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EUCLIDES (alrededor de 365 - 300 a. C.)
Galería de grandes matemáticos
Preparado por el profesor de matemáticas MOU escuela secundaria No. 36 de Kaliningrado Kovalchuk Larisa Leonidovna
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Casi nada se sabe sobre la vida de este científico. Solo unas pocas leyendas sobre él han llegado hasta nosotros. El primer comentarista de los "Comienzos" Proclo (siglo V dC) no pudo indicar dónde y cuándo nació y murió Euclides. Según Proclo, “este sabio” vivió en la época del reinado de Ptolomeo I. Algunos datos biográficos se conservan en las páginas de un manuscrito árabe del siglo XII: sirio, natural de Tiro.
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Una de las leyendas cuenta que el rey Ptolomeo decidió estudiar geometría. Pero resultó que esto no es tan fácil de hacer. Luego llamó a Euclides y le pidió que le mostrara un camino fácil hacia las matemáticas. “No existe un camino real hacia la geometría”, le respondió el científico. Así, en forma de leyenda, esta expresión, que se ha hecho popular, ha llegado hasta nosotros.
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El rey Ptolomeo I, para glorificar su estado, atrajo a científicos y poetas al país, creando para ellos el templo de las musas: Museion. Había salas de estudio, un jardín botánico y zoológico, un estudio astronómico, una torre astronómica, salas para trabajos solitarios y, lo más importante, una magnífica biblioteca. Entre los científicos invitados se encontraba Euclides, quien fundó una escuela de matemáticas en Alejandría, la capital de Egipto, y escribió su obra fundamental para sus alumnos.
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Fue en Alejandría donde Euclides fundó una escuela matemática y escribió una gran obra sobre geometría, reunida bajo el título general "Comienzos", la obra principal de su vida. Se cree que fue escrito alrededor del 325 a. Los predecesores de Euclides: Tales, Pitágoras, Aristóteles y otros hicieron mucho por el desarrollo de la geometría. Pero todos estos eran fragmentos separados, no un solo esquema lógico.
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Tanto los contemporáneos como los seguidores de Euclides se sintieron atraídos por la naturaleza sistemática y lógica de la información presentada. "Comienzos" consta de trece libros, construidos según un único esquema lógico. Cada uno de los trece libros comienza con una definición de los conceptos (punto, línea, plano, figura, etc.) que se utilizan en él, y luego, con base en un pequeño número de disposiciones básicas (5 axiomas y 5 postulados), aceptados sin prueba, todo el sistema es geometría construida.
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En ese momento, el desarrollo de la ciencia no implicaba la existencia de métodos de matemáticas prácticas. Los libros I-IV cubrían la geometría y su contenido se remontaba a las obras de la escuela pitagórica. En el libro V se desarrolló la doctrina de las proporciones, que era contigua a Eudoxo de Cnido. Los libros VII-IX contenían la doctrina de los números, representando el desarrollo de las fuentes primarias pitagóricas. Los libros X-XII contienen definiciones de áreas en el plano y el espacio (estereometría), la teoría de la irracionalidad (especialmente en el Libro X); el libro XIII contiene estudios de cuerpos regulares, remontándose a Teeteto.
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Rafael Santi, Euclides, detalle 1508-11, fresco "Escuela de Atenas" Stanz della Senyatura, Vaticano, Roma, Italia
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Los "Elementos" de Euclides es una presentación de esa geometría, que se conoce hasta el día de hoy con el nombre de geometría euclidiana. Describe las propiedades métricas del espacio que la ciencia moderna llama espacio euclidiano. El espacio euclidiano es el escenario de los fenómenos físicos de la física clásica, cuyos cimientos fueron establecidos por Galileo y Newton. Este espacio es vacío, ilimitado, isótropo, tiene tres dimensiones. Euclides dio certeza matemática a la idea atomista del espacio vacío en el que se mueven los átomos. El objeto geométrico más simple de Euclides es el punto, que define como algo que no tiene partes. En otras palabras, un punto es un átomo indivisible del espacio.
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La infinidad del espacio se caracteriza por tres postulados: "Se puede trazar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto". "Una línea recta acotada puede extenderse continuamente a lo largo de una línea recta". "De cada centro y cada solución se puede describir un círculo".
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La doctrina de las paralelas y el famoso quinto postulado (“Si una recta que cae sobre dos rectas forma interior y por un lado forma ángulos menores que dos rectas, entonces estas dos rectas extendidas indefinidamente se encontrarán en el lado donde los ángulos son menores que dos rectas» ) definen las propiedades del espacio euclidiano y su geometría, diferente de las geometrías no euclidianas.
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Se suele decir de los "Principios" que después de la Biblia es el monumento escrito más popular de la antigüedad. El libro tiene una historia muy interesante. Durante dos mil años, fue un libro de referencia para los escolares, utilizado como curso elemental de geometría. Los Elementos fueron extremadamente populares, y los escribas industriosos hicieron muchas copias de ellos en varias ciudades y países. Más tarde, los "Principios" se transfirieron del papiro al pergamino y luego al papel. A lo largo de cuatro siglos, los "Principios" se publicaron 2.500 veces: en promedio, se publicaron 6-7 ediciones al año. Hasta el siglo XX, el libro fue considerado el principal libro de texto sobre geometría, no solo para las escuelas, sino también para las universidades.
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Los "Elementos" de Euclides fueron estudiados a fondo por los árabes y más tarde por científicos europeos. Han sido traducidas a los principales idiomas del mundo. Los primeros originales se imprimieron en 1533 en Basilea. Es curioso que la primera traducción al inglés, que data de 1570, la hiciera Henry Billingway, el comerciante londinense que Euclides posee obras matemáticas posteriores en parte conservadas y en parte reconstruidas. Fue él quien introdujo el algoritmo. para obtener el máximo común divisor de dos números naturales tomados arbitrariamente y un algoritmo llamado "cuenta de Eratóstenes" para encontrar números primos a partir de un número dado.
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Euclides sentó las bases de la óptica geométrica, que esbozó en las obras "Óptica" y "Katoptrik". El concepto básico de la óptica geométrica es un haz de luz rectilíneo. Euclides argumentó que el haz de luz proviene del ojo (la teoría de los rayos visuales), lo cual no es esencial para las construcciones geométricas. Conoce la ley de la reflexión y la acción de enfoque de un espejo esférico cóncavo, aunque todavía no puede determinar la posición exacta del foco.De todos modos, en la historia de la física, el nombre de Euclides como el fundador de la óptica geométrica ha tomado su lugar adecuado.
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En Euclides, también encontramos una descripción del monocordio, un instrumento de una sola cuerda para determinar el tono de una cuerda y sus partes. Se cree que Pitágoras inventó el monocordio y Euclides solo lo describió ("División del Canon", siglo III a. C.). Euclides, con su pasión característica, retomó el sistema numeral de las relaciones interválicas. La invención del monocordio fue importante para el desarrollo de la música. Gradualmente, en lugar de una cuerda, comenzaron a usarse dos o tres. Este fue el comienzo de la creación de instrumentos de teclado, primero el clavicémbalo, luego el piano, y las matemáticas se convirtieron en la causa fundamental de la aparición de estos instrumentos musicales.
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Por supuesto, todas las características del espacio euclidiano no se descubrieron de inmediato, sino como resultado del trabajo centenario del pensamiento científico, pero el punto de partida de este trabajo fueron los "Comienzos" de Euclides. El conocimiento de los fundamentos de la geometría euclidiana es ahora un elemento necesario de la educación general en todo el mundo.
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http://biographera.net/biography.php?id=50 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html
El destacado matemático griego antiguo Euclides nació en Megara, una pequeña ciudad griega. Sabemos muy poco sobre su vida, incluso se desconoce la fecha de nacimiento y muerte de esta persona. Por lo general, solo se indica el siglo IV a. C., cuando nació, y el siglo III a. C., el apogeo de sus actividades en Alejandría, la capital de Egipto bajo la dinastía greco-macedonia ptolemaica. En el mundo antiguo, los Ptolomeos no tenían paralelo en su patrocinio de científicos, escritores, inventores y poetas. Se sabe que fue alumno de Platón.
Un día, el rey Ptolomeo le preguntó a Euclides si había otra forma no tan difícil de conocer la geometría que la que el científico esbozaba en sus "Principios". Euclides respondió: Oh rey, no hay caminos reales en geometría ».
- Durante mucho tiempo, los científicos creyeron que no había un personaje histórico específico, que un grupo de matemáticos se escondía bajo el nombre de Euclides. Sin embargo, se encontró evidencia de su existencia en un manuscrito encontrado del siglo XII. Euclides terminó en Alejandría como maestro de Museion, es decir. literalmente "la morada de las Musas", pero de hecho - el prototipo de las futuras universidades europeas. En esta magnífica ciudad, Euclides creó su obra "Comienzos" (o "Elementos" en forma latinizada). Los quince libros de los "Principios" contienen casi todos los logros más importantes de las matemáticas antiguas. Durante más de dos mil años, el ensayo euclidiano siguió siendo el principal trabajo sobre matemáticas elementales. Pero el logro de Euclides no está solo en el hecho de que descubrió leyes y teoremas, sino también en el hecho de que el gran matemático trajo material teórico extenso y disperso a un sistema y lo dispuso en una secuencia tal que cada teorema siguió al anterior. uno. Dio el primer sistema de axiomas - declaraciones aceptadas sin prueba. El hecho de que las matemáticas sean llamadas la más exacta de las ciencias es un mérito considerable de Euclides.
- Y ahora hablemos de cuáles fueron exactamente los descubrimientos de Euclides.
- Los conceptos básicos del álgebra geométrica (la ciencia de calcular segmentos y áreas) se describieron en yo reservo"Comenzó". Allí se consideran los segmentos y se definen las operaciones aritméticas sobre ellos. Por ejemplo, se sumaban dos segmentos uniendo uno al otro, se restaban, quitando del segmento mayor una parte igual al menor. El cálculo definido en álgebra geométrica fue "graduado". La primera etapa consistió en segmentos, la segunda - áreas, la tercera - volúmenes. Las herramientas con las que se permitía realizar construcciones en álgebra geométrica eran el compás y la regla.
- EN Libro II se consideran las propiedades principales de triángulos, rectángulos, paralelogramos y se comparan sus áreas. El libro termina con el teorema de Pitágoras.
- EN Libro III se consideran las propiedades del círculo, sus tangentes y cuerdas (estos problemas fueron estudiados por Hipócrates de Quíos en la segunda mitad del siglo V a. C.).
En 1739, el libro "Comienzos" fue traducido al ruso. Aquí está la primera página del primer libro.
- EN Libro IV son polígonos regulares. EN Libro V se da la teoría general de las relaciones de magnitudes, creada por Eudoxo de Cnido; puede considerarse como un prototipo de la teoría de los números reales, desarrollada solo en la segunda mitad del siglo XIX. La teoría general de las relaciones es la base de la doctrina de la semejanza (libro VI) y del método del agotamiento (libro VII), que también se remontan a Eudoxo. EN libros VII-IX se reseñan los inicios de la teoría de números basada en el algoritmo para hallar el máximo común divisor o algoritmo de Euclides. Estos libros incluyen la teoría de la divisibilidad, incluidos los teoremas sobre la unicidad de factorizar un número entero en factores primos y sobre la infinidad del número de números primos; aquí también se expone la doctrina de la razón de los enteros, similar a la teoría de los números racionales (positivos). EN libro X se da una clasificación de las irracionalidades cuadráticas y bicuadráticas y se fundamentan algunas reglas para su transformación. Los resultados del Libro X se aplican en el Libro XIII para encontrar las longitudes de las aristas de los poliedros regulares. una porción significativa libros X y XIII(probablemente también VII) pertenece a Teeteto (principios del siglo IV a. C.). EN Libro XI Describe los conceptos básicos de la estereometría.
- EN Libro XII la razón de las áreas de dos círculos y la razón de los volúmenes de una pirámide y un prisma, un cono y un cilindro se determinan usando el método de agotamiento. Estos teoremas fueron probados por primera vez por Eudoxo.
- Finalmente, en Libro XIII se determina la razón de los volúmenes de dos bolas, se construyen cinco poliedros regulares y se prueba que no hay otros cuerpos regulares.
- Los matemáticos griegos posteriores se agregaron a los Elementos de Euclides Libros XIV y XV, que no perteneció a Euclides. Se publican a menudo y ahora junto con el texto principal de los "Comienzos". Allí se consideran los segmentos y se definen las operaciones aritméticas sobre ellos.
Fragmento del papiro más antiguo con diagramas de "Elementos de Geometría" de Euclides
- Ciudadela (fortaleza medieval) construida en XII siglo
Mezquita de Al-Mursi Abul Abbas Alejandría .
Hurgada. Palacio 1000 y 1 noche. Alejandría
bahía de alejandría
Alimov N. G. Valor y relación en Euclides. Investigación histórica y matemática, vol. 8, 1955, pág. 573-619. Bashmakova I. G. Libros de aritmética de los "Comienzos" de Euclides. Investigación histórica y matemática, vol. 1, 1948, pág. 296-328. Van der Waerden BL Awakening Science. M .: Fizmatgiz, 1959. Vygodsky M. Ya. "Comienzos" de Euclides. Investigación histórica y matemática, vol. 1, 1948, pág. 217-295. Glebkin V.V. La ciencia en el contexto de la cultura: ("Comienzos" de Euclides y "Jiu zhang suan shu"). Moscú: Interpraks, 1994. 188 páginas, 3000 copias. ISBN 5-85235-097-4 Kagan VF Euclid, sus sucesores y comentaristas. En: Kagan VF Fundamentos de Geometría. Parte 1. M., 1949, pág. 28-110. Raik A.E. El décimo libro de los "Comienzos" de Euclides. Investigación histórica y matemática, vol. 1, 1948, pág. 343-384. Rodin A. V. Matemáticas de Euclides a la luz de la filosofía de Platón y Aristóteles. M.: Nauka, 2003. Zeiten GG Historia de las matemáticas en la antigüedad y en la Edad Media. M.-L.: ONTI, 1938. Shchetnikov AI El segundo libro de los "Comienzos" de Euclides: su contenido y estructura matemáticos. Investigación histórica y matemática, vol. 12(47), 2007, pág. 166-187. Shchetnikov AI Obras de Platón y Aristóteles como evidencia de la formación de un sistema de definiciones y axiomas matemáticos. ?????, no. 1, 2007, pág. 172-194. Los "Elementos" de Artmann B. Euclid y su prehistoria. Apeiron, v. 24, 1991, pág. 1-47. Brooker MIH, Connors JR, Slee AV Euclid. CD ROM. Melbourne, CSIRO-Publ., 1997. Burton S.E. La óptica de Euclides. J. Opt. soc. Amer., v. 35, 1945, pág. 357-372. Itard J. Lex livres arithmetiqu's d'Euclide. P.: Hermann, 1961. Fowler D.H. Una invitación a leer el Libro X de los Elementos de Euclides. Historia Matemática, v. 19, 1992, pág. 233-265. Knorr W. R. La evolución de los Elementos Euclidianos. Dordrecht: Reidel, 1975. Mueller I. Filosofía de las matemáticas y estructura deductiva en los Elementos de Euclides. Cambridge (Massachusetts), MIT Press, 1981. Schreiber P. Euklid. Leipzig: Teubner, 1987.
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La vida y obra de Euclides Euclides (presumiblemente 330-277 aC) es un matemático de la escuela alejandrina de la antigua Grecia, autor del primer tratado de matemáticas que nos ha llegado.
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Cinco postulados de Euclides De cualquier punto a cualquier otro punto es posible trazar una sola línea recta. Una línea recta limitada puede continuarse continuamente en una línea recta. Desde cualquier centro y cualquier solución es posible describir un círculo. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. Si una línea que cae sobre dos líneas forma ángulos interiores y en un lado menos de dos ángulos rectos, entonces estas dos líneas se prolongan indefinidamente en el lado donde los ángulos son menos de dos
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Quinto postulado Si una recta que cae sobre dos rectas forma interior y en un lado forma ángulos menores que dos rectas, entonces estas dos rectas que se prolongan indefinidamente se encuentran en el lado donde los ángulos son menores que dos rectas.
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El quinto postulado de las paralelas fue formulado por: Proclo (411 - 485 a. C.) Euclides (325 - 265 a. C.) Arquímedes (287 - 212 a. C.) Ptolomeo (85 - 165 a. C.) Wallis (1663) Legendre (1794, 1823), e incluso el famoso poeta Omar Khayyam Pero el "padrino" de la geometría no euclidiana resultó ser un monje italiano que enseñó matemáticas y gramática Girolamo Saccheri, conocido por su tratado de muerte (1766): "Euclides, limpiado de todas las manchas".
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9 axiomas de Euclides Los iguales a una misma cosa son iguales y entre sí Si se suman iguales a iguales, entonces los enteros serán iguales Si a iguales se restan iguales, entonces los restos serán iguales Si a iguales se suman desiguales, entonces el los enteros no serán iguales
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9 axiomas de Euclides (continuación) Doblados de lo mismo son iguales entre sí Las mitades de lo mismo son iguales entre sí Combinando uno con el otro son iguales entre sí El todo es mayor que la parte Dos rectas no contienen espacio
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Conclusión Euclides hizo tres importantes descubrimientos en aritmética. Primero, formuló (sin demostración) el teorema de la división con resto. En segundo lugar, se le ocurrió el "algoritmo de Euclides", una forma rápida de encontrar el máximo común divisor de números o una medida común de segmentos (si son conmensurables). Finalmente, Euclides fue el primero en estudiar las propiedades de los números primos y demostró que su conjunto es infinito. Pero, ¿es cierto que cualquier número entero se puede descomponer en un producto de números primos de una manera única? Euclides no pudo probar esto, aunque tenía todos los medios necesarios para ello.
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EUCLID (c. 365 - 300 aC) Galería de grandes matemáticos Preparado por el profesor de matemáticas de la Escuela de Educación de Moscú No. 36 de Kaliningrado Kovalchuk Larisa Leonidovnadiapositiva 2
Casi nada se sabe sobre la vida de este científico. Solo unas pocas leyendas sobre él han llegado hasta nosotros. El primer comentarista de los "Comienzos" Proclo (siglo V dC) no pudo indicar dónde y cuándo nació y murió Euclides. Según Proclo, “este sabio” vivió en la época del reinado de Ptolomeo I. Algunos datos biográficos se conservan en las páginas de un manuscrito árabe del siglo XII: sirio, natural de Tiro.
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Una de las leyendas cuenta que el rey Ptolomeo decidió estudiar geometría. Pero resultó que esto no es tan fácil de hacer. Luego llamó a Euclides y le pidió que le mostrara un camino fácil hacia las matemáticas. “No existe un camino real hacia la geometría”, le respondió el científico. Así, en forma de leyenda, esta expresión, que se ha hecho popular, ha llegado hasta nosotros.
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El rey Ptolomeo I, para glorificar su estado, atrajo a científicos y poetas al país, creando para ellos el templo de las musas: Museion. Había salas de estudio, un jardín botánico y zoológico, un estudio astronómico, una torre astronómica, salas para trabajos solitarios y, lo más importante, una magnífica biblioteca. Entre los científicos invitados estaba Euclides, quien fundó una escuela de matemáticas en Alejandría, la capital de Egipto, y escribió su obra fundamental para sus alumnos.
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Fue en Alejandría donde Euclides fundó una escuela matemática y escribió una gran obra sobre geometría, reunida bajo el título general "Comienzos", la obra principal de su vida. Se cree que fue escrito alrededor del 325 a. Los predecesores de Euclides: Tales, Pitágoras, Aristóteles y otros hicieron mucho por el desarrollo de la geometría. Pero todos estos eran fragmentos separados, no un solo esquema lógico.
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Tanto los contemporáneos como los seguidores de Euclides se sintieron atraídos por la naturaleza sistemática y lógica de la información presentada. "Comienzos" consta de trece libros, construidos según un único esquema lógico. Cada uno de los trece libros comienza con una definición de los conceptos (punto, línea, plano, figura, etc.) que se utilizan en él, y luego, con base en un pequeño número de disposiciones básicas (5 axiomas y 5 postulados), aceptados sin prueba, todo el sistema es geometría construida.
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En ese momento, el desarrollo de la ciencia no implicaba la existencia de métodos de matemáticas prácticas. Los libros I-IV cubrían la geometría y su contenido se remontaba a las obras de la escuela pitagórica. En el libro V se desarrolló la doctrina de las proporciones, que era contigua a Eudoxo de Cnido. Los libros VII-IX contenían la doctrina de los números, representando el desarrollo de las fuentes primarias pitagóricas. Los libros X-XII contienen definiciones de áreas en el plano y el espacio (estereometría), la teoría de la irracionalidad (especialmente en el Libro X); el libro XIII contiene estudios de cuerpos regulares, remontándose a Teeteto.
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Rafael Santi, Euclides, detalle 1508-11, fresco "Escuela de Atenas" Stanz della Senyatura, Vaticano, Roma, Italia
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Los "Elementos" de Euclides es una presentación de esa geometría, que se conoce hasta el día de hoy con el nombre de geometría euclidiana. Describe las propiedades métricas del espacio que la ciencia moderna llama espacio euclidiano. El espacio euclidiano es el escenario de los fenómenos físicos de la física clásica, cuyos cimientos fueron establecidos por Galileo y Newton. Este espacio es vacío, ilimitado, isótropo, tiene tres dimensiones. Euclides dio certeza matemática a la idea atomista del espacio vacío en el que se mueven los átomos. El objeto geométrico más simple de Euclides es el punto, que define como algo que no tiene partes. En otras palabras, un punto es un átomo indivisible del espacio.
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La infinidad del espacio se caracteriza por tres postulados: "Se puede trazar una línea recta de cualquier punto a cualquier punto". "Una línea recta acotada puede extenderse continuamente a lo largo de una línea recta". "De cada centro y cada solución se puede describir un círculo".
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La doctrina de las paralelas y el famoso quinto postulado (“Si una recta que cae sobre dos rectas forma interior y por un lado forma ángulos menores que dos rectas, entonces estas dos rectas extendidas indefinidamente se encontrarán en el lado donde los ángulos son menores que dos rectas» ) definen las propiedades del espacio euclidiano y su geometría, diferente de las geometrías no euclidianas.
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Se suele decir de los "Principios" que después de la Biblia es el monumento escrito más popular de la antigüedad. El libro tiene una historia muy interesante. Durante dos mil años, fue un libro de referencia para los escolares, utilizado como curso elemental de geometría. Los Elementos fueron extremadamente populares, y los escribas industriosos hicieron muchas copias de ellos en varias ciudades y países. Más tarde, los "Principios" se transfirieron del papiro al pergamino y luego al papel. A lo largo de cuatro siglos, los "Principios" se publicaron 2.500 veces: en promedio, se publicaron 6-7 ediciones al año. Hasta el siglo XX, el libro fue considerado el principal libro de texto sobre geometría, no solo para las escuelas, sino también para las universidades.
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Los "Elementos" de Euclides fueron estudiados a fondo por los árabes y más tarde por científicos europeos. Han sido traducidas a los principales idiomas del mundo. Los primeros originales se imprimieron en 1533 en Basilea. Es curioso que la primera traducción al inglés, que data de 1570, la hiciera Henry Billingway, el comerciante londinense que Euclides posee obras matemáticas posteriores en parte conservadas y en parte reconstruidas. Fue él quien introdujo el algoritmo. para obtener el máximo común divisor de dos números naturales tomados arbitrariamente y un algoritmo llamado "cuenta de Eratóstenes" para encontrar números primos a partir de un número dado.
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Euclides sentó las bases de la óptica geométrica, que esbozó en las obras "Óptica" y "Katoptrik". El concepto básico de la óptica geométrica es un haz de luz rectilíneo. Euclides argumentó que el haz de luz proviene del ojo (la teoría de los rayos visuales), lo cual no es esencial para las construcciones geométricas. Conoce la ley de la reflexión y la acción de enfoque de un espejo esférico cóncavo, aunque todavía no puede determinar la posición exacta del foco.De todos modos, en la historia de la física, el nombre de Euclides como el fundador de la óptica geométrica ha tomado su lugar adecuado.
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En Euclides, también encontramos una descripción del monocordio, un instrumento de una sola cuerda para determinar el tono de una cuerda y sus partes. Se cree que Pitágoras inventó el monocordio y Euclides solo lo describió ("División del Canon", siglo III a. C.). Euclides, con su pasión característica, retomó el sistema numeral de las relaciones interválicas. La invención del monocordio fue importante para el desarrollo de la música. Gradualmente, en lugar de una cuerda, comenzaron a usarse dos o tres. Este fue el comienzo de la creación de instrumentos de teclado, primero el clavicémbalo, luego el piano, y las matemáticas se convirtieron en la causa fundamental de la aparición de estos instrumentos musicales. http://biographera.net/biography.php?id=50 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/PictDisplay/Euclid.html Fuentes de información:
