Müxtəlif məxrəcli adi kəsrlərin toplanması nümunələri. Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmaq olar

Qeyd! Yekun cavabı yazmazdan əvvəl, aldığınız kəsri azalda bildiyinizə baxın.

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması nümunələr:

,

,

Birdən uyğun kəsri çıxmaq.

Vahiddən düzgün olan kəsri çıxmaq lazım gələrsə, vahid natamam kəsr formasına çevrilir, onun məxrəci çıxılan kəsrin məxrəcinə bərabərdir.

Birdən düzgün kəsri çıxarmağa misal:

Çıxarılacaq kəsrin məxrəci = 7 , yəni vahidi formada təmsil edirik düzgün olmayan fraksiya 7/7 və eyni məxrəcli kəsrlərin çıxılması qaydasına uyğun olaraq çıxın.

Tam ədəddən uyğun kəsri çıxmaq.

Kəsrləri çıxarmaq qaydaları - tam ədəddən düzgündür (təbii ədəd):

• Tərkibində tam hissə olan verilmiş kəsrləri düzgün olmayan kəsrlərə çeviririk. Normal şərtləri alırıq (onların olub-olmamasının fərqi yoxdur müxtəlif məxrəclər), yuxarıda verilmiş qaydalara əsasən hesab etdiyimiz;
• Sonra, aldığımız fraksiyaların fərqini hesablayırıq. Nəticədə, demək olar ki, cavabı tapacağıq;
• Biz tərs çevrilməni həyata keçiririk, yəni düzgün olmayan kəsrdən xilas oluruq - kəsrdə tam hissəni seçirik.

Tam ədəddən müvafiq kəsri çıxarın: biz natural ədədi qarışıq ədəd kimi təqdim edirik. Bunlar. natural ədəddə vahid götürürük və onu düzgün olmayan kəsr formasına çeviririk, məxrəc çıxarılan kəsrinkinə bərabərdir.

Kəsirin çıxılmasına misal:

Nümunədə vahidi 7/7 düzgün olmayan kəsrlə əvəz etdik və 3 əvəzinə yazdıq qarışıq nömrə kəsr isə kəsr hissədən götürülüb.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması.

Və ya başqa sözlə desək, müxtəlif kəsrlərin çıxılması.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması qaydası. Fərqli məxrəcli kəsrləri çıxarmaq üçün, ilk növbədə, bu kəsrləri ən aşağı ortaq məxrəcə (LCD) çatdırmaq və yalnız bundan sonra eyni məxrəcli kəsrlərdə olduğu kimi çıxarmaq lazımdır.

Bir neçə kəsrin ortaq məxrəci belədir LCM (ən az ümumi çoxluq) natural ədədlər, bu kəsrlərin məxrəcləri olan.

Diqqət!Əgər daxil son fraksiya pay və məxrəcin ümumi amilləri var, onda kəsri azaltmaq lazımdır. Düzgün olmayan kəsr ən yaxşı şəkildə qarışıq kəsr kimi təqdim olunur. Mümkün olan yerlərdə kəsri azaltmadan çıxmanın nəticəsini tərk etmək, nümunənin tamamlanmamış həllidir!

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması qaydası.

• bütün məxrəclər üçün LCM-i tapın;
• bütün fraksiyalar üçün əlavə çarpanlar qoyun;
• bütün sayları əlavə bir əmsala vurmaq;
• bütün kəsrlərin altında ortaq məxrəci imzalayaraq, nəticədə hasilləri paylayıcıya yazırıq;
• fərqin altında ortaq məxrəcə imza ataraq kəsrlərin saylarını çıxarın.

Eyni şəkildə, kəsrlərin toplanması və çıxması paylayıcıda hərflərin iştirakı ilə həyata keçirilir.

Kəsrlərin çıxılması, nümunələr:

Qarışıq kəsrlərin çıxılması.

At qarışıq kəsrlərin çıxılması (ədədlər) ayrıca, tam hissə tam hissədən, kəsr hissəsi isə kəsr hissədən çıxarılır.

Birinci seçim qarışıq fraksiyaları çıxarmaqdır.

Əgər fraksiya hissələri eyni minuendin kəsr hissəsinin məxrəcləri və payı (ondan çıxırıq) ≥ çıxmanın kəsr hissəsinin payı (çıxırıq).

Misal üçün:

İkinci seçim qarışıq fraksiyaları çıxarmaqdır.

Zaman kəsr hissələri müxtəlif məxrəclər. Başlamaq üçün kəsr hissələrini ortaq məxrəcə endiririk və bundan sonra tam ədəddən tam hissəni, kəsrdən isə kəsri çıxarırıq.

Misal üçün:

Üçüncü seçim qarışıq fraksiyaları çıxarmaqdır.

Minuendin kəsr hissəsi çıxarmanın kəsr hissəsindən kiçikdir.

Misal:

Çünki kəsr hissələrinin müxtəlif məxrəcləri var, bu o deməkdir ki, ikinci variantda olduğu kimi, biz əvvəlcə adi kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk.

Minuendin kəsr hissəsinin payı çıxarmanın kəsr hissəsinin payından kiçikdir.3 < 14. Beləliklə, tam hissədən vahid götürürük və bu vahidi eyni məxrəc və paylayıcı ilə düzgün olmayan kəsr formasına gətiririk. = 18.

Sağ tərəfdən gələn sayda biz sayların cəmini yazırıq, sonra sağ tərəfdən paylayıcıdakı mötərizələri açırıq, yəni hər şeyi çoxaldırıq və oxşarlarını veririk. Məxrəcdə mötərizələr açmırıq. Məhsulu məxrəclərdə buraxmaq adətdir. Biz əldə edirik:

Kəsrlər adi ədədlərdir, həm də əlavə və çıxıla bilər. Lakin onların məxrəci olduğuna görə burada tam ədədlərə nisbətən daha mürəkkəb qaydalar tələb olunur.

Eyni məxrəclərə malik iki fraksiya olduqda ən sadə halı nəzərdən keçirək. Sonra:

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə edin və məxrəci dəyişməz qoyun.

Eyni məxrəcli kəsrləri çıxmaq üçün birinci kəsrin payından ikincinin payını çıxarmaq və yenə də məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır.

Hər bir ifadə daxilində kəsrlərin məxrəcləri bərabərdir. Kəsrlərin toplanması və çıxılmasının tərifinə görə alırıq:

Gördüyünüz kimi, mürəkkəb heç bir şey yoxdur: yalnız sayları əlavə edin və ya çıxarın - vəssalam.

Amma hətta belə sadə hərəkətlər insanlar səhv etməyi bacarırlar. Çox vaxt onlar məxrəcin dəyişmədiyini unudurlar. Məsələn, onları əlavə edəndə onlar da toplamağa başlayırlar və bu, kökündən yanlışdır.

Canını qurtarmaq pis vərdiş Məxrəcləri əlavə etmək kifayət qədər asandır. Çıxararkən eyni şeyi etməyə çalışın. Nəticədə məxrəc sıfır olacaq, kəsr isə (birdən!) mənasını itirəcək.

Buna görə də, birdəfəlik xatırlayın: toplama və çıxma zamanı məxrəc dəyişmir!

Həmçinin, bir çox insanlar bir neçə mənfi fraksiya əlavə edərkən səhv edirlər. İşarələrlə çaşqınlıq var: hara mənfi, harada isə artı.

Bu problemi də həll etmək çox asandır. Xatırlamaq kifayətdir ki, fraksiya işarəsindən əvvəlki mənfi həmişə saya ötürülə bilər - və əksinə. Və əlbəttə ki, iki sadə qaydanı unutma:

1. Artı dəfə minus mənfi verir;
2. İki mənfi bir təsdiq edir.

Bütün bunları konkret misallarla təhlil edək:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Birinci halda, hər şey sadədir, ikincisində isə fraksiyaların saylarına minuslar əlavə edəcəyik:

Bəs məxrəclər fərqli olsa

Fərqli məxrəcləri olan kəsrləri birbaşa əlavə edə bilməzsiniz. Ən azından bu üsul mənə məlum deyil. Bununla belə, orijinal kəsrlər həmişə yenidən yazıla bilər ki, məxrəclər eyni olsun.

Fraksiyaları çevirməyin bir çox yolu var. Onlardan üçü "Kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi" dərsində müzakirə olunur, ona görə də burada onların üzərində dayanmayacağıq. Bəzi nümunələrə nəzər salaq:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Birinci halda “çarpaz” üsulundan istifadə edərək kəsrləri ortaq məxrəcə gətiririk. İkincisində LCM-i axtaracağıq. Qeyd edək ki, 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Bu genişlənmələrdə axırıncı faktorlar bərabərdir, birincilər isə ikiqatdır. Buna görə də LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Bəs kəsrin tam hissəsi olarsa?

Mən sizi razı sala bilərəm: fraksiyaların müxtəlif məxrəcləri ən böyük pislik deyil. Bütün hissə kəsr baxımından vurğulandıqda daha çox səhv baş verir.

Əlbəttə ki, belə fraksiyalar üçün öz toplama və çıxma alqoritmləri var, lakin onlar kifayət qədər mürəkkəbdir və uzun bir araşdırma tələb edir. Daha yaxşı istifadə edin sadə dövrə aşağıda:

1. Tam ədədi olan bütün fraksiyaları düzgün olmayana çevirin. Yuxarıda müzakirə edilən qaydalara əsasən hesablanan normal şərtlər (müxtəlif məxrəclərlə olsa belə) alırıq;
2. Əslində, yaranan fraksiyaların cəmini və ya fərqini hesablayın. Nəticədə biz praktiki olaraq cavab tapacağıq;
3. Tapşırıqda tələb olunanların hamısı budursa, tərs çevrilmə həyata keçiririk, yəni. orada tam hissəni vurğulayaraq düzgün olmayan kəsrdən xilas oluruq.

Düzgün olmayan kəsrlərə keçmək və tam hissəni vurğulamaq qaydaları "Ədədi kəsr nədir" dərsində ətraflı təsvir edilmişdir. Əgər xatırlamırsınızsa, təkrarlamağınızdan əmin olun. Nümunələr:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın:

Burada hər şey sadədir. Hər bir ifadənin içindəki məxrəclər bərabərdir, ona görə də bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara çevirmək və saymaq qalır. Bizdə:

Hesablamaları sadələşdirmək üçün son nümunələrdə bəzi açıq addımları atladım.

Vurğulanmış tam hissəsi olan fraksiyaların çıxıldığı son iki nümunəyə kiçik bir qeyd. İkinci kəsrdən əvvəlki mənfi o deməkdir ki, yalnız onun bütün hissəsi deyil, bütöv kəsr çıxarılır.

Bu cümləni yenidən oxuyun, nümunələrə baxın və bu barədə düşünün. Burada yeni başlayanlar çox səhv edirlər. Onlara belə tapşırıqlar verməyi sevirlər nəzarət işi. Tezliklə dərc olunacaq bu dərs üçün testlərdə də onlarla dəfələrlə qarşılaşacaqsınız.

Xülasə: Hesablamanın ümumi sxemi

Sonda iki və ya daha çox fraksiyanın cəmini və ya fərqini tapmağınıza kömək edəcək ümumi bir alqoritm verəcəyəm:

1. Tam hissə bir və ya bir neçə kəsrdə vurğulanırsa, bu kəsrləri düzgün olmayanlara çevirin;
2. Bütün fraksiyaları sizin üçün əlverişli olan hər hansı bir şəkildə ortaq məxrəcə gətirin (əlbəttə ki, problemlərin tərtibçiləri bunu etməyibsə);
3. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin toplanması və çıxılması qaydalarına uyğun olaraq alınan ədədləri toplamaq və ya çıxmaq;
4. Mümkünsə, nəticəni azaldın. Kəsrin səhv olduğu ortaya çıxarsa, bütün hissəni seçin.

Unutmayın ki, cavabı yazmazdan əvvəl tapşırığın ən sonunda bütün hissəni vurğulamaq daha yaxşıdır.

Tutaq ki, Axilles tısbağadan on dəfə tez qaçır və ondan min addım arxadadır. Axilles bu məsafəni qət etdiyi müddətdə tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Axilles yüz addım qaçanda, tısbağa daha on addım sürünəcək və s. Proses sonsuza qədər davam edəcək, Axilles heç vaxt tısbağaya yetişməyəcək.

Bu mülahizə bütün sonrakı nəsillər üçün məntiqi sarsıntıya çevrildi. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Hamısı bu və ya digər şəkildə Zenon aporiyalarını hesab edirdilər. Sarsıntı o qədər güclü idi ki, " ... hazırda müzakirələr davam edir, elmi ictimaiyyət hələ də paradoksların mahiyyəti haqqında ortaq fikrə gələ bilməmişdir ... riyazi analiz, çoxluq nəzəriyyəsi, yeni fiziki və fəlsəfi yanaşmalar; onların heç biri problemin hamı tərəfindən qəbul edilmiş həlli olmadı..."[Vikipediya," Zenon's Aporias "]. Hər kəs aldandıqlarını başa düşür, amma aldatmağın nə olduğunu heç kim başa düşmür.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən Zenon öz aporiyasında dəyərdən qiymətə keçidi aydın şəkildə nümayiş etdirmişdir. Bu keçid sabitlərin yerinə tətbiq etməyi nəzərdə tutur. Mən başa düşdüyüm kimi, dəyişən ölçü vahidlərinin tətbiqi üçün riyazi aparat ya hələ işlənib hazırlanmayıb, ya da Zenon aporiyasına tətbiq edilməyib. Adi məntiqimizin tətbiqi bizi tələyə salır. Biz, təfəkkür ətaləti ilə, qarşılıqlı zamanın sabit vahidlərini tətbiq edirik. Fiziki nöqteyi-nəzərdən Axillesin tısbağaya yetişdiyi anda zamanın tam dayanmasına bənzəyir. Zaman dayansa, Axilles daha tısbağanı keçə bilməz.

Adət etdiyimiz məntiqi döndərsək, hər şey öz yerinə düşür. Axilles sabit sürətlə qaçır. Yolunun hər bir sonrakı seqmenti əvvəlkindən on dəfə qısadır. Müvafiq olaraq, onu aradan qaldırmaq üçün sərf olunan vaxt əvvəlkindən on dəfə azdır. Bu vəziyyətdə “sonsuzluq” anlayışını tətbiq etsək, o zaman “Axilles sonsuz sürətlə tısbağanı keçəcək” demək düzgün olardı.

Bu məntiqi tələdən necə qaçmaq olar? Sabit zaman vahidlərində qalın və qarşılıqlı dəyərlərə keçməyin. Zenon dili ilə desək, belə görünür:

Axillesin min addım qaçması lazım olan müddətdə, tısbağa eyni istiqamətdə yüz addım sürünür. Növbəti vaxt intervalında birinciyə bərabər olan Axilles daha min addım qaçacaq, tısbağa isə yüz addım sürünəcək. İndi Axilles tısbağadan səkkiz yüz addım qabaqdadır.

Bu yanaşma heç bir məntiqi paradoks olmadan reallığı adekvat şəkildə təsvir edir. Lakin bu problemin tam həlli deyil. Eynşteynin işıq sürətinin keçilməzliyi ilə bağlı dediyi Zenonun “Axilles və tısbağa” aporiyasına çox bənzəyir. Bu problemi hələ öyrənməli, yenidən düşünməli və həll etməliyik. Və həlli sonsuz sayda deyil, ölçü vahidlərində axtarmaq lazımdır.

Zenonun başqa bir maraqlı aporiyası da uçan oxdan bəhs edir:

Uçan ox hərəkətsizdir, çünki zamanın hər anında dincəlmişdir və hər an istirahətdə olduğu üçün həmişə sükunətdədir.

Bu aporiyada məntiqi paradoks çox sadə şəkildə aradan qaldırılır - hər an uçan oxun kosmosun müxtəlif nöqtələrində sükunətdə olduğunu aydınlaşdırmaq kifayətdir ki, bu da əslində hərəkətdir. Burada başqa bir məqamı da qeyd etmək lazımdır. Yolda olan bir avtomobilin bir fotoşəkilindən onun nə hərəkət faktını, nə də ona olan məsafəni müəyyən etmək mümkün deyil. Avtomobilin hərəkət faktını müəyyən etmək üçün eyni nöqtədən müxtəlif vaxtlarda çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır, lakin məsafəni müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilməz. Avtomobilə olan məsafəni müəyyən etmək üçün çəkilmiş iki fotoşəkil lazımdır fərqli nöqtələr zamanın bir nöqtəsində boşluq, lakin onlardan hərəkət faktını müəyyən etmək mümkün deyil (təbii ki, hesablamalar üçün əlavə məlumatlar hələ də lazımdır, triqonometriya sizə kömək edəcəkdir). Nəyə diqqət etmək istəyirəm Xüsusi diqqət, zamanın iki nöqtəsi və kosmosdakı iki nöqtənin fərqli şeylər olmasıdır ki, onları qarışdırmaq olmaz, çünki onlar kəşfiyyat üçün müxtəlif imkanlar verir.

Çərşənbə, 4 iyul 2018-ci il

Çox yaxşı dəst və multiset arasındakı fərqlər Vikipediyada təsvir edilmişdir. baxırıq.

Gördüyünüz kimi, "çoxluqda iki eyni element ola bilməz", lakin çoxluqda eyni elementlər varsa, belə çoxluğa "multiset" deyilir. Ağıllı varlıqlar heç vaxt bu cür absurd məntiqi başa düşməyəcəklər. Bu, danışan tutuquşuların və öyrədilmiş meymunların səviyyəsidir, burada ağıl "tamamilə" sözündən məhrumdur. Riyaziyyatçılar adi təlimçilər kimi çıxış edərək öz absurd fikirlərini bizə təbliğ edirlər.

Bir vaxtlar körpünü inşa edən mühəndislər körpünün sınaqları zamanı körpünün altında qayıqda olublar. Körpü dağılırsa, orta səviyyəli mühəndis yaratdığının dağıntıları altında ölür. Əgər körpü yükə tab gətirə bilsəydi, istedadlı mühəndis başqa körpülər də tikdi.

Riyaziyyatçılar “mənə fikir ver, mən evdəyəm”, daha doğrusu, “riyaziyyat mücərrəd anlayışları öyrənir” ifadəsinin arxasında nə qədər gizlənsələr də, onları reallıqla qırılmaz şəkildə bağlayan bir göbək bağı var. Bu göbək puldur. Uyğundur riyazi nəzəriyyə riyaziyyatçıların özlərinə təyin edir.

Riyaziyyatı çox yaxşı oxumuşuq, indi də kassada oturub maaş veririk. Burada bir riyaziyyatçı pulu üçün bizə gəlir. Bütün məbləği ona hesablayırıq və masamıza eyni nominalda əskinaslar qoyduğumuz müxtəlif yığınlara qoyuruq. Sonra hər qalaqdan bir veksel götürüb riyaziyyatçıya onun “riyazi maaş dəstini” veririk. Biz riyaziyyatı izah edirik ki, o, yalnız eyni elementləri olmayan çoxluq ilə çoxluğa bərabər olmadığını sübut etdikdə qalıq fakturaları alacaq. eyni elementlər. Əyləncə burada başlayır.

İlk növbədə deputatların məntiqi işləyəcək: “siz bunu başqalarına tətbiq edə bilərsiniz, mənə yox!”. Bundan əlavə, eyni nominallı əskinasların üzərində müxtəlif əskinas nömrələrinin olması ilə bağlı təminatlar başlayacaq ki, bu da onların eyni elementlər sayıla bilməyəcəyi deməkdir. Yaxşı, maaşı sikkələrlə hesablayırıq - sikkələrdə rəqəmlər yoxdur. Burada riyaziyyatçı fizikanı konvulsiv şəkildə xatırlamağa başlayacaq: müxtəlif sikkələrdə var fərqli məbləğ Hər sikkənin çirki, kristal quruluşu və atom düzülüşü unikaldır...

İndi isə ən çox məndə var maraq Soruş: çoxlu çoxluğun elementlərinin çoxluğun elementlərinə və əksinə çevrildiyi sərhəd haradadır? Belə bir xətt yoxdur - hər şeyi şamanlar həll edir, burada elm yaxın deyil.

Bura baxın. Biz eyni sahəyə malik futbol stadionlarını seçirik. Sahələrin sahəsi eynidir, yəni bizim multisetimiz var. Amma eyni stadionların adlarını nəzərə alsaq, adları fərqli olduğu üçün çox şey əldə edirik. Gördüyünüz kimi, eyni elementlər dəsti eyni zamanda həm çoxluq, həm də multisetdir. Necə doğru? Və burada riyaziyyatçı-şaman-şuller qolundan bir kozır çıxarır və bizə ya dəst, ya da multiset haqqında danışmağa başlayır. Hər halda o, bizi haqlı olduğuna inandıracaq.

Müasir şamanların çoxluq nəzəriyyəsi ilə necə işlədiyini, onu reallığa bağladığını başa düşmək üçün bir suala cavab vermək kifayətdir: bir çoxluğun elementləri digər çoxluğun elementlərindən nə ilə fərqlənir? Mən sizə heç bir "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" və ya "tək bir bütöv olaraq düşünülə bilməz" olmadan göstərəcəyəm.

Bazar günü, 18 mart 2018-ci il

Ədədin rəqəmlərinin cəmi riyaziyyatla heç bir əlaqəsi olmayan şamanların qavalla rəqsidir. Bəli, riyaziyyat dərslərində bizə ədədin rəqəmlərinin cəmini tapıb ondan istifadə etməyi öyrədirlər, lakin onlar bunun üçün şamandırlar, öz nəslinə öz bacarıqlarını, hikmətlərini öyrətmək, əks halda şamanlar sadəcə olaraq öləcəklər.

Sizə sübut lazımdır? Vikipediyanı açın və "Rəqəmlərin cəmi" səhifəsini tapmağa çalışın. O, mövcud deyil. Riyaziyyatda hər hansı bir ədədin rəqəmlərinin cəmini tapa biləcəyiniz düstur yoxdur. Axı rəqəmlər rəqəmləri yazdığımız qrafik simvollardır və riyaziyyatın dilində tapşırıq belə səslənir: “İstənilən rəqəmi təmsil edən qrafik simvolların cəmini tapın”. Riyaziyyatçılar bu problemi həll edə bilməzlər, lakin şamanlar bunu elementar şəkildə edə bilərlər.

Verilmiş ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə və necə edəcəyimizi anlayaq. Beləliklə, tutaq ki, bizdə 12345 rəqəmi var. Bu ədədin rəqəmlərinin cəmini tapmaq üçün nə etmək lazımdır? Bütün addımları ardıcıllıqla nəzərdən keçirək.

1. Rəqəmi bir kağız parçasına yazın. Biz nə etmişik? Biz rəqəmi rəqəmin qrafik simvoluna çevirdik. Bu riyazi əməliyyat deyil.

2. Alınan bir şəkli ayrı-ayrı nömrələrdən ibarət bir neçə şəkilə kəsdik. Şəklin kəsilməsi riyazi əməliyyat deyil.

3. Fərdi qrafik simvolları rəqəmlərə çevirin. Bu riyazi əməliyyat deyil.

4. Əldə olunan rəqəmləri toplayın. İndi bu riyaziyyatdır.

12345 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 15-dir. Bunlar riyaziyyatçıların istifadə etdiyi şamanlardan olan “kəsmə və tikiş kursları”dır. Ancaq bu hamısı deyil.

Riyaziyyat nöqteyi-nəzərindən ədədi hansı say sistemində yazmağımızın fərqi yoxdur. Beləliklə, in müxtəlif sistemlər hesablasaq, eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olacaq. Riyaziyyatda say sistemi rəqəmin sağında alt işarə kimi göstərilir. ilə böyük rəqəm 12345 Başımı aldatmaq istəmirəm, məqalədəki 26 nömrəsini düşünün. Bu ədədi ikilik, səkkizlik, onluq və onaltılıq say sistemlərində yazaq. Biz hər bir addımı mikroskop altında nəzərdən keçirməyəcəyik, biz bunu artıq etmişik. Nəticəyə baxaq.

Göründüyü kimi müxtəlif say sistemlərində eyni ədədin rəqəmlərinin cəmi fərqli olur. Bu nəticənin riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Düzbucaqlının sahəsini metr və santimetrlə təyin edərkən tamamilə fərqli nəticələr əldə edəcəyinizlə eynidir.

Bütün say sistemlərində sıfır eyni görünür və rəqəmlərin cəmi yoxdur. Bu faktın lehinə başqa bir arqumentdir. Riyaziyyatçılara sual: ədəd olmayan riyaziyyatda necə işarələnir? Riyaziyyatçılar üçün rəqəmlərdən başqa heç nə yoxdur? Şamanlar üçün buna icazə verə bilərəm, elm adamları üçün isə yox. Reallıq təkcə rəqəmlərdən ibarət deyil.

Alınan nəticə say sistemlərinin ədədlərin ölçü vahidləri olduğuna sübut kimi qəbul edilməlidir. Axı biz ədədləri müxtəlif ölçü vahidləri ilə müqayisə edə bilmərik. Eyni kəmiyyətin müxtəlif ölçü vahidləri ilə eyni hərəkətlər gətirib çıxarırsa fərqli nəticələr onları müqayisə etdikdən sonra riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur.

Əsl riyaziyyat nədir? Nəticə budur riyazi hərəkətədədin dəyərindən, istifadə olunan ölçü vahidindən və bu hərəkəti kimin yerinə yetirməsindən asılı deyil.

vay! Bura qadın tualeti deyilmi?
- Gənc qadın! Bu, göyə qalxarkən ruhların qeyri-müəyyən müqəddəsliyini öyrənmək üçün laboratoriyadır! Nimbus yuxarıda və yuxarı ox. Başqa hansı tualet?

Qadın... Üstündəki halo və aşağı ox kişidir.

Əgər gündə bir neçə dəfə gözünüzün önündə belə bir dizayn sənətiniz varsa,

Sonra birdən avtomobilinizdə qəribə bir simvol tapmağınız təəccüblü deyil:

Şəxsən mən öz üzərimdə çalışıram ki, nəcis edən adamda mənfi dörd dərəcə görüm (bir şəkil) (bir neçə şəklin tərkibi: mənfi işarə, dörd rəqəm, dərəcə təyinatı). Mən isə bu qızı fizika bilməyən axmaq hesab etmirəm. O, sadəcə olaraq qrafik təsvirlərin qavranılmasının qövs stereotipinə malikdir. Riyaziyyatçılar bunu bizə hər zaman öyrədirlər. Budur bir nümunə.

1A "mənfi dörd dərəcə" və ya "bir a" deyil. Bu, onaltılıq say sistemində "pooping man" və ya "iyirmi altı" rəqəmidir. Daim bu say sistemində işləyən insanlar avtomatik olaraq rəqəmi və hərfi bir qrafik simvol kimi qəbul edirlər.

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Kəsrlərin əlavə edilməsi iki növdür:

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin əlavə edilməsi
2. Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

Eyni məxrəcli kəsrləri əlavə etməklə başlayaq. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etməli və məxrəci dəyişməz qoymalısınız. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edirik və məxrəci dəyişmədən qoyuruq:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 2 Kəsrləri əlavə edin və .

Cavab yox oldu düzgün fraksiya. Tapşırığın sonu gəlirsə, o zaman düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan qurtulmaq üçün içindəki bütün hissəni seçməlisiniz. Bizim vəziyyətimizdə tam hissə asanlıqla ayrılır - iki ikiyə bölünən birə bərabərdir:

İki hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:

Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .

Yenə sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 4İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi çətin deyil. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

1. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etmək, məxrəci isə dəyişməz qoymaq lazımdır;

Fərqli məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsi

İndi biz müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənəcəyik. Kəsrləri toplayanda həmin kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Lakin onlar həmişə eyni deyil.

Məsələn, kəsrlər eyni məxrəclərə malik olduqları üçün əlavə edilə bilər.

Amma kəsrləri birdən toplamaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün onlardan yalnız birini nəzərdən keçirəcəyik, çünki qalan üsullar bir başlanğıc üçün mürəkkəb görünə bilər.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, hər iki fraksiyanın məxrəclərinin birincisi (LCM) axtarılır. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci əlavə əmsal alınır. Onlar ikinci fraksiya ilə də eyni şeyi edirlər - NOC ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlərin say və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik.

Misal 1. Kəsrləri əlavə edin və

Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.

LCM (2 və 3) = 6

İndi kəsrlərə və . Əvvəlcə LCM-ni birinci kəsrin məxrəcinə bölürük və birinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.

Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə amildir. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə amili onun üstünə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.

Nəticədə çıxan 3 rəqəmi ikinci əlavə amildir. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə ikinci fraksiyanın üstündə kiçik bir əyri xətt çəkirik və tapılan əlavə faktoru onun üstünə yazırıq:

İndi hamımız əlavə etməyə hazırıq. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Beləliklə, nümunə başa çatır. Əlavə etmək üçün belə çıxır.

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:

Kəsrin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə gətirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).

Birinci rəsmdə bir kəsr (altıdan dörd ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (altıdan üç ədəd) göstərilir. Bu parçaları bir araya gətirərək alırıq (altıdan yeddi ədəd). Bu kəsr səhvdir, ona görə də biz orada tam hissəni vurğuladıq. Nəticə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) oldu.

Qeyd edək ki, biz rəsm çəkmişik nümunə verilmişdirçox təfərrüatlı. AT təhsil müəssisələri belə təfərrüatlı şəkildə yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin say və məxrəcləriniz tərəfindən tapılan əlavə amilləri tez çoxaltmalısınız. Məktəbdə olarkən bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:

Amma sikkənin digər tərəfi də var. Riyaziyyatın öyrənilməsinin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparılmırsa, bu cür suallar “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.

Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:

1. Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
2. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın;
3. Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
4. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;

Misal 2İfadənin qiymətini tapın .

Yuxarıdakı təlimatlardan istifadə edək.

Addım 1. Kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın

Hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 rəqəmləridir

Addım 2. LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə çarpan alın

LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmidir, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölün, 6-nı alırıq. İlk əlavə amil 6-nı aldıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölsək, 4-ü alarıq. İkinci əlavə amil 4-ü aldıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü aldıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

Addım 3. Kəsrin say və məxrəclərini əlavə amillərinizə vurun

Biz əlavə amillərlə say və məxrəcləri vururuq:

Addım 4. Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:

Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və əvvəlində bərabər işarəsi (=) qoymaq lazımdır. yeni xətt. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.

Addım 5. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçin

Cavabımız düzgün olmayan kəsrdir. Biz onun bütün hissəsini ayırmalıyıq. Biz vurğulayırıq:

Cavab aldım

Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması

Kəsirin çıxmasının iki növü var:

1. Məxrəcləri eyni olan kəsrlərin çıxılması
2. Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Əvvəlcə eyni məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymaq lazımdır.

Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu misalı həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxmaq, məxrəci isə dəyişməz qoymaq lazımdır. Gəlin, bunu edək:

Dörd hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 2İfadənin qiymətini tapın.

Yenə də birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci dəyişməz qoyun:

Üç hissəyə bölünmüş bir pizza düşünsək, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından, qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

1. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır;
2. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Məsələn, bir kəsr kəsrdən çıxıla bilər, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Amma kəsrdən kəsri çıxmaq olmaz, çünki bu kəsrlərin məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Ümumi məxrəc müxtəlif məxrəcli kəsrləri toplayanda istifadə etdiyimiz eyni prinsipə əsasən tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üzərinə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci kəsrin məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin üzərinə yazılan ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın:

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4-dür. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.

LCM (3 və 4) = 12

İndi fraksiyalara qayıdın və

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunun üçün LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Dördü birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə üçqat yazırıq:

İndi hamımız çıxma üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər tamamlayaq:

Cavab aldım

Şəkildən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız.

Bu həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olduğumuz üçün bu nümunəni daha qısa şəkildə həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:

Kəsrlərin və ortaq məxrəcə qədər azaldılması da bir şəkildə təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə gətirərək və kəsrləri alırıq. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar eyni fraksiyalara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):

Birinci rəsmdə bir kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.

Misal 2İfadənin qiymətini tapın

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə gətirmək lazımdır.

Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın.

Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunun üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölürük.

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, ilk əlavə 3 əmsalı alırıq. Birinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə 6 əmsalı alırıq. Üçüncü kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Belə nəticəyə gəldik ki, məxrəcləri müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəclərə malik kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.

Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:

Cavab düzgün kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu asanlaşdırmalıyıq. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı azalda bilərsiniz.

Kəsiri azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini (gcd) 20 və 30 rəqəmlərinə bölmək lazımdır.

Beləliklə, 20 və 30 rəqəmlərinin GCD-ni tapırıq:

İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini tapılan GCD-yə, yəni 10-a bölürük.

Cavab aldım

Kəsirin ədədə vurulması

Kəsri ədədə vurmaq üçün verilmiş kəsrin payını bu ədədə vurmalı və məxrəci eyni vəziyyətdə qoymalısınız.

Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.

Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun

Giriş 1 dəfənin yarısını almaq kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız

Vurma qanunlarından bilirik ki, çarpan və çarpan bir-birini əvəz edərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam və kəsri vurma qaydası işləyir:

Bu giriş vahidin yarısını götürmək kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Kəsrin payını 4-ə vurun

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:

İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 dəfə pizza götürsəniz, iki tam pizza alırsınız.

Əgər çarpanı və çarpanı yerlərdə dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:

Kəsrlərin vurulması

Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların paylarını və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onda bütün hissəni seçməlisiniz.

Misal 1İfadənin qiymətini tapın.

Cavab aldım. azaldılması arzu edilir verilmiş kəsr. Kəsr 2 azaldıla bilər. Sonra son həll aşağıdakı formanı alacaq:

İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:

Və bu üç hissədən ikisini götürün:

Pizza alacağıq. Üç hissəyə bölünən bir pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:

Bu pizzadan bir dilim və götürdüyümüz iki dilim eyni ölçülərə sahib olacaq:

Başqa sözlə, söhbət eyni pizza ölçüsündən gedir. Buna görə də ifadənin dəyəri

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün olmayan kəsrdir. Onun tam bir hissəsini götürək:

Misal 3İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün kəsr oldu, amma azaldılsa yaxşı olar. Bu kəsri azaltmaq üçün bu kəsrin payını və məxrəcini ən böyüyə bölmək lazımdır ortaq bölən(gcd) 105 və 450 nömrələri.

Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin GCD-ni tapaq:

İndi tapdığımız GCD-yə cavabımızın payını və məxrəcini, yəni 15-ə bölürük.

Tam ədədi kəsr kimi təqdim etmək

İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bundan beş mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyiniz kimi, beşə bərabərdir:

Əks nömrələr

İndi tanış olacağıq maraqlı mövzu riyaziyyatda. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.

Tərif. Nömrəyə tərsinəa ilə vurulduqda olan ədəddira vahid verir.

Gəlin bu tərifdə dəyişən əvəzinə əvəz edək a sayı 5 və tərifi oxumağa çalışın:

Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulduqda olan ədəddir 5 vahid verir.

5-ə vurulduqda bir verən ədəd tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, edə bilərsiniz. Beşi kəsr kimi təqdim edək:

Sonra bu fraksiyanın özünə çoxalın, yalnız pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, kəsri özünə vuraq, yalnız tərs:

Bunun nəticəsi nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:

Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi ədəddir, çünki 5-i birə vuranda bir alınır.

Qarşılıq hər hansı digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.

Siz həmçinin hər hansı digər fraksiya üçün əksi tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün onu çevirmək kifayətdir.

Kəsirin ədədə bölünməsi

Deyək ki, yarım pizzamız var:

Gəlin onu ikiyə bərabər bölək. Hər biri neçə pizza alacaq?

Görünür ki, pizzanın yarısını böldükdən sonra hər biri bir pizza təşkil edən iki bərabər dilim alınıb. Beləliklə, hamı pizza alır.

Kəsrlərin bölünməsi qarşılıqlardan istifadə etməklə həyata keçirilir. Əks nömrələr bölməni vurma ilə əvəz etməyə imkan verir.

Kəsri ədədə bölmək üçün bu kəsri bölənin əks hissəsinə vurmaq lazımdır.

Bu qaydadan istifadə edərək, pizzamızın yarısının iki yerə bölünməsini yazacağıq.

Beləliklə, kəsri 2 rəqəminə bölmək lazımdır. Burada dividend kəsr, bölən isə 2-dir.

Kəsri 2 rəqəminə bölmək üçün bu kəsri 2-ci bölənin əksinə vurmaq lazımdır. Bölən 2-nin əksi kəsirdir. Beləliklə, çoxalmaq lazımdır

$\frac63$ kəsrini nəzərdən keçirək. Onun dəyəri 2-dir, çünki $\frac63 =6:3 = 2$. Say və məxrəc 2-yə vurulsa nə olar? $\frac63 \dəfə 2=\frac(12)(6)$. Aydındır ki, kəsrin qiyməti dəyişməyib, ona görə də $\frac(12)(6)$ y kimi 2-yə bərabərdir. payı və məxrəci vur 3-ə və $\frac(18)(9)$, yaxud 27-yə və $\frac(162)(81)$ və ya 101-ə və $\frac(606)(303)$ əldə edin. Bu halların hər birində payı məxrəcə bölməklə əldə etdiyimiz kəsrin qiyməti 2-dir. Bu o deməkdir ki, dəyişməyib.

Eyni nümunə digər fraksiyalarda da müşahidə olunur. Əgər $\frac(120)(60)$ (2-yə bərabərdir) kəsirinin payı və məxrəci 2-yə ($\frac(60)(30)$ nəticəsi) və ya 3-ə (nəticəsi) bölünərsə $\frac(40)(20) $), və ya 4-ə ($\frac(30)(15)$ nəticəsi) və s., onda hər bir halda kəsrin qiyməti dəyişməz qalır və 2-yə bərabərdir.

Bu qayda bərabər olmayan kəsrlərə də aiddir. Bütün nömrə.

$\frac(1)(3)$ kəsirinin payı və məxrəci 2-yə vurularsa, $\frac(2)(6)$ alırıq, yəni kəsrin qiyməti dəyişməyib. Və əslində tortu 3 hissəyə bölüb onlardan birini götürsəniz və ya 6 hissəyə bölüb 2 hissə götürsəniz hər iki halda eyni miqdarda piroq alacaqsınız. Buna görə də, $\frac(1)(3)$ və $\frac(2)(6)$ ədədləri eynidir. Ümumi bir qayda formalaşdıraq.

İstənilən kəsrin payı və məxrəci eyni ədədə vurula və ya bölünə bilər və kəsrin qiyməti dəyişmir.

Bu qayda çox faydalıdır. Məsələn, bəzi hallarda çoxlu sayda əməliyyatlardan qaçmağa imkan verir, lakin həmişə deyil.

Məsələn, $\frac(126)(189)$ kəsirinin payını və məxrəcini 63-ə bölmək və hesablanması daha asan olan $\frac(2)(3)$ kəsrini ala bilərik. Daha bir misal. $\frac(155)(31)$ kəsirinin payını və məxrəcini 31-ə bölüb $\frac(5)(1)$ və ya 5 kəsri ala bilərik, çünki 5:1=5.

Bu nümunədə ilk dəfə qarşılaşdıq məxrəci 1 olan kəsr. Belə kəsrlər hesablamalarda mühüm rol oynayır. Yadda saxlamaq lazımdır ki, istənilən ədədi 1-ə bölmək olar və onun dəyəri dəyişməyəcək. Yəni, $\frac(273)(1)$ 273-ə bərabərdir; $\frac(509993)(1)$ 509993-ə bərabərdir və s. Buna görə də, biz ədədləri bölmək məcburiyyətində deyilik, çünki hər bir tam ədədi 1 məxrəcli kəsr kimi təqdim etmək olar.

Məxrəci 1-ə bərabər olan belə kəsrlərlə eynisini çıxarmaq olar arifmetik əməliyyatlar, bütün digər fraksiyalar kimi: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.

Xəttin altında vahidi olacaq tam ədədi kəsr kimi təqdim etməyin nə faydası olduğunu soruşa bilərsiniz, çünki tam ədədlə işləmək daha rahatdır. Ancaq fakt budur ki, tam ədədin kəsr kimi təqdim edilməsi bizə daha səmərəli istehsal etməyə imkan verir müxtəlif fəaliyyətlər eyni zamanda həm tam, həm də kəsr ədədləri ilə məşğul olduğumuz zaman. Məsələn, öyrənmək üçün müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri əlavə edin. Tutaq ki, $\frac(1)(3)$ və $\frac(1)(5)$ əlavə etməliyik.

Bilirik ki, siz ancaq məxrəcləri bərabər olan kəsrləri əlavə edə bilərsiniz. Beləliklə, kəsrləri məxrəcləri bərabər olduqda belə bir formaya gətirməyi öyrənməliyik. Bu halda, bizə yenə də ehtiyacımız var ki, kəsrin payını və məxrəcini dəyərini dəyişmədən eyni ədədə vura bilərsiniz.

Əvvəlcə $\frac(1)(3)$ kəsirinin payını və məxrəcini 5-ə vururuq. $\frac(5)(15)$ alırıq, kəsrin qiyməti dəyişməyib. Sonra $\frac(1)(5)$ kəsirinin payını və məxrəcini 3-ə vururuq. $\frac(3)(15)$ alırıq, yenə kəsrin qiyməti dəyişməyib. Buna görə də, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.

İndi bu sistemi həm tam, həm də kəsr hissələri olan ədədlərin toplanmasına tətbiq etməyə çalışaq.

$3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ əlavə etməliyik. Əvvəlcə bütün şərtləri kəsrlərə çeviririk və alırıq: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. İndi bütün kəsrləri ortaq məxrəcə gətirməliyik, bunun üçün birinci kəsrin payını və məxrəcini 12-yə, ikincini 4-ə, üçüncünü isə 3-ə vururuq. Nəticədə $\frac(36) alırıq. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, bu $\frac(55)(12)$-a bərabərdir. Əgər qurtarmaq istəyirsənsə düzgün olmayan fraksiya, tam və kəsr hissədən ibarət ədədə çevrilə bilər: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ və ya $4\frac( 7)( 12)$.

İmkan verən bütün qaydalar kəsrlərlə əməliyyatlar, indicə tədqiq etdiyimiz mənfi ədədlər üçün də keçərlidir. Beləliklə, -1: 3 $\frac(-1)(3)$, 1: (-3) isə $\frac(1)(-3)$ kimi yazıla bilər.

Həm mənfi ədədi müsbət ədədə bölmək, həm də müsbət ədədi mənfi nəticəyə bölmək mənfi ədədlərdə olduğundan, hər iki halda cavabı mənfi ədəd şəklində alacağıq. yəni

$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ və ya $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Bu şəkildə yazıldığı zaman mənfi işarəsi ayrı-ayrılıqda pay və ya məxrəcə deyil, bütövlükdə bütün kəsrə aiddir.

Digər tərəfdən, (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ kimi yazıla bilər və mənfi ədədi mənfi ədədə böldükdən sonra əldə edirik. müsbət rəqəm, onda $\frac(-1)(-3)$ $+\frac(1)(3)$ kimi yazıla bilər.

Mənfi kəsrlərin toplanması və çıxılması müsbət kəsrlərin toplanması və çıxılması ilə eyni şəkildə həyata keçirilir. Məsələn, $1- 1\frac13$ nədir? Gəlin hər iki ədədi kəsr kimi təqdim edək və $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$ alaq. Gəlin kəsrləri ümumi məxrəcə endirək və $\frac(1 \dəfə 3)(1 \dəfə 3)-\frac(4)(3)$, yəni $\frac(3)(3)-\frac( alırıq. 4) (3)$ və ya $-\frac(1)(3)$.