Extremos de función
Definición 2
Un punto $x_0$ se llama punto de máximo de la función $f(x)$ si existe una vecindad de este punto tal que para todo $x$ de esta vecindad la desigualdad $f(x)\le f(x_0 )$ está satisfecho.
Definición 3
Un punto $x_0$ se llama punto máximo de la función $f(x)$ si existe una vecindad de este punto tal que para todas las $x$ de esta vecindad la desigualdad $f(x)\ge f(x_0) $ está satisfecho.
El concepto de extremo de una función está estrechamente relacionado con el concepto de punto crítico de una función. Introduzcamos su definición.
Definición 4
$x_0$ se llama punto crítico de la función $f(x)$ si:
1) $x_0$ - punto interno del dominio de definición;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ o no existe.
Para el concepto de extremum, uno puede formular teoremas sobre suficiente y condiciones necesarias su existencia.
Teorema 2
Condición extrema suficiente
Sea el punto $x_0$ crítico para la función $y=f(x)$ y se encuentre en el intervalo $(a,b)$. Sea en cada intervalo $\left(a,x_0\right)\ y\ (x_0,b)$ la derivada $f"(x)$ exista y mantenga un signo constante. Entonces:
1) Si en el intervalo $(a,x_0)$ la derivada $f"\left(x\right)>0$, y en el intervalo $(x_0,b)$ la derivada $f"\left(x\ derecho)
2) Si la derivada $f"\left(x\right)0$ está en el intervalo $(a,x_0)$, entonces el punto $x_0$ es el punto mínimo para esta función.
3) Si tanto en el intervalo $(a,x_0)$ como en el intervalo $(x_0,b)$ la derivada $f"\left(x\right) >0$ o la derivada $f"\left(x \derecho)
Este teorema se ilustra en la Figura 1.
Figura 1. Condición suficiente para la existencia de extremos
Ejemplos de extremos (Fig. 2).
Figura 2. Ejemplos de puntos extremos
La regla para examinar una función para un extremo
2) Hallar la derivada $f"(x)$;
7) Sacar conclusiones sobre la presencia de máximos y mínimos en cada intervalo, usando el Teorema 2.
Función Ascendente y Decreciente
Primero introduzcamos las definiciones de funciones crecientes y decrecientes.
Definición 5
Una función $y=f(x)$ definida en un intervalo $X$ se llama creciente si para cualquier punto $x_1,x_2\in X$ para $x_1
Definición 6
Una función $y=f(x)$ definida en un intervalo $X$ se llama decreciente si para cualquier punto $x_1,x_2\in X$ para $x_1f(x_2)$.
Examinando una función para aumentar y disminuir
Puedes investigar funciones para aumentar y disminuir utilizando la derivada.
Para examinar una función para intervalos de aumento y disminución, debe hacer lo siguiente:
1) Encuentra el dominio de la función $f(x)$;
2) Hallar la derivada $f"(x)$;
3) Encuentra los puntos donde la igualdad $f"\left(x\right)=0$;
4) Encuentra puntos donde $f"(x)$ no existe;
5) Marque en la línea de coordenadas todos los puntos encontrados y el dominio de la función dada;
6) Determinar el signo de la derivada $f"(x)$ en cada intervalo resultante;
7) Concluye: en los intervalos donde $f"\left(x\right)0$ la función crece.
Ejemplos de problemas para el estudio de funciones crecientes, decrecientes y presencia de puntos extremos
Ejemplo 1
Investiga la función de crecimiento y decrecimiento, y la presencia de puntos de máximos y mínimos: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Como los primeros 6 puntos son iguales, los dibujaremos primero.
1) Dominio de definición - todos los números reales;
2) $f"\izquierda(x\derecha)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\izquierda(x\derecha)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ existe en todos los puntos del dominio de definición;
5) Línea de coordenadas:
figura 3
6) Determinar el signo de la derivada $f"(x)$ en cada intervalo:
\ \ si para cualquier par de puntos X y X", a ≤ x, la desigualdad F(X) ≤ F (X"), y estrictamente creciente - si la desigualdad F (X) f(X"). La disminución y la disminución estricta de una función se definen de manera similar. Por ejemplo, la función en = X 2 (arroz. , a) es estrictamente creciente en el segmento , y
(arroz. , b) decrece estrictamente en este intervalo. Las funciones crecientes se denotan F (X) y disminuyendo F (X)↓. Para una función diferenciable F (X) era creciente en el intervalo [ un, b], es necesario y suficiente que su derivado F"(X) no fue negativo el [ un, b].
Junto con el aumento y la disminución de una función en un segmento, se consideran el aumento y la disminución de una función en un punto. Función en = F (X) se llama creciente en el punto X 0 si existe tal intervalo (α, β) que contiene el punto X 0 , que para cualquier punto X de (α, β), x> X 0 , la desigualdad F (X 0) ≤ F (X), y para cualquier punto X de (α, β), x 0 , la desigualdad F (X) ≤ f (X 0). El incremento estricto de una función en un punto se define de manera similar X 0 si un F"(X 0) > 0, entonces la función F(X) es estrictamente creciente en el punto X 0 si un F (X) aumenta en cada punto del intervalo ( un, b), luego aumenta en este intervalo.
SB Stechkin.
Gran enciclopedia soviética. - M.: Enciclopedia soviética. 1969-1978 .
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