교차하는 선과 그 사이의 각도. 교차하는 선 사이의 각도: 정의, 찾기의 예. 두 줄의 상대 위치를 결정하는 방법

수학 시험을 준비하는 모든 학생이 "선 사이의 각도 찾기" 주제를 반복하는 것이 유용할 것입니다. 통계에서 알 수 있듯이, 증명 테스트를 통과할 때 이 스테레오메트리 섹션의 작업은 많은 학생들에게 어려움을 야기합니다. 동시에 직선 사이의 각도를 찾아야 하는 작업은 기본 및 프로필 수준에서 모두 USE에서 찾을 수 있습니다. 이것은 모든 사람이 문제를 해결할 수 있어야 함을 의미합니다.

기본적인 순간들

공간에서 선의 상호 배열에는 4가지 유형이 있습니다. 그것들은 일치하거나, 교차하거나, 평행하거나 교차할 수 있습니다. 그들 사이의 각도는 예리하거나 직선일 수 있습니다.

통합 국가 시험 또는 예를 들어 솔루션에서 선 사이의 각도를 찾기 위해 모스크바 및 기타 도시의 학생들은 입체 측정의이 섹션에서 문제를 해결하기 위해 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 고전적인 구성으로 작업을 완료할 수 있습니다. 이를 위해서는 입체 측정의 기본 공리와 정리를 배울 가치가 있습니다. 학생은 작업을 평면 문제로 가져오기 위해 논리적으로 추론을 구축하고 그림을 작성할 수 있어야 합니다.

간단한 공식, 규칙 및 알고리즘을 사용하여 벡터 좌표 방법을 사용할 수도 있습니다. 이 경우 가장 중요한 것은 모든 계산을 올바르게 수행하는 것입니다. Shkolkovo 교육 프로젝트는 학교 과정의 다른 부분과 입체 측정에서 문제를 해결하는 기술을 연마하는 데 도움이 될 것입니다.

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으어어어어어어어... 글쎄요 쪼꼬미요 문장을 혼자 읽어보듯 =) 하지만 그러면 휴식이 도움이 되겠죠 특히 오늘은 적당한 악세서리를 샀거든요. 따라서 첫 번째 섹션으로 진행하겠습니다. 기사가 끝날 때까지 쾌활한 분위기를 유지하기를 바랍니다.

두 직선의 상호 배열

홀이 합창으로 따라 부르는 경우. 두 줄 수:

1) 일치;

2) 병렬: ;

3) 또는 단일 점에서 교차: .

인형을 위한 도움말 : 교차로의 수학적 기호를 기억하십시오. 매우 자주 발생합니다. 항목은 선이 점에서 선과 교차한다는 것을 의미합니다.

두 줄의 상대 위치를 결정하는 방법은 무엇입니까?

첫 번째 경우부터 시작하겠습니다.

두 선은 각각의 계수가 비례하는 경우에만 일치합니다., 즉, 평등을 나타내는 숫자 "람다"가 있습니다.

직선을 고려하고 해당 계수에서 3개의 방정식을 작성해 보겠습니다. 따라서 각 방정식에서 이러한 선은 일치합니다.

실제로 방정식의 모든 계수가 -1(변경 부호)을 곱하고 방정식의 모든 계수 2만큼 줄이면 동일한 방정식을 얻습니다. .

선이 평행한 두 번째 경우:

변수에서의 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 평행합니다. , 하지만.

예를 들어 두 개의 직선을 고려하십시오. 변수에 대한 해당 계수의 비례성을 확인합니다.

그러나 .

그리고 세 번째 경우, 선이 교차할 때:

변수의 계수가 비례하지 않는 경우에만 두 선이 교차합니다., 즉 평등이 충족되는 "람다" 값이 없습니다.

따라서 직선의 경우 시스템을 구성합니다.

첫 번째 방정식에서 다음을 따르고 두 번째 방정식에서 , 따라서, 시스템이 일관성이 없다(해결책 없음). 따라서 변수의 계수는 비례하지 않습니다.

결론: 선이 교차

실제 문제에서는 방금 고려한 솔루션 방식을 사용할 수 있습니다. 그건 그렇고, 그것은 우리가 수업에서 고려한 공선성 벡터를 확인하는 알고리즘과 매우 유사합니다. 벡터의 선형(비) 의존성 개념. 벡터 기초. 그러나 더 문명화된 패키지가 있습니다.

실시예 1

선의 상대 위치를 찾으십시오.

결정직선의 방향 벡터 연구를 기반으로:

a) 방정식에서 선의 방향 벡터를 찾습니다. .

, 따라서 벡터는 동일선상에 있지 않고 선이 교차합니다.

만일을 대비하여 나는 교차로에 포인터가 있는 돌을 놓을 것입니다.

나머지는 돌을 뛰어 넘고 계속해서 Kashchei Deathless로 직진합니다 =)

b) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

선은 동일한 방향 벡터를 가지므로 평행하거나 동일합니다. 여기서 행렬식은 필요하지 않습니다.

분명히 미지수의 계수는 비례하지만 .

평등이 참인지 알아봅시다:

따라서,

c) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

다음 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다.
, 따라서 방향 벡터는 동일선상에 있습니다. 선은 평행하거나 일치합니다.

비례 계수 "람다"는 공선 방향 벡터의 비율에서 직접 쉽게 확인할 수 있습니다. 그러나 방정식 자체의 계수를 통해서도 찾을 수 있습니다. .

이제 평등이 참인지 알아봅시다. 두 자유 항은 모두 0이므로 다음과 같습니다.

결과 값은 이 방정식을 충족합니다(모든 숫자가 일반적으로 만족).

따라서 선이 일치합니다.

답변:

곧 당신은 고려된 문제를 문자 그대로 몇 초 만에 언어적으로 해결하는 방법을 배우게 될 것입니다(또는 이미 배웠을 수도 있습니다). 이와 관련하여 독립적인 솔루션을 제공할 이유가 없습니다. 기하학적 기초에 중요한 벽돌을 하나 더 배치하는 것이 좋습니다.

주어진 선에 평행한 선을 그리는 방법은 무엇입니까?

이 가장 간단한 작업에 대한 무지로 나이팅게일 강도는 가혹하게 처벌합니다.

실시예 2

직선은 방정식으로 주어집니다. 점을 지나는 평행선에 대한 방정식을 작성하십시오.

결정: 알 수 없는 행을 문자로 표시합니다. 조건은 그것에 대해 무엇을 말합니까? 선이 점을 통과합니다. 그리고 선이 평행하면 선 "ce"의 방향 벡터도 선 "te"를 구성하는 데 적합하다는 것이 분명합니다.

방정식에서 방향 벡터를 꺼냅니다.

답변:

예제의 기하학은 간단해 보입니다.

분석 검증은 다음 단계로 구성됩니다.

1) 선의 방향 벡터가 동일한지 확인합니다(선의 방정식이 적절하게 단순화되지 않으면 벡터는 동일선상에 있음).

2) 그 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다.

대부분의 경우 분석 검증은 구두로 수행하기 쉽습니다. 두 방정식을 보면 많은 사람들이 그림 없이 선이 어떻게 평행한지 빠르게 알아낼 것입니다.

오늘날의 자기 해결의 예는 창의적일 것입니다. 당신은 여전히 Baba Yaga와 경쟁해야 하고 그녀는 모든 종류의 수수께끼를 좋아하기 때문입니다.

실시예 3

다음과 같은 경우 직선에 평행한 점을 지나는 직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

해결하는 방법은 합리적이고 그다지 합리적이지 않습니다. 가장 짧은 길은 수업이 끝날 때입니다.

우리는 평행선으로 약간의 작업을 수행했으며 나중에 다시 돌아올 것입니다. 일치하는 선의 경우는 거의 관심이 없으므로 학교 커리큘럼에서 잘 알려진 문제를 고려해 보겠습니다.

두 선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까?

스트레이트인 경우 점에서 교차하면 좌표가 솔루션입니다. 선형 방정식 시스템

선의 교차점을 찾는 방법? 시스템을 해결합니다.

여기있어 두 개의 미지수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템의 기하학적 의미평면에서 두 개의 교차하는(가장 자주) 직선입니다.

실시예 4

선의 교차점 찾기

결정: 그래픽 및 분석의 두 가지 해결 방법이 있습니다.

그래픽 방식은 단순히 주어진 선을 그리고 도면에서 직접 교차점을 찾는 것입니다:

여기 우리의 요점이 있습니다: . 확인하려면 좌표를 직선의 각 방정식에 대입해야 합니다. 좌표가 거기에 맞아야 합니다. 즉, 점의 좌표는 시스템의 솔루션입니다. 사실, 우리는 그래픽 방식으로 해결하는 방법을 고려했습니다. 선형 방정식 시스템두 개의 방정식, 두 개의 미지수.

물론 그래픽 방식도 나쁘지는 않지만 눈에 띄는 단점이 있습니다. 아니요. 요점은 7학년 학생들이 이렇게 결정하는 것이 아니라 정확하고 정확한 그림을 그리는 데 시간이 걸린다는 것입니다. 게다가 어떤 선들은 구성하기가 쉽지 않고, 교차점 자체가 공책 시트 밖 서른 왕국 어딘가에 있을지도 모른다.

따라서 분석적 방법으로 교점을 찾는 것이 보다 편리하다. 시스템을 해결합시다.

시스템을 풀기 위해 방정식의 항별 덧셈 방법이 사용되었습니다. 관련 기술을 개발하려면 해당 강의를 방문하십시오. 연립방정식을 푸는 방법?

답변:

검증은 간단합니다. 교차점의 좌표는 시스템의 각 방정식을 충족해야 합니다.

실시예 5

선이 교차하는 경우 선의 교차점을 찾으십시오.

이것은 DIY의 예입니다. 작업은 편리하게 여러 단계로 나눌 수 있습니다. 상태 분석에 따르면 다음이 필요합니다.
1) 직선의 방정식을 쓰십시오.
2) 직선의 방정식을 씁니다.
3) 선의 상대적 위치를 찾으십시오.
4) 선이 교차하면 교차점을 찾으십시오.

동작 알고리즘의 개발은 많은 기하학적 문제에 대한 전형이며, 이에 대해 반복해서 집중할 것입니다.

튜토리얼 끝에 있는 전체 솔루션 및 답변:

수업의 두 번째 섹션에 이르렀을 때 신발 한 켤레가 아직 닳지 않았습니다.

수직선. 점에서 선까지의 거리입니다.
선 사이의 각도

일반적이고 매우 중요한 작업부터 시작하겠습니다. 첫 번째 부분에서 우리는 주어진 직선과 평행한 직선을 만드는 방법을 배웠고 이제 닭 다리의 오두막이 90도 회전합니다.

주어진 선에 수직인 선을 그리는 방법은 무엇입니까?

실시예 6

직선은 방정식으로 주어집니다. 한 점을 지나는 수직선에 대한 방정식을 작성하십시오.

결정: 라는 가정하에 알려져 있습니다. 직선의 방향 벡터를 찾는 것이 좋을 것입니다. 선이 수직이므로 트릭은 간단합니다.

방정식에서 우리는 직선의 방향 벡터가 될 법선 벡터를 "제거"합니다.

우리는 점과 방향 벡터로 직선의 방정식을 구성합니다.

답변:

기하학적 스케치를 펼쳐 보겠습니다.

흠... 주황색 하늘, 주황색 바다, 주황색 낙타.

솔루션의 분석적 검증:

1) 방정식에서 방향 벡터를 추출하고 다음을 사용합니다. 벡터의 내적우리는 선이 실제로 수직이라는 결론을 내립니다. .

그건 그렇고, 법선 벡터를 사용할 수 있습니다. 훨씬 쉽습니다.

2) 그 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인 .

다시 한 번 확인은 구두로 수행하기 쉽습니다.

실시예 7

방정식이 알려진 경우 수직선의 교차점 찾기 그리고 점.

이것은 DIY의 예입니다. 작업에는 여러 가지 작업이 있으므로 솔루션을 포인트별로 정렬하는 것이 편리합니다.

우리의 흥미진진한 여정은 계속됩니다:

점에서 선까지의 거리

우리 앞에는 강의 직선 스트립이 있으며 우리의 임무는 가장 짧은 방법으로 강에 도달하는 것입니다. 장애물이 없으며 가장 최적의 경로는 수직선을 따라 이동합니다. 즉, 한 점에서 선까지의 거리는 수직선분의 길이입니다.

기하학의 거리는 전통적으로 그리스 문자 "ro"로 표시됩니다. 예: - 점 "em"에서 직선 "de"까지의 거리.

점에서 선까지의 거리 공식으로 표현된다

실시예 8

점에서 선까지의 거리 구하기

결정: 수식에 숫자를 조심스럽게 대입하고 계산하기만 하면 됩니다.

답변:

도면을 실행해 보겠습니다.

점에서 선까지의 거리는 정확히 빨간색 선분의 길이입니다. 1단위의 눈금에 체크무늬 종이에 그림을 그리면. \u003d 1cm(2셀)이면 일반 자로 거리를 측정할 수 있습니다.

동일한 도면에 따라 다른 작업을 고려하십시오.

작업은 선에 대해 점에 대칭인 점의 좌표를 찾는 것입니다. . 스스로 작업을 수행할 것을 제안하지만 중간 결과와 함께 솔루션 알고리즘을 간략하게 설명합니다.

1) 직선에 수직인 직선을 찾습니다.

2) 선의 교차점을 찾으십시오. .

두 작업 모두 이 단원에서 자세히 설명합니다.

3) 점은 세그먼트의 중간점입니다. 우리는 중간과 끝 중 하나의 좌표를 알고 있습니다. 에 의해 세그먼트의 중간 좌표에 대한 공식찾기 .

거리가 2.2 단위와 같은지 확인하는 것도 불필요합니다.

계산에 어려움이 있을 수 있지만 타워에서는 마이크로 계산기가 많은 도움이 되어 일반 분수를 계산할 수 있습니다. 여러 번 조언했으며 다시 추천합니다.

두 평행선 사이의 거리를 찾는 방법은 무엇입니까?

실시예 9

두 평행선 사이의 거리 구하기

이것은 독립 솔루션의 또 다른 예입니다. 약간의 힌트: 푸는 방법은 무한히 많습니다. 수업이 끝날 때 브리핑을 하지만 스스로 추측해 보는 것이 좋을 것 같아요.

두 선 사이의 각도

모퉁이가 무엇이든간에 다음 잼 :

기하학에서 두 직선 사이의 각도는 더 작은 각도로 간주되며 이 각도에서 자동으로 둔각이 될 수 없습니다. 그림에서 빨간색 호로 표시된 각도는 교차하는 선 사이의 각도로 간주되지 않습니다. 그리고 "녹색" 이웃 또는 반대 방향크림슨 코너.

선이 수직이면 4개의 각 중 하나를 그 사이의 각으로 간주할 수 있습니다.

각도가 어떻게 다른가요? 정위. 첫째, 모서리를 "스크롤"하는 방향이 기본적으로 중요합니다. 둘째, 음의 방향 각도는 마이너스 기호로 작성됩니다(예: .

내가 왜 이런 말을 했지? 일반적인 각도의 개념으로 이해할 수 있을 것 같습니다. 사실 각도를 찾는 공식에서 부정적인 결과를 쉽게 얻을 수 있으며 놀라지 않아야합니다. 빼기 기호가 있는 각도는 더 나쁘지 않으며 매우 구체적인 기하학적 의미를 갖습니다. 음의 각도에 대한 도면에서 화살표로 방향(시계 방향)을 나타내는 것이 필수적입니다.

두 선 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?두 가지 작업 공식이 있습니다.

실시예 10

선 사이의 각도 찾기

결정그리고 방법 1

일반 형식의 방정식으로 주어진 두 직선을 고려하십시오.

스트레이트인 경우 수직이 아닌, 그 다음에 지향적인그들 사이의 각도는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

분모에 세심한주의를 기울이자 - 이것이 바로 스칼라 곱직선의 방향 벡터:

이면 공식의 분모가 사라지고 벡터는 직교하고 선은 수직이 됩니다. 이것이 공식에서 선의 비수직성에 대해 유보된 이유입니다.

전술한 내용을 기반으로 솔루션은 다음 두 단계로 편리하게 공식화됩니다.

1) 직선 방향 벡터의 스칼라 곱을 계산합니다.
따라서 선은 수직이 아닙니다.

2) 다음 공식으로 선 사이의 각도를 찾습니다.

역함수를 사용하면 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있습니다. 이 경우 아크 탄젠트의 홀수를 사용합니다(그림 2 참조). 기본 함수의 그래프와 속성):

답변:

대답에서 우리는 계산기를 사용하여 계산한 정확한 값과 대략적인 값(도와 라디안 모두가 바람직함)을 나타냅니다.

음, 마이너스, 마이너스, 괜찮습니다. 다음은 기하학적 그림입니다.

문제의 조건에서 첫 번째 숫자가 직선이고 각도의 "비틀림"이 정확하게 시작되기 때문에 각도가 음의 방향으로 판명 된 것은 놀라운 일이 아닙니다.

정말로 양의 각도를 얻으려면 직선을 바꿔야 합니다. 즉, 두 번째 방정식에서 계수를 가져와야 합니다. , 첫 번째 방정식에서 계수를 가져옵니다. 간단히 말해서 직접 시작해야 합니다. .

프레젠테이션 미리보기를 사용하려면 Google 계정(계정)을 만들고 https://accounts.google.com에 로그인하세요.

슬라이드 캡션:

선 사이의 각도

수업의 목적과 목적: 다음 사이의 각도 개념 형성: 교차; 평행한; 교차 선. 다음 사이의 각도를 찾는 방법을 배웁니다. 평행한; 교차 선.

상기하십시오: 프리즘 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1의 밑변은 사다리꼴입니다. 다음 선의 쌍 중 교차선은 어느 것입니까?

공간에서 선의 위치와 선 사이의 각도 1. 교차 선. 2. 평행선. 3. 교차 선.

교차하는 두 선은 동일한 평면에 있으며 확장되지 않은 4개의 각을 형성합니다.

교차하는 선이 4개의 동일한 각도를 형성하면 이 선 사이의 각도는 90°입니다. 나

두 평행선 사이의 각도는 0°입니다.

공간에서 교차하는 두 선 사이의 각도는 교차 지점에서 꼭짓점과 이러한 선의 광선이 이루는 각 중 가장 작은 각도입니다.

교차선 a와 b 사이의 각도는 구성된 교차선 및 사이의 각도입니다.

교차 선 사이의 각도와 같은 평면의 선 사이의 각도는 90 °를 초과할 수 없습니다. 90°의 각도를 이루는 두 개의 교차선을 수직선이라고 합니다. a b a 1 c c 1 d

사선 사이의 각도 AB와 CD를 두 개의 사선이라고 합시다. 공간의 임의의 점 M 1 을 취하여 선 AB 및 CD 에 평행한 선 A 1 B 1 및 C 1 D 1 을 각각 그립니다. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 φ 선 A 1 B 1 과 C 1 D 1 사이의 각도가 φ와 같으면 교차하는 선 AB와 CD 사이의 각도가 φ와 같다고 말할 것입니다.

사선 AB와 CD 사이의 각도를 구하십시오. 점 M 1로서, 사선 중 하나의 임의의 점을 취할 수 있습니다. A B C D M 1 A 1 B 1 φ

눈을 위한 체육

환경에 수직 교차 선을 표시합니다.

큐브의 이미지가 주어집니다. 교차하는 선과 b 사이의 각도를 찾으십시오. 90° 45° 답변 답변

큐브의 이미지가 주어집니다. 교차하는 선과 b 사이의 각도를 찾으십시오. 90° 60° 답변 답변

큐브의 이미지가 주어집니다. 교차하는 선 a와 b 사이의 각도를 구하십시오 90° 90° 답 답

숙제: §4 (pp. 85-89), #268, #269.

체육 시간

문제 №1 모든 모서리가 1인 일반 피라미드 SABCD에서 점 E는 모서리 SC의 중점입니다. 선 AD와 BE 사이의 각도를 찾으십시오.

수업 과제: 과제: 263호 265호 267호

시사:

승인하다

수학 선생님

L. R. 볼냐크

"__" ________ 2016

주제 : "선 사이의 각도"

튜토리얼:

개발 중:

교육적인:

수업 유형: 새로운 자료를 학습합니다.

행동 양식: 언어적(이야기), 시각적(프레젠테이션), 대화식.

조직 시간.

인사말.

지식 업데이트.

공간에서 두 선의 상대적 위치는 무엇입니까?
공간에서 두 선이 교차할 때 형성되는 각은 몇 개입니까?
교차하는 선 사이의 각도를 결정하는 방법은 무엇입니까?

슬라드3

프리즘 베이스 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - 사다리꼴. 다음 선의 쌍 중 교차선은 어느 것입니까?

답: AB 및 CC 1, A 1 D 1 및 CC 1.

새로운 자료를 학습합니다.

슬라이드 4

공간에서 선의 위치와 선 사이의 각도.

교차 선.
평행선.
직선 교차.

슬라이드 5

교차하는 두 선은 동일한 평면에 있으며 확장되지 않은 4개의 각을 형성합니다.

슬라이드 6

교차하는 선이 4개의 동일한 각도를 형성하면 이 선 사이의 각도는 90°입니다.

슬라이드 7

두 평행선 사이의 각도는 0°입니다.

슬라이드 8

공간에서 교차하는 두 선 사이의 각도는 교차 지점에서 꼭짓점과 이러한 선의 광선이 이루는 각 중 가장 작은 각도입니다.

슬라이드 9 a 및 b 및 .

슬라이드 10

교차 선 사이의 각도와 같은 평면의 선 사이의 각도는 90 °를 초과할 수 없습니다. 90°의 각도를 이루는 두 개의 교차선을 수직선이라고 합니다.

슬라이드 11

교차선 사이의 각도입니다.

AB와 CD를 교차하는 두 직선이라고 하자.

임의의 점 M 가져오기 1 공백 및 직선 그리기 A 1 in 1 및 C 1 D 1 , 각각 선 AB 및 CD에 평행합니다.

선 사이의 각도가 A인 경우 1 in 1 및 C 1 D 1 가 φ와 같으면 교차 선 AB와 CD 사이의 각도가 φ와 같다고 말할 것입니다.

슬라이드 12

비스듬한 선 AB와 CD 사이의 각도를 찾으십시오.

포인트 M으로 1 교차하는 선 중 하나에서 임의의 점을 취할 수 있습니다.

슬라이드 13

체육 시간

슬라이드 14

1. 환경에 수직으로 교차하는 선을 표시합니다.

슬라이드 15

2. 큐브의 이미지가 주어집니다. 교차하는 선과 b 사이의 각도를 찾으십시오.

a) 90° b) 45°

슬라이드 16

c) 60°; d) 90°;

슬라이드 17

e) 90° f) 90°.

신소재 고정

슬라이드 19

체육 시간

슬라이드 20

№1.

오른쪽 피라미드에서 SABCD , 모든 모서리가 1과 같은 점이자형 - 갈비뼈의 중앙사우스캐롤라이나 .선 사이의 각도 찾기 AD와 B.E.

결정:

원하는 각도 = 모서리 CBE .삼각형 SBC는 등변입니다.

BE - 각 이등분선 = 60. 각도 CBE는 30입니다.

답: 30°.

№263.

답변:

사선 사이의 각도및 b 구성된 교차선 사이의 각도라고 함 a 1 및 b 1 및 a 1 || ㄱ, ㄴ 1 || 비.

№265.

직선 a와 b 사이의 각도는 90°입니다. 선과 b가 교차한다는 것이 사실입니까?

답변:

선이 교차하거나 교차할 수 있으므로 거짓입니다.

№267.

DABC는 사면체이고 점 O와 F는 각각 AD와 CD의 중점이고 선분 TK는 삼각형 ABC의 중심선입니다.

선 OF와 CB 사이의 각도는 얼마입니까?
선 OF와 TK가 이루는 각이 60°인 것은 사실입니까?
선 TF와 DB 사이의 각도는 얼마입니까?

결정:

주어진: DBC,

O는 AD의 중간,

F는 CD의 중간,

TC는 중간선 ∆ABC입니다.

결정:

반사

우리는 무엇을 새로 배웠습니까?
수업 시작 시 설정한 과제에 대처했습니까?
우리는 어떤 문제를 해결하기 위해 배웠습니까?

숙제.

§4 (pp. 85-89), #268, #269.

시사:

승인하다

수학 선생님

L. R. 볼냐크

"__" ________ 2016

주제 : "선 사이의 각도"

튜토리얼: 실제 작업의 도움으로 학생들이 교차 선, 평행선 및 경사 선 사이의 각도 정의를 이해할 수 있도록 합니다.

개발 중: 기하학적 문제, 기하학적 사고, 주제에 대한 관심, 학생들의인지 및 창조적 활동, 수학 연설, 기억력, 주의력을 해결하는 데있어 학생들의 공간적 상상력을 개발합니다. 새로운 지식의 개발에서 독립성을 개발하십시오.

교육적인: 교육 작업에 대한 책임감있는 태도, 강한 의지의 자질로 학생들을 교육합니다. 감성문화와 소통의 문화를 형성합니다.

수업 유형: 지식과 기술의 일반화 및 체계화.

행동 양식: 구두 (이야기), 대화.

조직 시간.

인사말.
수업의 목표와 목적에 대한 의사 소통.
새로운 자료를 배우려는 동기.
다가오는 활동에 대한 학생들의 심리적, 교육적 환경.
수업에 참석한 사람들을 확인합니다.

숙제 확인

№268

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - 직육면체, 점 O 및 T - CC 모서리의 중간점 1 및 DD 1 각기. a) 선 AD와 TO 사이의 각도가 90°인 것은 사실입니까? b) 선 A 사이의 각도는 얼마입니까? 1 B 1과 BC?

결정:

a) 참, 때문에 || DC =>(AD, TO) = ADC = 90°(ABCD는 직사각형).

b)BC || B 1 C 1 => (A 1 B 1 , BC) = A 1 B 1 C 1 = 90°.

답: 90°, 90°.

№269

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - 큐브. a) 선 A 사이의 각이 다음과 같은 것이 사실입니까? 1 B 및 C 1 D가 90°입니까? b) 선 B 사이의 각도 찾기 1 O 및 C 1 D. c) 선 AC와 C 사이의 각도는 사실입니까? 1D는 45°와 같습니까?

결정:

a) 참, 왜냐하면 B 1A || C 1 D => (A 1 B, C 1 D)= (B 1 A, A 1 B) = 90°, 정사각형의 대각선 사이의 각도.

b) 1. B 1 A || C 1 D=> (B 1 O, C 1 D) = AB 1 O.

2. Δ AB 1 C AB 1 \u003d B 1 C = 동일한 정사각형 B의 대각선으로서의 AC 1 O - 중앙값과 이등분선 AB 1 C=60° => AB 1 O=30°.

c) 아니요, C 1 D 이후 || BA => (AC, C 1 D) \u003d B 1 AC=60°, 등변각 Δ AB 1C

답: b) 30°.

지식 업데이트.

방법: 정면 측량(구두):

기하학은 어떤 분야를 연구합니까?
평행선 사이의 각도는 얼마입니까?
평면도법으로 연구하는 도형은 무엇이며 입체 기하학은 무엇입니까?
비스듬한 각도는 무엇입니까?
90°의 각도를 이루는 두 개의 교차선을 무엇이라고 합니까?

학습한 내용의 통합.

받아쓰기(10분):

옵션 1:

큐브의 모서리는ㅏ .

찾기: (AB 1 ,SS 1 )

결정:

SS1‖BB1

(AB1,CC1) = AB1B

AB1B=45˚

답: (AB1, SS1) = 45˚

와 b를 교차선이라고 하고 선 b를 1 || 비. 선과 b 사이의 각이 선과 b 사이의 각과 같다는 것은 사실입니까? 1 ? 그렇다면 왜?

옵션 2:

비스듬한 선 사이의 각도는 얼마입니까?

큐브의 모서리는ㅏ .

이 기사에서는 먼저 기울어진 선 사이의 각도를 정의하고 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 다음으로, "직교 좌표계에서 이러한 선의 방향 벡터 좌표를 알고 있는 경우 사선 사이의 각도를 찾는 방법"이라는 질문에 답합니다. 결론적으로 우리는 예제와 문제를 풀 때 사선 사이의 각도를 찾는 연습을 할 것입니다.

페이지 탐색.

사선 사이의 각도 - 정의.

우리는 점차적으로 교차하는 선 사이의 각도의 정의에 접근할 것입니다.

먼저 스큐 라인의 정의를 생각해 봅시다. 3차원 공간에서 두 개의 라인이 호출됩니다. 이종 교배그들이 같은 평면에 있지 않다면. 이 정의에서 스큐 선은 교차하지 않고 평행하지 않으며 또한 일치하지 않습니다. 그렇지 않으면 둘 다 어떤 평면에 놓이게 됩니다.

우리는 몇 가지 추가 보조 인수를 제시합니다.

3차원 공간에서 두 개의 교차선과 b가 주어졌다고 하자. 직선 a 1 과 b 1 이 각각 사선 a 와 b 와 평행하고 공간 M 1 의 어떤 점을 통과하도록 구성해 보겠습니다. 따라서 두 개의 교차 선 a 1 과 b 1 을 얻습니다. 교차하는 선 a 1 과 b 1 사이의 각도를 각도와 동일하게 둡니다. 이제 점 M 1 과 다른 점 M 2 를 지나는 사선 a 와 b 에 각각 평행한 선 a 2 와 b 2 를 구성해 보겠습니다. 교차하는 선 a 2 와 b 2 사이의 각도도 각도와 같습니다. 이 진술은 사실입니다. 점 M 1이 점 M 2로 가는 병렬 전송을 수행하면 선 a 1 및 b 1이 각각 선 a 2 및 b 2와 일치하기 때문입니다. 따라서 주어진 사선에 각각 평행한 점 M에서 교차하는 두 선 사이의 각도 측정은 점 M의 선택에 의존하지 않습니다.

이제 기울기 선 사이의 각도를 정의할 준비가 되었습니다.

정의.

사선 사이의 각도주어진 스큐 선에 각각 평행한 두 교차 선 사이의 각도입니다.

기울기 선 사이의 각도는 점 M의 선택에 의존하지 않는다는 정의에서 따릅니다. 따라서 점 M으로 사선 중 하나에 속하는 점을 취할 수 있습니다.

우리는 스큐 라인 사이의 각도 정의를 보여줍니다.

기울어진 선 사이의 각도 찾기.

교차 선 사이의 각도는 교차 선 사이의 각도를 통해 결정되므로 교차 선 사이의 각도를 찾는 것은 3차원 공간에서 해당 교차 선 사이의 각도를 찾는 것으로 축소됩니다.

의심할 여지 없이, 고등학교 기하학 수업에서 공부한 방법은 사선 사이의 각도를 찾는 데 적합합니다. 즉, 필요한 구성을 완료하면 그림의 동등성 또는 유사성을 기반으로 조건에서 알려진 모든 각도와 원하는 각도를 연결할 수 있으며 경우에 따라 도움이 될 것입니다. 코사인 정리, 때로는 결과로 이어집니다. 사인, 코사인 및 각도의 탄젠트 정의정삼각형.

그러나 좌표 방식을 사용하여 기울어진 선 사이의 각도를 찾는 문제를 해결하는 것은 매우 편리합니다. 그것이 우리가 고려할 것입니다.

Oxyz를 3차원 공간에 도입하자(그러나 많은 문제에서 독립적으로 도입되어야 함).

직교 좌표계 Oxyz에서 공간의 일부 방정식에 해당하는 교차 선 a와 b 사이의 각도를 찾는 작업을 설정해 보겠습니다.

해결해 봅시다.

3차원 공간 M의 임의의 점을 취하고 직선 a 1 과 b 1 이 교차하는 선 a와 b에 각각 평행하게 통과한다고 가정합시다. 그런 다음 교차하는 선 a와 b 사이에 필요한 각도는 정의에 따라 교차하는 선 a 1 과 b 1 사이의 각도와 같습니다.

따라서 교차하는 선 a 1 과 b 1 사이의 각도를 찾는 것은 우리의 몫입니다. 공간에서 교차하는 두 선 사이의 각도를 찾는 공식을 적용하려면 선 a 1 과 b 1 의 방향 벡터 좌표를 알아야 합니다.

어떻게 얻을 수 있습니까? 그리고 그것은 매우 간단합니다. 직선의 방향 벡터를 정의하면 평행한 직선의 방향 벡터 집합이 일치함을 알 수 있습니다. 따라서 선 a 1 및 b 1의 방향 벡터로 방향 벡터를 취할 수 있습니다. 그리고 직선과 b.

그래서, 두 개의 교차 선과 b 사이의 각도는 다음 공식으로 계산됩니다.
, 어디 그리고 는 각각 선과 b의 방향 벡터입니다.

사선 사이 각도의 코사인을 찾는 공식및 b는 다음과 같은 형식을 갖습니다. .

코사인을 알고 있는 경우 사선 사이 각도의 사인을 찾을 수 있습니다. .

예제의 솔루션을 분석하는 것이 남아 있습니다.

예시.

방정식에 의해 Oxyz 직교 좌표계에서 정의되는 사선 a 와 b 사이의 각도를 찾으십시오. 그리고 .

결정.

공간에서 직선의 표준 방정식을 사용하면이 직선의 방향 벡터의 좌표를 즉시 결정할 수 있습니다. 분수의 분모에 숫자로 표시됩니다. 즉, . 공간에서 직선의 매개 변수 방정식은 방향 벡터의 좌표를 즉시 기록하는 것도 가능합니다. 매개변수 앞의 계수와 같습니다. 즉, - 방향 벡터 직선 . 따라서 사선 사이의 각도를 계산하는 공식을 적용하는 데 필요한 모든 데이터가 있습니다.