155*. AB xətti seqmentinin faktiki ölçüsünü müəyyən edin ümumi mövqe(Şəkil 153, a).

Həll. Bildiyiniz kimi, hər hansı bir müstəvidə düz xətt seqmentinin proyeksiyası bu müstəviyə paralel olarsa, seqmentin özünə bərabərdir (rəsmin miqyası nəzərə alınmaqla).

(Şəkil 153, b). Buradan belə çıxır ki, rəsmi çevirməklə bu seqmentin paralelliyinə nail olmaq lazımdır pl. V və ya pl. H və ya V, H sistemini kvadrata perpendikulyar olan başqa bir müstəvi ilə tamamlayın. V və ya pl. H və eyni zamanda verilmiş seqmentə paralel.

Əncirdə. 153, c kvadrata perpendikulyar olan əlavə S müstəvisinin tətbiqini göstərir. H və verilmiş AB seqmentinə paralel.

a s b s proyeksiyası AB seqmentinin natural qiymətinə bərabərdir.

Əncirdə. 153, d başqa metodu göstərir: AB seqmenti B nöqtəsindən keçən və kvadrata perpendikulyar düz xətt ətrafında fırlanır. H, paralel mövqeyə

kv. V. Bu halda B nöqtəsi yerində qalır və A nöqtəsi yeni A 1 mövqeyini tutur. Üfüq yeni mövqedə. proyeksiya a 1 b || x oxu. a "1 b" proyeksiyası AB seqmentinin natural qiymətinə bərabərdir.

156. SABCD piramidası verilmişdir (şək. 154). Proyeksiya müstəvilərinin dəyişdirilməsi üsulu ilə AS və CS piramida kənarlarının, fırlanma üsulu ilə isə BS və DS kənarlarının təbii ölçüsünü təyin edin və kvadrata perpendikulyar fırlanma oxunu götürün. H.

157*. A nöqtəsindən BC düz xəttinə qədər olan məsafəni təyin edin (şək. 155, a).

Həll. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə bir nöqtədən xəttə çəkilmiş perpendikulyar seqmentlə ölçülür.

Əgər xətt hər hansı müstəviyə perpendikulyardırsa (şək. 155.6), onda nöqtədən xəttə qədər olan məsafə nöqtənin proyeksiyası ilə xəttin bu müstəvidə proyeksiya nöqtəsi arasındakı məsafə ilə ölçülür. V, H sistemində düz xətt ümumi mövqe tutursa, proyeksiya müstəvilərini dəyişdirməklə nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafəni təyin etmək üçün V, H sisteminə daha iki əlavə təyyarə daxil edilməlidir.

Əvvəlcə (şəkil 155, c) meydana daxil oluruq. S, BC seqmentinə paralel (yeni S/H oxu bс proyeksiyasına paraleldir) və b s c s və a s proyeksiyalarını qururuq. Sonra (Şəkil 155, d) başqa bir kvadrat təqdim edirik. T BC xəttinə perpendikulyar (b s c s-ə perpendikulyar yeni T/S oxu). Biz düz xəttin və nöqtənin proyeksiyalarını qururuq - t (b t) və a t ilə. a t və c t (b t) nöqtələri arasındakı məsafə A nöqtəsindən BC xəttinə qədər olan l məsafəsinə bərabərdir.

Əncirdə. 155e, eyni vəzifə paralel hərəkət üsulu adlanan formasında fırlanma üsulu ilə yerinə yetirilir. Birincisi, BC xətti və A nöqtəsi, qarşılıqlı mövqelərini dəyişmədən, kvadrata perpendikulyar olan bəzi (rəsmdə göstərilməyən) xəttin ətrafında döndərirlər. H, belə ki, BC düz xətti kvadrata paralel olsun. V. Bu, kvadrata paralel müstəvilərdə hərəkət edən A, B, C nöqtələrinə bərabərdir. H. Eyni zamanda, üfüq. verilmiş sistemin proyeksiyası (BC + A) nə böyüklükdə, nə də konfiqurasiyada dəyişmir, yalnız onun x oxuna nisbətən mövqeyi dəyişir. Bir üfüq qurun. BC düz xəttinin x oxuna paralel proyeksiyasını (b 1 c 1 mövqeyi) və c 1 1 1 \u003d c-1 və 1 1 1 \u003d a-1 kənara qoyaraq a 1 proyeksiyasını təyin edin. 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. X oxuna paralel b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 düz xətləri çəkərək, onların üzərində ön tərəfi tapırıq. proyeksiyalar b "1, a" 1, c "1. Sonra B 1, C 1 və A 1 nöqtələrini V kvadratına paralel müstəvilərdə (həmçinin onların nisbi mövqeyini dəyişmədən) hərəkət etdiririk ki, B 2 C 2 olsun. ⊥ sahəsi H. Bu halda düz xəttin ön tərəfə proyeksiyası ona perpendikulyar olacaq. oxlar x, b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1 və a" 2 proyeksiyasını qurmaq üçün b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1 götürməlisiniz, 2 "a" 2 ⊥ b " çəkməlisiniz. 2 c" 2 və bir kənara qoyun" 2 2" 2 \u003d a" 1 2" 1. İndi 1-dən 2-yə və 1-ə 2 || sürüşdürməklə x 1, b 2 c 2 və a 2 proyeksiyalarını və A nöqtəsindən BC xəttinə istədiyiniz məsafəni alırıq l. A nöqtəsi ilə müəyyən edilmiş müstəvini və bu müstəvinin üfüqi ətrafında BC düz xəttini T || mövqeyinə çevirməklə A-dan BC-yə qədər olan məsafəni təyin edə bilərsiniz. kv. H (Şəkil 155, e).

A nöqtəsi və BC düz xətti ilə verilən müstəvidə A-1 üfüqi xətti çəkirik (şək. 155, g) və onun ətrafında B nöqtəsini fırladırıq.B nöqtəsi kvadrata doğru hərəkət edir. R (R h-dən sonrakı rəsmdə verilmişdir), A-1-ə perpendikulyar; O nöqtəsində B nöqtəsinin fırlanma mərkəzidir. İndi VO-nun fırlanma radiusunun təbii qiymətini müəyyən edirik, (şək. 155, c). Tələb olunan vəziyyətdə, yəni pl olduqda. A nöqtəsi və BC xətti ilə təyin olunan T || olacaq kv. H, B nöqtəsi O nöqtəsindən Ob 1 məsafədə R h üzərində çıxacaq (eyni yolda R h başqa bir mövqe ola bilər, lakin O-nun digər tərəfində). b 1 nöqtəsi üfüqdür. A nöqtəsi və BC düz xətti ilə müəyyən edilmiş müstəvi T mövqeyini aldıqda B nöqtəsinin kosmosda B 1 mövqeyinə köçürdükdən sonra proyeksiyası.

(Şəkil 155, və) b 1 1 düz xəttini çəkərək üfüqü alırıq. artıq yerləşmiş BC düz xəttinin proyeksiyası || kv. H A ilə eyni müstəvidədir. Bu mövqedə a-dan b 1 1-ə qədər olan məsafə l istədiyiniz məsafəyə bərabərdir. Verilmiş elementlərin yerləşdiyi P müstəvisi kvadratla birləşdirilə bilər. H (şəkil 155, j), kvadratı döndərmək. P onun üfüqündə. iz. Müstəvini A nöqtəsi və BC xətti ilə təyin etməkdən BC və A-1 xətlərinin qoyulmasına keçərək (şək. 155, l) bu xətlərin izlərini tapırıq və onların vasitəsilə P ϑ və P h izlərini çəkirik. Meydanla birləşərək (şəkil 155, m) qururuq. H mövqeyi ön. iz - P ϑ0 .

a nöqtəsi vasitəsilə üfüqü çəkin. frontal proyeksiya; birləşdirilmiş frontal R ϑ0 -a paralel R h izinin 2-ci nöqtəsindən keçir. A nöqtəsi 0 - pl ilə birləşdirilmişdir. H A nöqtəsinin mövqeyidir. Eynilə B nöqtəsini tapırıq 0 . Birbaşa günəş pl ilə birlikdə. H mövqeyi B 0 nöqtəsindən və m nöqtəsindən keçir (düz xəttin üfüqi izi).

A 0 nöqtəsindən B 0 C 0 düz xəttinə qədər olan məsafə l istədiyiniz məsafəyə bərabərdir.

Yalnız bir iz P h tapmaqla göstərilən konstruksiyanı həyata keçirmək mümkündür (şəkil 155, n və o). Bütün tikinti üfüqi ətrafında dönməyə bənzəyir (bax. Şəkil 155, f, c, i): iz P h kvadratın üfüqi xəttlərindən biridir. R.

Bu problemi həll etmək üçün verilmiş bir rəsmin çevrilməsi üsullarından üfüqi və ya frontal ətrafında fırlanma üsulu üstünlük təşkil edir.

158. SABC piramidası verilmişdir (şək. 156). Məsafələri təyin edin:

a) paralel hərəkət üsulu ilə əsasın yuxarı B hissəsindən onun AC tərəfinə;

b) üfüqi ətrafında fırlanma yolu ilə piramidanın yuxarı S hissəsindən əsasın BC və AB tərəflərinə;

c) proyeksiya müstəvilərini dəyişdirərək yuxarı S-dən əsasın AC tərəfinə.

159. Prizma verilmişdir (şək. 157). Məsafələri təyin edin:

a) proyeksiya müstəvilərini dəyişdirərək AD və CF kənarları arasında;

b) ön ətrafında fırlanma ilə BE və CF qabırğaları arasında;

c) AD və BE kənarları arasında paralel hərəkət üsulu ilə.

160. ABCD dördbucaqlısının faktiki ölçüsünü (şək. 158) kvadratla birləşdirərək müəyyən edin. N. Təyyarənin yalnız üfüqi izindən istifadə edin.

161*. Kəsişən AB və CD xətləri arasındakı məsafəni təyin edin (şək. 159, a) və onlara ümumi perpendikulyarın proyeksiyalarını qurun.

Həll. Keçid xətləri arasındakı məsafə hər iki xəttə perpendikulyar olan seqment (MN) ilə ölçülür (şəkil 159, b). Aydındır ki, xətlərdən biri hər hansı bir kvadrata perpendikulyar yerləşdirilirsə. sonra T

hər iki xəttə perpendikulyar olan MN seqmenti kvadrata paralel olacaq. Onun bu müstəvidəki proyeksiyası tələb olunan məsafəni göstərəcək. Proyeksiya düz bucaq meydanda maenad MN n AB. T həm də m t n t ilə a t b t arasında düz bucaq olur, çünki AMN düz bucağının tərəflərindən biri, yəni MN. kvadrata paralel. T.

Əncirdə. 159, c və d, istədiyiniz məsafə l proyeksiya müstəvilərinin dəyişdirilməsi üsulu ilə müəyyən edilir. Əvvəlcə əlavə bir kvadrat təqdim edirik. proyeksiyalar S, kvadrata perpendikulyar. H və CD düz xəttinə paralel (şəkil 159, c). Sonra başqa bir əlavə kvadrat təqdim edirik. T, kvadrata perpendikulyar. S və eyni CD xəttinə perpendikulyar (şəkil 159, d). İndi a t b t proyeksiyasına perpendikulyar c t (d t) nöqtəsindən m t n t çəkməklə ümumi perpendikulyarın proyeksiyasını qura bilərsiniz. m t və n t nöqtələri bu perpendikulyarın AB və CD xətləri ilə kəsişmə nöqtələrinin proyeksiyalarıdır. m t nöqtəsindən (şəkil 159, e) a s b s üzərində m s tapırıq: m s n s proyeksiyası T / S oxuna paralel olmalıdır. Bundan əlavə, m s və n s-dən ab və cd üzərində m və n, onlardan isə bir “b” və c “d” üzərində m “və n” tapırıq.

Əncirdə. 159, bu problemin paralel hərəkətlər üsulu ilə həllini göstərir. Əvvəlcə düz xətt CD-ni kvadrata paralel qoyduq. V: proyeksiya c 1 d 1 || X. Sonra CD və AB xətlərini C 1 D 1 və A 1 B 1 mövqelərindən C 2 B 2 və A 2 B 2 mövqelərinə keçirik ki, C 2 D 2 H-ə perpendikulyar olsun: proyeksiya c "2 d" 2 ⊥ x. İstədiyiniz perpendikulyarın seqmenti || yerləşir kv. H, və deməli, m 2 n 2 AB və CD arasında istənilən məsafəni l ifadə edir. Biz m "2, və n" 2 proyeksiyalarının "2 b" 2 və c "2 d" 2 üzərindəki mövqeyini tapırıq, sonra proyeksiyaları və m 1 və m "1, n 1 və n" 1, nəhayət, m "və n", m və n proyeksiyaları.

162. SABC piramidası verilmişdir (şək. 160). Piramidanın əsasının SB kənarı ilə AC yan tərəfi arasındakı məsafəni təyin edin və proyeksiya müstəvilərinin dəyişdirilməsi metodundan istifadə edərək SB və AC-yə ümumi perpendikulyarın proyeksiyalarını qurun.

163. SABC piramidası verilmişdir (şək. 161). Piramidanın əsasının SH kənarı ilə BC tərəfi arasındakı məsafəni təyin edin və paralel yerdəyişmə üsulu ilə SX və BC-yə ümumi perpendikulyarın proyeksiyalarını qurun.

164*. Müstəvi verildiyi hallarda A nöqtəsindən müstəviyə qədər olan məsafəni təyin edin: a) BCD üçbucağı ilə (şək. 162, a); b) izlər (şək. 162, b).

Həll. Bildiyiniz kimi, bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə nöqtədən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın böyüklüyü ilə ölçülür. Bu məsafə istənilən kvadrata proqnozlaşdırılır. verilmiş müstəvi kvadrata perpendikulyardırsa, həyat ölçülü proyeksiyalar. proyeksiyalar (Şəkil 162, c). Bu vəziyyətə, məsələn, kvadratı dəyişdirməklə, rəsmin çevrilməsi ilə nail olmaq olar. proqnozlar. Meydanı təqdim edək. S (şəkil 16ts, d), kvadrata perpendikulyar. üçbucaq BCD. Bunun üçün meydanda sərf edirik. üçbucağı üfüqi B-1 və proyeksiyaların oxunu S proyeksiyasına perpendikulyar b-1 horizontal yerləşdirin. Nöqtə və müstəvi - a s və c s d s seqmentinin proyeksiyalarını qururuq. a s-dən c s d s-ə qədər olan məsafə nöqtənin müstəviyə olan istənilən məsafəsinə l bərabərdir.

Rioda. 162, d paralel hərəkət üsulu tətbiq edilir. Təyyarənin B-1 horizontalı V müstəvisinə perpendikulyar olana qədər bütün sistemi hərəkət etdiririk: b 1 1 1 proyeksiyası x oxuna perpendikulyar olmalıdır. Bu vəziyyətdə üçbucağın müstəvisi ön proyeksiyalı olacaq və A nöqtəsindən ona qədər olan məsafə l kvadrat olacaq. V təhrif olmadan.

Əncirdə. 162b təyyarə izlərlə verilir. Biz (Şəkil 162, e) əlavə kvadrat təqdim edirik. S, kvadrata perpendikulyar. P: S/H oxu P h-ə perpendikulyardır. Qalanı rəsmdən aydındır. Əncirdə. 162, quyu problemi bir yerdəyişmənin köməyi ilə həll edilir: pl. P P 1 mövqeyinə keçir, yəni ön proyeksiyaya çevrilir. Track. P 1h x oxuna perpendikulyardır. Təyyarənin bu mövqeyində cəbhə qururuq. horizontalın izi n "1, n 1" nöqtəsidir. P 1ϑ izi P 1x və n 1-dən keçəcək. a" 1-dən P 1ϑ-ə qədər olan məsafə l istədiyiniz məsafəyə bərabərdir.

165. SABC piramidası verilmişdir (şək. 160-a bax). Paralel yerdəyişmə üsulundan istifadə edərək A nöqtəsindən piramidanın SBC üzünə qədər olan məsafəni təyin edin.

166. SABC piramidası verilmişdir (şək. 161-ə bax). Paralel yerdəyişmə üsulu ilə piramidanın hündürlüyünü təyin edin.

167*. Bu xətlərdən çəkilmiş paralel müstəvilər arasındakı məsafə kimi kəsişən AB və CD xətləri arasındakı məsafəni (bax. Şəkil 159, a) təyin edin.

Həll. Əncirdə. 163 və P və Q müstəviləri bir-birinə paralel olaraq göstərilmişdir, bunlardan pl. Q AB-yə paralel CD vasitəsilə çəkilir və pl. P - kvadrata paralel AB vasitəsilə. S. Belə müstəvilər arasındakı məsafə AB və CD əyilmə xətləri arasındakı məsafə hesab olunur. Bununla belə, özünüzü yalnız bir təyyarə qurmaqla məhdudlaşdıra bilərsiniz, məsələn Q, AB-yə paralel və sonra ən azı A nöqtəsindən bu təyyarəyə qədər olan məsafəni təyin edə bilərsiniz.

Əncirdə. 163c AB-yə paralel olaraq CD-dən Q müstəvisini göstərir; "e" || ilə aparılan proyeksiyalarda a"b" və se || ab. Kvadrat dəyişdirmə metodundan istifadə. proyeksiyalar (Şəkil 163, c), biz əlavə kvadrat təqdim edirik. S, kvadrata perpendikulyar. V və eyni zamanda

kvadrata perpendikulyar. Q. S / V oxunu çəkmək üçün bu müstəvidə frontal D-1 götürürük. İndi d "1" -ə perpendikulyar S / V çəkirik (şəkil 163, c). PL. Meydanda Q göstərilir. S s d s ilə düz xətt kimi. Qalanı rəsmdən aydındır.

168. SABC piramidası verilmişdir (bax şək. 160). SC və AB kənarları arasındakı məsafəni təyin edin Tətbiq edin: 1) sahənin dəyişdirilməsi üsulu. proyeksiyalar, 2) paralel hərəkət üsulu.

169*. Biri AB və AC düz xətləri ilə, digəri isə DE və DF düz xətləri ilə verilən paralel müstəvilər arasındakı məsafəni təyin edin (şək. 164, a). Təyyarələrin izlərlə verildiyi halda tikintini də yerinə yetirin (şək. 164, b).

Həll. Paralel müstəvilər arasındakı məsafəni (şək. 164, c) bir müstəvinin istənilən nöqtəsindən digər müstəviyə perpendikulyar çəkməklə təyin etmək olar. Əncirdə. 164, g əlavə kvadrat təqdim etdi. S kvadrata perpendikulyar. H və verilmiş hər iki təyyarəyə. S.H oxu üfüqə perpendikulyardır. müstəvilərdən birində çəkilmiş üfüqi xəttin proyeksiyası. Bu müstəvi və nöqtələrin proyeksiyasını başqa bir müstəvidə Sq. 5. d s nöqtəsinin l s a s xəttinə olan məsafəsi paralel müstəvilər arasında istənilən məsafəyə bərabərdir.

Əncirdə. 164, d başqa konstruksiya verilir (paralel hərəkət üsuluna görə). Kəsişən AB və AC xətləri ilə ifadə olunan müstəvi kvadrata perpendikulyar olması üçün. V, üfüq. bu müstəvinin üfüqi proyeksiyasını x oxuna perpendikulyar qoyuruq: 1 1 2 1 ⊥ x. Cəbhə arasındakı məsafə. proyeksiyası d "1 D nöqtəsi və düz xətti a" 1 2 "1 (müstəvinin frontal proyeksiyası) müstəvilər arasında istənilən məsafəyə bərabərdir.

Əncirdə. 164, e əlavə kvadratın tətbiqini göstərir. S, pl.H-ə və verilmiş P və Q müstəvilərinə perpendikulyar (S/H oxu P h və Q h izlərinə perpendikulyardır). R s , və Q s izlərini qururuq . Onların arasındakı məsafə (bax. Şəkil 164, c) P və Q müstəviləri arasında istənilən məsafə l-ə bərabərdir.

Əncirdə. 164, g üfüqdə olduqda P 1 n Q 1, P 1 və Q 1 vəziyyətinə təyyarələrin hərəkətini göstərir. izlər x oxuna perpendikulyar olur. Yeni cəbhə arasındakı məsafə. izləri P 1ϑ və Q 1ϑ tələb olunan məsafə l-ə bərabərdir.

170. ABCDEFGH paralelepipedi verilmişdir (şək. 165). Məsafələri təyin edin: a) paralelepipedin əsasları arasında - l 1; b) ABFE və DCGH üzləri arasında - l 2; c) ADHE və BCGF-l 3 üzləri arasında.

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni təyin etmək tələb olunur. Ümumi plan problem həlli:

- verilmiş nöqtə vasitəsilə verilmiş düz xəttə perpendikulyar müstəvi çəkirik;

- xəttin görüş nöqtəsini tapın

bir təyyarə ilə;

- məsafənin təbii dəyərini təyin edin.

Verilmiş nöqtə vasitəsilə AB xəttinə perpendikulyar müstəvi çəkirik. Təyyarə, proyeksiyaları perpendikulyarlıq alqoritminə (tərs məsələ) uyğun olaraq qurulan kəsişən üfüqi və frontal tərəfindən təyin olunur.

AB xəttinin müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsini tapın. Bu, xəttin müstəvi ilə kəsişməsi ilə bağlı tipik bir problemdir ("Xəttin təyyarə ilə kəsişməsi" bölməsinə baxın).

Müstəvi perpendikulyarlığı

Birində digər müstəviyə perpendikulyar bir xətt varsa, təyyarələr qarşılıqlı perpendikulyardır. Buna görə də, başqa bir müstəviyə perpendikulyar bir müstəvi çəkmək üçün əvvəlcə müstəviyə perpendikulyar çəkmək, sonra isə onun vasitəsilə istədiyiniz müstəvi çəkmək lazımdır. Diaqramda təyyarə biri ABC müstəvisinə perpendikulyar olan iki kəsişən düz xəttlə verilmişdir.

Təyyarələr izlərlə verilirsə, aşağıdakı hallar mümkündür:

- iki perpendikulyar müstəvi proyeksiya edirsə, onda onların kollektiv izləri qarşılıqlı perpendikulyardır;

- proyeksiya müstəvisinin kollektiv izi ümumi vəziyyətdə olan təyyarənin eyniadlı izinə perpendikulyar olarsa, ümumi vəziyyətdə olan müstəvi və proyeksiya müstəvisi perpendikulyardır;

- əgər ümumi vəziyyətdə olan iki təyyarənin izləri kimi perpendikulyardırsa, müstəvilər bir-birinə perpendikulyar deyil.

Proyeksiya müstəvilərinin dəyişdirilməsi üsulu

	proyeksiya müstəvisinin dəyişdirilməsi
təyyarələrin olması gerçəyində yatır
bölmələr başqa mənzillə əvəz olunur
	belə ki	həndəsi
obyekt yeni sistem təyyarələr
proyeksiyaları özəl -tarafından almağa başladı
mövqeyini yenidən sadələşdirməyə imkan verir.
problemin həlli. Məkan miqyasında
ket V təyyarəsinin dəyişdirilməsini göstərir
yeni V 1. O da göstərilir
orijinal müstəvilərdəki A nöqtəsi
proyeksiyalar və yeni proyeksiya müstəvisi
V1. Proyeksiya təyyarələrini əvəz edərkən
sistemin ortoqonallığı qorunub saxlanılır.

Təyyarələri oxlar boyunca fırladaraq, məkan planını planar plana çevirək. Bir müstəvidə birləşdirilmiş üç proyeksiya təyyarəsi alırıq.

Sonra proyeksiya təyyarələrini çıxarırıq və
		proqnozlar
Nöqtənin süjetindən qaydaya əməl olunur: nə vaxt
üçün V-ni V 1 ilə əvəz edin
		frontal
baxımından, yeni oxdan lazımdır
götürülmüş müraciət nöqtəsini kənara qoyun
əvvəlki təyyarələr sistemi
səhmlər. Eynilə, sübut etmək olar
	H-ni H 1 ilə əvəz etmək lazımdır
nöqtənin ordinatını təyin edin.

Proyeksiya təyyarələrinin dəyişdirilməsi metodunun ilk tipik problemi

Proyeksiya müstəvilərinin dəyişdirilməsi metodunun ilk tipik vəzifəsi ümumi vəziyyətdə olan xəttin əvvəlcə səviyyəli xəttə, sonra isə proyeksiya xəttinə çevrilməsidir. Bu məsələ əsas məsələlərdən biridir, çünki o, digər məsələlərin həllində, məsələn, paralel və əyri xətlər arasındakı məsafənin təyinində, dihedral bucağın təyinində və s.

Dəyişikliyi V → V 1 edirik.
ox üfüqi ilə paralel çəkilir
		proqnozlar.
frontal proyeksiya birbaşa, üçün
				təxirə salmaq
nöqtə tətbiqləri. Yeni frontal
düz xəttin proyeksiyası HB düz xəttidir.
Düz xəttin özü cəbhəyə çevrilir.
α ° bucağı müəyyən edilir.

H → H 1 əvəzini edirik. Yeni ox düz xəttin frontal proyeksiyasına perpendikulyar çəkilir. Düz xəttin yeni üfüqi proyeksiyasını qururuq, bunun üçün yeni oxdan əvvəlki proyeksiya müstəviləri sistemindən götürülmüş düz xəttin ordinatlarını kənara qoyuruq. Xət üfüqi proyeksiyalı bir xəttə çevrilir və bir nöqtəyə "degenerasiya olunur".

Birinci səviyyə

Koordinatlar və vektorlar. Hərtərəfli bələdçi (2019)

Bu yazıda siz və mən həndəsədəki bir çox problemləri sadə hesaba endirməyə imkan verəcək bir "sehrli çubuq" haqqında müzakirəyə başlayacağıq. Bu "çubuq" həyatınızı çox asanlaşdıra bilər, xüsusən də formasiyada özünüzü etibarsız hiss etdiyiniz zaman məkan fiqurları, bölmələr və s. Bütün bunlar müəyyən təxəyyül və praktik bacarıq tələb edir. Burada nəzərdən keçirməyə başlayacağımız üsul, demək olar ki, bütün növ həndəsi konstruksiyalardan və mülahizələrdən mücərrədləşdirməyə imkan verəcəkdir. Metod deyilir "koordinat metodu". Bu yazıda aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Koordinat müstəvisi
2. Təyyarədə nöqtələr və vektorlar
3. İki nöqtədən vektor qurmaq
4. Vektor uzunluğu (iki nöqtə arasındakı məsafə).
5. Orta nöqtə koordinatları
6. Vektorların nöqtə məhsulu
7. İki vektor arasındakı bucaq

Düşünürəm ki, koordinat metodunun niyə belə adlandırıldığını artıq təxmin etdiniz? Düzdür, həndəsi cisimlərlə deyil, onların ədədi xüsusiyyətləri (koordinatları) ilə işlədiyi üçün belə bir ad almışdır. Həndəsədən cəbrə keçməyi mümkün edən çevrilmənin özü isə koordinat sisteminin tətbiqindən ibarətdir. Əgər ilkin rəqəm düz idisə, o zaman koordinatlar iki ölçülü, rəqəm üç ölçülüdürsə, koordinatlar üç ölçülüdür. Bu yazıda biz yalnız iki ölçülü işi nəzərdən keçirəcəyik. Məqalənin əsas məqsədi sizə koordinat metodunun bəzi əsas texnikalarından necə istifadə etməyi öyrətməkdir (onlar bəzən Vahid Dövlət İmtahanının B hissəsində planimetriyada problemləri həll edərkən faydalı olurlar). Bu mövzuda aşağıdakı iki bölmə C2 (stereometriya problemi) problemlərinin həlli üsullarının müzakirəsinə həsr edilmişdir.

Koordinat metodunu müzakirə etməyə haradan başlamaq məntiqli olardı? Yəqin ki, koordinat sistemi anlayışı ilə. Onunla ilk tanışlığınızı xatırlayın. Mənə elə gəlir ki, 7-ci sinifdə, məsələn, xətti funksiyanın mövcudluğunu öyrənəndə. Nəzərinizə çatdırım ki, siz onu nöqtə-nöqtə qurdunuz. Sən xatırlayırsan? Siz ixtiyari bir nömrə seçdiniz, onu düsturla əvəz etdiniz və bu şəkildə hesabladınız. Məsələn, əgər, onda, əgər, onda və s. Nəticədə nə əldə etdiniz? Və koordinatları olan xal aldınız: və. Sonra, "xaç" (koordinat sistemi) çəkdiniz, onun üzərində bir miqyas seçdiniz (bir seqment olaraq neçə hüceyrə olacaq) və üzərində aldığınız nöqtələri qeyd etdiniz, sonra düz bir xətt ilə birləşdirdiniz, nəticədə xətt funksiyanın qrafikidir.

Sizə bir az daha ətraflı izah edilməli olan bir neçə şey var:

1. Rahatlıq üçün bir seqment seçirsiniz ki, hər şey şəkildə gözəl və yığcam şəkildə uyğun olsun

2. Oxun soldan sağa, oxun isə aşağıdan yuxarıya doğru getdiyi güman edilir

3. Düz bucaq altında kəsişirlər və onların kəsişmə nöqtəsi başlanğıc adlanır. Hərflə qeyd olunur.

4. Nöqtənin koordinatı qeydində, məsələn, mötərizədə solda nöqtənin ox boyunca, sağda isə ox boyunca koordinatları göstərilir. Xüsusilə, sadəcə nöqtə deməkdir

5. İstənilən nöqtəni yandırmaq üçün koordinat oxu, onun koordinatlarını təyin etməlisiniz (2 ədəd)

6. Ox üzərində yerləşən istənilən nöqtə üçün,

7. Ox üzərində yerləşən istənilən nöqtə üçün,

8. Oxa x oxu deyilir

9. Oxa y oxu deyilir

İndi sizinlə növbəti addımı ataq: iki nöqtəni qeyd edin. Bu iki nöqtəni bir xətt ilə birləşdirin. Və oxunu nöqtədən nöqtəyə seqment çəkirik kimi qoyaq: yəni seqmentimizi istiqamətləndirəcəyik!

İstiqamətləndirilmiş seqmentin başqa adının nə olduğunu xatırlayın? Düzdü, buna vektor deyilir!

Beləliklə, bir nöqtəni bir nöqtəyə bağlasaq, və başlanğıcı A nöqtəsi, sonu isə B nöqtəsi olacaq, onda vektor alırıq. Bu tikintini siz də 8-ci sinifdə etmisiniz, yadınızdadır?

Belə çıxır ki, vektorlar da nöqtələr kimi iki ədədlə işarələnə bilər: bu ədədlərə vektorun koordinatları deyilir. Sual: Sizcə vektorun əvvəlinin və sonunun koordinatlarını bilmək onun koordinatlarını tapmaq üçün bizə kifayətdirmi? Belə çıxır ki, bəli! Və bunu etmək çox asandır:

Beləliklə, vektorda nöqtə başlanğıc və son olduğu üçün vektor aşağıdakı koordinatlara malikdir:

Məsələn, əgər, onda vektorun koordinatları

İndi isə bunun əksini edək, vektorun koordinatlarını tapaq. Bunun üçün nəyi dəyişdirməliyik? Bəli, əvvəli və sonunu dəyişdirmək lazımdır: indi vektorun başlanğıcı bir nöqtədə, sonu isə bir nöqtədə olacaq. Sonra:

Diqqətlə baxın, vektorların fərqi nədir? Onların yeganə fərqi koordinatlardakı işarələrdir. Onlar əksinədirlər. Bu fakt belə yazılmışdır:

Bəzən hansı nöqtənin vektorun başlanğıcı, hansının sonu olduğu xüsusi olaraq göstərilməyibsə, vektorlar iki böyük hərflə deyil, bir kiçik hərflə işarələnir, məsələn: və s.

İndi bir az təcrübə və aşağıdakı vektorların koordinatlarını tapın:

İmtahan:

İndi problemi bir az daha çətin həll edin:

Bir nöqtədə on-cha-scrap olan vektor torusunun co-or-di-on-yo var. Di-te abs-cis-su nöqtələrini tapın.

Bütün bunlar olduqca prozaikdir: nöqtənin koordinatları olsun. Sonra

Bir vektorun koordinatlarının nə olduğunu təyin edərək sistemi tərtib etdim. Sonra nöqtənin koordinatları var. Biz absis ilə maraqlanırıq. Sonra

Cavab:

Vektorlarla başqa nə edə bilərsiniz? Bəli, demək olar ki, hər şey adi ədədlərlə eynidir (bölməyə bilməyəcəyiniz istisna olmaqla, ancaq iki yolla çoxalda bilərsiniz, onlardan birini bir az sonra burada müzakirə edəcəyik)

1. Vektorlar bir-biri ilə yığıla bilər
2. Vektorlar bir-birindən çıxıla bilər
3. Vektorlar ixtiyari sıfırdan fərqli bir ədədlə vurula (və ya bölünə bilər).
4. Vektorlar bir-biri ilə vurula bilər

Bütün bu əməliyyatlar olduqca vizual həndəsi təsvirə malikdir. Məsələn, toplama və çıxma üçün üçbucaq (və ya paraleloqram) qaydası:

Bir vektor rəqəmə vurulduqda və ya bölündükdə uzanır və ya daralır və ya istiqamətini dəyişir:

Bununla belə, burada koordinatlarla nə baş verdiyi sualı bizi maraqlandıracaq.

1. İki vektoru toplayanda (çıxarkən) onların koordinat elementini elementar əlavə edirik (çıxırıq). Yəni:

2. Vektoru ədədə vurarkən (bölərkən) onun bütün koordinatları bu ədədə vurulur (bölülür):

Misal üçün:

· Ko-or-di-nat əsr-to-ra cəmini tap-di.

Əvvəlcə vektorların hər birinin koordinatlarını tapaq. Onların hər ikisinin mənşəyi eynidir - mənşə nöqtəsi. Onların ucları fərqlidir. Sonra, . İndi vektorun koordinatlarını hesablayırıq Onda alınan vektorun koordinatlarının cəmi bərabərdir.

Cavab:

İndi aşağıdakı problemi özünüz həll edin:

· Vektorun koordinatlarının cəmini tapın

Yoxlayırıq:

İndi aşağıdakı məsələni nəzərdən keçirək: koordinat müstəvisində iki nöqtəmiz var. Aralarındakı məsafəni necə tapmaq olar? Birinci nöqtə olsun, ikincisi. Aralarındakı məsafəni kimi işarə edək. Aydınlıq üçün aşağıdakı rəsmləri çəkək:

Mən nə etmişəm? Əvvəlcə qoşuldum xal və, a nöqtədən də oxuna paralel xətt çəkdi və nöqtədən oxuna paralel xətt çəkdi. Onlar gözəl bir fiqur meydana gətirərək bir nöqtədə kəsişdilər? O niyə gözəldir? Bəli, siz və mən demək olar ki, hər şeyi bilirik düz üçbucaq. Yaxşı, Pifaqor teoremi, şübhəsiz. İstənilən seqment bu üçbucağın hipotenuzası, seqmentlər isə ayaqlarıdır. Nöqtənin koordinatları hansılardır? Bəli, onları şəkildən tapmaq asandır: Seqmentlər oxlara paralel olduğundan və müvafiq olaraq onların uzunluqlarını tapmaq asandır: əgər seqmentlərin uzunluqlarını müvafiq olaraq vasitəsilə işarələsək, onda

İndi Pifaqor teoremindən istifadə edək. Ayaqların uzunluğunu bilirik, hipotenuzunu tapacağıq:

Beləliklə, iki nöqtə arasındakı məsafə koordinatlardan kvadrat fərqlərin kök cəmidir. Və ya - iki nöqtə arasındakı məsafə onları birləşdirən seqmentin uzunluğudur. Nöqtələr arasındakı məsafənin istiqamətdən asılı olmadığını görmək asandır. Sonra:

Bundan üç nəticə çıxarırıq:

İki nöqtə arasındakı məsafəni hesablamaq üçün bir az məşq edək:

Məsələn, əgər, onda və arasında olan məsafə

Və ya fərqli gedək: vektorun koordinatlarını tapın

Və vektorun uzunluğunu tapın:

Gördüyünüz kimi, eynidir!

İndi özünüz bir az məşq edin:

Tapşırıq: verilmiş nöqtələr arasındakı məsafəni tapın:

Yoxlayırıq:

Bir az fərqli səslənsələr də, eyni düstur üçün daha bir neçə problem var:

1. Göz qapağı-to-ra uzunluğunun kvadratını tap-di-te.

2. Göz qapağının uzunluğu-ra-nai-di-te kvadratı

Düşünürəm ki, siz onları asanlıqla idarə edə bilərsiniz? Yoxlayırıq:

1. Bu isə diqqətlilik üçündür) Biz əvvəllər vektorların koordinatlarını tapmışıq: . Onda vektorun koordinatları olur. Uzunluğunun kvadratı belə olacaq:

2. Vektorun koordinatlarını tapın

Onda onun uzunluğunun kvadratı olur

Mürəkkəb bir şey yoxdur, elə deyilmi? Sadə hesab, başqa heç nə.

Aşağıdakı tapmacalar birmənalı şəkildə təsnif edilə bilməz, daha çox ümumi erudisiya və sadə şəkillər çəkmək bacarığı üçündür.

1. Kəsikdən kəsilən bucağın sinusunu tapın, bir-n-ci nöqtəni absis oxu ilə birləşdirin.

və

Bunu burada necə edəcəyik? Ox ilə arasındakı bucağın sinusunu tapmaq lazımdır. Və sinusu harada axtara bilərik? Düzdür, düz üçbucaqda. Bəs biz nə etməliyik? Bu üçbucağı qurun!

Nöqtənin koordinatları və, sonra seqment bərabərdir və seqment. Bucağın sinusunu tapmalıyıq. Nəzərinizə çatdırım ki, sinus əks ayağın hipotenuzaya nisbətidir

Bizə nə qalıb? Hipotenuzanı tapın. Bunu iki yolla edə bilərsiniz: Pifaqor teoremindən (ayaqlar məlumdur!) və ya iki nöqtə arasındakı məsafənin düsturundan istifadə etməklə (əslində birinci üsulla eynidir!). İkinci yolla gedəcəm:

Cavab:

Növbəti tapşırıq sizə daha asan görünəcək. O - nöqtənin koordinatlarında.

Tapşırıq 2. Nöqtədən per-pen-di-ku-lar abs-ciss oxuna endirilir. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir rəsm çəkək:

Perpendikulyarın əsası onun x oxunu (oxu) kəsdiyi nöqtədir, mənim üçün bu nöqtədir. Şəkil onun koordinatlarına malik olduğunu göstərir: . Bizi absis - yəni "X" komponenti maraqlandırır. O, bərabərdir.

Cavab: .

Tapşırıq 3.Əvvəlki məsələnin şərtlərində nöqtədən koordinat oxlarına qədər olan məsafələrin cəmini tapın.

Bir nöqtədən oxlara qədər olan məsafənin nə olduğunu bilsəniz, tapşırıq ümumiyyətlə elementardır. Sən bilirsən? Ümid edirəm, amma yenə də xatırladıram:

Beləliklə, bir az yuxarıda yerləşən rəsmimdə mən artıq belə bir perpendikulyar təsvir etmişəm? Hansı oxdur? oxa. Və onun uzunluğu nə qədərdir? O, bərabərdir. İndi özünüz oxa perpendikulyar çəkin və uzunluğunu tapın. Bərabər olacaq, hə? Onda onların cəmi bərabər olur.

Cavab: .

Tapşırıq 4. 2-ci məsələnin şərtlərində x oxuna aid nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin ordinatını tapın.

Düşünürəm ki, simmetriyanın nə olduğunu intuitiv şəkildə başa düşürsən? Çox sayda obyekt var: çoxlu binalar, masalar, təyyarələr, çoxlu həndəsi fiqurlar: top, silindr, kvadrat, romb və s.. Kobud desək, simmetriyanı belə başa düşmək olar: fiqur iki (və ya daha çox) eyni yarımdan ibarətdir. Bu simmetriya eksenel adlanır. O zaman ox nədir? Bu, fiqurun, nisbətən desək, eyni yarıya "kəsmək" mümkün olduğu xəttdir (bu şəkildə, simmetriya oxu düzdür):

İndi vəzifəmizə qayıdaq. Bilirik ki, biz ox ətrafında simmetrik olan bir nöqtə axtarırıq. Onda bu ox simmetriya oxudur. Beləliklə, bir nöqtəni qeyd etməliyik ki, ox seqmenti iki bərabər hissəyə kəssin. Belə bir məqamı özünüz qeyd etməyə çalışın. İndi mənim həllimlə müqayisə edin:

Siz də eyni şeyi etdiniz? Yaxşı! Tapılan nöqtədə ordinatla maraqlanırıq. O, bərabərdir

Cavab:

İndi mənə deyin, bir saniyə fikirləşdikdən sonra A nöqtəsinə simmetrik olan nöqtənin y oxuna görə absisi nə qədər olacaq? Cavabınız nədir? Düzgün cavab: .

Ümumiyyətlə, qayda belə yazıla bilər:

X oxuna yaxın bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları var:

Y oxuna yaxın bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları var:

Yaxşı, indi həqiqətən qorxuludur. bir vəzifə: Mənbəyə nisbətən bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapın. Əvvəlcə özün fikirləş, sonra mənim rəsmimə bax!

Cavab:

İndi paraleloqram problemi:

Tapşırıq 5: Xallar ver-şi-na-mi-pa-ral-le-lo-qram-madır. Tap-dee-te və ya-dee-on-tu nöqtələri.

Bu problemi iki yolla həll edə bilərsiniz: məntiq və koordinat metodu. Mən əvvəlcə koordinat metodunu tətbiq edəcəyəm, sonra sizə necə başqa cür qərar verə biləcəyinizi söyləyəcəyəm.

Tamamilə aydındır ki, nöqtənin absisi bərabərdir. (nöqtədən x oxuna çəkilmiş perpendikulyar üzərində yerləşir). Ordinatı tapmalıyıq. Fiqurumuzun paraleloqram olmasından istifadə edək ki, bu o deməkdir. İki nöqtə arasındakı məsafə üçün düsturdan istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapın:

Nöqtəni oxla birləşdirən perpendikulyar aşağı düşürük. Kəsişmə nöqtəsi hərflə qeyd olunur.

Seqmentin uzunluğu bərabərdir. (bu anı müzakirə etdiyimiz problemi özünüz tapın), onda Pifaqor teoremindən istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapacağıq:

Seqmentin uzunluğu onun ordinatı ilə tam olaraq eynidir.

Cavab: .

Başqa bir həll (mən sadəcə onu göstərən bir şəkil təqdim edəcəyəm)

Həll prosesi:

1. Xərcləmək

2. Nöqtə koordinatlarını və uzunluğunu tapın

3. Bunu sübut edin.

Başqa biri kəsmə uzunluğu problemi:

Nöqtələr-la-yut-xia top-shi-on-mi tri-bucaq-no-kadır. Onun orta xəttinin uzunluğunu tapın, par-ral-lel-noy.

Nə olduğunu xatırlayırsan orta xəttüçbucaq? Onda sizin üçün bu vəzifə elementardır. Əgər xatırlamırsınızsa, onda sizə xatırladacağam: üçbucağın orta xətti əks tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirən xəttdir. Baza paraleldir və onun yarısına bərabərdir.

Baza bir seqmentdir. Uzunluğunu daha əvvəl axtarmalı olduq, bərabərdir. Sonra orta xəttin uzunluğu yarı uzun və bərabərdir.

Cavab: .

Şərh: Bu problem başqa bir şəkildə həll edilə bilər, bir az sonra ona müraciət edəcəyik.

Bu arada, sizin üçün bir neçə tapşırıq var, onlar üzərində məşq edin, onlar olduqca sadədir, lakin koordinat metodundan istifadə edərək "əlinizi doldurmağa" kömək edirlər!

1. Nöqtələr görünür-la-yut-xia top-shi-on-mi tra-pe-tion. Onun orta xəttinin uzunluğunu tapın.

2. Xallar və yav-la-yut-xia ver-şi-na-mi pa-ral-le-lo-qram-ma. Tap-dee-te və ya-dee-on-tu nöqtələri.

3. Kəsikdən uzunluğu tapın, ikinci nöqtəni birləşdirin və

4. Ko-or-di-nat-noy müstəvisində qırmızı-şen-noy fi-gu-ry sahəsini tap-di-te.

5. Mərkəzi na-ça-le ko-or-di-natda olan dairə bir nöqtədən keçir. Onun ra-di-bığını tap-de-te.

6. Nai-di-te ra-di-us dairəsi-no-sti, təsvir-san-noy yaxınlığında sağ bucaq-no-ka, bir şeyin-ro-go-nun zirvələri-şi-ny co-or var - di-na-siz co-cavabdan-amma

Həll yolları:

1. Məlumdur ki, trapezoidin orta xətti onun əsaslarının cəminin yarısına bərabərdir. Baza bərabərdir, lakin əsasdır. Sonra

Cavab:

2. Bu problemi həll etməyin ən asan yolu buna diqqət yetirməkdir (paraleloqram qaydası). Vektorların koordinatlarını hesablayın və çətin deyil: . Vektorlar əlavə edilərkən koordinatlar əlavə edilir. Sonra koordinatları var. Nöqtə eyni koordinatlara malikdir, çünki vektorun başlanğıcı koordinatları olan bir nöqtədir. Ordinatla maraqlanırıq. O, bərabərdir.

Cavab:

3. İki nöqtə arasındakı məsafənin düsturuna əsasən dərhal hərəkət edirik:

Cavab:

4. Şəkilə baxın və deyin ki, kölgəli sahə hansı iki fiqur arasında “sıxılıb”? İki kvadrat arasında sıxışdırılır. Sonra istədiyiniz rəqəmin sahəsi böyük kvadratın sahəsinə, kiçik kvadratın sahəsinə bərabərdir. Kiçik kvadratın tərəfi nöqtələri birləşdirən bir seqmentdir və uzunluğudur

Sonra kiçik kvadratın sahəsi

Böyük bir kvadratla da eyni şeyi edirik: onun tərəfi nöqtələri birləşdirən bir seqmentdir və uzunluğu bərabərdir

Sonra böyük kvadratın sahəsi

İstədiyiniz rəqəmin sahəsi düsturla tapılır:

Cavab:

5. Əgər dairənin başlanğıc nöqtəsi mərkəzidirsə və bir nöqtədən keçirsə, onda onun radiusu tam olacaqdır uzunluğa bərabərdir seqment (rəsm çəkin və bunun niyə açıq olduğunu başa düşəcəksiniz). Bu seqmentin uzunluğunu tapın:

Cavab:

6. Məlumdur ki, düzbucaqlı ətrafında çevrələnmiş çevrənin radiusu onun diaqonalının yarısına bərabərdir. Gəlin iki diaqonaldan hər hansı birinin uzunluğunu tapaq (axı düzbucaqlıda onlar bərabərdir!)

Cavab:

Yaxşı, hər şeyi idarə etdin? Bunu başa düşmək o qədər də çətin deyildi, elə deyilmi? Burada yalnız bir qayda var - vizual bir şəkil çəkmək və ondan bütün məlumatları sadəcə "oxumaq".

Bizə çox az qalıb. Müzakirə etmək istədiyim sözün əsl mənasında daha iki məqam var.

Gəlin bu sadə problemi həll etməyə çalışaq. Qoy iki xal verilsin. Seqmentin ortasının koordinatlarını tapın. Bu məsələnin həlli belədir: nöqtə istədiyiniz orta olsun, onda onun koordinatları var:

Yəni: seqmentin ortasının koordinatları = seqmentin uclarının müvafiq koordinatlarının arifmetik ortası.

Bu qayda çox sadədir və adətən tələbələr üçün çətinlik yaratmır. Hansı problemlərdə və necə istifadə edildiyinə baxaq:

1. Tap-di-te or-di-na-tu se-re-di-us from-cut, connect-nya-yu-th-cu point and

2. Nöqtələr yav-la-yut-xia ver-shi-na-mi-che-you-reh-coal-no-ka. Onun dia-go-on-lei-nin re-re-se-che-niya-nın-di-te or-di-na-tu nöqtələrini tapın.

3. Tap-di-te abs-cis-su dairənin mərkəzi, təsvir-san-noy yaxınlığında düzbucaqlı-no-ka, tops-shi-biz bir şey var-ro-go co-or-di- na-siz co-dan-vet-stvenno-amma.

Həll yolları:

1. İlk tapşırıq sadəcə klassikdir. Seqmentin orta nöqtəsini təyin edərək dərhal hərəkət edirik. Onun koordinatları var. Ordinat bərabərdir.

Cavab:

2. Verilmiş dördbucağın paraleloqram (hətta romb!) olduğunu görmək asandır. Tərəflərin uzunluqlarını hesablayaraq və bir-biri ilə müqayisə edərək bunu özünüz sübut edə bilərsiniz. Paraleloqram haqqında nə bilirəm? Onun diaqonalları kəsişmə nöqtəsi ilə ikiyə bölünür! Aha! Beləliklə, diaqonalların kəsişmə nöqtəsi nədir? Bu, hər hansı bir diaqonalın ortasıdır! Xüsusilə diaqonalı seçəcəyəm. Onda nöqtənin koordinatları olur.Nöqtənin ordinatı bərabərdir.

Cavab:

3. Düzbucaqlının ətrafına çəkilmiş dairənin mərkəzi hansıdır? Onun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşür. Düzbucaqlının diaqonalları haqqında nə bilirsiniz? Onlar bərabərdir və kəsişmə nöqtəsi yarıya bölünür. Tapşırıq əvvəlkinə endirildi. Məsələn, diaqonalı götürək. Əgər dairənin mərkəzidirsə, ortasıdır. Mən koordinatları axtarıram: absis bərabərdir.

Cavab:

İndi bir az özünüzdə məşq edin, mən ancaq hər bir problemin cavabını verəcəm ki, özünüzü yoxlayasınız.

1. Nai-di-te ra-di-us dairəsi-no-sti, üçbucağın yanında təsvir-san-noy-no-ka, kiminsə-ro-go-nun zirvələrində ko-or-di -mister yoxdur

2. Dairənin mərkəzini tap-di-te or-di-na-tu, üçbucağın yanında san-noyu təsvir et-no-ka, zirvələri-şi-bizdə bir şey-ro-go koordinatlarımız var.

3. Bir nöqtədə mərkəzi olan çevrə hansı növ ra-di-y-sa olmalıdır ki, abs-ciss oxuna toxunsun?

4. Tap-di-te or-di-on-həmin nöqtəni yenidən yenidən se-che-ing oxu və kəsikdən, connect-nya-yu-th-ci nöqtə və

Cavablar:

Hər şey alındı? Mən həqiqətən buna ümid edirəm! İndi - son təkan. İndi xüsusilə diqqətli olun. İndi izah edəcəyim material təkcə bununla bağlı deyil sadə tapşırıqlar B hissəsindən koordinat metoduna, həm də C2 probleminin hər yerində baş verir.

Hansı vədlərimi hələ tutmamışam? Yadınızdadırsa, vektorlar üzərində hansı əməliyyatları təqdim etməyi vəd etmişdim və nəhayət hansıları təqdim etmişdim? Heç nəyi unutmadığımdan əminəm? Unutdum! Vektorların vurulmasının nə demək olduğunu izah etməyi unutmuşam.

Bir vektoru vektorla vurmağın iki yolu var. Seçilmiş metoddan asılı olaraq, fərqli təbiətli obyektləri alacağıq:

Vektor məhsulu olduqca mürəkkəbdir. Bunu necə etmək və nə üçün lazım olduğunu növbəti məqalədə sizinlə müzakirə edəcəyik. Və burada biz skalyar məhsula diqqət yetirəcəyik.

Artıq onu hesablamağa imkan verən iki üsul var:

Təxmin etdiyiniz kimi, nəticə eyni olmalıdır! Beləliklə, əvvəlcə birinci yola baxaq:

Koordinatlar vasitəsilə məhsulu nöqtələyin

Tapın: - nöqtə hasilinin ümumi qeydi

Hesablama üçün formula aşağıdakı kimidir:

Yəni nöqtə hasili = vektorların koordinatlarının hasillərinin cəmidir!

Misal:

Tap-dee-te

Həll:

Vektorların hər birinin koordinatlarını tapın:

Skayar məhsulu düsturla hesablayırıq:

Cavab:

Görürsən, heç bir şey mürəkkəb deyil!

Yaxşı, indi özünüz cəhd edin:

Tap-di-te scalar-noe pro-from-ve-de-nie əsr-to-xəndək və

idarə etdin? Bəlkə bir az hiylə görüb? yoxlayaq:

Əvvəlki tapşırıqda olduğu kimi vektor koordinatları! Cavab: .

Koordinata əlavə olaraq, skalyar məhsulu hesablamaq üçün başqa bir yol var, yəni vektorların uzunluqları və aralarındakı bucağın kosinusu vasitəsilə:

və vektorları arasındakı bucağı bildirir.

Yəni skalyar hasil vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir.

Bu ikinci düstur bizə nə üçün lazımdır, əgər birincisi varsa, o, çox sadədir, heç olmasa, onda kosinuslar yoxdur. Bizə elə lazımdır ki, birinci və ikinci düsturlardan vektorlar arasındakı bucağı necə tapacağımızı çıxara bilək!

Bir vektorun uzunluğunun düsturunu xatırlayın!

Sonra bu məlumatları nöqtə məhsulu düsturuna qoşsam, əldə edirəm:

Ancaq digər tərəfdən:

Bəs bizdə nə var? İndi iki vektor arasındakı bucağı hesablamaq üçün bir düsturumuz var! Bəzən qısa olması üçün belə yazılır:

Yəni vektorlar arasındakı bucağın hesablanması alqoritmi aşağıdakı kimidir:

1. Skayar hasilini koordinatlar vasitəsilə hesablayırıq
2. Vektorların uzunluqlarını tapın və onları çoxaldın
3. 1-ci bəndin nəticəsini 2-ci bəndin nəticəsinə bölün

Nümunələrlə məşq edək:

1. Göz qapaqları-ra-mi və arasındakı bucağı tapın. Cavabınızı dərəcələrlə verin.

2. Əvvəlki məsələnin şərtlərinə görə vektorlar arasında kosinusu tapın

Gəlin bunu edək: birinci problemi həll etməyə kömək edəcəyəm, ikincini isə özünüz etməyə çalışacağam! Razıyam? Onda başlayaq!

1. Bu vektorlar bizim köhnə dostlarımızdır. Biz artıq onların skalyar hasilini nəzərdən keçirdik və bərabər idi. Onların koordinatları: , . Sonra onların uzunluqlarını tapırıq:

Sonra vektorlar arasında kosinusu axtarırıq:

Bucağın kosinusu nədir? Bu küncdür.

Cavab:

Yaxşı, indi ikinci məsələni özünüz həll edin, sonra müqayisə edin! Mən çox qısa bir həll verəcəyəm:

2. koordinatları var, koordinatları var.

vektorları arasındakı bucaq olsun, onda

Cavab:

Qeyd etmək lazımdır ki, imtahan sənədinin B hissəsində birbaşa vektorlar və koordinatlar üsulu ilə bağlı tapşırıqlar olduqca nadirdir. Bununla belə, C2 problemlərinin böyük əksəriyyəti koordinat sistemi tətbiq etməklə asanlıqla həll edilə bilər. Beləliklə, bu məqaləni bir təməl kimi nəzərdən keçirə bilərsiniz, bunun əsasında həll etməli olduğumuz olduqca çətin konstruksiyalar edəcəyik. çətin tapşırıqlar.

KOORDİNATLAR VƏ VEKTORLAR. ORTA SƏVİYYƏ

Siz və mən koordinatlar metodunu öyrənməyə davam edirik. Son hissədə biz imkan verən bir sıra vacib düsturlar əldə etdik:

1. Vektor koordinatlarını tapın
2. Vektorun uzunluğunu tapın (alternativ olaraq: iki nöqtə arasındakı məsafə)
3. Vektorları əlavə edin, çıxarın. Onları həqiqi ədədə vurun
4. Seqmentin orta nöqtəsini tapın
5. Vektorların nöqtə hasilini hesablayın
6. Vektorlar arasındakı bucağı tapın

Təbii ki, bütün koordinat metodu bu 6 nöqtəyə uyğun gəlmir. Universitetdə tanış olacağınız analitik həndəsə kimi bir elmin təməlində dayanır. Mən sadəcə olaraq bir ştatda problemləri həll etməyə imkan verəcək təməl qurmaq istəyirəm. imtahan. Biz B hissəsinin tapşırıqlarını anladıq. İndi keyfiyyətə keçməyin vaxtıdır yeni səviyyə! Bu məqalə koordinat metoduna keçməyin məqsədəuyğun olduğu C2 problemlərinin həlli metoduna həsr olunacaq. Bu ağlabatanlıq problemdə nəyin tapılmalı olduğu və hansı rəqəmin verildiyi ilə müəyyən edilir. Beləliklə, suallar belə olsa, koordinat metodundan istifadə edərdim:

1. İki müstəvi arasındakı bucağı tapın
2. Xəttlə müstəvi arasındakı bucağı tapın
3. İki xətt arasındakı bucağı tapın
4. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın
5. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın
6. Düz xəttdən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın
7. İki xətt arasındakı məsafəni tapın

Məsələnin şərtində verilən rəqəm bir inqilab cisimidirsə (top, silindr, konus ...)

Koordinat metodu üçün uyğun rəqəmlər:

1. kuboid
2. Piramida (üçbucaqlı, dördbucaqlı, altıbucaqlı)

Həm də təcrübəmdə üçün koordinat metodundan istifadə etmək yersizdir:

1. Bölmələrin sahələrinin tapılması
2. Cismlərin həcmlərinin hesablanması

Bununla belə, dərhal qeyd etmək lazımdır ki, koordinat metodu üçün üç "əlverişsiz" vəziyyət praktikada olduqca nadirdir. Əksər tapşırıqlarda, xüsusən üç ölçülü konstruksiyalarda (bəzən olduqca mürəkkəb olan) çox güclü deyilsinizsə, o, sizin xilaskarınız ola bilər.

Yuxarıda sadaladığım bütün rəqəmlər hansılardır? Onlar artıq kvadrat, üçbucaq, dairə kimi düz deyil, həcmlidirlər! Müvafiq olaraq, iki ölçülü deyil, üç ölçülü koordinat sistemini nəzərdən keçirməliyik. O, olduqca asanlıqla qurulur: absis və ordinatlara əlavə olaraq, başqa bir oxu, tətbiq oxunu təqdim edəcəyik. Şəkil onların nisbi mövqeyini sxematik şəkildə göstərir:

Hamısı qarşılıqlı perpendikulyardır, mənşəyi adlandıracağımız bir nöqtədə kəsişir. Absis oxu, əvvəlki kimi, ordinat oxu - , tətbiq olunan tətbiq oxu isə - işarələnəcək.

Əgər əvvəllər müstəvidəki hər bir nöqtə iki rəqəmlə - absis və ordinatla xarakterizə olunurdusa, fəzadakı hər bir nöqtə artıq üç rəqəmlə - absis, ordinat, tətbiq ilə təsvir olunur. Misal üçün:

Müvafiq olaraq, nöqtənin absisi bərabərdir, ordinatı , tətbiqi isə .

Bəzən nöqtənin absissinə nöqtənin absis oxuna proyeksiyası, ordinata nöqtənin ordinat oxuna proyeksiyası, tətbiqi isə nöqtənin tətbiq oxuna proyeksiyası adlanır. Müvafiq olaraq, bir nöqtə verilirsə, koordinatları olan bir nöqtə:

nöqtənin müstəviyə proyeksiyası adlanır

nöqtənin müstəviyə proyeksiyası adlanır

Təbii sual yaranır: ikiölçülü hal üçün alınan bütün düsturlar fəzada etibarlıdırmı? Cavab bəli, onlar ədalətlidirlər və eyni görünüşə malikdirlər. Kiçik bir detal üçün. Məncə, hansını artıq təxmin etmisiniz. Bütün düsturlarda biz tətbiq oxuna cavabdeh olan daha bir termin əlavə etməli olacağıq. Məhz.

1. Əgər iki nöqtə verilirsə: , onda:

• Vektor koordinatları:
• İki nöqtə arasındakı məsafə (və ya vektor uzunluğu)
• Seqmentin ortasında koordinatlar var

2. Əgər iki vektor verilmişdirsə: və, onda:

• Onların nöqtə məhsulu:
• Vektorlar arasındakı bucağın kosinusu:

Bununla belə, məkan o qədər də sadə deyil. Anladığınız kimi, daha bir koordinatın əlavə edilməsi bu məkanda "yaşayan" fiqurların spektrində əhəmiyyətli müxtəliflik təqdim edir. Və daha ətraflı izah etmək üçün düz xəttin bir qədər kobud desək, “ümumiləşdirməsini” təqdim etməliyəm. Bu "ümumiləşdirmə" bir təyyarə olacaq. Təyyarə haqqında nə bilirsiniz? Suala cavab verməyə çalışın, təyyarə nədir? Bunu demək çox çətindir. Bununla belə, hamımız bunun necə göründüyünü intuitiv olaraq təsəvvür edirik:

Kobud desək, bu, kosmosa bir növ sonsuz “yarpaq” atılmasıdır. “Sonsuzluq” başa düşülməlidir ki, təyyarə bütün istiqamətlərdə uzanır, yəni onun sahəsi sonsuzluğa bərabərdir. Ancaq bu "barmaqlarda" izahı təyyarənin quruluşu haqqında zərrə qədər fikir vermir. Və biz bununla maraqlanacağıq.

Həndəsənin əsas aksiomlarından birini xatırlayaq:

• Düz xətt müstəvidə iki fərqli nöqtədən keçir, üstəlik yalnız bir:

Və ya onun kosmosdakı analoqu:

Əlbəttə ki, iki verilmiş nöqtədən düz xəttin tənliyini necə əldə edəcəyinizi xatırlayırsınız, bu heç də çətin deyil: əgər birinci nöqtənin koordinatları varsa: və ikincisi, düz xəttin tənliyi aşağıdakı kimi olacaq:

Bunu 7-ci sinifdə keçmisən. Kosmosda düz xəttin tənliyi belə görünür: koordinatları olan iki nöqtəyə sahib olaq: ​​, onda onlardan keçən düz xəttin tənliyi formaya malikdir:

Məsələn, bir xətt nöqtələrdən keçir:

Bunu necə başa düşmək lazımdır? Bunu aşağıdakı kimi başa düşmək lazımdır: koordinatları aşağıdakı sistemə cavab verən bir nöqtə xətt üzərində yerləşir:

Düz xəttin tənliyi bizi çox maraqlandırmayacaq, lakin düz xəttin yönləndirici vektorunun çox vacib anlayışına diqqət yetirməliyik. - verilmiş xətt üzərində və ya ona paralel olan istənilən sıfırdan fərqli vektor.

Məsələn, hər iki vektor düz xəttin istiqamət vektorlarıdır. Düz xətt üzərində uzanan nöqtə olsun və onun yönləndirici vektoru olsun. Sonra düz xəttin tənliyini aşağıdakı formada yazmaq olar:

Bir daha deyirəm, düz xəttin tənliyi məni çox maraqlandırmayacaq, amma həqiqətən istiqamət vektorunun nə olduğunu xatırlamağınıza ehtiyacım var! Yenidən: bir xətt üzərində və ya ona paralel olan HƏR Sıfırdan fərqli vektordur.

geri çəkilmək təyyarənin üç nöqtəli tənliyi artıq o qədər də əhəmiyyətsiz deyil və adətən orta məktəb kursunda əhatə olunmur. Ancaq boş yerə! Mürəkkəb problemləri həll etmək üçün koordinat metoduna müraciət etdiyimiz zaman bu texnika çox vacibdir. Ancaq güman edirəm ki, siz yeni bir şey öyrənmək istəyi ilə dolusunuz? Üstəlik, analitik həndəsə kursunda adətən öyrənilən texnikadan necə istifadə edəcəyinizi artıq bildiyiniz ortaya çıxanda universitetdəki müəlliminizi heyran edə biləcəksiniz. Beləliklə, başlayaq.

Təyyarənin tənliyi müstəvidəki düz xəttin tənliyindən çox da fərqlənmir, yəni formaya malikdir:

bəzi ədədlər (hamısı sıfıra bərabər deyil), lakin dəyişənlər, məsələn: və s. Göründüyü kimi, müstəvi tənliyi düz xəttin tənliyindən (xətti funksiya) çox da fərqlənmir. Bununla belə, sizinlə nə mübahisə etdiyimizi xatırlayırsınız? Dedik ki, əgər bir düz xətt üzərində yatmayan üç nöqtəmiz varsa, müstəvi tənliyi onlardan unikal şəkildə bərpa olunur. Bəs necə? Mən sizə izah etməyə çalışacağam.

Çünki müstəvi tənliyi:

Və nöqtələr bu müstəviyə aiddir, onda hər bir nöqtənin koordinatlarını müstəvi tənliyində əvəz edərkən düzgün eyniliyi almalıyıq:

Beləliklə, naməlum olan üç tənliyi həll etməyə ehtiyac var! Dilemma! Bununla belə, biz həmişə güman edə bilərik (bunun üçün bölmək lazımdır). Beləliklə, üç naməlum olan üç tənlik alırıq:

Bununla belə, biz belə bir sistemi həll etməyəcəyik, ancaq ondan irəli gələn sirli ifadəni yazacağıq:

Verilmiş üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi

\[\sol| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \sağ| = 0\]

Dayan! Bu başqa nədir? Çox qeyri-adi modul! Halbuki qarşınızda gördüyünüz obyektin modulla heç bir əlaqəsi yoxdur. Bu obyekt üçüncü dərəcəli determinant adlanır. Bundan sonra, bir müstəvidə koordinatlar üsulu ilə məşğul olanda, çox vaxt məhz bu təyinedicilərlə qarşılaşacaqsınız. Üçüncü dərəcəli determinant nədir? Qəribədir ki, bu sadəcə bir rəqəmdir. Hansı konkret nömrəni determinantla müqayisə edəcəyimizi anlamaq qalır.

Əvvəlcə üçüncü dərəcəli determinantı daha çox yazaq ümumi görünüş:

Bəzi nömrələr haradadır. Üstəlik, birinci indeks dedikdə sıra nömrəsini, indekslə isə sütun nömrəsini nəzərdə tuturuq. Məsələn, bu, verilən nömrənin ikinci sıra ilə üçüncü sütunun kəsişməsində olduğunu bildirir. Gəlin belə bir sual verək: belə bir determinantı necə dəqiq hesablayacağıq? Yəni konkret hansı rəqəmlə müqayisə edəcəyik? Dəqiq üçüncü sıranın determinantı üçün evristik (vizual) üçbucaq qaydası var, belə görünür:

1. Əsas diaqonalın elementlərinin hasili (yuxarı soldan sağa) birinci üçbucağı təşkil edən elementlərin hasili əsas diaqonala "perpendikulyar" olan ikinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasili əsas diaqonala "perpendikulyar". diaqonal
2. İkinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin hasili (yuxarı sağ küncdən aşağı sola) birinci üçbucağı "perpendikulyar" təşkil edən elementlərin hasili ikinci dərəcəli diaqonalın "perpendikulyar" elementlərinin hasili. ikinci dərəcəli diaqonalın
3. Sonra determinant və addımda alınan dəyərlər arasındakı fərqə bərabərdir

Bütün bunları rəqəmlərlə yazsaq, aşağıdakı ifadəni alırıq:

Bununla belə, bu formada hesablama metodunu yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə üçbucaqları başınızda saxlamaq və nəyə nəyin əlavə olunduğu və nəyin nədən çıxılacağı barədə fikir saxlamaq kifayətdir).

Üçbucaq metodunu bir nümunə ilə təsvir edək:

1. Determinantı hesablayın:

Nə əlavə etdiyimizi və nəyi çıxardığımızı anlayaq:

"Artı" ilə gələn şərtlər:

Bu əsas diaqonaldır: elementlərin məhsulu

Birinci üçbucaq, "əsas diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

İkinci üçbucaq, "əsas diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

Üç rəqəm əlavə edirik:

"mənfi" ilə gələn terminlər

Bu yan diaqonaldır: elementlərin məhsulu

Birinci üçbucaq, "ikinci diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

İkinci üçbucaq, "ikinci diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu

Üç rəqəm əlavə edirik:

Qalan yalnız müsbət şərtlərin cəmindən mənfi şərtlərin cəmini çıxarmaqdır:

Bu minvalla,

Gördüyünüz kimi, üçüncü dərəcəli determinantların hesablanmasında mürəkkəb və fövqəltəbii heç nə yoxdur. Üçbucaqları xatırlamaq və hesab səhvlərinə yol verməmək sadəcə vacibdir. İndi özünüzü hesablamağa çalışın:

Yoxlayırıq:

1. Əsas diaqonala perpendikulyar olan birinci üçbucaq:
2. Əsas diaqonala perpendikulyar olan ikinci üçbucaq:
3. Artı şərtlərin cəmi:
4. Yan diaqonala perpendikulyar olan birinci üçbucaq:
5. Yan diaqonalına perpendikulyar olan ikinci üçbucaq:
6. Mənfi olan şərtlərin cəmi:
7. Artı şərtlərin cəmindən mənfi şərtlərin cəmi:

Budur sizin üçün daha bir neçə determinant, onların dəyərlərini özünüz hesablayın və cavablarla müqayisə edin:

Cavablar:

Yaxşı, hər şey uyğun gəldi? Əla, sonra davam edə bilərsiniz! Çətinliklər varsa, məsləhətim budur: İnternetdə determinantın onlayn hesablanması üçün bir dəstə proqram var. Sizə lazım olan tək şey öz determinantınızı tapmaq, onu özünüz hesablamaq və sonra onu proqramın hesabladığı ilə müqayisə etməkdir. Nəticələr uyğunlaşmağa başlayana qədər və s. Əminəm ki, bu an çox çəkməyəcək!

İndi üç nöqtədən keçən bir təyyarənin tənliyi haqqında danışarkən yazdığım təyinediciyə qayıdaq. xallar verilir:

Sadəcə onun dəyərini birbaşa hesablamaq (üçbucaq metodundan istifadə etməklə) və nəticəni sıfıra bərabər qoymaq lazımdır. Təbii ki, onlar dəyişənlər olduğundan, onlardan asılı olan bəzi ifadələr alacaqsınız. Məhz bu ifadə bir düz xətt üzərində olmayan üç verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi olacaq!

Bunu sadə bir misalla izah edək:

1. Nöqtələrdən keçən müstəvinin tənliyini qurun

Bu üç nöqtə üçün determinant tərtib edirik:

Sadələşdirmə:

İndi onu birbaşa üçbucaqlar qaydasına görə hesablayırıq:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ sağ| = \left((x + 3) \sağ) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \sağ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Beləliklə, nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyi:

İndi bir problemi özünüz həll etməyə çalışın, sonra onu müzakirə edəcəyik:

2. Nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyini tapın

Yaxşı, indi həlli müzakirə edək:

Bir determinant edirik:

Və dəyərini hesablayın:

Onda təyyarənin tənliyi formaya malikdir:

Və ya azaltmaqla, əldə edirik:

İndi özünü idarə etmək üçün iki tapşırıq:

1. Üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyini qurun:

Cavablar:

Hər şey uyğun gəldi? Yenə də müəyyən çətinliklər varsa, məsləhətim budur: başınızdan üç nöqtə götürün (yüksək ehtimalla bir düz xətt üzərində yatmayacaqlar), onların üzərində bir təyyarə qurun. Və sonra özünüzü onlayn yoxlayın. Məsələn, saytda:

Lakin determinantların köməyi ilə biz təkcə müstəvi tənliyini qurmayacağıq. Yadınızdadırsa, mən sizə dedim ki, vektorlar üçün təkcə nöqtə hasilatı müəyyən edilmir. Bir vektor, eləcə də qarışıq məhsul var. Əgər iki vektorun skalyar hasili ədəd olacaqsa, onda iki vektorun vektor məhsulu vektor olacaq və bu vektor verilmiş olanlara perpendikulyar olacaq:

Və onun modulu olacaq sahəsinə bərabərdir vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqram və. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni hesablamaq üçün bu vektora ehtiyacımız olacaq. Vektorların çarpaz məhsulunu necə hesablaya bilərik və onların koordinatları verilirsə? Üçüncü sıranın determinantı yenə köməyimizə gəlir. Bununla belə, çarpaz məhsulun hesablanması alqoritminə keçməzdən əvvəl kiçik bir lirik ekskursiya etməliyəm.

Bu sapma əsas vektorlara aiddir.

Sxematik olaraq onlar şəkildə göstərilmişdir:

Sizcə, niyə onları əsas adlandırırlar? Fakt budur ki:

Və ya şəkildə:

Bu formulun etibarlılığı göz qabağındadır, çünki:

vektor məhsulu

İndi mən çarpaz məhsulu təqdim etməyə başlaya bilərəm:

İki vektorun vektor məhsulu aşağıdakı qaydaya əsasən hesablanan vektordur:

İndi çarpaz məhsulun hesablanmasına dair bəzi nümunələr verək:

Nümunə 1: Vektorların çarpaz məhsulunu tapın:

Həll yolu: Mən determinant edirəm:

Və hesablayıram:

İndi əsas vektorları yazdıqdan sonra adi vektor qeydinə qayıdacağam:

Bu minvalla:

İndi cəhd edin.

Hazırsan? Yoxlayırıq:

Və ənənəvi olaraq iki nəzarət etmək üçün tapşırıqlar:

1. Aşağıdakı vektorların çarpaz məhsulunu tapın:
2. Aşağıdakı vektorların çarpaz məhsulunu tapın:

Cavablar:

Üç vektorun qarışıq hasili

Mənə lazım olan son tikinti üç vektorun qarışıq məhsuludur. Bu, skaler kimi, bir ədəddir. Onu hesablamağın iki yolu var. - təyinedici vasitəsilə, - qarışıq hasil vasitəsilə.

Məhz, deyək ki, üç vektorumuz var:

Sonra ilə işarələnən üç vektorun qarışıq hasilini belə hesablamaq olar:

1. - yəni qarışıq hasil vektorun skalyar hasili ilə digər iki vektorun vektor hasilidir.

Məsələn, üç vektorun qarışıq məhsulu:

Bunu vektor məhsulundan istifadə edərək özünüz hesablamağa çalışın və nəticələrin uyğun olduğundan əmin olun!

Və yenə - müstəqil qərar üçün iki nümunə:

Cavablar:

Koordinat sisteminin seçimi

Yaxşı, indi hər şeyimiz var əsas təməl həndəsədən mürəkkəb stereometrik məsələləri həll etmək üçün biliklər. Bununla belə, birbaşa nümunələrə və onların həlli alqoritmlərinə keçməzdən əvvəl, aşağıdakı sual üzərində dayanmağın faydalı olacağına inanıram: necə dəqiq müəyyən bir rəqəm üçün bir koordinat sistemi seçin. Axı, koordinat sisteminin və kosmosdakı fiqurun nisbi mövqeyinin seçimi son nəticədə hesablamaların nə qədər çətin olacağını müəyyən edəcəkdir.

Xatırladıram ki, bu bölmədə biz aşağıdakı formaları nəzərdən keçiririk:

1. kuboid
2. Düz prizma (üçbucaqlı, altıbucaqlı...)
3. Piramida (üçbucaqlı, dördbucaqlı)
4. Tetraedr (üçbucaqlı piramida ilə eyni)

Bir kub və ya kub üçün aşağıdakı tikintini tövsiyə edirəm:

Yəni rəqəmi "küncəyə" qoyacağam. Kub və paralelepiped çox böyükdür yaxşı rəqəmlər. Onlar üçün hər zaman onun təpələrinin koordinatlarını asanlıqla tapa bilərsiniz. Məsələn, əgər (şəkildə göstərildiyi kimi)

onda təpə koordinatları belədir:

Əlbəttə ki, bunu xatırlamaq lazım deyil, ancaq bir kub və ya düzbucaqlı bir qutunun necə yerləşdiriləcəyini xatırlamaq məsləhətdir.

düz prizma

Prizma daha zərərli fiqurdur. Onu kosmosda müxtəlif yollarla təşkil edə bilərsiniz. Bununla belə, hesab edirəm ki, aşağıdakı ən yaxşı seçimdir:

Üçbucaqlı prizma:

Yəni, üçbucağın tərəflərindən birini bütövlükdə oxun üzərinə qoyuruq və təpələrdən biri mənşəyi ilə üst-üstə düşür.

Altıbucaqlı prizma:

Yəni təpələrdən biri mənşəyi ilə üst-üstə düşür, tərəflərdən biri isə oxun üstündə yerləşir.

Dördbucaqlı və altıbucaqlı piramida:

Bir kuba bənzər bir vəziyyət: bazanın iki tərəfini koordinat oxları ilə birləşdiririk, təpələrdən birini mənşəyi ilə birləşdiririk. Yeganə kiçik çətinlik nöqtənin koordinatlarını hesablamaq olacaq.

Altıbucaqlı piramida üçün - altıbucaqlı prizma ilə eynidir. Əsas vəzifə yenidən təpənin koordinatlarını tapmaq olacaq.

Tetraedr (üçbucaqlı piramida)

Vəziyyət üçbucaqlı prizma üçün verdiyim vəziyyətə çox bənzəyir: bir təpə başlanğıcı ilə üst-üstə düşür, bir tərəfi koordinat oxunda yerləşir.

Yaxşı, indi siz və mən nəhayət problemləri həll etməyə başlamağa yaxınıq. Məqalənin əvvəlində dediyimdən belə bir nəticə çıxara bilərsiniz: əksər C2 problemləri 2 kateqoriyaya bölünür: bucaq üçün problemlər və məsafə üçün problemlər. Əvvəlcə bucaq tapmaq üçün problemləri nəzərdən keçirəcəyik. Onlar, öz növbəsində, aşağıdakı kateqoriyalara bölünür (mürəkkəblik artdıqca):

Küncləri tapmaqda problemlər

1. İki xətt arasındakı bucağın tapılması
2. İki müstəvi arasındakı bucağın tapılması

Bu məsələləri ardıcıl olaraq nəzərdən keçirək: iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaqdan başlayaq. Hadi, yadına sal, sən və mən qərar verdik oxşar nümunələrəvvəl? Yadınızdadır, çünki bizdə artıq oxşar bir şey var idi ... Biz iki vektor arasında bucaq axtarırdıq. Xatırladıram ki, əgər iki vektor verilirsə: və deməli, onlar arasındakı bucaq əlaqədən tapılır:

İndi bir məqsədimiz var - iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaq. Gəlin "düz şəkil"ə keçək:

İki xətt kəsişdikdə neçə bucaq əldə edirik? Artıq şeylər. Düzdür, onlardan yalnız ikisi bərabər deyil, digərləri isə onlara şaquli (və buna görə də onlarla üst-üstə düşür). Beləliklə, iki düz xətt arasındakı bucağı hansı bucağı nəzərə almalıyıq: yoxsa? Burada qayda belədir: iki düz xətt arasındakı bucaq həmişə dərəcədən çox deyil. Yəni iki bucaqdan biz həmişə ən kiçik dərəcə ölçüsü olan bucağı seçəcəyik. Yəni bu şəkildə iki xətt arasındakı bucaq bərabərdir. Hiyləgər riyaziyyatçılar hər dəfə iki bucaqdan ən kiçiyini tapmaqla məşğul olmamaq üçün moduldan istifadə etməyi təklif ediblər. Beləliklə, iki düz xətt arasındakı bucaq düsturla müəyyən edilir:

Diqqətli oxucu kimi sizin sualınız olmalı idi: bucağın kosinusunu hesablamaq üçün lazım olan bu rəqəmləri əslində haradan əldə edirik? Cavab: onları xətlərin istiqamət vektorlarından alacağıq! Beləliklə, iki xətt arasındakı bucağı tapmaq üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

1. Formula 1 tətbiq edirik.

Və ya daha ətraflı:

1. Birinci düz xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq
2. İkinci xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq
3. Onların skalyar hasilinin modulunu hesablayın
4. Birinci vektorun uzunluğunu axtarırıq
5. İkinci vektorun uzunluğunu axtarırıq
6. 4-cü bəndin nəticələrini 5-ci bəndin nəticələrinə vurun
7. 3-cü nöqtənin nəticəsini 6-cı nöqtənin nəticəsinə bölürük.Xətlər arasındakı bucağın kosinusunu alırıq.
8. Bu nəticə bucağı dəqiq hesablamağa imkan verirsə, onu axtarırıq
9. Əks halda, arkkosinus vasitəsilə yazırıq

Yaxşı, indi tapşırıqlara keçməyin vaxtıdır: ilk ikisinin həllini ətraflı şəkildə nümayiş etdirəcəyəm, digərinin həllini qısa şəkildə təqdim edəcəyəm və yalnız son iki tapşırığa cavab verəcəyəm, siz onlar üçün bütün hesablamaları özünüz edin.

Tapşırıqlar:

1. Sağ tet-ra-ed-re, siz-belə ki, tet-ra-ed-ra ilə me-di-a-noy bo-ko-how tərəfi arasındakı bucağı tap-di-te.

2. Sağa doğru altı-kömür-pi-ra-mi-de, yüz-ro-na-os-no-va-niya birtəhər bərabərdir və yan qabırğalar bərabərdir, düz arasındakı bucağı tapın. xətlər və.

3. Sağ əlli dörd-you-rech-kömür-noy pi-ra-mi-dy-nin bütün kənarlarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir. Düz xətlər arasındakı bucağı tapın və əgər from-re-zok - siz-belə ki, pi-ra-mi-dy verilmişdirsə, nöqtə onun bo-ko- th qabırğasında se-re-di-dir.

4. Kubun kənarında me-che-dən bir nöqtəyə qədər düz xətlər və düz xətlər arasındakı bucağı tapın.

5. Nöqtə - se-re-di-kubun kənarlarında Nai-di-te düz xətlər arasındakı bucaq və.

Təsadüfi deyil ki, tapşırıqları bu ardıcıllıqla yerləşdirmişəm. Koordinat metodu ilə hərəkət etməyə hələ vaxtınız olmasa da, mən özüm ən "problemli" rəqəmləri təhlil edəcəyəm və sizi ən sadə kubla məşğul olmağa buraxacağam! Tədricən bütün fiqurlarla işləməyi öyrənməlisən, mövzudan mövzuya tapşırıqların mürəkkəbliyini artıracağam.

Problemləri həll etməyə başlayaq:

1. Tetraedr çəkin, onu əvvəllər təklif etdiyim kimi koordinat sisteminə yerləşdirin. Tetraedr nizamlı olduğundan, onun bütün üzləri (əsas daxil olmaqla) müntəzəm üçbucaqlardır. Bizə tərəfin uzunluğu verilmədiyi üçün onu bərabər götürə bilərəm. Düşünürəm ki, siz başa düşürsünüz ki, bucaq əslində tetraedronumuzun nə qədər "uzanacağından" asılı olmayacaq? Tetraedrdə hündürlüyü və medianı da çəkəcəyəm. Yol boyu onun əsasını çəkəcəm (bu da bizim üçün faydalı olacaq).

ilə arasındakı bucağı tapmalıyam. Biz nə bilirik? Biz yalnız nöqtənin koordinatını bilirik. Beləliklə, biz nöqtələrin daha çox koordinatlarını tapmalıyıq. İndi düşünürük: nöqtə üçbucağın hündürlüklərinin (və ya bissektrisalarının və ya medianlarının) kəsişmə nöqtəsidir. Nöqtə yüksək nöqtədir. Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Sonra nəhayət tapmalıyıq: nöqtələrin koordinatlarını: .

Ən sadədən başlayaq: nöqtə koordinatları. Şəkilə baxın: Aydındır ki, nöqtənin tətbiqi sıfıra bərabərdir (nöqtə müstəvidə yerləşir). Onun ordinatı bərabərdir (çünki mediandır). Onun absissini tapmaq daha çətindir. Lakin bu, Pifaqor teoremi əsasında asanlıqla həyata keçirilir: Üçbucağı nəzərdən keçirək. Onun hipotenuzası bərabərdir və ayaqlarından biri bərabərdir.

Nəhayət bizdə:

İndi nöqtənin koordinatlarını tapaq. Aydındır ki, onun tətbiqi yenə sıfıra bərabərdir və ordinatı nöqtə ilə eynidir, yəni. Gəlin onun absissini tapaq. Kimsə bunu xatırlayırsa, bu, olduqca mənasız bir şəkildə edilir bərabərtərəfli üçbucağın hündürlükləri kəsişmə nöqtəsinə nisbətdə bölünür yuxarıdan hesablanır. Çünki: , onda nöqtənin istənilən absisi, uzunluğuna bərabərdir seqment bərabərdir: . Beləliklə, nöqtənin koordinatları:

Nöqtənin koordinatlarını tapaq. Aydındır ki, onun absisi və ordinatı nöqtənin absisi və ordinatı ilə üst-üstə düşür. Və aplikasiya seqmentin uzunluğuna bərabərdir. - bu üçbucağın ayaqlarından biridir. Üçbucağın hipotenuzası bir seqmentdir - bir ayaq. Qalın hərflərlə vurğuladığım səbəblər axtarılır:

Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Sonra seqmentin ortasının koordinatları üçün düsturu xatırlamalıyıq:

Budur, indi istiqamət vektorlarının koordinatlarını axtara bilərik:

Yaxşı, hər şey hazırdır: bütün məlumatları düsturla əvəz edirik:

Bu minvalla,

Cavab:

Bu cür "dəhşətli" cavablardan qorxmamalısınız: C2 problemləri üçün bu adi bir təcrübədir. Bu hissədəki "gözəl" cavaba təəccüblənməyi daha çox istərdim. Həm də qeyd etdiyiniz kimi, mən praktiki olaraq Pifaqor teoremindən və bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüklərinin xassəsindən başqa heç nəyə müraciət etmədim. Yəni stereometrik problemi həll etmək üçün mən stereometriyanın ən minimumundan istifadə etdim. Bu qazanc kifayət qədər çətin hesablamalarla qismən "söndürülür". Ancaq onlar olduqca alqoritmikdir!

2. Koordinat sistemi, habelə onun əsası ilə birlikdə müntəzəm altıbucaqlı piramida çəkin:

və xətləri arasındakı bucağı tapmalıyıq. Beləliklə, vəzifəmiz nöqtələrin koordinatlarını tapmaq üçün azaldılır: . Kiçik rəsmdən sonuncu üçünün koordinatlarını tapacağıq və nöqtənin koordinatı vasitəsilə təpənin koordinatını tapacağıq. Çox iş var, amma başlamaq lazımdır!

a) Koordinat: onun tətbiqi və ordinatının sıfır olduğu aydındır. Gəlin absisi tapaq. Bunu etmək üçün düz üçbucağı nəzərdən keçirin. Təəssüf ki, onda biz yalnız bərabər olan hipotenuzanı bilirik. Ayağı tapmağa çalışacağıq (çünki ayağın iki dəfə uzunluğunun bizə nöqtənin absisini verəcəyi aydındır). Bunu necə axtara bilərik? Piramidanın təməlində hansı fiqurun olduğunu xatırlayaq? Bu müntəzəm altıbucaqlıdır. Bunun mənası nədi? Bu o deməkdir ki, bütün tərəflər və bütün açılar bərabərdir. Belə bir künc tapmalıyıq. Hər hansı bir fikir? Fikirlər çoxdur, amma bir formula var:

Düzgün n-bucaqlının bucaqlarının cəmidir .

Beləliklə, düzgün altıbucaqlının bucaqlarının cəmi dərəcədir. Onda bucaqların hər biri bərabərdir:

Şəkilə yenidən baxaq. Seqmentin bucağın bisektoru olduğu aydındır. Sonra bucaq dərəcədir. Sonra:

Sonra hara.

Beləliklə, onun koordinatları var

b) İndi nöqtənin koordinatını asanlıqla tapa bilərik: .

c) Nöqtənin koordinatlarını tapın. Onun absisi seqmentin uzunluğu ilə üst-üstə düşdüyü üçün bərabərdir. Ordinatı tapmaq da çox çətin deyil: əgər nöqtələri birləşdirsək və xəttin kəsişmə nöqtəsini işarə etsək, deyin. (özünüz sadə tikinti edin). Beləliklə, B nöqtəsinin ordinatı seqmentlərin uzunluqlarının cəminə bərabərdir. Yenidən üçbucağa baxaq. Sonra

Ondan sonra nöqtənin koordinatları var

d) İndi nöqtənin koordinatlarını tapın. Düzbucaqlıya nəzər salın və sübut edin ki, beləliklə, nöqtənin koordinatları:

e) Təpənin koordinatlarını tapmaq qalır. Aydındır ki, onun absisi və ordinatı nöqtənin absisi və ordinatı ilə üst-üstə düşür. Gəlin proqram tapaq. O vaxtdan bəri. Düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək. Tapşırığa görə yan qabırğa. Bu mənim üçbucağımın hipotenuzudur. Sonra piramidanın hündürlüyü ayaqdır.

Onda nöqtənin koordinatları var:

Budur, məni maraqlandıran bütün nöqtələrin koordinatları var. Düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının koordinatlarını axtarıram:

Bu vektorlar arasındakı bucağı axtarırıq:

Cavab:

Yenə də bu məsələni həll edərkən düzbucaqlı üçbucağın kosinusu və sinusunun tərifi ilə yanaşı, müntəzəm n-bucaqlının bucaqlarının cəminin düsturundan başqa heç bir mürəkkəb fənddən istifadə etmədim.

3. Bizə yenə piramidada kənarların uzunluqları verilmədiyi üçün onları birə bərabər hesab edəcəyəm. Beləliklə, yalnız yan tərəflər deyil, BÜTÜN kənarlar bir-birinə bərabər olduğundan, o zaman piramidanın bazasında bir kvadrat, yan üzləri isə düzgün üçbucaqlar var. Problemin mətnində verilən bütün məlumatları qeyd edərək, belə bir piramidanı, eləcə də onun əsasını bir müstəvidə təsvir edək:

və arasındakı bucağı axtarırıq. Mən nöqtələrin koordinatlarını axtaranda çox qısa hesablamalar aparacam. Onların "şifrəsini açmalısınız":

b) - seqmentin ortası. Onun koordinatları:

c) Üçbucaqda Pifaqor teoremindən istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapacağam. Mən üçbucaqda Pifaqor teoremi ilə tapacağam.

Koordinatlar:

d) - seqmentin ortası. Onun koordinatları belədir

e) Vektor koordinatları

f) Vektor koordinatları

g) Bucaq axtarırıq:

kub - ən sadə fiqur. Əminəm ki, siz bunu özünüz başa düşə bilərsiniz. 4 və 5-ci məsələlərin cavabları aşağıdakı kimidir:

Xəttlə müstəvi arasındakı bucağın tapılması

Yaxşı, sadə bulmacalar üçün vaxt bitdi! İndi nümunələr daha çətin olacaq. Xət və müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün aşağıdakı kimi hərəkət edəcəyik:

1. Üç nöqtədən istifadə edərək təyyarənin tənliyini qururuq
   ,
   üçüncü dərəcəli determinantdan istifadə etməklə.
2. İki nöqtə ilə düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun koordinatlarını axtarırıq:
3. Düz xətt və müstəvi arasındakı bucağı hesablamaq üçün formula tətbiq edirik:

Gördüyünüz kimi, bu düstur iki xətt arasındakı bucaqları tapmaq üçün istifadə etdiyimiz düstura çox bənzəyir. Sağ tərəfin quruluşu eynidir və solda indi əvvəlki kimi kosinusu yox, sinus axtarırıq. Yaxşı, bir pis hərəkət əlavə edildi - təyyarənin tənliyini axtarmaq.

Rəflərə yer verməyək həll nümunələri:

1. Os-no-va-ni-em düz-mənim mükafatım-biz-la-et-xia bərabər-amma-kasıb-ren-ny üçbucaqlı-nick sən-o mükafatla-biz bərabərik. Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın

2. Qərbdən düzbucaqlı pa-ral-le-le-pi-pe-de Nai-di-te düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucaq

3. Sağ əlli altı kömür prizmasında bütün kənarlar bərabərdir. Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.

4. Sağ üçbucaqlı pi-ra-mi-de qabırğanın qərbindən os-but-va-ni-em ilə Nai-di-te bucağı, os-un ob-ra-zo-van -ny müstəvisi. -no-va-niya və düz-my, qabırğaların se-re-di-nasından keçərək və

5. Sağ dördbucaqlı pi-ra-mi-dy yuxarı ilə bütün kənarlarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir. Əgər nöqtə pi-ra-mi-dy-nin bo-ko-in-ci kənarında se-re-di-dirsə, düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.

Yenə də ilk iki məsələni təfərrüatı ilə həll edəcəyəm, üçüncüsü - qısaca, son ikisini isə sizin özünüzə həll etməyiniz üçün buraxıram. Bundan əlavə, siz artıq üçbucaqlı və dördbucaqlı piramidalarla məşğul olmalı idiniz, lakin hələ prizmalarla deyil.

Həll yolları:

1. Prizmanı, eləcə də onun əsasını çəkin. Onu koordinat sistemi ilə birləşdirək və problem bəyanatında verilən bütün məlumatları qeyd edək:

Bəzi nisbətlərə əməl edilmədiyim üçün üzr istəyirəm, amma problemi həll etmək üçün bu, əslində o qədər də vacib deyil. Təyyarə sadəcə " arxa divar» prizmadan. Belə bir təyyarənin tənliyinin aşağıdakı formaya sahib olduğunu təxmin etmək kifayətdir:

Bununla belə, bu birbaşa göstərilə bilər:

Bu müstəvidə ixtiyari üç nöqtə seçirik: məsələn, .

Təyyarənin tənliyini quraq:

Sizin üçün məşq edin: bu determinantı özünüz hesablayın. Uğur qazandınız? Onda təyyarənin tənliyi formaya malikdir:

Və ya sadəcə

Bu minvalla,

Məsələni həll etmək üçün düz xəttin yönləndirici vektorunun koordinatlarını tapmalıyam. Nöqtə mənşəyi ilə üst-üstə düşdüyü üçün vektorun koordinatları sadəcə olaraq nöqtənin koordinatları ilə üst-üstə düşəcək.Bunun üçün əvvəlcə nöqtənin koordinatlarını tapırıq.

Bunu etmək üçün üçbucağı nəzərdən keçirin. Yuxarıdan hündürlüyü (o da median və bissektrisadır) çəkək. Çünki o zaman nöqtənin ordinatı bərabərdir. Bu nöqtənin absisini tapmaq üçün seqmentin uzunluğunu hesablamalıyıq. Pifaqor teoreminə görə biz var:

Onda nöqtənin koordinatları var:

Nöqtə bir nöqtədə "qaldırılmışdır":

Sonra vektorun koordinatları:

Cavab:

Gördüyünüz kimi, bu cür problemlərin həllində əsaslı çətin bir şey yoxdur. Əslində, prizma kimi bir fiqurun "düz olması" prosesi bir az daha asanlaşdırır. İndi isə növbəti nümunəyə keçək:

2. Biz paralelepiped çəkirik, onun içinə müstəvi və düz xətt çəkirik, həmçinin onun aşağı əsasını ayrıca çəkirik:

Əvvəlcə təyyarənin tənliyini tapırıq: İçində yerləşən üç nöqtənin koordinatları:

(ilk iki koordinat aşkar şəkildə alınır və siz nöqtədən şəkildən son koordinatı asanlıqla tapa bilərsiniz). Sonra təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Hesablayırıq:

İstiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq: Aydındır ki, onun koordinatları nöqtənin koordinatları ilə üst-üstə düşür, elə deyilmi? Koordinatları necə tapmaq olar? Bunlar tətbiq oxu boyunca bir qaldırılmış nöqtənin koordinatlarıdır! . Sonra istədiyiniz bucağı axtarırıq:

Cavab:

3. Müntəzəm altıbucaqlı piramida çəkin, sonra bir müstəvi və düz xətt çəkin.

Burada hətta təyyarə çəkmək problemlidir, bu problemin həllini demirəm, amma koordinat metodu əhəmiyyət vermir! Onun əsas üstünlüyü çox yönlü olmasındadır!

Təyyarə üç nöqtədən keçir: . Biz onların koordinatlarını axtarırıq:

bir). Son iki nöqtənin koordinatlarını özünüz göstərin. Bunun üçün problemi altıbucaqlı piramida ilə həll etməli olacaqsınız!

2) Təyyarənin tənliyini qururuq:

Biz vektorun koordinatlarını axtarırıq: . (Yenidən üçbucaqlı piramida probleminə baxın!)

3) Bucaq axtarırıq:

Cavab:

Gördüyünüz kimi, bu vəzifələrdə fövqəltəbii çətin bir şey yoxdur. Yalnız köklərə çox diqqətli olmaq lazımdır. Son iki problemə yalnız cavab verəcəyəm:

Gördüyünüz kimi, məsələlərin həlli texnikası hər yerdə eynidir: əsas vəzifə təpələrin koordinatlarını tapmaq və onları bəzi düsturlarla əvəz etməkdir. Bucaqların hesablanması üçün daha bir sinif problemləri nəzərdən keçirməyimiz üçün qalır, yəni:

İki müstəvi arasındakı bucaqların hesablanması

Həll alqoritmi aşağıdakı kimi olacaq:

1. Üç nöqtə üçün birinci müstəvinin tənliyini axtarırıq:
2. Qalan üç nöqtə üçün ikinci müstəvinin tənliyini axtarırıq:
3. Formulu tətbiq edirik:

Gördüyünüz kimi, düstur əvvəlki ikisinə çox bənzəyir, onun köməyi ilə düz xətlər arasında və düz xətt ilə müstəvi arasında bucaqlar axtarırdıq. Buna görə də bunu xatırlamaq sizin üçün çətin olmayacaq. Gəlin birbaşa problemə keçək:

1. Düzgün üçbucaqlı prizma əsasında yüz-ro- bərabərdir və yan üzün dia-qonalı bərabərdir. Mükafatın əsasının müstəvisi ilə müstəvisi arasındakı bucağı tapın.

2. Sağ-irəli dörd-you-yenidən-kömür-noy pi-ra-mi-de, kiminsə bütün kənarları bərabərdir, təyyarə ilə Ko-Stu müstəvisi arasındakı bucağın sinusunu tapın, keçən per-pen-di-ku-lyar-amma düz-minin nöqtəsi.

3. Müntəzəm dörd kömür prizmasında os-no-va-nianın tərəfləri bərabər, yan kənarları isə bərabərdir. Kənarında-me-che-böylə nöqtəyə qədər. və müstəviləri arasındakı bucağı tapın

4. Sağ dördbucaqlı prizmada əsasların tərəfləri bərabər, yan kənarları isə bərabərdir. Kənarında-me-che-bir nöqtəyə ki, təyyarələr arasındakı bucağı tapın və.

5. Kubda və müstəviləri arasındakı bucağın ko-si-nusunu tapın

Problem həlləri:

1. Mən müntəzəm (əsasda - bərabərtərəfli üçbucaq) üçbucaqlı prizma çəkirəm və onun üzərində məsələnin vəziyyətində görünən müstəviləri qeyd edirəm:

İki təyyarənin tənliklərini tapmalıyıq: Baza tənliyi mənasız şəkildə alınır: üç nöqtə üçün müvafiq determinant edə bilərsiniz, amma mən tənliyi dərhal düzəldəcəm:

İndi gəlin tənliyi tapaq Nöqtənin koordinatları var Nöqtə - - olduğundan - üçbucağın medianı və hündürlüyünü üçbucaqda Pifaqor teoremi ilə tapmaq asandır. Onda nöqtənin koordinatları var: Nöqtənin tətbiqini tapın Bunun üçün düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək

Onda aşağıdakı koordinatları alırıq: Müstəvi tənliyini tərtib edirik.

Təyyarələr arasındakı bucağı hesablayırıq:

Cavab:

2. Rəsm çəkmək:

Ən çətini bir nöqtədən perpendikulyar keçən onun hansı sirli müstəvi olduğunu başa düşməkdir. Yaxşı, əsas odur ki, bu nədir? Əsas odur ki, diqqət! Həqiqətən, xətt perpendikulyardır. Xətt də perpendikulyardır. Sonra bu iki xəttdən keçən müstəvi xəttə perpendikulyar olacaq və yeri gəlmişkən, nöqtədən keçəcəkdir. Bu müstəvi də piramidanın yuxarı hissəsindən keçir. Sonra istədiyiniz təyyarə - Və təyyarə artıq bizə verilir. Biz nöqtələrin koordinatlarını axtarırıq.

Nöqtədən keçən nöqtənin koordinatını tapırıq. Kiçik bir cizgidən nöqtənin koordinatlarının aşağıdakı kimi olacağını asanlıqla çıxarmaq olar: Piramidanın yuxarı hissəsinin koordinatlarını tapmaq üçün indi nə tapılmalıdır? Hələ onun hündürlüyünü hesablamaq lazımdır. Bu, eyni Pifaqor teoremindən istifadə etməklə həyata keçirilir: əvvəlcə bunu sübut edin (xırda-xırda əsasda kvadrat meydana gətirən kiçik üçbucaqlardan). Şərtə görə bizdə:

İndi hər şey hazırdır: təpə koordinatları:

Təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Siz artıq determinantların hesablanması üzrə mütəxəssissiniz. Asanlıqla alacaqsınız:

Və ya əks halda (hər iki hissəni ikinin kökünə vursaq)

İndi təyyarənin tənliyini tapaq:

(Təyyarənin tənliyini necə əldə etdiyimizi unutmadınız, elə deyilmi? Əgər bu minusun haradan gəldiyini başa düşmürsənsə, onda təyyarənin tənliyinin tərifinə qayıdın! Sadəcə həmişə belə çıxırdı ki, mənim təyyarə mənşəyə aid idi!)

Determinantı hesablayırıq:

(Ola bilsin ki, müstəvi tənliyinin nöqtələrdən keçən düz xəttin tənliyi ilə üst-üstə düşdüyünü və bunun səbəbini düşünün!)

İndi bucağı hesablayırıq:

Sinusunu tapmalıyıq:

Cavab:

3. Çətin sual: nədir düzbucaqlı prizma, necə düşünürsünüz? Bu, sadəcə olaraq sizə məlum olan paralelepipeddir! Dərhal rəsm! Siz hətta bazanı ayrıca təsvir edə bilməzsiniz, burada ondan az istifadə olunur:

Təyyarə, daha əvvəl qeyd etdiyimiz kimi, bir tənlik şəklində yazılır:

İndi bir təyyarə düzəldirik

Dərhal təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Bucaq axtarır

İndi son iki problemin cavabları:

Yaxşı, indi fasilə vermə vaxtıdır, çünki sən və mən əlayıq və əla iş görmüşük!

Koordinatlar və vektorlar. Qabaqcıl səviyyə

Bu yazıda biz sizinlə koordinat metodundan istifadə etməklə həll edilə bilən başqa bir problem sinfini müzakirə edəcəyik: məsafə məsələləri. Məhz, biz aşağıdakı halları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Əyri xətlər arasındakı məsafənin hesablanması.

Mürəkkəblik artdıqca verilən tapşırıqları əmr etdim. Ən asanı tapmaqdır müstəvi məsafəsinə işarə edin və ən çətin tərəfi tapmaqdır kəsişən xətlər arasındakı məsafə. Baxmayaraq ki, əlbəttə ki, heç bir şey mümkün deyil! Gəlin süründürməyək və dərhal birinci sinif problemlərin nəzərdən keçirilməsinə keçək:

Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafənin hesablanması

Bu problemi həll etmək üçün bizə nə lazımdır?

1. Nöqtə koordinatları

Beləliklə, bütün lazımi məlumatları əldə edən kimi düsturu tətbiq edirik:

Son hissədə təhlil etdiyim əvvəlki məsələlərdən təyyarənin tənliyini necə qurduğumuzu artıq bilməlisiniz. Gəlin dərhal işə başlayaq. Sxem belədir: 1, 2 - mən sizə qərar verməyə kömək edirəm və bəzi təfərrüatlarda 3, 4 - yalnız cavab, qərarı özünüz verirsiniz və müqayisə edirsiniz. Başladı!

Tapşırıqlar:

1. Bir kub verilir. Kubun kənarının uzunluğu Se-re-di-ny-dən kəsikdən düzə qədər olan məsafəni tapın

2. Verilmiş sağ-vil-naya dörd-you-rekh-kömür-naya pi-ra-mi-da Bo-ko-voe kənar yüz-ro-on os-no-va-nia bərabərdir. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafələri tapın, burada - kənarlarda se-re-di-di.

3. Os-but-va-ni-em ilə sağ üçbucaqlı pi-ra-mi-de, digər kənar bərabərdir və yüz-ro-on os-no-vaniya bərabərdir. Təpədən təyyarəyə qədər olan məsafələri tapın.

4. Sağ əlli altı kömür prizmasında bütün kənarlar bərabərdir. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafələri tapın.

Həll yolları:

1. Tək kənarları olan bir kub çəkin, seqment və müstəvi qurun, seqmentin ortasını hərflə işarələyin

.

Əvvəlcə asan birindən başlayaq: nöqtənin koordinatlarını tapın. O vaxtdan bəri (seqmentin ortasının koordinatlarını xatırlayın!)

İndi üç nöqtədə təyyarənin tənliyini tərtib edirik

\[\sol| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \sağ| = 0\]

İndi məsafəni tapmağa başlaya bilərəm:

2. Biz bütün məlumatları qeyd etdiyimiz bir rəsmlə yenidən başlayırıq!

Bir piramida üçün onun əsasını ayrıca çəkmək faydalı olardı.

Toyuq pəncəsi kimi çəkməyim belə bu problemi asanlıqla həll etməyimizə mane olmayacaq!

İndi bir nöqtənin koordinatlarını tapmaq asandır

Nöqtənin koordinatlarından bəri

2. a nöqtəsinin koordinatları seqmentin ortası olduğundan, onda

Müstəvidə daha iki nöqtənin koordinatlarını asanlıqla tapa bilərik.Müstəvi tənliyini qururuq və sadələşdiririk:

\[\sol| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nöqtənin koordinatları olduğundan: , onda məsafəni hesablayırıq:

Cavab (çox nadirdir!):

Yaxşı, başa düşdün? Mənə elə gəlir ki, burada hər şey əvvəlki hissədə sizinlə birlikdə nəzərdən keçirdiyimiz nümunələrdə olduğu kimi texnikidir. Ona görə də əminəm ki, əgər siz həmin materialı mənimsəmisinizsə, onda qalan iki problemi həll etmək sizin üçün çətin olmayacaq. Mən sizə sadəcə cavab verəcəyəm:

Xəttdən təyyarəyə qədər olan məsafənin hesablanması

Əslində burada yeni heç nə yoxdur. Xətt və müstəvi bir-birinə nisbətən necə yerləşə bilər? Onların bütün imkanları var: kəsişmək və ya düz xətt müstəviyə paraleldir. Sizcə, verilmiş xəttin kəsişdiyi xəttdən müstəviyə qədər olan məsafə nə qədərdir? Mənə elə gəlir ki, belə bir məsafənin sıfıra bərabər olduğu aydındır. Maraqsız hal.

İkinci hal daha mürəkkəbdir: burada məsafə artıq sıfırdan fərqlidir. Bununla belə, xətt müstəviyə paralel olduğundan, xəttin hər bir nöqtəsi bu müstəvidən bərabər məsafədədir:

Bu minvalla:

Və bu o deməkdir ki, mənim tapşırığım əvvəlkinə endirilib: biz xəttin istənilən nöqtəsinin koordinatlarını axtarırıq, təyyarənin tənliyini axtarırıq, nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni hesablayırıq. Əslində, imtahanda belə tapşırıqlar olduqca nadirdir. Mən yalnız bir problem tapmağı bacardım və içindəki məlumatlar elə idi ki, koordinat metodu ona çox uyğun deyildi!

İndi başqa, daha vacib problemlər sinfinə keçək:

Bir Nöqtədən Xəttə Məsafənin Hesablanması

Bizə nə lazım olacaq?

1. Məsafəni axtardığımız nöqtənin koordinatları:

2. Düz xətt üzərində yerləşən istənilən nöqtənin koordinatları

3. Düz xəttin istiqamət vektor koordinatları

Hansı düsturdan istifadə edirik?

Bu kəsrin məxrəci sizin üçün nə deməkdir və buna görə də aydın olmalıdır: bu düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun uzunluğudur. Budur çox çətin bir say! İfadə vektorların vektor məhsulunun modulu (uzunluğu) deməkdir və vektor məhsulunun necə hesablanması işin əvvəlki hissəsində öyrəndik. Biliklərinizi təzələyin, indi bizim üçün çox faydalı olacaq!

Beləliklə, problemlərin həlli alqoritmi aşağıdakı kimi olacaqdır:

1. Məsafəni axtardığımız nöqtənin koordinatlarını axtarırıq:

2. Məsafəni axtardığımız xəttdə istənilən nöqtənin koordinatlarını axtarırıq:

3. Vektorun qurulması

4. Düz xəttin istiqamət vektorunu qururuq

5. Çarpaz məhsulu hesablayın

6. Nəticə vektorun uzunluğunu axtarırıq:

7. Məsafəni hesablayın:

Çox işimiz var və nümunələr olduqca mürəkkəb olacaq! Beləliklə, indi bütün diqqətinizi cəmləyin!

1. Dana təpəsi olan sağ əlli üçbucaqlı pi-ra-mi-dadır. Yüz-ro-on os-no-va-niya pi-ra-mi-dy bərabərdir, sən-so-ta bərabərdir. Bo-ko-ci kənarın se-re-di-ny-dən düz xəttə qədər olan məsafələri tapın, burada və nöqtələri qabırğaların se-re-di-ny və co-vet-dir. -stven-amma.

2. Qabırğaların uzunluqları və düz bucaq-no-para-ral-le-le-pi-pe-da müvafiq olaraq bərabərdir və top-shi-ny-dən düz-my-yə qədər tap-di-te məsafəsi

3. Sağ altı kömür prizmasında sürünün bütün kənarları bir nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafəni tapmağa bərabərdir.

Həll yolları:

1. Bütün məlumatları qeyd etdiyimiz səliqəli bir rəsm çəkirik:

Sizin üçün çox işimiz var! Əvvəlcə nəyi və hansı ardıcıllıqla axtaracağımızı sözlə təsvir etmək istərdim:

1. Nöqtələrin koordinatları və

2. Nöqtə koordinatları

3. Nöqtələrin koordinatları və

4. Vektorların koordinatları və

5. Onların çarpaz məhsulu

6. Vektor uzunluğu

7. Vektor hasilinin uzunluğu

8. Məsafə

Yaxşı, bizim çox işimiz var! Gəlin qollarımızı çırmalayaq!

1. Piramidanın hündürlüyünün koordinatlarını tapmaq üçün nöqtənin koordinatlarını bilməliyik.Onun tətbiqi sıfır, ordinatı isə absissinə bərabərdir. Nəhayət, koordinatları əldə etdik:

Nöqtə koordinatları

2. - seqmentin ortası

3. - seqmentin ortası

orta nöqtə

4. Koordinatlar

Vektor koordinatları

5. Vektor məhsulunu hesablayın:

6. Vektorun uzunluğu: ən asan yol seqmentin üçbucağın orta xətti olduğunu əvəz etməkdir, yəni əsasın yarısına bərabərdir. Belə ki.

7. Vektor məhsulunun uzunluğunu nəzərə alırıq:

8. Nəhayət, məsafəni tapın:

Eh, hamısı budur! Düzünü deyim: bu problemi ənənəvi üsullarla (konstruksiyalar vasitəsilə) həll etmək daha sürətli olardı. Ancaq burada hər şeyi hazır bir alqoritmə endirdim! Düşünürəm ki, həll alqoritmi sizə aydındır? Ona görə də qalan iki problemi təkbaşına həll etməyi xahiş edəcəm. Cavabları müqayisə edin?

Yenə də təkrar edirəm: koordinat metoduna müraciət etməkdənsə, bu problemləri konstruksiyalar vasitəsilə həll etmək daha asandır (daha sürətli). Mən sizə “heç nəyi bitirməməyə” imkan verən universal metodu göstərmək üçün bu həll yolunu nümayiş etdirdim.

Nəhayət, düşünün son sinif tapşırıqlar:

Əyri xətlər arasındakı məsafənin hesablanması

Burada problemlərin həlli alqoritmi əvvəlkinə bənzəyəcəkdir. Bizdə nə var:

3. Birinci və ikinci sətirlərin nöqtələrini birləşdirən istənilən vektor:

Xətlər arasındakı məsafəni necə tapırıq?

Formula belədir:

Numerator qarışıq məhsulun moduludur (biz onu əvvəlki hissədə təqdim etdik), məxrəc isə əvvəlki düsturdakı kimidir (xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının vektor məhsulunun modulu, aralarındakı məsafə axtarırlar).

Bunu sizə xatırladacağam

sonra məsafə düsturu kimi yenidən yazmaq olar:

Bu təyinedicini təyinediciyə bölün! Baxmayaraq ki, düzünü desəm, mən burada zarafat etmək niyyətində deyiləm! Bu düstur, əslində, çox çətin və olduqca mürəkkəb hesablamalara gətirib çıxarır. Mən sənin yerində olsaydım, yalnız son çarə kimi istifadə edərdim!

Yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək bir neçə problemi həll etməyə çalışaq:

1. Düzgün üçbucaqlı prizmada bütün kənarlar bir növ bərabərdir, düz xətlər arasındakı məsafəni tapın və.

2. Sağ ön formalı üçbucaqlı prizma nəzərə alınmaqla, kiminsə os-no-va-niyasının bütün kənarları Se-che-tiona bərabərdir, digər qabırğadan keçərək se-re-di-nu qabırğaları olur. yav-la-et-sya kvadrat-ra-tom. Find-di-te dis-sto-I-nie arasında düz-we-mi və

Mən birinciyə qərar verirəm, ona əsaslanaraq, siz ikinciyə qərar verin!

1. Prizma çəkirəm və xətləri qeyd edirəm və

C nöqtəsinin koordinatları: sonra

Nöqtə koordinatları

Vektor koordinatları

Nöqtə koordinatları

Vektor koordinatları

Vektor koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \sağ) = \sol| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \sağ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

və vektorları arasında çarpaz məhsulu nəzərdən keçiririk

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \sol| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \sağ| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

İndi onun uzunluğunu nəzərdən keçirək:

Cavab:

İndi ikinci tapşırığı diqqətlə yerinə yetirməyə çalışın. Bunun cavabı belə olacaq:.

Koordinatlar və vektorlar. Qısa təsvir və əsas düsturlar

Bir vektor istiqamətlənmiş seqmentdir. - vektorun başlanğıcı, - vektorun sonu.
Vektor və ya ilə işarələnir.

Mütləq dəyər vektor - vektoru təmsil edən seqmentin uzunluğu. kimi təyin edilmişdir.

Vektor koordinatları:

,
vektorun ucları haradadır \displaystyle a .

Vektorların cəmi: .

Vektorların məhsulu:

Vektorların nöqtə məhsulu:

Verilmiş M nöqtəsindən L xəttinə qədər olan məsafəni hesablamaq üçün istifadə edə bilərsiniz fərqli yollar. Məsələn, L xəttində ixtiyari M 0 nöqtəsini götürsək, onda müəyyən edə bilərik M 0 M vektorunun düz xəttin normal vektorunun istiqamətinə ortoqonal proyeksiyası.İşarəyə qədər bu proyeksiya tələb olunan məsafədir.

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni hesablamağın başqa bir yolu istifadə etməkdir düz xəttin normal tənliyi. L xətti normal (4.23) tənliyi ilə verilsin. M(x; y) nöqtəsi L xətti üzərində deyilsə, onda ortoqonal proyeksiya pr n OM radius-vektor L xəttinin vahid normal vektoru n istiqamətinə M nöqtəsi bərabərdir nöqtəli məhsul OM və n vektorları, yəni. x cosφ + y sinφ. Eyni proyeksiya başlanğıcdan düz xəttə qədər olan p məsafəsinin cəminə və bəzi δ qiymətinə bərabərdir (şək. 4.10). Mütləq qiymətdə δ dəyəri M nöqtəsindən düz xəttə qədər olan məsafəyə bərabərdir. Bu halda, M və O nöqtələri boyunca yerləşərsə, δ > 0 müxtəlif tərəflər düz xəttdən, δ isə M nöqtəsinin düz xəttdən kənara çıxması ilə.

M(x; y) nöqtəsi üçün L xəttindən kənarlaşma δ pr n OM proyeksiyası ilə başlanğıcdan xəttə qədər olan p məsafəsi arasındakı fərq kimi hesablanır (bax. Şəkil 4.10), yəni. δ \u003d x cosφ + y sinφ - səh.

Bu düsturdan istifadə etməklə M(x; y) nöqtəsindən normal tənliklə verilən L xəttinə p(M, L) məsafəni də almaq olar: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 İki bitişik bucaq 180°-ə qədər toplanır

Yuxarıdakı çevirmə prosedurunu nəzərə alaraq düz xəttin ümumi tənliyi onun normal tənliyinə daxil olaraq, M(x; y) nöqtəsindən L xəttinə qədər olan məsafənin ümumi tənliyi ilə verilmiş düsturunu alırıq:

Misal 4.8. A zirvəsindən çıxan ABC üçbucağının AH hündürlüyü, AM medianı və AD bissektrisasının ümumi tənliklərini tapaq. A(-1;-3), B(7; 3) üçbucağının təpələrinin koordinatları. ), C(1;7) məlumdur.

Əvvəlcə nümunənin şərtini aydınlaşdıraq: göstərilən tənliklər L AH, L AM və L AD xətlərinin tənliklərini ifadə edir ki, onların üzərində AH hündürlüyü, AM medianı və göstərilən üçbucağın AD biseksektoru yerləşir, müvafiq olaraq (Şəkil 4.11).

L AM xəttinin tənliyini tapmaq üçün medianın bölünməsi faktından istifadə edirik qarşı tərəf yarıda üçbucaq. BC tərəfinin ortasının koordinatlarını (x 1; y 1) tapdıqdan sonra x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, L üçün tənliyi yazırıq. AM şəklində iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Dönüşümlərdən sonra medianın ümumi tənliyini əldə edirik 8x - 5y - 7 \u003d 0./p>

L AH hündürlüyünün tənliyini tapmaq üçün hündürlüyün üçbucağın əks tərəfinə perpendikulyar olması faktından istifadə edirik. Buna görə də, BC vektoru AH hündürlüyünə perpendikulyardır və L AH xəttinin normal vektoru kimi seçilə bilər. Bu xəttin tənliyi (4.15) A nöqtəsinin koordinatlarını və L AH xəttinin normal vektorunu əvəz etməklə alınır:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Transformasiyalardan sonra 3x - 2y - 3 = 0 hündürlüyü üçün ümumi tənliyi əldə edirik.

L AD bissektrisasının tənliyini tapmaq üçün AD bissektrisasının L AB və L AC xətlərindən bərabər məsafədə olan N(x; y) nöqtələrinin çoxluğuna aid olmasından istifadə edirik. Bu çoxluğun tənliyi formaya malikdir

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

və A nöqtəsindən keçən və L AB və L AC xətləri arasındakı bucaqları yarıya bölən iki xətti müəyyən edir. İki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyindən istifadə edərək L AB və L AC xətlərinin ümumi tənliklərini tapırıq:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7) + 3)

Dönüşümlərdən sonra L AB əldə edirik: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Bir nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafəni hesablamaq üçün (4.27) düsturundan istifadə edərək (4.28) tənliyi, formada yazırıq

Modulları genişləndirərək onu çevirək:

Nəticədə iki xəttin ümumi tənliklərini alırıq

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Onlardan bissektrisa tənliyini seçmək üçün nəzərə alırıq ki, üçbucağın B və C təpələri arzu olunan xəttin əks tərəflərində yerləşir və buna görə də onların koordinatlarını L AD xəttinin ümumi tənliyinin sol tərəfində əvəz etməklə nəticə verməlidir. ilə dəyərlər müxtəlif əlamətlər. Uyğun bir tənliyi seçirik üst işarə, yəni.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

B nöqtəsinin koordinatlarını bu tənliyin sol tərəfində əvəz etmək olar mənfi məna, Çünki

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

və C nöqtəsinin koordinatları üçün eyni işarə alınır, çünki

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Buna görə də, B və C təpələri seçilmiş tənliklə düz xəttin eyni tərəfində yerləşir və buna görə də bissektrisa tənliyi

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Müstəvidə bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni hesablamaq üçün düstur

Ax + By + C = 0 xəttinin tənliyi verilmişdirsə, M(M x , M y) nöqtəsindən xəttə qədər olan məsafəni aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar.

Bir müstəvidə bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni hesablamaq üçün tapşırıqların nümunələri

Misal 1

3x + 4y - 6 = 0 xətti ilə M(-1, 3) nöqtəsi arasındakı məsafəni tapın.

Həll. Düsturda xəttin əmsallarını və nöqtənin koordinatlarını əvəz edin

Cavab: nöqtədən xəttə qədər olan məsafə 0,6-dır.

vektora perpendikulyar nöqtələrdən keçən müstəvi tənliyi Müstəvinin ümumi tənliyi

Verilmiş müstəviyə perpendikulyar sıfırdan fərqli vektor deyilir normal vektor (və ya bir sözlə, normal ) bu təyyarə üçün.

Koordinat fəzasında (düzbucaqlı koordinat sistemində) verilmiş olsun:

a) nöqtə ;

b) sıfırdan fərqli vektor (şəkil 4.8, a).

Bir nöqtədən keçən təyyarə üçün tənlik yazmaq tələb olunur vektora perpendikulyar Sübutun sonu.

İndi düşünün fərqli növlər müstəvidə düz xəttin tənlikləri.

1) Təyyarənin ümumi tənliyiP .

Tənliyin əldə edilməsindən belə çıxır ki, eyni zamanda A, B və C 0-a bərabər deyil (səbəbini izah edin).

Nöqtə təyyarəyə aiddir P yalnız onun koordinatları müstəvi tənliyini təmin edərsə. Əmsallardan asılı olaraq A, B, C və D təyyarə P bu və ya digər mövqe tutur.

- müstəvi koordinat sisteminin başlanğıcından keçir, - müstəvi koordinat sisteminin başlanğıcından keçmir;

- təyyarə oxa paraleldir X,

X,

- təyyarə oxa paraleldir Y,

- təyyarə oxa paralel deyil Y,

- təyyarə oxa paraleldir Z,

- təyyarə oxa paralel deyil Z.

Bu ifadələri özünüz sübut edin.

(6) tənliyi (5) tənliyindən asanlıqla alınır. Həqiqətən, nöqtə təyyarədə olsun P. Onda onun koordinatları tənliyi ödəyir. (5) tənliyindən (7) tənliyini çıxararaq və şərtləri qruplaşdıraraq (6) tənliyini əldə edirik. İndi müvafiq olaraq koordinatları olan iki vektoru nəzərdən keçirək. (6) düsturundan belə nəticə çıxır ki, onların skalyar hasilatı sıfıra bərabərdir. Buna görə vektor vektora perpendikulyardır Son vektorun başlanğıcı və sonu müvafiq olaraq müstəviyə aid nöqtələrdədir. P. Buna görə vektor müstəviyə perpendikulyardır P. Nöqtədən təyyarəyə qədər olan məsafə P, ümumi tənliyi olan düsturla müəyyən edilir Bu düsturun sübutu nöqtə ilə xətt arasındakı məsafənin düsturunun sübutuna tamamilə bənzəyir (bax. Şəkil 2).
düyü. 2. Müstəvi ilə düz xətt arasındakı məsafənin düsturunun törəməsinə.

Düzdür, məsafə d xətt və müstəvi arasındadır

təyyarədə uzanan nöqtə haradadır. Buradan 11 nömrəli mühazirədə olduğu kimi yuxarıdakı düstur alınır. Normal vektorları paralel olarsa, iki təyyarə paraleldir. Buradan iki müstəvinin paralellik şərtini alırıq - müstəvilərin ümumi tənliklərinin əmsalları. Normal vektorları perpendikulyar olduqda iki müstəvi perpendikulyardır, ona görə də ümumi tənlikləri məlumdursa, iki təyyarənin perpendikulyarlıq şərtini alırıq.

Künc f iki təyyarə arasında onların normal vektorları arasındakı bucağa bərabərdir (şək. 3-ə baxın) və buna görə də düsturla hesablana bilər.
Təyyarələr arasındakı bucağın müəyyən edilməsi.

(11)

Bir nöqtədən təyyarəyə qədər olan məsafə və onu necə tapmaq olar

Nöqtədən məsafə təyyarə nöqtədən bu müstəviyə endirilən perpendikulyarın uzunluğudur. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni tapmaq üçün ən azı iki yol var: həndəsi və cəbri.

Həndəsi üsullaəvvəlcə perpendikulyarın bir nöqtədən müstəviyə necə yerləşdiyini başa düşməlisiniz: bəlkə o, hansısa rahat müstəvidə yerləşir, hansısa rahat (yaxud belə olmayan) üçbucaqda hündürlükdür və ya bəlkə də bu perpendikulyar ümumiyyətlə hansısa piramidada hündürlükdür. .

Bu ilk və ən çətin mərhələdən sonra problem bir neçə spesifik planimetrik problemə (bəlkə də müxtəlif müstəvilərdə) bölünür.

Cəbr üsulu ilə nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni tapmaq üçün koordinat sisteminə daxil olmaq, nöqtənin koordinatlarını və müstəvi tənliyini tapmaq və sonra nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafənin düsturunu tətbiq etmək lazımdır.