Ako vynásobiť dve zmiešané čísla. Zostavenie sústavy rovníc

V tomto článku budeme analyzovať násobenie zmiešaných čísel. Najprv vyslovíme pravidlo pre násobenie zmiešaných čísel a zvážime uplatnenie tohto pravidla pri riešení príkladov. Ďalej si povieme niečo o násobení zmiešaného čísla a prirodzeného čísla. Nakoniec sa naučíme, ako vynásobiť zmiešané číslo a obyčajný zlomok.

Navigácia na stránke.

Násobenie zmiešaných čísel.

Násobenie zmiešaných čísel možno redukovať na násobenie bežné zlomky. Na to stačí previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky.

Poďme si zapísať pravidlo násobenia pre zmiešané čísla:

• Po prvé, zmiešané čísla, ktoré sa majú vynásobiť, musia byť nahradené nesprávnymi zlomkami;
• Po druhé, musíte použiť pravidlo násobenia zlomku zlomkom.

Zvážte príklady použitia tohto pravidla pri násobení zmiešaného čísla zmiešaným číslom.

Vykonajte násobenie zmiešaných čísel a .

Najprv predstavíme vynásobené zmiešané čísla ako nesprávne zlomky: a . Teraz môžeme nahradiť násobenie zmiešaných čísel násobením obyčajných zlomkov: . Aplikovaním pravidla násobenia zlomkov dostaneme . Výsledný zlomok je neredukovateľný (pozri redukovateľné a neredukovateľné zlomky), ale je nesprávny (pozri pravidelné a nevlastné zlomky), preto, aby sme dostali konečnú odpoveď, zostáva extrahovať celú časť z nesprávneho zlomku: .

Celé riešenie napíšme do jedného riadku: .

.

Ak chcete upevniť zručnosti násobenia zmiešaných čísel, zvážte riešenie iného príkladu.

Vykonajte násobenie.

Vtipné čísla a sú rovné zlomkom 13/5 a 10/9. Potom . V tejto fáze je čas pripomenúť si redukciu zlomkov: nahraďme všetky čísla v zlomku ich rozšíreniami na hlavné faktory a vykonať redukciu rovnakých faktorov.

Násobenie zmiešaného čísla a prirodzeného čísla

Po výmene zmiešaného čísla správny zlomok, vynásobením zmiešaného čísla a prirodzeného čísla sa redukuje na násobenie obyčajného zlomku a prirodzeného čísla.

Vynásobte zmiešané číslo a prirodzené číslo 45 .

Zmiešané číslo je teda zlomok . Nahraďme čísla vo výslednom zlomku ich expanziami na prvočiniteľa, urobme redukciu, po ktorej vyberieme celočíselnú časť: .

.

Násobenie zmiešaného čísla a prirodzeného čísla sa niekedy pohodlne vykonáva pomocou distribučnej vlastnosti násobenia vzhľadom na sčítanie. V tomto prípade sa súčin zmiešaného čísla a prirodzeného čísla rovná súčtu súčinov celočíselnej časti daným prirodzeným číslom a zlomkovej časti daným prirodzeným číslom, tj. .

Vypočítajte produkt.

Zmiešané číslo nahradíme súčtom celých a zlomkových častí, po čom aplikujeme distributívnu vlastnosť násobenia: .

Násobenie zmiešaného čísla a spoločného zlomku najpohodlnejšie je zredukovať na násobenie obyčajných zlomkov, ktoré predstavujú vynásobené zmiešané číslo ako nevlastný zlomok.

Vynásobte zmiešané číslo spoločným zlomkom 4/15.

Nahradením zmiešaného čísla zlomkom dostaneme .

www.cleverstudents.ru

Násobenie zlomkových čísel

§ 140. Definície. 1) Násobenie zlomkového čísla celým číslom je definované rovnakým spôsobom ako násobenie celých čísel, a to: vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) celým číslom (faktorom) znamená vytvoriť súčet rovnakých členov, v ktorých sa každý člen rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.

Takže vynásobenie číslom 5 znamená nájdenie súčtu:
2) Vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.

Nájdenie zlomku daného čísla, o ktorom sme uvažovali predtým, budeme teraz nazývať násobenie zlomkom.

3) Vynásobiť nejaké číslo (násobiteľ) zmiešaným číslom (faktorom) znamená vynásobiť násobiteľ najprv celým číslom činiteľa, potom zlomkom činiteľa a výsledky týchto dvoch násobení spočítať.

Napríklad:

Číslo získané po vynásobení je vo všetkých týchto prípadoch tzv práca, teda rovnakým spôsobom ako pri násobení celých čísel.

Z týchto definícií je zrejmé, že násobenie zlomkových čísel je činnosť, ktorá je vždy možná a vždy jednoznačná.

§ 141. Účelnosť týchto definícií. Aby sme pochopili účelnosť zavedenia posledných dvoch definícií násobenia do aritmetiky, zoberme si nasledujúci problém:

Úloha. Vlak, ktorý sa pohybuje rovnomerne, jazdí 40 km za hodinu; ako zistiť, koľko kilometrov tento vlak prejde za daný počet hodín?

Ak by sme zostali pri rovnakej definícii násobenia, ktorá je uvedená v aritmetike celých čísel (sčítanie rovnakých členov), potom by náš problém mal tri rôzne riešenia, a to:

Ak je daný počet hodín celé číslo (napríklad 5 hodín), na vyriešenie problému je potrebné vynásobiť 40 km týmto počtom hodín.

Ak je daný počet hodín vyjadrený ako zlomok (napríklad hodiny), potom budete musieť nájsť hodnotu tohto zlomku zo 40 km.

Nakoniec, ak sa daný počet hodín zmieša (napríklad hodín), potom bude potrebné vynásobiť 40 km celým číslom obsiahnutým v zmiešanom čísle a k výsledku pridať taký zlomok zo 40 km, aký je v zmiešané číslo.

Definície, ktoré sme uviedli, nám umožňujú dať jednu všeobecnú odpoveď na všetky tieto možné prípady:

40 km treba vynásobiť daným počtom hodín, nech je to čokoľvek.

Ak je teda úloha prezentovaná v všeobecný pohľad Takže:

Vlak idúci rovnomerne prejde v km za hodinu. Koľko kilometrov prejde vlak za t hodín?

potom, nech sú čísla v a t akékoľvek, môžeme vyjadriť jednu odpoveď: požadované číslo je vyjadrené vzorcom v · t.

Poznámka. Nájdenie nejakého zlomku daného čísla podľa našej definície znamená to isté ako vynásobenie daného čísla týmto zlomkom; preto napríklad nájsť 5 % (t. j. päť stotín) daného čísla znamená to isté, ako vynásobiť dané číslo číslom alebo číslom; nájdenie 125 % daného čísla je to isté ako vynásobenie tohto čísla pomocou alebo pomocou atď.

§ 142 Poznámka o tom, kedy sa číslo zväčšuje a kedy od násobenia klesá.

Od násobenia vlastným zlomkom číslo klesá a od násobenia o nesprávny zlomokčíslo sa zvýši, ak je tento nesprávny zlomok väčší ako jedna, a zostane nezmenené, ak sa rovná jednej.
Komentujte. Pri násobení zlomkových čísel, ako aj celých čísel, sa súčin rovná nule, ak sa niektorý z faktorov rovná nule, takže,.

§ 143. Odvodenie pravidiel násobenia.

1) Násobenie zlomku celým číslom. Zlomok nech sa vynásobí 5. To znamená zväčšiť 5-krát. Na zväčšenie zlomku o 5 stačí, ak 5-násobne zväčšíte jeho čitateľa alebo znížite jeho menovateľa (§ 127).

Takže:
Pravidlo 1. Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a menovateľa ponechať rovnaký; namiesto toho môžete tiež rozdeliť menovateľ zlomku daným celým číslom (ak je to možné) a čitateľa ponechať rovnaký.

Komentujte. Súčin zlomku a jeho menovateľa sa rovná jeho čitateľovi.

Takže:
Pravidlo 2. Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.
Pravidlo 3. Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý menovateľom súčinu.

Komentujte. Toto pravidlo možno použiť aj na násobenie zlomku celým číslom a celého čísla zlomkom, ak celé číslo považujeme za zlomok s menovateľom jedna. Takže:

Tri teraz uvedené pravidlá sú teda obsiahnuté v jednom, ktorý možno vo všeobecnosti vyjadriť takto:
4) Násobenie zmiešaných čísel.

Pravidlo 4. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidiel pre násobenie zlomkov. Napríklad:
§ 144. Zníženie množenia. Ak je to možné, pri násobení zlomkov by sa malo vykonať predbežné zníženie, ako je možné vidieť z nasledujúcich príkladov:

Takéto zníženie možno vykonať, pretože hodnota zlomku sa nezmení, ak sa čitateľ a menovateľ zníži v rovnaké číslo raz.

§ 145. Zmena produktu so zmenou faktorov. Keď sa faktory zmenia, súčin zlomkových čísel sa zmení presne tak, ako súčin celých čísel (§ 53), a to: ak zväčšíte (alebo znížite) ktorýkoľvek faktor niekoľkokrát, súčin sa zvýši (alebo zníži) o rovnakú sumu.

Takže, ak v príklade:
na vynásobenie viacerých zlomkov je potrebné vynásobiť ich čitateľov medzi sebou a menovateľov medzi sebou a urobiť z prvého súčinu čitateľa az druhého menovateľa súčinu.

Komentujte. Toto pravidlo možno aplikovať aj na také súčiny, v ktorých sú niektoré činitele čísla celé alebo zmiešané, ak celé číslo považujeme za zlomok, ktorého menovateľ je jedna, a zmiešané čísla zmeníme na nesprávne zlomky. Napríklad:
§ 147. Základné vlastnosti násobenia. K násobeniu zlomkových čísel patria aj tie vlastnosti násobenia, ktoré sme uviedli pri celých číslach (§ 56, 57, 59). Upresnime tieto vlastnosti.

1) Produkt sa nemení zmenou miesta faktorov.

Napríklad:

Podľa pravidla predchádzajúceho odseku sa prvý produkt rovná zlomku a druhý sa rovná zlomku. Ale tieto zlomky sú rovnaké, pretože ich členovia sa líšia iba v poradí celočíselných faktorov a súčin celých čísel sa pri zmene miesta faktorov nemení.

2) Produkt sa nezmení, ak sa niektorá skupina faktorov nahradí ich produktom.

Napríklad:

Výsledky sú rovnaké.

Z tejto vlastnosti násobenia môžeme vyvodiť nasledujúci záver:

ak chcete vynásobiť nejaké číslo súčinom, môžete toto číslo vynásobiť prvým faktorom, výsledné číslo vynásobiť druhým atď.

Napríklad:
3) Distributívny zákon násobenia (vzhľadom na sčítanie). Ak chcete vynásobiť súčet nejakým číslom, môžete každý výraz vynásobiť týmto číslom samostatne a výsledky sčítať.

Tento zákon sme vysvetlili (§ 59) tak, že sa vzťahuje na celé čísla. Pre zlomkové čísla zostáva pravdivý bez akýchkoľvek zmien.

Ukážme v skutočnosti, že rovnosť

(a + b + c + .) m = am + bm + cm +.

(distributívny zákon násobenia vzhľadom na sčítanie) zostáva pravdivý, aj keď písmená znamenajú zlomkové čísla. Zoberme si tri prípady.

1) Najprv predpokladajme, že faktor m je celé číslo, napríklad m = 3 (a, b, c sú ľubovoľné čísla). Podľa definície násobenia celým číslom možno písať (pre jednoduchosť obmedzené na tri výrazy):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Na základe asociatívneho zákona sčítania môžeme vynechať všetky zátvorky na pravej strane; použitím komutatívneho zákona sčítania a potom opäť kombinačného zákona môžeme samozrejme prepísať pravú stranu takto:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Distributívny zákon je teda v tomto prípade potvrdený.

Násobenie a delenie zlomkov

Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažším momentom týchto akcií bolo privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.

Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Na začiatok zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva kladné zlomky bez oddelenej celočíselnej časti.

Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.

Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou.

Z definície vyplýva, že delenie zlomkov sa redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok obrátiť, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto celú lekciu budeme uvažovať hlavne o násobení.

Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovaný zlomok - samozrejme, treba ho zmenšiť. Ak sa po všetkých redukciách zlomok ukázal ako nesprávny, mala by sa v ňom rozlíšiť celá časť. Čo sa však pri násobení určite nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, maximálne faktory a najmenšie spoločné násobky.

Podľa definície máme:

Násobenie zlomkov celočíselnou časťou a zápornými zlomkami

Ak je v zlomkoch celočíselná časť, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.

Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho vyňať z hraníc násobenia alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:

1. Plus krát mínus dáva mínus;
2. Dve negatíva znamenajú pozitívnu odpoveď.

Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre produkt ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko mínusov naraz:

1. Mínusy vo dvojiciach škrtáme, kým úplne nezmiznú. V extrémnom prípade môže prežiť jeden mínus - ten, ktorý nenašiel zhodu;
2. Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, keďže nenašlo pár, vytiahneme ho z hraníc násobenia. Dostanete záporný zlomok.

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všetky zlomky preložíme na nesprávne a mínusy potom vytiahneme mimo hraníc násobenia. To, čo zostane, sa rozmnožuje podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:

Ešte raz vám pripomeniem, že mínus, ktoré nasleduje pred zlomkom so zvýraznenou celočíselnou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie len na jeho celočíselnú časť (to platí pre posledné dva príklady).

Venujte pozornosť aj záporné čísla: Po vynásobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.

Znižovanie frakcií za chodu

Násobenie je veľmi pracná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie úlohy sa môžete pokúsiť zlomok ešte zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Podľa definície máme:

Vo všetkých príkladoch sú červenou farbou vyznačené čísla, ktoré boli zredukované a to, čo z nich zostalo.

Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Jednotky zostali na svojom mieste, ktoré možno vo všeobecnosti vynechať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.

Túto techniku ​​však v žiadnom prípade nepoužívajte pri sčítaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Pozrite sa sem:

To nemôžeš!

Chyba sa vyskytuje v dôsledku skutočnosti, že pri pridávaní čitateľa zlomku sa v čitateli objaví súčet a nie súčin čísel. Preto nie je možné použiť hlavnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.

Jednoducho neexistuje žiadny iný dôvod na znižovanie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúca úloha vyzerá takto:

Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.

Násobenie zlomkov.

Aby ste správne vynásobili zlomok zlomkom alebo zlomok číslom, musíte vedieť jednoduché pravidlá. Teraz tieto pravidlá podrobne rozoberieme.

Násobenie zlomku zlomkom.

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vypočítať súčin čitateľov a súčin menovateľov týchto zlomkov.

Zvážte príklad:
Čitateľ prvého zlomku vynásobíme čitateľom druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku vynásobíme aj menovateľom druhého zlomku.

Násobenie zlomku číslom.

Začnime s pravidlom akékoľvek číslo môže byť vyjadrené ako zlomok \(\bf n = \frac \) .

Využime toto pravidlo na násobenie.

Nevlastný zlomok \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) bol prevedený na zmiešaný zlomok.

Inými slovami, Pri násobení čísla zlomkom vynásobte číslo čitateľom a menovateľ ponechajte nezmenený. Príklad:

Násobenie zmiešaných frakcií.

Ak chcete násobiť zmiešané zlomky, musíte najprv každý zmiešaný zlomok reprezentovať ako nesprávny zlomok a potom použiť pravidlo násobenia. Čitateľ sa násobí čitateľom, menovateľ sa násobí menovateľom.

Násobenie vzájomných zlomkov a čísel.

Súvisiace otázky:
Ako vynásobiť zlomok zlomkom?
Odpoveď: súčin obyčajných zlomkov je vynásobením čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom. Ak chcete získať produkt zmiešaných zlomkov, musíte ich previesť na nesprávny zlomok a vynásobiť podľa pravidiel.

Ako násobiť zlomky s rôznymi menovateľmi?
odpoveď: je jedno či sú rovnaké resp rôznych menovateľov pri zlomkoch nastáva násobenie podľa pravidla hľadania súčinu čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom.

Ako násobiť zmiešané zlomky?
Odpoveď: Najprv musíte previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu a potom nájsť produkt podľa pravidiel násobenia.

Ako vynásobiť číslo zlomkom?
Odpoveď: Číslo vynásobíme čitateľom a menovateľa necháme rovnaký.

Príklad č. 1:
Vypočítajte súčin: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Príklad č. 2:
Vypočítajte súčin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac \) b) \(\frac \krát 11\)

Príklad č. 3:
Napíšte prevrátenú hodnotu zlomku \(\frac \)?
Odpoveď: \(\frac = 3\)

Príklad č. 4:
Vypočítajte súčin dvoch recipročných hodnôt: a) \(\frac \krát \frac \)

Príklad č. 5:
Môžu byť vzájomne inverzné zlomky:
a) oba vlastné zlomky;
b) súčasne nesprávne zlomky;
c) v rovnakom čase prirodzené čísla?

rozhodnutie:
a) Na odpoveď na prvú otázku použijeme príklad. Zlomok \(\frac \) je správny, jeho prevrátená hodnota sa bude rovnať \(\frac \) - nevlastný zlomok. odpoveď: nie.

b) takmer vo všetkých výpočtoch zlomkov táto podmienka nie je splnená, no sú čísla, ktoré zároveň spĺňajú podmienku, že ide o nevlastný zlomok. Napríklad nevlastný zlomok je \(\frac \) , jeho recipročný zlomok je \(\frac \). Dostaneme dva nesprávne zlomky. Odpoveď: nie vždy za určitých podmienok, keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký.

c) prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame pri počítaní napríklad 1, 2, 3, .... Ak vezmeme číslo \(3 = \frac \), potom jeho recipročné bude \(\frac \). Zlomok \(\frac \) nie je prirodzené číslo. Ak prejdeme cez všetky čísla, prevrátená hodnota je vždy zlomok, okrem 1. Ak vezmeme číslo 1, potom jej prevrátená hodnota bude \(\frac = \frac = 1\). Číslo 1 je prirodzené číslo. Odpoveď: môžu to byť súčasne prirodzené čísla iba v jednom prípade, ak je toto číslo 1.

Príklad č. 6:
Vykonajte súčin zmiešaných frakcií: a) \(4 \krát 2\frac \) b) \(1\frac \krát 3\frac \)

rozhodnutie:
a) \(4 \krát 2\frac = \frac \krát \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \krát 3\frac = \frac \krát \frac = \frac = 4\frac \)

Príklad č. 7:
Môžu dvaja navzájom recipročné byť súčasne zmiešané čísla?

Pozrime sa na príklad. Vezmite zmiešaný zlomok \(1\frac \), nájdite ho recipročné, preto to preložíme na nesprávny zlomok \(1\frac = \frac \) . Jeho recipročná hodnota sa bude rovnať \(\frac \) . Zlomok \(\frac \) je vlastný zlomok. Odpoveď: Dva vzájomne inverzné zlomky nemôžu byť súčasne zmiešanými číslami.

Násobenie desatinného čísla prirodzeným číslom

Prezentácia na lekciu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

• Zábavnou formou priblížiť žiakom pravidlo násobenia desatinný zlomok na prirodzené číslo, na bitovú jednotku a pravidlo na vyjadrenie desatinného zlomku v percentách. Rozvíjať schopnosť aplikovať získané poznatky pri riešení príkladov a problémov.
• Rozvíjať a aktivovať logické mysleniežiakov, schopnosť identifikovať vzory a zovšeobecňovať ich, posilňovať pamäť, schopnosť spolupracovať, poskytovať si pomoc, hodnotiť svoju prácu a prácu toho druhého.
• Pestovať záujem o matematiku, aktivitu, mobilitu, schopnosť komunikovať.

Vybavenie: interaktívna tabuľa, plagát so cyphergramom, plagáty s výrokmi matematikov.

1. Organizácia času.
2. Ústne počítanie je zovšeobecnenie predtým preštudovaného materiálu, príprava na štúdium nového materiálu.
3. Vysvetlenie nového materiálu.
4. Domáca úloha.
5. Matematická telesná výchova.
6. Zovšeobecnenie a systematizácia získaných vedomostí hravou formou pomocou počítača.
7. Klasifikácia.

2. Chlapci, dnes bude naša hodina trochu nezvyčajná, pretože ju nestrávim sám, ale so svojím priateľom. A môj priateľ je tiež nezvyčajný, teraz ho uvidíte. (Na obrazovke sa objaví kreslený počítač.) Môj priateľ má meno a vie rozprávať. Ako sa voláš, priateľ? Komposha odpovedá: "Volám sa Komposha." Si pripravený mi dnes pomôcť? ÁNO! Nuž, začnime s lekciou.

Dnes som dostal zašifrovaný šifrovací gram, chlapci, ktorý musíme spoločne vyriešiť a rozlúštiť. (Na nástenke je vyvesený plagát s ústne počítanie na sčítanie a odčítanie desatinných zlomkov, v dôsledku čoho chlapci dostanú nasledujúci kód 523914687. )

Komposha pomáha dešifrovať prijatý kód. V dôsledku dekódovania sa získa slovo MULTIPLICATION. Násobenie je kľúčové slovo témy dnešnej lekcie. Na monitore sa zobrazí téma lekcie: „Násobenie desatinného zlomku prirodzeným číslom“

Chlapci, vieme, ako sa vykonáva násobenie prirodzených čísel. Dnes sa pozrieme na násobenie. desatinné čísla na prirodzené číslo. Násobenie desatinného zlomku prirodzeným číslom možno považovať za súčet členov, z ktorých každý sa rovná tomuto desatinnému zlomku a počet členov sa rovná tomuto prirodzenému číslu. Napríklad: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Takže 5,21 3 = 15,63. Reprezentujúc 5,21 ako obyčajný zlomok prirodzeného čísla, dostaneme

A v tomto prípade sme dostali rovnaký výsledok 15,63. Teraz, ignorujúc čiarku, zoberme namiesto čísla 5,21 číslo 521 a vynásobme daným prirodzeným číslom. Tu si musíme uvedomiť, že v jednom z faktorov je čiarka posunutá o dve miesta doprava. Pri vynásobení čísel 5, 21 a 3 dostaneme súčin rovný 15,63. Teraz v tomto príklade posunieme čiarku o dve číslice doľava. Teda, koľkokrát sa zvýšil jeden z faktorov, toľkokrát sa znížil produkt. Na základe podobných bodov týchto metód vyvodíme záver.

Ak chcete vynásobiť desatinné číslo prirodzeným číslom, potrebujete:
1) ignorujúc čiarku, vykonajte násobenie prirodzených čísel;
2) vo výslednom produkte oddeľte čiarkou vpravo toľko znakov, koľko je v desatinnom zlomku.

Na monitore sú zobrazené nasledujúce príklady, ktoré analyzujeme spolu s Komposha a chalanmi: 5,21 3 = 15,63 a 7,624 15 = 114,34. Potom, čo ukážem násobenie podľa okrúhle číslo 12,6 50 = 630. Ďalej prejdem k násobeniu desatinného zlomku bitovou jednotkou. Ukážem nasledujúce príklady: 7,423 100 \u003d 742,3 a 5,2 1000 \u003d 5200. Zavádzam teda pravidlo pre násobenie desatinného zlomku bitovou jednotkou:

Na vynásobenie desatinného zlomku bitovými jednotkami 10, 100, 1000 atď. je potrebné posunúť čiarku v tomto zlomku doprava o toľko číslic, koľko núl je v zázname bitovej jednotky.

Výklad končím vyjadrením desatinného zlomku v percentách. Zadávam pravidlo:

Ak chcete vyjadriť desatinné číslo v percentách, vynásobte ho 100 a pridajte znak %.

Uvádzam príklad na počítači 0,5 100 = 50 alebo 0,5 = 50 %.

4. Na konci výkladu dávam chlapom domáca úloha, ktorý sa zobrazuje aj na monitore počítača: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Aby si chalani trochu oddýchli, upevnili tému, robíme spolu s Kompošou matematickú telesnú výchovu. Každý sa postaví, ukáže triede vyriešené príklady a oni musia odpovedať, či je príklad správny alebo nesprávny. Ak je príklad vyriešený správne, zdvihnú ruky nad hlavu a tlieskajú dlaňami. Ak príklad nie je vyriešený správne, chlapci natiahnu ruky do strán a miesia prsty.

6. A teraz si trochu oddýchnite, môžete riešiť úlohy. Otvor si učebnicu na stranu 205, № 1029. v tejto úlohe je potrebné vypočítať hodnotu výrazov:

Úlohy sa zobrazia v počítači. Po ich vyriešení sa objaví obrázok s obrázkom člna, ktorý po úplnom zložení odpláva.

Riešením tejto úlohy na počítači sa raketa postupne vyvíja, vyriešením posledného príkladu raketa odletí. Učiteľka dáva žiakom malú informáciu: „Každý rok vzlietnuť z kazašskej zeme z kozmodrómu Bajkonur ku hviezdam. vesmírne lode. Neďaleko Bajkonuru buduje svoj vlastný Kazachstan nový kozmický prístav Baiterek.

Ako ďaleko prejde auto za 4 hodiny, ak je rýchlosť osobný automobil 74,8 km/h.

Darčekový certifikát Neviete čím obdarovať svoju polovičku, priateľov, zamestnancov, príbuzných? Využite našu špeciálnu ponuku: „Darčekový certifikát hotela Blue Osoka Country Hotel.“ Certifikát […]

V stredoškolskom a stredoškolskom kurze študenti študovali tému „Zlomky“. Tento pojem je však oveľa širší, ako sa uvádza v procese učenia. Dnes sa s pojmom zlomok stretávame pomerne často a nie každý vie vypočítať akýkoľvek výraz, napríklad násobenie zlomkov.

čo je zlomok?

Historicky sa stalo, že sa kvôli potrebe merania objavili zlomkové čísla. Ako ukazuje prax, často existujú príklady na určenie dĺžky segmentu, objemu obdĺžnikového obdĺžnika.

Spočiatku sa študenti zoznámia s takým konceptom, akým je podiel. Ak napríklad rozdelíte melón na 8 častí, potom každá získa jednu osminu melónu. Táto jedna časť z ôsmich sa nazýva podiel.

Podiel rovný ½ akejkoľvek hodnoty sa nazýva polovica; ⅓ - tretina; ¼ - štvrtina. Záznamy ako 5/8, 4/5, 2/4 sa nazývajú bežné zlomky. Obyčajný zlomok sa delí na čitateľa a menovateľa. Medzi nimi je zlomková čiara alebo zlomková čiara. Čiastočnú čiaru možno nakresliť ako vodorovnú alebo ako šikmú čiaru. V tomto prípade ide o znak delenia.

Menovateľ predstavuje, na koľko rovnakých podielov je rozdelená hodnota, objekt; a v čitateli je počet rovnakých podielov. Čitateľ sa píše nad zlomkovú čiaru, menovateľ pod ňu.

Najvhodnejšie je zobraziť obyčajné zlomky na súradnicový lúč. Ak je jeden segment rozdelený na 4 rovnaké časti, každá časť je označená latinským písmenom, potom môžete získať vynikajúcu vizuálnu pomôcku. Takže bod A ukazuje podiel rovný 1/4 celého segmentu jednotky a bod B označuje 2/8 tohto segmentu.

Odrody zlomkov

Zlomky sú bežné, desatinné a zmiešané čísla. Okrem toho možno zlomky rozdeliť na správne a nesprávne. Táto klasifikácia je vhodnejšia pre obyčajné zlomky.

Vlastný zlomok je číslo, ktorého čitateľ je menší ako menovateľ. Nevlastný zlomok je teda číslo, ktorého čitateľ je väčší ako menovateľ. Druhý druh sa zvyčajne píše ako zmiešané číslo. Takýto výraz pozostáva z celočíselnej časti a zlomkovej časti. Napríklad 1½. 1 - celá časť, ½ - zlomok. Ak však potrebujete vykonať nejaké manipulácie s výrazom (delenie alebo násobenie zlomkov, ich zmenšenie alebo prevod), zmiešané číslo sa prevedie na nesprávny zlomok.

Správny zlomkový výraz je vždy menej ako jeden a nesprávne - väčšie alebo rovné 1.

Týmto výrazom rozumejú záznam, v ktorom je zastúpené ľubovoľné číslo, ktorého menovateľ zlomkového vyjadrenia možno vyjadriť cez jednotku s niekoľkými nulami. Ak je zlomok správny, potom celá časť v desiatkovom zápise bude nula.

Ak chcete napísať desatinnú čiarku, musíte najskôr napísať celú časť, oddeliť ju od zlomku čiarkou a potom napísať zlomkový výraz. Treba pamätať na to, že za čiarkou musí čitateľ obsahovať toľko číselných znakov, koľko núl je v menovateli.

Príklad. Predstavte zlomok 7 21 / 1000 v desiatkovom zápise.

Algoritmus na prevod nevlastného zlomku na zmiešané číslo a naopak

V odpovedi na úlohu je nesprávne zapísať nesprávny zlomok, preto ho treba previesť na zmiešané číslo:

• vydeľte čitateľa existujúcim menovateľom;
• v konkrétny príklad neúplný kvocient - celý;
• a zvyšok je čitateľ zlomkovej časti, pričom menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Prevod nesprávneho zlomku na zmiešané číslo: 47/5 .

rozhodnutie. 47: 5. Neúplný kvocient je 9, zvyšok = 2. Preto 47 / 5 = 9 2 / 5.

Niekedy je potrebné reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok. Potom musíte použiť nasledujúci algoritmus:

• celočíselná časť sa vynásobí menovateľom zlomkového výrazu;
• výsledný produkt sa pridá do čitateľa;
• výsledok sa zapíše do čitateľa, menovateľ zostáva nezmenený.

Príklad. Vyjadrite číslo v zmiešanom tvare ako nesprávny zlomok: 9 8/10 .

rozhodnutie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je čitateľ.

Odpoveď: 98 / 10.

Násobenie obyčajných zlomkov

S obyčajnými zlomkami môžete vykonávať rôzne algebraické operácie. Ak chcete vynásobiť dve čísla, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi sa navyše nelíši od súčinu zlomkových čísel s rovnakými menovateľmi.

Stáva sa, že po zistení výsledku musíte zlomok znížiť. AT celkom určite výsledný výraz by mal byť čo najviac zjednodušený. Samozrejme, nemožno povedať, že nesprávny zlomok v odpovedi je chyba, ale je tiež ťažké ho nazvať správnou odpoveďou.

Príklad. Nájdite súčin dvoch obyčajných zlomkov: ½ a 20/18.

Ako je zrejmé z príkladu, po nájdení produktu sa získa redukovateľný zlomkový zápis. Čitateľ aj menovateľ sú v tomto prípade deliteľné 4 a výsledkom je odpoveď 5/9.

Násobenie desatinných zlomkov

Súčin desatinných zlomkov je vo svojom princípe celkom odlišný od súčinu obyčajných zlomkov. Takže násobenie zlomkov je nasledovné:

• dva desatinné zlomky musia byť napísané pod sebou tak, aby boli číslice úplne vpravo jedna pod druhou;
• musíte vynásobiť zapísané čísla napriek čiarkam, teda ako prirodzené čísla;
• spočítajte počet číslic za čiarkou v každom z čísel;
• vo výsledku získanom po vynásobení musíte za desatinnou čiarkou spočítať toľko číslicových znakov napravo, koľko je obsiahnutých v súčte oboch faktorov, a dať oddeľovacie znamienko;
• ak je v súčine menej číslic, tak treba pred ne napísať toľko núl, aby toto číslo pokryli, dať čiarku a priradiť celú časť rovnajúcu sa nule.

Príklad. Vypočítajte súčin dvoch desatinných miest: 2,25 a 3,6.

rozhodnutie.

Násobenie zmiešaných frakcií

Ak chcete vypočítať súčin dvoch zmiešaných frakcií, musíte použiť pravidlo na násobenie frakcií:

• previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky;
• nájsť súčin čitateľov;
• nájsť súčin menovateľov;
• zapíšte výsledok;
• čo najviac zjednodušiť výraz.

Príklad. Nájdite súčin 4½ a 6 2/5.

Násobenie čísla zlomkom (zlomky číslom)

Okrem hľadania súčinu dvoch zlomkov, zmiešaných čísel, existujú úlohy, pri ktorých je potrebné násobiť zlomkom.

Na nájdenie súčinu desatinného zlomku a prirodzeného čísla teda potrebujete:

• napíš číslo pod zlomok tak, aby číslice úplne vpravo boli nad sebou;
• nájsť prácu, napriek čiarke;
• v získanom výsledku oddeľte časť celého čísla od zlomkovej časti pomocou čiarky, pričom počítajte vpravo počet znakov, ktoré sú za desatinnou čiarkou v zlomku.

Ak chcete vynásobiť obyčajný zlomok číslom, mali by ste nájsť súčin čitateľa a prirodzeného faktora. Ak je odpoveďou redukovateľný zlomok, mal by sa previesť.

Príklad. Vypočítajte súčin 5/8 a 12.

rozhodnutie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odpoveď: 7 1 / 2.

Ako môžete vidieť z predchádzajúceho príkladu, bolo potrebné výsledný výsledok zmenšiť a previesť nesprávny zlomkový výraz na zmiešané číslo.

Násobenie zlomkov sa vzťahuje aj na hľadanie súčinu čísla v zmiešanej forme a prírodného faktora. Ak chcete vynásobiť tieto dve čísla, mali by ste vynásobiť celú časť zmiešaného faktora číslom, vynásobiť čitateľa rovnakou hodnotou a ponechať menovateľa nezmenený. Ak je to potrebné, musíte výsledok čo najviac zjednodušiť.

Príklad. Nájdite súčin 9 5 / 6 a 9.

rozhodnutie. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Odpoveď: 88 1 / 2.

Násobenie faktormi 10, 100, 1000 alebo 0,1; 0,01; 0,001

Vyplýva to z predchádzajúceho odseku ďalšie pravidlo. Ak chcete vynásobiť desatinný zlomok 10, 100, 1 000, 10 000 atď., musíte posunúť čiarku doprava o toľko číslic, koľko je núl v násobiteľi za jednotkou.

Príklad 1. Nájdite súčin 0,065 a 1000.

rozhodnutie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odpoveď: 65.

Príklad 2. Nájdite súčin 3,9 a 1000.

rozhodnutie. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Odpoveď: 3900.

Ak potrebujete vynásobiť prirodzené číslo a 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 atď., vo výslednom produkte by ste mali posunúť čiarku doľava o toľko číslic, koľko je nuly pred jednotkou. V prípade potreby sa pred prirodzené číslo napíše dostatočný počet núl.

Príklad 1. Nájdite súčin 56 a 0,01.

rozhodnutie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odpoveď: 0,56.

Príklad 2. Nájdite súčin 4 a 0,001.

rozhodnutie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odpoveď: 0,004.

Takže nájsť produkt rôzne zlomky by nemali spôsobovať ťažkosti, s výnimkou výpočtu výsledku; V tomto prípade sa bez kalkulačky jednoducho nezaobídete.

Násobenie a delenie zlomkov.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Táto operácia je oveľa krajšia ako sčítanie-odčítanie! Pretože je to jednoduchšie. Pripomínam vám: ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľov (toto bude čitateľ výsledku) a menovateľov (toto bude menovateľ). T.j.:

Napríklad:

Všetko je mimoriadne jednoduché. A prosím, nehľadajte spoločného menovateľa! Netreba to tu...

Ak chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte ho prevrátiť druhý(to je dôležité!) zlomok a vynásobte ich, t.j.:

Napríklad:

Ak sa zachytí násobenie alebo delenie celými číslami a zlomkami, je to v poriadku. Rovnako ako pri sčítaní, aj tu urobíme zlomok z celého čísla s jednotkou v menovateli – a ide sa! Napríklad:

Na strednej škole sa často musíte zaoberať trojposchodovými (alebo aj štvorposchodovými!) zlomkami. Napríklad:

Ako priviesť tento zlomok do slušnej podoby? Áno, veľmi jednoduché! Použite rozdelenie podľa dvoch bodov:

Nezabudnite však na poradie rozdelenia! Na rozdiel od násobenia je to tu veľmi dôležité! Samozrejme, 4:2 alebo 2:4 si nepopletieme. Ale v trojposchodovom zlomku je ľahké urobiť chybu. Všimnite si napríklad:

V prvom prípade (výraz vľavo):

V druhom (výraz vpravo):

Cítiť rozdiel? 4 a 1/9!

Aké je poradie delenia? Alebo zátvorky, alebo (ako tu) dĺžka vodorovných pomlčiek. Rozvíjať oko. A ak neexistujú žiadne zátvorky alebo pomlčky, napríklad:

potom deliť-násobiť v poradí, zľava doprava!

A ešte jeden veľmi jednoduchý a dôležitý trik. V akciách s grády sa vám to bude hodiť! Rozdeľme jednotku ľubovoľným zlomkom, napríklad 13/15:

Strela sa obrátila! A vždy sa to stane. Pri delení 1 ľubovoľným zlomkom je výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený.

To sú všetky akcie so zlomkami. Vec je celkom jednoduchá, ale poskytuje viac než dosť chýb. Poznámka praktické rady a bude ich (chýb) menej!

Praktické rady:

1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť! Toto nie sú bežné slová, nie dobré priania! Toto je vážna potreba! Všetky výpočty na skúške robte ako plnohodnotnú úlohu, sústredene a prehľadne. Je lepšie napísať dva riadky navyše do konceptu, ako sa pokaziť pri počítaní v hlave.

2. V príkladoch s odlišné typy zlomky - prejdite na obyčajné zlomky.

3. Všetky frakcie zredukujeme až na doraz.

4. Viacúrovňové zlomkové výrazy redukujeme na obyčajné pomocou delenia cez dva body (dodržiavame poradie delenia!).

5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.

Tu sú úlohy, ktoré musíte splniť. Odpovede sú uvedené po všetkých úlohách. Použite materiály tejto témy a praktické rady. Odhadnite, koľko príkladov by ste dokázali správne vyriešiť. Prvý krát! Bez kalkulačky! A urobte správne závery...

Zapamätajte si správnu odpoveď získané z druhého (najmä tretieho) času - sa nepočíta! Taký je krutý život.

takze riešiť v skúšobnom režime ! Mimochodom, toto je príprava na skúšku. Riešime príklad, kontrolujeme, riešime nasledovné. O všetkom sme rozhodli - znova sme kontrolovali od prvého do posledného. Iba po pozri si odpovede.

Vypočítať:

Rozhodli ste sa?

Hľadáte odpovede, ktoré zodpovedajú vašim. Konkrétne som ich napísal v neporiadku, takpovediac ďaleko od pokušenia... Tu sú odpovede, zapísané bodkočiarkou.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A teraz robíme závery. Ak všetko fungovalo - šťastný pre vás! Elementárne výpočty so zlomkami - to nie je tvoj problém! Môžete robiť aj vážnejšie veci. Ak nie...

Takže máte jeden z dvoch problémov. Alebo oboje naraz.) Nedostatok vedomostí a (alebo) nepozornosť. Ale toto riešiteľný Problémy.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Aby ste správne vynásobili zlomok zlomkom alebo zlomok číslom, musíte poznať jednoduché pravidlá. Teraz tieto pravidlá podrobne rozoberieme.

Násobenie zlomku zlomkom.

Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vypočítať súčin čitateľov a súčin menovateľov týchto zlomkov.

\(\bf \frac(a)(b) \krát \frac(c)(d) = \frac(a \krát c)(b \krát d)\\\)

Zvážte príklad:
Čitateľ prvého zlomku vynásobíme čitateľom druhého zlomku a menovateľ prvého zlomku vynásobíme aj menovateľom druhého zlomku.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krát 3)(7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\)

Zlomok \(\frac(12)(21) = \frac(4 \krát 3) (7 \krát 3) = \frac(4)(7)\\\) sa zmenšil o 3.

Násobenie zlomku číslom.

Začnime s pravidlom akékoľvek číslo môže byť vyjadrené ako zlomok \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Využime toto pravidlo na násobenie.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nesprávny zlomok \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) prevedené na zmiešaný zlomok.

Inými slovami, Pri násobení čísla zlomkom vynásobte číslo čitateľom a menovateľ ponechajte nezmenený. Príklad:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \krát c = \frac(a \krát c)(b)\\\)

Násobenie zmiešaných frakcií.

Ak chcete násobiť zmiešané zlomky, musíte najprv každý zmiešaný zlomok reprezentovať ako nesprávny zlomok a potom použiť pravidlo násobenia. Čitateľ sa násobí čitateľom, menovateľ sa násobí menovateľom.

Príklad:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \krát 6) = \frac(3 \krát \color(červená) (3) \krát 23)(4 \krát 2 \krát \farba(červená) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Násobenie vzájomných zlomkov a čísel.

Zlomok \(\bf \frac(a)(b)\) je inverznou hodnotou zlomku \(\bf \frac(b)(a)\ za predpokladu, že a≠0,b≠0.
Zlomky \(\bf \frac(a)(b)\) a \(\bf \frac(b)(a)\) sa nazývajú recipročné. Súčin recipročných zlomkov je 1.
\(\bf \frac(a)(b) \krát \frac(b)(a) = 1 \\\)

Príklad:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Súvisiace otázky:
Ako vynásobiť zlomok zlomkom?
Odpoveď: súčin obyčajných zlomkov je vynásobením čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom. Ak chcete získať produkt zmiešaných zlomkov, musíte ich previesť na nesprávny zlomok a vynásobiť podľa pravidiel.

Ako násobiť zlomky s rôznymi menovateľmi?
Odpoveď: nezáleží na tom, či sú menovatelia zlomkov rovnakí alebo rôzni, násobenie nastáva podľa pravidla na nájdenie súčinu čitateľa s čitateľom, menovateľa s menovateľom.

Ako násobiť zmiešané zlomky?
Odpoveď: Najprv musíte previesť zmiešanú frakciu na nesprávnu frakciu a potom nájsť produkt podľa pravidiel násobenia.

Ako vynásobiť číslo zlomkom?
Odpoveď: Číslo vynásobíme čitateľom a menovateľa necháme rovnaký.

Príklad č. 1:
Vypočítajte súčin: a) \(\frac(8)(9) \krát \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \krát \frac(10)(13) \ )

rozhodnutie:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( červená) (5))(3 \krát \farba(červená) (5) \krát 13) = \frac(4)(39)\)

Príklad č. 2:
Vypočítajte súčin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \krát 11\)

rozhodnutie:
a) \(3 \krát \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krát \frac(17)(23) = \frac(3 \krát 17)(1 \krát 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Príklad č. 3:
Napíšte prevrátenú hodnotu \(\frac(1)(3)\)?
Odpoveď: \(\frac(3)(1) = 3\)

Príklad č. 4:
Vypočítajte súčin dvoch recipročných zlomkov: a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104)\)

rozhodnutie:
a) \(\frac(104)(215) \krát \frac(215)(104) = 1\)

Príklad č. 5:
Môžu byť vzájomne inverzné zlomky:
a) oba vlastné zlomky;
b) súčasne nesprávne zlomky;
c) prirodzené čísla súčasne?

rozhodnutie:
a) Na odpoveď na prvú otázku použijeme príklad. Zlomok \(\frac(2)(3)\) je vlastný, jeho prevrátená hodnota sa bude rovnať \(\frac(3)(2)\) - nevlastný zlomok. odpoveď: nie.

b) takmer vo všetkých výpočtoch zlomkov táto podmienka nie je splnená, no sú čísla, ktoré zároveň spĺňajú podmienku, že ide o nevlastný zlomok. Napríklad nevlastný zlomok je \(\frac(3)(3)\) , jeho prevrátený zlomok je \(\frac(3)(3)\). Dostaneme dva nesprávne zlomky. Odpoveď: nie vždy za určitých podmienok, keď sú čitateľ a menovateľ rovnaký.

c) prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame pri počítaní napríklad 1, 2, 3, .... Ak vezmeme číslo \(3 = \frac(3)(1)\), tak jeho recipročné bude \(\frac(1)(3)\). Zlomok \(\frac(1)(3)\) nie je prirodzené číslo. Ak prejdeme cez všetky čísla, prevrátená je vždy zlomok, okrem 1. Ak vezmeme číslo 1, potom jeho prevrátená hodnota bude \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Číslo 1 je prirodzené číslo. Odpoveď: môžu to byť súčasne prirodzené čísla iba v jednom prípade, ak je toto číslo 1.

Príklad č. 6:
Vykonajte súčin zmiešaných frakcií: a) \(4 \krát 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krát 3\frac(2)(7)\ )

rozhodnutie:
a) \(4 \krát 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krát \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Príklad č. 7:
Môžu byť dve recipročné čísla súčasne zmiešané čísla?

Pozrime sa na príklad. Zoberme si zmiešaný zlomok \(1\frac(1)(2)\), nájdime jeho recipročný zlomok, preto ho preložíme na nesprávny zlomok \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Jeho recipročná hodnota sa bude rovnať \(\frac(2)(3)\) . Zlomok \(\frac(2)(3)\) je vlastný zlomok. Odpoveď: Dva vzájomne inverzné zlomky nemôžu byť súčasne zmiešanými číslami.