주요 목표
자연 지표로 학위의 속성을 학생들에게 알리고 학위로 행동을 수행하도록 가르칩니다.
주제 "정도와 그 속성"세 가지 질문이 포함됩니다.
- 자연 지표로 정도 결정.
- 권력의 곱셈과 나눗셈.
- 제품 및 정도의 지수.
시험 문제
- 자연 지수가 1보다 큰 차수의 정의를 공식화하십시오. 예를 들어 보십시오.
- 지표가 1인 정도의 정의를 공식화하십시오. 예를 들어 보십시오.
- 거듭제곱을 포함하는 표현식의 값을 평가할 때 연산 순서는 무엇입니까?
- 학위의 주요 속성을 공식화하십시오. 예를 들어 주십시오.
- 같은 밑수로 거듭제곱을 곱하는 규칙을 공식화하십시오. 예를 들어 주십시오.
- 동일한 염기로 힘을 나누는 규칙을 공식화하십시오. 예를 들어 주십시오.
- 곱의 지수화 규칙을 공식화하십시오. 예를 들어 주십시오. 항등식 (ab) n = a n b n 을 증명하십시오.
- 권력의 정도를 높이는 규칙을 공식화하십시오. 예를 들어 주십시오. 항등식 (a m) n = a m n 을 증명하십시오.
학위의 정의.
수의 정도 ㅏ자연 지표로 N, 1보다 크면 n개의 인수의 곱이라고 하며 각각은 다음과 같습니다. ㅏ. 수의 정도 ㅏ지수 1과 함께 숫자 자체가 호출됩니다. ㅏ.
기초가 있는 정도 ㅏ및 표시기 N다음과 같이 작성됩니다. 엔. "라고 읽습니다. ㅏ정도 N"; " 숫자의 n제곱 ㅏ ”.
정도의 정의:
4 = 에이 에이 에이
. . . . . . . . . . . .
학위의 값을 찾는 것을 호출합니다. 지수화 .
1. 지수의 예:
3 3 = 3 3 3 = 27
0 4 = 0 0 0 0 = 0
(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125
25 ; 0,09 ;
25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .
27 ; 0,001 ; 8 .
27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .
4. 표현식 값 찾기:
a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1000 = 3000
b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
옵션 1
가) 0.3 0.3 0.3
다) b b b b b b b
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. 숫자의 제곱:
3. 숫자를 세제곱합니다.
4. 표현식 값 찾기:
다) -1 4 + (-2) 3
d) -4 3 + (-3) 2
e) 100 - 5 2 4
힘의 곱셈.
임의의 숫자 a와 임의의 숫자 m 및 n에 대해 다음이 참입니다.
m n = m + n .
증거:
규칙 : 같은 밑수로 거듭제곱할 때 밑수는 그대로 유지되고 지수가 추가됩니다.
a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k
a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9
b) y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7
c) b 2 b 5 b 4 \u003d b 2 + 5 + 4 \u003d b 11
d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6
e) 0.01 0.1 3 = 0.1 2 0.1 3 = 0.1 5
가) 2 3 2 = 2 4 = 16
b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187
옵션 1
1. 학위로 제시:
가) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4
b) a 6 a 2 g) 3 3 9
c) 4 년 h) 7 4 49
d) a a 8 i) 16 2 7
e) 2 3 2 4 j) 0.3 3 0.09
2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾으십시오.
가) 2 2 2 3 다) 8 2 5
b) 3 4 3 2 d) 27 243
학위의 분할.
임의의 수 a0 및 m>n과 같은 임의의 자연수 m 및 n에 대해 다음이 성립합니다.
m: n = m - n
증거:
m - n n = 에이 (m - n) + n = 에이 m - n + n = 에이엠
개인의 정의에 의해:
a m: an \u003d a m - n.
규칙: 밑수가 같은 거듭제곱을 나눌 때 밑수는 그대로 두고 피제수 지수에서 제수 지수를 뺍니다.
정의: 지수가 0인 0이 아닌 숫자의 차수는 1과 같습니다.:
왜냐하면 an n: a0 의 경우 n = 1 .
a) x 4: x 2 \u003d x 4 - 2 \u003d x 2
b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5
c) a 7: a \u003d a 7: a 1 \u003d a 7 - 1 \u003d a 6
d) s 5:s 0 = s 5:1 = s 5
a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25
b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000
에)
G)
이자형)
옵션 1
1. 몫을 거듭제곱으로 표현합니다.
2. 표현식의 값을 찾으십시오.
제품의 힘을 키우십시오.
임의의 a 및 b 및 임의의 자연수 n에 대해:
(ab) n = 에이엔비엔
증거:
학위의 정의에 의해
(ab) n = 
요인과 요인 b를 별도로 그룹화하면 다음을 얻습니다.
= 
곱의 정도의 증명된 성질은 3개 이상의 요인의 곱의 정도까지 확장된다.
예를 들어:
(a b c) n = a n b n c n ;
(a b c d) n = a n b n c n d n .
규칙: 곱을 거듭제곱할 때 각 요소를 그 거듭제곱으로 거듭제곱한 결과가 곱해집니다.
1. 힘을 키우다:
a) (a b) 4 = a 4 b 4
b) (2 x y) 3 \u003d 2 3 x 3 y 3 \u003d 8 x 3 y 3
c) (3a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4
d) (-5 y) 3 \u003d (-5) 3 y 3 \u003d -125 y 3
e) (-0.2 x y) 2 \u003d (-0.2) 2 x 2 y 2 \u003d 0.04 x 2 y 2
f) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4
2. 표현식의 값을 찾습니다.
a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1000 = 16000
b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10000= 90000
c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10000
d) 0.25 11 4 11 = (0.25 4) 11 = 1 11 = 1
이자형)
옵션 1
1. 힘을 키우다:
b) (2 a c) 4
e) (-0.1 x y) 3
2. 표현식의 값을 찾습니다.
나) (5 7 20) 2
지수화.
임의의 수 a 및 임의의 자연수 m 및 n에 대해:
(a m) n = m n
증거:
학위의 정의에 의해
(m) n = 
규칙: 거듭제곱을 거듭제곱할 때 밑은 그대로 두고 지수는 곱합니다..
1. 힘을 키우다:
(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20
(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9
2. 표현을 단순화하십시오:
a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13
b) (b 3) 2 b 7 \u003d b 6 b 7 \u003d b 13
c) (x 3) 2 (x 2) 4 \u003d x 6 x 8 \u003d x 14
d) (y y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24
ㅏ)
비)
옵션 1
1. 힘을 키우다:
a) (a 4) 2 b) (x 4) 5
c) (y 3) 2 d) (b 4) 4
2. 표현을 단순화하십시오:
a) a 4 (a 3) 2
b) (ㄴ 4) 3 b 5+
다) (x 2) 4 (x 4) 3
d) (y y 9) 2
3. 표현의 의미 찾기:
부록
학위의 정의.
옵션 2
1st 제품을 학위 형식으로 작성하십시오.
가) 0.4 0.4 0.4
다) a a a a a a a a a
d) (-y) (-y) (-y) (-y)
e) (BC) (BC) (BC)
2. 숫자의 제곱:
3. 숫자를 세제곱합니다.
4. 표현식 값 찾기:
다) -1 3 + (-2) 4
d) -6 2 + (-3) 2
e) 4 5 2 – 100
옵션 3
1. 제품을 학위로 작성하십시오.
가) 0.5 0.5 0.5
c) c c c c c c c c c
d) (-x) (-x) (-x) (-x)
e) (ab) (ab) (ab)
2. 숫자의 제곱의 형태로 존재: 100; 0.49; .
3. 숫자를 세제곱합니다.
4. 표현식 값 찾기:
다) -1 5 + (-3) 2
d) -5 3 + (-4) 2
e) 5 4 2 - 100
옵션 4
1. 제품을 학위로 작성하십시오.
가) 0.7 0.7 0.7
다) x x x x x x
d) (-а) (-а) (-а)
e) (bc) (bc) (bc) (bc)
2. 숫자의 제곱:
3. 숫자를 세제곱합니다.
4. 표현식 값 찾기:
다) -1 4 + (-3) 3
d) -3 4 + (-5) 2
e) 100 - 3 2 5
힘의 곱셈.
옵션 2
1. 학위로 제시:
a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5
b) a 7 a 3 g) 2 3 4
c) 5 년 h) 4 3 16
d) a a 7 i) 4 2 5
e) 2 2 2 5 j) 0.2 3 0.04
2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾으십시오.
가) 3 2 3 3 다) 16 2 3
b) 2 4 2 5 d) 9 81
옵션 3
1. 학위로 제시:
a) a 3 a 5 e) y 2 y 4 y 6
b) x 4 x 7 g) 3 5 9
c) b 6 b h) 5 3 25
d) y 8 i) 49 7 4
e) 2 3 2 6 j) 0.3 4 0.27
2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾으십시오.
가) 3 3 3 4 다) 27 3 4
b) 2 4 2 6 d) 16 64
옵션 4
1. 학위로 제시:
a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6
b) x 7 x 8g) 3 4 27
다) 6 ~ ) 4 3 16
d) x x 10 i) 36 6 3
e) 2 4 2 5 j) 0.2 2 0.008
2. 학위로 제시하고 표에서 값을 찾으십시오.
가) 2 6 2 3 다) 64 2 4
b) 3 5 3 2 d) 81 27
학위의 분할.
옵션 2
1. 몫을 거듭제곱으로 표현합니다.
2. 표현의 의미를 찾습니다.
지수화는 곱셈과 밀접한 관련이 있는 연산이며, 이 연산은 숫자 자체를 여러 번 곱한 결과입니다. a1 * a2 * ... * an = an의 공식을 표현해 보겠습니다.
예를 들어, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 입니다.
일반적으로 지수는 수학과 물리학의 다양한 공식에 자주 사용됩니다. 이 기능은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈의 네 가지 기본 기능보다 더 과학적인 목적을 가지고 있습니다.
숫자를 거듭제곱으로 올리기
숫자를 거듭제곱하는 것은 어려운 작업이 아닙니다. 곱셈과 덧셈의 관계처럼 곱셈과 관련이 있습니다. 기록 - 서로 곱한 숫자 "a"의 n 번째 수에 대한 짧은 기록.
가장 간단한 예에서 지수를 고려하고 복잡한 것으로 이동하십시오.
예: 42. 42 = 4 * 4 = 16 . 4의 제곱(2제곱)은 16과 같습니다. 곱셈 4 * 4를 이해하지 못하면 곱셈에 대한 기사를 읽으십시오.
다른 예를 살펴보겠습니다. 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . 5의 세제곱(3승)은 125와 같습니다.
다른 예: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . 구의 세제곱은 칠백이십구와 같습니다.
지수 공식
올바르게 거듭제곱하려면 아래 공식을 기억하고 알아야 합니다. 이것에 자연 이상의 것은 없습니다. 가장 중요한 것은 본질을 이해하는 것입니다. 그러면 기억할뿐만 아니라 쉽게 보일 것입니다.
모노미알을 파워업
단항식이란 무엇입니까? 이것은 모든 수량의 숫자와 변수의 곱입니다. 예를 들어, 2는 단항식입니다. 그리고 이 기사는 그러한 단항식을 힘으로 키우는 것에 관한 것입니다.
지수 공식을 사용하면 단항식의 지수를 거듭제곱으로 계산하는 것이 어렵지 않을 것입니다.
예를 들어, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; 단항식을 거듭제곱하면, 단항식의 각 구성요소는 거듭제곱됩니다.
이미 도가 있는 변수를 거듭제곱으로 올릴 때 도가 곱해집니다. 예를 들어, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;
부정적인 힘으로 키우기
음의 지수는 숫자의 역수입니다. 상호 이란 무엇입니까? 임의의 숫자 X에 대해 역수는 1/X입니다. 즉, X-1=1/X입니다. 이것이 음의 정도의 본질입니다.
(3Y)^-3의 예를 고려하십시오.
(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).
왜 그런 겁니까? 차수에는 마이너스가 있으므로 이 식을 분모로 옮기고 3승으로 올리면 됩니다. 바로?
분수 거듭제곱으로 올리기
구체적인 예부터 시작하겠습니다. 43/2. 파워 3/2은 무슨 뜻인가요? 3 - 분자는 숫자(이 경우 4)를 입방체로 올리는 것을 의미합니다. 숫자 2는 분모이며 숫자의 두 번째 근(이 경우 4)을 추출합니다.
그런 다음 43 = 2^3 = 8 의 제곱근을 얻습니다. 답: 8.
따라서 분수 차수의 분모는 3 또는 4가 될 수 있으며 모든 숫자는 무한대일 수 있으며 이 숫자는 주어진 숫자에서 추출된 제곱근의 차수를 결정합니다. 물론 분모는 0이 될 수 없습니다.
힘으로 뿌리를 내리다
뿌리가 뿌리 자체의 힘과 같은 힘으로 제기되면 답은 급진적 표현입니다. 예를 들어, (√x)2 = x. 그리고 뿌리의 정도와 뿌리를 올리는 정도가 같은 경우에도 마찬가지입니다.
(√x)^4인 경우. 그러면 (√x)^4=x^2. 솔루션을 확인하기 위해 표현식을 분수 차수가 있는 표현식으로 변환합니다. 루트가 제곱이므로 분모는 2입니다. 루트를 4제곱하면 분자는 4입니다. 우리는 4/2=2를 얻습니다. 답: x = 2.
어쨌든 가장 좋은 방법은 표현식을 분수 지수로 변환하는 것입니다. 분수가 줄어들지 않으면 주어진 숫자의 루트가 할당되지 않은 경우 그러한 대답이 될 것입니다.
복소수의 지수화
복소수 란 무엇입니까? 복소수는 공식이 + b * i인 표현식입니다. , b는 실수입니다. i는 제곱했을 때 숫자 -1이 되는 숫자입니다.
예를 들어 보십시오. (2 + 3i)^2.
(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.
빠르고 정확하게 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱수, 뿌리 뽑는 법을 배우려면 "암산 계산 속도 향상, 암산 계산 속도 향상" 과정에 등록하십시오. 30일 안에 산술 연산을 단순화하는 쉬운 트릭을 사용하는 방법을 배우게 됩니다. 각 수업에는 새로운 기술, 명확한 예 및 유용한 작업이 포함되어 있습니다.
지수 온라인
계산기를 사용하여 숫자의 거듭제곱을 계산할 수 있습니다.
지수 7급
권력을 키우는 것은 7 학년에서만 학생을 통과하기 시작합니다.
지수화는 곱셈과 밀접한 관련이 있는 연산이며, 이 연산은 숫자 자체를 여러 번 곱한 결과입니다. a1 * a2 * … * an=an 공식을 표현해 보겠습니다.
예를 들어, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.
솔루션 예:
지수 표현
7 학년을 위해 설계된 지수에 대한 프레젠테이션. 프레젠테이션은 이해할 수 없는 몇 가지 점을 명확히 할 수 있지만 우리 기사 덕분에 그런 점은 없을 것입니다.
결과
우리는 수학을 더 잘 이해하기 위해 빙산의 일각만을 고려했습니다. 우리 과정에 등록하십시오: 암산 속도 향상 - 암산이 아닙니다.
이 과정에서 간단하고 빠른 곱셈, 덧셈, 곱셈, 나눗셈, 백분율 계산을 위한 수십 가지 트릭을 배울 뿐만 아니라 특수 작업 및 교육용 게임에서도 연습할 수 있습니다! 멘탈 카운팅은 또한 흥미로운 문제를 해결하기 위해 적극적으로 훈련된 많은 주의와 집중을 필요로 합니다.
거듭제곱 공식방정식과 부등식을 풀 때 복잡한 표현을 줄이고 단순화하는 과정에 사용됩니다.
숫자 씨이다 N- 숫자의 거듭제곱 ㅏ언제:
학위 작업.
1. 동일한 기준으로 도를 곱하면 해당 지표가 합산됩니다.
이다n = m + n .
2. 같은 기준으로 학위를 나눌 때 지표를 뺍니다.
3. 2개 이상의 요인의 곱의 정도는 다음 요인의 차수의 곱과 같습니다.
(abc…) n = a n b n c n …
4. 분수의 차수는 배당률과 제수의 비율과 같습니다.
(a/b) n = a n / b n .
5. 거듭제곱을 거듭제곱하면 지수가 곱해집니다.
(오전) n = m n .
위의 각 공식은 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 그 반대 방향으로 정확합니다.
예를 들어. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
루트 작업.
1. 여러 요인의 곱의 근은 다음 요인의 근의 곱과 같습니다.
2. 비율의 근은 배당과 근의 제수의 비율과 같습니다.
3. 루트를 거듭제곱할 때 루트 수를 이 거듭제곱으로 올리면 충분합니다.
4. 뿌리의 정도를 높이면 N한 번에 동시에 N th 거듭제곱은 루트 숫자이고 루트 값은 변경되지 않습니다.
5. 뿌리의 정도를 줄이면 N동시에 뿌리 N근수에서 th 차수, 루트 값은 변경되지 않습니다.
음의 지수가 있는 차수입니다.비양수(정수) 지수가 있는 특정 숫자의 차수는 지수가 비-양수 지수의 절대값과 같은 동일한 숫자의 차수로 나눈 값으로 정의됩니다.
공식 이다:a n = m - n뿐만 아니라 사용할 수 있습니다 중> N, 하지만 또한 중< N.
예를 들어. ㅏ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
공식으로 이다:a n = m - n공정해졌다 m=n, 당신은 0도의 존재가 필요합니다.
지수가 0인 차수.지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1과 같습니다.
예를 들어. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
분수 지수가 있는 차수입니다.실수를 올리려면 ㅏ어느 정도 m/n, 루트를 추출해야 합니다. N의 학위 중이 숫자의 제곱 ㅏ.
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먼저 도의 기본 공식과 그 속성을 기억합시다.
숫자의 곱 ㅏ자체적으로 n번 발생하면 이 표현식을 a … a=a n으로 쓸 수 있습니다.
1. 0 = 1 (a ≠ 0)
3. 아나 m = 엔 + m
4. (an) m = a nm
5. n b n = (ab) n
7. n / a m \u003d a n - m
거듭제곱 또는 지수 방정식- 이들은 변수가 거듭제곱(또는 지수)이고 밑이 숫자인 방정식입니다.
지수 방정식의 예:
이 예에서 숫자 6은 밑수이고 항상 맨 아래에 있으며 변수는 엑스정도 또는 측정.
지수 방정식의 더 많은 예를 들어 보겠습니다.
2 x *5=10
16x-4x-6=0
이제 지수 방정식을 푸는 방법을 살펴 보겠습니다.
간단한 방정식을 생각해 봅시다.
2 x = 2 3
그러한 예는 마음 속에서도 풀 수 있습니다. x=3임을 알 수 있다. 결국 왼쪽과 오른쪽이 같게 하려면 x 대신 숫자 3을 넣어야 합니다.
이제 이 결정이 어떻게 내려져야 하는지 봅시다.
2 x = 2 3
x = 3
이 방정식을 풀기 위해 우리는 같은 근거(즉, 듀스) 남은 것을 적는 것이 정도입니다. 우리가 찾던 답을 얻었습니다.
이제 솔루션을 요약해 보겠습니다.
지수 방정식을 푸는 알고리즘:
1. 확인해야 할 사항 똑같다방정식의 밑이 오른쪽과 왼쪽에 있는지 여부. 근거가 같지 않다면 이 예를 해결하기 위한 옵션을 찾고 있습니다.
2. 베이스가 같으면 같게 하다학위를 받고 결과로 나오는 새로운 방정식을 풉니다.
이제 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.
간단하게 시작해 보겠습니다.
왼쪽과 오른쪽의 밑변은 숫자 2와 같습니다. 즉, 밑변을 버리고 차수를 같게 할 수 있습니다.
x+2=4 가장 간단한 방정식이 나왔습니다.
x=4 - 2
x=2
답: x=2
다음 예에서 밑이 3과 9가 다른 것을 볼 수 있습니다.
3 3x - 9 x + 8 = 0
우선 9를 오른쪽으로 옮기면 다음을 얻습니다.
이제 동일한 기반을 만들어야합니다. 우리는 9=3 2 임을 압니다. 거듭제곱 공식(an n) m = a nm 를 사용합시다.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
우리는 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16을 얻습니다.
3 3x \u003d 3 2x + 16 이제 왼쪽과 오른쪽의 밑면이 동일하고 3이라는 것이 분명해졌습니다.
3x=2x+16은 가장 간단한 방정식을 얻었습니다.
3x-2x=16
x=16
답: x=16.
다음 예를 살펴보겠습니다.
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
우선, 우리는베이스를보고베이스는 2와 4가 다릅니다. 그리고 우리는 같아야 합니다. 우리는 공식 (an n) m = a nm 에 따라 쿼드러플을 변환합니다.
4 x = (2 2) x = 2 2x
그리고 우리는 또한 하나의 공식을 사용합니다: a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
방정식에 추가:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
우리는 같은 이유로 예를 들었습니다. 그러나 다른 숫자 10과 24는 우리를 방해합니다. 자세히 보면 왼쪽에서 2 2x를 반복한다는 것을 알 수 있습니다. 여기에 답이 있습니다. 대괄호 안에 2 2x를 넣을 수 있습니다.
2 2x (2 4 - 10) = 24
괄호 안의 식을 계산해 보겠습니다.
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
전체 방정식을 6으로 나눕니다.
4=2 2를 상상해보세요.
2 2x \u003d 2 2 2개의 염기는 같으므로 버리고 도를 동일시하십시오.
2x \u003d 2가 가장 간단한 방정식으로 판명되었습니다. 우리는 그것을 2로 나누면 다음을 얻습니다.
x = 1
답: x = 1.
방정식을 풀자:
9 x - 12*3 x +27= 0
변환해 보겠습니다.
9 x = (3 2) x = 3 2x
우리는 방정식을 얻습니다.
3 2x - 12 3 x +27 = 0
밑수는 3과 같으며, 이 예에서 첫 번째 트리플은 두 번째(단지 x)보다 두 배(2x) 차수가 있음을 알 수 있습니다. 이 경우 결정할 수 있습니다. 대체 방법. 차수가 가장 작은 숫자는 다음으로 대체됩니다.
그런 다음 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
t가 있는 방정식의 모든 각도를 x로 바꿉니다.
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
우리는 이차 방정식을 얻습니다. 판별식을 통해 풀면 다음을 얻습니다.
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
변수로 돌아가기 엑스.
우리는 t 1을 취합니다:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
그건,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
하나의 뿌리가 발견되었습니다. 우리는 t 2에서 두 번째 것을 찾고 있습니다.
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
답: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.
사이트에서 HELP DECIDE 섹션에서 관심있는 질문을 할 수 있습니다. 우리는 확실히 대답 할 것입니다.
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우리는 숫자의 정도가 일반적으로 무엇인지 알아 냈습니다. 이제 올바르게 계산하는 방법을 이해해야 합니다. 권력에 숫자를 올립니다. 이 자료에서는 정수, 자연, 분수, 유리 및 무리 지수의 경우 차수를 계산하는 기본 규칙을 분석합니다. 모든 정의는 예와 함께 설명됩니다.
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지수의 개념
기본 정의의 공식화부터 시작하겠습니다.
정의 1
지수화어떤 숫자의 거듭제곱 값의 계산입니다.
즉, "도 값의 계산"과 "지수"라는 단어는 같은 것을 의미합니다. 따라서 작업이 "숫자 0, 5를 5제곱으로 올리기"인 경우 "(0, 5) 5의 값을 계산합니다."로 이해해야 합니다.
이제 우리는 그러한 계산에서 따라야 할 기본 규칙을 제공합니다.
자연 지수가 있는 숫자의 거듭제곱이 무엇인지 상기하십시오. 밑이 a이고 지수가 n인 거듭제곱의 경우, 이것은 각각 다음과 같은 n번째 인자 수의 곱이 됩니다. 이것은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
차수의 값을 계산하려면 곱셈 연산, 즉 지정된 횟수만큼 차수의 밑을 곱해야 합니다. 자연 지표가있는 학위의 개념은 빠르게 번식하는 능력을 기반으로합니다. 예를 들어 보겠습니다.
실시예 1
조건: -2를 4의 거듭제곱으로 올립니다.
결정
위의 정의를 사용하여 다음과 같이 씁니다. (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . 다음으로 이 단계를 수행하고 16 을 얻으면 됩니다.
좀 더 복잡한 예를 들어보자.
실시예 2
값 계산 3 2 7 2
결정
이 항목은 3 2 7 · 3 2 7 로 다시 쓸 수 있습니다. 앞에서 우리는 조건에 언급된 대분수를 올바르게 곱하는 방법을 살펴보았습니다.
다음 단계를 수행하고 답을 얻으십시오. 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49
작업이 무리수를 자연 거듭제곱으로 올릴 필요가 있음을 나타내는 경우 원하는 정확도에 대한 답을 얻을 수 있도록 먼저 밑수를 숫자로 반올림해야 합니다. 예를 들어 보겠습니다.
실시예 3
숫자 π의 제곱을 수행합니다.
결정
먼저 백분의 일까지 반올림합시다. 그러면 π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596이 됩니다. π ≈ 3 인 경우 14159이면 더 정확한 결과를 얻을 수 있습니다. π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281입니다.
실제로 무리수의 거듭제곱을 계산해야 할 필요성은 비교적 드물게 발생합니다. 그런 다음 답을 거듭제곱 자체(ln 6) 3으로 쓰거나 가능한 경우 변환할 수 있습니다. 5 7 = 125 5 .
별도로 숫자의 첫 번째 거듭 제곱이 무엇인지 표시해야합니다. 여기에서 첫 번째 거듭제곱으로 거듭난 숫자는 그대로 유지된다는 것을 기억할 수 있습니다.
이것은 기록에서 분명합니다. 
.
학위 기준에 의존하지 않습니다.
실시예 4
따라서 (− 9) 1 = − 9 , 7 3 을 1승으로 하면 7 3 과 같습니다.
편의상 지수가 양의 정수인 경우, 0인 경우, 음의 정수인 경우 세 가지 경우를 별도로 분석합니다.
첫 번째 경우, 이것은 자연수를 제곱하는 것과 같습니다. 결국 양의 정수는 자연수 집합에 속합니다. 우리는 이미 위에서 이러한 학위로 작업하는 방법을 설명했습니다.
이제 제대로 0의 거듭제곱을 올리는 방법을 살펴보겠습니다. 밑이 0이 아닌 경우 이 계산은 항상 1 의 출력을 생성합니다. 우리는 이전에 의 0승이 0이 아닌 임의의 실수에 대해 정의될 수 있고 a 0 = 1이라고 설명했습니다.
실시예 5
5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1
0 0 - 정의되지 않음.
음의 정수 지수가 있는 차수의 경우만 남았습니다. 우리는 이미 그러한 도가 분수 1 a z로 쓰여질 수 있다는 것을 논의했습니다. 여기서 z는 임의의 숫자이고 z는 음의 정수입니다. 우리는 이 분수의 분모가 양의 정수를 가진 보통 정도에 불과하다는 것을 알고 이미 계산 방법을 배웠습니다. 작업의 예를 들어 보겠습니다.
실시예 6
3을 -2승으로 올립니다.
결정
위의 정의를 사용하여 다음과 같이 작성합니다. 2 - 3 = 1 2 3
이 분수의 분모를 계산하고 8:2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8을 얻습니다.
그러면 답은 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8입니다.
실시예 7
1, 43을 -2의 거듭제곱으로 올립니다.
결정
다시 공식화: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2
분모의 제곱을 계산합니다. 1.43 1.43. 소수는 다음과 같이 곱할 수 있습니다. 
결과적으로 (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 가 됩니다. 우리는이 결과를 일반 분수 형태로 작성해야하며 10,000을 곱해야합니다 (분수 변환에 관한 자료 참조).
답: (1, 43) - 2 = 10000 20449
별도의 경우는 숫자를 마이너스 1승으로 올리는 것입니다. 이러한 정도의 값은 기본 값의 원래 값과 반대되는 숫자와 같습니다. a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.
실시예 8
예: 3 − 1 = 1 / 3
9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .
숫자를 분수 거듭제곱으로 올리는 방법
이러한 연산을 수행하려면 양수 a, 정수 m 및 자연수 n에 대해 a m n \u003d a m n과 같은 분수 지수가 있는 차수의 기본 정의를 상기해야 합니다.
정의 2
따라서 분수 차수의 계산은 정수 거듭제곱으로 올리고 n차 근을 찾는 두 단계로 수행되어야 합니다.
우리는 등식 a m n = a m n 을 가지고 있으며, 이는 근의 속성이 주어지면 일반적으로 a m n = an n m 형식의 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 즉, 숫자를 분수 거듭제곱 m / n으로 올린 다음 먼저 a에서 n차 근을 추출한 다음 결과를 정수 지수 m의 거듭제곱으로 올립니다.
예를 들어 설명하겠습니다.
실시예 9
8 - 2 3 을 계산합니다.
결정
방법 1. 기본 정의에 따르면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3
이제 루트 아래의 차수를 계산하고 결과에서 세 번째 루트를 추출해 보겠습니다. 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4
방법 2. 기본 평등을 변환합시다. 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2
그런 다음 루트 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2를 추출하고 결과를 제곱합니다. 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4
솔루션이 동일하다는 것을 알 수 있습니다. 당신은 당신이 좋아하는 방법을 사용할 수 있습니다.
차수에 대분수 또는 소수로 표시되는 지표가 있는 경우가 있습니다. 계산의 편의를 위해 위에서 설명한 대로 일반 분수로 대체하고 계산하는 것이 좋습니다.
실시예 10
44.89를 2.5의 거듭제곱으로 올립니다.
결정
표시기의 값을 일반 분수(44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2)로 변환해 보겠습니다.
이제 위에 표시된 모든 작업을 순서대로 수행합니다. 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 2 = 510 13 501, 25107
답: 13501, 25107.
분수 지수의 분자와 분모에 큰 숫자가 있는 경우 합리적인 지수로 이러한 지수를 계산하는 것은 다소 어려운 작업입니다. 일반적으로 컴퓨터 기술이 필요합니다.
별도로, 우리는 0 밑과 분수 지수를 사용하여 차수에 대해 설명합니다. 0 m n 형식의 표현은 다음과 같은 의미를 가질 수 있습니다. m n > 0이면 0 m n = 0 m n = 0 ; 만약 m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .
숫자를 비합리적인 거듭제곱으로 올리는 방법
무리한 숫자가있는 지표에서 정도의 값을 계산할 필요성은 그렇게 자주 발생하지 않습니다. 실제로 작업은 일반적으로 대략적인 값(특정 소수점 이하 자릿수까지)을 계산하는 것으로 제한됩니다. 이것은 일반적으로 이러한 계산의 복잡성으로 인해 컴퓨터에서 계산되므로 자세히 설명하지 않고 주요 조항만 표시합니다.
비합리적인 지수 a를 사용하여 차수의 값을 계산해야 하는 경우 지수의 십진 근사값을 가져와서 계산합니다. 결과는 대략적인 답변이 될 것입니다. 소수점 근사값이 정확할수록 답이 더 정확해집니다. 예를 들어 보겠습니다.
실시예 11
21 , 174367 ....의 근사값을 계산합니다.
결정
우리는 10진법으로 제한합니다. a n = 1, 17 . 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 이라는 숫자를 사용하여 계산해 보겠습니다. 예를 들어 근사값 a n = 1 , 1743 을 취하면 답은 조금 더 정확합니다. 2 1 , 174367 입니다. . . ≈ 2 1 . 1743 ≈ 2 . 256833 .
텍스트에서 실수를 발견하면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
