Aplicaciones geométricas y mecánicas de la integral definida. Aplicaciones geométricas de la integral definida. Área superficial de un cuerpo de revolución

El área de un trapezoide curvilíneo acotado superiormente por la gráfica de una función y=f(x), izquierda y derecha - recto x=a y x=b respectivamente, desde abajo - el eje Buey, se calcula mediante la fórmula

Área de un trapezoide curvilíneo acotado por la derecha por la gráfica de una función x=φ(y), arriba y abajo - recto y=d y y=c respectivamente, a la izquierda - el eje Oye:

El área de una figura curvilínea limitada desde arriba por un gráfico de una función y 2 \u003d f 2 (x), abajo - gráfico de la función y 1 \u003d f 1 (x), izquierda y derecha - recto x=a y x=b:

El área de una figura curvilínea limitada a la izquierda y a la derecha por gráficas de función x 1 \u003d φ 1 (y) y x 2 \u003d φ 2 (y), arriba y abajo - recto y=d y y=c respectivamente:

Considere el caso cuando la línea que limita el trapezoide curvilíneo desde arriba está dada por las ecuaciones paramétricas x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), donde α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Estas ecuaciones definen alguna función y=f(x) en el segmento [ un, b]. El área de un trapezoide curvilíneo se calcula mediante la fórmula

Pasemos a una nueva variable. x = φ 1 (t), entonces dx = φ" 1 (t) dt, un y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), por lo tanto \begin(displaymath)

Área en coordenadas polares

Considere un sector curvilíneo OAB, acotado por la línea dada por la ecuación ρ=ρ(φ) en coordenadas polares, dos haces OA y transmisión exterior, para cual φ=α , φ=β .

Dividimos el sector en sectores elementales OM k-1 M k ( k=1, …, norte, METRO 0 =A, Manganeso=B). Denotamos por Δφkángulo entre vigas OM k-1 y OM k formando ángulos con el eje polar φk-1 y φk respectivamente. Cada uno de los sectores elementales OM k-1 M k reemplazar con un sector circular con radio ρ k \u003d ρ (φ "k), donde φ"k- valor del ángulo φ del intervalo [ φk-1 , φk], y el ángulo central Δφk. El área del último sector se expresa mediante la fórmula .

expresa el área del sector "escalonado", que reemplaza aproximadamente al sector dado OAB.

área de sector OAB se llama el límite del área del sector "escalonado" en n→∞ y λ=máx Δφ k → 0:

Como , entonces

Longitud del arco de la curva

Sea en el intervalo [ un, b] se da una función diferenciable y=f(x), cuyo gráfico es el arco . Segmento de línea [ a,b] dividido en norte partes puntos x1, x2, …, xn-1. Estos puntos se corresponderán con los puntos M1, M2, …, Mn-1 arcos, conéctelos con una línea quebrada, que se llama línea quebrada inscrita en un arco. El perímetro de esta línea quebrada se denota por sn, es decir

Definición. La longitud del arco de la línea es el límite del perímetro de la polilínea inscrita en ella, cuando el número de eslabones M k-1 M k aumenta indefinidamente, y la longitud del mayor de ellos tiende a cero:

donde λ es la longitud del eslabón más grande.

Contaremos la longitud del arco desde algunos de sus puntos, por ejemplo, UN. Deja en el punto M(x,y) la longitud del arco es s, y en el punto M"(x+Δx,y+Δy) la longitud del arco es s+Δs, donde, i>Δs - longitud de arco. de un triangulo MNM" encontrar la longitud de la cuerda: .

De consideraciones geométricas se sigue que

es decir, el arco infinitamente pequeño de la línea y la cuerda que la subtiende son equivalentes.

Transformemos la fórmula que expresa la longitud de la cuerda:

Pasando al límite en esta igualdad, obtenemos una fórmula para la derivada de la función s=s(x):

de la que encontramos

Esta fórmula expresa el diferencial del arco de una curva plana y tiene un simple significado geométrico: expresa el teorema de Pitágoras para un triángulo infinitesimal MTN (ds=MT, ).

El diferencial del arco de la curva espacial está dado por

Considere un arco de una línea espacial dado por las ecuaciones paramétricas

donde α ≤ t ≤ β, φ yo (t) (yo=1, 2, 3) son funciones diferenciables del argumento t, entonces

Integrando esta igualdad en el intervalo [ α, β ], obtenemos una fórmula para calcular la longitud de este arco de línea

Si la línea está en un plano oxi, entonces z=0 para todos t∈[α, β], Es por eso

En el caso de que la línea plana esté dada por la ecuación y=f(x) (a≤x≤b), donde f(x) es una función diferenciable, la última fórmula toma la forma

Deje que la línea plana esté dada por la ecuación ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) en coordenadas polares. En este caso, tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sen φ, donde se toma como parámetro el ángulo polar φ . En la medida en

entonces la fórmula que expresa la longitud del arco de la línea ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) en coordenadas polares tiene la forma

volumen corporal

Encontremos el volumen de un cuerpo si se conoce el área de cualquier sección transversal de este cuerpo perpendicular a una dirección determinada.

Dividamos este cuerpo en capas elementales por planos perpendiculares al eje Buey y definido por las ecuaciones x=constante. Para cualquier fijo x∈área conocida S=S(x) sección transversal de este cuerpo.

Capa elemental cortada por planos x=x k-1, x = x k (k=1, …, norte, x 0 = un, xn=b), lo reemplazamos por un cilindro de altura ∆x k =x k -x k-1 y area base S(ξk), ξ k ∈.

El volumen del cilindro elemental especificado se expresa mediante la fórmula Δvk =E(ξk)Δxk. Resumamos todos esos productos.

que es la suma integral de la función dada S=S(x) en el segmento [ un, b]. Expresa el volumen de un cuerpo escalonado, formado por cilindros elementales y que reemplaza aproximadamente al cuerpo dado.

El volumen de un cuerpo dado es el límite del volumen del cuerpo escalonado especificado en λ→0 , donde λ - la longitud del mayor de los segmentos elementales ∆xk. Denotamos por V el volumen del cuerpo dado, entonces por definición

Por otro lado,

Por lo tanto, el volumen del cuerpo para secciones transversales dadas se calcula mediante la fórmula

Si el cuerpo se forma por rotación alrededor de un eje Buey trapezoide curvilíneo delimitado desde arriba por un arco de línea continua y=f(x), donde a≤x≤b, entonces S(x)=πf 2 (x) y la última fórmula se convierte en:

Comentario. El volumen de un cuerpo obtenido al rotar un trapezoide curvilíneo limitado a la derecha por una función gráfica x=φ(y) (do ≤ x ≤ re), alrededor del eje Oye calculado por la fórmula

Superficie de giro

Considere la superficie obtenida al rotar el arco de la línea. y=f(x) (a≤x≤b) alrededor del eje Buey(Supongamos que la función y=f(x) tiene una derivada continua). Fijamos el valor x∈, el argumento de la función se incrementará dx, que corresponde al "anillo elemental" obtenido al girar el arco elemental Δl. Este "anillo" se reemplaza por un anillo cilíndrico: la superficie lateral del cuerpo formada por la rotación de un rectángulo con una base igual al diferencial del arco. dl y altura h=f(x). Cortando el último anillo y desplegándolo, obtenemos una tira con un ancho dl y longitud 2 años, donde y=f(x).

Por lo tanto, el diferencial de área superficial se expresa mediante la fórmula

Esta fórmula expresa el área superficial obtenida al girar el arco de una línea y=f(x) (a≤x≤b) alrededor del eje Buey.

Clase 21 Aplicaciones de una integral definida (2 horas)

Aplicaciones Geométricas

un) área de la figura

Como ya se señaló en la lección 19, numéricamente igual al área de un trapezoide curvilíneo delimitado por la curva en = F(X) , lineas rectas X = un, X = b y segmento [ un, b] del eje OX. Al mismo tiempo, si F(X) 0 £ el [ un, b], entonces la integral debe tomarse con signo menos.

Si, en un intervalo dado, la función en = F(X) cambia de signo, entonces para calcular el área de la figura encerrada entre la gráfica de esta función y el eje OX, se debe dividir el segmento en partes, en cada una de las cuales la función conserva su signo, y encontrar el área de cada parte de la figura. El área deseada en este caso es la suma algebraica de las integrales sobre estos segmentos, y las integrales correspondientes a los valores negativos de la función se toman en esta suma con signo menos.

Si la figura está delimitada por dos curvas en = F 1 (X) y en = F 2 (X), F 1 (X)£ F 2 (X), entonces, como sigue de la Fig. 9, su área es igual a la diferencia entre las áreas de los trapecios curvilíneos un sol b y un ANUNCIO b, cada uno de los cuales es numéricamente igual a la integral. Significa,

Tenga en cuenta que el área de la figura que se muestra en la Figura 10, a se encuentra mediante la misma fórmula: S = (¡Pruébalo!). Piense en cómo calcular el área de la figura que se muestra en la Figura 10, b.

Hablamos solo de trapecios curvilíneos adyacentes al eje OX. Pero fórmulas similares también son válidas para figuras adyacentes al eje y. Por ejemplo, el área de la figura que se muestra en la Figura 11 se encuentra mediante la fórmula

Deja que la línea y=F(X) que limita el trapezoide curvilíneo se puede dar mediante las ecuaciones paramétricas , tО , y j(a)= un, j(b) = b, es decir. en= . Entonces el área de este trapezoide curvilíneo es

b) Longitud del arco de la curva

Que haya una curva en = F(X). Considere el arco de esta curva correspondiente al cambio X en el segmento [ un, b]. Encontremos la longitud de este arco. Para ello, dividimos el arco AB en PAG partes con puntos A \u003d M 0, M 1, M 2, ..., M PAG= B (Fig. 14), correspondiente a los puntos X 1 , X 2 , ..., x norte Î [ un, b].

Denotar D yo longitud de arco, entonces yo= . Si las longitudes de arco D yo son lo suficientemente pequeños, entonces pueden considerarse aproximadamente iguales a las longitudes de los segmentos correspondientes que conectan los puntos M i-1,M i. Estos puntos tienen coordenadas M i -1 (x yo -1, F (x yo-1)) , M i(x yo, F(x yo)). Entonces las longitudes de los segmentos son iguales respectivamente

Aquí se utiliza la fórmula de Lagrange. Pongamos x yo – x yo-1=D x yo, obtenemos

Entonces yo = , donde

yo = .

Entonces la longitud del arco de la curva en = F(X) correspondiente al cambio X en el segmento [ un, b], se encuentra por la fórmula

yo = , (1)

Si la curva se da paramétricamente, tО, es decir y(t) = F(X(t)), luego de la fórmula (1) obtenemos:

yo=
.

Entonces, si la curva se da paramétricamente, entonces la longitud del arco de esta curva correspondiente al cambio tí, se encuentra por la fórmula

en) El volumen del cuerpo de revolución.

Figura 15

Considere un trapezoide curvilíneo un AB b, delimitado por una línea en = F(X), derecho X = un, X = b y segmento [ un,b] del eje OX (Fig. 15). Deje que este trapezoide gire alrededor del eje OX, el resultado será un cuerpo de revolución. Se puede demostrar que el volumen de este cuerpo será igual a

De manera similar, puede derivar la fórmula para el volumen de un cuerpo obtenido al girar alrededor del eje y de un trapezoide curvilíneo delimitado por la gráfica de la función X= j( en), derecho y = C , y = d y segmento [ C,d] eje y (Fig. 15):

Aplicaciones físicas de la integral definida

En la lección 19 demostramos que, desde un punto de vista físico, la integral es numéricamente igual a la masa de una barra rectilínea delgada no homogénea de longitud yo= b – un, con densidad lineal variable r = F(X), F(X) ³ 0, donde X es la distancia desde la punta de la varilla hasta su extremo izquierdo.

Consideremos otras aplicaciones físicas de la integral definida.

Tarea 1. Encuentre el trabajo requerido para bombear aceite de un tanque cilíndrico vertical con altura H y radio base R. La densidad del aceite es r.

Decisión. Construyamos un modelo matemático de este problema. Deje que el eje OX pase a lo largo del eje de simetría del cilindro de altura H y radio R, el comienzo, en el centro de la base superior del cilindro (Fig. 17). Partamos el cilindro PAG pequeñas piezas horizontales. Entonces dónde Ai- trabajo de bombeo iª capa. Esta partición del cilindro corresponde a la partición del segmento del cambio en la altura de la capa en PAG partes. Considere una de estas capas ubicada a distancia x yo desde la superficie, ancho D X(o inmediatamente dx). El bombeo de esta capa se puede considerar como "elevar" la capa a una altura x yo.

Entonces el trabajo realizado para bombear esta capa es igual a

Ai"R yo x yo, ,

donde R i=rgV i= rgpR2 dx, R i– peso, V i es el volumen de la capa. Entonces Ai"R yo x yo= rgpR2 dx.x yo, donde

, y por lo tanto .

Tarea 2. Encuentre el momento de inercia

a) un cilindro hueco de paredes delgadas alrededor de un eje que pasa por su eje de simetría;

b) un cilindro sólido alrededor de un eje que pasa por su eje de simetría;

c) longitud de varilla delgada yo sobre el eje que pasa por su centro;

d) longitud de varilla delgada yo sobre el eje que pasa por su extremo izquierdo.

Decisión. Como sabes, el momento de inercia de un punto con respecto al eje es igual a j=señor 2, y sistemas de puntos.

a) El cilindro tiene paredes delgadas, lo que significa que se puede despreciar el espesor de la pared. Sea el radio de la base del cilindro R, su altura H y la densidad de masa en las paredes iguales a r.

Partamos el cilindro PAG partes y encontrar donde Ji- momento de inercia i-ésimo elemento de partición.

Considerar i-ésimo elemento de partición (un cilindro infinitesimal). Todos sus puntos están a una distancia R del eje. yo. Sea la masa de este cilindro yo, entonces yo= rV i» rs lado= 2prR yo, donde x yo o Entonces Ji» R 2 prR yo, donde

Si r es una constante, entonces j= 2prR 3 N, y dado que la masa del cilindro es M = 2prRН, entonces j= MR 2 .

b) Si el cilindro es sólido (lleno), entonces lo dividimos en PAG vlo delgados cilindros encajados uno dentro del otro. si un PAG grande, cada uno de estos cilindros puede considerarse de paredes delgadas. Esta partición corresponde a la partición del segmento en PAG partes por puntos R i. Encontremos la masa i-th cilindro de pared delgada: yo= rV i, donde

V i=pR i 2 H - pr i- 1 2 H \u003d pH (R i 2-R i -1 2) =

PH(R i-R i-1)(R i+R i -1).

Como las paredes del cilindro son delgadas, podemos suponer que R i+R i-1 » 2R i y R i-R i-1=DR i, entonces V i» pH2R i DR i, donde yo» rpН×2R i DR i,

Entonces finalmente

c) Considere una barra de longitud yo, cuya densidad de masa es igual a r. Deje que el eje de rotación pase por su centro.

Modelamos la barra como un segmento del eje OX, luego el eje de rotación de la barra es el eje OY. Considere un segmento elemental, su masa, la distancia al eje puede considerarse aproximadamente igual a yo= x yo. Entonces el momento de inercia de esta sección es , de donde el momento de inercia de toda la barra es . Considerando que la masa de la barra es , entonces

d) Ahora deje que el eje de rotación pase por el extremo izquierdo de la varilla, es decir el modelo de varilla es un segmento del eje OX. Entonces de manera similar, yo= x yo, , donde , y desde entonces .

Tarea 3. Encuentre la fuerza de presión de un fluido con densidad r en un triángulo rectángulo con catetos un y b, sumergido verticalmente en un líquido de modo que la pierna un está en la superficie del líquido.

Decisión.

Construyamos un modelo de tareas. Sea el vértice del ángulo recto del triángulo en el origen, cateto un coincide con el segmento del eje OY (el eje OY determina la superficie del líquido), el eje OX está dirigido hacia abajo, la pierna b coincide con el segmento de este eje. La hipotenusa de este triángulo tiene la ecuación , o .

Se sabe que si sobre el área horizontal del área S, sumergido en un líquido de densidad r, es presionado por una columna de líquido de altura h, entonces la fuerza de presión es igual a (ley de Pascal). Usemos esta ley.

trabajo de fuerza variable

Deje que el punto material M se mueva a lo largo del eje Ox bajo la acción de una fuerza variable F = F(x) dirigida paralelamente a este eje. El trabajo realizado por la fuerza al mover el punto M desde la posición x \u003d a hasta la posición x \u003d b (a< b), находится по формуле (см. п. 36).

Ejemplo 41.10 ¿Cuánto trabajo se debe realizar para estirar el resorte 0,05 m si una fuerza de 100 N estira el resorte 0,01 m?

Solución: De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza elástica que estira el resorte es proporcional a este estiramiento x, es decir, F = kx, donde k es el factor de proporcionalidad. Según la condición del problema, la fuerza F = 100 N estira el resorte x = 0,01 m; por tanto, 100 = k*0,01, de donde k = 10000; por lo tanto F = 10000x.

El trabajo deseado sobre la base de la fórmula (41.10) es igual a

Ejemplo 41.11. Encuentre el trabajo que se debe gastar para bombear líquido sobre el borde de un tanque cilíndrico vertical de altura Hm y radio base Rm.

Solución: El trabajo realizado para levantar un cuerpo de peso p a una altura h es igual a p h. Pero las diferentes capas del líquido en el depósito están a diferentes profundidades y la altura de ascenso (hasta el borde del depósito) de las diferentes capas no es la misma.

Para resolver el problema, aplicamos el esquema II (método diferencial). Introduzcamos el sistema de coordenadas como se muestra en la Figura 193.

1. El trabajo gastado en bombear una capa líquida de espesor x (0 !!!) del depósito< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А0).

2. Encontramos la parte principal del incremento ΔА cuando x cambia en Δх = dx, es decir, encontramos el diferencial dA de la función А(х).

En vista de la pequeñez de dx, suponemos que la capa de líquido "elemental" está a la misma profundidad x (desde el borde del depósito) (ver Fig. 193). Entonces dA = dp*x, donde dp es el peso de esta capa; es igual g*gdv, donde g es la aceleración de caída libre, g es la densidad del líquido, dv es el volumen de la capa de líquido "elemental" (se resalta en la figura), es decir dp=ggdv. El volumen de esta capa líquida es obviamente igual a πR2 dx, donde dx es la altura del cilindro (capa), πR2 es el área de su base, es decir dv=πR2 dx.

Por lo tanto, dp=ggπR2 dx y dA = ggπR2dx*x.

3) Integrando la igualdad resultante en el rango de x \u003d 0 a x \u003d H, encontramos

Camino recorrido por el cuerpo

Deje que el punto material se mueva a lo largo de una línea recta con una velocidad variable v = v (t). Encontremos el camino S recorrido por él en el intervalo de tiempo de t1 a t2.

Solución: Del significado físico de la derivada, se sabe que cuando un punto se mueve en una dirección, “la velocidad del movimiento rectilíneo es igual a la derivada de la trayectoria en el tiempo”, es decir. Esto implica que dS = v(t)dt. Integrando la igualdad resultante dentro de los límites de t1 a t2, obtenemos

Tenga en cuenta que la misma fórmula se puede obtener usando el esquema I o II de aplicar una integral definida.

Ejemplo 41.12. Encuentre la trayectoria recorrida por el cuerpo en 4 segundos desde el inicio del movimiento, si la velocidad del cuerpo es v(t) = 10t + 2 (m/s).

Solución: Si v(t)=10t+2 (m/s), entonces la trayectoria recorrida por el cuerpo desde el inicio del movimiento (t=0) hasta el final del cuarto segundo es igual a

Presión de fluido en una placa vertical

Según la ley de Pascal, la presión de un líquido sobre una placa horizontal es igual al peso de la columna de este líquido, que tiene una placa en su base, y la altura es la profundidad de su inmersión desde la superficie libre del líquido. , es decir, P \u003d g * g * S * h, donde g es la aceleración de caída libre, g es la densidad del líquido, S es el área de la placa, h es la profundidad de su inmersión.

Usando esta fórmula, no se puede buscar la presión de un líquido sobre una placa sumergida verticalmente, ya que sus diferentes puntos se encuentran a diferentes profundidades.

Sumerja verticalmente en el líquido una placa delimitada por las líneas x = a, x = b, y1 = f1(x) y y2=f2(x); el sistema de coordenadas se elige como se muestra en la Figura 194. Para encontrar la presión P del líquido en esta placa, aplicamos el esquema II (método diferencial).

1. Deje que la parte del valor deseado P sea una función de x: p=p(x), es decir, p=p(x) - presión en la parte de la placa correspondiente al segmento [a; x] valores de la variable x, donde x = [a; b] (p(a)=0, p(b) = P).

2. Démosle al argumento x un incremento Δх = dx. La función p(x) recibirá un incremento Δp (en la figura, una tira de capa de espesor dx). Encontremos la diferencial dp de esta función. En vista de la pequeñez de dx, consideraremos la tira aproximadamente como un rectángulo, cuyos puntos están todos a la misma profundidad x, es decir, esta placa es horizontal.

Entonces, de acuerdo con la ley de Pascal

3. Integrando la igualdad resultante en el rango de x = a a x = B, obtenemos

Ejemplo 41.13. Determine la cantidad de presión del agua sobre un semicírculo sumergido verticalmente en un líquido si su radio es R y el centro O está en la superficie libre del agua (vea la figura 195).

Solución: Usemos la fórmula obtenida para encontrar la presión del fluido en una placa vertical. En este caso, la placa está limitada por las líneas x = 0, x = R. Asi que

Cálculo de momentos estáticos y coordenadas del centro de gravedad de una curva plana Sea un sistema de puntos materiales M1 (x1; y1), M2(x2; y2),..., Mn(xn; yn) respectivamente con masas m1, m2,... ...,mn en el Oxy avión.

El momento estático Sx de un sistema de puntos materiales con respecto al eje Ox es la suma de los productos de las masas de estos puntos y sus ordenadas (es decir, las distancias de estos puntos desde el eje Ox):

El momento estático Sy de este sistema relativo al eje se define de manera similar

Si las masas se distribuyen continuamente a lo largo de alguna curva, entonces se necesita integración para expresar el momento estático.

Sea y = ƒ(x) (a≤x≤b) la ecuación de la curva material AB. Lo consideraremos homogéneo con una densidad lineal constante g (g = const).

Para x arbitrario є [a; b] sobre la curva AB hay un punto de coordenadas (x; y). Destaquemos en la curva un segmento elemental de longitud dl que contiene el punto (x; y). Entonces la masa de esta sección es igual a g dl. Tomemos este segmento dl aproximadamente como un punto a una distancia y del eje x. Entonces el diferencial del momento estático dSx ("momento elemental") será igual a gdly, es decir, dSx = gdly (ver Fig. 196).

De ello se deduce que el momento estático Sx de la curva AB relativo al eje Ox es igual a

De manera similar, encontramos Sy:

Los momentos estáticos Sx y Sy de la curva facilitan establecer la posición de su centro de gravedad (centro de masa).

El centro de gravedad de una curva plana material y \u003d ƒ (x), x Î es un punto del plano que tiene la siguiente propiedad: si toda la masa m de una curva dada se concentra en este punto, entonces el momento estático de este punto en relación con cualquier eje de coordenadas será igual al momento estático de toda la curva y \u003d ƒ (x) sobre el mismo eje. Denote por C(xc;us) el centro de gravedad de la curva AB.

La definición del centro de gravedad implica las igualdades De aquí o

Ejemplo 41.14. Encuentre el centro de gravedad de un arco circular homogéneo x ^ 2 + y ^ 2 = R ^ 2 ubicado en el primer cuadrante de coordenadas (ver Fig. 197).

Solución: Obviamente, la longitud del arco circular indicado es igual a πR/2, es decir, l=πR/2. Encontremos su momento estático relativo al eje Ox. Como la ecuación del arco es

Es decir,

Como este arco es simétrico con respecto a la bisectriz del primer ángulo coordenado, entonces xc=us=2R/π. Entonces, el centro de gravedad tiene coordenadas

Cálculo de momentos estáticos y coordenadas del centro de gravedad de una figura plana

Sea una figura del plano material (placa), delimitada por la curva y = ƒ(x) 0 y las rectas y = 0, x = a, x = b (ver Fig. 198).

Suponemos que la densidad superficial de la placa es constante (g = const). Entonces la masa de la “placa entera es igual a g * S, es decir Destacamos una sección elemental de la placa en forma de una tira vertical infinitamente estrecha y la consideraremos aproximadamente un rectángulo.

Entonces su masa es igual a gydx. El centro de gravedad C del rectángulo se encuentra en la intersección de las diagonales del rectángulo. Este punto C está a 1/2*y del eje Ox, yax del eje Oy (aproximadamente, más precisamente, a una distancia de x+1/2∆x). Entonces, para los momentos estáticos elementales respecto a los ejes Ox y Oy, las relaciones

Por lo tanto,

Por analogía con una curva plana, obtenemos al denotar las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (placa) a través de C(xs; nosotros), qué m xc=Sy, m us=Sx. De aquí

Ejemplo 41.15. Encuentre las coordenadas del centro de gravedad del semicírculo x ^2+y^2≤R^2, y≥0 (g=constante)(ver figura 199).

Solución: Es obvio (debido a la simetría de la figura respecto al eje Oy) que xc = 0. El área del semicírculo es Hallar Sx:

Es decir,

Entonces, el centro de gravedad tiene coordenadas

41.1. Esquemas para aplicar una integral definida

Sea necesario encontrar el valor de alguna cantidad geométrica o física A (el área de la figura, el volumen del cuerpo, la presión del fluido sobre la placa vertical, etc.) asociada con el segmento del cambio en el variable independiente x. Se supone que esta cantidad A es aditiva, es decir, tal que cuando el segmento [a; b] punto con є (a; b) en la parte [a; s] y [s; b] el valor de A, correspondiente a todo el segmento [a; b], es igual a la suma de sus valores correspondientes a [a; s] y [s; b].

Para encontrar este valor A, puede guiarse por uno de dos esquemas: esquema I (o el método de sumas integrales) y esquema II (o el método diferencial).

El primer esquema se basa en la definición de una integral definida.

1. Con los puntos x 0 = a, x 1 ,..., x n = b, dividir el segmento [a, b] en n partes. De acuerdo con esto, el valor A que nos interesa se dividirá en n "términos elementales" ΔAi (i = 1,...,n): A = ΔA 1 + ΔA 2 +...+ ΔA n .

2. Representar cada “término elemental” como producto de alguna función (determinada a partir de la condición del problema) calculada en un punto arbitrario del segmento correspondiente por su longitud: ΔA i ≈ ƒ(c i)Δx i.

Al encontrar un valor aproximado de ΔA i, se permiten algunas simplificaciones: un arco en un área pequeña puede reemplazarse por una cuerda que tensa sus extremos; la velocidad variable en un área pequeña puede considerarse aproximadamente constante, etc.

Obtengamos el valor aproximado de A en forma de suma integral:

3. El valor deseado A es igual al límite de la suma integral, es decir

Este "método de las sumas", como vemos, se basa en la representación de la integral como la suma de un número infinitamente grande de términos infinitamente pequeños.

El esquema I se aplicó para aclarar el significado geométrico y físico de una integral definida.

El segundo esquema es un esquema I ligeramente modificado y se denomina "método diferencial" o "método de descartar órdenes superiores infinitesimales":

1) sobre el segmento [a;b], elegimos un valor arbitrario de x y consideramos el segmento variable [a; X]. En este segmento, el valor A se convierte en una función de x: A \u003d A (x), es decir, consideramos que parte del valor deseado A es una función desconocida A (x), donde x es uno de los parámetros de la valor A;

2) encontramos la parte principal del incremento ΔА cuando x cambia en una pequeña cantidad Δх = dx, es decir, encontramos el diferencial dA de la función А = А(х): dA = ƒ(х) dx, donde ƒ(х ) se determina a partir de la condición del problema , una función de la variable x (aquí también son posibles varias simplificaciones);

3) suponiendo que dA ≈ ΔА en Δх → 0, encontramos el valor deseado integrando dA en el rango de a a b:

41.2. Cálculo del área de figuras planas

Coordenadas rectangulares

Como ya se estableció (ver "significado geométrico de una integral definida"), el área de un trapezoide curvilíneo ubicado "encima" del eje de abscisas (ƒ(x) ≥ 0) es igual a la integral definida correspondiente:

La fórmula (41.1) se obtiene aplicando el esquema I, el método de la suma. Justificamos la fórmula (41.1) usando el esquema II. Deje que el trapezoide curvilíneo esté delimitado por líneas y \u003d ƒ (x) ≥ 0, x \u003d a, x \u003d b, y \u003d 0 (ver Fig. 174).

Para encontrar el área S de este trapezoide, realizamos las siguientes operaciones:

1. Tome una x О [а; b] y supongamos que S = S(x).

2. Démosle al argumento x un incremento Δх = dx (х + Δх є [а; b]). La función S = S(x) recibirá un incremento ΔS, que es el área del "trapezoide curvilíneo elemental" (se resalta en la figura).

El diferencial de área dS es la parte principal del incremento ΔS en Δx → 0, y obviamente es igual al área de un rectángulo de base dx y altura y: dS = y dx.

3. Integrando la igualdad resultante en el rango de x \u003d a a x \u003d b, obtenemos

Tenga en cuenta que si el trapezoide curvilíneo se encuentra "debajo" del eje Ox (ƒ(x)< 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Las fórmulas (41.1) y (41.2) se pueden combinar en una sola:

El área de una figura delimitada por curvas y \u003d fι (x) e y \u003d ƒg (x), líneas rectas x \u003d a y x \u003d b (siempre que ƒ 2 (x) ≥ ƒ 1 (x)) (ver Fig. 175) , se puede encontrar usando la fórmula

Si una figura plana tiene una forma "compleja" (ver Fig. 176), entonces con líneas rectas paralelas al eje Oy, debe dividirse en partes para que se puedan aplicar fórmulas ya conocidas.

Si un trapezoide curvilíneo está delimitado por líneas rectas y \u003d c e y \u003d d, el eje Oy y una curva continua x \u003d φ (y) ≥ 0 (ver Fig. 177), entonces su área se encuentra mediante la fórmula

Y, finalmente, si un trapezoide curvilíneo está acotado por una curva dada paramétricamente

líneas rectas x \u003d aix \u003d b y el eje Ox, luego su área se encuentra mediante la fórmula

donde a y β se determinan a partir de las igualdades x(a) = a y x(β) =b.

Ejemplo 41.1. Encuentre el área de la figura delimitada por el eje Ox y el gráfico de la función y \u003d x 2 - 2x en x є.

Solución: La figura tiene la forma que se muestra en la Figura 178. Encuentra su área S:

Ejemplo 41.2. Calcule el área de la figura delimitada por la elipse x \u003d a cos t, y \u003d b sin t.

Solución: Primero encontramos 1/4 del área S. Aquí x cambia de 0 a a, por lo tanto, t cambia de 0 (ver Fig. 179). Encontramos:

Por lo tanto . Entonces S = π aB.

Coordenadas polares

Encuentre el área S del sector curvilíneo, es decir, una figura plana limitada por una línea continua r=r(φ) y dos rayos φ=a y φ=β (a< β), где r и φ - полярные координаты (см. рис. 180). Для решения задачи используем схему II - método diferencial.

1. Consideraremos la parte del área deseada S en función del ángulo φ, es decir, S = S(φ), donde a ≤ φ ≤ β (si φ = a, entonces S(a) = 0, si φ=β, entonces S(β) = S).

2. Si el ángulo polar actual φ se incrementa Δφ = dφ, entonces el incremento de área AS es igual al área del "sector curvilíneo elemental" OAB.

El diferencial dS es la parte principal del incremento ΔS en dφ → 0 y es igual al área del sector circular ОАS (está sombreado en la figura) de radio r con un ángulo central dφ. Asi que

3. Integrando la igualdad resultante en el rango de φ = a a φ = β, obtenemos el área deseada

Ejemplo 41.3. Encuentre el área de la figura delimitada por la "rosa de tres pétalos" r = acos3φ (ver Fig. 181).

Solución: primero encontramos el área de la mitad de un pétalo de rosa, es decir, 1/6 del área total de la figura:

es decir, por lo tanto,

Si una figura plana tiene una forma "compleja", entonces, por los rayos que salen del poste, debe dividirse en sectores curvilíneos, a los que se debe aplicar la fórmula resultante para encontrar el área. Entonces, para la figura que se muestra en la Figura 182, tenemos:

41.3. Cálculo de la longitud del arco de una curva plana

Coordenadas rectangulares

Sea una curva plana AB dada en coordenadas rectangulares, cuya ecuación es y=ƒ(x), donde a≤x≤b.

La longitud del arco AB se entiende como el límite al que tiende la longitud de una línea quebrada inscrita en este arco cuando el número de eslabones de la línea quebrada aumenta indefinidamente, y la longitud de su eslabón mayor tiende a cero. Demostremos que si la función y \u003d ƒ (x) y su derivada y "\u003d ƒ" (x) son continuas en el segmento [a; b], entonces la curva AB tiene una longitud igual a

Aplicamos el esquema I (método de la suma).

1. Puntos x 0 = a, x 1 ..., x n = b (x 0< x 1 < ...< х n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М 0 = А, M 1 ,...,M n =В накривой АВ. Проведем хорды М 0 M 1 , M 1 M 2 ,..., М n-1 М n , длины которых обозначим соответственно через ΔL 1 , AL 2 ,..., ΔL n . Получим ломаную M 0 M 1 M 2 ... M n-ι M n , длина которой равна L n =ΔL 1 + ΔL 2 +...+ ΔL n =

2. La longitud de una cuerda (o un enlace de una línea quebrada) ΔL 1 se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras de un triángulo con catetos Δx i y Δу i:

De acuerdo con el teorema de Lagrange sobre el incremento finito de la función Δу i \u003d ƒ "(c i) Δх i, donde ci є (x i-1; x i). Por lo tanto

y la longitud de toda la polilínea M 0 M 1 ... M n es igual a

3. Longitud yo la curva AB, por definición, es igual a

Nótese que para ΔL i → 0 también Δx i → 0 ΔLi = y, en consecuencia, |Δx i |<ΔL i).

Función continua en el segmento [a; b], ya que, por condición, la función ƒ "(x) es continua. Por lo tanto, existe un límite a la suma integral (41.4) cuando max Δx i → 0 :

Por lo tanto, o en forma abreviada yo =

Si la ecuación de la curva AB se da en forma paramétrica

donde x(t) e y(t) son funciones continuas con derivadas continuas y x(a) = a, x(β) = b, entonces la longitud yo la curva AB se encuentra mediante la fórmula

La fórmula (41.5) se puede obtener a partir de la fórmula (41.3) sustituyendo x = x(t),dx = x"(t)dt,

Ejemplo 41.4. Encuentre la circunferencia de un círculo con radio R.

Solución: Calcular 1/4 de su longitud desde el punto (0; R) hasta el punto (R; 0) (ver Fig. 184). Como entonces

Significa, yo= 2π R. Si la ecuación circular se escribe en la forma paramétrica x=Rcost, y = Rsint (0≤t≤2π), entonces

El cálculo de la longitud del arco se puede basar en la aplicación del método diferencial. Mostremos cómo se puede obtener la fórmula (41.3) aplicando el esquema II (método diferencial).

1. Tome un valor arbitrario x є [a; b] y considere el segmento variable [a;x]. En él el valor yo se convierte en una función de x, es decir yo = yo(X) ( yo(a) = 0 y yo(b) = yo).

2. Encontrar el diferencial dl funciones yo = yo(x) cuando x cambia en una pequeña cantidad Δх = dx: dl = yo"(x)dx. Encuentra yo"(x), reemplazando el arco infinitesimal MN por la cuerda Δ yo, contrayendo este arco (ver Fig. 185):

3. Integrando dl de a a b, obtenemos

Igualdad se llama la fórmula diferencial del arco en coordenadas rectangulares.

Dado que y "x \u003d -dy / dx, entonces

La última fórmula es el teorema de Pitágoras para un triángulo infinitesimal MST (ver Fig. 186).

Coordenadas polares

Sea la curva AB dada por la ecuación en coordenadas polares r = r(φ), a≤φ≤β. Suponga que r(φ) y r"(φ) son continuas en el segmento [a;β].

Si en las igualdades x = rcosφ, y = rsinφ, relacionando las coordenadas polares y cartesianas, el ángulo φ se considera un parámetro, entonces la curva AB se puede establecer paramétricamente

Aplicando la fórmula (41.5), obtenemos

Ejemplo 41.5. Encuentre la longitud del cardioide r = = a(1 + cosφ).

Solución: el cardioide r \u003d a (1 + cosφ) tiene la forma que se muestra en la Figura 187. Es simétrico con respecto al eje polar. Encuentre la mitad de la longitud de la cardioide:

Así, 1/2l= 4a. Entonces, l = 8a.

41.4. Cálculo del volumen corporal

Cálculo del volumen del cuerpo a partir de áreas conocidas de secciones paralelas

Sea necesario encontrar el volumen V del cuerpo, y las áreas S de las secciones de este cuerpo son conocidas por planos perpendiculares a algún eje, por ejemplo, el eje Ox: S = S(x), a ≤ x ≤ b.

1. A través de un punto arbitrario x є dibujamos un plano ∏ perpendicular al eje Ox (ver Fig. 188). Denote por S(x) el área de la sección transversal del cuerpo por este plano; Se supone que S(x) se conoce y cambia continuamente a medida que cambia x. Denotamos por v(x) el volumen de la parte del cuerpo que se encuentra a la izquierda del plano P. Supondremos que en el segmento [a; x] la cantidad v es una función de x, es decir, v = v(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Encuentra el diferencial dV de la función v = v(x). Es una "capa elemental" del cuerpo encerrada entre planos paralelos que cortan el eje Ox en los puntos x y x + Δx, que puede tomarse aproximadamente como un cilindro de base S(x) y altura dx. Por lo tanto, el diferencial de volumen dV = S(x) dx.

3. Encontramos el valor deseado V integrando dA en el rango de a a B:

La fórmula resultante se llama fórmula para el volumen de un cuerpo en términos del área de secciones paralelas.

Ejemplo 41.6. Hallar el volumen de un elipsoide

Solución: Cortar el elipsoide con un plano paralelo al plano Oyz y a una distancia x del mismo (-a ≤х≤ a), obtenemos una elipse (ver Fig. 189):

El área de esta elipse es

Por lo tanto, por la fórmula (41.6), tenemos

Volumen de un cuerpo de revolución

Deje que un trapezoide curvilíneo gire alrededor del eje Ox, delimitado por una línea continua y \u003d ƒ (x) 0, un segmento a ≤ x ≤ b y líneas rectas x \u003d a y x \u003d b (ver Fig. 190). La figura obtenida de la rotación se llama cuerpo de rotación. La sección de este cuerpo por un plano perpendicular al eje Ox que pasa por un punto arbitrario x del eje Ox (x Î [un; b]), existe una circunferencia de radio y= ƒ(x). Por lo tanto, S(x)= π y 2.

Aplicando la fórmula (41.6) del volumen del cuerpo en función del área de secciones paralelas, obtenemos

Si un trapezoide curvilíneo está delimitado por un gráfico de una función continua x = φ (y) ≥ 0 y líneas rectas x \u003d 0, y \u003d c,

y = d (con< d), то объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по аналогии с формулой (41.7), равен

Ejemplo 41.7. Encuentra el volumen de un cuerpo formado por la rotación de una figura limitada por líneas alrededor del eje Oy (ver Fig. 191).

Solución: De acuerdo con la fórmula (41.8) encontramos:

41.5. Cálculo del área superficial de revolución.

Sea la curva AB el gráfico de la función y \u003d ƒ (x) ≥ 0, donde x є [a; b], y la función y \u003d ƒ (x) y su derivada y "=ƒ" (x) son continuas en este segmento.

Encontremos el área S de la superficie formada por la rotación de la curva AB alrededor del eje Ox.

Aplicamos el esquema II (método diferencial).

1. A través de un punto arbitrario x є [a; b] dibuja un plano ∏ perpendicular al eje x. El plano ∏ interseca la superficie de revolución en un círculo con radio y = ƒ(x) (ver Fig. 192). El valor S de la superficie de la parte de la figura de revolución que se encuentra a la izquierda del plano es una función de x, es decir, s=s(x) (s(a)=0 y s(b)=S).

2. Démosle al argumento x un incremento Δх = dx. Por el punto x + dx є [a; b] también dibuje un plano perpendicular al eje x. La función s=s(x) se incrementará en Az, que se muestra en la figura como un "cinturón".

Encontremos la diferencial del área ds, reemplazando la figura formada entre las secciones por un cono truncado, cuya generatriz es igual a dl, y los radios de las bases son iguales a y e y + dy. El área de su superficie lateral es igual a ds= π (y+y+ dy) dl=2π en dl + π dydl. Descartando el producto dydl como un orden infinitesimal mayor que ds, obtenemos ds=2 π en dl, o, desde

3. Integrando la igualdad resultante en el rango de x = a a x = b, obtenemos

Si la curva AB está dada por las ecuaciones paramétricas x \u003d x (t), y \u003d y (t), t 1 ≤ t ≤ t 2, entonces la fórmula (41.9) para el área de la superficie de la rotación toma la forma

Ejemplo 41.8. Encuentra el área de la superficie de una esfera de radio R.

Ejemplo 41.9. dana cicloide

Encuentre el área de la superficie formada por su rotación alrededor del eje x.

Solución: Cuando la mitad del arco cicloide gira alrededor del eje Ox, el área de superficie de rotación es igual a

41.6. Aplicaciones mecánicas de la integral definida

trabajo de fuerza variable

Ejemplo 41.10 ¿Cuánto trabajo se debe realizar para estirar el resorte 0,05 m si una fuerza de 100 N estira el resorte 0,01 m?

El trabajo deseado sobre la base de la fórmula (41.10) es igual a

Ejemplo 41.11. Encuentre el trabajo que debe gastarse para bombear líquido sobre el borde desde un tanque cilíndrico vertical de altura Hm y radio base Rm.

Para resolver el problema, aplicamos el esquema II (método diferencial). Introduzcamos el sistema de coordenadas como se muestra en la Figura 193.

1. El trabajo gastado en bombear una capa líquida de espesor x (0 !!!) del depósito< x !!!< H), есть функция от х, т.е. А = А(х), где 0≤x≤H (А(0)=0, А(Н)=А 0).

2. Encontramos la parte principal del incremento ΔА cuando x cambia en Δх = dx, es decir, encontramos el diferencial dA de la función А(х).

En vista de la pequeñez de dx, suponemos que la capa de líquido "elemental" está a la misma profundidad x (desde el borde del depósito) (ver Fig. 193). Entonces dA = dp*x, donde dp es el peso de esta capa; es igual a g *g dv, donde g es la aceleración de caída libre, g es la densidad del líquido, dv es el volumen de la capa de líquido "elemental" (se resalta en la figura), es decir, dp = gg dv . El volumen de esta capa líquida es obviamente igual a π R 2 dx, donde dx es la altura del cilindro (capa), π R 2 - el área de su base, es decir, dv \u003d π R2dx.

Entonces dp=gg π R 2 dx y dA = gg π R2dx*x.

3) Integrando la igualdad resultante en el rango de x \u003d 0 a x \u003d H, encontramos

Camino recorrido por el cuerpo

Deje que el punto material se mueva a lo largo de una línea recta con una velocidad variable v = v (t). Encontremos el camino S, recorrido por él en el intervalo de tiempo de t 1 a t 2 .

Solución: Del significado físico de la derivada, se sabe que cuando un punto se mueve en una dirección, “la velocidad del movimiento rectilíneo es igual a la derivada del tiempo de la trayectoria”, es decir, se sigue que dS = v(t)dt . Integrando la igualdad resultante en el rango de t 1 a t 2, obtenemos

Tenga en cuenta que la misma fórmula se puede obtener usando el esquema I o II de aplicar una integral definida.

Ejemplo 41.12. Encuentre la trayectoria recorrida por el cuerpo en 4 segundos desde el inicio del movimiento, si la velocidad del cuerpo es v(t) = 10t + 2 (m/s).

Solución: Si v(t)=10t+2 (m/s), entonces la trayectoria recorrida por el cuerpo desde el inicio del movimiento (t=0) hasta el final del cuarto segundo es igual a

Presión de fluido en una placa vertical

Usando esta fórmula, no se puede buscar la presión de un líquido sobre una placa sumergida verticalmente, ya que sus diferentes puntos se encuentran a diferentes profundidades.

Sumerja verticalmente en el líquido una placa delimitada por las líneas x = a, x = b, y 1 = f 1 (x) y y 2 =ƒ 2 (x); el sistema de coordenadas se elige como se muestra en la Figura 194. Para encontrar la presión P del líquido en esta placa, aplicamos el esquema II (método diferencial).

Entonces, de acuerdo con la ley de Pascal

3. Integrando la igualdad resultante en el rango de x = a a x = B, obtenemos

De manera similar, el momento estático S y de este sistema se determina en relación con el eje

Si las masas se distribuyen continuamente a lo largo de alguna curva, entonces se necesita integración para expresar el momento estático.

Sea y = ƒ(x) (a≤ x≤ b) la ecuación de la curva material AB. Lo consideraremos homogéneo con una densidad lineal constante g (g = const).

Para x arbitrario є [a; b] sobre la curva AB hay un punto de coordenadas (x; y). Destaquemos en la curva un segmento elemental de longitud dl que contiene el punto (x; y). Entonces la masa de esta sección es igual a g dl. Tomemos este segmento dl aproximadamente como un punto a una distancia y del eje x. Entonces el diferencial del momento estático dS x ("momento elemental") será igual a g dly, es decir, dS x = g dly (ver Fig. 196).

De ello se deduce que el momento estático S x de la curva AB relativo al eje Ox es igual a

De manera similar, encontramos S y:

Los momentos estáticos S x y S y de la curva facilitan establecer la posición de su centro de gravedad (centro de masa).

La definición del centro de gravedad implica las igualdades De aquí

Cálculo de momentos estáticos y coordenadas del centro de gravedad de una figura plana

Sea una figura del plano material (placa), delimitada por la curva y = ƒ(x) 0 y las rectas y = 0, x = a, x = b (ver Fig. 198).

Entonces su masa es g ydx. El centro de gravedad C del rectángulo se encuentra en la intersección de las diagonales del rectángulo. Este punto C está a 1/2*y del eje Ox, ya x del eje Oy (aproximadamente, más precisamente, a una distancia x + 1/2 ∆x). Entonces, para los momentos estáticos elementales respecto a los ejes Ox y Oy, las relaciones

Entonces, el centro de gravedad tiene coordenadas