Considere cualquier línea l (curva o línea quebrada) que se encuentra en un cierto plano (Fig. 386, a, b), y un punto arbitrario M que no se encuentra en este plano. Todas las rectas posibles que conectan el punto M con todos los puntos de la recta forman una superficie a; tal superficie se llama superficie cónica, un punto es un vértice, una línea se llama guía, las líneas rectas son generadores. En la fig. 386 no limitamos la superficie a su parte superior, pero imagina que se extiende indefinidamente a ambos lados de la parte superior.
Si la superficie cónica es cortada por algún plano paralelo al plano de la guía, entonces en la sección obtenemos una línea (curva o línea quebrada, según sea curva o línea quebrada), homotética a la línea l, con el centro de homotecia en la parte superior de la superficie cónica. De hecho, la proporción de cualquier segmento de línea correspondiente será constante:
Entonces, las secciones de una superficie cónica por planos paralelos al plano de la guía son similares y están ubicadas de manera similar, con el centro de similitud en la parte superior de la superficie cónica; lo mismo es cierto para cualquier plano paralelo que no pase por un vértice de superficie.
Ahora permita que la guía sea una línea convexa cerrada (curva en la Fig. 387, a, línea discontinua en la Fig. 387, b). Un cuerpo limitado lateralmente por una superficie cónica tomada entre su vértice y el plano de la guía, y una base plana en el plano de la guía, se llama cono (si es una línea curva) o pirámide (si es una línea). linea rota).
Las pirámides se clasifican según el número de lados del polígono que se encuentra en su base. Se habla de pirámides triangulares, cuadrangulares y generalmente angulares. Tenga en cuenta que la pirámide de carbón tiene una cara: caras laterales y una base. En la parte superior de la pirámide, tenemos un ángulo -édrico con ángulos planos y diedros.
Se denominan respectivamente ángulos de vértice plano y ángulos diédricos en los bordes laterales. En la parte superior de la base tenemos ángulos triédricos; sus ángulos llanos formados por los lados, aristas y lados de la base se llaman ángulos llanos en la base, los ángulos diedros entre las caras laterales y el plano de la base se llaman ángulos diedros en la base.
Una pirámide triangular también se llama tetraedro (es decir, un tetraedro). Cualquiera de sus caras puede tomarse como base.
Una pirámide se llama regular si se cumplen dos condiciones: 1) un polígono regular se encuentra en la base de la pirámide,
2) la altura bajada desde la parte superior de la pirámide hasta la base la intersecta en el centro de este polígono (en otras palabras, la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro de la base).
¡Tenga en cuenta que una pirámide regular no es, en términos generales, un poliedro regular!
Observamos algunas propiedades de una pirámide de carbón regular. Dibujemos la altura SO a través de la parte superior de dicha pirámide (Fig. 388).
Giremos toda la pirámide como un todo alrededor de esta altura en un ángulo Con tal rotación, el polígono base se convertirá en sí mismo: cada uno de sus vértices tomará la posición del vecino. La parte superior de la pirámide y su altura (¡eje de rotación!) permanecerán en su lugar, y por lo tanto la pirámide en su conjunto se combinará consigo misma: cada borde lateral irá al siguiente, cada cara lateral se combinará con el siguiente, cada ángulo diedro en el borde lateral también se combinará con el vecino.
De ahí la conclusión: todas las aristas laterales son iguales entre sí, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales, todos los ángulos diedros en la base son iguales, todos los ángulos planos en la parte superior son iguales, todos los ángulos planos en la base son iguales.
Del número de conos en el curso de la geometría elemental, estudiamos un cono circular recto, es decir, un cono cuya base es un círculo, y cuyo vértice se proyecta en el centro de este círculo.
Un cono circular recto se muestra en la fig. 389. Si dibujamos la altura SO a través del vértice de un cono y giramos el cono alrededor de esta altura en un ángulo arbitrario, entonces la circunferencia de la base se deslizará por sí misma; la altura y el vértice permanecerán en su lugar, por lo que cuando se gira en cualquier ángulo, el cono se alineará consigo mismo. De esto se puede ver, en particular, que todos los generadores del cono son iguales entre sí y están igualmente inclinados con respecto al plano de la base. Las secciones del cono por planos que pasen por su altura serán triángulos isósceles iguales entre sí. El cono completo se obtiene girando el triángulo rectángulo SOA alrededor de su cateto (que se convierte en la altura del cono). Por lo tanto, un cono circular recto es un cuerpo de revolución y también se le llama cono de revolución. A menos que se indique lo contrario, por brevedad de ahora en adelante simplemente diremos "cono", queriendo decir con esto un cono de revolución.
Las secciones de un cono por planos paralelos al plano de su base son círculos (aunque sólo sea porque son homotéticos al círculo de la base).
Tarea. Los ángulos diedros en la base de una pirámide triangular regular son a. Encuentra los ángulos diedros en los bordes laterales.
Decisión. Designemos temporalmente el lado de la base de la pirámide como a. Dibujemos una sección de la pirámide por un plano que contenga su altura SO y la mediana de la base AM (Fig. 390).
Un cono (más precisamente, un cono circular) es un cuerpo que consta de un círculo, la base del cono, un punto que no se encuentra en el plano de este círculo, la parte superior del cono y todos los segmentos que conectan la parte superior de el cono con las puntas de la base (Fig. 1) Los segmentos que conectan la parte superior del cono con las puntas de la circunferencia de la base, se llaman generatrices, del cono. Todos los generadores del cono son iguales entre sí. La superficie del cono consta de una base y una superficie lateral.
Arroz. uno
Un cono se dice recto si la línea que une el vértice del cono con el centro de la base es perpendicular al plano de la base. Visualmente, un cono circular recto puede imaginarse como un cuerpo obtenido al girar un triángulo rectángulo alrededor de su cateto como eje (Fig. 2).
Arroz. 2
La altura de un cono es la perpendicular que cae desde su parte superior hasta el plano base. Para un cono recto, la base de la altura coincide con el centro de la base. El eje de un cono circular recto se llama línea recta que contiene su altura.
La sección de un cono por un plano que pasa por su vértice es un triángulo isósceles, en el que los lados son generadores del cono (Fig. 3). En particular, un triángulo isósceles es una sección axial de un cono. Esta es una sección que pasa por el eje del cono (Fig. 4).
Arroz. figura 3 4
superficie del cono
La superficie lateral del cono, así como la superficie lateral del cilindro, se pueden convertir en un plano cortándolo a lo largo de uno de los generadores (Fig. 2, a, b). El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector circular (Fig. 2.6), cuyo radio es igual a la generatriz del cono, y la longitud del arco del sector es la circunferencia de la base del cono. .
El área de su desarrollo se toma como el área de la superficie lateral del cono. Expresamos el área Slado de la superficie lateral del cono a través de su generatriz l y el radio de la base r.
El área del sector circular - el desarrollo de la superficie lateral del cono (Fig. 2) - es igual a (Pl2a) / 360, donde a es la medida en grados del arco ABA", por lo tanto
Sbok \u003d (Pl2a) / 360. (*)
Expresemos a en términos de l y r. Dado que la longitud del arco ABA "es igual a 2Pr (la circunferencia de la base del cono), entonces 2Pr \u003d Pla / 180, de donde \u003d 360r / l. Sustituyendo esta expresión en la fórmula (*), obtenemos:
Slado = Prl. (**)
Así, el área de la superficie lateral del cono es igual al producto de la mitad de la circunferencia de la base y la generatriz.
El área total de la superficie de un cono es la suma de las áreas de la superficie lateral y la base. Para calcular el área Scon de la superficie completa del cono, se obtiene la fórmula: Scon \u003d Pr (l + r). (***)
Tronco
Tome un cono arbitrario y dibuje un plano de corte perpendicular a su eje. Este plano se cruza con el cono en un círculo y divide el cono en dos partes. Una de las partes es un cono y la otra se llama cono truncado. La base del cono original y el círculo obtenido en la sección de este cono por un plano se llaman bases del cono truncado, y el segmento que une sus centros se llama altura del cono truncado.
La parte de la superficie cónica que delimita el cono truncado se denomina superficie lateral, y los segmentos de la generatriz de la superficie cónica encerrados entre las bases se denominan generadores del cono truncado. Todos los generadores de cono truncado son iguales entre sí (pruébalo tú mismo).
El área de la superficie lateral de un cono truncado es igual al producto de la mitad de la suma de las circunferencias de las bases y la generatriz: Sside \u003d P (r + r1) l.
Información adicional sobre el cono
1. En geología, existe el concepto de "cono de remoción". Esta es una forma de relieve formada por una acumulación de rocas clásticas (guijarros, grava, arena) arrastradas por los ríos de montaña a una llanura de piedemonte oa un valle más plano y ancho.
2. En biología, existe el concepto de "cono de crecimiento". Esta es la parte superior del brote y la raíz de las plantas, que consiste en células del tejido educativo.
3. "Conos" es una familia de moluscos marinos de la subclase de las branquias anteriores. El caparazón es cónico (2–16 cm), de colores brillantes. Hay más de 500 tipos de conos. Viven en los trópicos y subtrópicos, son depredadores, tienen una glándula venenosa. La picadura de los conos es muy dolorosa. Muertes conocidas. Las conchas se utilizan como decoración y souvenirs.
4. Según las estadísticas de la Tierra, 6 personas por 1 millón de habitantes mueren anualmente por descargas de rayos (más a menudo en los países del sur). Esto no sucedería si hubiera pararrayos por todas partes, ya que se forma un cono de seguridad. Cuanto más alto sea el pararrayos, mayor será el volumen de dicho cono. Algunas personas intentan esconderse de las descargas debajo de un árbol, pero el árbol no es un conductor, las cargas se acumulan en él y el árbol puede ser una fuente de voltaje.
5. En física, existe el concepto de "ángulo sólido". Esta es una esquina cónica tallada en la pelota. La unidad de ángulo sólido es 1 estereorradián. 1 estereorradián es un ángulo sólido cuyo cuadrado de radio es igual al área de la parte de la esfera que recorta. Si se coloca una fuente de luz de 1 candela (1 vela) en esta esquina, obtenemos un flujo luminoso de 1 lumen. La luz de una cámara de cine, un reflector, se esparce en forma de cono.
Cono (del griego "konos")- Cono de pino. El cono ha sido familiar para la gente desde la antigüedad. En 1906, se descubrió el libro "Sobre el método", escrito por Arquímedes (287-212 aC), en este libro se da una solución al problema del volumen de la parte común de los cilindros que se cortan. Arquímedes dice que este descubrimiento pertenece al antiguo filósofo griego Demócrito (470-380 aC), quien, utilizando este principio, obtuvo fórmulas para calcular el volumen de una pirámide y un cono.
Cono (cono circular) - un cuerpo que consiste en un círculo - la base del cono, un punto que no pertenece al plano de este círculo - la parte superior del cono y todos los segmentos que conectan la parte superior del cono y la base puntos circulares. Los segmentos que conectan la parte superior del cono con los puntos del círculo de la base se llaman generadores del cono. La superficie del cono consta de una base y una superficie lateral.
Un cono se dice recto si la línea que une el vértice del cono con el centro de la base es perpendicular al plano de la base. Un cono circular recto puede considerarse como un cuerpo obtenido al girar un triángulo rectángulo alrededor de su cateto como eje.
La altura de un cono es la perpendicular trazada desde su parte superior al plano de su base. Para un cono recto, la base de la altura coincide con el centro de la base. El eje de un cono recto es una línea recta que contiene su altura.
La sección de un cono por un plano que pasa por la generatriz del cono y perpendicular a la sección axial trazada por esta generatriz se llama plano tangente del cono.
Un plano perpendicular al eje del cono interseca al cono en un círculo, y la superficie lateral en un círculo centrado en el eje del cono.
Un plano perpendicular al eje del cono corta un cono más pequeño. El resto se llama cono truncado.
El volumen de un cono es igual a un tercio del producto de la altura por el área de la base. Así, todos los conos que descansan sobre una base dada y que tienen un vértice situado en un plano dado paralelo a la base tienen el mismo volumen, ya que sus alturas son iguales.
El área de la superficie lateral de un cono se puede encontrar usando la fórmula:
Lado S \u003d πRl,
El área de superficie total del cono se encuentra mediante la fórmula:
S con \u003d πRl + πR 2,
donde R es el radio de la base, l es la longitud de la generatriz.
El volumen de un cono circular es
V = 1/3 πR 2 H,
donde R es el radio de la base, H es la altura del cono
El área de la superficie lateral de un cono truncado se puede encontrar mediante la fórmula:
Lado S = π(R + r)l,
El área de superficie total de un cono truncado se puede encontrar usando la fórmula:
S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
donde R es el radio de la base inferior, r es el radio de la base superior, l es la longitud de la generatriz.
El volumen de un cono truncado se puede encontrar de la siguiente manera:
V = 1/3 πH(R 2 + Rr + r 2),
donde R es el radio de la base inferior, r es el radio de la base superior, H es la altura del cono.
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Definiciones:
Definición 1. Cono
Definición 2. Cono circular
Definición 3. Altura del cono
Definición 4. Cono recto
Definición 5. Cono circular recto
Teorema 1. Generadores de un cono
Teorema 1.1. Sección axial del cono
Volumen y área:
Teorema 2. Volumen de un cono
Teorema 3. El área de la superficie lateral del cono.
Frusto:
Teorema 4. Sección paralela a la base
Definición 6. Cono truncado
Teorema 5. Volumen de un cono truncado
Teorema 6. Área de la superficie lateral de un cono truncado
Definición
Un cuerpo limitado por los lados por una superficie cónica tomada entre su parte superior y el plano de la guía, y la base plana de la guía formada por una curva cerrada, se llama cono.
Conceptos básicos
Un cono circular es un cuerpo que consta de un círculo (base), un punto que no se encuentra en el plano de la base (parte superior) y todos los segmentos que conectan la parte superior con los puntos de la base. 
Un cono recto es un cono cuya altura contiene el centro de la base del cono como su base.
Considere cualquier línea (curva, quebrada o mixta) (por ejemplo, yo) que se encuentra en algún plano, y un punto arbitrario (por ejemplo, M) que no se encuentra en este plano. Todas las líneas posibles que conectan el punto M con todos los puntos de la línea dada yo, forma superficie llamada canónica. El punto M es el vértice de tal superficie, y la línea dada yo - guía. Todas las líneas que conectan el punto M con todos los puntos de la línea yo, llamado generando. Una superficie canónica no está limitada por su vértice o guía. Se extiende indefinidamente a ambos lados de la cumbre. Ahora deja que la guía sea una línea convexa cerrada. Si la guía es una línea quebrada, entonces el cuerpo delimitado lateralmente por una superficie canónica tomada entre su vértice y el plano de la guía, y una base plana en el plano de la guía, se llama pirámide.
Si la guía es una curva o una línea mixta, entonces el cuerpo limitado lateralmente por una superficie canónica tomada entre su parte superior y el plano de la guía, y una base plana en el plano de la guía, se llama cono o
Definición 1
. Un cono es un cuerpo que consta de una base, una figura plana limitada por una línea cerrada (curva o mixta), un vértice, un punto que no se encuentra en el plano de la base, y todos los segmentos que conectan el vértice con todos los puntos posibles. de la base
Todas las rectas que pasan por el vértice del cono y por cualquiera de los puntos de la curva que delimita la figura de la base del cono se llaman generadoras del cono. La mayoría de las veces, en problemas geométricos, una generatriz de una línea recta significa un segmento de esta línea recta encerrado entre la parte superior y el plano de la base del cono.
El fondo de una línea mixta limitada es un caso muy raro. Se enumera aquí solo porque se puede considerar en geometría. El caso con una guía curva se considera más a menudo. Aunque, que el caso con una curva arbitraria, que el caso con una guía mixta, es de poca utilidad y es difícil derivar regularidades en ellos. Del número de conos en el curso de geometría elemental, se estudia un cono circular recto.
Se sabe que un círculo es un caso especial de una línea curva cerrada. Un círculo es una figura plana limitada por un círculo. Tomando un círculo como guía, puedes definir un cono circular.
Definición 2
. Un cono circular es un cuerpo que consta de un círculo (base), un punto que no se encuentra en el plano de la base (parte superior) y todos los segmentos que conectan la parte superior con los puntos de la base.
Definición 3
. La altura del cono es la perpendicular caída desde la parte superior hasta el plano de la base del cono. Es posible destacar un cono, cuya altura cae en el centro de la figura plana de la base.
Definición 4
. Un cono recto es un cono cuya altura contiene el centro de la base del cono como su base.
Si conectamos estas dos definiciones, obtenemos un cono, cuya base es un círculo, y la altura cae en el centro de este círculo.
Definición 5
. Un cono circular recto es un cono cuya base es un círculo, y su altura conecta la parte superior y el centro de la base de este cono. Tal cono se obtiene girando un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. Por lo tanto, un cono circular recto es un cuerpo de revolución y también se le llama cono de revolución. A menos que se indique lo contrario, por brevedad en lo que sigue, simplemente decimos un cono.
Así que aquí hay algunas propiedades del cono:
Teorema 1.
Todos los generadores del cono son iguales. Prueba. La altura del MO es perpendicular a todas las líneas de la base por definición, perpendicular a la línea al plano. Por lo tanto, los triángulos MOA, MOV y MOS son rectangulares y son iguales en dos patas (MO - general, OA \u003d OB \u003d OS - radios base. Por lo tanto, las hipotenusas, es decir, los generadores, también son iguales.
El radio de la base de un cono a veces se llama radio del cono. La altura de un cono también se llama eje del cono, por lo que cualquier sección que pase por una altura se llama sección axial. Cualquier sección axial interseca a la base en diámetro (ya que la línea recta a lo largo de la cual se intersecan la sección axial y el plano de la base pasa por el centro del círculo) y forma un triángulo isósceles.
Teorema 1.1.
La sección axial del cono es un triángulo isósceles. Entonces el triángulo AMB es isósceles, porque. sus dos lados MB y MA son generadores. El ángulo AMB es el ángulo en el vértice de la sección axial.
Hoy te contaremos cómo encontrar la generatriz de un cono, que a menudo se requiere en los problemas de geometría escolar.
El concepto de generatriz de un cono.
Un cono recto es una figura que resulta de la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La base del cono forma un círculo. La sección vertical del cono es un triángulo, la sección horizontal es un círculo. La altura de un cono es el segmento que conecta la parte superior del cono con el centro de la base. La generatriz de un cono es un segmento que une el vértice del cono con cualquier punto de la línea de la circunferencia de la base.
Dado que el cono está formado por la rotación de un triángulo rectángulo, resulta que el primer cateto de dicho triángulo es la altura, el segundo es el radio del círculo que se encuentra en la base y la generatriz del cono será el hipotenusa. Es fácil adivinar que el teorema de Pitágoras es útil para calcular la longitud de la generatriz. Y ahora más sobre cómo encontrar la longitud de la generatriz del cono.
Encontrar una generatriz
La forma más fácil de entender cómo encontrar una generatriz es usar un ejemplo específico. Supongamos que se dan las siguientes condiciones del problema: la altura es de 9 cm, el diámetro del círculo base es de 18 cm, es necesario encontrar la generatriz.
Entonces, la altura del cono (9 cm) es uno de los catetos del triángulo rectángulo, con la ayuda de la cual se formó este cono. El segundo tramo será el radio del círculo base. El radio es la mitad del diámetro. Así, dividimos el diámetro que nos dieron por la mitad y obtenemos la longitud del radio: 18:2 = 9. El radio es 9.
Ahora es muy fácil encontrar la generatriz del cono. Como es la hipotenusa, el cuadrado de su longitud será igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, la suma de los cuadrados del radio y la altura. Entonces, el cuadrado de la longitud de la generatriz \u003d 64 (el cuadrado de la longitud del radio) + 64 (el cuadrado de la longitud de la altura) \u003d 64x2 \u003d 128. Ahora extraemos la raíz cuadrada de 128 Como resultado, obtenemos ocho raíces de dos. Esta será la generatriz del cono.
Como puede ver, no hay nada complicado en esto. Por ejemplo, tomamos condiciones simples del problema, pero en un curso escolar pueden ser más complicadas. Recuerda que para calcular la longitud de la generatriz, necesitas averiguar el radio del círculo y la altura del cono. Conociendo estos datos, es fácil encontrar la longitud de la generatriz.
