Será útil para todos los estudiantes que se preparan para el examen de matemáticas repetir el tema "Encontrar el ángulo entre líneas". Como muestran las estadísticas, al pasar una prueba de certificación, las tareas en esta sección de estereometría causan dificultades para una gran cantidad de estudiantes. Al mismo tiempo, las tareas que requieren encontrar el ángulo entre líneas rectas se encuentran en el USE tanto en el nivel básico como en el perfil. Esto significa que todos deberían poder resolverlos.

Momentos basicos

Hay 4 tipos de disposición mutua de líneas en el espacio. Pueden coincidir, intersecarse, ser paralelos o intersectados. El ángulo entre ellos puede ser agudo o recto.

Para encontrar el ángulo entre las líneas en el Examen de Estado Unificado o, por ejemplo, en la solución, los escolares de Moscú y otras ciudades pueden usar varios métodos para resolver problemas en esta sección de estereometría. Puedes completar la tarea con construcciones clásicas. Para hacer esto, vale la pena aprender los axiomas y teoremas básicos de la estereometría. El estudiante debe ser capaz de construir razonamientos lógicos y crear dibujos para llevar la tarea a un problema planimétrico.

También puede usar el método de coordenadas vectoriales, utilizando fórmulas, reglas y algoritmos simples. Lo principal en este caso es realizar correctamente todos los cálculos. El proyecto educativo Shkolkovo lo ayudará a perfeccionar sus habilidades para resolver problemas en estereometría y otras secciones del curso escolar.

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Oh-oh-oh-oh-oh ... bueno, es metálico, como si leyeras la oración para ti mismo =) Sin embargo, entonces la relajación ayudará, especialmente porque compré accesorios adecuados hoy. Por lo tanto, pasemos a la primera sección, espero que al final del artículo mantenga un estado de ánimo alegre.

Disposición mutua de dos rectas

El caso cuando la sala canta en coro. Dos líneas pueden:

1) partido;

2) ser paralelo: ;

3) o se cruzan en un solo punto: .

ayuda para tontos : recuerde el signo matemático de la intersección, ocurrirá muy a menudo. La entrada significa que la línea se cruza con la línea en el punto.

¿Cómo determinar la posición relativa de dos líneas?

Comencemos con el primer caso:

Dos rectas coinciden si y solo si sus respectivos coeficientes son proporcionales, es decir, existe tal número "lambda" que las igualdades

Consideremos líneas rectas y compongamos tres ecuaciones a partir de los coeficientes correspondientes: . De cada ecuación se sigue que, por lo tanto, estas rectas coinciden.

De hecho, si todos los coeficientes de la ecuación multiplicar por -1 (cambiar de signo), y todos los coeficientes de la ecuación reduce por 2, obtienes la misma ecuación: .

El segundo caso cuando las rectas son paralelas:

Dos líneas son paralelas si y solo si sus coeficientes en las variables son proporcionales: , pero.

Como ejemplo, considere dos líneas rectas. Comprobamos la proporcionalidad de los coeficientes correspondientes a las variables:

Sin embargo, es claro que.

Y el tercer caso, cuando las líneas se cruzan:

Dos rectas se intersecan si y solo si sus coeficientes de las variables NO son proporcionales, es decir NO existe tal valor de "lambda" que se cumplan las igualdades

Entonces, para líneas rectas compondremos un sistema:

De la primera ecuación se sigue que , y de la segunda ecuación: , por lo tanto, el sistema es inconsistente(sin soluciones). Por lo tanto, los coeficientes en las variables no son proporcionales.

Conclusión: las líneas se cruzan

En problemas prácticos, se puede utilizar el esquema de solución que acabamos de considerar. Por cierto, es muy similar al algoritmo para verificar la colinealidad de los vectores, que consideramos en la lección. El concepto de (no) dependencia lineal de los vectores. base vectorial. Pero hay un paquete más civilizado:

Ejemplo 1

Averigüe la posición relativa de las líneas:

Decisión basado en el estudio de vectores directores de líneas rectas:

a) De las ecuaciones encontramos los vectores directores de las rectas: .

, por lo que los vectores no son colineales y las líneas se intersecan.

Por si acaso, pondré una piedra con punteros en la encrucijada:

El resto salta sobre la piedra y sigue, directo a Kashchei the Deathless =)

b) Encuentra los vectores directores de las rectas:

Las líneas tienen el mismo vector de dirección, lo que significa que son paralelas o iguales. Aquí el determinante no es necesario.

Es obvio que los coeficientes en las incógnitas son proporcionales, mientras que .

Veamos si la igualdad es verdadera:

Por lo tanto,

c) Hallar los vectores directores de las rectas:

Calculemos el determinante, compuesto por las coordenadas de estos vectores:
, por lo tanto, los vectores de dirección son colineales. Las rectas son paralelas o coinciden.

El factor de proporcionalidad "lambda" es fácil de ver directamente a partir de la relación de vectores de dirección colineal. Sin embargo, también se puede encontrar a través de los coeficientes de las propias ecuaciones: .

Ahora veamos si la igualdad es verdadera. Ambos términos libres son cero, entonces:

El valor resultante satisface esta ecuación (cualquier número generalmente la satisface).

Por lo tanto, las líneas coinciden.

Responder:

Muy pronto aprenderá (o incluso ya habrá aprendido) a resolver el problema planteado verbalmente, literalmente, en cuestión de segundos. En este sentido, no veo ninguna razón para ofrecer algo para una solución independiente, es mejor colocar un ladrillo más importante en la base geométrica:

¿Cómo trazar una recta paralela a una dada?

Por ignorancia de esta tarea tan simple, el ruiseñor ladrón castiga severamente.

Ejemplo 2

La recta viene dada por la ecuación . Escribe una ecuación para una línea paralela que pasa por el punto.

Decisión: Denote la línea desconocida con la letra . ¿Qué dice la condición al respecto? La recta pasa por el punto. Y si las líneas son paralelas, entonces es obvio que el vector director de la línea "ce" también es adecuado para construir la línea "te".

Sacamos el vector director de la ecuación:

Responder:

La geometría del ejemplo parece simple:

La verificación analítica consta de los siguientes pasos:

1) Verificamos que las rectas tengan el mismo vector director (si la ecuación de la recta no está bien simplificada, entonces los vectores serán colineales).

2) Comprobar si el punto satisface la ecuación resultante.

La verificación analítica en la mayoría de los casos es fácil de realizar verbalmente. Mire las dos ecuaciones y muchos de ustedes rápidamente descubrirán cómo las líneas son paralelas sin ningún dibujo.

Los ejemplos de auto-resolución de hoy serán creativos. Porque todavía tienes que competir con Baba Yaga, y ella, ya sabes, es una amante de todo tipo de acertijos.

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una línea que pasa por un punto paralelo a la línea si

Hay una forma racional y no muy racional de resolver. El camino más corto es al final de la lección.

Trabajamos un poco con líneas paralelas y volveremos a ellas más adelante. El caso de líneas coincidentes es de poco interés, así que consideremos un problema que es bien conocido por usted del currículo escolar:

¿Cómo encontrar el punto de intersección de dos rectas?

si recto se intersecan en el punto, entonces sus coordenadas son la solución sistemas de ecuaciones lineales

¿Cómo encontrar el punto de intersección de las rectas? Resuelve el sistema.

Para ti significado geométrico de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos líneas rectas que se cruzan (la mayoría de las veces) en un plano.

Ejemplo 4

Encuentra el punto de intersección de las rectas

Decisión: Hay dos formas de resolver: gráfica y analítica.

La forma gráfica es simplemente dibujar las líneas dadas y encontrar el punto de intersección directamente desde el dibujo:

Aquí está nuestro punto: . Para verificar, debe sustituir sus coordenadas en cada ecuación de una línea recta, deben caber tanto allí como allí. En otras palabras, las coordenadas de un punto son la solución del sistema. De hecho, consideramos una forma gráfica de resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos ecuaciones, dos incógnitas.

El método gráfico, por supuesto, no es malo, pero tiene desventajas notables. No, el punto no es que los estudiantes de séptimo grado decidan de esta manera, el punto es que llevará tiempo hacer un dibujo correcto y EXACTO. Además, algunas líneas no son tan fáciles de construir y el punto de intersección en sí puede estar en algún lugar del trigésimo reino fuera de la hoja del cuaderno.

Por lo tanto, es más conveniente buscar el punto de intersección por el método analítico. Resolvamos el sistema:

Para resolver el sistema se utilizó el método de suma de ecuaciones por términos. Para desarrollar las habilidades relevantes, visite la lección ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones?

Responder:

La verificación es trivial: las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer cada ecuación del sistema.

Ejemplo 5

Halla el punto de intersección de las rectas si se intersecan.

Este es un ejemplo de bricolaje. Es conveniente dividir el problema en varias etapas. El análisis de la condición sugiere que es necesario:
1) Escribe la ecuación de una línea recta.
2) Escribe la ecuación de una línea recta.
3) Averigüe la posición relativa de las líneas.
4) Si las rectas se cortan, encuentra el punto de intersección.

El desarrollo de un algoritmo de acciones es típico para muchos problemas geométricos, y me concentraré repetidamente en esto.

Solución completa y respuesta al final del tutorial:

Un par de zapatos aún no se ha desgastado, ya que llegamos a la segunda sección de la lección:

Lineas perpendiculares. La distancia de un punto a una recta.
Ángulo entre líneas

Comencemos con una tarea típica y muy importante. En la primera parte, aprendimos cómo construir una línea recta paralela a la dada, y ahora la cabaña con patas de pollo girará 90 grados:

¿Cómo trazar una recta perpendicular a una dada?

Ejemplo 6

La recta viene dada por la ecuación . Escribe una ecuación para una línea perpendicular que pasa por un punto.

Decisión: Se sabe por suposición que . Sería bueno encontrar el vector de dirección de la línea recta. Como las líneas son perpendiculares, el truco es simple:

De la ecuación “quitamos” el vector normal: , que será el vector director de la recta.

Componemos la ecuación de una recta por un punto y un vector director:

Responder:

Vamos a desplegar el boceto geométrico:

Hmmm... Cielo anaranjado, mar anaranjado, camello anaranjado.

Verificación analítica de la solución:

1) Extraemos los vectores de dirección de las ecuaciones y usamos producto escalar de vectores concluimos que las rectas son efectivamente perpendiculares: .

Por cierto, puedes usar vectores normales, es aún más fácil.

2) Comprobar si el punto satisface la ecuación resultante .

La verificación, nuevamente, es fácil de realizar verbalmente.

Ejemplo 7

Encuentra el punto de intersección de rectas perpendiculares, si se conoce la ecuación y punto

Este es un ejemplo de bricolaje. Hay varias acciones en la tarea, por lo que es conveniente ordenar la solución punto por punto.

Nuestro emocionante viaje continúa:

Distancia de punto a línea

Ante nosotros hay una franja recta del río y nuestra tarea es llegar a ella por el camino más corto. No hay obstáculos, y la ruta más óptima será el movimiento a lo largo de la perpendicular. Es decir, la distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular.

La distancia en geometría se denota tradicionalmente con la letra griega "ro", por ejemplo: - la distancia desde el punto "em" hasta la línea recta "de".

Distancia de punto a línea se expresa por la formula

Ejemplo 8

Hallar la distancia de un punto a una recta

Decisión: todo lo que necesitas es sustituir cuidadosamente los números en la fórmula y hacer los cálculos:

Responder:

Ejecutemos el dibujo:

La distancia encontrada desde el punto hasta la línea es exactamente la longitud del segmento rojo. Si haces un dibujo en papel cuadriculado en una escala de 1 unidad. \u003d 1 cm (2 celdas), luego la distancia se puede medir con una regla común.

Considere otra tarea de acuerdo con el mismo dibujo:

La tarea es encontrar las coordenadas del punto, que es simétrico al punto con respecto a la línea. . Propongo realizar las acciones por su cuenta, sin embargo, delinearé el algoritmo de solución con resultados intermedios:

1) Encuentra una línea que sea perpendicular a una línea.

2) Encuentra el punto de intersección de las rectas: .

Ambas acciones se discuten en detalle en esta lección.

3) El punto es el punto medio del segmento. Conocemos las coordenadas del medio y uno de los extremos. Por fórmulas para las coordenadas del medio del segmento encontrar .

No estará de más comprobar que la distancia también es igual a 2,2 unidades.

Aquí pueden surgir dificultades en los cálculos, pero en la torre una microcalculadora ayuda mucho, permitiéndole contar fracciones ordinarias. He aconsejado muchas veces y lo recomendaré de nuevo.

¿Cómo hallar la distancia entre dos rectas paralelas?

Ejemplo 9

Hallar la distancia entre dos rectas paralelas

Este es otro ejemplo de una solución independiente. Una pequeña pista: hay infinitas maneras de resolver. Informe al final de la lección, pero mejor trata de adivinar por ti mismo, creo que lograste dispersar bien tu ingenio.

Ángulo entre dos rectas

Cualquiera que sea la esquina, entonces la jamba:


En geometría, el ángulo entre dos rectas se toma como el ángulo MENOR, de lo que se sigue automáticamente que no puede ser obtuso. En la figura, el ángulo indicado por el arco rojo no se considera el ángulo entre líneas que se cruzan. Y su vecino “verde” o orientación opuesta esquina carmesí.

Si las líneas son perpendiculares, cualquiera de los 4 ángulos puede tomarse como el ángulo entre ellos.

¿Cómo son diferentes los ángulos? Orientación. Primero, la dirección de "desplazamiento" de la esquina es fundamentalmente importante. En segundo lugar, un ángulo orientado negativamente se escribe con un signo menos, por ejemplo, si .

¿Por qué dije esto? Parece que puedes arreglártelas con el concepto habitual de un ángulo. El caso es que en las fórmulas mediante las cuales encontraremos los ángulos, fácilmente se puede obtener un resultado negativo, y esto no debería tomarte por sorpresa. Un ángulo con un signo menos no es peor y tiene un significado geométrico muy específico. En el dibujo de un ángulo negativo, es imperativo indicar su orientación (en el sentido de las agujas del reloj) con una flecha.

¿Cómo encontrar el ángulo entre dos rectas? Hay dos fórmulas de trabajo:

Ejemplo 10

Hallar el ángulo entre rectas

Decisión y método uno

Considere dos líneas rectas dadas por ecuaciones en forma general:

si recto no perpendicular, entonces orientado el ángulo entre ellos se puede calcular usando la fórmula:

Prestemos mucha atención al denominador - esto es exactamente producto escalar vectores directores de rectas:

Si , entonces el denominador de la fórmula se anula, y los vectores serán ortogonales y las líneas serán perpendiculares. Por eso se hizo una reserva sobre la no perpendicularidad de las líneas en la formulación.

En base a lo anterior, la solución se formaliza convenientemente en dos pasos:

1) Calcular el producto escalar de vectores directores de rectas:
entonces las rectas no son perpendiculares.

2) Encontramos el ángulo entre las líneas por la fórmula:

Usando la función inversa, es fácil encontrar el ángulo en sí. En este caso, usamos la imparidad del arco tangente (ver Fig. Gráficas y propiedades de funciones elementales):

Responder:

En la respuesta, indicamos el valor exacto, así como el valor aproximado (preferiblemente tanto en grados como en radianes), calculado con una calculadora.

Bueno, menos, tan menos, está bien. Aquí hay una ilustración geométrica:

No es de extrañar que el ángulo resultara tener una orientación negativa, porque en la condición del problema el primer número es una línea recta y la "torsión" del ángulo comenzó precisamente a partir de ahí.

Si realmente desea obtener un ángulo positivo, debe intercambiar las líneas rectas, es decir, tomar los coeficientes de la segunda ecuación , y tome los coeficientes de la primera ecuación . En resumen, debe comenzar con una .

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Subtítulos de las diapositivas:

Ángulo entre líneas

Propósitos y objetivos de la lección: Formar el concepto del ángulo entre: Intersección; paralelo; líneas secantes. Aprende a encontrar el ángulo entre: Intersección; paralelo; líneas secantes.

Recuerda: La base del prisma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 es un trapezoide. ¿Cuáles de los siguientes pares de líneas son líneas que se cruzan?

Ubicación de las líneas en el espacio y el ángulo entre ellas 1. Líneas que se cortan. 2. Líneas paralelas. 3. Líneas de intersección.

Cualesquiera dos rectas que se cortan se encuentran en el mismo plano y forman cuatro ángulos no expandidos.

Si las líneas que se cruzan forman cuatro ángulos iguales, entonces el ángulo entre estas líneas es de 90°. un segundo

El ángulo entre dos rectas paralelas es 0°.

El ángulo entre dos líneas que se cortan en el espacio es el menor de los ángulos formados por los rayos de estas líneas con el vértice en el punto de su intersección.

El ángulo entre las líneas de intersección a y b es el ángulo entre las líneas de intersección construidas y.

El ángulo entre líneas que se cortan, así como entre líneas del mismo plano, no puede ser mayor de 90°. Dos rectas que se cortan y que forman un ángulo de 90° se llaman perpendiculares. un segundo un 1 c c 1 re

Ángulo entre líneas oblicuas Sean AB y CD dos líneas oblicuas. Tomemos un punto arbitrario M 1 del espacio y dibujemos las líneas A 1 B 1 y C 1 D 1 a través de él, respectivamente, paralelas a las líneas AB y CD . A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 φ Si el ángulo entre las líneas A 1 B 1 y C 1 D 1 es igual a φ, entonces diremos que el ángulo entre las líneas que se cortan AB y CD es igual a φ.

Encuentra el ángulo entre las líneas oblicuas AB y CD Como un punto M 1, puedes tomar cualquier punto en una de las líneas oblicuas. A B C D METRO 1 A 1 B 1 φ

Educación física para los ojos.

Mostrar líneas de intersección perpendiculares en el entorno.

Dada una imagen de un cubo. Encuentre el ángulo entre las líneas de intersección a y b. 90° 45° Respuesta Respuesta

Dada una imagen de un cubo. Encuentre el ángulo entre las líneas de intersección a y b. 90° 60° Respuesta Respuesta

Dada una imagen de un cubo. Encuentra el ángulo entre las rectas a y b que se cortan 90° 90° Respuesta Respuesta

Tarea: §4 (págs. 85-89), #268, #269.

minuto de educación física

Problema №1 En una pirámide regular SABCD , cuyas aristas son todas iguales a 1, el punto E es el punto medio de la arista SC . Encuentra el ángulo entre las líneas AD y BE.

Trabajo de clase: Tareas: No. 263 No. 265 No. 267

Avance:

APROBAR

profesor de matematicas

LR Volnyak

"__" ________ 2016

Asunto : "Ángulo entre líneas"

Tutoriales:

Desarrollando:

Educativo:

Tipo de lección: Aprendiendo material nuevo.

Métodos: verbal (historia), visual (presentación), dialógica.

1. Organizando el tiempo.

• Saludos.

1. Actualización de conocimientos.

1. ¿Cuál es la posición relativa de dos líneas en el espacio?
2. ¿Cuántos ángulos se forman cuando dos rectas se cortan en el espacio?
3. ¿Cómo determinar el ángulo entre líneas que se cruzan?

Slad3

1. Prisma base ABCDA 1 segundo 1 do 1 re 1 - trapezoide. ¿Cuáles de los siguientes pares de líneas son líneas que se cruzan?

Respuesta: AB y CC 1, A 1 D 1 y CC 1.

1. Aprendiendo material nuevo.

diapositiva 4

Ubicación de las líneas en el espacio y el ángulo entre ellas.

1. Líneas secantes.
2. Lineas paralelas.
3. Cruce de líneas rectas.

diapositiva 5

Cualesquiera dos rectas que se cortan se encuentran en el mismo plano y forman cuatro ángulos no expandidos.

diapositiva 6

Si las líneas que se cruzan forman cuatro ángulos iguales, entonces el ángulo entre estas líneas es de 90°.

Diapositiva 7

El ángulo entre dos rectas paralelas es 0°.

Diapositiva 8

El ángulo entre dos líneas que se cortan en el espacio es el menor de los ángulos formados por los rayos de estas líneas con el vértice en el punto de su intersección.

Diapositiva 9 a y b y .

Diapositiva 10

El ángulo entre líneas que se cortan, así como entre líneas del mismo plano, no puede ser mayor de 90°. Dos rectas que se cortan y que forman un ángulo de 90° se llaman perpendiculares.

diapositiva 11

Ángulo entre líneas que se cruzan.

Sean AB y CD dos rectas que se cortan.

Tome un punto arbitrario M 1 espacio y dibujar líneas rectas A 1 en 1 y C 1 D 1 , respectivamente, paralelas a las líneas AB y CD.

Si el ángulo entre las líneas A 1 en 1 y C 1 D 1 es igual a φ, entonces diremos que el ángulo entre las líneas que se cortan AB y CD es igual a φ.

diapositiva 12

Encuentra el ángulo entre las líneas oblicuas AB y CD.

Como el punto M 1 uno puede tomar cualquier punto en una de las líneas que se cruzan.

diapositiva 13

minuto de educación física

Diapositiva 14

1. Mostrar líneas de intersección perpendiculares en el entorno.

diapositiva 15

2. Se da una imagen de un cubo. Encuentre el ángulo entre las líneas de intersección a y b.

a) 90°; b) 45°;

diapositiva 16

c) 60°; d) 90°;

Diapositiva 17

e) 90°; f) 90°.

1. Arreglando material nuevo

Diapositiva 19

minuto de educación física

Diapositiva 20

№1.

En la pirámide derecha SABCD , todas sus aristas son iguales a 1, el punto mi - la mitad de la costilla CAROLINA DEL SUR .Encuentre el ángulo entre las líneas AD y B. E.

Decisión:

Ángulo deseado = esquina CBE .El triángulo SBC es equilátero.

BE - bisectriz del ángulo = 60. El ángulo CBE es 30.

Respuesta: 30°.

№263.

Responder:

Ángulo entre líneas oblicuas a y B llamado el ángulo entre las líneas de intersección construidas a 1 y b 1 , y a 1 || un, b 1 || b.

№265.

El ángulo entre las rectas a y b es de 90°. ¿Es cierto que las rectas a y b se cortan?

Responder:

Falso, ya que las líneas pueden intersecarse o intersecarse.

№267.

DABC es un tetraedro, los puntos O y F son los puntos medios de AD y CD, respectivamente, el segmento TK es la línea media del triángulo ABC.

1. ¿Cuál es el ángulo entre las rectas OF y CB?
2. ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas OF y TK es de 60°?
3. ¿Cuál es el ángulo entre las rectas TF y DB?

Decisión:

Dado: DABC,

O es la mitad de AD,

F es la mitad del CD,

TC es la línea media ∆ABC.

Decisión:

1. Reflexión

• ¿Qué hemos aprendido de nuevo?
• ¿Hemos hecho frente a las tareas que se establecieron al comienzo de la lección?
• ¿Qué problemas hemos aprendido a resolver?

1. Tarea.

§4 (págs. 85-89), #268, #269.

Avance:

APROBAR

profesor de matematicas

LR Volnyak

"__" ________ 2016

Asunto : "Ángulo entre líneas"

Tutoriales: con la ayuda de tareas prácticas, para asegurar que los estudiantes comprendan la definición del ángulo entre líneas que se cruzan, paralelas y oblicuas;

Desarrollando: desarrollar la imaginación espacial de los estudiantes en la resolución de problemas geométricos, el pensamiento geométrico, el interés por el tema, la actividad cognitiva y creativa de los estudiantes, el habla matemática, la memoria, la atención; Desarrollar la independencia en el desarrollo de nuevos conocimientos.

Educativo: educar a los estudiantes en una actitud responsable hacia el trabajo educativo, cualidades de voluntad fuerte; formar una cultura emocional y una cultura de comunicación.

tipo de lección: generalización y sistematización de conocimientos y habilidades.

Métodos: verbal (historia), dialógica.

1. Organizando el tiempo.

• Saludos.
• Comunicación de las metas y objetivos de la lección.
• Motivación para aprender material nuevo.
• Ajuste psicológico y pedagógico de los estudiantes para las próximas actividades.
• Comprobación de los presentes en la lección;

1. revisando la tarea

№268

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo rectangular, punto O y T - los puntos medios de los bordes de la SS 1 y DD 1 respectivamente. a) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas AD y TO es de 90°? b) ¿Cuál es el ángulo entre las líneas A 1 B 1 y BC?

Decisión:

a) Cierto, ya que TO || CC =>(AD, A) = ADC = 90° (ABCD es un rectángulo).

b)BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 , BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.

Respuesta: 90°, 90°.

№269

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - cubo. a) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas A 1 B y C 1 D es 90°? b) Encuentra el ángulo entre las líneas B 1 O y C 1 D. c) ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas AC y C 1D es igual a 45°?

Decisión:

a) Cierto, porque B 1 A || C 1 D => (A 1 B, C 1 D)= (B 1 A, A 1 B) = 90°, como el ángulo entre las diagonales del cuadrado.

b) 1. B 1 A || C 1 D=> (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.

2. en Δ AB 1 C AB 1 \u003d B 1 C = AC como diagonales de cuadrados iguales B 1 O - mediana y bisectriz AB 1 C=60° => AB 1 O=30°.

c) no, ya que C 1 D || BA => (AC, C 1 D) \u003d B 1 AC=60° como un ángulo equilátero Δ AB 1C

Respuesta: b) 30°.

1. Actualización de conocimientos.

Método: encuesta frontal (oral):

1. ¿Qué ramas estudia la geometría?
2. ¿Cuál es el ángulo entre rectas paralelas?
3. ¿Qué figuras se estudian mediante planimetría y cuáles son geometría sólida?
4. ¿Cuál es el ángulo de inclinación?
5. ¿Cómo se llaman dos rectas que se cortan y forman un ángulo de 90°?

1. Consolidación de lo aprendido.

Dictado (10 min):

Opción 1:

La arista del cubo es una .

Hallar: (AB 1 ,SS 1 )

Decisión:

SS1‖BB1

(AB1,CC1) = AB1B

AB1B=45˚

Respuesta: (AB1, SS1) = 45˚

1. Sean a y b rectas que se cortan, y la recta b 1 || b. ¿Es cierto que el ángulo entre las rectas a y b es igual al ángulo entre las rectas a y b? 1 ? ¿Si es así por qué?

Opcion 2:

1. ¿Cuál es el ángulo entre las líneas oblicuas?

La arista del cubo es una .

En este artículo, primero definiremos el ángulo entre las líneas oblicuas y daremos una ilustración gráfica. A continuación, respondemos a la pregunta: "¿Cómo encontrar el ángulo entre líneas oblicuas si se conocen las coordenadas de los vectores de dirección de estas líneas en un sistema de coordenadas rectangulares"? En conclusión, practicaremos cómo encontrar el ángulo entre líneas oblicuas al resolver ejemplos y problemas.

Navegación de página.

Ángulo entre líneas oblicuas - definición.

Poco a poco nos acercaremos a la definición del ángulo entre rectas que se cortan.

Primero recordemos la definición de líneas oblicuas: dos líneas en un espacio tridimensional se llaman mestizaje si no están en el mismo plano. De esta definición se deduce que las líneas oblicuas no se cortan, no son paralelas y, además, no coinciden, de lo contrario ambas estarían en algún plano.

Presentamos algunos argumentos auxiliares adicionales.

Sean dos rectas ayb que se cortan en un espacio tridimensional. Construyamos las rectas a 1 y b 1 de modo que sean paralelas a las rectas oblicuas a y b, respectivamente, y pasen por algún punto del espacio M 1 . Así, obtendremos dos rectas que se cortan a 1 y b 1 . Sea el ángulo entre las rectas que se cortan a 1 y b 1 igual al ángulo . Ahora construyamos las líneas a 2 y b 2 , paralelas a las líneas oblicuas a y b, respectivamente, pasando por el punto M 2 , que es diferente del punto M 1 . El ángulo entre las líneas de intersección a 2 yb 2 también será igual al ángulo. Esta afirmación es cierta, ya que las líneas a 1 y b 1 coincidirán con las líneas a 2 y b 2, respectivamente, si realiza una transferencia paralela, en la que el punto M 1 va al punto M 2. Por lo tanto, la medida del ángulo entre dos líneas que se cortan en el punto M, respectivamente paralelas a las líneas oblicuas dadas, no depende de la elección del punto M.

Ahora estamos listos para definir el ángulo entre las líneas oblicuas.

Definición.

Ángulo entre líneas oblicuas es el ángulo entre dos líneas que se cruzan que son respectivamente paralelas a las líneas oblicuas dadas.

De la definición se deduce que el ángulo entre las líneas oblicuas tampoco dependerá de la elección del punto M . Por lo tanto, como punto M, puede tomar cualquier punto que pertenezca a una de las líneas oblicuas.

Damos una ilustración de la definición del ángulo entre líneas oblicuas.

Encontrar el ángulo entre las líneas oblicuas.

Dado que el ángulo entre las líneas que se intersecan se determina a través del ángulo entre las líneas que se intersecan, encontrar el ángulo entre las líneas que se intersecan se reduce a encontrar el ángulo entre las correspondientes líneas que se intersecan en un espacio tridimensional.

Sin duda, los métodos estudiados en las lecciones de geometría en la escuela secundaria son adecuados para encontrar el ángulo entre líneas oblicuas. Es decir, habiendo completado las construcciones necesarias, es posible conectar el ángulo deseado con cualquier ángulo conocido de la condición, según la igualdad o similitud de las figuras, en algunos casos ayudará teorema del coseno, y a veces conduce al resultado definición de seno, coseno y tangente de un ángulo triángulo rectángulo.

Sin embargo, es muy conveniente resolver el problema de encontrar el ángulo entre líneas oblicuas usando el método de coordenadas. Eso es lo que consideraremos.

Supongamos que Oxyz se introduce en el espacio tridimensional (sin embargo, en muchos problemas tiene que introducirse de forma independiente).

Pongámonos la tarea: encontrar el ángulo entre las líneas de intersección a y b, que corresponden a algunas ecuaciones de la línea en el espacio en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz.

Vamos a resolverlo.

Tomemos un punto arbitrario del espacio tridimensional M y supongamos que las líneas a 1 y b 1 lo atraviesan, paralelas a las líneas de intersección a y b, respectivamente. Entonces, el ángulo requerido entre las líneas de intersección a y b es igual al ángulo entre las líneas de intersección a 1 yb 1 por definición.

Por lo tanto, nos queda por encontrar el ángulo entre las líneas que se cruzan a 1 y b 1 . Para aplicar la fórmula para encontrar el ángulo entre dos rectas que se cortan en el espacio, necesitamos conocer las coordenadas de los vectores directores de las rectas a 1 y b 1 .

¿Cómo podemos conseguirlos? Y es muy simple. La definición del vector director de una recta nos permite afirmar que los conjuntos de vectores directores de rectas paralelas coinciden. Por tanto, como vectores directores de las rectas a 1 y b 1, podemos tomar los vectores directores y rectas a y b, respectivamente.

Asi que, el ángulo entre dos líneas que se cruzan a y b se calcula mediante la fórmula
, donde y son los vectores directores de las rectas a y b, respectivamente.

Fórmula para encontrar el coseno del ángulo entre líneas oblicuas a y b tiene la forma .

Le permite encontrar el seno del ángulo entre las líneas oblicuas si se conoce el coseno: .

Queda por analizar las soluciones de los ejemplos.

Ejemplo.

Encuentre el ángulo entre las líneas oblicuas a y b , que están definidas en el sistema de coordenadas rectangulares Oxyz por las ecuaciones y .

Decisión.

Las ecuaciones canónicas de una línea recta en el espacio le permiten determinar de inmediato las coordenadas del vector director de esta línea recta; están dadas por números en los denominadores de fracciones, es decir, . Las ecuaciones paramétricas de una línea recta en el espacio también permiten escribir inmediatamente las coordenadas del vector de dirección: son iguales a los coeficientes frente al parámetro, es decir, - vector de dirección recto . Así, tenemos todos los datos necesarios para aplicar la fórmula por la que se calcula el ángulo entre líneas oblicuas:

Responder:

El ángulo entre las líneas oblicuas dadas es .

Ejemplo.

Encuentre el seno y el coseno del ángulo entre las líneas oblicuas en las que se encuentran las aristas AD y BC de la pirámide ABCD, si se conocen las coordenadas de sus vértices:.

Decisión.

Los vectores directores de las rectas que se cruzan AD y BC son los vectores y . Calculemos sus coordenadas como la diferencia entre las coordenadas correspondientes de los puntos final e inicial del vector:

Según la fórmula podemos calcular el coseno del ángulo entre las líneas oblicuas dadas:

Ahora calculamos el seno del ángulo entre las líneas oblicuas: