Vektorun oxa mənfi proyeksiyası. Vektorların koordinat oxları üzrə proyeksiyaları

İndi vektorun oxa proyeksiyasının ən vacib konsepsiyasını təqdim etməyə hazırıq. Fiziki problemlərin həllində daim istifadə olunur.

7.5.1 Vektorun oxa proyeksiyası nədir?

~a vektoru və X oxu verilsin.Fərz edilir ki, X oxu seqmentlərin uzunluqlarını ölçməyə və onlara ~a vektorunun ölçüsünü təyin etməyə imkan verən şkala malikdir.

~a vektorunun əvvəlindən və sonundan X oxuna perpendikulyar düşürük; A və B bu perpendikulyarların əsasları olsun (şək. 7.26). AB seqmentinin uzunluğunu jABj ilə işarələyin.

düyü. 7.26. Vektorun oxa proyeksiyası

Tərif. ~a vektorunun X oxuna proyeksiya baltası AB seqmentinin uzunluğuna bərabərdir, əgər ~a vektoru ilə X oxu arasındakı " bucaq kəskin olarsa, artı işarəsi ilə alınır və mənfi işarə ilə alınır, müvafiq olaraq, əgər " kütdürsə (və ya açılmamış). Bucaq düzdürsə, ax = 0.

Bir sözlə, aşağıdakı düsturumuz var:

Şəkil 7.27 bütün bu imkanları təsvir edir.

Burada həmişə olduğu kimi, a = j~aj ~a vektorunun moduludur.

Həqiqətən, əgər "< 90 , то формула (7.10 ) даёт длину левого красного отрезка на рис.7.27 .

Əgər "\u003e 90, onda, Şəkil 7.27-nin orta hissəsində bucağa bitişik bucağa doğru hərəkət etsəniz, görürük ki, düstur (7.10) mənfi işarə ilə orta qırmızı seqmentin uzunluğunu verir (mənfiliyə görə). kosinusun) tam olaraq ehtiyacımız olan şeydir.

Nəhayət, əgər " = 90 , onda (7.10 ) düstur ax = 0 verir, çünki kosinus düz bucaq sıfıra bərabərdir. Bu, məhz belə olmalıdır (şəklin sağ tərəfi).

İndi fərz edək ki, x oxuna əlavə mənbə verilib ki, o, adi koordinat oxu olsun. Sonra proyeksiya baltası üçün daha bir düsturumuz var ki, o da Şəkil 7.27-nin hər üç halını ¾arxivləşdirilmiş ¿ formasında ehtiva edir.

Nəticə 2. X1 və x2 müvafiq olaraq ~a vektorunun başlanğıcının və sonunun koordinatları olsun. Sonra proyeksiya baltası düsturla hesablanır:

Həqiqətən, gəlin Şəklə baxaq. 7.28. Bu müsbət proyeksiya halıdır. Şəkildən aydın olur ki, x2 x1 fərqi qırmızı seqmentin uzunluğuna bərabərdir və bu halda bu uzunluq məhz proyeksiya baltasıdır.

düyü. 7.28. Vektorun oxa proyeksiyası. Nəticə 2

Qalan iki halda nə olacaq (balta< 0 и ax = 0)? Убедитесь, пожалуйста, самостоятельно, что формула (7.11 ) и для них остаётся справедливой.

7.5.2 Vektordan Oxa Proyeksiya Xüsusiyyətləri

Bir vektorun oxa proyeksiyası əməliyyatı vektor toplama və skalyar-vektor vurma əməliyyatları ilə əla uyğunlaşır. Məhz, x oxundan asılı olmayaraq, aşağıdakı iki dizayn xassəsinə malikdir.

1. ~a + b vektorunun X oxuna proyeksiyası ax + bx -dir.

Qısa şifahi tərtib: vektorların cəminin proyeksiyası onların proyeksiyalarının cəminə bərabərdir. Bu, iki yox, istənilən sayda vektorun cəminə aiddir.

Əvvəla, bu ifadəni şəkildə təsvir edirik. Gəlin əsrin əvvəlini yerləşdirək -

torus b-nin ~a vektorunun sonuna qədər və ~c = ~a + b olsun (şək. 7.29).

Üstündə bu rəqəm aydın görünür ki, cx proyeksiyası qırmızı və yaşıl seqmentlərin uzunluqlarının cəminə bərabərdir, yəni sadəcə ax+bx.

Düzdür, şək. 7.29 ax > 0 və bx > 0 halı üçün hazırlanmışdır. İddiamızı bir anda sübut etmək üçün mümkün dəyərlər proyeksiyalar ax və bx , biz (7.11) düsturuna əsasən aşağıdakı universal mülahizələri həyata keçirəcəyik.

Bu təyinatlar Şəkildə də mövcuddur. 7.29.

(7.11 ) düsturu ilə bizdə var: ax = x2 x1 , bx = x3 x2 , cx = x3 x1 . İndi bunu görmək asandır:

ax + bx = (x2 x1 ) + (x3 x2 ) = x3 x1 = cx :

İlk proyeksiya xassəmiz beləliklə sübut olunur.

2. ~a vektorunun X oxuna proyeksiyası a-dır x .

Verbal tərtib: skalyar və vektorun hasilinin proyeksiyası skalyarın hasilinə və vektorun proyeksiyasına bərabərdir.

Yenidən bir illüstrasiya ilə başlayaq. Şəkil 7.30-un sol tərəfində müsbət proyeksiya baltası olan ~a vektoru göstərilir.

düyü. 7.30. ~a vektorunun proyeksiyası baltaya bərabərdir

Əgər ~a vektorunu 2-yə vursanız, onun uzunluğu ikiqat artacaq, vektorun proyeksiyası da ikiqat artacaq (işarəni qoruyub saxlayaraq) və 2ax-a bərabər olacaq.

Əgər ~a vektorunu 2-yə vursaq, onda onun uzunluğu yenidən ikiqat artacaq, lakin istiqamət tərsinə olacaq. Proyeksiya işarəni dəyişəcək və 2ax-a bərabər olacaq.

Beləliklə, ikinci mülkün mahiyyəti aydındır və indi biz ciddi bir sübut verə bilərik.

Beləliklə, ~ . X x olduğunu sübut etməyə gedirik. b = ~a b = a

Bunun üçün (7.10) düsturundan istifadə edək. Bizdə:

ax = a cos "; bx = b cos ;

vektor ilə ox arasındakı bucaq və ~ vektoru ilə ox arasındakı bucaq haradadır. İstisna

Üstəlik, skalyarın vektorla vurulmasının tərifinə görə:

Beləliklə:

bx = j ja cos:

Əgər, onda j j ; bu halda ~ vektoru vektorla birgə yönləndirilir və buna görə də.

> 0 = b~a = "

bx = a cos" = ax:

Əgər, onda j j ; bu halda ~ vektoru vektor istiqamətində əksdir

ru ~a. Bunu anlamaq asandır = " (məsələn, əgər " kəskindirsə, yəni ona bitişik kütdürsə və əksinə). Sonra bizdə:

bx = ()a cos(") = ()a(cos ") = a cos " = ax :

Beləliklə, bütün hallarda arzu olunan əlaqə əldə edilir və bununla da proyeksiyanın ikinci xassəsi tam sübuta yetirilir.

7.5.3 Fizikada dizayn əməliyyatı

Dizayn əməliyyatının sübut edilmiş xüsusiyyətləri bizim üçün çox vacibdir. Mexanikada, məsələn, biz onları hər addımda istifadə edəcəyik.

Beləliklə, dinamikada bir çox məsələlərin həlli Nyutonun ikinci qanununun vektor şəklində yazılması ilə başlayır. Məsələn, ipə asılmış m kütləli sarkac götürək. Sarkaç üçün Nyutonun ikinci qanunu belə olacaq:

Nyutonun ikinci qanununu vektor şəklində yazdıqdan sonra onun proyeksiyasına davam edirik

Vektor bərabərliyindən (7.12 ) skalyar bərabərliyə (7.13 ) keçərkən hər iki dizayn xassəsindən istifadə olunur! Məhz 1-ci xassə görə vektorların cəminin proyeksiyasını onların proyeksiyalarının cəmi kimi yazdıq; xassə 2 m~a və m~g vektorlarının proyeksiyalarını max və mgx kimi yazmağa imkan verir.

Beləliklə, proyeksiya əməliyyatının hər iki xassəsi vektordan skalyar bərabərliyə keçidi təmin edir və bu keçid formal və düşünmədən həyata keçirilə bilər: vektorların qeydində oxları atırıq və yerinə proyeksiya indekslərini qoyuruq. (7.12) tənliyindən (7.13) tənliyinə keçid məhz belə görünür.

Sağ a b = |b|cos(a,b) və ya

Burada a b vektorların skalyar hasilidir, |a| - a vektorunun modulu.

Təlimat. Pp a b vektorunun proyeksiyasını tapmaq üçün onlayn rejim a və b vektorlarının koordinatlarını təyin etməlisiniz. Bu halda vektor müstəvidə (iki koordinat) və fəzada (üç koordinat) verilə bilər. Nəticədə həll Word faylında saxlanılır. Vektorlar nöqtələrin koordinatları vasitəsilə verilirsə, bu kalkulyatordan istifadə etməlisiniz.

Vektor proyeksiyasının təsnifatı

Vektor proyeksiyasının tərifinə görə proyeksiyaların növləri

Koordinat sistemi üzrə proyeksiyaların növləri

Vektor proyeksiyasının xassələri

1. Vektorun həndəsi proyeksiyası vektordur (istiqaməti var).
2. Vektorun cəbri proyeksiyası ədəddir.

Vektor proyeksiya teoremləri

Sağ a b = |b|cos(a,b)

Vektor proyeksiyalarının növləri

1. OX oxuna proyeksiya.
2. OY oxuna proyeksiya.
3. vektor üzərində proyeksiya.

OX oxuna proyeksiya	OY oxuna proyeksiya	Vektora proyeksiya
Əgər A'B' vektorunun istiqaməti OX oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti OY oxunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti NM vektorunun istiqaməti ilə üst-üstə düşürsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası müsbət işarəyə malikdir.
Əgər vektorun istiqaməti OX oxunun istiqamətinə əks olarsa, A'B' vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti OY oxunun istiqamətinə əks olarsa, A'B' vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.	Əgər A'B' vektorunun istiqaməti NM vektorunun istiqamətinə əks olarsa, A'B' vektorunun proyeksiyası mənfi işarəyə malikdir.
Əgər AB vektoru OX oxuna paraleldirsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası AB vektorunun moduluna bərabərdir.	Əgər AB vektoru OY oxuna paraleldirsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası AB vektorunun moduluna bərabərdir.	Əgər AB vektoru NM vektoruna paraleldirsə, onda A'B' vektorunun proyeksiyası AB vektorunun moduluna bərabərdir.
Əgər AB vektoru OX oxuna perpendikulyardırsa, onda A'B' proyeksiyası sıfıra bərabərdir (sıfır vektor).	Əgər AB vektoru OY oxuna perpendikulyardırsa, onda A'B' proyeksiyası sıfıra bərabərdir (null vektor).	Əgər AB vektoru NM vektoruna perpendikulyardırsa, onda A'B' proyeksiyası sıfıra bərabərdir (null vektor).

1. Sual: Vektorun proyeksiyasının mənfi işarəsi ola bilərmi? Cavab: Bəli, vektor proyeksiyaları mənfi ola bilər. Bu halda vektor əks istiqamətə malikdir (OX oxunun və AB vektorunun necə yönəldildiyinə baxın)
2. Sual: Vektorun proyeksiyası vektorun modulu ilə üst-üstə düşə bilərmi? Cavab: Bəli, ola bilər. Bu halda vektorlar paraleldir (və ya eyni xətt üzərində yerləşir).
3. Sual: Vektorun proyeksiyası sıfıra bərabər ola bilərmi (sıfır vektor). Cavab: Bəli, ola bilər. Bu halda vektor müvafiq oxa (vektor) perpendikulyardır.

Nümunə 1. Vektor (şəkil 1) OX oxu ilə 60 o bucaq əmələ gətirir (a vektoru ilə verilir). Əgər OE miqyas vahididirsə, onda |b|=4, deməli .

Həqiqətən, vektorun uzunluğu ( həndəsi proyeksiya b) 2-yə bərabərdir və istiqamət OX oxunun istiqaməti ilə eynidir.

Misal 2. Vektor (şəkil 2) OX oxu ilə bucaq əmələ gətirir (a vektoru ilə) (a,b) = 120 o . Uzunluq |b| b vektoru 4-ə bərabərdir, ona görə də pr a b=4 cos120 o = -2.

Həqiqətən, vektorun uzunluğu 2-ə bərabərdir və istiqamət oxun istiqamətinə əksdir.

proyeksiya oxda olan vektor vektor adlanır ki, bu vektorun bu ox üzərindəki skalyar proyeksiyasını və bu oxun vahid vektorunu vurmaqla əldə edilir. Məsələn, əgər x olarsa skalyar proyeksiya vektor a x oxunda, sonra x i- onun bu ox üzrə vektor proyeksiyası.

İşarə et vektor proyeksiyası vektorun özü kimi, lakin vektorun proqnozlaşdırıldığı oxun indeksi ilə. Beləliklə, vektorun vektor proyeksiyası a x oxunda işarələyin a x ( yağlı vektoru və ox adının alt simvolunu bildirən hərf) və ya (vektoru bildirən qalın olmayan hərf, lakin yuxarıda ox (!) və oxun adının alt simvolu).

Skalyar proyeksiya ox başına vektor deyilir nömrə, mütləq dəyəri vektorun başlanğıc nöqtəsi və son nöqtəsi proyeksiyaları arasında qapalı oxun seqmentinin uzunluğuna (seçilmiş miqyasda) bərabərdir. Adətən ifadə yerinə skalyar proyeksiya sadəcə demək - proyeksiya. Proyeksiya proqnozlaşdırılan vektorla eyni hərflə (normal, qalın olmayan yazıda), bu vektorun proyeksiya edildiyi oxun adının alt işarəsi (adətən) ilə işarələnir. Məsələn, vektor x oxuna proyeksiya edilirsə a, onda onun proyeksiyası x işarəsi verilir. Eyni vektoru başqa oxa proyeksiya edərkən, ox Y olarsa, onun proyeksiyası y kimi işarələnəcək.

Proyeksiyanı hesablamaq üçün vektor bir oxda (məsələn, X oxu) başlanğıc nöqtəsinin koordinatını onun son nöqtəsinin koordinatından çıxarmaq lazımdır, yəni
və x \u003d x k - x n.
Bir vektorun oxa proyeksiyası ədəddir. Bundan əlavə, əgər x k dəyəri x n dəyərindən böyükdürsə, proyeksiya müsbət ola bilər,

x k-nin qiyməti x n-in dəyərindən kiçik olarsa mənfi

və x k x n-ə bərabərdirsə sıfıra bərabərdir.

Vektorun oxa proyeksiyasını vektorun modulunu və onun həmin oxla yaratdığı bucağı bilməklə də tapmaq olar.

Şəkildən a x = a Cos α olduğunu görmək olar

yəni vektorun oxa proyeksiyası vektorun modulu ilə oxun istiqaməti ilə bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. vektor istiqaməti. Əgər bucaq kəskindirsə, onda
Cos α > 0 və a x > 0, əgər kütdürsə, o zaman kosinus küt bucaq mənfidir və vektorun oxa proyeksiyası da mənfi olacaq.

Oxdan saat əqrəbinin əksinə hesablanan açılar müsbət, istiqamətdə isə mənfi hesab olunur. Lakin kosinus cüt funksiya olduğundan, yəni Cos α = Cos (− α) proyeksiyaları hesablayarkən bucaqları həm saat əqrəbinin, həm də saat əqrəbinin əksinə hesablamaq olar.

Vektorun oxa proyeksiyasını tapmaq üçün bu vektorun modulunu oxun istiqaməti ilə vektorun istiqaməti arasındakı bucağın kosinusu ilə vurmaq lazımdır.

Vektor koordinatları verilmiş vektora bərabər seçilmiş koordinat sistemində bazis vektorlarının yeganə mümkün xətti kombinasiyasının əmsallarıdır.

Ox istiqamətdir. Deməli, oxa və ya istiqamətlənmiş xəttə proyeksiya eyni hesab olunur. Proyeksiya cəbri və həndəsi ola bilər. Həndəsi termində vektorun oxa proyeksiyası vektor, cəbri dildə isə ədəd kimi başa düşülür. Yəni vektorun ox üzərində proyeksiyası və vektorun ox üzərində ədədi proyeksiyası anlayışlarından istifadə olunur.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Əgər L oxumuz və sıfırdan fərqli A B → vektorumuz varsa, onda onun A 1 və B 1 nöqtələrinin proyeksiyalarını ifadə edən A 1 B 1 ⇀ vektorunu qura bilərik.

A 1 B → 1 A B → vektorunun L üzərinə proyeksiyası olacaq.

Tərif 1

Vektorun oxa proyeksiyası vektor adlanır ki, onun başlanğıcı və sonu verilmiş vektorun başlanğıcının və sonunun proyeksiyalarıdır. n p L A B → → A B → -nin L üzərinə proyeksiyasını qeyd etmək adətdir. L üzərində proyeksiya qurmaq üçün perpendikulyarları L üzərinə atın.

Misal 1

Bir vektorun oxa proyeksiyasına misal.

O x y koordinat müstəvisində M 1 (x 1, y 1) nöqtəsi göstərilmişdir. M 1 nöqtəsinin radius vektorunun təsviri üçün O x və O y üzərində proyeksiyalar qurmaq lazımdır. (x 1 , 0) və (0 , y 1) vektorlarının koordinatlarını alaq.

Əgər biz a →-nin sıfırdan fərqli b → üzərinə proyeksiyasından və ya a →-nin b → istiqamətinə proyeksiyasından gedirsə, onda biz a →-nin b → istiqamətinin üst-üstə düşdüyü oxa proyeksiyasını nəzərdə tuturuq. b → ilə təyin olunan xəttə a → proyeksiyası n p b → a → → işarəsi ilə göstərilir. Məlumdur ki, bucaq a → ilə b → arasında olduqda, n p b → a → → və b → koordinatlı hesab edə bilərik. Bucaq küt olduqda, n p b → a → → və b → əks istiqamətə yönəldilir. a → və b → perpendikulyarlıq vəziyyətində və a → sıfırdır, a → b → istiqaməti boyunca proyeksiyası sıfır vektordur.

Vektorun oxa proyeksiyasının ədədi xarakteristikası vektorun verilmiş oxa ədədi proyeksiyasıdır.

Tərif 2

Vektorun oxa ədədi proyeksiyası verilmiş vektorun uzunluğunun və verilmiş vektorla oxun istiqamətini təyin edən vektor arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabər olan ədədi çağırın.

A B → -nin L üzərinə ədədi proyeksiyası n p L A B →, a → isə b → - n p b → a → ilə işarələnir.

Formula əsaslanaraq n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ alırıq, buradan a → a → vektorunun uzunluğu, a ⇀ , b → ^ a → və vektorları arasındakı bucaqdır. b → .

Ədədi proyeksiyanın hesablanması düsturu alırıq: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . O, məlum olan a → və b → uzunluqları və onlar arasındakı bucaq üçün tətbiq edilir. Düstur a → və b → məlum koordinatları üçün tətbiq edilir, lakin onun sadələşdirilmiş versiyası mövcuddur.

Misal 2

Uzunluğu a → 8-ə bərabər və aralarındakı bucaq 60 dərəcə olan b → istiqamətində düz xəttə a → ədədi proyeksiyasını tapın. Şərtlə bizdə a ⇀ = 8 , a ⇀ , b → ^ = 60 ° var. Beləliklə, biz ədədi dəyərləri düsturla əvəz edirik n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Cavab: 4.

Məlum cos ilə (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , bizdə a → , b → kimi skalyar məhsul a → və b → . n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ düsturundan çıxış edərək b → vektoru boyunca yönəlmiş a → ədədi proyeksiyasını tapıb n p b → a → = a → , b → b → ala bilərik. Düstur bəndin əvvəlində verilmiş tərifə bərabərdir.

Tərif 3

a → vektorunun b → istiqamətində üst-üstə düşən oxa ədədi proyeksiyası a → və b → vektorlarının skalyar hasilinin b → uzunluğuna nisbətidir. n p b → a → = a → , b → b → düsturu a → və b → koordinatları məlum olan b → istiqamətində üst-üstə düşən düz xəttə a → ədədi proyeksiyasını tapmaq üçün tətbiq edilir.

Misal 3

Verilmiş b → = (- 3 , 4) . L üzərinə a → = (1 , 7) ədədi proyeksiyasını tapın.

Qərar

Koordinat müstəvisində n p b → a → = a → , b → b → formasına malikdir n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , a → = (a x , a y ) ilə və b → = b x , b y . a → vektorunun L oxuna ədədi proyeksiyasını tapmaq üçün sizə lazımdır: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 = 1 (- 3) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

Cavab: 5.

Misal 4

a → = - 2 , 3 , 1 və b → = (3 , - 2 , 6) olan b → istiqaməti ilə üst-üstə düşən a → L üzərinə proyeksiyanı tapın. Üç ölçülü boşluq verilir.

Qərar

a → = a x , a y , a z və b → = b x , b y , b z verilərək skalyar hasilini hesablayın: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 düsturu ilə b → uzunluğunu tapırıq. Buradan belə çıxır ki, a → ədədi proyeksiyasını təyin etmək üçün düstur belə olacaq: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Ədədi dəyərləri əvəz edirik: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Cavab: - 6 7 .

a → on L ilə a → on L proyeksiyasının uzunluğu arasındakı əlaqəyə baxaq. L oxunu L üzərində bir nöqtədən a → və b → əlavə edərək çəkirik, bundan sonra a → ucundan L-ə perpendikulyar xətt çəkirik və L üzərinə proyeksiya çəkirik. 5 şəkil varyasyonu var:

Birinci a → = n p b → a → → a → = n p b → a → → , deməli, n p b → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

İkinci hal n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , belə ki, n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → -nin istifadəsini nəzərdə tutur.

Üçüncü hal izah edir ki, n p b → a → → = 0 → n p b ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, onda n p b → a → → = 0 və n p b → alırıq. a → = 0 = n p b → a → → .

Dördüncü halda n p b → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , n p b → a → = a → cos (a → , b) göstərir → ^) = - n p b → a → → .

Beşinci halda a → = n p b → a → → ifadəsini göstərir ki, bu da a → = n p b → a → → deməkdir, deməli, bizdə n p b → a → = a → cos a → , b → ^ = a → cos 180 ° = - a → = - n p b → a → .

Tərif 4

a → vektorunun L oxuna b → kimi yönəldilmiş ədədi proyeksiyasının mənası belədir:

• a → vektorunun L üzərinə proyeksiyasının uzunluğu, bir şərtlə ki, a → və b → arasındakı bucaq 90 dərəcədən az və ya 0-a bərabər olsun: n p b → a → = n p b → a → → 0 ≤ şərti ilə (a → , b →) ^< 90 ° ;
• a → və b → perpendikulyarlıq şərti ilə sıfır: (a → , b → ^) = 90 ° olduqda n p b → a → = 0;
• a → və b → : n p b → a → = - n p b → a → → 90° şərti ilə vektorlarının küt və ya yastı bucağı olduqda a → proyeksiyasının uzunluğu L dəfə -1< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Misal 5

a → L üzərinə proyeksiyanın uzunluğunu nəzərə alaraq, 2-yə bərabərdir. Bucağın 5 π 6 radian olduğunu nəzərə alaraq a → ədədi proyeksiyasını tapın.

Qərar

Bu bucağın ensiz olması şərtindən görünür: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Cavab: - 2.

Misal 6

a → vektorunun uzunluğu 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) 30 dərəcə bucaqlı O x y z müstəvisi verilmişdir. L oxuna a → proyeksiyasının koordinatlarını tapın.

Qərar

Əvvəlcə a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 vektorunun ədədi proyeksiyasını hesablayırıq.

Şərtə görə bucaq kəskindir, onda a → = ədədi proyeksiya a → : n p L a → = n p L a → → = 9 vektorunun proyeksiyasının uzunluğudur. Bu hal göstərir ki, n p L a → → və b → vektorları birgə yönləndirilir, bu isə bərabərliyin doğru olduğu t ədədinin olduğunu bildirir: n p L a → → = t · b → . Buradan görürük ki, n p L a → → = t b → , ona görə də t parametrinin qiymətini tapa bilərik: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3.

Sonra a → vektorunun L oxuna proyeksiyasının koordinatları ilə n p L a → → = 3 b → b → = (- 2 , 1 , 2) , burada dəyərləri 3-ə vurmaq lazımdır. Bizdə n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) var. Cavab: (- 6 , 3 , 6) .

Vektor kollinearlığının vəziyyəti haqqında əvvəllər öyrənilmiş məlumatları təkrarlamaq lazımdır.

Mətndə səhv görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Müxtəlif xətlərin və səthlərin müstəviyə proyeksiyası cisimlərin vizual təsvirini rəsm şəklində qurmağa imkan verir. Proyeksiya edən şüaların proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olduğu düzbucaqlı proyeksiyanı nəzərdən keçirəcəyik. VEKTORUN TƏYYARƏDƏ PROYEKSİYASI vektoru nəzərdən keçirin \u003d (Şəkil 3.22), əvvəlindən və sonundan düşmüş perpendikulyarlar arasında bağlanır.

düyü. 3.23. Vektorun oxa vektor proyeksiyası.

Vektor cəbrində çox vaxt vektoru AXIS-ə, yəni müəyyən oriyentasiyaya malik düz xəttə proyeksiya etmək lazımdır. Vektor və L oxu eyni müstəvidə yerləşirsə, belə dizayn asandır (şək. 3.23). Ancaq bu şərt yerinə yetirilmədikdə vəzifə çətinləşir. Vektor və ox eyni müstəvidə yatmayan zaman vektorun oxa proyeksiyasını quraq (şək. 3.24).

düyü. 3.24. Bir vektorun oxa proyeksiyası
ümumiyyətlə.

Vektorun ucları vasitəsilə L xəttinə perpendikulyar müstəvilər çəkirik. Bu xəttlə kəsişən yerdə bu müstəvilər iki A1 və B1 nöqtəsini - vektoru təyin edir, biz bu vektorun vektor proyeksiyası adlandıracağıq. Vektor proyeksiyasının tapılması problemi vektor ox ilə eyni müstəviyə gətirilərsə, daha sadə şəkildə həll edilə bilər, çünki bu, vektor cəbrində sərbəst vektorlara baxıldığından mümkündür.

Vektor proyeksiyası ilə yanaşı, vektor proyeksiyası L oxunun oriyentasiyası ilə üst-üstə düşərsə, vektor proyeksiyasının moduluna bərabər olan SKALAR PROYEKSİYA da var və vektor proyeksiyası və L oxu əks istiqamətə malikdir. Skayar proyeksiya ilə işarələnəcək:

Vektor və skalyar proyeksiyalar praktikada həmişə terminoloji cəhətdən ciddi şəkildə ayrılmır. Adətən "vektor proyeksiyası" termini istifadə olunur, bununla vektorun skalyar proyeksiyası nəzərdə tutulur. Qərar verərkən bu anlayışları aydın şəkildə ayırmaq lazımdır. Müəyyən edilmiş ənənəyə riayət edərək, skalyar proyeksiyanı nəzərdə tutan "vektor proyeksiyası" və "vektor proyeksiyası" - müəyyən edilmiş mənaya uyğun olaraq istifadə edəcəyik.

Verilmiş vektorun skalyar proyeksiyasını hesablamağa imkan verən teoremi sübut edək.

TEOREM 5. Vektorun L oxuna proyeksiyası onun modulunun hasilinə və vektorla ox arasındakı bucağın kosinusuna bərabərdir, yəni.

(3.5)

düyü. 3.25. Vektor və skalyarın tapılması
L oxunda vektor proyeksiyaları
(və L oxu bərabər yönümlüdür).

SÜBUT. Bucağı tapmağa imkan verən ilkin konstruksiyaları yerinə yetirək G Vektorla L oxu arasında.Bunun üçün L oxuna paralel və vektorun başlanğıcı O nöqtəsindən keçən MN düz xəttini çəkirik (şəkil 3.25). Bucaq istədiyiniz bucaq olacaq. A və O nöqtələri vasitəsilə L oxuna perpendikulyar iki müstəvi çəkək. Alırıq:

L oxu ilə MN xətti paralel olduğundan.

L vektorunun və oxunun qarşılıqlı yerləşməsinin iki halını qeyd edirik.

1. Vektor proyeksiyası və L oxu bərabər yönümlü olsun (şək. 3.25). Sonra müvafiq skalyar proyeksiya .

2. Qoy və L orientasiya olunsun müxtəlif tərəflər(Şəkil 3.26).

düyü. 3.26. L oxunda vektorun vektor və skalyar proyeksiyalarının tapılması (və L oxu əks istiqamətlərə yönəldilmişdir).

Beləliklə, teoremin təsdiqi hər iki halda etibarlıdır.

TEOREM 6. Vektorun başlanğıcı L oxunun müəyyən nöqtəsinə endirilirsə və bu ox s müstəvisində yerləşirsə, vektor s müstəvisinə vektor proyeksiyası ilə bucaq, vektoru ilə isə bucaq əmələ gətirir. L oxuna proyeksiya, əlavə olaraq, vektor proyeksiyaları öz aralarında bir bucaq meydana gətirirlər