Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

Stredná škola Doschatinskaya

mestská časť Vyksa, región Nižný Novgorod

Riešenie logických problémov.

Katedra fyziky a matematiky

Matematická sekcia

Urobil som prácu:

Žiak 5. ročníka

Papotina Elena Sergejevna

vedecký poradca:

učiteľ MBOU Doschatinskaya Stredná škola

Roshchina Ludmila Valerievna

Región Nižný Novgorod

r/p Doschatoe

2016

anotácia

Účel tejto práceidentifikovať schopnosť uvažovať a vyvodzovať správne závery pri riešení logických problémov.TítoÚlohy sú zábavné a nevyžadujú veľa matematických vedomostí, takže prilákajú aj tých študentov, ktorí matematiku príliš neobľubujú.Práca má nasledujúce úlohy:

1) oboznámenie sa s pojmami „logika“ a „matematická logika“;

2) štúdium základných metód riešenia logických problémov;

3) štúdium schopnosti riešiť logické úlohy žiakmi 5.-7.

Metódy výskumu tejto práce sú:

Zber a štúdium informácií.

Zovšeobecnenie experimentálneho a teoretického materiálu.

Hypotéza : Žiaci našej školy vedia riešiť logické úlohy.

Pri písaní práce sa skúmali typy a metódy riešenia logických úloh. So stredoškolákmi prebiehala praktická práca o tom, ako vedia riešiť logické úlohy. Výsledky práce ukázali, že nie všetci žiaci si vedia poradiť s logickými úlohami.Schopnosti školákov ostávajú pre seba najčastejšie neobjavené, nie sú si istí svojimi schopnosťami a sú ľahostajní k matematike.Pre takýchto študentov navrhujem používať logické úlohy. Tieto úlohy možno zvážiť v klubových a voliteľných triedach.

2.3 Eulerova kruhová metóda

Táto metódaje ďalší vizuálny a celkom zaujímavý spôsob riešenia logických problémov. Táto metóda je založená na konštrukcii známych Euler-Vennových kruhov,problémy, v ktorých je potrebné nájsť nejaký priesečník množín alebo ich spojenie pri dodržaní podmienok problému. Pozrime sa na príklad použitia tejto metódy.

Poďme vyriešiť problém 6:

Z 52 školákov zbiera 23 odznaky, 35 známky a 16 odznaky aj známky. Zvyšok nemá o zberateľstvo záujem. Koľko školákov nemá záujem zbierať?

Riešenie. Podmienky tohto problému nie sú také ľahké pochopiť. Ak spočítate 23 a 35, dostanete viac ako 52. Vysvetľuje to fakt, že niektorých školákov sme tu počítali dvakrát, a to tých, ktorí zbierajú odznaky aj známky.Na uľahčenie diskusie použijeme Eulerove kruhy

Na obrázku je veľký kruhoznačuje 52 príslušných študentov; v kruhu 3 sú školáci zbierajúci odznaky a v kruhu M sú školáci zbierajúci známky.

Veľký kruh je rozdelený kruhmi 3 a M na niekoľko oblastí. Priesečník kruhov 3 a M zodpovedá školákom zbierajúcim odznaky aj známky (obr.). Časť krúžku 3, ktorá nepatrí do krúžku M, zodpovedá školákom, ktorí zbierajú iba odznaky, a časť krúžku M, ktorá nepatrí do krúžku 3, patrí školákom, ktorí zbierajú len známky. Voľná ​​časť veľkého kruhu predstavuje školákov, ktorí nemajú záujem zbierať.

Postupne vyplníme náš diagram a do každej oblasti zadáme príslušné číslo. Odznaky aj známky zbiera podľa stavu 16 ľudí, preto na priesečník kruhov 3 a M napíšeme číslo 16 (obr.).

Keďže odznaky zbiera 23 školákov a odznaky aj pečiatky 16 školákov, tak odznaky zbiera len 23 - 16 = 7 ľudí. Tak isto len známky zbiera 35 - 16 = 19 ľudí. Napíšme čísla 7 a 19 do zodpovedajúcich oblastí diagramu.

Z obrázku je zrejmé, koľko ľudí sa zbieraniu venuje. Aby ste to zistilitreba sčítať čísla 7, 9 a 16. Získame 42 ľudí. To znamená, že 52 - 42 = 10 školákov zostáva bez záujmu zbierať. Toto je odpoveď na problém, ktorý možno zadať do voľného poľa veľkého kruhu.

Eulerova metóda je nevyhnutná na riešenie niektorých problémov a tiež výrazne zjednodušuje uvažovanie.

2.4 Metóda blokovej schémy

Riešenie. Formalizujme riešenie vo forme blokovej schémy:

Odpoveď: 18 možností.

2.5 Problémy pravdy

Problémy, v ktorých je potrebné zistiť pravdivosť alebo nepravdivosť tvrdení, budeme nazývať pravdivými problémami.

Problém 7 . Traja kamaráti Kolja, Oleg a Peťa sa hrali na dvore a jeden z nich omylom rozbil sklo loptou. Kolja povedal: "Nebol som to ja, kto rozbil sklo." Oleg povedal: "Petya rozbil sklo." Neskôr sa zistilo, že jedno z týchto tvrdení bolo pravdivé a druhé nepravdivé. Ktorý chlapec rozbil sklo?

Riešenie. Predpokladajme, že pravdu povedal Oleg, potom pravdu povedal aj Kolja, čo je v rozpore s podmienkami problému. V dôsledku toho Oleg klamal a Kolja povedal pravdu. Z ich vyjadrení vyplýva, že Oleg rozbil sklo.

Úloha 8. Štyria študenti - Vitya, Petya, Yura a Sergei - obsadili štyri prvé miesta na matematickej olympiáde. Na otázku, aké miesta zaujali, dostali tieto odpovede:

a) Petya - druhá, Vitya - tretia;

b) Sergey - druhý, Petya - prvý;

c) Yura - druhý, Vitya - štvrtý.

Uveďte, kto zaujal aké miesto, ak je správna iba jedna časť každej odpovede.

Riešenie. Predpokladajme, že výrok „Peter - II“ je pravdivý, potom sú oba výroky druhej osoby nesprávne, čo je v rozpore s podmienkami problému. Predpokladajme, že tvrdenie „Sergey - II“ je pravdivé, potom sú oba výroky prvej osoby nesprávne, čo je v rozpore s podmienkami problému. Predpokladajme, že výrok "Jura - II" je pravdivý, potom prvý výrok prvej osoby je nepravdivý a druhý je pravdivý. A prvé tvrdenie druhej osoby je nesprávne, ale druhé je správne.

Odpoveď: prvé miesto - Petya, druhé miesto - Yura, tretie miesto - Vitya, štvrté miesto Sergey.

2.6 Problémy vyriešené od konca.

Existuje typ logických problémov, ktoré sa riešia od konca. Pozrime sa na príklad riešenia takýchto problémov.

Úloha 9. Vasya vymyslel číslo, pridal k nemu 5, potom vydelil súčet 3, vynásobil 4, odčítal 6, vydelil 7 a dostal číslo 2. Aké číslo si Vasja myslel?

Riešenie: 2·7=14

14+6=20

20˸4=5

5,3 = 15

15-5=10

Odpoveď: Vasya myslel na číslo 10.

Kapitola 3. Štúdium schopnosti riešiť logické problémy.

V praktickej časti výskumnej práce som vybral logické úlohy typu: úlohy riešené od konca; kto je kto?; slovné úlohy.

Úlohy zodpovedali úrovni vedomostí 5., 6. a 7. ročníka, resp. Študenti riešili tieto úlohy a ja som analyzoval výsledky (obr. 1). Pozrime sa na získané výsledky podrobnejšie.

*Pre 5. ročník boli navrhnuté tieto úlohy:

Úloha č.1. Problém vyriešený od konca.

Vymyslel som číslo, vynásobil som ho dvoma, pridal tri a dostal som 17. Aké číslo ma napadlo?

Úloha č.2. Problémy ako "Kto je kto?"

Katya, Sonya a Lisa majú priezvisko Vasnetsova, Ermolaeva a Kuznetsova. Aké priezvisko má každé dievča, ak Sonya, Liza a Ermolaeva sú členmi matematického kruhu a Liza a Kuznetsova študujú hudbu?

Úloha č.3. Textová úloha.

Školskej športovej olympiády sa zúčastnilo 124 ľudí, o 32 chlapcov viac ako dievčat. Koľko chlapcov a dievčat sa zúčastnilo olympiády?

Väčšina žiakov piateho ročníka sa vyrovnala s problémom typu: „riešiteľné od konca“. Takéto problémy sa nachádzajú v učebniciach pre ročníky 5-6.Pri type textových úloh je táto úloha zložitejšia, bolo treba na ňu myslieť, poradilo si s ňou len 5 ľudí.(Obr.2)

*Pre 6. ročník boli navrhnuté tieto úlohy:

Úloha č.1. Problém vyriešený od konca.

Napadlo mi číslo, odčítal som 57, vydelil 2 a dostal som 27. Aké číslo ma napadlo?

Úloha č.2. Problémy ako "Kto je kto?"

Athos, Porthos, Aramis a D'Artagnan sú štyria talentovaní mladí mušketieri. Jeden z nich najlepšie bojuje s mečmi, druhý nemá páru v boji proti sebe, tretí najlepšie tancuje na plesoch, štvrtý strieľa z pištolí bez toho, aby zmeškal úder. Je o nich známe nasledovné:

Athos a Aramis na plese sledovali svojho priateľa, vynikajúceho tanečníka.

Porthos a najlepší strelec včera s obdivom sledovali vzájomné súboje.

Strelec chce pozvať Athosa na návštevu.

Porthos bol veľmi veľký, takže tanec nebol jeho živlom.

kto čo robí?

Úloha č.3. Textová úloha. Na jednej poličke je 5x viac kníh ako na druhej. Po premiestnení 12 kníh z prvej police na druhú bol na poličkách rovnaký počet kníh. Koľko kníh bolo pôvodne na každej poličke?

Spomedzi 18 žiakov 6. ročníka všetky úlohy splnil 1 človek. Všetci žiaci 6. ročníka sa vyrovnali s problémom typu: „riešiteľné od konca“. S úlohou č. 2, ako napríklad „Kto je kto?“ Robili to 4 ľudia. Textovú úlohu dokončila iba jedna osoba(obr. 3).

*Pre 7. ročník boli navrhnuté tieto úlohy:

Úloha č.1. Problém vyriešený od konca.

Napadlo mi číslo, pridal som k nemu 5, potom som súčet vydelil 3, vynásobil 4, odčítal 6, vydelil 7 a dostal som číslo 2. Aké číslo ma napadlo?

Úloha č.2. Problémy ako "Kto je kto?"

Vanya, Petya, Sasha a Kolya majú priezviská začínajúce písmenami V, P, S a K. Je známe, že 1) Vanya a S. sú vynikajúci študenti; 2) Peťa a V. sú študenti C; 3) vyšší ako P.; 4) Kolja je kratší ako P.; 5) Sasha a Petya majú rovnakú výšku. Na aké písmeno začína priezvisko každého človeka?

Úloha č.3. Spôsob uvažovania.

Na opravu školy dorazil tím, v ktorom bolo 2,5-krát viac maliarov ako tesárov. Čoskoro majster zaradil do tímu ďalších 4 maliarov a dvoch tesárov presunul na iné miesto. Tým pádom bolo v tíme 4x viac maliarov ako tesárov. Koľko maliarov a koľko tesárov bolo pôvodne v tíme?

Spomedzi 20 žiakov 7. ročníka všetky úlohy splnil 1 človek.Trinásť študentov dokončilo úlohu typu: „vyriešené od konca“. STextovú úlohu splnil jeden žiak (obr. 4).

Záver

Počas výskumnej práce na štúdiu metód riešenia logických problémov. Ciele a zámery, ktoré som si stanovil, považujem za splnené. V prvej kapitole som sa zoznámil s pojmom logika ako veda, hlavnými etapami jej vývoja a vedcami, ktorí sú jej zakladateľmi. V druhej kapitole som študoval rôzne metódy riešenia logických problémov a analyzoval som ich na konkrétnych príkladoch. Zvažoval som tieto metódy: mmetóda uvažovania, tabuľková metóda, grafová metóda, bloková schéma, metóda Eulerovho kruhu, pravdivostné úlohy, metóda riešenia úlohy od konca.V tretej kapitole som uskutočnil praktickú štúdiu medzi žiakmi 5. – 7. ročníka, kde som otestoval ich schopnosť riešiť logické úlohy. Môj výskum ukázal nasledovné. Problémy, ktoré väčšina študentov dokončila, boli problémy vyriešené od konca. S úlohou "Kto je kto?" (tabuľková metóda) urobila to polovica študentov. Len najmenší počet ľudí riešil slovnú úlohu (metóda uvažovania). Domnievam sa, že moja hypotéza sa čiastočne potvrdila, keďže polovica študentov mala problém riešiť logické úlohy.

Logické úlohy pomáhajú rozvíjať logické a nápadité myslenie.Každé normálne dieťa má túžbu po vedomostiach, túžbu otestovať sa. Schopnosti školákov ostávajú pre nich najčastejšie neobjavené, nie sú si istí svojimi schopnosťami a sú ľahostajní k matematike.Pre takýchto študentov navrhujem používať logické úlohy. Tieto úlohy možno zvážiť v klubových a voliteľných triedach. Musia byť dostupné, prebúdzať inteligenciu, upútať ich pozornosť, prekvapiť, prebudiť ich k aktívnej predstavivosti a samostatným rozhodnutiam. Tiež verím, že logika nám pomáha vyrovnať sa s akýmikoľvek ťažkosťami v našich životoch a všetko, čo robíme, by malo byť logicky pochopené a štruktúrované. S logikou a logickými problémami sa stretávame nielen v škole na hodinách matematiky, ale aj na iných predmetoch.

Literatúra

Vilenkin N.Ya. Matematika 5. roč.-Mnemosyne, M: 2015. 45 str.

Vilenkin N.Ya. Matematika 5. roč.-Mnemosyne, M: 2015. 211 str.

Orlová E. Metódy riešenia logické úlohy a úlohy s číslami //

Matematika. -1999. č. 26. - str. 27-29.

Tarski A. Úvod do logiky a metodológie deduktívnych vied - Moskva,: 1948.

Internetové zdroje:

http://wiki. Učím.

Ryža. 3 Rozbor práce 6. ročníka.

Ryža. 4 Rozbor práce 7. ročníka

Mestská vzdelávacia rozpočtová inštitúcia -

Stredná škola č.51

Orenburg.

Projekt na:

učiteľ matematiky

Egorcheva Victoria Andreevna

2017

Hypotéza : Ak sa teória grafov priblíži praxi, možno dosiahnuť najpriaznivejšie výsledky.

Cieľ: Zoznámte sa s pojmom grafy a naučte sa ich aplikovať pri riešení rôznych problémov.

Úlohy:

1) Rozšíriť poznatky o metódach tvorby grafov.

2) Identifikujte typy problémov, ktorých riešenie si vyžaduje použitie teórie grafov.

3) Preskúmajte využitie grafov v matematike.

"Euler vypočítal bez akéhokoľvek viditeľného úsilia, ako človek dýcha alebo ako sa orol vznáša nad zemou."

Dominik Arago.

ja Úvod. p.

II . Hlavná časť.

1. Pojem grafu. Problém s mostami Königsberg. p.

2. Vlastnosti grafov. p.

3. Úlohy s využitím teórie grafov. p.

Sh.

Význam grafov. p.

IV. Bibliografia. p.

ja . ÚVOD.

Teória grafov je relatívne mladá veda. „Grafy“ majú koreň z gréckeho slova „grapho“, čo znamená „píšem“. Rovnaký koreň je v slovách „graf“, „biografia“.

Vo svojej práci sa zaoberám tým, ako sa teória grafov využíva v rôznych oblastiach života ľudí. Každý učiteľ matematiky a takmer každý študent vie, aké ťažké je riešiť geometrické úlohy, ale aj slovné úlohy z algebry. Po preskúmaní možnosti využitia teórie grafov v kurze školskej matematiky som dospel k záveru, že táto teória výrazne zjednodušuje pochopenie a riešenie problémov.

II . HLAVNÁ ČASŤ.

1. Pojem grafu.

Prvá práca o teórii grafov patrí Leonhardovi Eulerovi. Objavil sa v roku 1736 v publikáciách Akadémie vied v Petrohrade a začal úvahou o probléme Königsbergských mostov.

Pravdepodobne viete, že existuje také mesto ako Kaliningrad, kedysi sa nazývalo Koenigsberg. Mestom preteká rieka Pregolya. Je rozdelená na dve vetvy a obchádza ostrov. V 17. storočí bolo v meste sedem mostov usporiadaných tak, ako je znázornené na obrázku.

Hovorí sa, že jedného dňa obyvateľ mesta požiadal svojho priateľa, či by mohol prejsť cez všetky mosty, aby každý z nich navštívil iba raz a vrátil sa na miesto, kde sa prechádzka začala. O tento problém sa začalo zaujímať veľa obyvateľov mesta, no nikto nevedel prísť s riešením. Táto problematika pritiahla pozornosť vedcov z mnohých krajín. Problém sa podarilo vyriešiť slávnemu matematikovi Leonhardovi Eulerovi. 15. apríla 1707 sa narodil Leonhard Euler, rodák z Bazileja. Eulerove vedecké úspechy sú obrovské. Ovplyvnil rozvoj takmer všetkých odborov matematiky a mechaniky, tak v oblasti základného výskumu, ako aj v ich aplikáciách. Leonhard Euler nielenže vyriešil tento špecifický problém, ale prišiel aj so všeobecnou metódou riešenia týchto problémov. Euler urobil nasledovné: „stlačil“ krajinu do bodov a „natiahol“ mosty do čiar. Výsledkom je údaj uvedený na obrázku.

Takýto obrazec pozostávajúci z bodov a čiar spájajúcich tieto body sa nazývapočítať. Body A, B, C, D sa nazývajú vrcholy grafu a čiary, ktoré spájajú vrcholy, sa nazývajú hrany grafu. Na výkrese z vrcholov B, C, D Vychádzajú 3 rebrá a zhora A - 5 rebier. Volajú sa vrcholy, z ktorých vychádza nepárny počet hránnepárne vrcholy, a vrcholy, z ktorých vychádza párny počet hrán, súdokonca.

2. Vlastnosti grafu.

Pri riešení problému o Königsbergských mostoch Euler zistil najmä vlastnosti grafu:

1. Ak sú všetky vrcholy grafu párne, potom môžete nakresliť graf jedným ťahom (teda bez zdvihnutia ceruzky z papiera a bez kreslenia dvakrát pozdĺž tej istej čiary). V tomto prípade môže pohyb začať z akéhokoľvek vrcholu a skončiť v rovnakom vrchole.

2. Jedným ťahom možno nakresliť aj graf s dvoma nepárnymi vrcholmi. Pohyb musí začať z akéhokoľvek nepárneho vrcholu a skončiť v inom nepárnom vrchole.

3. Graf s viac ako dvoma nepárnymi vrcholmi nemožno nakresliť jedným ťahom.

4. Počet nepárnych vrcholov v grafe je vždy párny.

5. Ak má graf nepárne vrcholy, potom najmenší počet ťahov, ktoré je možné použiť na nakreslenie grafu, sa bude rovnať polovici počtu nepárnych vrcholov tohto grafu.

Napríklad, ak má figúrka štyri nepárne čísla, môže byť nakreslená aspoň dvoma ťahmi.

V úlohe siedmich mostov Königsbergu sú všetky štyri vrcholy príslušného grafu nepárne, t.j. Nemôžete prejsť všetky mosty raz a skončiť cestu tam, kde začala.

3. Riešenie úloh pomocou grafov.

1. Úlohy na kreslenie figúrok jedným ťahom.

Pokus nakresliť každý z nasledujúcich tvarov jedným ťahom pera bude mať za následok rôzne výsledky.

Ak na obrázku nie sú žiadne nepárne body, potom sa dá vždy kresliť jedným ťahom pera, bez ohľadu na to, kde začnete kresliť. Toto sú obrázky 1 a 5.

Ak má figúrka iba jeden pár nepárnych bodov, potom je možné takúto figúrku nakresliť jedným ťahom, pričom sa začne kresliť v jednom z nepárnych bodov (nezáleží na tom, ktorý). Je ľahké pochopiť, že kresba by mala skončiť v druhom nepárnom bode. Toto sú obrázky 2, 3, 6. Napríklad na obrázku 6 musí kreslenie začať buď z bodu A, alebo z bodu B.

Ak má figúrka viac ako jeden pár nepárnych bodov, potom sa vôbec nedá nakresliť jedným ťahom. Toto sú obrázky 4 a 7, ktoré obsahujú dva páry nepárnych bodov. To, čo bolo povedané, stačí na to, aby sa presne rozpoznalo, ktoré figúry sa nedajú nakresliť jedným ťahom a ktoré sa dajú kresliť, ako aj to, od ktorého bodu by sa malo kresliť.

Navrhujem nakresliť nasledujúce obrázky jedným ťahom.

2. Riešenie logických úloh.

ÚLOHA č.1.

Na šampionáte triedy stolného tenisu je 6 účastníkov: Andrey, Boris, Victor, Galina, Dmitrij a Elena. Šampionát sa koná systémom kolotoč – každý účastník hrá s každým jedenkrát. K dnešnému dňu už boli odohrané niektoré hry: Andrey hral s Borisom, Galinou, Elenou; Boris - s Andrey, Galina; Victor - s Galinou, Dmitrijom, Elenou; Galina - s Andreym, Victorom a Borisom. Koľko hier sa doteraz odohralo a koľko ich ešte zostáva?

RIEŠENIE:

Zostavme graf, ako je znázornené na obrázku.

7 odohratých hier.

Na tomto obrázku má graf 8 hrán, takže zostáva hrať 8 hier.

ÚLOHA č.2

Vo dvore, ktorý je obohnaný vysokým plotom, stoja tri domy: červený, žltý a modrý. Plot má tri brány: červenú, žltú a modrú. Od červeného domu nakreslite cestu k červenej bráne, od žltého k žltej bráne, od modrého k modrému tak, aby sa tieto cesty nekrížili.

RIEŠENIE:

Riešenie problému je znázornené na obrázku.

3. Riešenie slovných úloh.

Ak chcete vyriešiť problémy pomocou metódy grafu, musíte poznať nasledujúci algoritmus:

1.O akom procese v probléme hovoríme?2.Aké veličiny charakterizujú tento proces?3.Aký je vzťah medzi týmito veličinami?4.Koľko rôznych procesov je opísaných v úlohe?5. Existuje spojenie medzi prvkami?

Pri odpovedi na tieto otázky analyzujeme stav problému a schematicky ho zapíšeme.

Napríklad . Autobus išiel 2 hodiny rýchlosťou 45 km/h a 3 hodiny rýchlosťou 60 km/h. Ako ďaleko prešiel autobus za týchto 5 hodín?

S
¹=90 km V¹=45 km/h t¹=2h

S=VT

S ²=180 km V ²=60 km/h t ²=3 h

S ¹ + S ² = 90 + 180

Riešenie:

1) 45x 2 = 90 (km) - autobus prešiel za 2 hodiny.

2)60 x 3 = 180 (km) - autobus prešiel za 3 hodiny.

3)90 + 180 = 270 (km) - autobus prešiel za 5 hodín.

Odpoveď: 270 km.

III . ZÁVER.

V dôsledku práce na projekte som sa dozvedel, že Leonhard Euler bol zakladateľom teórie grafov a riešil problémy pomocou teórie grafov. Sám som dospel k záveru, že teória grafov sa používa v rôznych oblastiach modernej matematiky a jej početných aplikácií. O užitočnosti oboznámenia nás študentov so základnými pojmami teórie grafov niet pochýb. Riešenie mnohých matematických problémov bude jednoduchšie, ak môžete použiť grafy. Prezentácia údajov V forma grafu im dáva prehľadnosť. Mnohé dôkazy sú tiež zjednodušené a stávajú sa presvedčivejšie, ak použijete grafy. To platí najmä pre také oblasti matematiky, ako je matematická logika a kombinatorika.

Štúdium tejto témy má teda veľký všeobecnovzdelávací, všeobecne kultúrny a všeobecne matematický význam. V každodennom živote sa čoraz viac využívajú grafické ilustrácie, geometrické zobrazenia a iné vizuálne techniky a metódy. Na tento účel je užitočné zaviesť štúdium prvkov teórie grafov na základných a stredných školách aspoň v rámci mimoškolských aktivít, keďže táto téma nie je súčasťou učiva matematiky.

V . BIBLIOGRAFIA:

2008

Preskúmanie.

Projekt na tému „Grafy okolo nás“ dokončil Nikita Zaytsev, študent 7. triedy „A“ Mestského vzdelávacieho ústavu č. 3, Krasny Kut.

Charakteristickým rysom práce Nikitu Zaitseva je jej relevantnosť, praktická orientácia, hĺbka pokrytia témy a možnosť jej využitia v budúcnosti.

Práca je tvorivá, formou informačného projektu. Študent si túto tému vybral preto, aby ukázal vzťah teórie grafov s praxou na príklade trasy školského autobusu, aby ukázal, že teória grafov sa využíva v rôznych oblastiach modernej matematiky a jej početných aplikácií, najmä v ekonómii, matematickej logike a kombinatorike. . Ukázal, že riešenie problémov je značne zjednodušené, ak je možné použiť grafy, mnohé dôkazy sú tiež zjednodušené a presvedčivé.

Práca sa zaoberá problémami ako:

1. Pojem grafu. Problém s mostami Königsberg.

2. Vlastnosti grafov.

3. Úlohy s využitím teórie grafov.

4. Význam grafov.

5. Možnosť trasy školského autobusu.

Pri vykonávaní svojej práce N. Zaitsev použil:

1. Alkhova Z.N., Makeeva A.V. "Mimoškolská práca v matematike."

2. Časopis „Matematika v škole“. Príloha „Prvý september“ č.13

2008

3. Ya.I.Perelman “Zábavné úlohy a experimenty.” - Moskva: Vzdelávanie, 2000.

Práca bola vykonaná kompetentne, materiál spĺňa požiadavky tejto témy, príslušné výkresy sú pripojené.

Metódy riešenia logických problémov

Trosheva Natalya, siedma trieda

1 . Logiku potrebuje každý odborník, či už je to matematik, lekár alebo biológ. Logika je nevyhnutný nástroj, ktorý vás oslobodí od zbytočného, ​​zbytočného memorovania, pomôže vám nájsť v množstve informácií to, čo je cenné, čo človek potrebuje. Bez logiky je to slepá práca.

Počas celého štúdia na škole riešime množstvo rôznych problémov, vrátane logických: zábavné úlohy, hádanky, anagramy, rébusy atď. Ak chcete úspešne vyriešiť problémy tohto typu, musíte byť schopní identifikovať ich spoločné črty, všímať si vzory, predkladať hypotézy, testovať ich, vytvárať reťazce úvah a vyvodzovať závery. Logické problémy sa líšia od bežných v tom, že nevyžadujú výpočty, ale riešia sa pomocou uvažovania. Môžeme povedať, že logická úloha je špeciálna informácia, ktorú je potrebné nielen spracovať v súlade s danou podmienkou, ale chcete ju aj vykonať. Osobitné miesto v matematike zaujímajú problémy, ktorých riešenie rozvíja logické myslenie, čo prispieva k úspešnému štúdiu predmetu. Tieto úlohy sú zábavné a nevyžadujú si veľa matematických vedomostí, takže prilákajú aj tých študentov, ktorí matematiku príliš neobľubujú.

2. Moja pedagogická a výskumná práca má teoretický charakter.

Účel práca je oboznámenie sa s rôznymi typmi logických problémov, algoritmami a metódami ich riešenia.

Na dosiahnutie tohto cieľa je potrebné vyriešiť nasledovné úlohy:

1. študovať literatúru s cieľom oboznámiť sa s rôznymi typmi logických problémov a metódami ich riešenia,

2. aplikovať tieto metódy na riešenie rôznych typov logických úloh, 3. vybrať logické úlohy riešené určitou metódou.

Objekt výskumu – logické úlohy v matematickom programe vo vzdelávacej škole.

Položka výskumu – rôzne metódy riešenia logických problémov.

Metódy výskum:

analýza a syntéza, porovnanie.

3. Riešenie mnohých logických problémov zahŕňa zváženie niekoľkých konečných množín s rovnakým počtom prvkov, medzi ktorými je potrebné stanoviť korešpondenciu. Pri riešení takýchto problémov je vhodné použiť algoritmus riešenia

Pri riešení logických úloh používame nasledovné algoritmus:

1) Určenie obsahu textu (výber predmetov alebo predmetov).

2) Kompilácia kompletných informácií o podujatí.

3) Vytvorenie úlohy vylúčením časti informácie alebo jej skreslením.

4) Svojvoľná formulácia problému. V prípade potreby (nedostatok informácií, skreslenie atď.) sa zavádza dodatočná logická podmienka.

5) Kontrola možnosti riešenia pomocou uvažovania. Prijatie jedinej konzistentnej odpovede znamená, že podmienka je správna. Ak nie, musíte si prečítať dodatočný odsek 6.

6) V zostavenom stave chýbajú informácie, alebo sú dostupné informácie nedôsledne skreslené. Zmeníme alebo doplníme stav problému, potom sa musíme obrátiť na krok 5.

4. Pre rozvoj pamäti a zovšeobecnenie získaných vedomostí sú zaujímavé logické testy. Na riešenie matematických testov potrebujete okrem vedomostí zo školskej matematiky aj schopnosť pozorovať, porovnávať, zovšeobecňovať, robiť analógie, vyvodzovať závery a zdôvodňovať ich. Testy sú v podstate tvorivé úlohy, ktoré podporujú rozvoj logického myslenia.

Logické testy sú rozdelené do troch hlavných skupín:

verbálne

symbolicko-grafické

kombinované

Svet symbolicko-grafických logických testov je veľmi rozmanitý a bohatý. Úlohy sú efektívnym spôsobom, ako spojiť algebraický materiál so zobrazením matematických útvarov.

Vložte požadovaný tvar:

? 100

Príklad. Doplňte chýbajúce slovo

matematika 3≤x≤6 téma

decimeter 5≤x≤8 ?

Logika pomáha asimilovať vedomosti vedome, s porozumením, t.j. nie formálne; vytvára možnosť lepšieho vzájomného porozumenia. Logika je umenie uvažovania, schopnosť robiť správne závery. Nie je to vždy jednoduché, pretože veľmi často sú potrebné informácie „zamaskované“, implicitne prezentované a musíte ich vedieť extrahovať.

5. Textové logické problémy možno rozdeliť do nasledujúcich typov:

všetky tvrdenia sú pravdivé;

nie všetky tvrdenia sú pravdivé;

problémy o pravdovravných a klamároch.

Riešenie každého typu problémov je vhodné nacvičovať postupne, krok za krokom.

6. Uvažujme o základných metódach riešenia problémov a aplikácii niektorých metód na konkrétne problémy.

Spôsob uvažovania

V metóde uvažovania pri riešení pomáhajú: diagramy, nákresy, krátke poznámky, schopnosť selektovať informácie, schopnosť používať enumeračné pravidlo.

Príklad.

Lena, Olya, Tanya sa zúčastnili pretekov na 100 m Lena bežala o 2 sekundy skôr ako Olya, Olya bežala o 1 sekundu neskôr ako Tanya. Kto pribehol skôr: Tanya alebo Lena a o koľko sekúnd?

Riešenie.

Urobme si diagram:

Lena ___________

Olya ___________ __ __

Tanya ___________ __

Odpoveď. Lena prišla skôr na 1.

Spôsob opisu predmetov a ich foriem

Na základe popisu si viete predstaviť predmet, miesto alebo udalosť, ktorú ste nikdy nevideli. Na základe znakov (znakov) zločinca je vyhotovený jeho údajný portrét – identikit.

Na základe znakov (príznakov) ochorenia lekár stanoví diagnózu, t.j. rozpozná ochorenie.

Riešenie mnohých hádaniek, šarád a lúštenie krížoviek je založené na rozpoznaní objektu podľa popisu.

Metóda vyhľadávania súvisiacich problémov

Ak je problém ťažký, musíte sa pokúsiť nájsť a vyriešiť jednoduchší „súvisiaci“ problém. To poskytuje kľúč k riešeniu pôvodného problému.

Metóda „prečesania úloh“ (alebo „môžeme predpokladať, že ...“)

Problém môžete vyriešiť podľa potreby alebo ho môžete najskôr pretransformovať do formy vhodnej na riešenie: preformulujte podmienku vo vhodnejšom jazyku (napríklad v jazyku kresby), zahoďte jednoduché prípady, zredukujte všeobecný prípad na konkrétneho.

Metóda párne-nepárne

Mnoho problémov sa dá ľahko vyriešiť, ak si všimnete, že určité množstvo má určitú paritu. Z toho vyplýva, že situácie, v ktorých má daná veličina inú paritu, sú nemožné. Niekedy je potrebné túto veličinu „zostrojiť“, napríklad na zohľadnenie parity súčtu alebo súčinu alebo na rozdelenie predmetov do dvojíc. Všimnite si striedanie stavov, maľovajte objekty v dvoch farbách atď.

Príklady.

Kobylka skočila po priamke a vrátila sa do východiskového bodu (dĺžka skoku 1 m). Dokážte, že urobil párny počet skokov.

Riešenie. Pretože kobylka sa vrátila na miesto štartu. Počet skokov doprava sa rovná počtu skokov doľava, takže celkový počet skokov je párny.

Obrátená metóda

Ak je v probléme špecifikovaná určitá operácia a je reverzibilná, potom môžete urobiť „spätný“ presun od konečného výsledku k pôvodným údajom. (Napríklad potrebujete z izby vyniesť skriňu. Vojde sa cez dvere? Vojde, pretože bola prinesená cez dvere). Analýza od konca sa používa na nájdenie výherných a prehratých situácií.

Tabuľková metóda

Táto metóda spočíva v zostavení tabuľky a zapísaní údajov do nej podľa podmienok problému.

Grafová metóda

Slovo „graf“ sa objavilo v matematickej literatúre pomerne nedávno. Pojem graf sa používa nielen v matematike, ale aj v technike a dokonca aj v každodennom živote pod rôznymi názvami - diagram, diagram.

Grafy sú užitočné najmä pri riešení logických úloh. Tým, že „grafy“ prezentujú skúmané objekty vo vizuálnej forme, pomáhajú „grafy“ uchovať si v pamäti mnohé fakty obsiahnuté v probléme a nadviazať medzi nimi spojenia.

počítať je ľubovoľná množina bodov, z ktorých niektoré sú spojené čiarami alebo šípkami. Body reprezentujúce prvky množiny sa nazývajú vrcholov graf spájajúci ich segmenty - rebrá graf. Priesečníky hrán grafu nie sú jeho vrcholmi. Aby nedošlo k zámene, vrcholy grafu nie sú často zobrazené ako bodky, ale ako malé krúžky. Niekedy je vhodnejšie zobraziť hrany nie ako rovné segmenty, ale ako oblúky.

Metóda Eulerovho kruhu

Táto metóda poskytuje ešte vizuálnejšiu predstavu o možnom spôsobe zobrazenia podmienok, závislostí a vzťahov v logických problémoch.

Jeden z najväčších matematikov, petrohradský akademik Leonard Euler napísal počas svojho dlhého života viac ako 850 vedeckých prác. Tieto kruhy sa objavili v jednom z nich. Euler vtedy napísal, že „sú veľmi vhodné na uľahčenie našich úvah“. Spolu s kruhmi sa v takýchto problémoch používajú obdĺžniky a iné tvary.

Príklad.

1. Niektorí obyvatelia mesta hovoria iba po rusky, niektorí iba uzbecky a niektorí oboma jazykmi. 85 % hovorí uzbecky, 75 % hovorí po rusky. Koľko percent obyvateľov hovorí oboma jazykmi?

Riešenie. Urobme diagram -

V kruhu pod písmenom „U“ označujeme obyvateľov, ktorí hovoria uzbecky, pod písmenom „R“ - v ruštine. Vo všeobecnej časti kruhov označujeme obyvateľov, ktorí hovoria oboma jazykmi. Teraz od všetkých obyvateľov (100 %) odpočítame kruh „U“ (85 %) a získame obyvateľov, ktorí hovoria iba po rusky (15 %). A teraz odpočítajme týchto 15 % od každého, kto hovorí po rusky (75 %). Získali sme hovorcov oboch jazykov (60%).

Kombinovaná metóda

Metóda, pri ktorej je možné problém vyriešiť niekoľkými spôsobmi.

Navrhovaný materiál „Metódy na riešenie logických úloh“ je možné použiť na hodinách matematiky aj v mimoškolských aktivitách pre žiakov 5. – 9. ročníka, učiteľov s cieľom pripraviť žiakov na riešenie úloh olympiády, intelektuálne súťaže „Maratón vedomostí“, regionálnu súťaž "Klokan" .

Po oboznámení sa s rôznymi typmi logických problémov a metódami ich riešenia verím, že získané poznatky dokážem uplatniť vo svojej edukačnej činnosti, samostatne si zvoliť jednu alebo druhú metódu riešenia konkrétneho problému a naučené metódy aplikovať pri riešení problému. v reálnej situácii.

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Multidisciplinárne lýceum" mestskej osady "Robotnícka dedina Chegdomyn" Verkhnebureinsky Municipal

oblasť Chabarovského územia.

Abstraktné výskumné práce v matematike:

Téma: "Metóda matematickej indukcie"

Doplnila: Svetlana Antonova

žiak 11 "B" triedy

Vedúci: Terentyeva O.A.

učiteľ matematiky

obec Chegdomyn

1.Úvod 3

2.História výskytu

metóda matematickej indukcie 4-5

3. Hlavné výsledky štúdie 6-14

4. Predpokladané úlohy na Jednotnú štátnu skúšku 15.-18

5.Záver 19 6.Odkazy 20

Úvod:

Začiatkom 10. ročníka sme začali študovať metódu matematickej indukcie, už vtedy ma táto téma veľmi zaujala, ale len na štúdium. Keď sme začali s intenzívnou prípravou na zloženie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky, úlohy na túto tému boli pre mňa veľmi jednoduché a začal som sa zaujímať o možnosti tejto metódy pri riešení zložitejších úloh. Túto metódu a jej možnosti sme sa spolu s učiteľom rozhodli podrobnejšie a dôkladnejšie preštudovať pri práci na projekte na túto tému.

Cieľ mojej práce:

Oboznámiť sa s metódou matematickej indukcie, systematizovať poznatky na túto tému a aplikovať túto metódu pri riešení matematických úloh a dokazovaní viet.

Ciele práce:

1. Aktualizácia praktického významu matematických poznatkov.

2.Vývoj morálnych predstáv o podstate matematiky, podstate a pôvode matematickej abstrakcie.

3. Zvládnutie rôznych metód a techník práce.

4. Zovšeobecnenie a systematizácia poznatkov na túto tému.

5. Aplikácia získaných vedomostí pri riešení úloh jednotnej štátnej skúšky.

problém:

Ukážte praktický význam metódy matematickej indukcie.

Z histórie vzniku metódy matematickej indukcie:

Mimoriadny rozmach predmetu matematika v 19. storočí pritiahol zvýšenú pozornosť k otázkam jej „opodstatnenosti“, t. kritická revízia jeho pôvodných ustanovení (axióm), vybudovanie prísneho systému definícií a dôkazov, ako aj kritické preskúmanie logických príkladov použitých v týchto dôkazoch.

Až koncom 19. storočia vznikol štandard požiadaviek na logickú prísnosť, ktorý dodnes zostáva dominantný v praktickej práci matematikov na rozvoji jednotlivých matematických teórií.

Moderná matematická logika dala jednoznačnú odpoveď na túto otázku: žiadna deduktívna teória nemôže vyčerpať množstvo problémov v teórii čísel.

Slovo indukcia v ruštine znamená vedenie a induktívne sú závery urobené na základe pozorovaní, experimentov, t.j. získané odvodením od konkrétneho k všeobecnému.

Základom každého matematického výskumu sú deduktívne a induktívne metódy. Deduktívnou metódou uvažovania je uvažovanie od všeobecného ku konkrétnemu, t.j. uvažovanie, ktorého východiskom je všeobecný výsledok a konečným bodom je konkrétny výsledok. Indukcia sa používa pri prechode od konkrétnych výsledkov k všeobecným, t.j. je opakom deduktívnej metódy.

Metódu matematickej indukcie možno prirovnať k pokroku. Začíname od najnižšieho a výsledkom logického myslenia sa dostávame k najvyššiemu. Človek sa vždy snažil o pokrok, o schopnosť logicky rozvíjať svoje myšlienky, čo znamená, že samotná príroda ho predurčila na indukčné myslenie.

Úloha induktívnych záverov v experimentálnych vedách je veľmi veľká. Uvádzajú tie ustanovenia, z ktorých sa potom odvodzujú ďalšie závery. A hoci teoretická mechanika vychádza z troch Newtonových pohybových zákonov, tieto zákony samotné boli výsledkom hlbokého premýšľania prostredníctvom experimentálnych údajov, najmä Keplerovych zákonov pohybu planét, ktoré odvodil zo spracovania dlhoročných pozorovaní dánskeho astronóma Tycha. Brahe. Pozorovanie a indukcia sa v budúcnosti ukážu ako užitočné na objasnenie prijatých predpokladov. Po Michelsonových pokusoch o meraní rýchlosti svetla v pohybujúcom sa médiu sa ukázalo ako nevyhnutné objasniť fyzikálne zákony a vytvoriť teóriu relativity.

V matematike je úlohou indukcie do značnej miery to, že je základom zvolenej axiomatiky. Potom, čo dlhoročná prax ukázala, že priama cesta je vždy kratšia ako zakrivená alebo prerušovaná, bolo prirodzené sformulovať axiómu: pre ľubovoľné tri body A, B a C je nerovnosť

Koncept „nasledovania ...“, ktorý je základom aritmetiky, sa objavil aj z pozorovaní formovania vojakov, lodí a iných objednaných súprav.

Nemali by sme si však myslieť, že to vyčerpáva úlohu indukcie v matematike. Samozrejme, nemali by sme experimentálne testovať vety logicky odvodené z axióm: ak sa pri odvodzovaní neurobili žiadne logické chyby, potom sú pravdivé, pokiaľ sú pravdivé axiómy, ktoré sme prijali. Ale z tohto systému axióm sa dá odvodiť veľa tvrdení. A výber tých tvrdení, ktoré je potrebné dokázať, opäť navrhuje indukcia. Práve to vám umožňuje oddeliť užitočné vety od zbytočných, naznačuje, ktoré vety sa môžu ukázať ako pravdivé, a dokonca pomáha načrtnúť cestu dôkazu.

V matematike sa už dlho používa induktívna metóda založená na skutočnosti, že jedno alebo druhé všeobecné tvrdenie je založené na zohľadnení iba niekoľkých špeciálnych prípadov. V histórii sa napríklad zachovalo toto Eulerovo tvrdenie: „Nemám na dôkaz žiadne iné argumenty, okrem dlhého uvádzania, ktoré som dotiahol tak ďaleko, že v žiadnom prípade nemôžem pochybovať o zákone upravujúcom vznik týchto členov. A zdá sa nemožné, že zákon, o ktorom sa zistilo, že platí napríklad pre 20 členov, nemohol byť dodržaný v nasledujúcich prípadoch.“

Vedci, ktorí verili v neomylnosť indukcie, robili niekedy vážne chyby.

Do polovice sedemnásteho storočia sa v matematike nahromadilo veľa chybných záverov. Začala byť silná potreba vedecky podloženej metódy, ktorá by umožnila vyvodiť všeobecné závery na základe zváženia niekoľkých konkrétnych prípadov. A takáto metóda bola vyvinutá. Hlavnú zásluhu na tom majú francúzski matematici Pascal (1623 - 1662) a Descartes, ako aj švajčiarsky matematik Jacob Bernoulli (1654 - 1705).

Hlavné výsledky etapy výskumu.

V procese práce som zistil, že všetky tvrdenia možno rozdeliť na všeobecné a konkrétne. Príkladom všeobecného výroku je napríklad výrok: „V každom trojuholníku je súčet dvoch strán väčší ako tretia strana.“ Osobitný je napríklad výrok: „Číslo 136 je deliteľné 2“.

Prechod od všeobecných tvrdení ku konkrétnym je tzv starý otec cie. V matematike používame deduktívnu metódu napríklad pri uvažovaní tohto typu: tento obrazec je obdĺžnik; Každý obdĺžnik má rovnaké uhlopriečky, preto má tento obdĺžnik rovnaké uhlopriečky.

Ale spolu s tým je v matematike často potrebné prejsť od konkrétnych tvrdení k všeobecným, t.j. použiť metódu opačnú k deduktívnej, ktorá je tzv indukciou .

Indukčné prístup zvyčajne začína analýzou a porovnávaním, pozorovaním alebo experimentálnymi údajmi. Opakované opakovanie faktu vedie k induktívnemu zovšeobecňovaniu. Výsledok získaný indukciou vo všeobecnosti nie je logicky opodstatnený ani dokázaný. Existuje veľa prípadov, keď tvrdenia získané indukciou boli nesprávne. To znamená, že indukcia môže viesť k správnym aj nesprávnym záverom.

Uvažujme príklad. Dosadzovanie do kvadratického trinomu P(x) = x 2 + x+ 41 namiesto X prirodzené čísla 1,2,3,4,5, nájdeme: P(l)= 43; P(2) = 47; P(3) = 53; P(4) = 61; P(5)= 71. Všetky hodnoty tejto trojčlenky sú prvočísla. Namiesto toho nahrádzanie Xčísla 0, -1, -2, -3, -4, dostaneme: P(0)=41; P(-1)=41; P(-2)=43; P(-3)=47; Р(-4) = 53. Hodnoty tejto trojčlenky pre zadané hodnoty premennej X sú tiež prvočísla. Vzniká hypotézaže hodnota trojčlenky P(x) je prvočíslo pre akúkoľvek celočíselnú hodnotu X. Ale vyjadrené hypotéza je nesprávna, keďže napr. P(41)= 41 2 +41+41=41∙43.

Keďže pri tejto metóde sa záver vyvodzuje po analýze niekoľkých príkladov, ktoré nepokrývajú všetky možné prípady, nazýva sa táto metóda neúplná alebo nedokonalá indukcia.

Metóda neúplnej indukcie, ako vidíme, nevedie k úplne spoľahlivým záverom, ale je užitočná v tom, že nám umožňuje formulovať hypotézu, čo potom možno dokázať presným matematickým uvažovaním alebo vyvrátiť. Inými slovami, neúplná indukcia v matematike sa nepovažuje za legitímnu metódu rigorózneho dôkazu, ale je mocnýheuristická metóda objavovania nových právd.

Ak sa záver vyvodí na základe analýzy všetkých prípadov, potom sa táto metóda uvažovania nazýva úplná indukcia.

Tu príklad podobná úvaha. Nech je potrebné stanoviť, že každé párne prirodzené číslo P do 10 P Zoberme si teda všetky takéto čísla a napíšme zodpovedajúce rozšírenia: 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7 . Týchto šesť rovníc ukazuje, že každé z čísel, ktoré nás zaujíma, je skutočne reprezentované ako súčet dvoch jednoduchých členov.

Nech je niektoré tvrdenie pravdivé v niekoľkých špeciálnych prípadoch. Zváženie všetkých ostatných prípadov je buď úplne nemožné, alebo si vyžaduje veľké množstvo výpočtov. Ako viete, či je toto tvrdenie vôbec pravdivé? Túto otázku možno niekedy vyriešiť aplikáciou špeciálnej metódy uvažovania tzv matematická metóda indukcia .Na základe tohto metóda lži princíp matematická indukcia .

Ak je predpoklad v závislosti od prirodzeného číslan, pravdaPren=1 a z toho, že platí pren= k(Kdek- akékoľvek prírodnéčíslo), z toho vyplýva, že platí pre ďalšie číslon= k+1, potom je predpoklad pravdivý pre všetkyprirodzené číslon.

Metóda matematickej indukcie je efektívna metóda dokazovania hypotéz (tvrdení), založená na využití princípu matematickej indukcie, preto vedie len k správnym záverom.

Použitie metódy matematickej indukcie Nie všetky problémy sa dajú vyriešiť ale iba úlohy, parametrizované nejaká premenná. Táto premenná sa nazýva indukčná premenná.

Metóda matematickej indukcie sa najčastejšie používa v aritmetike, algebre a teórii čísel.

Príklad 1. Nájdite sumu Sn =

Najprv nájdime súčty jedného, ​​dvoch a troch členov. Máme:

S 1 = ; S 2 = ; S 3 = .

V každom z týchto prípadov sa získa zlomok, ktorého čitateľ obsahuje počet členov a menovateľ obsahuje číslo, ktoré je o jeden väčší ako počet členov. To vám umožní vyjadriť sa hypotéza ( predpoklad), že pre akékoľvek prirodzené P Sp =.

Na overenie tejto hypotézy použijeme metódu matematickej indukcie.

1) Kedy P = 1 hypotéza je správna, keďže S 1 = .

2) Predpokladajme, že hypotéza platí pre P= k, tj

S k = .

Dokážme, že potom musí byť hypotéza pravdivá aj pre P = k+ 1, tj

S k +1 = .

naozaj, S k +1 = S k

S k +1 =

Teda na základe predpokladu, že hypotéza S P =

pravda kedy n = k, dokázali sme, že to platí aj vtedy P = k + 1.

Preto vzorec S P = pravda pre všetky prírodné P.

Príklad 2 Dokážte to pre akékoľvek prirodzené číslo P a akékoľvek reálne číslo a -1 vzniká nerovnosť tzv Bernoulliho nerovnosť (pomenovaný podľa švajčiarskeho matematika Jacoba Bernoulliho zo 17. storočia) : (1+ a) P ≥ 1 + ap.

1) Ak n=1, potom je zrejmé, že nerovnosť je pravdivá: (1+a) 1 ≥ 1+a.

2) Predpokladajme, že nerovnosť platí pre n= k: (1+ a) k ≥ 1 + ak.

Vynásobte obe strany poslednej nerovnosti kladným číslom 1+ a, ako výsledok dostaneme (1+ a) k +1 ≥ 1+ ak+ a+ a 2 k.

Odstránením posledného člena na pravej strane nerovnosti znížime pravú stranu tejto nerovnosti, a preto (1+ a) k +1 ≥ a(k+1).

Získaný výsledok ukazuje, že nerovnosť platí aj pre n= k+1.

Obe časti dôkazu boli vykonané metódou matematickej indukcie, a preto nerovnosť platí pre akékoľvek prirodzené číslo P.

Všimnite si, že celé riešenie bolo rozdelené na štyri etapy:

1.základ(ukazujeme, že tvrdenie, ktoré sa dokazuje, je pravdivé pre niektoré najjednoduchšie špeciálne prípady ( P = 1);

2.predpoklad(predpokladáme, že tvrdenie bolo preukázané po prvé Komu prípady; 3 .krok(za tohto predpokladu dokazujeme tvrdenie pre prípad P = Komu + 1 ); 4.výstup (at výrok platí pre všetky prípady, teda pre všetky P) .

Druhá verzia metódy matematickej indukcie.

Niektoré tvrdenia nie sú pravdivé pre všetky prirodzené P, ale len pre prirodzenú P, počnúc od určitého čísla R. Takéto tvrdenia možno niekedy dokázať metódou trochu odlišnou od tej, ktorá je opísaná vyššie, ale je jej dosť podobná. Pozostáva z nasledovného.

Toto tvrdenie platí pre všetky prírodné hodnotyp ≥ p, ak: 1) je pravda, kedy P=p (a nie pri P= 1, ako je uvedené vyššie);

2) od platnosti tohto vyhlásenia kedy P= k, kde k ≥ р (a nie k ≥ 1, ako je uvedené vyššie), z toho vyplýva, že platí aj vtedy, keď P= k + 1.

Príklad 1. Dokážte, že rovnosť platí pre všetkých

Súčin na ľavej strane rovnosti označme , t.j.

to musíme dokázať.

Pre n=1 vzorec nie je správny (1- 1) = 1 (nesprávny).

1) Skontrolujeme, či tento vzorec platí pre n = 2. , - pravda.

2) Nech platí vzorec pre n = k, t.j.

3) Dokážme, že táto identita platí aj pre n = k + 1, t.j.

Podľa princípu matematickej indukcie platí rovnosť pre akékoľvek prirodzené číslo.

Príklad 2 Dokážte, že 22n + 1 pre ľubovoľné prirodzené číslo n3.

1) Pre n = 3 platí nerovnosť. 223 + 1.

2) Predpokladajme, že 22k + 1 (k3).

3) Dokážme, že 2 2(k + 1) + 1.

V skutočnosti 2 = 222(2k + 1) =(2k + 3)(2k - 1) 2k + 3, pretože 2k – 10 pre akúkoľvek prirodzenú hodnotu k. Preto 22n + 1 pre všetky n3.

Poznámka k metóde matematickej indukcie.

Dôkaz matematickou indukciou pozostáva z dvoch fáz.

lthetapa. Kontrola, či je tvrdenie pravdivé n = 1 (alebo na n =R, ak hovoríme o metóde opísanej vyššie).

2. poschodie Predpokladáme, že výrok je pravdivý kedy n =k, a na základe toho dokážeme, že platí aj kedy P = k+1.

Každá z týchto fáz je dôležitá svojím vlastným spôsobom, berúc do úvahy príklad P(x) = x 2 + x+41, sme presvedčení, že tvrdenie môže byť pravdivé v mnohých špeciálnych prípadoch, ale neplatí všeobecne. Tento príklad nás o tom presviedča aký dôležitý je 2. stupeň dôkazu metódou matematickej indukcie. Ak ho vynecháte, môžete dospieť k nesprávnemu záveru.

Netreba si však myslieť, že 1. stupeň je menej dôležitý ako 2. stupeň. Teraz uvediem príklad, ktorý ukazuje, k akému absurdnému záveru môžete dospieť, ak vynecháte 1. fázu dôkazu.

"Veta a." Pre ľubovoľné prirodzené číslo n 2p +1 dokonca.

DôkazjedolexistujúO. Nech je táto veta pravdivá n =k, to je číslo 2 k + 1 dokonca. Dokážme, že potom číslo 2(k+1)+ 1 tiež dokonca.

naozaj, 2(k+1)+1 = (2 k+1 )+2.

Podľa predpokladu číslo 2 k +1 je párne, a teda aj jeho súčet s párnym číslom 2 je párny. Veta je „dokázaná“.

Ak by sme nezabudli skontrolovať, či je naša „veta“ pravdivá, kedy n = 1, k takémuto „výsledku“ by sme nedospeli.

Príklady aplikácie metódy matematickej indukcie pri dokazovaní nerovností.

Príklad 1 Dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené číslo n1

.

Ľavú stranu nerovnosti označme .

Preto pre n=2 platí nerovnosť.

Nechať pre niektoré k. Dokážme to vtedy a . Máme , .

Porovnávame a máme , t.j. .

Pre akékoľvek kladné celé číslo k je pravá strana poslednej rovnosti kladná. Preto . Ale to tiež znamená.

Príklad 2 Nájdite chybu v zdôvodnení.

Vyhlásenie. Pre každé prirodzené číslo n platí nerovnosť.

Dôkaz.

Nech platí nerovnosť pre n=k, kde k je nejaké prirodzené číslo, t.j.

Dokážme, že potom nerovnosť platí aj pre n=k+1, t.j.

V skutočnosti nie menej ako 2 pre akékoľvek prirodzené k. Pridajme na ľavú stranu nerovnosti (1) a na pravú stranu 2. Získame spravodlivú nerovnosť , alebo . Výrok bol dokázaný.

Príklad 4:

Dokážte nerovnosť

Kde x 1, x 2,…., x 3 sú ľubovoľné kladné čísla.

Táto dôležitá nerovnosť medzi aritmetickým priemerom a geometrickým priemerom n čísel je jednoduchým dôsledkom vzťahu preukázaného v predchádzajúcom príklade. V skutočnosti nech x 1, x 2, ..., x n sú ľubovoľné kladné čísla. Zvážte n čísel

Je zrejmé, že všetky tieto čísla sú kladné a ich súčin je rovný jednej. Preto podľa toho, čo bolo dokázané v predchádzajúcom príklade, ich súčet je väčší alebo rovný n, t.j.

≥n

a znak rovnosti platí práve vtedy, ak x 1 = x 2 = ... = x n.

Nerovnosť medzi aritmetickým priemerom a geometrickým priemerom n čísel sa často ukazuje ako užitočná pri dokazovaní iných nerovností a pri hľadaní najmenších a najväčších hodnôt funkcií.

Aplikácia metódy matematickej indukcie na sčítanie radov.

Príklad 5. Dokážte vzorec

, n – prirodzené číslo.

Keď n=1, obe strany rovnosti sa obrátia na jednu, a preto je splnená prvá podmienka princípu matematickej indukcie.

Predpokladajme, že vzorec je správny pre n=k, t.j.

.

Pridajme na obe strany tejto rovnosti a pretvorme pravú stranu. Potom dostaneme

Z toho, že vzorec platí pre n=k, teda vyplýva, že platí aj pre n=k+1. Toto tvrdenie platí pre akúkoľvek prirodzenú hodnotu k. Takže je splnená aj druhá podmienka princípu matematickej indukcie. Vzorec je osvedčený.

Príklad 6. Dokáž to.

Metóda matematickej indukcie pri riešení úloh deliteľnosti.

Pomocou metódy matematickej indukcie môžete dokázať rôzne tvrdenia týkajúce sa deliteľnosti prirodzených čísel.

Nasledujúce tvrdenie sa dá pomerne jednoducho dokázať. Ukážme si, ako sa získava pomocou metódy matematickej indukcie.

Príklad 7. Aknje prirodzené číslo, potom je číslo párne.

Keď n=1 platí naše tvrdenie: - párne číslo. Predpokladajme, že ide o párne číslo. Keďže , 2k je párne číslo, potom je párne. Parita je teda dokázaná pre n = 1, parita je odvodená z parity, čo znamená, že je rovnaká pre všetky prirodzené hodnoty n.

Príklad 8. Dokážte pravdivosť vety

A(n)=(číslo 5 je násobkom 19), n je prirodzené číslo.

Výrok A(1)=(číslo deliteľné 19) je pravdivé.

Predpokladajme, že pre nejakú hodnotu n=k

A(k)=(číslo deliteľné 19) je pravdivé. Potom, odkedy

Je zrejmé, že platí aj A(k+1). Prvý člen je skutočne deliteľný 19 kvôli predpokladu, že A(k) je pravdivé; druhý člen je tiež deliteľný 19, pretože obsahuje faktor 19. Obe podmienky princípu matematickej indukcie sú splnené, preto výrok A(n) platí pre všetky hodnoty n.

Dôkaz totožnosti

Príklad 9. Dokážte to pre akékoľvek prírodné n rovnosť je pravda

Q.E.D.

Príklad 10. Dokážte totožnosť

1) Skontrolujte, či táto identita platí pre n = 1.

2) Nech je identita pravdivá pre n = k, t.j.

3) Dokážme, že táto identita platí aj pre n = k + 1, t.j.

M – súčet 2) a 3).

Metóda matematickej indukcie pri riešení úloh geometrickej postupnosti

Príklad 11. Dokážme, že všeobecný člen geometrickej postupnosti sa rovná

A P = a 1 ∙ q n-1 , metódou matematickej indukcie.

n=1:

a 1 = a 1 ∙q 0

a 1 = a 1 ∙1

ľavá strana = pravá strana.

n=k:

a k = a 1 ∙q k -1

n =k+1:

a k +1 = a 1 ∙q k

dôkaz:

a k +1 = a k ∙q = a 1 ∙q k -1 ∙ q = a 1 ∙q k ,

Q.E.D.

Obidve podmienky princípu matematickej indukcie sú splnené a teda aj vzorec a n = a 1 ∙ q n -1 platí pre akékoľvek prirodzené číslo P.

Problémy reality

Príklad 12:

Dokážme, že súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka sa rovná π(n-2).

1. Minimálny počet uhlov sú tri. Tak začnime
dôkaz s n = 3. Zistíme, že pre trojuholník
vzorec dáva π (3~2) = π Výrok pre n = 3

fér.

2. Predpokladajme, že vzorec
pravda pre n=k. Dokážme to
platí pre akúkoľvek konvexnú
(na +1) -gon. Poďme si to rozobrať

(k +1) -uholník uhlopriečka

tak, aby sme dostali k-uholník a trojuholník (pozri obrázok).

Keďže vzorec platí pre trojuholník a k-uholník, dostaneme π (k - 2) + π = π (k -1).

To isté dostaneme, ak do pôvodného vzorca dosadíme p = k + 1: π (k +1 - 2) = π (k -1).

Navrhované úlohy pre jednotnú štátnu skúšku.

Príklad 1

Dokážte to pre akékoľvek prirodzené číslo p 9 n+1 - 20:00 – 9 násobok 16.

1) Skontrolujte, či je toto tvrdenie pravdivé n=1:

9 2 - 8 – 9 = 81- 8 – 9 = 64, 64 16.

O n=1 výrok je pravdivý.

2) Predpokladajme, že toto tvrdenie je pravdivé, keď n =k :

(9 k +1 - 8 k - 9) 16.

3) A dokážme, že toto tvrdenie platí pre n =k+1 :

(9 k +2 – 8 (k+1) - 9) 16.

dôkaz:

9 k +2 - 8(k+1) – 9 =9 k +1 ∙ 9 1 - 8 k – 8 – 9 = 9 k + 1 ∙ 9 - 8 k – 17 =

= 9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64 k + 64 = 9(9 k +1 - 8 k - 9) +64(k+1)=

= 9(9 k +1 – 8 k - 9)+ 64(k+1).

Preto: ( 9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64(k-1)) 16.

Obidve podmienky princípu matematickej indukcie sú teda splnené, a teda 9 k +1 - 8p-9 deliteľné 16 pre akékoľvek prírodné P.

Príklad 2

P podmienka je splnená:

1 3 +2 3 +3 3 +… n 3 =.

S n = .

Skontrolujte, či je tento vzorec správny, kedy n=1:

Ľavá strana = 1 3 =1

Pravá strana =

Vzorec je správny kedy n=1.

n= k:

1 3 +2 3 +3 3 +… k 3 =.

S k =.

n=k+1:

1 3 +2 3 +3 3 +…+(k+1) 3 =.

S k +1 = .

dôkaz:

S k +1 = S k +(k+1) 3

Takže tento vzorec je pravdivý v dvoch prípadoch a preukázal sa, že je pravdivý v n= k+1 preto platí pre každé prirodzené číslo P.

Príklad 3

Dokážte to pre akékoľvek prirodzené číslo P podmienka je splnená:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+ p(p+1)(p+2)=.

.

1) Skontrolujte, či je tento vzorec správny n=1:

Ľavá strana = 1∙2∙3=6.

Pravá časť = .

6 = 6; podmienka je pravdivá, keď n=1.

2) Predpokladajme, že tento vzorec je správny pre n= k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+ k(k+1)(k+2)=.

S k =.

3) A dokážme, že tento vzorec je správny pre n= k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

S k +1 =.

dôkaz:

Táto podmienka je teda pravdivá v dvoch prípadoch a preukázalo sa, že platí v n= k+1, preto platí pre každé prirodzené číslo P.

Príklad 4.

Dokážte, že akékoľvek prirodzené P rovnosť je pravda

1) Kedy n=1 dostaneme správnu rovnosť

2) Po vykonaní indukčného predpokladu zvážte súčet na ľavej strane rovnosti s n= k+1;

3) Na dokončenie dôkazu si všimnite, že

Preto je rovnosť spravodlivá.

Príklad 5.

V lietadle držal P priamky, z ktorých žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri neprechádzajú bodom. Určte, na koľko častí tieto čiary rozdeľujú rovinu.

Po nakreslení potrebných výkresov si môžeme zapísať nasledujúcu zhodu medzi číslom P rovné čiary spĺňajúce podmienky úlohy a počet A P časti, na ktoré tieto priamky rozdeľujú rovinu:

Súdiac podľa prvých pojmov, postupnosti A P je taká, že rozdiely A 2 -A 1 , A 3 -A 2 , A 4 -A 3 ,… tvoria aritmetický postup. Ak použijeme už diskutovaný príklad, môžeme o tom predpokladať P priamky, ktoré spĺňajú podmienky úlohy, rozdeľujú rovinu na

časti. Tento vzorec sa dá ľahko skontrolovať pre niekoľko prvých hodnôt P, z toho však samozrejme nevyplýva, že dáva odpoveď na navrhovaný problém. Toto tvrdenie si vyžaduje dodatočný dôkaz pomocou metódy matematickej indukcie.

Keď si oddýchneme od „výberu“, ktorý sme práve vykonali, dokážeme to P priamky (z ktorých žiadne dve nie sú rovnobežné a žiadne tri neprechádzajú tým istým bodom) rozdeľujú rovinu na A P časti kde A P vypočítané podľa vzorca.

Je zrejmé, že kedy n=1 vzorec je správny. Po vykonaní indukčného predpokladu zvážte k+1 priamky, ktoré spĺňajú podmienky problému. Náhodný výber z nich k priamky, môžeme povedať, že rozdeľujú rovinu na

časti. Pridajme to teraz (k+1) - priamka. Keďže nie je rovnobežná so žiadnou z predchádzajúcich línií, bude pretínať všetky k rovno Keďže neprejde žiadnym z priesečníkov predchádzajúcich čiar, prejde pozdĺž k+1 kus, na ktorý už bola rovina rozdelená a každý z týchto kusov bude rozdelený na dve časti, t.j. pribudnú ďalšie k+1 kusov. Teda celkový počet kusov, na ktoré je lietadlo rozdelené k+1 rovno, áno

Tým je dôkaz hotový.

Záver

Indukcia (z lat. inductio - vedenie, motivácia) je teda jednou z foriem inferencie, výskumnej techniky, pomocou ktorej sa zo znalosti jednotlivých faktov dospeje k všeobecným ustanoveniam. Indukcia môže byť úplná alebo neúplná. Metóda neúplnej indukcie spočíva v prechode na univerzálnu formuláciu po overení pravdivosti konkrétnych formulácií pre niektoré, ale nie všetky hodnoty n. Použitím úplnej indukcie sa považujeme za oprávnených vyhlásiť pravdivosť univerzálnej formulácie len vtedy, keď sme presvedčení o jej pravdivosti pre každú jednu hodnotu n. Metóda matematickej indukcie je metóda dôkazu založená na princípe matematickej indukcie. Umožňuje pri hľadaní všeobecného zákona testovať hypotézy, zavrhovať nepravdivé a potvrdzovať pravdivé.

Metóda matematickej indukcie je jedným z teoretických základov riešenia súčtových úloh, dokazovania identít, dokazovania a riešenia nerovníc, riešenia problematiky deliteľnosti, skúmania vlastností číselných radov, riešenia geometrických úloh atď.

Pri oboznámení sa s metódou matematickej indukcie som študoval odbornú literatúru, konzultoval s učiteľom, analyzoval údaje a riešenia problémov, využíval internetové zdroje a robil potrebné výpočty.

Záver:

Počas práce som sa naučil, že na riešenie úloh metódou matematickej indukcie je potrebné poznať a pochopiť základný princíp matematickej indukcie.

Výhodou metódy matematickej indukcie je jej všestrannosť, keďže pomocou tejto metódy je možné vyriešiť veľa problémov. Nevýhodou neúplnej indukcie je, že niekedy vedie k chybným záverom.

Po zovšeobecnení a systematizácii vedomostí o matematickej indukcii som sa presvedčil o potrebe vedomostí na tému „metóda matematickej indukcie“. Tieto poznatky navyše zvyšujú záujem o matematiku ako vedu.

Taktiež som počas práce nadobudol zručnosti pri riešení úloh metódou matematickej indukcie. Verím, že tieto schopnosti mi pomôžu v budúcnosti.

Bibliografia.

1. Bokovnev O. A., Firsov V. V., Shvartburd S. I. Vybrané otázky matematiky. 9. ročníka. Voliteľný kurz - M.: Vzdelávanie, 1979.

2. Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P., Shibasova Z. F. Za stránkami učebnice matematiky. Moskva: Vzdelávanie, 1996.

3. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartburd S. I. Hĺbkové štúdium kurzu algebry a matematickej analýzy: metodologické odporúčania, didaktické materiály.

4.Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsin Yu.P., Shvartburd S.I. M.: Vzdelávanie, 1990.

5. Petrakov I. S. Matematické krúžky v ročníkoch 8.-10.: Kniha. pre učiteľov M.: Prosveshchenie, 1987.

6. Sharygin I. F. Voliteľný kurz z matematiky. Učebnica riešenia úloh pre 10. ročník strednej školy - M.: Prosveshchenie, 1989.

Pozor študenti! Kurz je ukončený samostatne v prísnom súlade so zvolenou témou. Duplicitné témy nie sú povolené! Prosíme vás, aby ste o zvolenej téme informovali učiteľa akýmkoľvek vhodným spôsobom, buď jednotlivo alebo v zozname s uvedením vášho celého mena, čísla skupiny a názvu práce v kurze.

Vzorové témy pre ročníkovú prácu v disciplíne
"Matematická logika"

1. Rezolučná metóda a jej aplikácia vo výrokovej algebre a predikátovej algebre.

2. Axiomatické systémy.

3. Minimálne a najkratšie CNF a DNF.

4. Aplikácia metód matematickej logiky v teórii formálnych jazykov.

5. Formálne gramatiky ako logické kalkuly.

6. Metódy riešenia úloh textovej logiky.

7. Logické programovacie systémy.

8. Logická hra.

9. Nerozhodnuteľnosť logiky prvého poriadku.

10. Neštandardné modely aritmetiky.

11. Metóda diagonalizácie v matematickej logike.

12. Turingove stroje a Churchova téza.

13. Vypočítateľnosť na počítadle a rekurzívne funkcie.

14. Reprezentovateľnosť rekurzívnych funkcií a negatívne výsledky matematickej logiky.

15. Riešiteľnosť aritmetiky sčítania.

16. Logika druhého rádu a definovateľnosť v aritmetike.

17. Metóda ultraproduktov v teórii modelov.

18. Gödelova veta o neúplnosti formálnej aritmetiky.

19. Riešiteľné a nerozhodnuteľné axiomatické teórie.

20. Craigova interpolačná lemma a jej aplikácie.

21. Najjednoduchšie konvertory informácií.

22. Spínacie obvody.

24. Kontaktné štruktúry.

25. Aplikácia booleovských funkcií na reléové kontaktné obvody.

26. Aplikácia booleovských funkcií v teórii rozpoznávania vzorov.

27. Systémy matematickej logiky a umelej inteligencie.

Práca v kurze musí pozostávať z 2 častí: teoretického obsahu témy a súboru úloh k danej téme (najmenej 10) s riešeniami. Je tiež povolené napísať seminárnu prácu výskumného typu, ktorá nahradí druhú časť (riešenie problémov) samostatným vývojom (napríklad pracovným algoritmom, programom, vzorkou atď.) vytvoreným na základe diskutovaného teoretického materiálu. v prvej časti práce.

1) Barwise J. (ed.) Referenčná kniha o matematickej logike. - M.: Nauka, 1982.

2) Bratia programovacích jazykov. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., vypočítateľnosť a logika. - M.: Mir, 1994.

4) Hindikin logika v problémoch. - M., 1972.

5), Paljutinská logika. - M.: Nauka, 1979.

6) Ershovova riešiteľnosť a konštruktívne modely. - M.: Nauka, 1980.

7), Taitslinova teória // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, č. 4, s. 37-108.

8) Igoshin - workshop o matematickej logike. - M.: Vzdelávanie, 1986.

9) Igoshinova logika a teória algoritmov. - Saratov: Vydavateľstvo Sarat. Univerzita, 1991.

10) V Ts., pomocou Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) úvod do metamatematiky. - M., 1957.

12) atematická logika. - M.: Mir, 1973.

13) ogici pri riešení problémov. - M.: Nauka, 1990.

14) Kolmogorovova logika: učebnica pre univerzitnú matematiku. odbornosti /, - M.: Vydavateľstvo URSS, 2004. - 238 s.

15) príbeh s uzlami / Prel. z angličtiny - M., 1973.

16) ogická hra / Trans. z angličtiny - M., 1991.

17), Maksimov o teórii množín, matematickej logike a teórii algoritmov. - 4. vyd. - M., 2001.

18), logika Sukačeva. Prednáškový kurz. Praktická kniha úloh a riešenia: Učebnica. 3. vydanie, rev. - St. Petersburg.

19) Vydavateľstvo "Lan", 2008. - 288 s.

20) Lyskova v informatike / , . - M.: Laboratórium základných vedomostí, 2001. - 160 s.

21) Matematická logika / Pod generálnou redakciou a inými - Minsk: Higher School, 1991.

22) úvod do matematickej logiky. - M.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky o matematickej logike. - Minsk, 1973.

24) Nikolskaja s matematickou logikou. - M.: Moskovský psychologický a sociálny inštitút: Flint, 1998. - 128 s.

25) Nikolskaja logika. - M., 1981.

26) Novikov matematická logika. - M.: Nauka, 1973.

27) Rabinova teória. V knihe: Referenčná kniha o matematickej logike, časť 3. Teória rekurzie. - M.: Nauka, 1982. - s. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. a kol. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. a kol. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Matematická logika a automatický dôkaz viet. - M.: Nauka, 1983.

31) úvod do matematickej logiky. - M.: Mir, 1960.

32) Šabuninova logika. Výroková logika a predikátová logika: učebnica /, rep. vyd. ; Čuvašský štát Univerzita pomenovaná po . - Cheboksary: ​​​​Vydavateľstvo Chuvash. Univerzita, 2003. - 56 s.