Definícia.
Obdĺžnik Je to štvoruholník s dvoma rovnakými protiľahlými stranami a rovnakými všetkými štyrmi uhlami.Obdĺžniky sa od seba líšia iba pomerom dlhej strany ku krátkej, ale všetky štyri rohy sú správne, to znamená každý 90 stupňov.
Dlhá strana obdĺžnika je tzv dĺžka obdĺžnika a krátke šírka obdĺžnika.
Strany obdĺžnika sú zároveň jeho výškami.
Základné vlastnosti obdĺžnika
Obdĺžnik môže byť rovnobežník, štvorec alebo kosoštvorec.
1. Opačné strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku, to znamená, že sú rovnaké:
AB = CD, BC = AD
2. Opačné strany obdĺžnika sú rovnobežné:
3. Susedné strany obdĺžnika sú vždy kolmé:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Všetky štyri rohy obdĺžnika sú rovné:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Súčet uhlov obdĺžnika je 360 stupňov:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Uhlopriečky obdĺžnika majú rovnakú dĺžku:
7. Súčet štvorcov uhlopriečky obdĺžnika sa rovná súčtu štvorcov strán:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Každá uhlopriečka obdĺžnika rozdeľuje obdĺžnik na dva rovnaké obrazce, konkrétne pravouhlé trojuholníky.
9. Uhlopriečky obdĺžnika sa pretínajú a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:
| AO=BO=CO=DO= | d | ||
| 2 |
10. Priesečník uhlopriečok sa nazýva stred obdĺžnika a je tiež stredom kružnice opísanej.
11. Uhlopriečka obdĺžnika je priemer opísanej kružnice
12. Kruh možno vždy opísať okolo obdĺžnika, pretože súčet opačných uhlov je 180 stupňov:
∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°
13. Kruh nemožno vpísať do obdĺžnika, ktorého dĺžka sa nerovná šírke, pretože súčty protiľahlé strany nie sú si navzájom rovné (môžete vpísať iba kruh špeciálny prípad obdĺžnik - štvorec).
Strany obdĺžnika
Definícia.
Dĺžka obdĺžnika volajte dĺžku dlhšieho páru jeho strán. Šírka obdĺžnika pomenujte dĺžku kratšieho páru jeho strán.Vzorce na určenie dĺžok strán obdĺžnika
1. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžka a šírka obdĺžnika) z hľadiska uhlopriečky a druhej strany:
a = √ d 2 - b 2
b = √ d 2 - a 2
2. Vzorec pre stranu obdĺžnika (dĺžku a šírku obdĺžnika) z hľadiska plochy a druhej strany:
| b = dcos | β |
| 2 |
Uhlopriečka obdĺžnika
Definícia.
Diagonálny obdĺžnik Akýkoľvek segment spájajúci dva vrcholy protiľahlých rohov obdĺžnika sa nazýva.Vzorce na určenie dĺžky uhlopriečky obdĺžnika
1. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska dvoch strán obdĺžnika (prostredníctvom Pytagorovej vety):
d = √ a 2 + b 2
2. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska plochy a ľubovoľnej strany:
4. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska polomeru kružnice opísanej:
d = 2R
5. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice:
d = D o
6. Vzorec uhlopriečky obdĺžnika z hľadiska sínusu uhla susediaceho s uhlopriečkou a dĺžky strany protiľahlej k tomuto uhlu:
8. Vzorec pre uhlopriečku obdĺžnika v zmysle sínusu ostrý uhol medzi uhlopriečkami a plochou obdĺžnika
d = √2S: sinβ
Obvod obdĺžnika
Definícia.
Obvod obdĺžnika je súčet dĺžok všetkých strán obdĺžnika.Vzorce na určenie dĺžky obvodu obdĺžnika
1. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska dvoch strán obdĺžnika:
P = 2a + 2b
P = 2(a+b)
2. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska plochy a ľubovoľnej strany:
| P= | 2S + 2a 2 | = | 2S + 2b 2 |
| a | b |
3. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska uhlopriečky a ľubovoľnej strany:
P = 2 (a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)
4. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska polomeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:
P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)
5. Vzorec pre obvod obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:
P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)
Oblasť obdĺžnika
Definícia.
Oblasť obdĺžnika nazývaný priestor ohraničený stranami obdĺžnika, teda v rámci obvodu obdĺžnika.Vzorce na určenie plochy obdĺžnika
1. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska dvoch strán:
S = a b
2. Vzorec pre oblasť obdĺžnika cez obvod a ktorúkoľvek stranu:
5. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska polomeru opísanej kružnice a ľubovoľnej strany:
S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2
6. Vzorec pre oblasť obdĺžnika z hľadiska priemeru opísanej kružnice a ktorejkoľvek strany:
S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2
Kruh opísaný okolo obdĺžnika
Definícia.
Kruh opísaný okolo obdĺžnika Nazýva sa kružnica prechádzajúca štyrmi vrcholmi obdĺžnika, ktorej stred leží v priesečníku uhlopriečok obdĺžnika.Vzorce na určenie polomeru kružnice opísanej okolo obdĺžnika
1. Vzorec pre polomer kružnice opísanej obdĺžniku cez dve strany:
Obvod (iný - grécky περίμετρον - kruh, iný - grécky περιμετρέο - meriam okolo) - celková dĺžka okraja postavy (najčastejšie na rovine). Má rovnaký rozmer ako dĺžka. Niekedy sa obvod nazýva hranica geometrického útvaru.
Plocha - číselná charakteristika dvojrozmerného (plochého alebo zakriveného) geometrického útvaru, neformálne povedané, zobrazujúca veľkosť tohto útvaru. Historicky sa výpočet plochy nazýval kvadratúra. Útvar, ktorý má plochu, sa nazýva štvorec. Špecifická hodnota oblasti pre jednoduché figúrky jednoznačne vyplýva z praktickej dôležité požiadavky(Pozri nižšie). Obrazce s rovnakou plochou sa nazývajú rovnaké plochy.
Obvod postavy má iba jeden parameter - dĺžku alebo dĺžku, vyjadrenú v jednotkách dĺžky: meter, yard, arshin, cubit. Alebo ich deriváty: kilometer, centimeter, decimeter.
Plocha postavy má dva parametre - napríklad dĺžku a šírku alebo polomer a pi, v závislosti od tvaru. Veľkosť oblasti je vyjadrená v jednotkách na druhú: metrov štvorcových, hektárov, štvorcových míľ
Obvod a jeho definícia
Obvod sa zvyčajne nazýva dĺžka okraja plochej postavy pozostávajúcej z priamych segmentov, kde začiatok každého nasledujúceho susedí s koncom predchádzajúceho.
Presne povedané, kruh má tiež obvod, ale pre krivočiare hranice je zvykom hovoriť o obvode alebo dĺžke oblúka.
Na určenie dĺžky obvodu je potrebné zmerať alebo vypočítať dĺžku každej strany obrázku a potom sčítať výsledné čísla.
Oblasť postavy a jej definícia
Oblasť prvokov geometrické tvary určené vzorcami.
Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu dĺžok strán.
Plocha kruhu sa rovná súčinu štvorca polomeru a čísla Pi \u003d 3,1415
Existujú vzorce pre trojuholník, sektor, lichobežník, rovnobežník.
Plocha komplexných krivočiarych útvarov sa vypočíta pomocou integrálu. Ak vezmeme integrál vzorca opisujúceho hranicu obrazca, výsledkom bude plocha. Toto je geometrický význam integrálu – vypočítava plochu ohraničenú grafom funkcie v danej oblasti.
Komplexný obrazec, lkz, pre ktorý neexistuje všeobecný vzorec, je mentálne rozdelený na jednoduché obrazce na určenie oblasti. Plochy jednoduchých čísel sa vypočítajú a potom spočítajú.
Obvod a plocha geometrického útvaru spolu súvisia a jeden parameter možno vždy vypočítať od druhého s minimálnymi dodatočnými údajmi.
Obvod je súčet dĺžok všetkých strán mnohouholníka.
- Na výpočet obvodu geometrických tvarov sa používajú špeciálne vzorce, kde je obvod označený písmenom "P". Odporúča sa napísať názov postavy malými písmenami pod znak „P“, aby ste vedeli, koho obvod nachádzate.
- Obvod sa meria v jednotkách dĺžky: mm, cm, m, km atď.
Charakteristické črty obdĺžnika
- Obdĺžnik je štvoruholník.
- Všetky rovnobežné strany sú rovnaké
- Všetky uhly = 90º.
- Napríklad v Každodenný život obdĺžnik možno nájsť v podobe knihy, monitora, prikrývky na stôl alebo dverí.
Ako vypočítať obvod obdĺžnika
Existujú 2 spôsoby, ako ho nájsť:
- 1 spôsob. Pridajte všetky strany. P = a + a + b + b
- 2 spôsobom. Pridajte šírku a dĺžku a vynásobte 2. P = (a + b) 2. ALEBO P \u003d 2 a + 2 b. Strany obdĺžnika, ktoré ležia oproti sebe (protiľahlé), sa nazývajú dĺžka a šírka.
"a"- dĺžka obdĺžnika, dlhší pár jeho strán.
"b"- šírka obdĺžnika, kratší pár jeho strán.
Príklad úlohy na výpočet obvodu obdĺžnika:
Vypočítajte obvod obdĺžnika, ak je jeho šírka 3 cm a dĺžka 6.
Zapamätajte si vzorce na výpočet obvodu obdĺžnika!
Semiperimeter je súčet jednej dĺžky a jednej šírky .
- Polobvod obdĺžnika - keď vykonáte prvú akciu v zátvorkách - (a+b).
- Aby ste dostali obvod z polobvodu, musíte ho zväčšiť o 2 krát, t.j. vynásobiť 2.
Ako nájsť oblasť obdĺžnika
Vzorec oblasti obdĺžnika S = a*b
Ak je v podmienke známa dĺžka jednej strany a dĺžka uhlopriečky, potom je možné oblasť nájsť pomocou Pytagorovej vety v takýchto problémoch, čo vám umožňuje nájsť dĺžku strany správny trojuholník ak sú známe dĺžky ostatných dvoch strán.
- : a2 + b2 = c2, kde a a b sú strany trojuholníka a c je prepona, najdlhšia strana.
Pamätajte!
- Všetky štvorce sú obdĺžniky, ale nie všetky obdĺžniky sú štvorce. ako:
- Obdĺžnik je štvoruholník so všetkými pravými uhlami.
- Námestie Obdĺžnik so všetkými rovnakými stranami.
- Ak nájdete oblasť, odpoveď bude vždy v štvorcových jednotkách (mm 2, cm 2, m 2, km 2 atď.)
Pri riešení je potrebné vziať do úvahy, že riešenie problému nájdenia plochy obdĺžnika iba z dĺžky jeho strán je zakázané.
Dá sa to ľahko overiť. Obvod obdĺžnika nech je 20 cm. To bude pravda, ak jeho strany budú 1 a 9, 2 a 8, 3 a 7 cm Všetky tieto tri obdĺžniky budú mať rovnaký obvod, rovný dvadsiatim centimetrom. (1 + 9) * 2 = 20 rovnako ako (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Ako vidíte, môžeme si vybrať nekonečné množstvo možností rozmery strán obdĺžnika, ktorého obvod sa bude rovnať danej hodnote.
Plocha obdĺžnikov s daným obvodom 20 cm, ale s rôznymi stranami sa bude líšiť. Pre daný príklad - 9, 16 a 21 štvorcových centimetrov.
S 1 \u003d 1 * 9 \u003d 9 cm 2
S 2 \u003d 2 * 8 \u003d 16 cm 2
S 3 \u003d 3 * 7 \u003d 21 cm 2
Ako vidíte, existuje nekonečný počet možností pre oblasť postavy s daným obvodom.
Na výpočet plochy obdĺžnika z jeho obvodu je teda potrebné poznať pomer jeho strán alebo dĺžku jednej z nich. Jediný obrazec, ktorý má jednoznačnú závislosť svojej plochy od obvodu, je kruh. Len pre kruh a možno aj riešenie.
V tejto lekcii:
- Úloha 4. Zmeňte dĺžku strán pri zachovaní plochy obdĺžnika
Úloha 1. Nájdite strany obdĺžnika z oblasti
Obvod obdĺžnika je 32 centimetrov a súčet plôch štvorcov postavených na každej z jeho strán je 260 centimetrov štvorcových. Nájdite strany obdĺžnika.rozhodnutie.
2(x+y)=32
Podľa podmienok úlohy sa súčet plôch štvorcov postavených na každej z jej strán (štvorcov, resp. štyroch) bude rovnať
2x2+2y2=260
x+y=16
x = 16-y
2(16-y)2+2y2=260
2(256-32y+y2)+2y2=260
512-64r + 4r 2 -260=0
4y2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x1=9
x2=7
Teraz zoberme do úvahy, že na základe skutočnosti, že x+y=16 (pozri vyššie) na x=9, potom y=7 a naopak, ak x=7, potom y=9
Odpoveď: Strany obdĺžnika sú 7 a 9 centimetrov
Úloha 2. Nájdite strany obdĺžnika od obvodu
Obvod obdĺžnika je 26 cm a súčet plôch štvorcov postavených na jeho dvoch susedných stranách je 89 metrov štvorcových. Pozrite si časť Vyhľadanie strán obdĺžnika.
rozhodnutie.
Označme strany obdĺžnika ako x a y.
Potom je obvod obdĺžnika:
2(x+y)=26
Súčet plôch štvorcov postavených na každej z jeho strán (sú tu dva štvorce, a to sú štvorce šírky a výšky, pretože strany susedia) sa bude rovnať
x2 + y2 = 89
Výslednú sústavu rovníc riešime. Z prvej rovnice to odvodíme
x+y=13
y=13-r
Teraz vykonáme substitúciu v druhej rovnici a nahradíme x jeho ekvivalentom.
(13.)2+y2=89
169-26r+y2+y2-89=0
2y2 -26y+80=0
Vyriešime výslednú kvadratickú rovnicu.
D = 676-640 = 36
x1=5
x2=8
Teraz zoberme do úvahy, že na základe skutočnosti, že x+y=13 (pozri vyššie) na x=5, potom y=8 a naopak, ak x=8, tak y=5
Odpoveď: 5 a 8 cm
Úloha 3. Nájdite plochu obdĺžnika z pomeru jeho strán
Nájdite plochu obdĺžnika, ak je jeho obvod 26 cm a strany sú úmerné 2 ku 3.
rozhodnutie.
Označme strany obdĺžnika koeficientom úmernosti x.
Odkiaľ bude dĺžka jednej strany rovná 2x, druhá - 3x.
potom:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x = 13/5
Teraz na základe získaných údajov určíme oblasť obdĺžnika:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm2
Úloha 4. Zmena dĺžky strán pri zachovaní plochy obdĺžnika
Dĺžka obdĺžnika sa zväčšila o 25 %. O koľko percent treba zmenšiť šírku, aby sa jej plocha nezmenila?rozhodnutie.
Plocha obdĺžnika je
S=ab
V našom prípade sa jeden z faktorov zvýšil o 25 %, čo znamená a 2 = 1,25a. teda nové námestie obdĺžnik by mal byť rovnaký
S 2 \u003d 1,25ab
Teda, aby sa plocha obdĺžnika vrátila na pôvodnú hodnotu
S2 = S/1,25
S 2 \u003d 1,25ab / 1,25
Keďže novú veľkosť a nie je možné zmeniť
S 2 \u003d (1,25a) b / 1,25
1 / 1,25 = 0,8
Hodnota druhej strany sa teda musí znížiť o (1 - 0,8) * 100 % = 20 %
Odpoveď: Šírka by sa mala zmenšiť o 20 %.
Pred riešením problémov s hľadaním obvodu a oblasti geometrických tvarov mi dovoľte pripomenúť, že ....
I úrovni
1. Dĺžka obdĺžnika je 8 dm, šírka je 7 dm. Nájdite jeho oblasť.
2. Dĺžka strany štvorca je 6 cm Zistite plochu a obvod štvorca.
3. Obdĺžnik má dĺžku 7 cm, šírku 5 cm Zistite plochu a obvod obdĺžnika.
4. Nájdite obvod a plochu obdĺžnika so stranami 6 cm a 8 cm.
5. Dĺžka obdĺžnika je 8 dm, šírka je 5 dm. Nájdite jeho oblasť.
6. Vypočítajte obsah obdĺžnika, ktorého dĺžka strán je 6 mm a 8 mm.
7. Šírka obdĺžnika je 7 dm a dĺžka je 12 dm. Vypočítajte plochu.
8. Dĺžka obdĺžnika je 9 dm, šírka 7 cm Nájdite jeho plochu.
9. Dĺžka strany štvorca je 6 cm Zistite plochu.
10. Vypočítajte obvod štvorca so stranou 4 cm.
11. Šírka obdĺžnika je 9 dm a dĺžka je o 6 dm viac. Nájdite jeho oblasť.
12. Dĺžka obdĺžnika je 5 dm, šírka je o 4 cm menšia. Nájdite P a S tohto obdĺžnika.
13. Nakreslite obdĺžnik, ktorého dĺžka jednej strany je 2 cm a dĺžka druhej je 3-krát dlhšia. Nájdite jeho obvod a plochu.
14. Nakreslite obdĺžnik, ktorého dĺžka jednej strany je 6 cm a dĺžka druhej je 2-krát dlhšia. Nájdite jeho obvod a plochu.
15. Nakreslite obdĺžnik so šírkou 2 cm a dĺžkou o 3 cm viac. Vypočítajte jeho obvod.
16. Strana štvorca je 3 cm Aký je obvod?
17. List papiera má štvorcový tvar. Jeho strana je 10 cm Aký je obvod?
18. Nakreslite štvorec so stranou 6 cm Nájdite jeho obvod. Obvod štvorca je 28 cm Akú má stranu?
19. Šírka okna obdĺžnikový tvar 4 dm a dĺžka je 2x dlhšia. Vypočítajte plochu okna.
20. Šírka obdĺžnika je 4 dm a dĺžka je 5-násobok šírky. Nájdite oblasť obdĺžnika.
21. Plocha obdĺžnika je 36 cm², jeho dĺžka je 9 cm. Aká je šírka obdĺžnika?
II stupeň
1. Nakreslite obdĺžnik, ktorého dĺžka jednej strany je 2 cm a dĺžka druhej je 4-krát dlhšia. Nájdite jeho obvod a plochu.
2. Dĺžka obdĺžnika je 5 dm, šírka je o 4 cm menšia. Nájdite P a S tohto obdĺžnika.
3. Dané: obdĺžnik, a \u003d 8 dm, b - o 2 cm menej. Nájdite R a S.
4. Dĺžka obdĺžnika je 12 cm a jeho šírka je o 2 cm menšia. Nájdite plochu a obvod obdĺžnika.
5. Súčet dvoch strán štvorca je 12 dm. Nájdite obvod a plochu štvorca.
6. Nájdite dĺžku obdĺžnika podľa jeho šírky - 8 dm a obvodu - 30 dm.
7. Obvod štvorca je 32 cm Akú má stranu?
8. Obvod trojuholníka je 21 cm Oblečte si dĺžku tretej strany tohto trojuholníka, ak sú dĺžky dvoch strán 7 cm a 8 cm.
9.Obvod obdĺžnika je 20 cm Dĺžka jeho strany je 6 cm Zistite šírku obdĺžnika a nakreslite ho.
10. Plocha obdĺžnika je 270 cm2, jeho dĺžka je 9 dm. Nájdite obvod tohto obdĺžnika.
11.Obvod obdĺžnik má 54 m. Nájdite plochu tohto obdĺžnika, ak je jedna z jeho strán 18 m.
12. Nájdite plochu štvorca, ktorého obvod je 360 mm.
13. Obvod obdĺžnika je 40 cm Jedna strana 5 cm Aká je jeho plocha?
14. Nakreslite štvorec, ktorého obvod sa rovná obvodu obdĺžnika so stranami 2 cm a 6 cm.
15. Vidiecka chatová oblasť obdĺžnikový tvar má dĺžku 20 m a šírku 12 m Ako dlho by mal byť plot umiestnený okolo pozemku?
16. Obvod štvorca sa rovná obvodu trojuholníka so stranami 6 cm, 3 cm a 7 cm Aká je dĺžka strany štvorca?
17. Ktorý obrazec má plochu väčšiu a o koľko: štvorec so stranou 4 cm alebo obdĺžnik so stranami 2 cm a 6 cm?
18. Obvod obdĺžnika je 54 m. Nájdite plochu tohto obdĺžnika, ak má jedna z jeho strán 18 m.
19. Obvod štvorcového pieskoviska je 12 m. Nájdite plochu tohto pieskoviska.
20. Napíšte všetko možné možnosti dĺžka a šírka obdĺžnika, ak je jeho obvod 24 cm.
Zostavila Kislova Ludmila Borisovna
