La fórmula para calcular la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta. Propiedades de la esperanza matemática. Expectativa matemática al jugar al póquer

Capítulo 6

Características numéricas de las variables aleatorias

Esperanza matemática y sus propiedades.

Para resolver muchos problemas prácticos, no siempre es necesario conocer todos los valores posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades. Además, a veces simplemente se desconoce la ley de distribución de la variable aleatoria en estudio. Sin embargo, es necesario resaltar algunas características de esta variable aleatoria, es decir, características numéricas.

Características numéricas- estos son algunos números que caracterizan ciertas propiedades, características distintivas de una variable aleatoria.

Por ejemplo, el valor medio de una variable aleatoria, la dispersión media de todos los valores de una variable aleatoria alrededor de su media, etc. El objetivo principal de las características numéricas es expresar de forma concisa las características más importantes de la distribución de la variable aleatoria en estudio. Las características numéricas en la teoría de la probabilidad juegan un papel muy importante. Ayudan a resolver, incluso sin conocimiento de las leyes de distribución, muchos problemas prácticos importantes.

Entre todas las características numéricas, en primer lugar, destacamos características del puesto. Estas son características que fijan la posición de una variable aleatoria en el eje numérico, es decir un determinado valor medio, en torno al cual se agrupan los restantes valores de la variable aleatoria.

De las características de la posición, la expectativa matemática juega el papel más importante en la teoría de la probabilidad.

Valor esperado a veces referido simplemente como el valor medio de una variable aleatoria. Es una especie de centro de distribución.

Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta

Considere primero el concepto de expectativa matemática para una variable aleatoria discreta.

Antes de introducir una definición formal, resolvemos el siguiente problema simple.

Ejemplo 6.1. Deje que un tirador dispare 100 tiros a un objetivo. Como resultado, se obtuvo la siguiente imagen: 50 disparos - golpeando el "ocho", 20 disparos - golpeando el "nueve" y 30 - golpeando el "diez". ¿Cuál es el puntaje promedio por disparo?

Decisión de este problema es obvio y se reduce a encontrar el valor promedio de 100 números, es decir, puntos.

Transformamos la fracción dividiendo el numerador por el denominador término a término, y representamos el valor promedio en la forma de la siguiente fórmula:

Supongamos ahora que el número de puntos en un tiro son los valores de alguna variable aleatoria discreta X. Está claro a partir de la condición del problema que X 1 =8; X 2 =9; X 3=10. Se conocen las frecuencias relativas de ocurrencia de estos valores que, como se sabe, son aproximadamente iguales a las probabilidades de los valores correspondientes para una gran cantidad de pruebas, es decir R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈0.3. Tan, . El valor del lado derecho es la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.

Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta X es la suma de los productos de todos sus valores posibles y las probabilidades de estos valores.

Sea una variable aleatoria discreta X dada por su serie de distribución:

Entonces la expectativa matemática METRO(X) de una variable aleatoria discreta se determina mediante la siguiente fórmula:

Si una variable aleatoria discreta toma un conjunto infinito de valores contables, entonces la expectativa matemática se expresa mediante la fórmula:

,

además, la esperanza matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.

Ejemplo 6.2 . Encuentre la expectativa matemática de ganar X en las condiciones del ejemplo 5.1.

Decisión . Recuerde que la serie de distribución X tiene la siguiente forma:

Conseguir METRO(X)=0∙0.7+10∙0.2+50∙0.1=7. Obviamente, 7 rublos es el precio justo de un boleto en esta lotería, sin varios costos, por ejemplo, asociados con la distribución o producción de boletos. ■

Ejemplo 6.3 . Sea la variable aleatoria X es el número de ocurrencias de algún evento PERO en una prueba. La probabilidad de este evento es R. Encontrar METRO(X).

Decisión. Obviamente, los posibles valores de la variable aleatoria son: X 1 =0 - evento PERO no apareció y X 2 =1 – evento PERO apareció. La serie de distribución tiene la forma:

Entonces METRO(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■

Entonces, la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en una prueba es igual a la probabilidad de este evento.

Al inicio del párrafo se planteó un problema específico, donde se indicó la relación entre la expectativa matemática y el valor promedio de una variable aleatoria. Expliquemos esto de manera general.

dejar producido k pruebas en las que la variable aleatoria X aceptado k 1 valor de tiempo X 1 ; k 2 veces el valor X 2 etc y finalmente kn valor de veces x norte Es obvio que k 1 +k 2 +…+kn = k. Encontremos la media aritmética de todos estos valores, tenemos

Tenga en cuenta que la fracción es la frecuencia relativa de ocurrencia del valor x yo en k pruebas Con un gran número de intentos, la frecuencia relativa es aproximadamente igual a la probabilidad, es decir . De ahí se sigue que

.

Por lo tanto, la expectativa matemática es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria, y cuanto más preciso sea, mayor será el número de intentos, esto es significado probabilístico de la esperanza matemática.

La expectativa matemática a veces se llama centro distribución de una variable aleatoria, ya que es obvio que los posibles valores de una variable aleatoria se ubican en el eje numérico a la izquierda y a la derecha de su expectativa matemática.

Pasemos ahora al concepto de expectativa matemática para una variable aleatoria continua.

Variable aleatoria se denomina variable a la que, como resultado de cada prueba, toma un valor previamente desconocido, dependiendo de causas aleatorias. Las variables aleatorias se denotan con letras latinas mayúsculas: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Por su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto y continuo.

Variable aleatoria discreta- esta es una variable tan aleatoria, cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Contabilidad significa que los valores de una variable aleatoria se pueden enumerar.

Ejemplo 1 . Pongamos ejemplos de variables aleatorias discretas:

a) el número de aciertos en el blanco con $n$ tiros, aquí los posibles valores son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) la cantidad de escudos que cayeron al lanzar una moneda, aquí los posibles valores son $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) el número de barcos que llegaron a bordo (un conjunto contable de valores).

d) el número de llamadas que llegan a la central (un conjunto contable de valores).

1. Ley de distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

Una variable aleatoria discreta $X$ puede tomar los valores $x_1,\dots ,\ x_n$ con probabilidades $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama ley de distribución de una variable aleatoria discreta. Como regla general, esta correspondencia se especifica mediante una tabla, en la primera línea de la cual se indican los valores de $x_1,\dots,\x_n$, y en la segunda línea, las probabilidades correspondientes a estos valores son $ p_1,\puntos,\p_n$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \puntos & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \puntos & p_n \\
\hline
\end(matriz)$

Ejemplo 2 . Sea la variable aleatoria $X$ el número de puntos obtenidos cuando se lanza un dado. Tal variable aleatoria $X$ puede tomar los siguientes valores $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Las probabilidades de todos estos valores son iguales a $1/6$. Entonces la ley de distribución de probabilidad para la variable aleatoria $X$:

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(matriz)$

Comentario. Dado que los eventos $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ forman un grupo completo de eventos en la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$, la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $\sum( p_i)=1$.

2. Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta.

Esperanza matemática de una variable aleatoria especifica su valor "central". Para una variable aleatoria discreta, la expectativa matemática se calcula como la suma de los productos de los valores $x_1,\dots,\x_n$ y las probabilidades $p_1,\dots,\p_n$ correspondientes a estos valores, es decir: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. En la literatura inglesa, se usa otra notación $E\left(X\right)$.

Propiedades de expectativa$M\izquierda(X\derecha)$:

1. $M\left(X\right)$ está entre los valores más pequeño y más grande de la variable aleatoria $X$.
2. La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $M\izquierda(C\derecha)=C$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de expectativa: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Ejemplo 3 . Encontremos la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\sobre (6))=3.5.$$

Podemos notar que $M\left(X\right)$ está entre los valores más pequeños ($1$) y más grandes ($6$) de la variable aleatoria $X$.

Ejemplo 4 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=2$. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $3X+5$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cpunto 2 +5=11$.

Ejemplo 5 . Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $X$ es igual a $M\left(X\right)=4$. Encuentre la esperanza matemática de la variable aleatoria $2X-9$.

Usando las propiedades anteriores, obtenemos $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cpunto 4 -9=-1$.

3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.

Los valores posibles de variables aleatorias con expectativas matemáticas iguales pueden dispersarse de manera diferente alrededor de sus valores promedio. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes, el puntaje promedio para el examen de teoría de la probabilidad resultó ser 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos estudiantes, y en el otro grupo, solo estudiantes C y estudiantes excelentes. Por lo tanto, existe la necesidad de una característica numérica de una variable aleatoria que muestre la dispersión de los valores de una variable aleatoria en torno a su expectativa matemática. Esta característica es la dispersión.

Dispersión de una variable aleatoria discreta$X$ es:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

En la literatura inglesa, se usa la notación $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Muy a menudo, la varianza $D\left(X\right)$ se calcula mediante la fórmula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ izquierda(X \derecha)\derecha))^2$.

Propiedades de dispersión$D\izquierda(X\derecha)$:

1. La dispersión siempre es mayor o igual a cero, es decir $D\izquierda(X\derecha)\ge 0$.
2. La dispersión de una constante es igual a cero, es decir $D\izquierda(C\derecha)=0$.
3. El factor constante se puede sacar del signo de dispersión, siempre que esté elevado al cuadrado, es decir $D\izquierda(CX\derecha)=C^2D\izquierda(X\derecha)$.
4. La varianza de la suma de las variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\izquierda(X+Y\derecha)=D\izquierda(X\derecha)+D\izquierda(Y\derecha)$.
5. La varianza de la diferencia de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $D\izquierda(X-Y\derecha)=D\izquierda(X\derecha)+D\izquierda(Y\derecha)$.

Ejemplo 6 . Calculemos la varianza de la variable aleatoria $X$ del ejemplo $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Ejemplo 7 . Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $X$ es igual a $D\left(X\right)=2$. Encuentra la varianza de la variable aleatoria $4X+1$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ izquierda(X\derecha)=16\cdot 2=32$.

Ejemplo 8 . Se sabe que la varianza de $X$ es igual a $D\left(X\right)=3$. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $3-2X$.

Usando las propiedades anteriores, encontramos $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ izquierda(X\derecha)=4\cdot 3=12$.

4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.

El método de representación de una variable aleatoria discreta en forma de serie de distribución no es el único y, lo que es más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.

función de distribución variable aleatoria $X$ es la función $F\left(x\right)$, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome un valor menor que algún valor fijo $x$, es decir, $F\left(x\ derecha)$ )=P\izquierda(X< x\right)$

Propiedades de la función de distribución:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. La probabilidad de que la variable aleatoria $X$ tome valores del intervalo $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo : $P\izquierda(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - no decreciente.
4. $(\mahop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mahop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \derecho)=1\ )$.

Ejemplo 9 . Busquemos la función de distribución $F\left(x\right)$ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $X$ del ejemplo $2$.

$\begin(matriz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matriz)$

Si $x\le 1$, entonces obviamente $F\left(x\right)=0$ (incluyendo $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

si $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

si $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

si $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

si $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

si $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Si $x > 6$ entonces $F\izquierda(x\derecha)=P\izquierda(X=1\derecha)+P\izquierda(X=2\derecha)+P\izquierda(X=3\derecha) + P\izquierda(X=4\derecha)+P\izquierda(X=5\derecha)+P\izquierda(X=6\derecha)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Entonces $F(x)=\left\(\begin(matriz)
0,\ en\ x\le 1,\\
1/6, en \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ en\ 2< x\le 3,\\
1/2, en \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ en\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ en \ 4< x\le 5,\\
1,\ para \x > 6.
\end(matriz)\right.$

El concepto de expectativa matemática se puede considerar usando el ejemplo de lanzar un dado. Con cada lanzamiento, se registran los puntos perdidos. Para expresarlos se utilizan valores naturales en el rango 1 - 6.

Después de un cierto número de lanzamientos, usando cálculos simples, puedes encontrar la media aritmética de los puntos que han caído.

Además de descartar cualquiera de los valores del rango, este valor será aleatorio.

¿Y si aumentas el número de lanzamientos varias veces? Con una gran cantidad de lanzamientos, el valor medio aritmético de los puntos se aproximará a un número específico, que en la teoría de la probabilidad se denomina esperanza matemática.

Entonces, la expectativa matemática se entiende como el valor promedio de una variable aleatoria. Este indicador también puede presentarse como una suma ponderada de valores probables.

Este concepto tiene varios sinónimos:

• significar;
• valor promedio;
• indicador de tendencia central;
• primer momento.

En otras palabras, no es más que un número alrededor del cual se distribuyen los valores de una variable aleatoria.

En varias esferas de la actividad humana, los enfoques para comprender la expectativa matemática serán algo diferentes.

Se puede ver como:

• el beneficio promedio recibido por la adopción de una decisión, en el caso en que tal decisión se considere desde el punto de vista de la teoría de los grandes números;
• la cantidad posible de ganar o perder (teoría del juego), calculada en promedio para cada una de las apuestas. En la jerga, suenan como "ventaja del jugador" (positivo para el jugador) o "ventaja del casino" (negativo para el jugador);
• porcentaje de beneficio recibido de las ganancias.

La expectativa matemática no es obligatoria para absolutamente todas las variables aleatorias. Está ausente para los que tienen discrepancia en la suma o integral correspondiente.

Propiedades de expectativa

Como cualquier parámetro estadístico, la expectativa matemática tiene las siguientes propiedades:

Fórmulas básicas para la esperanza matemática

El cálculo de la esperanza matemática se puede realizar tanto para variables aleatorias caracterizadas tanto por la continuidad (fórmula A) como por la discreción (fórmula B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, donde xi son los valores de la variable aleatoria, pi son las probabilidades:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, donde f(x) es una densidad de probabilidad dada.

Ejemplos de cálculo de la esperanza matemática

Ejemplo A.

¿Es posible averiguar la altura promedio de los gnomos en el cuento de hadas sobre Blancanieves? Se sabe que cada uno de los 7 gnomos tenía una altura determinada: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 y 0,81 m.

El algoritmo de cálculo es bastante simple:

• encuentre la suma de todos los valores del indicador de crecimiento (variable aleatoria):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• La cantidad resultante se divide por el número de gnomos:
  6,31:7=0,90.

Por lo tanto, la altura promedio de los gnomos en un cuento de hadas es de 90 cm, en otras palabras, esta es la expectativa matemática del crecimiento de los gnomos.

Fórmula de trabajo - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0.5 \u003d 6

Implementación práctica de la expectativa matemática.

Se recurre al cálculo de un indicador estadístico de expectativa matemática en varios campos de la actividad práctica. En primer lugar, estamos hablando del ámbito comercial. De hecho, la introducción de este indicador por parte de Huygens está relacionada con la determinación de las posibilidades que pueden ser favorables o, por el contrario, desfavorables, para algún evento.

Este parámetro es ampliamente utilizado para la evaluación de riesgos, especialmente cuando se trata de inversiones financieras.
Entonces, en los negocios, el cálculo de la expectativa matemática actúa como un método para evaluar el riesgo al calcular los precios.

Además, este indicador se puede utilizar a la hora de calcular la eficacia de determinadas medidas, por ejemplo, en materia de protección laboral. Gracias a él, puedes calcular la probabilidad de que ocurra un evento.

Otro ámbito de aplicación de este parámetro es la gestión. También se puede calcular durante el control de calidad del producto. Por ejemplo, usando mat. expectativas, puede calcular el número posible de piezas defectuosas de fabricación.

La expectativa matemática también es indispensable durante el procesamiento estadístico de los resultados obtenidos en el curso de la investigación científica. También le permite calcular la probabilidad de un resultado deseado o no deseado de un experimento o estudio, según el nivel de logro de la meta. Después de todo, su logro puede asociarse con ganancias y ganancias, y su no logro, como pérdida o pérdida.

Uso de la expectativa matemática en Forex

La aplicación práctica de este parámetro estadístico es posible al realizar transacciones en el mercado de divisas. Se puede utilizar para analizar el éxito de las transacciones comerciales. Además, un aumento en el valor de la expectativa indica un aumento en su éxito.

También es importante recordar que la expectativa matemática no debe considerarse como el único parámetro estadístico utilizado para analizar el desempeño de un comerciante. El uso de varios parámetros estadísticos junto con el valor promedio aumenta en ocasiones la precisión del análisis.

Este parámetro ha demostrado su eficacia en el seguimiento de las observaciones de las cuentas comerciales. Gracias a él, se realiza una evaluación rápida del trabajo realizado en la cuenta de depósito. En los casos en que la actividad del comerciante sea exitosa y evite pérdidas, no se recomienda usar solo el cálculo de la expectativa matemática. En estos casos, los riesgos no se tienen en cuenta, lo que reduce la eficacia del análisis.

Los estudios realizados sobre las tácticas de los comerciantes indican que:

• las más efectivas son las tácticas basadas en entradas aleatorias;
• las menos efectivas son las tácticas basadas en insumos estructurados.

Para lograr resultados positivos, es igualmente importante:

• tácticas de administración de dinero;
• estrategias de salida.

Usando un indicador como la expectativa matemática, podemos suponer cuál será la ganancia o la pérdida al invertir 1 dólar. Se sabe que este indicador, calculado para todos los juegos practicados en el casino, está a favor de la institución. Esto es lo que te permite ganar dinero. En el caso de una larga serie de juegos, la probabilidad de pérdida de dinero por parte del cliente aumenta significativamente.

Los juegos de los jugadores profesionales se limitan a pequeños períodos de tiempo, lo que aumenta las posibilidades de ganar y reduce el riesgo de perder. El mismo patrón se observa en el desempeño de las operaciones de inversión.

Un inversionista puede ganar una cantidad significativa con una expectativa positiva y una gran cantidad de transacciones en un corto período de tiempo.

La expectativa se puede considerar como la diferencia entre el porcentaje de ganancia (PW) por la ganancia promedio (AW) y la probabilidad de pérdida (PL) por la pérdida promedio (AL).

Como ejemplo, considere lo siguiente: posición - 12,5 mil dólares, cartera - 100 mil dólares, riesgo por depósito - 1%. La rentabilidad de las transacciones es del 40% de los casos con una ganancia promedio del 20%. En caso de siniestro, la pérdida media es del 5%. Calcular la expectativa matemática para una operación da un valor de $625.

Decisión:

6.1.2 Propiedades de expectativa

1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma.

2. Se puede sacar un factor constante del signo de expectativa.

3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.

Esta propiedad es válida para un número arbitrario de variables aleatorias.

4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.

Esta propiedad también es cierta para un número arbitrario de variables aleatorias.

Ejemplo: M(X) = 5, MI)= 2. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria Z, aplicando las propiedades de la expectativa matemática, si se sabe que Z=2X + 3Y.

Decisión: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) la expectativa matemática de la suma es igual a la suma de las expectativas matemáticas

2) el factor constante se puede sacar del signo de expectativa

Sean realizadas n pruebas independientes, cuya probabilidad de ocurrencia del evento A en el cual es igual a p. A continuación, el siguiente teorema se cumple:

Teorema. La expectativa matemática M(X) del número de ocurrencias del evento A en n intentos independientes es igual al producto del número de intentos y la probabilidad de ocurrencia del evento en cada intento.

6.1.3 Dispersión de una variable aleatoria discreta

La expectativa matemática no puede caracterizar completamente un proceso aleatorio. Además de la expectativa matemática, debe ingresar un valor que caracterice la desviación de los valores de una variable aleatoria de la expectativa matemática.

Esta desviación es igual a la diferencia entre la variable aleatoria y su expectativa matemática. En este caso, la expectativa matemática de la desviación es cero. Esto se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, otras son negativas y, como resultado de su cancelación mutua, se obtiene cero.

Dispersión (dispersión) La variable aleatoria discreta se llama la expectativa matemática de la desviación al cuadrado de la variable aleatoria de su expectativa matemática.

En la práctica, este método de cálculo de la varianza es inconveniente, porque conduce a cálculos engorrosos para una gran cantidad de valores de una variable aleatoria.

Por lo tanto, se utiliza otro método.

Teorema. La varianza es igual a la diferencia entre la esperanza matemática del cuadrado de la variable aleatoria X y el cuadrado de su esperanza matemática.

Prueba. Teniendo en cuenta que la esperanza matemática M (X) y el cuadrado de la esperanza matemática M 2 (X) son valores constantes, podemos escribir:

Ejemplo. Encuentra la varianza de una variable aleatoria discreta dada por la ley de distribución.

Decisión: .

6.1.4 Propiedades de dispersión

1. La dispersión de un valor constante es cero. .

2. Se puede sacar un factor constante del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. .

3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .

4. La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. .

Teorema. La varianza del número de ocurrencias del evento A en n intentos independientes, en cada uno de los cuales la probabilidad p de ocurrencia del evento es constante, es igual al producto del número de intentos por las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia del evento en cada prueba.

Ejemplo: Encuentre la varianza de DSV X - el número de ocurrencias del evento A en 2 ensayos independientes, si la probabilidad de ocurrencia del evento en estos ensayos es la misma y se sabe que M(X) = 1.2.

Aplicamos el teorema de la Sección 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; norte= 2. Encuentra pag:

1,2 = 2∙pag

pag = 1,2/2

q = 1 – pag = 1 – 0,6 = 0,4

Encontremos la dispersión por la fórmula:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Desviación estándar de una variable aleatoria discreta

Desviación Estándar variable aleatoria X se llama la raíz cuadrada de la varianza.

(25)

Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias mutuamente independientes es igual a la raíz cuadrada de la suma de las desviaciones estándar al cuadrado de estas variables.

6.1.6 Moda y mediana de una variable aleatoria discreta

Moda M o DSV se llama el valor más probable de una variable aleatoria (es decir, el valor que tiene la probabilidad más alta)

Mediana M e DSW es el valor de una variable aleatoria que divide la serie de distribución por la mitad. Si el número de valores de la variable aleatoria es par, la mediana se encuentra como la media aritmética de los dos valores medios.

Ejemplo: encontrar la moda y la mediana de DSW X:

Me = = 5,5

Proceso de trabajo

1. Familiarícese con la parte teórica de este trabajo (conferencias, libro de texto).

2. Complete la tarea según su elección.

3. Compilar un informe sobre el trabajo.

4. Proteja su trabajo.

2. El objeto de la obra.

3. Avance de obra.

4. Decisión de su opción.

6.4 Variantes de tareas para trabajo independiente.

Opción número 1

1. Encuentre la expectativa matemática, la varianza, la desviación estándar, la moda y la mediana de DSV X dada por la ley de distribución.

2. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria Z, si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en dos ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (X) = 1.

4. Se da una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta X: x1 = 1, x2 = 2, x3= 5, y también se conocen las expectativas matemáticas de esta cantidad y su cuadrado: , . Encuentre las probabilidades , , , correspondientes a los posibles valores , , y elabore la ley de distribución de la DSW.

Opción número 2

2. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria Z, si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en tres ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (X) = 0.9.

4. Se da una lista de posibles valores de una variable aleatoria discreta X: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4= 10, y también se conocen las expectativas matemáticas de esta cantidad y su cuadrado: , . Encuentre las probabilidades , , , correspondientes a los posibles valores , , y elabore la ley de distribución de la DSW.

Opción número 3

1. Encuentre la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar del DSV X dada por la ley de distribución.

2. Encuentra la expectativa matemática de una variable aleatoria Z, si se conocen las expectativas matemáticas de X e Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Encuentre la varianza de DSV X: el número de ocurrencias del evento A en cuatro ensayos independientes, si las probabilidades de ocurrencia de eventos en estos ensayos son las mismas y se sabe que M (x) = 1.2.

1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma METRO(S)=S .
2. Se puede sacar un factor constante del signo de expectativa: M(CX)=CM(X)
3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: M(XY)=M(X) M(Y).
4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorema. La expectativa matemática M(x) del número de ocurrencias de los eventos A en n pruebas independientes es igual al producto de estas pruebas por la probabilidad de ocurrencia de eventos en cada prueba: M(x) = np.

Permitir X es una variable aleatoria y M(X) es su expectativa matemática. Considere como una nueva variable aleatoria la diferencia X-M(X).

La desviación es la diferencia entre una variable aleatoria y su expectativa matemática.

La desviación tiene la siguiente ley de distribución:

Solución: Encuentra la expectativa matemática:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Escribamos la ley de distribución de la desviación al cuadrado:

Solución: encuentre la expectativa M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

Escribamos la ley de distribución de la variable aleatoria X 2

Encontremos la expectativa matemática. M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

La dispersión deseada D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

Propiedades de dispersión:

1. Dispersión de un valor constante Con es igual a cero: D(C)=0
2. Se puede sacar un factor constante del signo de dispersión elevándolo al cuadrado. D(Cx)=C 2 D(x)
3. La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas de estas variables. D(X1 +X2 +...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn)
4. La varianza de la distribución binomial es igual al producto del número de ensayos y la probabilidad de ocurrencia y no ocurrencia de un evento en un ensayo D(X)=npq

Para estimar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio, además de la varianza, también sirven algunas otras características. Entre ellos se encuentra la desviación estándar.

La desviación estándar de una variable aleatoria X llamada raíz cuadrada de la varianza:

σ(X) = √D(X) (4)

Ejemplo. La variable aleatoria X viene dada por la ley de distribución

Encuentre la desviación estándar σ(x)

Solución: encuentre la expectativa matemática X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
Encontremos la expectativa matemática de X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Encuentre la dispersión: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6.4 2 =13.04
Desviación estándar deseada σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Teorema. La desviación estándar de la suma de un número finito de variables aleatorias independientes entre sí es igual a la raíz cuadrada de la suma de las desviaciones estándar al cuadrado de estas variables:

Ejemplo. Hay 3 libros de matemáticas y 3 de física en un estante de 6 libros. Se eligen tres libros al azar. Encuentre la ley de distribución del número de libros de matemáticas entre los libros seleccionados. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de esta variable aleatoria.

D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2.7 - 1.5 2 \u003d 0.45