10x - 5y - 3z = - 9,

6 x + 4 y - 5 z = - 1,3 x - 4 y - 6 z = - 23.

Igualamos los coeficientes en x en la primera y segunda ecuación, para ello multiplicamos ambas partes de la primera ecuación por 6, y la segunda ecuación por 10, obtenemos:

60x - 30 y - 18z = - 54,60x + 40 y - 50z = - 10.

Restamos de la segunda ecuación del sistema resultante la primera ecuación

obtenemos: 70 y - 32 z = 44, 35 y - 16 z = 22.

Restamos la tercera ecuación multiplicada por 2 de la segunda ecuación del sistema original, obtenemos: 4 y + 8 y − 5 z + 12 z = − 1 + 46,

12y + 7z = 45.

Ahora resolvemos un nuevo sistema de ecuaciones:

35y − 16z = 22,12y + 7z = 45.

A la primera ecuación del nuevo sistema, multiplicada por 7, le sumamos la segunda ecuación, multiplicada por 16, obtenemos:

35 7y + 12 16y = 22 7 + 45 16,

Ahora sustituimos y = 2, z = 3 en la primera ecuación del sistema original

temas, obtenemos: 10x - 5 2 - 3 3 = - 9, 10x - 10 - 9 = - 9, 10x = 10, x = 1.

Respuesta: (1; 2; 3) . ▲

§ 3. Solución de sistemas con un parámetro y con módulos.

hacha + 4y = 2a,

Considere el sistema de ecuaciones

x + ay = a.

Curso 2010-2011 año., No. 3, 8 celdas. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

En este sistema, de hecho, hay tres variables, a saber: a , x , y . Las incógnitas son x e y, y a se llama parámetro. Se requiere encontrar soluciones (x , y ) de este sistema para cada valor del parámetro a .

Mostremos cómo se resuelven tales sistemas. Expresemos la variable x a partir de la segunda ecuación del sistema: x = a − ay . Sustituimos este valor por x en la primera ecuación del sistema, obtenemos:

a (a − ay) + 4 y = 2 a,

(2 - un )(2 + un ) y = un (2 - un ) .

Si a = 2, entonces obtenemos la ecuación 0 y = 0. Cualquier número y satisface esta ecuación, y entonces x = 2 − 2 y , es decir, para a = 2, el par de números (2 − 2 y ; y ) es una solución al sistema. Como y puede ser

cualquier número, entonces el sistema para a = 2 tiene infinitas soluciones.

Si a = − 2, entonces obtenemos la ecuación 0 y = 8. Esta ecuación no tiene solución.

Respuesta: Para a = 2, el sistema tiene infinitas soluciones de la forma (2 − 2 y ; y ) , donde y es cualquier número;

Hemos resuelto este sistema y establecido para qué valores del parámetro a el sistema tiene una solución, cuándo tiene infinitas soluciones y para qué valores del parámetro a no tiene solución.

Ejemplo 1. Resolver el sistema de ecuaciones

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Curso 2010-2011 año., No. 3, 8 celdas. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Curso 2010-2011 año., No. 3, 8 celdas. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

Así, el sistema tiene dos soluciones (3;2) y 13 27 ; 13 8 . ▲

§ 4. Solución de problemas con la ayuda de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo 1. Un automóvil viaja de una ciudad a un pueblo en 2,5 horas. Si aumenta su velocidad en 20 km/h, en 2 horas recorrerá una distancia de 15 km más que la distancia de la ciudad al pueblo. Encuentra esta distancia.

Denote con S la distancia entre la ciudad y el pueblo y con V la velocidad del automóvil. Entonces, para encontrar S, obtenemos un sistema de dos ecuaciones

2,5 V = S

(V + 20) 2 = S + 15.

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

Curso 2010-2011 año., No. 3, 8 celdas. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

Respuesta: 125 km. ▲

Ejemplo 2. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 15. Si estos dígitos se intercambian, obtienes un número que es 27 más que el original. Encuentra estos números.

Sea el número dado ab , es decir el número de decenas es a, y el número de unidades es b. De la primera condición del problema tenemos: a + b = 15. Si restamos el número ab del número ba, entonces obtenemos 27, de aquí obtenemos la segunda ecuación: 10 b + a − (10 a + b ) = 27.x

Curso 2010-2011 año., No. 3, 8 celdas. Matemáticas. Sistemas de ecuaciones.

Multiplica ambos lados de la ecuación por 20, obtenemos: x + 8 y = 840. Para encontrar x e y, obtuvimos un sistema de ecuaciones

Respuesta: 40 toneladas, 100 toneladas ▲

Ejemplo 4. Un operador de computadora, trabajando con un estudiante, procesa una tarea en 2 horas y 24 minutos. Si el operador trabajará durante 2 horas y el estudiante durante 1 hora, entonces

los niños completaron 2 3 de todo el trabajo. ¿Cuánto tiempo le tomará a un operador

ru y el estudiante por separado para procesar la tarea?

Denotemos todo el trabajo como 1, el desempeño del operador como x y el desempeño del estudiante como y . Tomamos en cuenta que

2 horas 24 minutos = 2 5 2 horas = 12 5 horas.

De la primera condición del problema se sigue que (x+y ) 12 5 = 1. De la segunda condición del problema se sigue que 2 x + y = 2 3 . Tengo un sistema de ecuaciones

© 2010, FZFTSH en MIPT. Compilado por: Yakovleva Tamara Kharitonovna

De vuelta atras

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El propósito de la lección. Resolver ecuaciones con parámetros y módulos, aplicar las propiedades de las funciones en situaciones inesperadas y dominar técnicas geométricas para la resolución de problemas. Ecuaciones no estándar.

Tareas:

• Educativo: enseñar a resolver algunos tipos de ecuaciones de ecuaciones con módulos y parámetros;
• Educativo: desarrollar una cultura del pensamiento, una cultura del habla y la capacidad de trabajar con un cuaderno y una pizarra.
• Educativo: educar la independencia y la capacidad de superación de las dificultades.

Equipo: material visual para el conteo oral y la explicación de un tema nuevo. Pizarra interactiva, equipo de lecciones multimedia.

Estructura de la lección:

1. Repetición del material estudiado (conteo oral).
2. Aprendiendo material nuevo.
3. Consolidación del material estudiado.
4. Resumen de la lección.
5. Tarea.

DURANTE LAS CLASES

1. Repetición del material teórico más importante sobre los temas: "Ecuaciones que contienen un módulo", "Solución de ecuaciones con parámetros"

1) "Ecuaciones que contienen el módulo"

El valor absoluto o módulo de un número a es el número un, Si un> 0, número - un, Si un < 0, нуль, если un= 0. O

De la definición se sigue que | un | > 0 y | un | > un para todos un€ R .
Desigualdad | X | < un, (Si un> 0) es equivalente a la doble desigualdad un < X < un.
Desigualdad | X | < un, (Si un < 0) не имеет смысла, так как | х | >0.
Desigualdad | X | > un, (Si un> 0) es equivalente a dos desigualdades
Desigualdad | X | > un, (Si un < 0) справедливо для любого X R€

2) "Solución de ecuaciones con parámetros"

Resolver una ecuación con parámetros significa indicar a qué valores de los parámetros existen soluciones y cuáles son.

a) determinar el conjunto de valores admisibles de la incógnita y los parámetros;

b) para cada sistema admisible de valores de parámetros, encuentre los correspondientes conjuntos de soluciones a la ecuación.

2. Ejercicios orales

1. Resuelve la ecuación | X– 2 | = 5; Responder: 7; – 3

| X– 2 | = – 5; Responder: sin solución

| X– 2 | = x + 5; Responder: sin solución; 1.5

| X– 2 | = | X+ 5 |; Responder: sin solución; - 1,5; no hay solución; - 1,5;

2. Resuelve la ecuación: | X+ 3 | + | y– 2 | = 4;

Considere cuatro casos

Como resultado, obtenemos un cuadrado, cuyo centro es (-3; 2), y la longitud de la diagonal es 8, y las diagonales son paralelas a los ejes de coordenadas.

A partir de consideraciones visuales, podemos concluir que la ecuación de la forma | X + un | + | en + b | = con; define un cuadrado en el plano centrado en un punto (– un; – b), diagonales paralelas a los ejes OX y OY, y la longitud de cada diagonal es 2 con. Responder: (– 3; 2).

2. Resuelve la ecuación ax = 1

Responder: si a = 0, entonces no hay solución; Si un= 0, entonces X = 1/ un

3. Resuelve la ecuación ( un 2 – 1) X = un + 1.

Decisión.

Es fácil ver que al resolver esta ecuación, es suficiente considerar los siguientes casos:

1) un= 1; entonces la ecuación toma la forma OX = 2 y no tiene solución

2) un= – 1; obtenemos OX = O, y obviamente X- ninguna.

1
3) si un = + 1, entonces X = –––
un – 1

Responder:
Si un= – 1, entonces X- ninguna;
Si un= 1, entonces no hay solución;

1
Si un = + 1, entonces X = –––
un – 1

3. Soluciones de ejemplos(de las opciones C)

1. ¿A qué valor del parámetro p la ecuación | X 2 – 5X + 6 | + | X 2 – 5X + 4 | = R tiene cuatro raíces.

Considere la función y = | X 2 – 5X + 6 | + | X 2 – 5X + 4 |

Como X 2 – 5X + 6 = (X – 2)(X– 3) y X 2 – 5X + 4 = (X – 1)(X– 4), entonces y = | (X – 2)(X – 3) | + | (X – 1)(X- 4) |, marcamos las raíces de los trinomios cuadrados en la recta real

1 2 3 4 X

La recta numérica luego se divide en 5 intervalos.

Para el caso 3) X 0 = – segundo | 2a = 2, y 0 = 25: 2 + 25 – 10 = 2,5

Entonces, (2.5; 2.5) son las coordenadas del vértice de la parábola y = – 2X 2 + 10X – 10.

Construimos una gráfica de la función dada por la igualdad

Como se puede ver en la figura, la ecuación original tiene cuatro raíces, si 2 < un < 2,5

Responder: a las 2 < un < 2,5

4. Trabajo independiente por niveles

1 nivel

1. Resuelve la ecuación X 2 – | X| = 6
2. ¿Para qué valores enteros de a la ecuación tiene solución única? Vaya 2 – (un + 1) + un 2 + un = 0?

2 nivel

1. Resuelve la ecuación: | X – 5 | – | 2X + 3 | = 10
un –12) X 2 + 2 = 2(12 – un) tiene dos raíces distintas?

3 nivel

1. Resuelve la ecuación | X – 5 | – | 2X + 3| = 10
2. Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales la ecuación ( un – 12) X 2 + 2 = 2(12 – un) tiene dos raíces distintas?

5. Resumen de la lección

1. Definición del módulo.
2. ¿Qué significa resolver una ecuación con un parámetro?

6. Tarea. C5 opción №11 F.F. Lysenko. Matemáticas, 2012

1. Sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro

Los sistemas de ecuaciones lineales con un parámetro se resuelven mediante los mismos métodos básicos que los sistemas de ecuaciones convencionales: el método de sustitución, el método de suma de ecuaciones y el método gráfico. Conocer la interpretación gráfica de los sistemas lineales facilita responder a la pregunta sobre el número de raíces y su existencia.

Ejemplo 1

Encuentre todos los valores para el parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones no tiene soluciones.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Decisión.

Veamos varias formas de resolver este problema.

1 manera Usamos la propiedad: el sistema no tiene soluciones si la razón de los coeficientes delante de x es igual a la razón de los coeficientes delante de y, pero no igual a la razón de los términos libres (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Entonces nosotros tenemos:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 o un sistema

(y 2 - 3 = 1,
(un ≠ 2.

De la primera ecuación a 2 \u003d 4, por lo tanto, teniendo en cuenta la condición de que a ≠ 2, obtenemos la respuesta.

Respuesta: a = -2.

2 vías. Resolvemos por el método de sustitución.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Después de sacar el factor común y fuera de paréntesis en la primera ecuación, obtenemos:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

El sistema no tiene soluciones si la primera ecuación no tiene soluciones, es decir

(y 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Es obvio que a = ±2, pero teniendo en cuenta la segunda condición, solo se da la respuesta con un menos.

Responder: a = -2.

Ejemplo 2

Encuentre todos los valores para el parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene un número infinito de soluciones.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Decisión.

Por propiedad, si la relación de los coeficientes en x e y es la misma, y ​​es igual a la relación de los miembros libres del sistema, entonces tiene un número infinito de soluciones (es decir, a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Por lo tanto 8/a = a/2 = 2/1. Resolviendo cada una de las ecuaciones obtenidas, encontramos que a \u003d 4 es la respuesta en este ejemplo.

Responder: un = 4

2. Sistemas de ecuaciones racionales con un parámetro

Ejemplo 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Decisión.

Multiplica la primera ecuación del sistema por 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Restamos la segunda ecuación de la primera, obtenemos 5|x| = 4 – a. Esta ecuación tendrá solución única para a = 4. En otros casos, esta ecuación tendrá dos soluciones (para a< 4) или ни одного (при а > 4).

Respuesta: a = 4.

Ejemplo 4

Encuentre todos los valores del parámetro a para los cuales el sistema de ecuaciones tiene una solución única.

(x + y = un,
(y - x 2 \u003d 1.

Decisión.

Resolveremos este sistema usando el método gráfico. Entonces, la gráfica de la segunda ecuación del sistema es una parábola, levantada a lo largo del eje Oy por un segmento unitario. La primera ecuación define el conjunto de rectas paralelas a la recta y = -x (Foto 1). La figura muestra claramente que el sistema tiene una solución si la línea recta y \u003d -x + a es tangente a la parábola en el punto con coordenadas (-0.5; 1.25). Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación de una recta en lugar de x e y, encontramos el valor del parámetro a:

1,25 = 0,5 + a;

Respuesta: a = 0,75.

Ejemplo 5

Usando el método de sustitución, averigüe en qué valor del parámetro a, el sistema tiene una solución única.

(hacha - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Decisión.

Exprese y de la primera ecuación y sustitúyala en la segunda:

(y \u003d ah - a - 1,
(ax + (a + 2) (ax - a - 1) = 2.

Llevamos la segunda ecuación a la forma kx = b, que tendrá solución única para k ≠ 0. Tenemos:

hacha + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

El trinomio cuadrado a 2 + 3a + 2 se puede representar como un producto de paréntesis

(a + 2)(a + 1), y a la izquierda quitamos x entre paréntesis:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Obviamente, a 2 + 3a no debe ser igual a cero, por lo tanto,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, lo que significa a ≠ 0 y ≠ -3.

Responder: a ≠ 0; ≠ -3.

Ejemplo 6

Usando el método de solución gráfica, determine en qué valor del parámetro a, el sistema tiene una solución única.

(x2 + y2 = 9,
(y - |x| = a.

Decisión.

En base a la condición construimos una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y un radio de 3 segmentos unitarios, es esta circunferencia la que establece la primera ecuación del sistema

x 2 + y 2 = 9. La segunda ecuación del sistema (y = |x| + a) es una línea discontinua. A través de Figura 2 consideramos todos los casos posibles de su ubicación en relación con el círculo. Es fácil ver que a = 3.

Respuesta: a = 3.

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