포병 농업 대학 총장. Kaliningrad College of Trade and Economics는 러시아 연방 대통령 직속의 러시아 국가 경제 및 행정 아카데미의 분과입니다. 함수의 최대값과 최소값

칼리닌그라드 무역경제대학의 역사는 1946년부터 쓰여진 이 지역 역사의 한 페이지입니다. 그 이후로 25,000명 이상의 전문가가 이 대학을 졸업했습니다.

2004년부터 이 대학은 "이 지역의 성인 교육 센터 및 개방형 교육 센터 설립 및 조직에 대한 유럽 경험의 보급"이라는 주제로 모스크바 중등 직업 교육 개발 연구소의 실험 플랫폼이 되었습니다. 10년 동안 그는 러시아 마케팅 협회의 회원이었고 사회 지향 대학의 지위를 가지고 있습니다. 후자는 사회적으로 취약한 학생, 교사, 연금 수급자, 군인 및 그 가족, 일하는 교사 및 직원의 지속적인 지원을 위해 지역 행정부에서 대학에 할당했습니다.

Kaliningrad College of Trade and Economics의 학생 교육은 기술 및 서비스, 마케팅 관리, 법률, 경제 및 회계, 비전통적 형태의 교육의 5개 학부에서 진행됩니다. 대학의 교육 분야는 16개의 전문 분야를 포함합니다. 여기에는 요리 기술, 식품 상거래, 무역 상거래, 관리, 마케팅, 법률 회계, 은행 업무, 호텔 경영, 금융, 관광 등이 포함됩니다.

대학에는 진로 지도 및 지원자 훈련 센터가 있습니다. 비전통적인 형태의 교육 학부에서는 기술을 향상시킬 수있을뿐만 아니라 직업에서 새로운 전문 분야를 습득 할 수 있습니다. 현재 열린 교육 센터는 20개 이상의 전문 분야에서 직업 훈련 지원을 제공하는 데 중점을 두고 있습니다. 여기에서 기술을 향상시키고 재교육을 받을 수 있습니다. 방법은 비즈니스 게임, 교육, 세미나, 연습, 공개 회의, 회의, 프로젝트 작업 등 매우 다양하며 이 모든 것을 통해 학생들은 제안된 자료를 최대한 동화할 수 있습니다.

칼리닌그라드 주립 대학, 칼리닌그라드 주립 기술 대학, 발틱 주립 아카데미와의 협력을 통해 대학은 지식이 자본이 되고 지역 경제 발전의 주요 자원이 되는 전문가를 훈련할 수 있습니다. 이러한 상호 작용을 통해 200명 이상의 졸업생이 연구 기간이 단축된 특수 교수진에서 고등 교육을 받았습니다. 그들 모두는 지역의 경제 단지에서 요구하고 있으며 많은 사람들이 지역 비즈니스 군단의 엘리트에 들어갔습니다.

Kaliningrad College of Trade and Economics는 덴마크, 스웨덴, 독일, 폴란드, 핀란드와 커뮤니케이션을 구축하고 적극적으로 협력하고 있습니다. 팀은 국제 교육 프로젝트에 참여합니다. 그들의 주제는 다양하며 "중소 기업 개발에 있어 칼리닌그라드 당국에 대한 지원", "임원의 공무원 및 실업자 가족이 이후 고용을 위해 민간 전문 분야를 취득하는 데 지원", " 안드라고지 교사 교육 및 기업가 정신 교육 프로그램 개발". ​​칼리닌그라드에서의 활동" 등.

1999 년 국제 프로젝트의 틀 내에서 교무 부국장 인 Lidia Ivanovna Motolyanets의 노력 덕분에 모방 회사가 만들어졌습니다. 실제 무역 조직의 활동을 반영하는 기업 모델, 효과적인 전문 형태 소규모 비즈니스 분야에서 일하는 모든 수준의 직원을 위한 고급 교육.

사회의 요구를 충족시키고 전인적 인격 형성에 기여하는 교육을 보장한다는 집단의 사명이 완전히 실행되고 있습니다. Kaliningrad College of Trade and Economics는 전문성, 책임 및 명성을 의미합니다.

케이텍
경제학 및 회계 PCC

2006년 15부

소개. 4

파생 상품의 개념입니다. 5

사모 파생상품. 열하나

변곡점. 열여섯

솔루션 연습. 17

시험. 20

연습문제.. 21

문학. 23

소개

f(x 엑스, 다음 호출 한계 제품; 만약 지(x) 지(x) g′(x)~라고 불리는 한계 비용.

예를 들어, 기능을 보자 유=유(t) 유일하는 동안 티. ∆t=t 1 - t 0:

z 참조. =

z 참조. ~에 ∆t→ 0: .

생산 단가 케이 엑스, 그래서 우리는 쓸 수 있습니다 K=K(x) ∆x K(x+∆x). ∆x ∆K=K(x+∆x)-K(x).

한계 ~라고 불리는

파생 상품의 개념

점 x 0에서 함수의 도함수인수의 증분이 0이 되는 경향이 있는 경우 인수 증분에 대한 함수 증분 비율의 한계라고 합니다.

미분 함수 표기법:

저것. 우선:

도함수를 찾는 알고리즘:

기능을 보자 y=f(x)세그먼트에서 연속 , x

1. 인수의 증분을 찾습니다.

엑스인수의 새 값입니다.

x0- 초기 값

2. 함수 증분을 찾습니다.

f(x)함수의 새 값입니다.

f(x0)-기능 초기값

3. 함수 증분 대 인수 증분의 비율을 찾습니다.

4. 에서 찾은 비율의 극한을 찾으십시오.

도함수의 정의에 따라 함수의 도함수를 찾습니다.

결정:

주자 엑스증가 Δx,함수의 새 값은 다음과 같습니다.

함수의 새 값과 초기 값의 차이로 함수의 증분을 구해 보겠습니다.

함수 증분 대 인수 증분의 비율을 찾으십시오.

.

다음과 같은 경우 이 비율의 한계를 구해 보겠습니다.

따라서 파생 상품의 정의는 다음과 같습니다. .

함수의 도함수를 찾는 것을 호출합니다. 분화.

기능 y=f(x)~라고 불리는 미분 가능한구간의 모든 지점에서 도함수가 있는 경우 구간 (a;b)에서.

정리함수가 주어진 지점에서 미분 가능한 경우 x 0, 그 지점에서 연속입니다.

반대의 진술은 사실이 아니기 때문에 어떤 지점에서 연속적이지만 그 지점에서 미분할 수 없는 함수가 있습니다. 예를 들어 점 x 0 = 0에서의 함수입니다.

함수의 도함수 찾기

1) .

2) .

함수의 동일한 변환을 수행해 보겠습니다.

고차 파생상품

2차 도함수 1차 도함수의 도함수라고 합니다. 표시

n차 도함수(n-1)차의 도함수의 도함수라고 합니다.

예를 들어,

부분 파생 상품

사적 파생상품이러한 변수 중 하나에 대한 여러 변수의 함수를 다른 모든 변수가 일정하게 유지되는 경우 이 변수에 대해 취한 도함수라고 합니다.

예를 들어, 기능의 경우 1차의 편도함수는 다음과 같습니다.

함수의 최대값과 최소값

함수가 가장 큰 값을 갖는 인수의 값을 호출 최대 포인트.

함수가 가장 작은 값을 갖는 인수의 값을 호출 최소 포인트.

함수의 최대점은 증가에서 감소로의 전환 경계점이며, 함수의 최소점은 감소에서 증가로의 전환 경계점입니다..

기능 y=f(x)있다 (로컬) 최고모든 경우에 그 시점에서 엑스

기능 y=f(x)있다 (로컬) 최저한의모든 경우에 그 시점에서 엑스, 부등식에 충분히 가깝습니다.

함수의 최대값과 최소값에는 공통 이름이 있습니다. 과격한 수단, 그리고 그들이 도달하는 지점은 극점.

정리 (극한값이 존재하기 위한 필요조건) 함수를 간격에 정의하고 점에서 가장 큰(가장 작은) 값을 갖도록 합니다. 그런 다음 이 함수의 도함수가 한 점에 존재하면 0과 같습니다. .

증거:

점 x 0에서 함수가 가장 큰 값을 갖는다고 가정하면 다음 부등식에 대해 참이 됩니다. .

어떤 점에 대해

x > x 0 이면 , 즉

만약 x< x 0 , то , т.е.

왜냐하면 존재하며, 이는 0과 같을 때만 가능하므로 .

결과:

한 지점에서 미분 가능한 함수가 가장 큰(가장 작은) 값을 취하면 이 함수의 그래프에 접하는 지점에서 Ox 축과 평행합니다.

1차 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는 점을 위독한 -이것은 가능한 극한 지점입니다.

0에 대한 1차 도함수의 동등성은 극한값의 필요조건일 뿐이므로 가능한 극값의 각 점에서 극값이 존재하는지에 대한 질문을 추가로 조사할 필요가 있습니다.

정리(극한값이 존재하기 위한 충분조건)

기능을 보자 y = f(x)은 점의 일부 이웃에서 연속적이고 미분 가능합니다. x0.만약, 포인트를 지날 때 x0왼쪽에서 오른쪽으로 1차 도함수는 부호를 플러스에서 마이너스로(마이너스에서 플러스로) 변경한 다음 해당 지점에서 x0기능 y = f(x)에는 최대(최소)가 있습니다. 1차 도함수가 부호를 변경하지 않으면 이 함수는 점에서 극한값을 갖지 않습니다. x 0 .

극한값에 대한 함수를 연구하기 위한 알고리즘:

1. 함수의 1차 도함수를 구합니다.

2. 1차 도함수를 0과 동일시합니다.

3. 방정식을 풉니다. 방정식의 발견된 근은 임계점입니다.

4. 발견한 임계점을 수치축에 놓는다. 우리는 여러 간격을 얻습니다.

5. 각 구간에서 1차 도함수의 부호를 결정하고 함수의 극값을 나타냅니다.

6. 그래프를 작성하려면:

Ø 극점에서 함수 값 결정

Ø 좌표축과의 교차점 찾기

Ø 추가 포인트 찾기

깡통은 반지름이 둥근 원기둥 모양을 하고 있습니다. 아르 자형그리고 높이 시간. 캔을 만들기 위해 명확하게 고정된 양의 주석이 사용된다고 가정하고, 아르 자형그리고 시간은행이 가장 큰 거래량을 갖게 됩니다.

사용 된 주석의 양은 캔의 전체 표면적, 즉 . (하나)

이 평등에서 우리는 다음을 찾습니다.

그런 다음 다음 공식으로 부피를 계산할 수 있습니다. . 문제는 함수의 최대값을 찾는 것으로 축소됩니다. V(r). 이 함수의 1차 도함수를 구합니다. . 1차 도함수를 0으로 동일시:

. 우리는 찾는다: . (2)

이 포인트가 최대 포인트이기 때문에 1차 도함수는 에서 양수이고 에서 음수입니다.

이제 은행이 가장 큰 부피를 가질 반경과 높이 사이의 비율을 설정해 보겠습니다. 이를 위해 평등 (1)을 다음으로 나눕니다. r2및 사용 관계 (2)에 대한 에스. 우리는 다음을 얻습니다: . 따라서 가장 큰 부피에는 높이가 지름과 같은 항아리가 있습니다.

때로는 가능한 극점의 왼쪽과 오른쪽에 대한 1차 도함수의 부호를 연구하는 것이 매우 어려운 경우 다음을 사용할 수 있습니다. 두 번째 충분 극한 조건:

정리기능을 보자 y = f(x)이 지점에 있다 x0가능한 극값, 최종 2차 도함수. 그런 다음 기능 y = f(x)점에 있다 x0최대 경우 , 그리고 최소 경우 .

비고 이 정리는 주어진 점에서 함수의 2차 도함수가 0과 같거나 존재하지 않는 경우 한 점에서 함수의 극한 문제를 해결하지 않습니다.

변곡점

볼록한 부분과 오목한 부분이 분리되는 곡선의 점을 변곡점.

정리 (필요한 변곡점 조건): 함수의 그래프가 한 점에서 변곡점을 갖고 함수가 점 x 0에서 연속적인 2차 도함수를 가지도록 하면,

정리 (변곡점에 대한 충분한 조건): 함수의 왼쪽과 오른쪽에 다른 부호가 있는 점 x 0의 일부 이웃에 2차 도함수가 있다고 가정합니다. x0. 함수의 그래프는 점에서 변곡점이 있습니다.

변곡점을 찾는 알고리즘:

1. 함수의 2차 도함수를 구합니다.

2. 2차 도함수를 0과 동일시하고 방정식을 풉니다. . 결과 루트를 숫자 줄에 넣으십시오. 우리는 여러 간격을 얻습니다.

3. 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 찾습니다. 두 개의 인접한 간격에서 이차 도함수의 부호가 다르면 루트의 주어진 값에 변곡점이 있고 부호가 같으면 변곡점이 없습니다.

4. 변곡점의 세로 좌표를 찾습니다.

곡선의 볼록함과 오목함을 조사합니다. 변곡점을 찾으십시오.

1) 이차 도함수를 구합니다.

2) 부등식 2x 풀기<0 x<0 при x кривая выпуклая

3) 곡선이 오목한 x에 대한 부등식 2x>0 x>0 풀기

4) 2차 도함수를 0과 동일시하는 변곡점을 찾습니다: 2x=0 x=0. 왜냐하면 점 x=0에서 2차 도함수는 왼쪽과 오른쪽에서 다른 부호를 가지며 x=0은 변곡점의 가로 좌표입니다. 변곡점의 세로 좌표 찾기:

(0;0) 변곡점.

풀기 연습

1 이 함수의 도함수를 찾고 주어진 인수 값에 대한 도함수 값을 계산합니다.

1.	5.	9.
2.	6.	10.
3.	7.	11.
4.	8.	12.
	13.	14.
	15.	16.

#2 복잡한 함수의 도함수 찾기:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.

3번 문제 해결:

1. 점 x=3에서 포물선에 그린 접선의 기울기를 구합니다.

2. 점 x \u003d 1에서 포물선 y \u003d 3x 2 -x에 접선과 법선이 그려집니다. 그들의 방정식을 쓰십시오.

3. 포물선 y=x 2 +3x-10에 대한 접선이 OX 축과 135°의 각도를 이루는 점의 좌표를 찾으십시오.

4. OX 축과의 교차점에서 함수 y \u003d 4x-x 2의 그래프에 대한 접선 방정식을 작성하십시오.

5. x의 어떤 값에서 직선 y \u003d x에 평행한 함수 y \u003d x 3 -x의 그래프에 대한 접선입니다.

6. 점은 법칙 S=2t 3 -3t 2 +4에 따라 직선으로 움직입니다. 3초가 끝나는 지점의 가속도와 속력을 구하라. 가속도가 0이 되는 시점은?

7. S=t 2 -4t+5 법칙에 따라 움직이는 점의 속력은 언제 0입니까?

#4 도함수를 사용하여 함수 탐색:

1. 단조성에 대한 함수 y \u003d x 2 조사

2. 함수의 증감 구간 찾기 .

3. 함수의 증가 및 감소 간격을 찾습니다.

4. 최대 및 최소 기능 탐색 .

5. 극한값에 대한 함수 탐색 .

6. 극값에 대한 함수 y \u003d x 3 조사

7. 극한값에 대한 함수 탐색 .

8. 숫자 24를 두 항으로 나누어 곱이 가장 크도록 합니다.

9. 한 장의 종이에서이 직사각형의 둘레가 가장 작도록 면적이 100cm 2 인 직사각형을 잘라야합니다. 이 직사각형의 변은 어떻게 되어야 합니까?

10. 극값에 대해 y=2x 3 -9x 2 +12x-15 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다.

11. 곡선의 오목함과 볼록함을 조사합니다.

12. 곡선의 볼록함과 오목함의 간격 찾기 .

13. 함수의 변곡점을 찾으십시오. a) ; 나) .

14. 함수를 탐색하고 그래프를 작성하십시오.

15. 함수를 탐색하고 그래프를 작성합니다.

16. 탐색 기능 그리고 그것을 음모.

17. 세그먼트에서 함수 y \u003d x 2 -4x + 3의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.

시험 문제 및 예

1. 파생 상품을 정의합니다.

2. 인수의 증분이라고 하는 것은 무엇입니까? 함수 증가?

3. 도함수의 기하학적 의미는 무엇입니까?

4. 차별화라고 하는 것은 무엇입니까?

5. 파생 상품의 주요 속성을 나열하십시오.

6. 컴플렉스라고 하는 기능은 무엇입니까? 뒤?

7. 2차 도함수의 개념을 제시하십시오.

8. 복잡한 기능을 구별하기 위한 규칙을 공식화합니까?

9. S=S(t) 법칙에 따라 물체는 직선으로 움직인다. 다음과 같은 경우 운동에 대해 말할 수 있습니다.

5. 기능이 일정 간격으로 증가합니다. 이것으로부터 파생물이 이 구간에서 양수임을 알 수 있습니까?

6. 함수의 극한을 무엇이라고 합니까?

7. 특정 구간에서 함수의 최대값은 반드시 최대점에서의 함수값과 일치하는가?

8. 함수는 에 정의됩니다. 점 x=a가 이 함수의 극한점이 될 수 있습니까?

10. 점 x 0에서 함수의 도함수는 0입니다. 여기에서 x 0이 이 함수의 극점임을 알 수 있습니까?

시험

1. 다음 함수의 도함수를 찾습니다.

ㅏ)	이자형)
비)	g)
와 함께)	시간)
이자형)	그리고)

2. 포물선 y=x 2 -2x-15에 대한 접선 방정식을 쓰십시오. a) 가로 좌표 x=0인 점에서; b) 포물선과 가로축의 교차점에서.

3. 함수의 증가 및 감소 간격을 결정합니다.

4. 함수 탐색 및 플롯

5. 시간 t=0에서 법칙 s =2e 3 t에 따라 움직이는 점의 속도와 가속도를 구하십시오.

연습에 대한 답변

5.

7.

9.

11.

12.

13.

14.

2.

3.

4. (결과는 몫의 도함수에 대한 공식을 사용하여 얻습니다.) 다른 방법으로 이 예제를 해결할 수 있습니다.

5.

8. 각 항이 12인 경우 곱이 가장 큽니다.

9. 직사각형의 변의 길이가 각각 10cm인 경우 직사각형의 둘레가 가장 작습니다. 사각형을 잘라냅니다.

17. 세그먼트에서 함수는 다음과 같은 경우 3과 같은 가장 큰 값을 취합니다. x=0에서 -1과 같은 가장 작은 값 x=2.

문학

칼리닌그라드 상업 및 경제 대학

주제 연구를 위해

"함수의 도함수"

전문 080110 "경제 및 회계", 080106 "금융",
080108 "뱅킹", 230103 "자동화된 정보 처리 및 관리 시스템"

Fedorova E.A.가 작성했습니다.

칼리닌그라드

리뷰어: Gorskaya Natalya Vladimirovna, 강사, Kaliningrad College of Trade and Economics

이 매뉴얼에서는 미분학의 기본 개념인 미분의 개념, 미분의 속성, 해석 기하학 및 역학에서의 응용, 기본 미분 공식이 제공되고 이론적인 자료를 설명하는 예가 제공됩니다. 매뉴얼은 독립적인 작업을 위한 연습, 그에 대한 답변, 중간 지식 관리를 위한 질문 및 샘플 작업으로 보완됩니다. 중등 전문 교육 기관에서 "수학" 분야를 공부하는 학생들, 풀 타임, 파트 타임, 야간 교육, 외부 학생 또는 무료 출석을 공부하는 학생들을 위해 설계되었습니다.

케이텍
경제학 및 회계 PCC

2006년 15부

소개. 4

지식 및 기술 요구 사항.. 5

파생 상품의 개념입니다. 5

도함수의 기하학적 의미. 7

파생 상품의 기계적 의미. 7

차별화의 기본 규칙. 여덟

기본 기능을 구별하는 공식. 아홉

역함수의 도함수. 아홉

복잡한 기능의 차별화. 십

고차 파생상품. 열하나

사모 파생상품. 열하나

파생 상품의 도움으로 기능 조사. 열하나

증가 및 감소 기능. 열하나

함수의 최대값과 최소값. 열셋

곡선의 볼록함과 오목함. 열 다섯

변곡점. 열여섯

기능 및 플로팅 연구에 대한 일반 계획. 17

솔루션 연습. 17

시험문제와 예문.. 20

시험. 20

연습문제.. 21

문학. 23

소개

수학적 분석은 경제학자가 작동하는 여러 기본 개념을 제공합니다. 이것은 함수, 극한, 미분, 적분, 미분 방정식입니다. 경제 연구에서 파생 상품을 지칭하기 위해 특정 용어가 자주 사용됩니다. 예를 들어 f(x)는 요소의 비용에 대한 모든 제품의 출력 의존성을 나타내는 생산 함수입니다. 엑스, 다음 호출 한계 제품; 만약 지(x)는 비용 함수입니다. 기능 지(x)생산량 x에 대한 총 비용의 의존성을 표현한 다음 g′(x)~라고 불리는 한계 비용.

경제학의 한계 분석- 생산량, 소비량 등이 변할 때 비용이나 결과의 변화하는 가치를 연구하는 일련의 방법. 한계값 분석을 기반으로 합니다.

예를 들어, 생산성을 찾는 것.기능을 보자 유=유(t), 생산된 제품의 양을 표현 유일하는 동안 티.그 동안 생산된 재화의 양을 계산해보자 ∆t=t 1 - t 0:

u=u(t 1)-u(t 0)=u(t 0 +∆t)-u(t 0).

평균 노동 생산성소비된 시간에 대한 생산량의 비율입니다. z 참조. =

작업자 생산성현재 t 0 을 극한이라고 합니다. z 참조. ~에 ∆t→ 0: .따라서 노동 생산성 계산은 파생 상품 계산으로 축소됩니다.

생산 단가 케이균질한 제품은 제품 수량의 함수입니다. 엑스, 그래서 우리는 쓸 수 있습니다 K=K(x). 생산량이 증가한다고 가정하자. ∆x. 생산량 x+∆x는 생산비에 해당 K(x+∆x).따라서 생산량의 증가는 ∆x생산 비용의 증가에 해당 ∆K=K(x+∆x)-K(x).

생산 비용의 평균 증가분은 ∆K/∆x입니다. 이것은 생산량의 단위 증가 당 생산 비용의 증가입니다.

한계 ~라고 불리는 한계 생산 비용.