Butaforlar üçün mürəkkəb funksiyanın törəməsi. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturun tətbiqi nümunələri. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Yadda saxlamaq çox asandır.

Yaxşı, uzağa getməyəcəyik, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirəcəyik. Eksponensial funksiyanın tərsi nədir? Loqarifm:

Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:

Belə loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) "təbii" deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.

Nəyə bərabərdir? Əlbəttə, .

Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:

Nümunələr:

1. Funksiyanın törəməsini tapın.
2. Funksiyanın törəməsi nədir?

Cavablar: Göstərici və natural loqarifm törəmə baxımından bənzərsiz sadə olan funksiyalardır. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.

Fərqləndirmə qaydaları

Hansı qaydalar? Yenə yeni termin, yenə?!...

Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.

Yalnız və hər şey. Bu proses üçün başqa söz nədir? Proizvodnovanie deyil... Riyaziyyatın diferensialına at funksiyasının çox artımı deyilir. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Budur.

Bütün bu qaydaları çıxararkən biz iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:

Ümumilikdə 5 qayda var.

Sabit törəmənin işarəsindən çıxarılır.

Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.

Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .

Gəlin bunu sübut edək. Qoy, ya da daha asan.

Nümunələr.

Funksiyaların törəmələrini tapın:

1. nöqtədə;
2. nöqtədə;
3. nöqtədə;
4. nöqtədə.

Həll yolları:

1. (törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki o, xətti funksiyadır, yadınızdadır?);

Məhsulun törəməsi

Burada hər şey oxşardır: biz yeni funksiya təqdim edirik və onun artımını tapırıq:

törəmə:

Nümunələr:

1. və funksiyalarının törəmələrini tapın;
2. Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.

Həll yolları:

Eksponensial funksiyanın törəməsi

İndi sizin bilikləriniz kifayətdir ki, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini tapmağı öyrənəsiniz, nəinki eksponenti (siz hələ onun nə olduğunu unutmusunuz?).

Beləliklə, bir nömrə haradadır.

Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya gətirməyə çalışaq:

Bunun üçün sadə qaydadan istifadə edirik: . Sonra:

Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.

baş verdi?

Budur, özünüzü yoxlayın:

Düstur eksponentin törəməsinə çox bənzəyir: olduğu kimi, qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.

Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:

Cavablar:

Bu, sadəcə olaraq, kalkulyator olmadan hesablana bilməyən bir rəqəmdir, yəni daha sadə formada yazıla bilməz. Buna görə də cavabda bu formada qalır.

Qeyd edək ki, burada iki funksiyanın əmsalıdır, ona görə də müvafiq fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik:

Bu nümunədə iki funksiyanın məhsulu:

Loqarifmik funksiyanın törəməsi

Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:

Buna görə də, fərqli əsaslı loqarifmadan ixtiyari tapmaq üçün, məsələn:

Bu loqarifmanı bazaya gətirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:

Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:

Məxrəc sadəcə sabit (dəyişənsiz sabit ədəd) oldu. Törəmə çox sadədir:

Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri imtahanda demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.

"Mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu loqarifm deyil, qövs tangensi də deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, əgər loqarifm sizə çətin görünürsə, "Loqarifmlər" mövzusunu oxuyun və hər şey düzələcək), lakin riyaziyyat baxımından "mürəkkəb" sözü "çətin" mənasını vermir.

Kiçik bir konveyer təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu sarğıya bürür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Belə bir kompozit obyekt çıxır: bir lentlə bükülmüş və bağlanmış bir şokolad çubuğu. Şokolad çubuğu yemək üçün tərs ardıcıllıqla əks addımları yerinə yetirmək lazımdır.

Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə nəticədə alınan ədədi kvadratlaşdıracağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verirlər, mən onun kosinusunu (qapağı) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə olub? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyaya misaldır: onun dəyərini tapmaq üçün biz dəyişənlə birbaşa birinci hərəkəti, sonra isə birincinin nəticəsində baş verənlərlə ikinci hərəkəti yerinə yetirdikdə.

Başqa sözlə, Mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .

Bizim misal üçün, .

Eyni hərəkətləri tərs qaydada edə bilərik: əvvəlcə kvadrat, sonra isə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram:. Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Mürəkkəb funksiyaların mühüm xüsusiyyəti: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.

İkinci misal: (eyni). .

Etdiyimiz son hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və birinci yerinə yetirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).

Hansı funksiyanın xarici, hansının daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:

Cavablar: Daxili və xarici funksiyaların ayrılması dəyişənlərin dəyişməsinə çox oxşardır: məsələn, funksiyada

1. Əvvəlcə hansı tədbiri görəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayırıq və yalnız sonra onu bir kuba qaldırırıq. Deməli, bu, xarici deyil, daxili funksiyadır.
   Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: .
2. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .
3. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .
4. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .
5. Daxili: ; xarici: .
   İmtahan: .

dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.

Yaxşı, indi şokoladımızı çıxaracağıq - törəməni axtarın. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə üçün bu belə görünür:

Başqa bir misal:

Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

Bu sadə görünür, elə deyilmi?

Nümunələrlə yoxlayaq:

Həll yolları:

1) Daxili: ;

Xarici: ;

2) Daxili: ;

(sadəcə indi azaltmağa çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxarılmır, xatırlayırsınız?)

3) Daxili: ;

Xarici: ;

Dərhal aydın olur ki, burada üç səviyyəli kompleks funksiya var: axı bu, artıq özlüyündə mürəkkəb funksiyadır və biz hələ də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokolad qablaşdırmaya qoyun) və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: hər halda, biz bu funksiyanı həmişəki kimi eyni qaydada "açacağıq": sondan.

Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.

Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:

Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, müvafiq funksiya bir o qədər "xarici" olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı - əvvəlki kimi:

Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət istiqamətini müəyyən edək.

1. Radikal ifadə. .

2. Kök. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hamısını bir yerə toplamaq:

TÖRƏVVƏ. ƏSAS HAQQINDA QISA

Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı ilə arqumentin artımına nisbəti:

Əsas törəmələr:

Fərqləndirmə qaydaları:

Sabit törəmənin işarəsindən çıxarılır:

Cəmin törəməsi:

Törəmə məhsul:

Hissənin törəməsi:

Kompleks funksiyanın törəməsi:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:

1. "Daxili" funksiyanı təyin edirik, onun törəməsini tapırıq.
2. “Xarici” funksiyanı təyin edirik, onun törəməsini tapırıq.
3. Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.

Siz bura gəldiyiniz üçün yəqin ki, dərslikdə bu düsturla tanış olmusunuz

və belə bir üz düzəldin:

Dostum, narahat olma! Əslində, hər şeyi rüsvay etmək sadədir. Siz mütləq hər şeyi başa düşəcəksiniz. Yalnız bir xahiş - məqaləni oxuyun yavaş-yavaş hər addımını anlamağa çalışın. Mümkün qədər sadə və aydın şəkildə yazdım, amma yenə də fikri dərinləşdirmək lazımdır. Və məqalədəki vəzifələri həll etməyinizə əmin olun.

Mürəkkəb funksiya nədir?

Təsəvvür edin ki, başqa mənzilə köçürsünüz və buna görə də əşyalarınızı böyük qutulara yığırsınız. Bəzi kiçik əşyaları, məsələn, məktəb dəftərxana ləvazimatlarını toplamaq lazım olsun. Onları nəhəng bir qutuya atsanız, başqa şeylər arasında itəcəklər. Bunun qarşısını almaq üçün əvvəlcə onları, məsələn, bir çantaya qoyursunuz, sonra böyük bir qutuya qoyursunuz, sonra möhürləyirsiniz. Bu "ən çətin" proses aşağıdakı diaqramda göstərilmişdir:

Deyəsən, riyaziyyat haradadır? Üstəlik, kompleks funksiya TAM EYNİ şəkildə əmələ gəlir! Fərqli "paketlər" və "qutular" xidmət edərkən, yalnız biz dəftər və qələmləri deyil, \ (x \) "paketləyirik".

Məsələn, x götürək və onu bir funksiyaya "paketlə" edək:

Nəticədə, əlbəttə ki, \(\cos⁡x\) alırıq. Bu bizim "əşya çantamız"dır. İndi biz onu "qutuya" qoyuruq - məsələn, kub funksiyasına yığırıq.

Axırda nə olacaq? Bəli, düzdür, “qutuda əşyalar olan paket”, yəni “x kubunun kosinusu” olacaq.

Yaranan tikinti mürəkkəb bir funksiyadır. Sadədən bununla fərqlənir Bir X-ə bir neçə “təsir” (paketlər) tətbiq olunur və belə çıxır ki, "funksiyadan bir funksiya" - "paketdəki paket".

Məktəb kursunda eyni "paketlərin" çox az növü var, yalnız dördü:

Gəlin indi x-i əvvəlcə 7 bazası olan eksponensial funksiyaya, sonra isə triqonometrik funksiyaya “paketləyək”. Biz əldə edirik:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

İndi gəlin x-i iki dəfə triqonometrik funksiyalara “paketləyək”, əvvəlcə daxil, sonra isə:

\(x → sin⁡x → ctg⁡ (sin⁡x)\)

Sadə, elə deyilmi?

İndi funksiyaları özünüz yazın, burada x:
- əvvəlcə kosinusa, sonra isə \(3\) bazası olan eksponensial funksiyaya “qablaşdırılır”;
- əvvəlcə beşinci gücə, sonra isə tangensə;
- birinci əsas loqarifmə \(4\) , sonra gücə \(-2\).

Bu sualın cavablarına məqalənin sonunda baxın.

Bəs biz x iki yox, üç dəfə “paket” edə bilərikmi? Problem deyil! Və dörd, beş və iyirmi beş dəfə. Burada, məsələn, x-in \(4\) dəfə "qablaşdırıldığı" funksiyadır:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Amma məktəb praktikasında belə formullara rast gəlinməyəcək (şagirdlər daha şanslıdır - onlar daha çətin ola bilər☺).

Mürəkkəb bir funksiyanı "açmaq"

Əvvəlki funksiyaya yenidən baxın. "Qablaşdırma" ardıcıllığını anlaya bilərsinizmi? Əvvəlcə nə X dolduruldu, sonra nə və s. sona qədər. Yəni hansı funksiya hansının içində yerləşib? Bir kağız parçası götürün və düşündüyünüzü yazın. Bunu yuxarıda yazdığımız kimi oxlar zənciri ilə və ya başqa bir şəkildə edə bilərsiniz.

İndi düzgün cavab belədir: əvvəlcə x \(4\)-cü qüvvəyə “yığıldı”, sonra nəticə sinusa yığıldı, o da öz növbəsində loqarifm bazasına \(2\) və sonunda bütün tikinti güc beşlərinə itələdi.

Yəni, TƏRKİ SERTİFİLƏ ardıcıllığı açmaq lazımdır. Və burada bunu daha asan etmək üçün bir ipucu var: sadəcə X-ə baxın - ondan rəqs etməlisiniz. Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq.

Məsələn, burada bir funksiya var: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). X-ə baxırıq - əvvəlcə ona nə olur? Ondan alınıb. Daha sonra? Nəticənin tangensi alınır. Və ardıcıllıq eyni olacaq:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Başqa bir misal: \(y=\cos⁡((x^3))\). Təhlil edirik - əvvəlcə x kublaşdırıldı, sonra isə nəticədən kosinus götürüldü. Beləliklə, ardıcıllıq belə olacaq: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Diqqət yetirin, funksiya ilkin funksiyaya bənzəyir (şəkillərlə birlikdə). Ancaq bu, tamamilə fərqli bir funksiyadır: burada x kubunda (yəni \(\cos⁡((x x x)))\), orada isə kubda kosinus \(x\) (yəni \(\) cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Bu fərq müxtəlif "qablaşdırma" ardıcıllığından yaranır.

Sonuncu misal (içində vacib məlumatla): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Aydındır ki, burada əvvəlcə x ilə hesab əməliyyatları apardıq, sonra nəticədən sinus götürüldü: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Bu da vacib bir məqamdır: arifmetik əməliyyatların özlüyündə funksiya olmamasına baxmayaraq, burada onlar həm də “qablaşdırma” üsulu kimi çıxış edirlər. Gəlin bu incəliyi bir az daha dərindən araşdıraq.

Yuxarıda dediyim kimi, sadə funksiyalarda x bir dəfə, mürəkkəb funksiyalarda isə iki və ya daha çox “doldurulur”. Üstəlik, sadə funksiyaların hər hansı birləşməsi (yəni onların cəmi, fərqi, vurma və ya bölmə) həm də sadə funksiyadır. Məsələn, \(x^7\) sadə funksiyadır və \(ctg x\). Beləliklə, onların bütün birləşmələri sadə funksiyalardır:

\(x^7+ ctg x\) - sadə,
\(x^7 ctg x\) sadədir,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) sadədir və s.

Bununla belə, belə birləşməyə daha bir funksiya tətbiq edilərsə, o, artıq mürəkkəb funksiya olacaq, çünki iki “paket” olacaq. Diaqrama baxın:

Yaxşı, indi bununla davam edək. "Qablaşdırma" funksiyalarının ardıcıllığını yazın:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Cavablar yenə məqalənin sonundadır.

Daxili və xarici funksiyalar

Funksiya yuvasını niyə başa düşməliyik? Bu bizə nə verir? Məsələ burasındadır ki, belə təhlil olmadan biz yuxarıda müzakirə olunan funksiyaların törəmələrini etibarlı şəkildə tapa bilməyəcəyik.

Və davam etmək üçün bizə daha iki anlayış lazım olacaq: daxili və xarici funksiyalar. Bu, çox sadə bir şeydir, üstəlik, əslində, biz onları yuxarıda təhlil etdik: bənzətməmizi əvvəldən xatırlasaq, daxili funksiya "paket", xarici funksiya isə "qutu"dur. Bunlar. X-in əvvəlcə “büküldüyü” daxili funksiyadır, daxilinin isə “büküldüyü” artıq xaricidir. Yaxşı, niyə başa düşüləndir - kənardadır, xarici deməkdir.

Bu nümunədə: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) funksiyası daxilidir və
- xarici.

Və burada: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) daxilidir və
- xarici.

Mürəkkəb funksiyaların təhlilinin son təcrübəsini yerinə yetirin və nəhayət, hər şeyin başladığı nöqtəyə keçək - mürəkkəb funksiyaların törəmələrini tapacağıq:

Cədvəldəki boşluqları doldurun:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi

Bravo, biz hələ də bu mövzunun "bos"una - əslində mürəkkəb funksiyanın törəməsinə və konkret olaraq məqalənin əvvəlindən o çox dəhşətli düstura çatdıq.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Bu formula belə oxunur:

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın daimi daxili funksiyaya görə törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilinə bərabərdir.

Və nə ilə əlaqəli olduğunu başa düşmək üçün dərhal "sözlərlə" təhlil sxeminə baxın:

Ümid edirəm ki, "törəmə" və "məhsul" terminləri çətinlik yaratmaz. "Kompleks funksiya" - biz artıq sökdük. Tutma "sabit daxili ilə bağlı xarici funksiyanın törəməsi"ndədir. Bu nədir?

Cavab: bu, xarici funksiyanın adi törəməsidir, burada yalnız xarici funksiya dəyişir, daxili isə dəyişməz qalır. Hələ də aydın deyil? Yaxşı, bir nümunə götürək.

Tutaq ki, \(y=\sin⁡(x^3)\) funksiyamız var. Aydındır ki, burada daxili funksiya \(x^3\), xarici funksiyadır
. İndi xaricinin daimi daxili ilə bağlı törəməsini tapaq.

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturdan istifadə etməklə törəmələrin hesablanması nümunələri verilmişdir.

Həmçinin bax: Mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düsturun sübutu

Əsas düsturlar

Burada aşağıdakı funksiyaların törəmələrinin hesablanmasına dair nümunələr veririk:
; ; ; ; .

Əgər funksiya kompleks funksiya kimi aşağıdakı formada təqdim oluna bilərsə:
,
onda onun törəməsi düsturla müəyyən edilir:
.
Aşağıdakı nümunələrdə bu düsturu aşağıdakı formada yazacağıq:
.
harada.
Burada törəmə işarəsi altında yerləşən və ya alt işarələri diferensiallaşmanın aparıldığı dəyişəni bildirir.

Adətən törəmələr cədvəllərində funksiyaların x dəyişənindən törəmələri verilir. Bununla belə, x formal parametrdir. x dəyişəni istənilən başqa dəyişənlə əvəz edilə bilər. Buna görə də, funksiyanı dəyişəndən fərqləndirərkən, biz sadəcə olaraq törəmələr cədvəlində x dəyişənini u dəyişəninə dəyişirik.

Sadə nümunələr

Misal 1

Mürəkkəb funksiyanın törəməsini tapın
.

Verilmiş funksiyanı ekvivalent formada yazırıq:
.
Törəmələr cədvəlində biz tapırıq:
;
.

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi üçün düstura görə, biz var:
.
Budur.

Misal 2

Törəmə tapın
.

Törəmə işarəsindən kənar 5 sabitini çıxarırıq və törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.

.
Budur.

Misal 3

Törəməni tapın
.

Sabitliyi çıxarırıq -1 törəmənin işarəsi üçün və törəmələr cədvəlindən tapırıq:
;
Törəmələr cədvəlindən tapırıq:
.

Mürəkkəb bir funksiyanın törəməsi üçün formula tətbiq edirik:
.
Budur.

Daha mürəkkəb nümunələr

Daha mürəkkəb misallarda biz mürəkkəb funksiyaların diferensiasiya qaydasını bir neçə dəfə tətbiq edirik. Bunu etməklə, törəməni sondan hesablayırıq. Yəni funksiyanı komponent hissələrinə bölürük və istifadə edərək ən sadə hissələrin törəmələrini tapırıq törəmə cədvəli. Biz də müraciət edirik məbləğin fərqləndirmə qaydaları, məhsullar və fraksiyalar. Sonra əvəzetmələr edirik və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün düstur tətbiq edirik.

Misal 4

Törəməni tapın
.

Düsturun ən sadə hissəsini seçib onun törəməsini tapırıq. .

.
Burada qeyddən istifadə etdik
.

Alınan nəticələri tətbiq edərək, orijinal funksiyanın növbəti hissəsinin törəməsini tapırıq. Cəminin diferensiallaşdırılması qaydasını tətbiq edirik:
.

Bir daha kompleks funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik.

.
Budur.

Misal 5

Funksiyanın törəməsini tapın
.

Düsturun ən sadə hissəsini seçirik və törəmələr cədvəlindən onun törəməsini tapırıq. .

Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasını tətbiq edirik.
.
Budur
.

Alınan nəticələri tətbiq edərək növbəti hissəni fərqləndiririk.
.
Budur
.

Gəlin növbəti hissəni fərqləndirək.

.
Budur
.

İndi biz istədiyiniz funksiyanın törəməsini tapırıq.

.
Budur
.

Törəmə və onun hesablanması üsulları haqqında məlumat olmadan riyaziyyatda fiziki məsələləri və ya nümunələri həll etmək qətiyyən mümkün deyil. Törəmə riyazi analizin ən vacib anlayışlarından biridir. Bugünkü məqaləmizi bu fundamental mövzuya həsr etmək qərarına gəldik. Törəmə nədir, onun fiziki və həndəsi mənası nədir, funksiyanın törəməsi necə hesablanır? Bütün bu suallar bir yerdə birləşdirilə bilər: törəməni necə başa düşmək olar?

Törəmənin həndəsi və fiziki mənası

Qoy bir funksiya olsun f(x) , müəyyən intervalla verilir (a,b) . x və x0 nöqtələri bu intervala aiddir. X dəyişdikdə, funksiyanın özü də dəyişir. Arqument dəyişikliyi - onun dəyərlərinin fərqi x-x0 . Bu fərq kimi yazılır delta x və arqument artımı adlanır. Bir funksiyanın dəyişməsi və ya artması, funksiyanın iki nöqtədə qiymətləri arasındakı fərqdir. Törəmə tərifi:

Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.

Əks halda belə yazıla bilər:

Belə bir hədd tapmağın nə mənası var? Amma hansı:

bir nöqtədə funksiyanın törəməsi OX oxu arasındakı bucağın tangensi ilə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə olan tangensə bərabərdir.

Törəmənin fiziki mənası: yolun zaman törəməsi düzxətli hərəkətin sürətinə bərabərdir.

Həqiqətən, məktəb günlərindən hər kəs sürətin şəxsi yol olduğunu bilir. x=f(t) və vaxt t . Müəyyən bir müddət ərzində orta sürət:

Bir anda hərəkət sürətini tapmaq üçün t0 limiti hesablamaq lazımdır:

Birinci qayda: sabiti çıxarın

Sabit törəmənin işarəsindən çıxarıla bilər. Üstəlik, bunu etmək lazımdır. Riyaziyyatda nümunələri həll edərkən, bir qayda olaraq götürün - ifadəni sadələşdirə bilirsinizsə, sadələşdirməyə əmin olun .

Misal. Törəməni hesablayaq:

İkinci qayda: funksiyaların cəminin törəməsi

İki funksiyanın cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə bərabərdir. Eyni şey funksiyalar fərqinin törəməsi üçün də keçərlidir.

Biz bu teoremin isbatını verməyəcəyik, əksinə praktiki bir nümunəyə baxacağıq.

Funksiyanın törəməsini tapın:

Üçüncü qayda: funksiyaların hasilinin törəməsi

İki diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi düsturla hesablanır:

Nümunə: funksiyanın törəməsini tapın:

Qərar:

Burada mürəkkəb funksiyaların törəmələrinin hesablanması haqqında danışmaq vacibdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın törəməsinin müstəqil dəyişənə münasibətdə aralıq arqumentin törəməsi ilə hasilinə bərabərdir.

Yuxarıdakı nümunədə aşağıdakı ifadə ilə qarşılaşırıq:

Bu halda, ara arqument beşinci gücə 8x-dir. Belə ifadənin törəməsini hesablamaq üçün əvvəlcə aralıq arqumentə münasibətdə xarici funksiyanın törəməsini nəzərdən keçiririk, sonra isə müstəqil dəyişənə münasibətdə ara arqumentin özünün törəməsi ilə vururuq.

Dördüncü qayda: İki funksiyanın bölünməsinin törəməsi

İki funksiyanın bölünməsinin törəməsini təyin etmək üçün düstur:

Biz sıfırdan dummies üçün törəmələr haqqında danışmağa çalışdıq. Bu mövzu göründüyü qədər sadə deyil, ona görə də xəbərdar olun: misallarda tez-tez tələlər olur, ona görə də törəmələri hesablayarkən diqqətli olun.

Bu və digər mövzularla bağlı istənilən sualınız üçün tələbə xidmətinə müraciət edə bilərsiniz. Qısa müddətdə, əvvəllər törəmələrin hesablanması ilə heç vaxt məşğul olmasanız belə, ən çətin nəzarəti həll etməyə və tapşırıqların öhdəsindən gəlməyə kömək edəcəyik.

Tərifə əməl etsək, onda bir nöqtədə funksiyanın törəməsi Δ funksiyasının artım nisbətinin həddidir. yΔ arqumentinin artımına x:

Hər şey aydın görünür. Ancaq bu düsturla, məsələn, funksiyanın törəməsini hesablamağa çalışın f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x günah x. Əgər hər şeyi təriflə etsəniz, bir neçə səhifəlik hesablamalardan sonra sadəcə yuxuya gedəcəksiniz. Buna görə daha sadə və daha təsirli yollar var.

Başlamaq üçün qeyd edək ki, elementar funksiyalar deyilən funksiyaları bütün müxtəlif funksiyalardan ayırmaq olar. Bunlar nisbətən sadə ifadələrdir, törəmələri çoxdan hesablanmış və cədvələ daxil edilmişdir. Bu cür funksiyaları törəmələri ilə birlikdə yadda saxlamaq kifayət qədər asandır.

Elementar funksiyaların törəmələri

Elementar funksiyalar aşağıda sadalanan hər şeydir. Bu funksiyaların törəmələri əzbərdən bilinməlidir. Üstəlik, onları yadda saxlamaq çətin deyil - buna görə də onlar elementardırlar.

Beləliklə, elementar funksiyaların törəmələri:

Elementar funksiya ixtiyari sabitə vurularsa, yeni funksiyanın törəməsi də asanlıqla hesablanır:

(C · f)’ = C · f ’.

Ümumiyyətlə, sabitləri törəmə işarəsindən çıxarmaq olar. Misal üçün:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Aydındır ki, elementar funksiyaları bir-birinə əlavə etmək, çoxaltmaq, bölmək və daha çox şey ola bilər. Artıq çox elementar deyil, həm də müəyyən qaydalara uyğun olaraq diferensiallaşdırıla bilən yeni funksiyalar belə görünəcək. Bu qaydalar aşağıda müzakirə olunur.

Cəm və fərqin törəməsi

Qoy funksiyalar f(x) və g(x), törəmələri bizə məlum olan. Məsələn, yuxarıda müzakirə olunan elementar funksiyaları götürə bilərsiniz. Onda bu funksiyaların cəmi və fərqinin törəməsini tapa bilərsiniz:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deməli, iki funksiyanın cəminin (fərqinin) törəməsi törəmələrin cəminə (fərqinə) bərabərdir. Daha çox şərtlər ola bilər. Misal üçün, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Düzünü desək, cəbrdə “çıxma” anlayışı yoxdur. “Mənfi element” anlayışı var. Buna görə də fərq f − g cəmi kimi yenidən yazıla bilər f+ (−1) g, və sonra yalnız bir düstur qalır - cəminin törəməsi.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın cəmidir, ona görə də:

f ’(x) = (x 2+ günah x)’ = (x 2)' + (günah x)’ = 2x+ cosx;

Eyni şəkildə funksiya üçün mübahisə edirik g(x). Yalnız üç termin var (cəbr baxımından):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Cavab:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Məhsulun törəməsi

Riyaziyyat məntiqi bir elmdir, ona görə də bir çox insan hesab edir ki, əgər cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdirsə, məhsulun törəməsi zərbə"\u003e törəmələrin məhsuluna bərabərdir. Amma sizə əncir! Məhsulun törəməsi tamamilə fərqli bir düsturla hesablanır. Yəni:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula sadədir, lakin tez-tez unudulur. Həm də təkcə məktəblilər deyil, həm də tələbələr. Nəticə problemlərin düzgün həll edilməməsidir.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksiya f(x) iki elementar funksiyanın məhsuludur, ona görə də hər şey sadədir:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' çünki x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−günah x) = x 2 (3 cos x − x günah x)

Funksiya g(x) birinci çarpan bir az daha mürəkkəbdir, lakin ümumi sxem bundan dəyişmir. Aydındır ki, funksiyanın birinci çarpanı g(x) çoxhədlidir və onun törəməsi cəminin törəməsidir. Bizdə:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Cavab:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x günah x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Qeyd edək ki, son mərhələdə törəmə faktorlara bölünür. Formal olaraq, bu lazım deyil, lakin əksər törəmələr öz-özünə hesablanmır, lakin funksiyanı araşdırmaq üçün hesablanır. Bu o deməkdir ki, bundan sonra törəmə sıfıra bərabərləşdiriləcək, onun işarələri tapılacaq və s. Belə bir hal üçün amillərə parçalanmış ifadənin olması daha yaxşıdır.

İki funksiya varsa f(x) və g(x), və g(x) ≠ 0 bizi maraqlandıran çoxluqda yeni funksiya təyin edə bilərik h(x) = f(x)/g(x). Belə bir funksiya üçün törəməni də tapa bilərsiniz:

Zəif deyil, hə? Minus haradan gəldi? Niyə g 2? Amma belə! Bu, ən mürəkkəb düsturlardan biridir - bir şüşə olmadan başa düşə bilməzsiniz. Ona görə də onu konkret misallarla öyrənmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın:

Hər bir kəsrin pay və məxrəcində elementar funksiyalar var, ona görə də bizə lazım olan tək şey hissənin törəməsi üçün düsturdur:

Ənənəyə görə, biz sayacı amillərə daxil edirik - bu cavabı çox sadələşdirəcək:

Mürəkkəb bir funksiya mütləq yarım kilometr uzunluğunda bir düstur deyil. Məsələn, funksiyanı götürmək kifayətdir f(x) = günah x və dəyişəni əvəz edin x, deyin, açıq x 2+ln x. Çıxır f(x) = günah ( x 2+ln x) mürəkkəb funksiyadır. Onun da bir törəməsi var, lakin yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq onu tapmaq işləməyəcək.

Necə olmaq? Belə hallarda dəyişənin dəyişdirilməsi və mürəkkəb funksiyanın törəməsi üçün formula kömək edir:

f ’(x) = f ’(t) · t', əgər x ilə əvəz olunur t(x).

Bir qayda olaraq, bu düsturun başa düşülməsi ilə bağlı vəziyyət bölmənin törəməsi ilə müqayisədə daha kədərlidir. Buna görə də, hər bir addımın ətraflı təsviri ilə konkret misallarla izah etmək daha yaxşıdır.

Tapşırıq. Funksiyaların törəmələrini tapın: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = günah ( x 2+ln x)

Qeyd edək ki, əgər funksiyadadırsa f(x) ifadə 2 əvəzinə x+ 3 asan olacaq x, onda elementar funksiya alırıq f(x) = e x. Buna görə də bir əvəz edirik: qoy 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kompleks funksiyanın törəməsini düsturla axtarırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

İndi - diqqət! Əks əvəzetmənin həyata keçirilməsi: t = 2x+ 3. Alırıq:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

İndi funksiyaya baxaq g(x). Aydındır ki, dəyişdirilməlidir. x 2+ln x = t. Bizdə:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (günah t)’ · t' = cos t · t ’

Əks dəyişdirmə: t = x 2+ln x. Sonra:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Hamısı budur! Sonuncu ifadədən də göründüyü kimi, bütün məsələ cəminin törəməsinin hesablanmasına endirilib.

Cavab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) çünki ( x 2+ln x).

Dərslərimdə çox vaxt “törəmə” ifadəsi əvəzinə “vuruş” sözündən istifadə edirəm. Məsələn, cəminin vuruşu vuruşların cəminə bərabərdir. Bu daha aydındır? Əla, bu yaxşıdır.

Beləliklə, törəmənin hesablanması yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq bu vuruşlardan xilas olmaq üçün gəlir. Son nümunə olaraq, rasional göstərici ilə törəmə gücə qayıdaq:

(x n)’ = n · x n − 1

Bunu rolda az adam bilir n kəsr sayı ola bilər. Məsələn, kök x 0.5. Bəs kökün altında çətin bir şey varsa nə etməli? Yenə də mürəkkəb bir funksiya ortaya çıxacaq - onlar testlərdə və imtahanlarda belə konstruksiyalar verməyi sevirlər.

Tapşırıq. Funksiyanın törəməsini tapın:

Əvvəlcə kökü rasional göstəricisi olan bir güc kimi yenidən yazaq:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

İndi bir əvəz edirik: icazə verin x 2 + 8x − 7 = t. Törəməni düsturla tapırıq:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Əks əvəzetmə edirik: t = x 2 + 8x− 7. Bizdə:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Nəhayət, köklərə qayıdaq: