Sčítanie zlomkov k celým číslam. Odčítanie správneho zlomku od celého čísla. Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov s rôznymi menovateľmi

Čitateľ a to, čím sa delí, je menovateľ.

Ak chcete napísať zlomok, napíšte najskôr jeho čitateľa, potom pod toto číslo nakreslite vodorovnú čiaru a pod čiaru napíšte menovateľa. Vodorovná čiara oddeľujúca čitateľa a menovateľa sa nazýva zlomková čiara. Niekedy sa zobrazuje ako šikmé „/“ alebo „∕“. V tomto prípade sa čitateľ píše naľavo od riadku a menovateľ napravo. Takže napríklad zlomok „dve tretiny“ sa zapíše ako 2/3. Kvôli prehľadnosti sa čitateľ zvyčajne píše v hornej časti riadku a menovateľ v dolnej časti, teda namiesto 2/3, nájdete: ⅔.

Ak chcete vypočítať súčin zlomkov, najprv vynásobte čitateľa jednej zlomky do iného čitateľa. Výsledok zapíšte do čitateľa nového zlomky. Potom vynásobte aj menovateľov. Zadajte konečnú hodnotu v novom zlomky. Napríklad 1/3? 1/5 = 1/15 (1 x 1 = 1; 3 x 5 = 15).

Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, najprv vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého. Urobte to isté s druhým zlomkom (deliteľom). Alebo pred vykonaním všetkých krokov najprv „otočte“ deliteľa, ak je to pre vás pohodlnejšie: menovateľ by mal byť namiesto čitateľa. Potom vynásobte menovateľa dividendy novým menovateľom deliteľa a vynásobte čitateľov. Napríklad 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Zdroje:

Základné úlohy pre zlomky

Zlomkové čísla vám umožňujú vyjadriť v iná forma presná hodnota množstvá. So zlomkami môžete vykonávať rovnaké matematické operácie ako s celými číslami: odčítanie, sčítanie, násobenie a delenie. Aby ste sa naučili, ako sa rozhodnúť zlomky, je potrebné pamätať na niektoré ich vlastnosti. Závisia od typu zlomky, prítomnosť celočíselnej časti, spoločného menovateľa. Niektorí aritmetické operácie po vykonaní vyžadujú zníženie zlomkovej časti výsledku.

Budete potrebovať

- kalkulačka

Poučenie

Pozrite sa pozorne na čísla. Ak sú medzi zlomkami desatinné miesta a nepravidelnosti, niekedy je vhodnejšie najprv vykonať akcie s desatinnými miestami a potom ich previesť do nesprávneho tvaru. Môžete preložiť zlomky v tejto forme na začiatku napíšte hodnotu za desatinnou čiarkou v čitateli a vložte 10 do menovateľa. Ak je to potrebné, zlomok znížte vydelením čísel nad a pod jedným deliteľom. Zlomky, v ktorých vyniká celá časť, vedú k nesprávnemu tvaru vynásobením menovateľom a pridaním čitateľa k výsledku. Táto hodnota sa stane novým čitateľom zlomky. Vytiahnuť celú časť z pôvodne nesprávneho zlomky, vydeľte čitateľa menovateľom. Napíšte celý výsledok z zlomky. A zvyšok delenia sa stáva novým čitateľom, menovateľom zlomky pričom sa nezmení. Pre zlomky s celočíselnou časťou je možné vykonávať akcie samostatne, najprv pre celé číslo a potom pre zlomkové časti. Napríklad možno vypočítať súčet 1 2/3 a 2 ¾:
- Prevod zlomkov do nesprávneho tvaru:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Súčet oddelených celých a zlomkových častí pojmov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Prepíšte ich cez oddeľovač ":" a pokračujte v obvyklom delení.

Ak chcete získať konečný výsledok, znížte výsledný zlomok vydelením čitateľa a menovateľa jedným celým číslom, v tomto prípade najväčším. V tomto prípade musia byť nad a pod čiarou celé čísla.

Poznámka

Nerobte aritmetiku so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Vyberte číslo také, aby keď sa ním vynásobil čitateľ a menovateľ každého zlomku, boli menovatele oboch zlomkov rovnaké.

Užitočné rady

Pri písaní zlomkových čísel sa dividenda píše nad čiarou. Toto množstvo sa označuje ako čitateľ zlomku. Pod čiarou sa píše deliteľ alebo menovateľ zlomku. Napríklad jeden a pol kilogramu ryže vo forme zlomku bude napísané takto: 1 ½ kg ryže. Ak je menovateľ zlomku 10, nazýva sa desatinný zlomok. V tomto prípade sa čitateľ (dividenda) píše napravo od celej časti oddelenej čiarkou: 1,5 kg ryže. Pre pohodlie výpočtov môže byť takýto zlomok vždy napísaný v nesprávnom tvare: 1 2/10 kg zemiakov. Pre zjednodušenie môžete znížiť hodnoty čitateľa a menovateľa tak, že ich vydelíte jedným celým číslom. V tomto príklade je možné delenie číslom 2. Výsledkom je 1 1/5 kg zemiakov. Uistite sa, že čísla, s ktorými budete robiť aritmetiku, sú v rovnakom tvare.

Poznámka! Pred napísaním konečnej odpovede skontrolujte, či môžete znížiť zlomok, ktorý ste dostali.

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi príklady:

Odčítanie správneho zlomku od jednotky.

Ak je potrebné od jednotky odčítať zlomok, ktorý je správny, jednotka sa prevedie do tvaru nesprávneho zlomku, jeho menovateľ sa rovná menovateľovi odčítaného zlomku.

Príklad odčítania správny zlomok z jednotky:

Menovateľ zlomku, ktorý sa má odpočítať = 7 , teda jednotku znázorníme ako nevlastný zlomok 7/7 a odčítame podľa pravidla pre odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Odčítanie správneho zlomku od celého čísla.

Pravidlá pre odčítanie zlomkov - správne z celého čísla (prirodzené číslo):

Dané zlomky, ktoré obsahujú celočíselnú časť, preložíme na nevlastné. Dostávame normálne podmienky (nezáleží na tom, či sú rôznych menovateľov), ktoré posudzujeme podľa vyššie uvedených pravidiel;
Ďalej vypočítame rozdiel zlomkov, ktoré sme dostali. Výsledkom je, že takmer nájdeme odpoveď;
Vykonáme inverznú transformáciu, to znamená, že sa zbavíme nesprávneho zlomku - vyberieme celočíselnú časť v zlomku.

Odčítajme od celého čísla správny zlomok: uvádzame prirodzené číslo ako zmiešané číslo. Tie. vezmeme jednotku v prirodzenom čísle a preložíme ju do tvaru nevlastného zlomku, menovateľ je rovnaký ako menovateľ odčítaného zlomku.

Príklad odčítania zlomkov:

V príklade sme jednotku nahradili nesprávnym zlomkom 7/7 a namiesto 3 sme napísali zmiešané číslo a frakcia sa odobrala z frakčnej časti.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Alebo, inak povedané, odčítanie rôznych zlomkov.

Pravidlo na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Na odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné najskôr tieto zlomky priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi (LCD) a až potom odčítať ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi.

Spoločným menovateľom viacerých zlomkov je LCM (najmenší spoločný násobok) prirodzené čísla, ktoré sú menovateľmi daných zlomkov.

Pozor! Ak v konečný zlomokČitateľ a menovateľ majú spoločné faktory, potom sa zlomok musí znížiť. Nevlastný zlomok je najlepšie reprezentovaný ako zmiešaný zlomok. Ponechanie výsledku odčítania bez zmenšenia zlomku tam, kde je to možné, je nedokončené riešenie príkladu!

Postup pri odčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi.

nájsť LCM pre všetkých menovateľov;
vložte ďalšie multiplikátory pre všetky zlomky;
vynásobte všetky čitateľa dodatočným faktorom;
výsledné produkty zapíšeme do čitateľa, pričom pod všetky zlomky dáme spoločného menovateľa;
odčítajte čitateľov zlomkov, pričom pod rozdiel podpíšte spoločného menovateľa.

Rovnakým spôsobom sa sčítanie a odčítanie zlomkov vykonáva za prítomnosti písmen v čitateli.

Odčítanie zlomkov, príklady:

Odčítanie zmiešaných zlomkov.

o odčítanie zmiešané frakcie(čísla) oddelene sa celočíselná časť odčíta od celočíselnej časti a zlomková časť sa odčíta od zlomkovej časti.

Prvou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.

Ak zlomkové časti rovnaký menovatele a čitateľa zlomkovej časti podbodu (odčítame od neho) ≥ čitateľ zlomkovej časti podbodu (odčítame ho).

Napríklad:

Druhou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.

Keď zlomkové časti rôzne menovateľov. Na začiatok zredukujeme zlomkové časti na spoločného menovateľa a potom odčítame celú časť od celého čísla a zlomok od zlomku.

Napríklad:

Treťou možnosťou je odčítanie zmiešaných zlomkov.

Zlomková časť minuendu je menšia ako zlomková časť subtrahendu.

Príklad:

Pretože zlomkové časti majú rôznych menovateľov, čo znamená, ako pri druhej možnosti, najprv privedieme obyčajné zlomky k spoločnému menovateľovi.

Čitateľ zlomkovej časti minuendu je menší ako čitateľ zlomkovej časti čiastkového bodu.3 < 14. Takže vezmeme jednotku z celočíselnej časti a zredukujeme túto jednotku do tvaru nesprávneho zlomku s rovnakým menovateľom a čitateľom = 18.

Do čitateľa z pravej strany napíšeme súčet čitateľov, potom z pravej strany otvoríme zátvorky v čitateli, čiže všetko vynásobíme a dáme podobné. Zátvorky v menovateli neotvárame. Je zvykom ponechať produkt v menovateľoch. Dostaneme:

Jednou z najvýznamnejších vied, ktorej uplatnenie môžeme vidieť v odboroch ako chémia, fyzika či dokonca biológia, je matematika. Štúdium tejto vedy vám umožňuje rozvíjať niektoré duševné vlastnosti, zlepšiť schopnosť koncentrácie. Jednou z tém, ktoré si v kurze „Matematika“ zaslúžia osobitnú pozornosť, je sčítanie a odčítanie zlomkov. Pre mnohých študentov je štúdium ťažké. Možno náš článok pomôže lepšie pochopiť túto tému.

Ako odčítať zlomky, ktorých menovateľ je rovnaký

Zlomky sú rovnaké čísla, s ktorými môžete vytvoriť rôzne aktivity. Ich rozdiel od celých čísel spočíva v prítomnosti menovateľa. Preto pri vykonávaní akcií so zlomkami musíte študovať niektoré z ich vlastností a pravidiel. Najjednoduchším prípadom je odčítanie bežné zlomky, ktorých menovatelia sú reprezentovaní rovnakým číslom. Nebude ťažké vykonať túto akciu, ak poznáte jednoduché pravidlo:

Na odčítanie druhého od jedného zlomku je potrebné odčítať čitateľa zlomku, ktorý sa má odčítať, od čitateľa redukovaného zlomku. Toto číslo zapíšeme do čitateľa rozdielu a menovateľa necháme rovnaký: k / m - b / m = (k-b) / m.

Príklady odčítania zlomkov, ktorých menovateľ je rovnaký

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od čitateľa redukovaného zlomku "7" odčítajte čitateľa odčítaného zlomku "3", dostaneme "4". Toto číslo zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa dáme rovnaké číslo, aké bolo v menovateli prvého a druhého zlomku – „19“.

Obrázok nižšie ukazuje niekoľko ďalších podobné príklady.

Uvažujme o zložitejšom príklade, kde sa odčítajú zlomky s rovnakými menovateľmi:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Z čitateľa redukovaného zlomku "29" postupným odčítaním čitateľov všetkých nasledujúcich zlomkov - "3", "8", "2", "7". V dôsledku toho dostaneme výsledok „9“, ktorý zapíšeme do čitateľa odpovede a do menovateľa napíšeme číslo, ktoré je v menovateľoch všetkých týchto zlomkov – „47“.

Sčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov sa vykonáva podľa rovnakého princípu.

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať čitateľov. Výsledné číslo je čitateľom súčtu a menovateľ zostáva rovnaký: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pozrime sa, ako to vyzerá na príklade:

1/4 + 2/4 = 3/4.

K čitateľovi prvého členu zlomku - "1" - pridáme čitateľa druhého členu zlomku - "2". Výsledok - "3" - sa zapíše do čitateľa sumy a menovateľ zostane rovnaký, aký bol prítomný v zlomkoch - "4".

Zlomky s rôznymi menovateľmi a ich odčítanie

Už sme zvážili akciu so zlomkami, ktoré majú rovnaký menovateľ. Ako vidíme, vediac jednoduché pravidlá, je celkom jednoduché vyriešiť takéto príklady. Ale čo ak potrebujete vykonať akciu so zlomkami, ktoré majú? rôznych menovateľov? Mnoho stredoškolákov je z takýchto príkladov zmätených. Ale aj tu platí, že ak poznáte princíp riešenia, príklady už pre vás nebudú ťažké. Existuje tu aj pravidlo, bez ktorého je riešenie takýchto zlomkov jednoducho nemožné.

Ak chcete odčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musia byť zredukované na rovnakého najmenšieho menovateľa.

Budeme hovoriť podrobnejšie o tom, ako to urobiť.

Vlastnosť zlomku

Ak chcete znížiť niekoľko zlomkov na rovnakého menovateľa, musíte v riešení použiť hlavnú vlastnosť zlomku: po vydelení alebo vynásobení čitateľa a menovateľa rovnaké číslo získajte zlomok rovný zadanému.

Takže napríklad zlomok 2/3 môže mať menovateľov ako "6", "9", "12" atď., To znamená, že môže vyzerať ako akékoľvek číslo, ktoré je násobkom "3". Po vynásobení čitateľa a menovateľa „2“ dostaneme zlomok 4/6. Po vynásobení čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku „3“ dostaneme 6/9 a ak vykonáme podobnú akciu s číslom „4“, dostaneme 8/12. V jednej rovnici to možno zapísať takto:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Ako priviesť viacero zlomkov k rovnakému menovateľovi

Zvážte, ako zredukovať niekoľko zlomkov na rovnakého menovateľa. Vezmite napríklad zlomky zobrazené na obrázku nižšie. Najprv musíte určiť, ktoré číslo sa môže stať menovateľom pre všetky z nich. Aby sme si to uľahčili, rozložme dostupné menovatele na faktory.

Menovateľ zlomku 1/2 a zlomku 2/3 nemožno rozdeliť. Menovateľ 7/9 má dva faktory 7/9 = 7/(3 x 3), menovateľ zlomku 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musíte určiť, ktoré faktory budú najmenšie pre všetky tieto štyri zlomky. Keďže prvý zlomok má v menovateli číslo „2“, znamená to, že musí byť prítomný vo všetkých menovateľoch, v zlomku 7/9 sú dve trojky, čo znamená, že musia byť prítomné aj v menovateli. Vzhľadom na vyššie uvedené určíme, že menovateľ pozostáva z troch faktorov: 3, 2, 3 a rovná sa 3 x 2 x 3 = 18.

Zvážte prvý zlomok - 1/2. Jeho menovateľ obsahuje "2", ale nie je tam ani jedna "3", ale mali by byť dve. Aby sme to dosiahli, vynásobíme menovateľa dvoma trojitami, ale podľa vlastnosti zlomku musíme vynásobiť čitateľa dvoma trojitami:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Podobne vykonávame akcie so zvyšnými zlomkami.

2/3 - v menovateli chýba jedna trojka a jedna dvojka:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 alebo 7/(3 x 3) - v menovateli chýbajú dva:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 alebo 5/(2 x 3) - v menovateli chýba trojica:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Všetko spolu to vyzerá takto:

Ako odčítať a sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi

Ako bolo uvedené vyššie, na sčítanie alebo odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je potrebné ich zredukovať na rovnakého menovateľa a potom použiť pravidlá na odčítanie zlomkov s rovnakým menovateľom, ktoré už boli opísané.

Zvážte to na príklade: 4/18 – 3/15.

Nájdenie násobkov 18 a 15:

Číslo 18 sa skladá z 3 x 2 x 3.
Číslo 15 sa skladá z 5 x 3.
Spoločný násobok bude pozostávať z nasledujúcich faktorov 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po nájdení menovateľa je potrebné vypočítať faktor, ktorý bude pre každý zlomok iný, teda číslo, ktorým bude potrebné vynásobiť nielen menovateľa, ale aj čitateľa. Aby sme to dosiahli, vydelíme číslo, ktoré sme našli (spoločný násobok) menovateľom zlomku, pre ktorý je potrebné určiť ďalšie faktory.

90 delené 15. Výsledné číslo „6“ bude násobiteľom 3/15.
90 delené 18. Výsledné číslo "5" bude násobiteľom 4/18.

Ďalším krokom v našom riešení je priviesť každý zlomok do menovateľa "90".

Ako sa to robí, sme už diskutovali. Pozrime sa, ako je to napísané na príklade:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ak ide o zlomky s malými číslami, potom môžete určiť spoločného menovateľa, ako v príklade na obrázku nižšie.

Podobne vyrobené a s rôznymi menovateľmi.

Odčítanie a celočíselné časti

Odčítanie zlomkov a ich sčítanie sme už podrobne rozobrali. Ale ako odčítať, ak má zlomok celočíselnú časť? Opäť použijeme niekoľko pravidiel:

Preveďte všetky zlomky, ktoré majú celočíselnú časť, na nesprávne. rozprávanie jednoduchými slovami, odstráňte celú časť. Na tento účel sa počet celočíselnej časti vynásobí menovateľom zlomku a výsledný produkt sa pridá do čitateľa. Číslo, ktoré sa získa po týchto akciách, je čitateľom nesprávneho zlomku. Menovateľ zostáva nezmenený.
Ak majú zlomky rôznych menovateľov, mali by sa zredukovať na rovnaké.
Vykonajte sčítanie alebo odčítanie s rovnakými menovateľmi.
Pri prijímaní nesprávnej frakcie vyberte celú časť.

Existuje ďalší spôsob, ako môžete sčítať a odčítať zlomky s celými časťami. Na tento účel sa akcie vykonávajú oddelene s celými časťami a oddelene so zlomkami a výsledky sa zaznamenávajú spoločne.

Vyššie uvedený príklad pozostáva zo zlomkov, ktoré majú rovnaký menovateľ. V prípade, že sú menovatele odlišné, musia byť zredukované na rovnaké a potom postupujte podľa krokov znázornených v príklade.

Odčítanie zlomkov od celého čísla

Ďalšou z odrôd akcií so zlomkami je prípad, keď sa zlomok musí odpočítať od Na prvý pohľad sa takýto príklad zdá ťažko riešiteľný. Tu je však všetko celkom jednoduché. Na jeho vyriešenie je potrebné previesť celé číslo na zlomok a s takým menovateľom, ktorý je v zlomku na odčítanie. Ďalej vykonáme odčítanie podobné odčítaniu s rovnakými menovateľmi. Vyzerá to napríklad takto:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odčítanie zlomkov uvedené v tomto článku (6. ročník) je základom pre riešenie ďalších ťažké príklady o ktorých sa diskutuje v neskorších hodinách. Znalosť tejto problematiky sa následne využíva pri riešení funkcií, derivácií a pod. Preto je veľmi dôležité pochopiť a pochopiť akcie so zlomkami diskutovanými vyššie.

Táto lekcia bude zahŕňať sčítanie a odčítanie. algebraické zlomky s rôznymi menovateľmi. Už vieme, ako sčítať a odčítať bežné zlomky s rôznymi menovateľmi. Na to je potrebné zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Ukazuje sa, že algebraické zlomky sa riadia rovnakými pravidlami. Zároveň už vieme, ako zredukovať algebraické zlomky na spoločného menovateľa. Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi je jedným z najdôležitejších a ťažké témy v 8. ročníku. Okrem toho sa táto téma nachádza v mnohých témach kurzu algebry, ktoré budete študovať v budúcnosti. V rámci lekcie si preštudujeme pravidlá sčítania a odčítania algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi, ako aj analyzujeme množstvo typických príkladov.

Zvážte najjednoduchší príklad pre bežné zlomky.

Príklad 1 Pridajte zlomky: .

rozhodnutie:

Pamätajte na pravidlo sčítania zlomkov. Na začiatok treba zlomky zredukovať na spoločného menovateľa. Spoločným menovateľom obyčajných zlomkov je najmenší spoločný násobok(LCM) pôvodných menovateľov.

Definícia

Najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslami aj .

Na nájdenie LCM je potrebné rozšíriť menovateľov do hlavné faktory a potom vyberte všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté v expanzii oboch menovateľov.

; . Potom LCM čísel musí obsahovať dve 2 a dve 3: .

Po nájdení spoločného menovateľa je potrebné nájsť ďalší faktor pre každý zo zlomkov (v skutočnosti vydeľte spoločného menovateľa menovateľom príslušného zlomku).

Potom sa každý zlomok vynásobí výsledným dodatočným faktorom. Dostaneme zlomky s rovnakými menovateľmi, ktoré sme sa naučili sčítať a odčítať v predchádzajúcich lekciách.

Dostaneme: .

odpoveď:.

Zvážte teraz sčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv zvážte zlomky, ktorých menovateľmi sú čísla.

Príklad 2 Pridajte zlomky: .

rozhodnutie:

Algoritmus riešenia je úplne podobný predchádzajúcemu príkladu. Je ľahké nájsť spoločného menovateľa pre tieto zlomky: a ďalšie faktory pre každý z nich.

odpoveď:.

Poďme teda formulovať algoritmus na sčítanie a odčítanie algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi:

1. Nájdite najmenšieho spoločného menovateľa zlomkov.

2. Nájdite ďalšie faktory pre každý zo zlomkov (vydelením spoločného menovateľa menovateľom tohto zlomku).

3. Vynásobte čitateľov príslušnými dodatočnými faktormi.

4. Sčítajte alebo odčítajte zlomky pomocou pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.

Uvažujme teraz o príklade so zlomkami, ktorých menovateľ má doslovné výrazy.

Príklad 3 Pridajte zlomky: .

rozhodnutie:

Keďže doslovné výrazy v oboch menovateľoch sú rovnaké, mali by ste pre čísla nájsť spoločného menovateľa. Konečný spoločný menovateľ bude vyzerať takto: . Takže riešenie tento príklad vyzerá ako:.

odpoveď:.

Príklad 4 Odčítajte zlomky: .

rozhodnutie:

Ak nemôžete „podvádzať“ pri výbere spoločného menovateľa (nemôžete ho faktorizovať ani použiť skrátené vzorce na násobenie), potom musíte za spoločného menovateľa brať súčin menovateľov oboch zlomkov.

odpoveď:.

Vo všeobecnosti je pri riešení takýchto príkladov najťažšou úlohou nájsť spoločného menovateľa.

Pozrime sa na zložitejší príklad.

Príklad 5 Zjednodušiť: .

rozhodnutie:

Pri hľadaní spoločného menovateľa sa musíte najskôr pokúsiť rozložiť menovateľov pôvodných zlomkov (pre zjednodušenie spoločného menovateľa).

V tomto konkrétnom prípade:

Potom je ľahké určiť spoločného menovateľa: .

Zisťujeme ďalšie faktory a riešime tento príklad:

odpoveď:.

Teraz opravíme pravidlá sčítania a odčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Príklad 6 Zjednodušiť: .

rozhodnutie:

odpoveď:.

Príklad 7 Zjednodušiť: .

rozhodnutie:

odpoveď:.

Uvažujme teraz o príklade, v ktorom sa nepridávajú dva, ale tri zlomky (napokon, pravidlá sčítania a odčítania pre viac zlomky zostávajú rovnaké).

Príklad 8 Zjednodušiť: .

Zlomky sú obyčajné čísla, možno ich aj sčítať a odčítať. Ale vzhľadom na to, že majú menovateľa, sú tu potrebné zložitejšie pravidlá ako pre celé čísla.

Zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva zlomky s rovnakými menovateľmi. potom:

Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, pridajte ich čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený.

Na odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi je potrebné odpočítať čitateľa druhého od čitateľa prvého zlomku a opäť ponechať menovateľa nezmenený.

V rámci každého výrazu sú menovatele zlomkov rovnaké. Definíciou sčítania a odčítania zlomkov dostaneme:

Ako vidíte, nič zložité: stačí pridať alebo odčítať čitateľa - a je to.

Ale aj v takom jednoduché akcieľuďom sa darí robiť chyby. Najčastejšie zabúdajú, že menovateľ sa nemení. Napríklad pri ich sčítaní sa začnú aj sčítavať, a to je zásadne nesprávne.

Zbaviť sa zlozvyk Pridávanie menovateľov je dosť jednoduché. Pokúste sa urobiť to isté pri odčítaní. V dôsledku toho bude menovateľ nula a zlomok (náhle!) stratí svoj význam.

Preto si pamätajte raz a navždy: pri sčítaní a odčítaní sa menovateľ nemení!

Mnoho ľudí tiež robí chyby pri pridávaní niekoľkých záporných zlomkov. Existuje zmätok so znakmi: kde dať mínus a kde - plus.

Tento problém je tiež veľmi ľahko riešiteľný. Stačí si zapamätať, že mínus pred zlomkom možno vždy preniesť do čitateľa - a naopak. A samozrejme, nezabudnite na dve jednoduché pravidlá:

Plus krát mínus dáva mínus;
Dve negatíva znamenajú pozitívnu odpoveď.

Poďme si to všetko analyzovať na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

V prvom prípade je všetko jednoduché a v druhom pridáme do čitateľov zlomkov mínusy:

Čo ak sú menovatelia iní

Nemôžete priamo pridávať zlomky s rôznymi menovateľmi. Aspoň mne je táto metóda neznáma. Pôvodné zlomky sa však vždy dajú prepísať tak, aby sa menovatelia stali rovnakými.

Existuje mnoho spôsobov, ako previesť zlomky. Tri z nich sú diskutované v lekcii „Privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi“, takže sa nimi tu nebudeme zaoberať. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

V prvom prípade privedieme zlomky na spoločného menovateľa metódou „krížom“. V druhom budeme hľadať LCM. Všimnite si, že 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posledné faktory v týchto rozšíreniach sú rovnaké a prvé faktory sú coprime. Preto LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Čo ak má zlomok celočíselnú časť

Môžem ťa potešiť: rôzni menovatelia zlomkov nie sú najväčšie zlo. Oveľa viac chýb sa vyskytuje, keď je celá časť zvýraznená v zlomkoch.

Samozrejme, pre takéto zlomky existujú vlastné algoritmy sčítania a odčítania, ale sú dosť komplikované a vyžadujú si dlhé štúdium. Lepšie využitie jednoduchý obvod nižšie:

Preveďte všetky zlomky obsahujúce celočíselné časti na nesprávne. Získame normálne členy (aj keď s rôznymi menovateľmi), ktoré sa vypočítajú podľa pravidiel diskutovaných vyššie;
V skutočnosti vypočítajte súčet alebo rozdiel výsledných zlomkov. Výsledkom je, že prakticky nájdeme odpoveď;
Ak je to všetko, čo bolo v úlohe požadované, vykonáme inverznú transformáciu, t.j. zbavíme sa nesprávneho zlomku a zvýrazníme v ňom časť celého čísla.

Pravidlá prechodu na nesprávne zlomky a výber celočíselnej časti sú podrobne popísané v lekcii "Čo je zlomok". Ak si nepamätáte, určite zopakujte. Príklady:

Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:

Všetko je tu jednoduché. Menovatelia vo vnútri každého výrazu sú si rovní, takže zostáva previesť všetky zlomky na nesprávne a počítať. Máme:

Pre zjednodušenie výpočtov som v posledných príkladoch preskočil niektoré zrejmé kroky.

Malá poznámka k posledným dvom príkladom, kde sa odčítavajú zlomky so zvýraznenou celočíselnou časťou. Mínus pred druhým zlomkom znamená, že sa odčíta celý zlomok, nielen jeho časť.

Znova si prečítajte túto vetu, pozrite sa na príklady a zamyslite sa nad tým. Tu robia začiatočníci veľa chýb. Radi dávajú takéto úlohy kontrolná práca. Opakovane sa s nimi stretnete aj v testoch k tejto lekcii, ktoré budú čoskoro zverejnené.

Zhrnutie: Všeobecná schéma výpočtovej techniky

Na záver uvediem všeobecný algoritmus, ktorý vám pomôže nájsť súčet alebo rozdiel dvoch alebo viacerých zlomkov:

Ak je časť celého čísla zvýraznená v jednom alebo viacerých zlomkoch, preveďte tieto zlomky na nesprávne;
Prineste všetky zlomky do spoločného menovateľa akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje (pokiaľ to, samozrejme, neurobili zostavovatelia úloh);
Výsledné čísla sčítajte alebo odčítajte podľa pravidiel na sčítanie a odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi;
Ak je to možné, znížte výsledok. Ak sa zlomok ukázal ako nesprávny, vyberte celú časť.

Pamätajte, že je lepšie zvýrazniť celú časť na samom konci úlohy, tesne pred napísaním odpovede.