Riyaziyyatdan imtahana hazırlaşan hər bir şagirdin “Xətlər arasındakı bucağı tapmaq” mövzusunu təkrarlaması faydalı olar. Statistikanın göstərdiyi kimi, attestasiya imtahanından keçərkən stereometriyanın bu bölməsindəki tapşırıqlar çoxlu sayda tələbə üçün çətinlik yaradır. Eyni zamanda, düz xətlər arasında bucağı tapmağı tələb edən tapşırıqlar USE-də həm əsas, həm də profil səviyyələrində tapılır. Bu o deməkdir ki, hər kəs onları həll etməyi bacarmalıdır.

Əsas anlar

Kosmosda xətlərin qarşılıqlı düzülməsinin 4 növü var. Onlar üst-üstə düşə, kəsişə, paralel və ya kəsişə bilər. Aralarındakı bucaq kəskin və ya düz ola bilər.

Vahid Dövlət İmtahanında və ya məsələn, həlldə xətlər arasındakı bucağı tapmaq üçün Moskva və digər şəhərlərdəki məktəblilər stereometriyanın bu bölməsində problemlərin həlli üçün bir neçə üsuldan istifadə edə bilərlər. Tapşırığı klassik konstruksiyalarla tamamlaya bilərsiniz. Bunun üçün stereometriyanın əsas aksiomlarını və teoremlərini öyrənməyə dəyər. Şagird tapşırığı planimetrik məsələyə çatdırmaq üçün məntiqi əsaslandırma qurmağı və çertyojlar yaratmağı bacarmalıdır.

Sadə düsturlar, qaydalar və alqoritmlərdən istifadə edərək vektor-koordinat metodundan da istifadə edə bilərsiniz. Bu vəziyyətdə əsas şey bütün hesablamaları düzgün yerinə yetirməkdir. Şkolkovo təhsil layihəsi stereometriya və məktəb kursunun digər bölmələrində problemlərin həllində bacarıqlarınızı inkişaf etdirməyə kömək edəcəkdir.

Məxfiliyiniz bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən, məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik siyasətimizi oxuyun və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s. toplaya bilərik.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında sizə məlumat verməyə imkan verir.
• Zaman zaman şəxsi məlumatlarınızdan sizə vacib bildirişlər və mesajlar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlər, məlumatların təhlili və müxtəlif araşdırmalar aparmaq kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajı, müsabiqə və ya oxşar təşviqdə iştirak etsəniz, bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə açıqlama

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna, məhkəmə qaydasına, məhkəmə prosesinə uyğun olaraq və / və ya Rusiya Federasiyasının ərazisindəki ictimai sorğular və ya dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai maraq səbəbləri üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq üçüncü tərəfin varisinə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilmədən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Məxfiliyinizi şirkət səviyyəsində qorumaq

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik təcrübələrini əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Oh-oh-oh-oh-oh ... yaxşı, bu, tinny, sanki cümləni özünüz oxuyursunuz =) Ancaq sonra istirahət kömək edəcək, xüsusən də bu gün uyğun aksesuarlar aldığım üçün. Ona görə də birinci hissəyə keçək, ümid edirəm məqalənin sonuna kimi şən əhval-ruhiyyə saxlayacağam.

İki düz xəttin qarşılıqlı düzülüşü

Zalın xorla oxuduğu hal. İki xətt ola bilər:

1) uyğunluq;

2) paralel olsun: ;

3) və ya bir nöqtədə kəsişir: .

Dumilər üçün kömək : zəhmət olmasa kəsişmənin riyazi işarəsini xatırlayın, bu çox tez-tez baş verəcəkdir. Giriş xəttin nöqtədəki xətt ilə kəsişdiyini bildirir.

İki xəttin nisbi mövqeyini necə təyin etmək olar?

Birinci halda başlayaq:

İki xətt yalnız və yalnız müvafiq əmsalları mütənasib olduqda üst-üstə düşür, yəni belə bir ədəd "lambda" var ki, bərabərliklər

Düz xətləri nəzərdən keçirək və uyğun əmsallardan üç tənlik quraq: . Hər bir tənlikdən belə çıxır ki, bu xətlər üst-üstə düşür.

Həqiqətən, əgər tənliyin bütün əmsalları -1-ə (işarələri dəyişdirin) və tənliyin bütün əmsallarını vurun 2 azaldın, eyni tənliyi alırsınız: .

Xətlər paralel olduqda ikinci hal:

İki xətt yalnız və yalnız dəyişənlərdəki əmsalları mütənasib olduqda paraleldir: , Amma.

Nümunə olaraq iki düz xətti nəzərdən keçirək. Dəyişənlər üçün müvafiq əmsalların mütənasibliyini yoxlayırıq:

Bununla belə, aydındır ki.

Üçüncü hal, xətlər kəsişdikdə:

İki xətt o halda kəsişir ki, onların dəyişənlərin əmsalları proporsional DEYİL, yəni "lambda"nın elə bir dəyəri YOXDUR ki, bərabərliklər yerinə yetirilsin

Beləliklə, düz xətlər üçün bir sistem quracağıq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, , ikinci tənlikdən: , deməli, sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, dəyişənlərdəki əmsallar mütənasib deyil.

Nəticə: xətlər kəsişir

Praktik məsələlərdə indicə nəzərdən keçirilən həll sxemindən istifadə etmək olar. Yeri gəlmişkən, bu, dərsdə nəzərdən keçirdiyimiz vektorların kollinearlığını yoxlamaq alqoritminə çox bənzəyir. Vektorların xətti (qeyri) asılılığı anlayışı. Vektor əsası. Ancaq daha sivil bir paket var:

Misal 1

Xətlərin nisbi mövqeyini tapın:

Qərar düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının öyrənilməsinə əsaslanaraq:

a) Tənliklərdən xətlərin istiqamət vektorlarını tapırıq: .

, deməli vektorlar kollinear deyil və xətlər kəsişir.

Hər halda, yol ayrıcında göstəriciləri olan bir daş qoyacağam:

Qalanları daşın üstündən tullanır və birbaşa Ölümsüz Kaşcheyə doğru gedirlər =)

b) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Xətlər eyni istiqamət vektoruna malikdir, yəni ya paralel, ya da eynidir. Burada determinant lazım deyil.

Aydındır ki, naməlumlardakı əmsallar mütənasibdir, halbuki .

Bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək:

Beləliklə,

c) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Bu vektorların koordinatlarından ibarət olan determinantı hesablayaq:
, buna görə də istiqamət vektorları kollineardır. Xətlər ya paralel, ya da üst-üstə düşür.

"Lambda" mütənasiblik faktorunu birbaşa kollinear istiqamət vektorlarının nisbətindən görmək asandır. Bununla belə, bunu tənliklərin öz əmsalları vasitəsilə də tapmaq olar: .

İndi bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək. Hər iki pulsuz şərt sıfırdır, buna görə də:

Nəticədə alınan dəyər bu tənliyi təmin edir (istənilən ədəd ümumiyyətlə onu təmin edir).

Beləliklə, xətlər üst-üstə düşür.

Cavab verin:

Çox tezliklə siz nəzərdən keçirilən problemi bir neçə saniyə ərzində şifahi şəkildə həll etməyi öyrənəcəksiniz (və ya artıq öyrənmisiniz). Bu baxımdan, müstəqil bir həll üçün bir şey təklif etmək üçün heç bir səbəb görmürəm, həndəsi təməldə daha bir vacib kərpic qoymaq daha yaxşıdır:

Verilmiş birinə paralel xətti necə çəkmək olar?

Bu ən sadə tapşırığı bilməməsinə görə Quldur Bülbül ağır cəzalandırır.

Misal 2

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən paralel xəttin tənliyini yazın.

Qərar: Naməlum xətti hərflə işarələyin. Şərt bu barədə nə deyir? Xətt nöqtədən keçir. Və əgər xətlər paraleldirsə, o zaman "ce" xəttinin istiqamət vektorunun "te" xəttini qurmaq üçün də uyğun olduğu aydındır.

Tənlikdən istiqamət vektorunu çıxarırıq:

Cavab verin:

Nümunənin həndəsəsi sadə görünür:

Analitik yoxlama aşağıdakı addımlardan ibarətdir:

1) Xətlərin eyni istiqamət vektoruna malik olduğunu yoxlayırıq (xəttin tənliyi düzgün sadələşdirilməyibsə, vektorlar kollinear olacaq).

2) Nöqtənin nəticə tənliyinə cavab verib-vermədiyini yoxlayın.

Əksər hallarda analitik yoxlamanı şifahi şəkildə həyata keçirmək asandır. İki tənliyə baxın və bir çoxunuz heç bir rəsm çəkmədən xətlərin necə paralel olduğunu tez anlayacaqsınız.

Bu gün özünü həll etmək üçün nümunələr yaradıcı olacaq. Çünki hələ də Baba Yaga ilə rəqabət aparmalısan və o, bilirsən ki, hər cür tapmacaları sevir.

Misal 3

Əgər xəttinə paralel nöqtədən keçən xətt üçün tənlik yazın

Həll etməyin rasional və çox da rasional olmayan yolu var. Ən qısa yol dərsin sonundadır.

Paralel xətlərlə bir az iş gördük və sonra onlara qayıdacayıq. Üst-üstə düşən xətlər məsələsi az maraq doğurur, ona görə də məktəb kurikulumdan sizə yaxşı məlum olan problemi nəzərdən keçirək:

İki xəttin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar?

Düzdürsə nöqtəsində kəsişir, onda onun koordinatları həlldir xətti tənliklər sistemləri

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar? Sistemi həll edin.

Budur sizə iki naməlumlu iki xətti tənlik sisteminin həndəsi mənası müstəvidə kəsişən iki (ən çox) düz xəttdir.

Misal 4

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın

Qərar: Həll etməyin iki yolu var - qrafik və analitik.

Qrafik üsul sadəcə verilmiş xətləri çəkmək və kəsişmə nöqtəsini birbaşa rəsmdən tapmaqdır:

Məqsədimiz budur: . Yoxlamaq üçün onun koordinatlarını düz xəttin hər bir tənliyinə əvəz etməlisiniz, onlar həm oraya, həm də oraya uyğun olmalıdır. Başqa sözlə, bir nöqtənin koordinatları sistemin həllidir. Əslində, həll etmək üçün qrafik bir yol nəzərdən keçirdik xətti tənliklər sistemləri iki tənlik, iki naməlum.

Qrafik üsul, əlbəttə ki, pis deyil, lakin nəzərə çarpan çatışmazlıqlar var. Xeyr, məsələ yeddinci sinif şagirdlərinin belə qərar verməsində deyil, məsələ ondadır ki, düzgün və DƏqiq rəsm çəkmək üçün vaxt lazımdır. Bundan əlavə, bəzi xətləri qurmaq o qədər də asan deyil və kəsişmə nöqtəsinin özü dəftər vərəqindən kənarda otuzuncu krallığın bir yerində ola bilər.

Buna görə də kəsişmə nöqtəsinin analitik üsulla axtarılması daha məqsədəuyğundur. Sistemi həll edək:

Sistemi həll etmək üçün tənliklərin müddətli əlavə üsulundan istifadə edilmişdir. Müvafiq bacarıqları inkişaf etdirmək üçün dərsə baş çəkin Tənliklər sistemini necə həll etmək olar?

Cavab verin:

Doğrulama əhəmiyyətsizdir - kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin hər bir tənliyini təmin etməlidir.

Misal 5

Əgər xətlər kəsişirsə, onların kəsişmə nöqtəsini tapın.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Problemi bir neçə mərhələyə bölmək rahatdır. Vəziyyətin təhlili bunun zəruri olduğunu göstərir:
1) Düz xəttin tənliyini yazın.
2) Düz xəttin tənliyini yazın.
3) Xətlərin nisbi mövqeyini tapın.
4) Əgər xətlər kəsişirsə, onda kəsişmə nöqtəsini tapın.

Hərəkətlər alqoritminin işlənməsi bir çox həndəsi məsələlər üçün xarakterikdir və mən dəfələrlə buna diqqət yetirəcəyəm.

Dərsliyin sonunda tam həll və cavab:

Bir cüt ayaqqabı hələ köhnəlməyib, çünki dərsin ikinci hissəsinə gəldik:

Perpendikulyar xətlər. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.
Xətlər arasındakı bucaq

Tipik və çox vacib bir vəzifə ilə başlayaq. Birinci hissədə, verilənə paralel düz bir xətt qurmağı öyrəndik və indi toyuq ayaqları üzərindəki daxma 90 dərəcə dönəcək:

Verilmiş birinə perpendikulyar bir xətti necə çəkmək olar?

Misal 6

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən perpendikulyar xəttin tənliyini yazın.

Qərar: Fərziyyə ilə məlumdur ki . Düz xəttin istiqamət vektorunu tapmaq yaxşı olardı. Xətlər perpendikulyar olduğundan hiylə sadədir:

Tənlikdən normal vektoru “çıxarırıq”: düz xəttin istiqamət vektoru olacaq.

Bir nöqtə və yönləndirici vektor ilə düz xəttin tənliyini tərtib edirik:

Cavab verin:

Həndəsi eskizi açaq:

Hmmm... Narıncı göy, narıncı dəniz, narıncı dəvə.

Həllin analitik yoxlanışı:

1) Tənliklərdən istiqamət vektorlarını çıxarırıq və istifadə edirik vektorların nöqtə hasili xətlərin doğrudan da perpendikulyar olduğu qənaətinə gəlirik: .

Yeri gəlmişkən, normal vektorlardan istifadə edə bilərsiniz, daha da asandır.

2) Nöqtənin nəticə tənliyinə cavab verib-vermədiyini yoxlayın .

Doğrulama, yenə də şifahi şəkildə həyata keçirmək asandır.

Misal 7

Tənlik məlumdursa, perpendikulyar xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və nöqtə.

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tapşırıqda bir neçə hərəkət var, buna görə də həll nöqtəsini nöqtə ilə təşkil etmək rahatdır.

Maraqlı səyahətimiz davam edir:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Qarşımızda çayın düz bir zolağı var və vəzifəmiz ona ən qısa yolla çatmaqdır. Heç bir maneə yoxdur və ən optimal marşrut perpendikulyar boyunca hərəkət olacaq. Yəni bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyar seqmentin uzunluğudur.

Həndəsədə məsafə ənənəvi olaraq yunan hərfi ilə "ro" ilə işarələnir, məsələn: - "em" nöqtəsindən "de" düz xəttinə qədər olan məsafə.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə düsturu ilə ifadə edilir

Misal 8

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın

Qərar: sizə lazım olan tək şey rəqəmləri düsturda diqqətlə əvəz etmək və hesablamaları aparmaqdır:

Cavab verin:

Rəsmi icra edək:

Nöqtədən xəttə qədər tapılan məsafə tam olaraq qırmızı seqmentin uzunluğuna bərabərdir. Damalı kağızda 1 ədəd miqyasda rəsm çəksəniz. \u003d 1 sm (2 hüceyrə), sonra məsafə adi bir hökmdarla ölçülə bilər.

Eyni rəsmə görə başqa bir tapşırığı nəzərdən keçirin:

Tapşırıq nöqtənin koordinatlarını tapmaqdır , xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan . Hərəkətləri özünüz yerinə yetirməyi təklif edirəm, lakin həll alqoritmini ara nəticələrlə təsvir edəcəyəm:

1) Xəttə perpendikulyar olan xətti tapın.

2) Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın: .

Hər iki hərəkət bu dərsdə ətraflı müzakirə olunur.

3) Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Biz orta və uclardan birinin koordinatlarını bilirik. By seqmentin ortasının koordinatları üçün düsturlar tapmaq.

Məsafənin də 2,2 vahidə bərabər olduğunu yoxlamaq artıq olmaz.

Burada hesablamalarda çətinliklər yarana bilər, lakin qüllədə mikrokalkulyator adi fraksiyaları saymağa imkan verən çox kömək edir. Dəfələrlə məsləhət görmüşəm və yenidən tövsiyə edəcəyəm.

İki paralel xətt arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?

Misal 9

İki paralel xətt arasındakı məsafəni tapın

Bu müstəqil həll üçün başqa bir nümunədir. Bir az ipucu: həll etməyin sonsuz bir çox yolu var. Dərsin sonunda brifinq, amma daha yaxşısı özünüz üçün təxmin etməyə çalışın, məncə ixtiraçılığınızı yaxşı dağıtmağı bacardınız.

İki xətt arasındakı bucaq

Künc nə olursa olsun, sonra tıxac:


Həndəsədə iki düz xətt arasındakı bucaq DAHA KİÇİ bucaq kimi götürülür və ondan avtomatik nəticə çıxarır ki, o, ensiz ola bilməz. Şəkildə qırmızı qövslə göstərilən bucaq kəsişən xətlər arasındakı bucaq hesab edilmir. Və onun "yaşıl" qonşusu və ya əks yönümlü qırmızı künc.

Əgər xətlər perpendikulyardırsa, onda 4 bucaqdan hər hansı birini aralarındakı bucaq kimi qəbul etmək olar.

Bucaqlar necə fərqlidir? Orientasiya. Birincisi, küncün "sürüşdürülməsi" istiqaməti əsaslı şəkildə vacibdir. İkincisi, mənfi yönümlü bucaq mənfi işarə ilə yazılır, məsələn, əgər .

Bunu niyə dedim? Deyəsən, adi bucaq anlayışı ilə başa düşə bilərsiniz. Fakt budur ki, bucaqları tapacağımız düsturlarda mənfi nəticə asanlıqla əldə edilə bilər və bu sizi təəccübləndirməməlidir. Mənfi işarəsi olan bir bucaq daha pis deyil və çox xüsusi bir həndəsi məna daşıyır. Mənfi bucaq üçün rəsmdə onun istiqamətini (saat istiqamətində) ox ilə göstərmək vacibdir.

İki xətt arasındakı bucağı necə tapmaq olar?İki iş düsturu var:

Misal 10

Xətlər arasındakı bucağı tapın

Qərar və Birinci üsul

Ümumi formada tənliklərlə verilmiş iki düz xətti nəzərdən keçirin:

Düzdürsə perpendikulyar deyil, sonra yönümlü aralarındakı bucaq düsturla hesablana bilər:

Məxrəcə çox diqqət yetirək - bu dəqiqdir skalyar məhsul düz xətlərin istiqamət vektorları:

Əgər , onda düsturun məxrəci itəcək və vektorlar ortoqonal, xətlər isə perpendikulyar olacaq. Məhz buna görə də tərtibatda xətlərin qeyri-perpendikulyar olması ilə bağlı qeyd-şərt qoyulmuşdur.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, həll iki mərhələdə rahat şəkildə rəsmiləşdirilir:

1) Düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının skalyar hasilini hesablayın:
ona görə də xətlər perpendikulyar deyil.

2) Xətlər arasındakı bucağı düsturla tapırıq:

Tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır. Bu vəziyyətdə, qövs tangensinin qəribəliyindən istifadə edirik (bax. Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri):

Cavab verin:

Cavabda biz dəqiq dəyəri, eləcə də kalkulyatordan istifadə edərək hesablanmış təxmini dəyəri (tercihen həm dərəcə, həm də radyanla) göstəririk.

Yaxşı, minus, minus, eybi yoxdur. Budur həndəsi təsvir:

Təəccüblü deyil ki, bucaq mənfi istiqamətə malikdir, çünki problemin vəziyyətində birinci nömrə düz xəttdir və bucağın “burulması” məhz ondan başlamışdır.

Əgər həqiqətən müsbət bucaq əldə etmək istəyirsinizsə, düz xətləri dəyişdirməlisiniz, yəni ikinci tənlikdən əmsalları götürməlisiniz. , və birinci tənlikdən əmsalları götürün. Bir sözlə, birbaşa ilə başlamaq lazımdır .

Təqdimatların önizləməsindən istifadə etmək üçün Google hesabı (hesab) yaradın və daxil olun: https://accounts.google.com

Slayd başlıqları:

Xətlər arasındakı bucaq

Dərsin məqsəd və vəzifələri: Aralarındakı bucaq anlayışını formalaşdırmaq: Kesişən; paralel; kəsişən xətlər. Aralarındakı bucağı tapmağı öyrənin: kəsişən; paralel; kəsişən xətlər.

Yada salaq: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 prizmasının əsası trapesiyadır. Aşağıdakı cüt xətlərdən hansı kəsişən xətlərdir?

Xətlərin fəzada yerləşməsi və aralarındakı bucaq 1. Kəsilən xətlər. 2. Paralel xətlər. 3. Kəsişən xətlər.

İstənilən iki kəsişən xətt eyni müstəvidə yerləşir və dörd genişlənməmiş bucaq əmələ gətirir.

Əgər kəsişən xətlər dörd bərabər bucaq əmələ gətirirsə, onda bu xətlər arasındakı bucaq 90°-dir. a b

İki paralel xətt arasındakı bucaq 0°-dir.

Fəzada kəsişən iki xətt arasındakı bucaq bu xətlərin şüalarının kəsişmə nöqtəsindəki təpəsi ilə əmələ gətirdiyi bucaqların ən kiçikidir.

Kəsilən a və b xətləri arasındakı bucaq tikilmiş kəsişən xətlər arasındakı bucaqdır və.

Kesişən xətlər, eləcə də eyni müstəvidəki xətlər arasındakı bucaq 90 ° -dən çox ola bilməz. 90° bucaq əmələ gətirən iki kəsişən xətt perpendikulyar adlanır. a b a 1 c c 1 d

Əyri xətlər arasındakı bucaq AB və CD iki əyri xətt olsun. Fəzanın ixtiyari M 1 nöqtəsini götürək və oradan müvafiq olaraq AB və CD xətlərinə paralel A 1 B 1 və C 1 D 1 xətləri çəkək. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 φ Əgər A 1 B 1 və C 1 D 1 xətləri arasındakı bucaq φ-ə bərabərdirsə, onda deyəcəyik ki, kəsişən AB və CD xətləri arasındakı bucaq φ-ə bərabərdir.

AB və CD əyri xətləri arasındakı bucağı tapın M 1 nöqtəsi kimi əyri xətlərdən birinin üzərində istənilən nöqtəni götürə bilərsiniz. A B C D M 1 A 1 B 1 φ

Gözlər üçün bədən tərbiyəsi

Ətraf mühitdə perpendikulyar kəsişən xətləri göstərin.

Bir kub şəkli verilmişdir. Kəsişən a və b xətləri arasındakı bucağı tapın. 90° 45° Cavab Cavab

Bir kub şəkli verilmişdir. Kəsişən a və b xətləri arasındakı bucağı tapın. 90° 60° Cavab Cavab

Bir kub şəkli verilmişdir. 90° 90° kəsişən a və b xətləri arasındakı bucağı tapın Cavab

Ev tapşırığı: §4 (səh. 85-89), №268, №269.

Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi

Məsələ №1 Bütün kənarları 1-ə bərabər olan müntəzəm SABCD piramidasında E nöqtəsi SC kənarının orta nöqtəsidir. AD və BE xətləri arasındakı bucağı tapın.

Sinif işi: Tapşırıqlar: No 263 No 265 No 267

Önizləmə:

TƏSDİQ EDİN

Riyaziyyat müəllimi

L. R. Volnyak

"__" ________ 2016

Mövzu : "Xətlər arasındakı bucaq"

Dərsliklər:

İnkişaf edir:

Təhsil:

Dərs növü: Yeni materialın öyrənilməsi.

Metodlar: şifahi (hekayə), vizual (təqdimat), dialoq.

1. Təşkilat vaxtı.

• salamlar.

1. Bilik yeniləməsi.

1. İki xəttin fəzada nisbi mövqeyi nədir?
2. İki xətt fəzada kəsişdikdə neçə bucaq əmələ gəlir?
3. Kəsişən xətlər arasındakı bucağı necə təyin etmək olar?

Slad3

1. Prizma bazası ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - trapesiya. Aşağıdakı cüt xətlərdən hansı kəsişən xətlərdir?

Cavab: AB və CC 1, A 1 D 1 və CC 1.

1. Yeni materialın öyrənilməsi.

slayd 4

Xətlərin fəzada yeri və onlar arasındakı bucaq.

1. kəsişən xətlər.
2. Paralel xətlər.
3. Düz xətləri kəsmək.

slayd 5

İstənilən iki kəsişən xətt eyni müstəvidə yerləşir və dörd genişlənməmiş bucaq əmələ gətirir.

slayd 6

Əgər kəsişən xətlər dörd bərabər bucaq əmələ gətirirsə, onda bu xətlər arasındakı bucaq 90°-dir.

Slayd 7

İki paralel xətt arasındakı bucaq 0°-dir.

Slayd 8

Fəzada kəsişən iki xətt arasındakı bucaq bu xətlərin şüalarının kəsişmə nöqtəsindəki təpəsi ilə əmələ gətirdiyi bucaqların ən kiçikidir.

Slayd 9 a və b və .

Slayd 10

Kesişən xətlər, eləcə də eyni müstəvidəki xətlər arasındakı bucaq 90 ° -dən çox ola bilməz. 90° bucaq əmələ gətirən iki kəsişən xətt perpendikulyar adlanır.

slayd 11

Keçid xətləri arasındakı bucaq.

AB və CD kəsişən iki xətt olsun.

İxtiyari M nöqtəsini götürün 1 boşluq və düz xətlər çəkin A 1-də 1 və C 1 D 1 , müvafiq olaraq AB və CD xətlərinə paraleldir.

Əgər xətlər arasındakı bucaq A 1-də 1 və C 1 D 1 φ-ə bərabərdir, onda deyəcəyik ki, kəsişən AB və CD xətləri arasındakı bucaq φ-ə bərabərdir.

slayd 12

AB və CD əyri xətləri arasındakı bucağı tapın.

M nöqtəsi kimi 1 kəsişən xətlərdən birində istənilən nöqtəni götürmək olar.

slayd 13

Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi

Slayd 14

1. Mühitdə perpendikulyar kəsişən xətləri göstərin.

slayd 15

2. Kubun təsviri verilir. Kəsişən a və b xətləri arasındakı bucağı tapın.

a) 90°; b) 45°;

slayd 16

c) 60°; d) 90°;

Slayd 17

e) 90°; f) 90°.

1. Yeni materialın düzəldilməsi

Slayd 19

Bədən tərbiyəsi dəqiqəsi

Slayd 20

№1.

Sağ piramidada SABCD , bütün kənarları 1-ə bərabər olan nöqtə E - qabırğanın ortası SC .Xətlər arasındakı bucağı tapın AD və B.E.

Qərar:

İstədiyiniz bucaq = künc CBE .SBC üçbucağı bərabərtərəflidir.

BE - bucaq bissektrisa = 60. CBE bucağı 30-dur.

Cavab: 30°.

№263.

Cavab:

Əyri xətlər arasındakı bucaq a və b qurulmuş kəsişən xətlər arasındakı bucaq adlanır a 1 və b 1 və a 1 || a, b 1 || b.

№265.

a və b düz xətləri arasındakı bucaq 90°-dir. a və b xətlərinin kəsişdiyi doğrudurmu?

Cavab:

Yanlış, çünki xətlər kəsişə və ya kəsişə bilər.

№267.

DABC tetraedrdir, O və F nöqtələri müvafiq olaraq AD və CD-nin orta nöqtələridir, TK seqmenti ABC üçbucağının orta xəttidir.

1. OF və CB xətləri arasındakı bucaq nə qədərdir?
2. OF və TK xətləri arasındakı bucağın 60° olması doğrudurmu?
3. TF və DB xətləri arasındakı bucaq nə qədərdir?

Qərar:

Verildi: DABC,

O eramızın ortasıdır,

F CD-nin ortasıdır,

TC ∆ABC orta xəttidir.

Qərar:

1. Refleksiya

• Yeni nə öyrəndik?
• Dərsin əvvəlində qoyulan tapşırıqların öhdəsindən gəldikmi?
• Hansı problemləri həll etməyi öyrəndik?

1. Ev tapşırığı.

§4 (səh. 85-89), №268, №269.

Önizləmə:

TƏSDİQ EDİN

Riyaziyyat müəllimi

L. R. Volnyak

"__" ________ 2016

Mövzu : "Xətlər arasındakı bucaq"

Dərsliklər: praktiki tapşırıqların köməyi ilə şagirdlərin kəsişən, paralel və əyri xətlər arasındakı bucağın tərifini başa düşmələrini təmin etmək;

İnkişaf edir: həndəsi məsələlərin həllində şagirdlərin fəza təxəyyülünü, həndəsi təfəkkürünü, fənnə marağı, şagirdlərin idrak və yaradıcılıq fəaliyyətini, riyazi nitqini, yaddaşını, diqqətini inkişaf etdirmək; yeni biliklərin inkişafında müstəqilliyi inkişaf etdirmək.

Təhsil: tələbələri təlim-tərbiyə işinə məsuliyyətli münasibətdə, möhkəm iradəli keyfiyyətlərdə tərbiyə etmək; emosional mədəniyyət və ünsiyyət mədəniyyətini formalaşdırmaq.

dərs növü: bilik və bacarıqların ümumiləşdirilməsi və sistemləşdirilməsi.

Metodlar: şifahi (hekayə), dialoq.

1. Təşkilat vaxtı.

• salamlar.
• Dərsin məqsəd və vəzifələrinin çatdırılması.
• Yeni materialı öyrənmək üçün motivasiya.
• Şagirdlərin gələcək fəaliyyətləri üçün psixoloji və pedaqoji şəraiti.
• Dərsdə iştirak edənləri yoxlamaq;

1. Ev tapşırığını yoxlamaq

№268

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - düzbucaqlı paralelepiped, O və T nöqtəsi - SS-nin kənarlarının orta nöqtələri 1 və DD 1 müvafiq olaraq. a) AD və TO xətləri arasındakı bucağın 90° olması doğrudurmu? b) A xətləri arasındakı bucaq nə qədərdir 1 B 1 və BC?

Qərar:

a) Doğrudur, TO ||-dan bəri DC =>(AD, TO) = ADC = 90° (ABCD düzbucaqlıdır).

b)BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 , BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.

Cavab: 90°, 90°.

№269

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - kub. a) Düzdürmü xətlər arasındakı bucaq A 1 B və C 1 D 90°-dir? b) B xətləri arasındakı bucağı tapın 1 O və C 1 D. c) Doğrudurmu AC və C xətləri arasındakı bucaq 1D 45°-ə bərabərdir?

Qərar:

a) Düzdür, çünki B 1 A || C 1 D => (A 1 B, C 1 D)= (B 1 A, A 1 B) = 90°, kvadratın diaqonalları arasındakı bucaq kimi.

b) 1. B 1 A || C 1 D=> (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.

2. Δ AB 1 C AB 1 \u003d B 1-də C = AC bərabər kvadratların diaqonalları kimi B 1 O - median və bissektrisa AB 1 C=60° => AB 1 O=30°.

c) yox, çünki C 1 D || BA => (AC, C 1 D) \u003d B 1 AC=60° bərabərtərəfli bucaq Δ AB kimi 1 C.

Cavab: b) 30°.

1. Bilik yeniləməsi.

Metod: frontal sorğu (şifahi):

1. Həndəsə hansı sahələri öyrənir?
2. Paralel xətlər arasındakı bucaq nə qədərdir?
3. Planimetriya hansı fiqurları öyrənir və hansı fiqurlar bərk həndəsədir?
4. Bucaq bucağı nədir?
5. 90° bucaq əmələ gətirən kəsişən iki xətt necə adlanır?

1. Öyrənilənlərin konsolidasiyası.

Diktasiya (10 dəq):

Seçim 1:

Kubun kənarı a .

Tapın: (AB 1 ,SS 1 )

Qərar:

SS1‖BB1

(AB1,CC1) = AB1B

AB1B=45˚

Cavab: (AB1, SS1) = 45˚

1. Qoy a və b kəsişən xətlər, b xətti isə kəsişən xətlər olsun 1 || b. Doğrudurmu a və b xətləri arasındakı bucaq a və b xətləri arasındakı bucağa bərabərdir 1 ? Əgər belədirsə, niyə?

Seçim 2:

1. Əyri xətlər arasındakı bucaq nə qədərdir?

Kubun kənarı a .

Bu yazıda biz əvvəlcə əyri xətlər arasındakı bucağı təyin edəcəyik və qrafik təsvir verəcəyik. Sonra suala cavab veririk: "Düzbucaqlı koordinat sistemində bu xətlərin istiqamət vektorlarının koordinatları məlumdursa, əyri xətlər arasındakı bucağı necə tapmaq olar"? Yekun olaraq misal və məsələləri həll edərkən əyri xətlər arasındakı bucağı tapmağa məşq edəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Əyri xətlər arasındakı bucaq - tərif.

Biz tədricən kəsişən xətlər arasındakı bucağın tərifinə yaxınlaşacağıq.

Əvvəlcə əyri xətlərin tərifini xatırlayaq: üçölçülü fəzada iki xətt deyilir. çarpazlaşma eyni müstəvidə yatmasalar. Bu tərifdən belə çıxır ki, əyri xətlər kəsişmir, paralel deyil və üstəlik üst-üstə düşmür, əks halda onların hər ikisi hansısa müstəvidə uzanar.

Bəzi əlavə köməkçi arqumentlər təqdim edirik.

Üç ölçülü fəzada kəsişən iki a və b xətti verilsin. a 1 və b 1 xətlərini elə quraq ki, onlar müvafiq olaraq a və b əyri xətlərinə paralel olsunlar və M 1 fəzasının hansısa nöqtəsindən keçsinlər. Beləliklə, iki kəsişən a 1 və b 1 xətti alacağıq. a 1 və b 1 kəsişən xətlər arasındakı bucaq bucağa bərabər olsun. İndi isə M 1 nöqtəsindən fərqli olan M 2 nöqtəsindən keçən a və b əyri xətlərinə paralel olaraq müvafiq olaraq a 2 və b 2 xətlərini quraq. a 2 və b 2 kəsişən xətlər arasındakı bucaq da bucağa bərabər olacaqdır. Bu ifadə doğrudur, çünki a 1 və b 1 xətləri müvafiq olaraq a 2 və b 2 xətləri ilə üst-üstə düşəcək, əgər M 1 nöqtəsinin M 2 nöqtəsinə getdiyi paralel köçürmə həyata keçirsəniz. Beləliklə, M nöqtəsində kəsişən, müvafiq olaraq verilmiş əyri xətlərə paralel olan iki xətt arasındakı bucağın ölçüsü M nöqtəsinin seçilməsindən asılı deyildir.

İndi əyri xətlər arasındakı bucağı təyin etməyə hazırıq.

Tərif.

Əyri xətlər arasındakı bucaq verilmiş əyri xətlərə müvafiq olaraq paralel olan iki kəsişən xətt arasındakı bucaqdır.

Tərifdən belə çıxır ki, əyri xətlər arasındakı bucaq da M nöqtəsinin seçimindən asılı olmayacaqdır. Buna görə də, M nöqtəsi olaraq əyri xətlərdən birinə aid olan istənilən nöqtəni götürə bilərsiniz.

Biz əyri xətlər arasındakı bucağın tərifinin təsvirini veririk.

Əyri xətlər arasındakı bucağın tapılması.

Kəsişən xətlər arasındakı bucaq kəsişən xətlər arasındakı bucaq vasitəsilə təyin olunduğundan, kəsişən xətlər arasındakı bucağı tapmaq üçölçülü fəzada müvafiq kəsişən xətlər arasındakı bucağı tapmağa qədər azalır.

Şübhəsiz ki, orta məktəbdə həndəsə dərslərində öyrənilən üsullar əyri xətlər arasındakı bucağı tapmaq üçün əlverişlidir. Yəni, lazımi konstruksiyaları tamamlayaraq, rəqəmlərin bərabərliyinə və ya oxşarlığına əsaslanaraq, şərtdən məlum olan istənilən bucaqla istədiyiniz bucağı birləşdirmək mümkündür, bəzi hallarda bu kömək edəcəkdir kosinus teoremi, bəzən isə nəticəyə gətirib çıxarır bucağın sinus, kosinus və tangens tərifi düz üçbucaq.

Bununla belə, əyri xətlər arasındakı bucağın tapılması məsələsini koordinat üsulu ilə həll etmək çox rahatdır. Baxacağımız budur.

Oxyz üçölçülü fəzada təqdim olunsun (lakin bir çox məsələlərdə müstəqil olaraq təqdim edilməlidir).

Gəlin özümüzə vəzifə qoyaq: düzbucaqlı koordinat sistemində Oxyz-də fəzada xəttin bəzi tənliklərinə uyğun gələn kəsişən a və b xətləri arasındakı bucağı tapmaq.

Gəlin həll edək.

M üçölçülü fəzanın ixtiyari nöqtəsini götürək və ondan müvafiq olaraq kəsişən a və b xətlərinə paralel a 1 və b 1 xətlərinin keçdiyini fərz edək. Onda kəsişən a və b xətləri arasında tələb olunan bucaq tərifinə görə kəsişən a 1 və b 1 xətləri arasındakı bucağa bərabərdir.

Beləliklə, a 1 və b 1 kəsişən xətlər arasındakı bucağı tapmaq bizə qalır. Kosmosda kəsişən iki xətt arasındakı bucağı tapmaq üçün formula tətbiq etmək üçün a 1 və b 1 xətlərinin istiqamət vektorlarının koordinatlarını bilməliyik.

Onları necə əldə edə bilərik? Və çox sadədir. Düz xəttin istiqamət vektorunun tərifi bizə paralel düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının çoxluqlarının üst-üstə düşdüyünü bildirməyə imkan verir. Buna görə də, a 1 və b 1 xətlərinin istiqamət vektorları kimi, istiqamət vektorlarını götürə bilərik və müvafiq olaraq a və b düz xətləri.

Belə ki, iki kəsişən a və b xətti arasındakı bucaq düsturla hesablanır
, harada və müvafiq olaraq a və b xətlərinin istiqamət vektorlarıdır.

Əyri xətlər arasındakı bucağın kosinusunu tapmaq üçün düstur a və b formasına malikdir .

Kosinusu məlumdursa, əyri xətlər arasındakı bucağın sinusunu tapmağa imkan verir: .

Nümunələrin həllərini təhlil etmək qalır.

Misal.

Oxyz düzbucaqlı koordinat sistemində tənliklərlə təyin olunan a və b əyri xətləri arasındakı bucağı tapın. və .

Qərar.

Kosmosda düz xəttin kanonik tənlikləri bu düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun koordinatlarını dərhal müəyyən etməyə imkan verir - onlar fraksiyaların məxrəclərində rəqəmlərlə verilir, yəni . Kosmosda düz xəttin parametrik tənlikləri də istiqamət vektorunun koordinatlarını dərhal yazmağa imkan verir - onlar parametrin qarşısındakı əmsallara bərabərdir, yəni - düz istiqamət vektoru . Beləliklə, əyri xətlər arasındakı bucağın hesablandığı düsturun tətbiqi üçün bütün lazımi məlumatlarımız var:

Cavab:

Verilmiş əyri xətlər arasındakı bucaq .

Misal.

ABCD piramidasının AD və BC kənarlarının yerləşdiyi əyri xətlər arasındakı bucağın sinusunu və kosinusunu tapın, əgər onun təpələrinin koordinatları məlumdur:.

Qərar.

AD və BC kəsişmə xətlərinin istiqamət vektorları və vektorlarıdır. Onların koordinatlarını vektorun son və başlanğıc nöqtələrinin müvafiq koordinatları arasındakı fərq kimi hesablayaq:

Formula görə verilmiş əyri xətlər arasındakı bucağın kosinusunu hesablaya bilərik:

İndi əyri xətlər arasındakı bucağın sinusunu hesablayırıq: