəcəklər, ona görə də biz onları buraxacağıq.
Başlamaq üçün (1.4) sistem modelinin nədən ibarət olacağını nəzərdən keçirək.
Birincisi, dərhal hər bir müəssisənin istehsal miqdarının dəyərlərini ehtiva edən iki sürücünü qeyd edirik.
İkincisi, hər bir tənlikdə iki şərtimiz olduğundan, sürücülərin hər birinə biri gələn, digəri gedən iki axın alırıq.
Üçüncüsü, dəyişənlərə və parametrlərə keçirik. Yalnız iki dəyişən var. İstehsalın artımından məsul olan X və Y. Bizim də dörd seçimimiz var.
Dördüncüsü, əlaqələrə gəldikdə, axınların hər biri axın tənliyinə daxil olan dəyişənlər və parametrlərlə əlaqələndirilməlidir və hər iki dəyişən zamanla dəyəri dəyişmək üçün akkumulyatorlarla əlaqələndirilməlidir.
AnyLogic modelləşdirmə mühitində işləmək nümunəsi olaraq növbəti sistem üçün bir modelin qurulmasının ətraflı təsvirini buraxacağıq, çünki o, bir qədər daha mürəkkəbdir və daha çox parametrlərdən istifadə edir və dərhal modelin hazır versiyasını nəzərdən keçirməyə davam edəcəyik. sistemi.
Aşağıdakı Şəkil 1.9 qurulmuş modeli göstərir:
Şəkil 1.9. Sistem üçün sistem dinamikası modeli (1.4)
Sistem dinamikasının bütün elementləri yuxarıda təsvir edilənlərə uyğundur, yəni. iki sürücü, dörd axın (iki gələn, iki gedən), dörd parametr, iki dinamik dəyişən və lazımi əlaqələr.
Rəqəm göstərir ki, məhsul nə qədər çox olarsa, onun artımı da bir o qədər güclü olur ki, bu da bizim sistemə uyğun gələn malların sayının kəskin artmasına gətirib çıxarır. Amma daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, bu artımla bağlı məhdudiyyətlərin olmaması bu modelin praktikada tətbiqinə imkan vermir.
Doymadan Maltus böyümə modeli/
Bu sistemi nəzərə alaraq, modelin qurulması üzərində daha ətraflı dayanaq.
İlk addım iki sürücü əlavə etməkdir, gəlin onları X_stock və Y_stock adlandıraq. Onların hər birinə 1-ə bərabər ilkin qiymət təyin edək.Qeyd edək ki, axınlar olmadıqda klassik olaraq verilmiş saxlama tənliyində heç nə yoxdur.
Şəkil 1.10. Sistem modelinin qurulması (1.9)
Növbəti addım iplər əlavə etməkdir. Qrafik redaktordan istifadə edərək hər bir disk üçün daxil olan və gedən axını quraq. Unutmamalıyıq ki, axının kənarlarından biri sürücüdə olmalıdır, əks halda onlar birləşdirilməyəcəkdir.
Sürücü üçün tənliyin avtomatik olaraq qurulduğunu görə bilərsiniz, əlbəttə ki, istifadəçi "ixtiyari" tənlik rejimini seçərək onu özü yaza bilər, lakin ən asan yol bu hərəkəti proqrama buraxmaqdır.
Üçüncü addımımız altı parametr və iki dinamik dəyişən əlavə etməkdir. Hər bir elementə sistemdəki hərfi ifadəsinə uyğun ad verək, həmçinin parametrlərin ilkin qiymətlərini aşağıdakı kimi təyin edək: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0.2.
Tənliklərin bütün elementləri mövcuddur, yalnız axınlar üçün tənlikləri yazmaq qalır, lakin bunun üçün əvvəlcə elementlər arasında əlaqələr əlavə etməlisiniz. Məsələn, terminə cavabdeh olan gedən axın e1 və x ilə əlaqələndirilməlidir. Və hər bir dinamik dəyişən onun müvafiq ehtiyatı ilə əlaqələndirilməlidir (X_stock x, Y_stock y). Bağlantıların yaradılması mövzu əlavə etməyə bənzəyir.
Lazımi əlaqələri yaratdıqdan sonra düzgün şəkildə göstərilən axınlar üçün tənliklər yazmağa davam edə bilərsiniz. Əlbəttə ki, tərs qaydada gedə bilərsiniz, lakin əlaqələr varsa, tənliklər yazarkən, lazımi parametrləri / dəyişənləri əvəz etmək üçün göstərişlər görünür ki, bu da mürəkkəb modellərdə tapşırığı asanlaşdırır.
Bütün addımları tamamladıqdan sonra simulyasiya modelini işə salıb onun nəticəsinə baxa bilərsiniz.
Qarşılıqlılıq şəraitində şirkətlərin qarşılıqlı əlaqəsi üçün qeyri-xətti diferensial tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirərək bir neçə nəticə çıxara bilərik.
Sistemin iki vəziyyəti var: kəskin qeyri-məhdud artım və ya istehsalın kəmiyyətinin sıfıra meyli. Sistemin iki vəziyyətdən hansını qəbul edəcəyi parametrlərdən asılıdır.
Təklif olunan modellərin heç biri, o cümlədən doyma nəzərə alınmaqla model, sıfırdan fərqli sabit mövqenin olmaması, habelə 1-ci bənddə göstərilən səbəblərə görə praktik istifadə üçün uyğun deyil.
Təcrübədə şirkətlər tərəfindən tətbiq olunan bir model yaratmaq üçün bu tip simbiotik qarşılıqlı əlaqəni daha da öyrənmək cəhdi olduqda, sistemi daha da mürəkkəbləşdirmək və yeni parametrlər tətbiq etmək lazımdır. Məsələn, Bazykin kitabında əlavə bir növ daxili rəqabət amilinin tətbiqi ilə iki qarşılıqlı populyasiyanın dinamikasına bir nümunə verir. Buna görə sistem aşağıdakı formanı alır:
(1.15)
Və bu vəziyyətdə, sıfırdan "yəhər" ilə ayrılmış sistemin sıfırdan fərqli sabit mövqeyi meydana çıxır, bu da onu baş verənlərin real mənzərəsinə yaxınlaşdırır.
2. Protokooperasiya şəraitində şirkətlərin qarşılıqlı fəaliyyəti
Bütün əsas nəzəri məlumatlar əvvəlki fəsildə təqdim olundu, buna görə də bu fəsildə nəzərdən keçirilən modellərin təhlili zamanı, əvvəlki hissədə rast gəlmədiyimiz bir neçə məqam istisna olmaqla, əksər hallarda nəzəriyyə buraxılacaq. fəsil və hesablamalarda da azalma ola bilər. Maltus modelinə əsaslanan iki tənlik sistemlərindən ibarət olan protokooperasiya şəraitində bu fəsildə nəzərdən keçirilən təşkilatlar arasında qarşılıqlı əlaqə modeli (1.5) sistemə bənzəyir. Əvvəlki fəsildə təhlil edilən sistemlər göstərdi ki, onların mövcud modellərə maksimum yaxınlaşması üçün sistemləri mürəkkəbləşdirmək lazımdır. Bu tapıntılara əsasən, biz dərhal modelə artım məhdudiyyəti əlavə edəcəyik. Əvvəlki qarşılıqlı əlaqə növündən fərqli olaraq, başqa şirkətdən asılı olmayan artım mənfi olduqda, bu halda bütün əlamətlər müsbətdir, yəni bizdə daimi artım var. Daha əvvəl təsvir edilən çatışmazlıqlardan qaçaraq, onu aşağıdakı formaya malik olan Verhulst tənliyi (Gershenfeld, 1999) kimi tanınan logistik tənliklə məhdudlaşdırmağa çalışacağıq:
, (2.1)
burada P əhalinin sayı, r artım sürətini göstərən parametr, K mümkün olan maksimum populyasiya ölçüsünə cavabdeh olan parametrdir. Yəni zaman keçdikcə əhalinin sayı (bizim vəziyyətimizdə istehsal) müəyyən K parametrinə meyl edəcəkdir.
Bu tənlik indiyə qədər gördüyümüz geniş istehsal artımının qarşısını almağa kömək edəcək. Beləliklə, sistem aşağıdakı formanı alır:
(2.2)
Unutmayın ki, hər bir şirkət üçün anbarda saxlanılan malların həcmi fərqlidir, buna görə də artımı məhdudlaşdıran parametrlər fərqlidir. Gəlin bu sistemi “” adlandıraq və gələcəkdə bu addan düşünəndə istifadə edəcəyik.
Nəzərə alacağımız ikinci sistem Verhulst məhdudiyyəti ilə modelin sonrakı inkişafıdır. Əvvəlki fəsildə olduğu kimi, biz doyma məhdudiyyətini təqdim edirik, onda sistem aşağıdakı formanı alacaq:
(2.3)
İndi terminlərin hər birinin öz məhdudiyyəti var, ona görə də əlavə təhlil olmadan əvvəlki fəslin modellərində olduğu kimi qeyri-məhdud artımın olmayacağını görmək olar. Şərtlərin hər biri müsbət artım nümayiş etdirdiyi üçün istehsalın miqdarı sıfıra enməyəcək. Gəlin bu modeli “iki məhdudiyyətli proto-əməliyyat modeli” adlandıraq.
Bu iki model bioloji populyasiyalar haqqında müxtəlif mənbələrdə müzakirə olunur. İndi biz sistemləri bir qədər genişləndirməyə çalışacağıq. Bunu etmək üçün aşağıdakı rəqəmi nəzərdən keçirin.
Şəkildə iki şirkətin proseslərinin nümunəsi göstərilir: polad və kömür sənayesi. Hər iki müəssisədə digərindən asılı olmayan istehsal artımı, həmçinin onların qarşılıqlı əlaqəsi nəticəsində əldə edilən istehsal artımı var. Artıq əvvəlki modellərdə bunu nəzərə almışıq. İndi diqqət yetirməyə dəyər ki, şirkətlər təkcə məhsul istehsal etmir, həm də onları, məsələn, bazara və ya onunla qarşılıqlı əlaqədə olan bir şirkətə satırlar. Bunlar. məntiqi nəticələrə əsaslansaq, məhsulların satışı (şəkildə β1 və β2 parametrləri buna cavabdehdir), habelə istehsalın bir hissəsinin başqa müəssisəyə verilməsi ilə əlaqədar şirkətlərin mənfi artımına ehtiyac var. . Əvvəllər biz bunu başqa bir şirkət üçün yalnız müsbət əlamətlə nəzərə alırdıq, lakin məhsulların ötürülməsi zamanı birinci müəssisə üçün məhsulların sayının azaldığını nəzərə almamışdıq. Bu vəziyyətdə sistemi alırıq:
(2.4)
Termin haqqında demək olarsa, əgər əvvəlki modellərdə təbii artımı xarakterizə edən və parametrin mənfi ola biləcəyi göstərilibsə, demək olar ki, heç bir fərq yoxdur, o zaman termin haqqında 
bunu demək olmaz. Bundan əlavə, gələcəkdə ona məhdudiyyət qoyulmuş belə bir sistemi nəzərdən keçirərkən, müsbət və mənfi artım şərtlərindən istifadə etmək daha düzgündür, çünki bu halda onlara müxtəlif məhdudiyyətlər qoyula bilər ki, bu da təbii üçün mümkün deyil. artım. Gəlin buna “genişlənmiş proto-kooperasiya modeli” deyək.
Nəhayət, nəzərdən keçirilən dördüncü model əvvəllər qeyd olunan logistik artım məhdudiyyəti ilə genişləndirilmiş proto-kooperasiya modelidir. Və bu model üçün sistem aşağıdakı kimidir:
, (2.5)
maddi-texniki məhdudiyyət nəzərə alınmaqla, ikincidən asılı olmayaraq birinci müəssisənin istehsalında artım haradadır, 
- maddi-texniki məhdudiyyət nəzərə alınmaqla, ikincidən asılı olaraq birinci şirkətin istehsalının artması, - maddi-texniki məhdudiyyət nəzərə alınmaqla birincidən asılı olmayaraq ikinci müəssisənin istehsalının artması; 
- birincidən asılı olaraq, maddi-texniki məhdudiyyət nəzərə alınmaqla ikinci şirkətin istehsalının artması, - birinci şirkətin digərinə aid olmayan mallarının istehlakı, - ikinci şirkətin digərinə aid olmayan mallarının istehlakı. , - ikinci sənayenin birinci sənaye mallarının istehlakı, - ikinci sənayenin mallarının istehlakı birinci sənaye.
Gələcəkdə bu model "logistik məhdudiyyətlə genişləndirilmiş proto-əməliyyat modeli" kimi xatırlanacaqdır.
1 Birinci yaxınlaşmada sistemlərin sabitliyi
Verhulst məhdudiyyəti ilə proto-əməliyyat modeli
Sistemin dayanıqlığının təhlili üsulları əvvəlki fəslin oxşar bölməsində göstərilmişdir. Hər şeydən əvvəl tarazlıq nöqtələrini tapırıq. Onlardan biri həmişə olduğu kimi sıfırdır. Digəri isə koordinatları olan bir nöqtədir.
Sıfır nöqtəsi üçün λ1 =, λ2 =, hər iki parametr mənfi olmadığı üçün qeyri-sabit düyün alırıq.
İkinci nöqtə ilə işləmək çox rahat olmadığından, ifadəni qısaltmaq qabiliyyətinin olmaması səbəbindən sabitlik növünün tərifini faza diaqramlarına buraxacağıq, çünki onlar tarazlıq nöqtəsinin sabit olub olmadığını açıq şəkildə göstərir. ya yox.
Bu sistemin təhlili əvvəlkindən daha mürəkkəbdir, çünki doyma əmsalı əlavə olunur, beləliklə yeni parametrlər meydana çıxır və tarazlıq nöqtələrini taparkən xətti deyil, ikixətli tənliyi həll etmək lazım gələcəkdir. məxrəcdəki dəyişən. Buna görə də, əvvəlki vəziyyətdə olduğu kimi, sabitlik növünün tərifini faza diaqramlarına buraxırıq.
Yeni parametrlərin görünüşünə baxmayaraq, sıfır nöqtəsində Yakobi, eləcə də xarakterik tənliyin kökləri əvvəlki modelə bənzəyir. Beləliklə, sıfır nöqtəsində qeyri-sabit bir node.
Qabaqcıl modellərə keçək. Bunlardan birincisi heç bir məhdudiyyət ehtiva etmir və sistem formasını alır (2.4)
Gəlin dəyişənlərdə dəyişiklik edək, 
, 
və 
. Yeni sistem:
(2.6)
Bu halda iki tarazlıq nöqtəsi, A(0,0), B() nöqtəsi alırıq. B nöqtəsi birinci rübdə yerləşir, çünki dəyişənlər mənfi olmayan qiymətə malikdir.
A tarazlıq nöqtəsi üçün alırıq:
. 
- qeyri-sabit düyün
. 
- yəhər,
. 
- yəhər,
. 
- sabit düyün
B nöqtəsində xarakterik tənliyin kökləri kompleks ədədlərdir: λ1 = , λ2 = . Lyapunov teoremlərinə əsaslanaraq sabitliyin növünü təyin edə bilmərik, buna görə də bütün mümkün vəziyyətləri göstərməyəcək, lakin ən azı onlardan bəzilərini tapmağa imkan verən ədədi simulyasiyalar aparacağıq.
Şəkil 2.2. Stabillik növünün axtarışının ədədi simulyasiyası
Bu modeli nəzərə alsaq, çoxlu sayda müxtəlif parametrlərə, eləcə də iki məhdudiyyətə malik olduğu üçün hesablama çətinlikləri ilə üzləşməli olacaqsınız.
Hesablamaların təfərrüatlarına varmadan, aşağıdakı tarazlıq nöqtələrinə çatırıq. Aşağıdakı koordinatlarla A(0,0) nöqtəsi və B nöqtəsi:
(), burada a = 
A nöqtəsi üçün sabitliyin növünü müəyyən etmək mənasız bir işdir. Xarakterik tənliyin kökləri λ1 = , λ2 = dir. Beləliklə, dörd seçim alırıq:
1. λ1 > 0, λ2 > 0 - qeyri-sabit qovşaq.
2.λ1< 0, λ2 >0 - yəhər.
3. λ1 > 0, λ2< 0 - седло.
4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.
B nöqtəsi haqqında danışarkən, onun ifadəsində ixtisarların əvəz edilməsinin Yakobi ilə işi çətinləşdirəcəyi və xarakterik tənliyin köklərini tapacağı ilə razılaşmaq lazımdır. Məsələn, WolframAlpha hesablama alətlərindən istifadə edərək onları tapmağa çalışdıqdan sonra köklərin çıxışı təxminən beş sətir aldı, bu da onlarla hərfi mənada işləməyə imkan vermir. Əlbəttə ki, artıq mövcud parametrlər varsa, tez bir tarazlıq nöqtəsini tapmaq mümkün görünür, lakin bu xüsusi bir haldır, çünki tarazlıq vəziyyətini, əgər varsa, yalnız bu parametrlər üçün tapacağıq, bu da qərar üçün uyğun deyil. modelin yaradılması planlaşdırılan dəstək sistemi. .
Xarakterik tənliyin kökləri ilə işləməyin mürəkkəbliyinə görə, biz sıfır-izoklinlərin qarşılıqlı düzülməsini Bazykinin işində təhlil edilən sistemlə analogiya ilə qururuq (Bazykin, 2003). Bu, sistemin mümkün vəziyyətlərini nəzərdən keçirməyə və gələcəkdə faza portretlərini qurarkən tarazlıq nöqtələrini və onların sabitlik növlərini tapmağa imkan verəcəkdir.
Bəzi hesablamalardan sonra sıfır izoklinik tənliklər aşağıdakı formanı alır:
(2.7)
Beləliklə, izoklinlər parabola formasına malikdir.
Şəkil 2.3. Mümkün sıfır izoklinik yer
Ümumilikdə, parabolalar arasındakı ümumi nöqtələrin sayına görə onların qarşılıqlı tənzimlənməsinin dörd mümkün halı var. Onların hər birinin öz parametr dəstləri və buna görə də sistemin faza portretləri var.
2 Sistemlərin faza portretləri
Bu şərtlə sistemin faza portretini quraq 
qalan parametrlər isə 1-ə bərabərdir. Bu halda keyfiyyət dəyişməyəcəyi üçün dəyişənlərin bir dəsti kifayətdir.
Aşağıdakı rəqəmlərdən göründüyü kimi, sıfır nöqtəsi qeyri-sabit bir düyündür və ikinci nöqtə, parametrlərin ədədi dəyərlərini əvəz etsək, (-1.5, -1.5) - bir yəhər alırıq.
Şəkil 2.4. Sistem üçün faza portreti (2.2)
Beləliklə, heç bir dəyişiklik baş verməməli olduğundan, bu sistem üçün yalnız qeyri-sabit vəziyyətlər var ki, bu da çox güman ki, qeyri-məhdud böyümə ehtimalı ilə bağlıdır.
İki məhdudiyyəti olan proto-əməliyyat modeli.
Bu sistemdə əlavə məhdudlaşdırıcı amil var, buna görə də şəkildə göründüyü kimi faza diaqramları əvvəlki vəziyyətdən fərqlənməlidir. Sıfır nöqtəsi də qeyri-sabit bir qovşaqdır, lakin bu sistemdə sabit bir mövqe görünür, yəni sabit bir düyün. Bu parametrlərlə onun koordinatları (5.5,5.5) şəkildə göstərilmişdir.
Şəkil 2.5. Sistem üçün faza portreti (2.3)
Beləliklə, hər bir terminin məhdudlaşdırılması sistemin sabit mövqeyini əldə etməyə imkan verdi.
Genişləndirilmiş proto-əməliyyat modeli.
Genişləndirilmiş model üçün mərhələli portretlər yaradaq, lakin dərhal onun dəyişdirilmiş formasından istifadə edərək:
Sıfır tarazlıq nöqtəsi olan bütün halları nəzərdən keçirmək, həmçinin sıfırdan fərqli tarazlıq nöqtəsi üçün istifadə edilən ədədi simulyasiyanın faza diaqramlarını nümayiş etdirmək kimi dörd parametr dəstini nəzərdən keçirək: çoxluğu A(1,0.5,0.5) dövlətə uyğun gəlir , çoxluğu B(1,0.5,-0.5) uyğun gəlir 
C(-1.0.5,0.5) və D (-1.0.5,-0.5) təyin edin 
, yəni sıfır nöqtəsində sabit düyün. İlk iki dəst ədədi simulyasiyada nəzərdən keçirdiyimiz parametrlər üçün faza portretlərini nümayiş etdirəcək.
Şəkil 2.6. A-D parametrləri ilə sistem (2.4) üçün faza portreti.
Rəqəmlərdə müvafiq olaraq (-1,2) və (1,-2) nöqtələrinə diqqət yetirmək lazımdır, onlarda “yəhər” görünür. Daha ətraflı təsvir üçün rəqəm yəhər nöqtəsi (1,-2) ilə rəqəmin fərqli miqyasını göstərir. Şəkildə (1,2) və (-1,-2) nöqtələrində sabit mərkəz görünür. Sıfır nöqtəsinə gəlincə, faza diaqramlarında rəqəmdən rəqəmə qədər qeyri-sabit qovşağı, yəhəri, yəhəri və sabit düyünü aydın şəkildə ayırd edə bilərik.
Logistik məhdudiyyətlə genişləndirilmiş proto-əməkdaşlıq modeli.
Əvvəlki modeldə olduğu kimi, biz sıfır nöqtəsinin dörd halı üçün faza portretlərini nümayiş etdirəcəyik, həmçinin bu diaqramlarda sıfırdan fərqli həlləri qeyd etməyə çalışacağıq. Bunu etmək üçün aşağıdakı ardıcıllıqla () göstərilən parametrlərlə aşağıdakı parametrlər dəstini götürün: A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2). ,1) və D (1,2,1,2). Bütün dəstlər üçün qalan parametrlər aşağıdakı kimi olacaq: , 
.
Aşağıda təqdim olunan rəqəmlərdə bu dinamik sistem üçün əvvəlki bölmədə təsvir edilən sıfır nöqtəsinin dörd tarazlıq vəziyyətini müşahidə etmək olar. Həm də rəqəmlərdə sıfırdan fərqli bir koordinatı olan bir nöqtənin sabit mövqeyi.
Şəkil 2.7. A-B parametrləri ilə sistem (2.5) üçün faza portreti
3 Sistemlərin inteqral trayektoriyaları
Verhulst məhdudiyyəti ilə proto-əməliyyat modeli
Əvvəlki fəsildə olduğu kimi, biz diferensial tənliklərin hər birini ayrıca həll edirik və dəyişənlərin zaman parametrindən asılılığını açıq şəkildə ifadə edirik.
(2.8)
(2.9)
Alınan tənliklərdən görmək olar ki, dəyişənlərin hər birinin qiyməti artır ki, bu da aşağıdakı üçölçülü modeldə nümayiş etdirilir.
Şəkil 2.8. (2.8) tənliyi üçün üçölçülü model
Bu tip süjet ilkin olaraq 1-ci Fəsildə müzakirə edilən doymamış 3D Maltus modelinə bənzəyir, ona görə ki, o, oxşar sürətli artıma malikdir, lakin sonradan siz hasilat həddinə çatdıqca artım sürətinin azaldığını görə bilərsiniz. Beləliklə, inteqral əyrilərin son görünüşü terminlərdən birini məhdudlaşdırmaq üçün istifadə edilən logistik tənliyin süjetinə bənzəyir.
İki məhdudiyyəti olan proto-əməliyyat modeli.
Tənliklərin hər birini Wolfram Alpha alətlərindən istifadə edərək həll edirik. Beləliklə, x(t) funksiyasının asılılığı aşağıdakı formaya endirilir:
(2.10)
İkinci funksiya üçün vəziyyət oxşardır, ona görə də onun həllini buraxırıq. Rəqəmsal dəyərlər, inteqral əyrilərin keyfiyyət davranışına təsir etməyən parametrlərin müəyyən uyğun qiymətlərlə əvəz edilməsi səbəbindən meydana çıxdı. Aşağıdakı qrafiklər eksponensial artımın zamanla loqarifmik halına gəldiyi üçün artım üzrə məhdudiyyətlərin istifadəsini göstərir.
Şəkil 2.9. (2.10) tənliyi üçün üçölçülü model
Genişləndirilmiş proto-əməliyyat modeli
Demək olar ki, mutualizmi olan modellərə bənzəyir. Yeganə fərq, aşağıdakı tənliklərdən (əgər eksponentin dərəcəsinə baxsanız) və qrafiklərdən görünən həmin modellərə nisbətən daha sürətli artımdadır. İnteqral əyri eksponent formasını almalıdır.
(2.11)
(2.12)
Logistik məhdudiyyətlə genişləndirilmiş proto-əməkdaşlıq modeli
x(t) asılılığı belə görünür:
Qrafik olmadan funksiyanın davranışını qiymətləndirmək çətindir, ona görə də artıq bizə məlum olan alətlərdən istifadə edərək onu quracağıq.
Şəkil 2.10 Tənlik üçün 3D Model
Başqa bir dəyişənin kiçik olmayan dəyərləri üçün funksiyanın dəyəri azalır, bu mənfi iki xətt üzrə məhdudiyyətlərin olmaması ilə əlaqədardır və açıq bir nəticədir.
4 Qarşılıqlı fəaliyyət göstərən şirkətlərin sistem dinamikası
Verhulst məhdudiyyəti ilə proto-əməliyyat modeli.
(2.2) sistemini quraq. Artıq bizə məlum olan alətlərdən istifadə edərək simulyasiya modeli qururuq. Bu dəfə mutualistik modellərdən fərqli olaraq modeldə logistik məhdudiyyət olacaq.
Şəkil 2.11. Sistem üçün sistem dinamikası modeli (2.2)
Modeli işə salaq. Bu modeldə qeyd etmək lazımdır ki, əlaqədən gələn artım heç nə ilə məhdudlaşmır və digərinin təsiri olmadan məhsulun artımı xüsusi məhdudiyyətə malikdir. Logistik funksiyanın özünün ifadəsinə baxsanız, görə bilərsiniz ki, dəyişən (malların sayı) mümkün olan maksimum saxlama həcmini aşdıqda, termin mənfi olur. Yalnız bir logistik funksiya olduqda, bu mümkün deyil, lakin əlavə həmişə müsbət artım faktoru ilə bu mümkündür. İndi başa düşmək lazımdır ki, logistika funksiyası məhsulların sayında çox sürətli artım olmayan vəziyyətin öhdəsindən gələcək, məsələn, xətti. Aşağıdakı şəkillərə nəzər salaq.
Şəkil 2.12. Sistem üçün sistem dinamikası modelinin işinə nümunə (2.2)
Soldakı rəqəm təklif olunan modelə uyğun proqramın 5-ci addımını göstərir. Ancaq bu anda düzgün rəqəmə diqqət yetirməyə dəyər.
Birincisi, Y_stock üçün daxil olan axınlardan biri üçün , ifadəsi ilə ifadə edilən x ilə əlaqə silindi. Bu, X_stock üçün təqdim olunan xətti həmişə müsbət axın və iki xətt artımı ilə modelin performansındakı fərqi göstərmək üçün edilir. Xətti qeyri-məhdud axınlarla, K parametrini aşdıqdan sonra sistem müəyyən bir nöqtədə tarazlığa gəlir (bu modeldə tarazlıq vəziyyəti 200 min mal vahididir). Ancaq daha əvvəl, iki xəttli artım sonsuzluğa keçərək malların miqdarının kəskin artmasına səbəb olur. Həm sağ, həm də sol davamlı müsbət axınları ikixətli tərk etsək, onda artıq təxminən 20-30 addımda akkumulyatorun dəyəri iki sonsuzluq fərqinə çatır.
Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq, əminliklə söyləmək olar ki, bu cür modellərin sonrakı istifadəsi vəziyyətində hər hansı müsbət artımı məhdudlaşdırmaq lazımdır.
İki məhdudiyyəti olan proto-əməliyyat modeli.
Əvvəlki modelin çatışmazlıqlarını aşkar etdikdən və doyma faktoru ilə ikinci müddətə məhdudiyyət tətbiq etdikdən sonra yeni bir model quracaq və işləyəcəyik.
Şəkil 2.13. Sistem dinamikası modeli və onun sistem üçün işləmə nümunəsi (2.3)
Bu model, sonda çoxdan gözlənilən nəticələri gətirir. Akkumulyator dəyərlərinin artımını məhdudlaşdırdığı ortaya çıxdı. Düzgün şəkildən göründüyü kimi, hər iki müəssisə üçün anbar həcminin bir qədər artıqlığı ilə tarazlıq əldə edilir.
Genişləndirilmiş proto-əməliyyat modeli.
Bu modelin sistem dinamikasını nəzərdən keçirərkən, modellərin rəngarəng vizuallaşdırılması üçün AnyLogic proqram mühitinin imkanları nümayiş etdiriləcəkdir. Bütün əvvəlki modellər yalnız sistem dinamikasının elementlərindən istifadə edilməklə qurulmuşdur. Buna görə də, modellərin özləri gözəgörünməz görünürdülər, zamanla istehsal həcmindəki dəyişikliklərin dinamikasını izləməyə və proqram işləyərkən parametrləri dəyişdirməyə imkan vermədilər. Bu və sonrakı modellərlə işləyərkən yuxarıda qeyd olunan üç mənfi cəhəti dəyişdirmək üçün daha geniş proqram imkanlarından istifadə etməyə çalışacağıq.
Birincisi, proqramda "sistem dinamikası" bölməsinə əlavə olaraq, modeli şaxələndirməyə imkan verən "şəkillər", "3D obyektlər" bölmələri də var ki, bu da onun sonrakı təqdimatı üçün faydalıdır. "daha xoş".
İkincisi, modelin dəyərlərindəki dəyişikliklərin dinamikasını izləmək üçün modellə əlaqələndirərək qrafiklər və müxtəlif məlumat toplama vasitələri əlavə etməyə imkan verən "statistika" bölməsi mövcuddur.
Üçüncüsü, modelin icrası zamanı parametrləri və digər obyektləri dəyişdirmək üçün "idarəetmə" bölməsi var. Bu bölmədəki obyektlər model işləyərkən parametrləri dəyişdirməyə imkan verir (məsələn, "slayder"), obyektin müxtəlif vəziyyətlərini seçməyə (məsələn, "keçid") və iş zamanı ilkin göstərilən məlumatları dəyişdirən digər hərəkətləri yerinə yetirməyə imkan verir. .
Model müəssisələrin istehsalındakı dəyişikliklərin dinamikası ilə tanışlığı öyrətmək üçün uyğundur, lakin artıma məhdudiyyətlərin olmaması onu praktikada istifadə etməyə imkan vermir.
Logistik məhdudiyyətlə genişləndirilmiş proto-əməkdaşlıq modeli.
Artıq hazırlanmış əvvəlki modeldən istifadə edərək, böyüməni məhdudlaşdırmaq üçün logistik tənlikdən parametrləri əlavə edirik.
Modelin qurulmasını buraxırıq, çünki işdə təqdim olunan əvvəlki beş model artıq onlarla işləmək üçün bütün lazımi alətləri və prinsipləri nümayiş etdirmişdir. Yalnız qeyd etmək lazımdır ki, onun davranışı Verhulst məhdudiyyəti ilə proto-kooperasiya modelinə bənzəyir. Bunlar. doymaması onun praktik tətbiqinə mane olur.
Modelləri proto-kooperasiya baxımından təhlil etdikdən sonra bir neçə əsas məqamı müəyyənləşdiririk:
Praktikada bu fəsildə nəzərdən keçirilən modellər mutualistik modellərdən daha uyğundur, çünki onlar hətta iki şərtlə də sıfırdan fərqli sabit tarazlıq mövqelərinə malikdirlər. Xatırladım ki, mutualizm modellərində biz buna yalnız üçüncü termini əlavə etməklə nail ola bildik.
Uyğun modellərdə şərtlərin hər birində məhdudiyyətlər olmalıdır, çünki əks halda, bilinear amillərin kəskin artması bütün simulyasiya modelini "məhv edir".
2-ci bənddən irəli gələrək, genişləndirilmiş modelə doyma əmsalının Verhulst məhdudiyyəti ilə proto-əməliyyat əlavə edərkən, habelə daha az kritik istehsal miqdarını əlavə edərkən, model real vəziyyətə mümkün qədər yaxın olmalıdır. Ancaq unutma ki, sistemin bu cür manipulyasiyaları onun təhlilini çətinləşdirəcək.
Nəticə
Tədqiqat nəticəsində bir-birinə qarşılıqlı təsir göstərən müəssisələr üzrə istehsalın dinamikasını təsvir edən altı sistemin təhlili aparılmışdır. Nəticədə, tarazlıq nöqtələri və onların dayanıqlığının növləri aşağıdakı üsullardan biri ilə müəyyən edilmişdir: analitik və ya müəyyən səbəblərdən analitik həllin mümkün olmadığı hallarda qurulmuş faza portretləri sayəsində. Sistemlərin hər biri üçün faza diaqramları qurulmuş, həmçinin üçölçülü modellər qurulmuşdur ki, onların üzərində proyeksiya edərkən (x, t), (y, t) müstəvilərdə inteqral əyrilər əldə etmək mümkündür. Bundan sonra AnyLogic modelləşdirmə mühitindən istifadə edərək bütün modellər qurulmuş və onların davranış variantları müəyyən parametrlər altında nəzərdən keçirilmişdir.
Sistemləri təhlil etdikdən və onların simulyasiya modellərini qurduqdan sonra məlum olur ki, bu modellər yalnız təlim kimi və ya makroskopik sistemlərin təsviri üçün nəzərdə tutula bilər, lakin dəqiqliyi aşağı olduğundan və bəzi yerlərdə ayrı-ayrı şirkətlər üçün qərara dəstək sistemi kimi deyil. gedən proseslərin kifayət qədər etibarlı təmsili deyil. Amma onu da unutmayın ki, modeli təsvir edən dinamik sistem nə qədər doğru olsa da, hər bir şirkətin/təşkilatın/sənayenin öz prosesləri və məhdudiyyətləri var, ona görə də ümumi modeli yaratmaq və təsvir etmək mümkün deyil. Hər bir konkret halda o, dəyişdiriləcək: daha mürəkkəbləşəcək və ya əksinə, sonrakı iş üçün sadələşdiriləcək.
Hər bir fəsil üçün nəticələrdən bir nəticə çıxararaq, aşkar edilmiş fakta diqqət yetirməyə dəyər ki, tənliyin şərtlərinin hər birinə məhdudiyyətlərin tətbiqi sistemi çətinləşdirsə də, həm də sistemin sabit mövqelərini aşkar etməyə imkan verir, həm də reallıqda baş verənlərə yaxınlaşdırır. Və qeyd etmək lazımdır ki, proto-kooperasiya modelləri, nəzərdən keçirdiyimiz iki qarşılıqlı modeldən fərqli olaraq, sıfırdan fərqli sabit mövqelərə malik olduqları üçün öyrənilmək üçün daha uyğundur.
Beləliklə, bu tədqiqatın məqsədinə nail olundu və tapşırıqlar tamamlandı. Gələcəkdə, bu işin davamı olaraq, proto-əməliyyat növünün üç məhdudiyyətlə qarşılıqlı əlaqəsinin genişləndirilmiş modeli nəzərdən keçiriləcəkdir: logistika, doyma əmsalı, daha dəqiq məlumat yaratmağa imkan verən aşağı kritik nömrə. qərara dəstək sistemi üçün model, eləcə də üç şirkətdən ibarət bir model. İşin davamı olaraq, işdə qeyd olunan simbiozdan başqa iki qarşılıqlı əlaqə növünü nəzərdən keçirə bilərik.
Ədəbiyyat
1. Bhatia Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Dinamik sistemlərin sabitlik nəzəriyyəsi. Springer.
2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Diferensial tənliklər. London: Tompson. səh. 96-111.
Boeing, G. (2016). Qeyri-xətti Dinamik Sistemlərin Vizual Təhlili: Xaos, Fraktallar, Öz-özünə Oxşarlıq və Proqnozlaşdırmanın Həddini. sistemləri. 4(4):37.
4. Kempbell, David K. (2004). Qeyri-xətti fizika: Təzə nəfəs. Təbiət. 432 (7016): 455-456.
Elton C.S. (1968) təkrar çap. heyvan ekologiyası. Böyük Britaniya: William Clowes and Sons Ltd.
7. Forrester Jay W. (1961). Sənaye dinamikası. MIT Mətbuat.
8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Economic Dynamics (Üçüncü nəşr). Berlin: Springer. səh. 407-428.
9. Gershenfeld Neil A. (1999). Riyazi modelləşdirmənin təbiəti. Cambridge, Böyük Britaniya: Cambridge University Press.
10 Qudmen M. (1989). Sistem Dinamikasında Tədqiqat Qeydləri. Pegasus.
Grebogi C, Ott E və Yorke J. (1987). Qeyri-xətti dinamikada xaos, qəribə cəlbedicilər və fraktal hövzə sərhədləri. Elm 238 (4827), səh 632-638.
12 Hairer Ernst; Norsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Adi diferensial tənliklərin həlli I: Qeyri-sabit problemlər, Berlin, Nyu-York
Hanski I. (1999) Metapopulyasiya Ekologiyası. Oxford University Press, Oksford, səh. 43-46.
Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Hesablama: Tək və Çoxdəyişənli (6 nəşr). John Wiley.
15. Llibre J., Valls C. (2007). Həqiqi planar Lotka-Volterra sistemi üçün qlobal analitik ilk inteqrallar, J. Math. fizika.
16. İordaniya D.W.; Smith P. (2007). Qeyri-xətti adi diferensial tənliklər: Alimlər və mühəndislər üçün giriş (4-cü nəşr). Oksford Universiteti Nəşriyyatı.
Xəlil Həsən K. (2001). qeyri-xətti sistemlər. Prentice Hall.
Lamar Universiteti, Onlayn Riyaziyyat Qeydləri - Faza Planı, P. Dawkins.
Lamar Universiteti, Onlayn Riyaziyyat Qeydləri - Diferensial Tənlik Sistemləri, P. Dawkins.
Lang Serge (1972). Diferensial manifoldlar. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.
Law Averill M. (2006). Expertfit Proqramı ilə Simulyasiya Modelləşdirmə və Analiz. McGraw-Hill Elmi.
Lazard D. (2009). Otuz illik çoxhədli sistem həlli, bəs indi? Simvolik Hesablama Jurnalı. 44(3):222-231.
24 Lewis Mark D. (2000). İnsan İnkişafının İnteqrasiya Hesabı üçün Dinamik Sistemlərin Vədi. uşaq inkişafı. 71(1): 36-43.
25. Maltus T.R. (1798). Oksford Dünya Klassiklərinin təkrar nəşrində Əhali Prinsipinə dair Esse, səh 61, VII Fəslin sonu
26. Morecroft John (2007). Strateji Modelləşdirmə və Biznes Dinamikası: Əlaqə Sistemləri Yanaşma. John Wiley & Sons.
27. Nolte D.D. (2015), Müasir Dinamikaya Giriş: Xaos, Şəbəkələr, Məkan və Zaman, Oxford University Press.
