Vektorlar arasındakı bucağın kosinusunun hesablanması düsturu. Vektorların nöqtə hasili

İki vektor arasındakı bucaq, :

İki vektor arasındakı bucaq kəskin olarsa, onların nöqtə hasilatı müsbətdir; vektorlar arasındakı bucaq kütdürsə, bu vektorların skalyar hasili mənfi olur. Sıfırdan fərqli iki vektorun skalyar hasili yalnız və yalnız bu vektorlar ortoqonal olduqda sıfırdır.

Məşq edin. vektorları arasındakı bucağı tapın

Qərar.İstədiyiniz bucağın kosinusu

16. Düz xətlər, düz xətt və müstəvi arasındakı bucağın hesablanması

Xətt və müstəvi arasındakı bucaq bu xətti kəsən və ona perpendikulyar olmayan xətt və onun bu müstəviyə proyeksiyası arasındakı bucaqdır.

Xəttlə müstəvi arasındakı bucağın müəyyən edilməsi belə nəticəyə gəlməyə imkan verir ki, xətt və müstəvi arasındakı bucaq iki kəsişən xətt arasındakı bucaqdır: xəttin özü və onun müstəviyə proyeksiyası. Deməli, xəttlə müstəvi arasındakı bucaq iti bucaqdır.

Perpendikulyar xəttlə müstəvi arasındakı bucaq bərabər, paralel xəttlə müstəvi arasındakı bucaq isə ya heç təyin olunmur, ya da -yə bərabər hesab edilir.

§ 69. Düz xətlər arasındakı bucağın hesablanması.

Fəzada iki düz xətt arasındakı bucağın hesablanması məsələsi müstəvidə olduğu kimi həll olunur (§ 32). Xətlər arasındakı bucağı φ ilə işarələyin l 1 və l 2 , və ψ vasitəsilə - istiqamət vektorları arasındakı bucaq a və b bu düz xətlər.

Sonra əgər

ψ 90° (Şəkil 206.6), sonra φ = 180° - ψ. Aydındır ki, hər iki halda cos φ = |cos ψ| bərabərliyi doğrudur. Formula görə (1) § 20 bizdə var

deməli,

Xətlər onların kanonik tənlikləri ilə verilsin

Sonra düsturdan istifadə edərək xətlər arasında φ bucağı müəyyən edilir

Xətlərdən biri (və ya hər ikisi) qeyri-kanonik tənliklərlə verilirsə, bucağı hesablamaq üçün bu xətlərin istiqamət vektorlarının koordinatlarını tapmalı və sonra (1) düsturundan istifadə etməlisiniz.

17. Paralel xətlər, Paralel xətlər haqqında teoremlər

Tərif. Bir müstəvidə iki xətt deyilir paraleləgər onların ortaq nöqtələri yoxdursa.

Üç ölçülü iki xətt deyilir paraleləgər onlar eyni müstəvidə yerləşirlərsə və ortaq nöqtələri yoxdursa.

İki vektor arasındakı bucaq.

Nöqtə məhsulunun tərifindən:

İki vektorun ortoqonallıq şərti:

İki vektor üçün kollinearlıq şərti:

5 - tərifindən irəli gəlir. Həqiqətən, vektorun məhsulunun ədədlə tərifindən belə çıxır. Buna görə də vektor bərabərliyi qaydasına əsaslanaraq , , , yazırıq ki, bu da nəzərdə tutur . Lakin vektorun ədədə vurulması nəticəsində yaranan vektor vektora kollineardır.

Vektordan vektora proyeksiya:

Misal 4. Verilmiş xal , , , .

Skayar hasilini tapın.

Qərar. vektorların koordinatları ilə verilmiş skalyar hasilinin düsturu ilə tapırıq. kimi

, ,

Misal 5 Verilmiş xal , , , .

Proyeksiya tapın.

Qərar. kimi

, ,

Proyeksiya düsturuna əsasən, biz var

Misal 6 Verilmiş xal , , , .

və vektorları arasındakı bucağı tapın.

Qərar. Qeyd edək ki, vektorlar

, ,

koordinatları mütənasib olmadığı üçün kollinear deyil:

Bu vektorlar da perpendikulyar deyillər, çünki onların nöqtə hasili .

tapaq,

Enjeksiyon düsturdan tapın:

Misal 7 Hansı vektorlar üçün və kollinear.

Qərar. Kollinearlıq vəziyyətində vektorların müvafiq koordinatları və mütənasib olmalıdır, yəni:

Buradan və .

Misal 8. Vektorun hansı qiymətində olduğunu müəyyənləşdirin və perpendikulyardırlar.

Qərar. Vektor və onların nöqtə hasilatı sıfır olduqda perpendikulyardır. Bu şərtdən alırıq: . Yəni, .

Misal 9. Tapmaq , əgər , , .

Qərar. Skayar məhsulun xüsusiyyətlərinə görə bizdə:

Misal 10. və vektorları arasındakı bucağı tapın, burada və - vahid vektorları və vektorları arasındakı bucaq 120o-ya bərabərdir.

Qərar. Bizdə: , ,

Nəhayət bizdə: .

5 B. vektor məhsulu.

Tərif 21.vektor sənəti vektordan vektora vektor deyilir və ya aşağıdakı üç şərtlə müəyyən edilir:

1) Vektorun modulu , burada vektorlar arasındakı bucaq və , yəni. .

Buradan belə çıxır ki, çarpaz məhsulun modulu sayca vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın sahəsinə və tərəflərə bərabərdir.

2) Vektor vektorların hər birinə perpendikulyardır və ( ; ), yəni. vektorları üzərində qurulmuş paraleloqramın müstəvisinə perpendikulyar.

3) Vektor elə yönəldilmişdir ki, onun ucundan baxıldıqda vektordan vektora ən qısa dönüş saat əqrəbinin əksinə olacaq ( , , vektorları sağ üçlük təşkil edir).

Vektorlar arasındakı bucaqları necə hesablamaq olar?

Həndəsəni öyrənərkən vektorlar mövzusunda çoxlu suallar yaranır. Vektorlar arasındakı bucaqları tapmaq lazım olduqda şagird xüsusi çətinliklərlə üzləşir.

Əsas şərtlər

Vektorlar arasındakı bucaqları nəzərdən keçirməzdən əvvəl vektorun tərifi və vektorlar arasındakı bucaq anlayışı ilə tanış olmaq lazımdır.

Vektor istiqaməti olan seqmentdir, yəni başlanğıcı və sonunun müəyyən edildiyi seqmentdir.

Bir müstəvidə ortaq mənşəli iki vektor arasındakı bucaq, vektorlardan birini ümumi bir nöqtə ətrafında, istiqamətlərinin üst-üstə düşdüyü mövqeyə köçürmək tələb olunan bucaqların daha kiçikidir.

Həll formulu

Vektorun nə olduğunu və bucağının necə təyin olunduğunu başa düşdükdən sonra vektorlar arasındakı bucağı hesablaya bilərsiniz. Bunun üçün həll formulu olduqca sadədir və onun tətbiqinin nəticəsi bucağın kosinusunun dəyəri olacaqdır. Tərifinə görə, vektorların skalyar hasili ilə onların uzunluqlarının hasilinə bərabərdir.

Vektorların skalyar hasili çarpan vektorlarının uyğun koordinatlarının bir-birinə vurulan cəmi kimi qəbul edilir. Vektorun uzunluğu və ya modulu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi hesablanır.

Bucağın kosinusunun dəyərini aldıqdan sonra bir kalkulyatordan və ya triqonometrik cədvəldən istifadə edərək bucağın özünün dəyərini hesablaya bilərsiniz.

Misal

Vektorlar arasındakı bucağı necə hesablayacağınızı anladıqdan sonra müvafiq məsələnin həlli sadə və sadə olur. Nümunə olaraq, bucağın böyüklüyünü tapmaq üçün sadə məsələni nəzərdən keçirək.

Əvvəla, həll üçün lazım olan vektorların uzunluqlarının və onların skalyar məhsulunun dəyərlərini hesablamaq daha rahat olacaqdır. Yuxarıdakı təsvirdən istifadə edərək, əldə edirik:

Alınan dəyərləri düsturla əvəz edərək, istədiyiniz bucağın kosinusunun dəyərini hesablayırıq:

Bu rəqəm beş ümumi kosinus dəyərlərindən biri deyil, ona görə də bucağın dəyərini əldə etmək üçün kalkulyatordan və ya Bradis triqonometrik cədvəlindən istifadə etməli olacaqsınız. Lakin vektorlar arasındakı bucağı əldə etməzdən əvvəl əlavə mənfi işarədən xilas olmaq üçün düstur sadələşdirilə bilər:

Dəqiqliyi qorumaq üçün son cavabı bu formada buraxmaq olar və ya bucağın qiymətini dərəcə ilə hesablaya bilərsiniz. Bradis cədvəlinə görə onun dəyəri təxminən 116 dərəcə 70 dəqiqə olacaq və kalkulyator 116,57 dərəcə dəyərini göstərəcək.

n ölçülü fəzada bucağın hesablanması

Üçölçülü fəzada iki vektoru nəzərdən keçirərkən, əgər onlar eyni müstəvidə deyilsə, hansı bucaqdan bəhs etdiyimizi başa düşmək daha çətindir. Qavrayışı asanlaşdırmaq üçün, aralarında ən kiçik bucağı meydana gətirən iki kəsişən seqment çəkə bilərsiniz və bu, istədiyiniz biri olacaqdır. Vektorda üçüncü koordinatın olmasına baxmayaraq, vektorlar arasındakı bucaqların hesablanması prosesi dəyişməyəcək. Vektorların skalyar hasilini və modullarını, onların bölünməsinin arkkosinini hesablayın və bu məsələnin cavabı olacaqdır.

Həndəsədə problemlər tez-tez üç ölçüdən çox olan boşluqlarda baş verir. Lakin onlar üçün cavabı tapmaq alqoritmi oxşar görünür.

0 ilə 180 dərəcə arasındakı fərq

Vektorlar arasındakı bucağı hesablamaq üçün hazırlanmış bir məsələyə cavab yazarkən ümumi səhvlərdən biri vektorların paralel olduğunu, yəni istədiyiniz bucağın 0 və ya 180 dərəcə olduğunu yazmaq qərarıdır. Bu cavab yanlışdır.

Həll nəticəsində 0 dərəcə bucaq dəyərini aldıqdan sonra düzgün cavab vektorları birgə istiqamətli olaraq təyin etmək olardı, yəni vektorlar eyni istiqamətə sahib olacaqdır. 180 dərəcə əldə edildiyi halda vektorlar əks istiqamətlər xarakterində olacaqlar.

Xüsusi vektorlar

Vektorlar arasındakı bucaqları tapmaqla, yuxarıda təsvir edilən birgə istiqamətləndirilən və əks istiqamətli olanlardan əlavə, xüsusi növlərdən birini tapmaq olar.

Bir müstəviyə paralel bir neçə vektor koplanar adlanır.
Uzunluğu və istiqaməti eyni olan vektorlara bərabər deyilir.
İstiqamətindən asılı olmayaraq eyni düz xətt üzərində yerləşən vektorlara kollinear deyilir.
Vektorun uzunluğu sıfırdırsa, yəni başlanğıcı və sonu üst-üstə düşürsə, sıfır, birdirsə, bir adlanır.

Vektorlar arasındakı bucağı necə tapmaq olar?

xahiş edirəm mənə kömək edin! Mən düsturu bilirəm, amma başa düşə bilmirəm
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksandr Titov

Onların koordinatları ilə verilən vektorlar arasındakı bucaq standart alqoritmə uyğun olaraq tapılır. Əvvəlcə a və b vektorlarının skalyar hasilini tapmaq lazımdır: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Bu vektorların koordinatlarını burada əvəz edirik və hesab edirik:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Sonra vektorların hər birinin uzunluqlarını təyin edirik. Vektorun uzunluğu və ya modulu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat köküdür:
|a| = kökü (x1^2 + y1^2 + z1^2) = kökü (8^2 + 10^2 + 4^2) = kökü (64 + 100 + 16) = 180-in kökü = 6 kök 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) kvadrat kökü = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) kvadrat kökü = (25 + 400 + 100) kvadrat kökü ) = 525-dən kvadrat kök = 21-dən 5 kök.
Bu uzunluqları çoxaldırıq. 105-dən 30 kök alırıq.
Və nəhayət, vektorların skalyar hasilini bu vektorların uzunluqlarının hasilinə bölürük. -200 / (105-dən 30 kök) və ya alırıq
- (105-in 4 kökü) / 63. Bu vektorlar arasındakı bucağın kosinusudur. Və bucağın özü bu ədədin qövs kosinusuna bərabərdir
f \u003d arccos (105-in -4 kökü) / 63.
Düzgün saymışamsa.

Vektorların koordinatlarından vektorlar arasındakı bucağın sinusunu necə hesablamaq olar

Mixail Tkachev

Bu vektorları çoxaldırıq. Onların nöqtə hasili bu vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir.
Bucaq bizə məlum deyil, lakin koordinatları məlumdur.
Gəlin bunu riyazi olaraq belə yazaq.
a(x1;y1) və b(x2;y2) vektorları verilsin.
Sonra

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Biz mübahisə edirik.
a*b-vektorların skalyar hasili bu vektorların koordinatlarının müvafiq koordinatlarının hasillərinin cəminə bərabərdir, yəni x1*x2+y1*y2-yə bərabərdir.

|a|*|b|-vektor uzunluqlarının hasili √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) bərabərdir.

Beləliklə, vektorlar arasındakı bucağın kosinusu:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Bucağın kosinusunu bilməklə onun sinusunu hesablaya bilərik. Bunu necə edəcəyimizi müzakirə edək:

Bucağın kosinusu müsbətdirsə, bu bucaq 1 və ya 4 rübdə yerləşir, ona görə də onun sinusu müsbət və ya mənfi olur. Lakin vektorlar arasındakı bucaq 180 dərəcədən kiçik və ya ona bərabər olduğundan, onun sinusu müsbətdir. Kosinus mənfi olarsa, eyni şəkildə mübahisə edirik.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Budur)))) başa düşməkdə uğurlar)))

Dmitri Levişşov

Birbaşa sinusun mümkün olmaması həqiqəti doğru deyil.
Formula əlavə olaraq:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Bu da var:
||=|a|*|b|*sin A
Yəni skalyar hasil əvəzinə vektor məhsulunun modulunu götürə bilərsiniz.

Həndəsəni öyrənərkən vektorlar mövzusunda çoxlu suallar yaranır. Vektorlar arasındakı bucaqları tapmaq lazım olduqda şagird xüsusi çətinliklərlə üzləşir.

Əsas şərtlər

Vektorlar arasındakı bucaqları nəzərdən keçirməzdən əvvəl vektorun tərifi və vektorlar arasındakı bucaq anlayışı ilə tanış olmaq lazımdır.

Vektor istiqaməti olan seqmentdir, yəni başlanğıcı və sonunun müəyyən edildiyi seqmentdir.

Həll formulu

Bucağın kosinusunun dəyərini aldıqdan sonra bir kalkulyatordan və ya triqonometrik cədvəldən istifadə edərək bucağın özünün dəyərini hesablaya bilərsiniz.

Misal

Alınan dəyərləri düsturla əvəz edərək, istədiyiniz bucağın kosinusunun dəyərini hesablayırıq:

n ölçülü fəzada bucağın hesablanması

Həndəsədə problemlər tez-tez üç ölçüdən çox olan boşluqlarda baş verir. Lakin onlar üçün cavabı tapmaq alqoritmi oxşar görünür.

0 ilə 180 dərəcə arasındakı fərq

Xüsusi vektorlar

Vektorlar arasındakı bucaqları tapmaqla, yuxarıda təsvir edilən birgə istiqamətləndirilən və əks istiqamətli olanlardan əlavə, xüsusi növlərdən birini tapmaq olar.

Bir müstəviyə paralel bir neçə vektor koplanar adlanır.
Uzunluğu və istiqaməti eyni olan vektorlara bərabər deyilir.
İstiqamətindən asılı olmayaraq eyni düz xətt üzərində yerləşən vektorlara kollinear deyilir.
Vektorun uzunluğu sıfırdırsa, yəni başlanğıcı və sonu üst-üstə düşürsə, sıfır, birdirsə, bir adlanır.

Vektorların nöqtə hasili

Biz vektorlarla məşğul olmağa davam edirik. İlk dərsdə Butaforlar üçün vektorlar vektor anlayışını, vektorlarla hərəkətləri, vektor koordinatlarını və vektorlarla bağlı ən sadə məsələləri nəzərdən keçirdik. Əgər siz bu səhifəyə ilk dəfə axtarış sistemindən gəlmisinizsə, yuxarıdakı giriş məqaləsini oxumağı çox tövsiyə edirəm, çünki materialı mənimsəmək üçün mənim istifadə etdiyim terminləri və qeydləri rəhbər tutmalı, vektorlar haqqında əsas biliklərə sahib olmalısınız. və elementar məsələləri həll etməyi bacarmalıdır. Bu dərs mövzunun məntiqi davamıdır və mən vektorların skalyar məhsulundan istifadə edən tipik tapşırıqları ətraflı təhlil edəcəyəm. Bu, ÇOX ƏHƏMİYYƏTLİ bir işdir.. Nümunələri qaçırmamağa çalışın, onlar faydalı bir bonusla müşayiət olunur - təcrübə əhatə olunan materialı birləşdirməyə və analitik həndəsənin ümumi problemlərinin həllində "əlinizi almağa" kömək edəcəkdir.

Vektorların əlavə edilməsi, vektorun ədədə vurulması.... Riyaziyyatçıların başqa bir şey tapmadığını düşünmək sadəlövhlük olardı. Artıq nəzərdən keçirilən hərəkətlərə əlavə olaraq vektorlarla bir sıra digər əməliyyatlar da var, yəni: vektorların nöqtə hasili, vektorların çarpaz məhsulu və vektorların qarışıq məhsulu. Vektorların skalyar hasili bizə məktəbdən tanışdır, digər iki məhsul ənənəvi olaraq ali riyaziyyat kursu ilə bağlıdır. Mövzular sadədir, bir çox məsələlərin həlli alqoritmi stereotip və başa düşüləndir. Yeganə şey. Layiqli miqdarda məlumat var, buna görə HƏR ŞEYİ VƏ BİRDƏN mənimsəməyə və həll etməyə çalışmaq arzuolunmazdır. Bu, xüsusilə dummies üçün doğrudur, inanın, müəllif özünü riyaziyyatdan Çikatilo kimi hiss etmək istəmir. Yaxşı, riyaziyyatdan deyil, təbii ki, =) Daha hazırlıqlı tələbələr materiallardan seçmə istifadə edə bilərlər, müəyyən mənada, çatışmayan bilikləri "əldə edirlər", sizin üçün zərərsiz Qraf Drakula olacam =)

Nəhayət, gəlin qapını bir az açaq və iki vektor bir-biri ilə qarşılaşdıqda nə baş verdiyinə nəzər salaq....

Vektorların skalyar hasilinin tərifi.
Skayar məhsulun xassələri. Tipik vəzifələr

Nöqtə məhsulu anlayışı

Əvvəlcə haqqında vektorlar arasındakı bucaq. Düşünürəm ki, hər kəs vektorlar arasındakı bucağın nə olduğunu intuitiv şəkildə başa düşür, amma hər halda, bir az daha çox. Sərbəst sıfırdan fərqli vektorları və . Bu vektorları ixtiyari bir nöqtədən təxirə salsaq, çoxlarının zehni olaraq təqdim etdiyi bir şəkil alırıq:

Etiraf edirəm, burada vəziyyəti yalnız anlayış səviyyəsində təsvir etdim. Vektorlar arasındakı bucağın ciddi tərifinə ehtiyacınız varsa, dərsliyə müraciət edin, amma praktiki tapşırıqlar üçün bizə, prinsipcə, buna ehtiyac yoxdur. Həmçinin BURADA VƏ DAHA, mən bəzən sıfır vektorları aşağı praktik əhəmiyyətinə görə nəzərə almayacağam. Aşağıdakı ifadələrdən bəzilərinin nəzəri natamamlığına görə məni qınaya biləcək saytın qabaqcıl ziyarətçiləri üçün xüsusi olaraq rezervasiya etdim.

0-dan 180 dərəcə (0-dan radian) daxil olmaqla dəyərlər qəbul edə bilər. Analitik olaraq bu fakt ikiqat bərabərsizlik kimi yazılır:

və ya

(radianla).

Ədəbiyyatda bucaq işarəsi çox vaxt buraxılır və sadəcə yazılır.

Tərif:İki vektorun skalyar hasili bu vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabər SƏDDdir:

İndi bu, olduqca sərt bir tərifdir.

Əsas məlumatlara diqqət yetiririk:

Təyinat: skalyar hasil və ya sadəcə olaraq işarələnir.

Əməliyyatın nəticəsi NÖMRƏdir: Ədəd əldə etmək üçün vektoru vektora vurun. Həqiqətən, vektorların uzunluqları ədəddirsə, bucağın kosinusu ədəddirsə, onda onların məhsulu nömrə də olacaq.

Yalnız bir neçə istiləşmə nümunəsi:

Misal 1

Qərar: Formuladan istifadə edirik . Bu halda:

Cavab:

Kosinus dəyərlərini tapa bilərsiniz triqonometrik cədvəl. Mən onu çap etməyi məsləhət görürəm - qüllənin demək olar ki, bütün bölmələrində tələb olunacaq və dəfələrlə tələb olunacaq.

Sırf riyazi nöqteyi-nəzərdən, skalyar hasil ölçüsüzdür, yəni nəticə, bu halda, sadəcə bir rəqəmdir və bu qədərdir. Fizika məsələləri baxımından skalyar hasil həmişə müəyyən fiziki məna daşıyır, yəni nəticədən sonra bu və ya digər fiziki vahid göstərilməlidir. Bir qüvvənin işinin hesablanmasının kanonik nümunəsini hər hansı bir dərslikdə tapmaq olar (düstur tam olaraq nöqtə hasilidir). Bir qüvvənin işi Joules ilə ölçülür, buna görə də cavab olduqca xüsusi olaraq yazılacaq, məsələn,.

Misal 2

Əgər tapın , və vektorlar arasındakı bucaq .

Bu, öz-özünə qərar vermək üçün bir nümunədir, cavab dərsin sonundadır.

Vektorlar və nöqtə məhsul dəyəri arasındakı bucaq

1-ci misalda skalyar hasil müsbət, 2-ci misalda isə mənfi oldu. Skayar hasilin işarəsinin nədən asılı olduğunu öyrənək. Düsturumuza baxaq: . Sıfırdan fərqli vektorların uzunluqları həmişə müsbətdir: , ona görə də işarə yalnız kosinusun qiymətindən asılı ola bilər.

Qeyd: Aşağıdakı məlumatları daha yaxşı başa düşmək üçün təlimatda kosinus qrafikini öyrənmək daha yaxşıdır Qrafiklər və funksiya xassələri. Seqmentdə kosinusun necə davrandığına baxın.

Artıq qeyd edildiyi kimi, vektorlar arasındakı bucaq daxilində dəyişə bilər və aşağıdakı hallar mümkündür:

1) Əgər inyeksiya vektorlar arasında ədviyyatlı: (0-dan 90 dərəcəyə qədər), sonra , və nöqtə məhsulu müsbət olacaq birgə rejissorluq etmişdir, onda onların arasındakı bucaq sıfır hesab edilir və skalyar hasil də müsbət olacaqdır. olduğundan, düstur sadələşdirilir: .

2) Əgər inyeksiya vektorlar arasında küt: (90-dan 180 dərəcəyə qədər), sonra , və müvafiq olaraq, nöqtə məhsulu mənfidir: . Xüsusi hal: vektorlar olarsa əks istiqamətə yönəldilib, sonra onların arasındakı bucaq nəzərə alınır yerləşdirilmiş: (180 dərəcə). Skayar hasil də mənfidir, çünki

Qarşılıqlı ifadələr də doğrudur:

1) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq itidir. Alternativ olaraq, vektorlar koordinatlıdır.

2) Əgər , onda bu vektorlar arasındakı bucaq kütdür. Alternativ olaraq vektorlar əks istiqamətə yönəldilir.

Lakin üçüncü hal xüsusi maraq doğurur:

3) Əgər inyeksiya vektorlar arasında düz: (90 dərəcə) sonra və nöqtə məhsulu sıfırdır: . Əksi də doğrudur: əgər , onda . Kompakt bəyanat aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir: İki vektorun skalyar hasili yalnız və yalnız verilmiş vektorlar ortoqonal olduqda sıfırdır. Qısa riyaziyyat qeydi:

! Qeyd : təkrarlamaq riyazi məntiqin əsasları: ikitərəfli məntiqi nəticə işarəsi adətən "əgər və yalnız o zaman", "əgər və ancaq əgər" oxunur. Gördüyünüz kimi, oxlar hər iki istiqamətə yönəldilmişdir - "bundan belə nəticə çıxarır və əksinə - bundan belə gəlir". Yeri gəlmişkən, birtərəfli izləmə nişanından fərqi nədir? İkon iddia edir yalnız bunun əksinin doğru olması faktı deyil, "bundan belə çıxır". Məsələn: , lakin hər heyvan pantera deyil, ona görə də bu halda ikonadan istifadə etmək olmaz. Eyni zamanda, simvol yerinə bacarmaq birtərəfli simvoldan istifadə edin. Məsələn, problemi həll edərkən vektorların ortoqonal olduğu qənaətinə gəldik: - belə bir qeyd düzgün və hətta daha uyğun olacaq .

Üçüncü hal böyük praktik əhəmiyyət kəsb edir., çünki o, vektorların ortoqonal olub olmadığını yoxlamağa imkan verir. Bu problemi dərsin ikinci hissəsində həll edəcəyik.

Nöqtə məhsulunun xüsusiyyətləri

İki vektorun olduğu vəziyyətə qayıdaq birgə rejissorluq etmişdir. Bu halda onların arasındakı bucaq sıfırdır, , və skalyar hasil düsturu formasını alır: .

Bir vektor özünə vurularsa nə olar? Aydındır ki, vektor özü ilə birgə yönləndirilir, ona görə də yuxarıdakı sadələşdirilmiş düsturdan istifadə edirik:

Nömrə çağırılır skalyar kvadrat vektor və kimi işarələnir.

Beləliklə, vektorun skalyar kvadratı verilmiş vektorun uzunluğunun kvadratına bərabərdir:

Bu bərabərlikdən vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün düstur ala bilərsiniz:

Qaranlıq görünsə də, dərsin tapşırıqları hər şeyi öz yerinə qoyacaq. Problemləri həll etmək üçün bizə də lazımdır nöqtə məhsul xüsusiyyətləri.

İxtiyari vektorlar və istənilən ədəd üçün aşağıdakı xüsusiyyətlər doğrudur:

1) - yerdəyişən və ya kommutativ skalyar məhsul qanunu.

2) - paylama və ya paylayıcı skalyar məhsul qanunu. Sadəcə olaraq, mötərizə aça bilərsiniz.

3) - birləşmə və ya assosiativ skalyar məhsul qanunu. Sabit skalyar hasildən çıxarıla bilər.

Çox vaxt hər cür xassələr (bunları da sübut etmək lazımdır!) tələbələr tərəfindən lazımsız zibil kimi qəbul edilir, onları yalnız yadda saxlamaq və imtahandan dərhal sonra təhlükəsiz şəkildə unutmaq lazımdır. Görünür ki, burada vacib olan hər kəs birinci sinifdən məhsulun amillərin dəyişməsindən dəyişmədiyini bilir: Sizi xəbərdar etməliyəm, ali riyaziyyatda belə bir yanaşma ilə işləri qarışdırmaq asandır. Beləliklə, məsələn, kommutativ xüsusiyyət üçün etibarlı deyil cəbri matrislər. üçün doğru deyil vektorların çarpaz məhsulu. Buna görə də, nəyin edilə biləcəyini və edilə bilməyəcəyini başa düşmək üçün ən azı ali riyaziyyat kursunda qarşılaşacağınız hər hansı bir xassələri araşdırmaq daha yaxşıdır.

Misal 3

Qərar:Əvvəlcə vektorla bağlı vəziyyəti aydınlaşdıraq. Bütün bunlar nə ilə bağlıdır? ve vektorlarının cəmi yaxşı müəyyən edilmiş vektordur, ilə işarələnir. Vektorlarla hərəkətlərin həndəsi şərhini məqalədə tapa bilərsiniz Butaforlar üçün vektorlar. Vektorlu eyni cəfəri vektorların cəmidir və .

Deməli, şərtə uyğun olaraq skalyar hasili tapmaq tələb olunur. Teorik olaraq, iş düsturunu tətbiq etməlisiniz , lakin problem ondadır ki, vektorların uzunluqlarını və onlar arasındakı bucağı bilmirik. Ancaq vəziyyətdə, oxşar parametrlər vektorlar üçün verilir, buna görə də başqa yolla gedəcəyik:

(1) vektorların ifadələrini əvəz edirik.

(2) Çoxhədlilərin vurulması qaydasına uyğun olaraq mötərizələri açırıq, məqalədə vulqar dilin bükülməsini tapmaq olar Kompleks ədədlər və ya Kəsr-rasional funksiyanın inteqrasiyası. Özümü təkrar etməyəcəm =) Yeri gəlmişkən, skalyar hasilin paylanma xüsusiyyəti mötərizələri açmağa imkan verir. Bizim haqqımız var.

(3) Birinci və son şərtlərdə vektorların skalyar kvadratlarını yığcam şəkildə yazırıq: . İkinci termində skalyar hasilin dəyişmə qabiliyyətindən istifadə edirik: .

(4) Budur oxşar terminlər: .

(5) Birinci termində çox yaxınlarda qeyd olunan skalyar kvadrat düsturundan istifadə edirik. Son müddətdə, müvafiq olaraq, eyni şey işləyir: . İkinci müddət standart düstura uyğun olaraq genişləndirilir .

(6) Bu şərtləri əvəz edin , və son hesablamaları DİQQƏTLİ şəkildə aparın.

Cavab:

Nöqtə hasilinin mənfi dəyəri vektorlar arasındakı bucağın küt olduğunu bildirir.

Tapşırıq tipikdir, burada müstəqil həll üçün bir nümunə var:

Misal 4

və vektorlarının skalyar hasilini tapın, əgər məlumdursa .

İndi başqa bir ümumi tapşırıq, yalnız yeni vektor uzunluğu düsturu üçün. Buradakı təyinatlar bir az üst-üstə düşəcək, ona görə də aydınlıq üçün onu başqa hərflə yenidən yazacağam:

Misal 5

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Qərar aşağıdakı kimi olacaq:

(1) vektor ifadəsini təqdim edirik.

(2) Biz uzunluq düsturundan istifadə edirik: , "ve" vektoru olaraq tam ifadəmiz var.

(3) Biz cəminin kvadratı üçün məktəb düsturundan istifadə edirik. Burada maraqlı şəkildə necə işlədiyinə diqqət yetirin: - əslində fərqin kvadratı budur və əslində belədir. Arzu edənlər vektorları yerlərdə yenidən təşkil edə bilərlər: - şərtlərin dəyişdirilməsinə qədər eyni şey çıxdı.

(4) Aşağıdakılar əvvəlki iki problemdən artıq tanışdır.

Cavab:

Uzunluqdan bəhs etdiyimiz üçün ölçüsü - "vahidləri" göstərməyi unutmayın.

Misal 6

Əgər vektorun uzunluğunu tapın .

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Skalar məhsuldan faydalı şeyləri sıxmağa davam edirik. Düsturumuza yenidən baxaq . Mütənasiblik qaydası ilə vektorların uzunluqlarını sol tərəfin məxrəcinə qaytarırıq:

Gəlin hissələri dəyişdirək:

Bu formulun mənası nədir? Əgər iki vektorun uzunluqları və onların skalyar hasili məlumdursa, onda bu vektorlar arasındakı bucağın kosinusunu və deməli, bucağın özünü hesablamaq olar.

Skalar hasil ədəddir? Nömrə. Vektor uzunluqları ədədlərdir? Nömrələri. Beləliklə, kəsr də bir ədəddir. Və bucağın kosinusu məlumdursa: , onda tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır: .

Misal 7

və vektorları arasındakı bucağı tapın, əgər məlumdursa.

Qərar: Formuladan istifadə edirik:

Hesablamaların son mərhələsində bir texnika istifadə edildi - məxrəcdə irrasionallığın aradan qaldırılması. Məntiqsizliyi aradan qaldırmaq üçün say və məxrəci vurdum.

Beləliklə əgər , sonra:

Tərs triqonometrik funksiyaların qiymətləri ilə tapıla bilər triqonometrik cədvəl. Baxmayaraq ki, bu nadir hallarda olur. Analitik həndəsə problemlərində bəzi yöndəmsiz ayılar daha tez-tez görünür və bucağın dəyərini təxminən bir kalkulyatordan istifadə edərək tapmaq lazımdır. Əslində biz bu mənzərəni dönə-dönə görəcəyik.

Cavab:

Yenə ölçüləri - radyanları və dərəcələri göstərməyi unutmayın. Şəxsən, qəsdən "bütün sualları silmək" üçün hər ikisini göstərməyi üstün tuturam (əlbəttə ki, şərtlə cavabı yalnız radyanla və ya yalnız dərəcələrlə təqdim etmək tələb olunmursa).

İndi daha çətin bir işin öhdəsindən özünüz gələ biləcəksiniz:

Nümunə 7*

Vektorların uzunluqları və aralarındakı bucaq verilmişdir. , vektorları arasındakı bucağı tapın.

Tapşırıq çoxtərəfli qədər çətin deyil.
Həll alqoritmini təhlil edək:

1) Şərtə uyğun olaraq və vektorları arasındakı bucağı tapmaq tələb olunur, ona görə də düsturdan istifadə etmək lazımdır. .

2) Skayar hasilini tapırıq (bax. Nümunələr № 3, 4).

3) Vektorun uzunluğunu və vektorun uzunluğunu tapın (bax. Nümunələr № 5, 6).

4) Həllin sonu 7 nömrəli Nümunə ilə üst-üstə düşür - biz rəqəmi bilirik , bu o deməkdir ki, bucağın özünü tapmaq asandır:

Qısa həll və dərsin sonunda cavab.

Dərsin ikinci bölməsi eyni nöqtə hasilinə həsr edilmişdir. Koordinatlar. Birinci hissədən daha asan olacaq.

Vektorların nöqtə hasili,
ortonormal əsasda koordinatlarla verilir

Cavab:

Söz yox ki, koordinatlarla məşğul olmaq çox daha xoşdur.

Misal 14

Vektorların skalyar hasilini tapın və əgər

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Burada əməliyyatın assosiativliyindən istifadə edə bilərsiniz, yəni hesablamayın, ancaq dərhal üçlüyü skalyar hasildən çıxarın və sonuncu dəfə ona vurun. Həll və cavab dərsin sonunda.

Paraqrafın sonunda vektorun uzunluğunu hesablamaq üçün təxribatçı bir nümunə:

Misal 15

Vektorların uzunluqlarını tapın , əgər

Qərar:əvvəlki bölmənin metodu yenidən özünü göstərir: , lakin başqa bir yol var:

vektoru tapaq:

Və mənasız düstura görə uzunluğu:

Skayar məhsulun burada heç bir əhəmiyyəti yoxdur!

Bir vektorun uzunluğunu hesablayanda nə dərəcədə işdən kənardır:
Dayan. Niyə vektorun aşkar uzunluq xüsusiyyətindən istifadə etməyək? Vektorun uzunluğu haqqında nə demək olar? Bu vektor vektordan 5 dəfə uzundur. İstiqamət əksinədir, amma fərqi yoxdur, çünki uzunluqdan danışırıq. Aydındır ki, vektorun uzunluğu məhsula bərabərdir modul vektor uzunluğuna görə ədədlər:
- modulun işarəsi rəqəmin mümkün minusunu "yeyir".

Beləliklə:

Cavab:

Koordinatlarla verilən vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün düstur

İndi tam məlumatımız var ki, vektorlar arasındakı bucağın kosinusu üçün əvvəllər alınmış düstur vektor koordinatları ilə ifadə edin:

Müstəvi vektorlar arasındakı bucağın kosinusu və ortonormal əsasda verilmişdir, düsturu ilə ifadə edilir:
.

Kosmik vektorlar arasındakı bucağın kosinusu, ortonormal əsasda verilmişdir, düsturu ilə ifadə edilir:

Misal 16

Üçbucağın üç təpəsi verilmişdir. Tapın (təpə bucağı).

Qərar:Şərtlə, rəsm tələb olunmur, lakin yenə də:

Tələb olunan bucaq yaşıl qövslə qeyd olunur. Biz dərhal bucağın məktəb təyinatını xatırlayırıq: - xüsusi diqqət orta məktub - bu bizə lazım olan bucağın təpəsidir. Qısalıq üçün onu sadə şəkildə də yazmaq olar.

Rəsmdən aydın olur ki, üçbucağın bucağı vektorlar arasındakı bucaqla üst-üstə düşür, başqa sözlə: .

Zehni olaraq həyata keçirilən təhlilin necə aparılacağını öyrənmək arzu edilir.

vektorları tapaq:

Skayar hasilini hesablayaq:

Və vektorların uzunluqları:

Bucağın kosinusu:

Mən dummilərə tövsiyə etdiyim tapşırığın bu sırasıdır. Daha qabaqcıl oxucular hesablamaları "bir sətirdə" yaza bilərlər:

Budur "pis" kosinus dəyərinə bir nümunə. Əldə edilən dəyər yekun deyil, ona görə də məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmağın çox mənası yoxdur.

Bucağı tapaq:

Rəsmə baxsanız, nəticə olduqca inandırıcıdır. Bucağı yoxlamaq üçün bir iletki ilə də ölçülə bilər. Monitor örtüyünə zərər verməyin =)

Cavab:

Cavabda bunu unutma üçbucağın bucağı haqqında soruşdu(və vektorlar arasındakı bucaq haqqında deyil), dəqiq cavabı göstərməyi unutmayın: və bucağın təxmini dəyəri: kalkulyatorla tapılır.

Prosesdən həzz alanlar bucaqları hesablaya və kanonik bərabərliyin doğru olduğuna əmin ola bilərlər

Misal 17

Üçbucaq fəzada təpələrinin koordinatları ilə verilir. və tərəfləri arasındakı bucağı tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab

Kiçik yekun bölmə skalyar hasilin də “iştirak etdiyi” proqnozlara həsr olunacaq:

Vektorun vektor üzərinə proyeksiyası. Koordinat oxlarına vektor proyeksiyası.
Vektor istiqaməti kosinusları

Vektorları nəzərdən keçirin və:

Biz vektoru vektora proyeksiya edirik, bunun üçün vektorun əvvəlini və sonunu buraxırıq perpendikulyarlar vektor başına (yaşıl nöqtəli xətlər). Təsəvvür edin ki, işıq şüaları vektora perpendikulyar olaraq düşür. Sonra seqment (qırmızı xətt) vektorun "kölgəsi" olacaqdır. Bu halda vektorun vektora proyeksiyası seqmentin UZUNLUĞU olur. Yəni PROKEKSİYA NÖMRƏDİR.

Bu NÖMRƏ aşağıdakı kimi işarələnir: , "böyük vektor" vektoru bildirir HANSI layihə, "kiçik alt işarə vektoru" vektoru bildirir ÜSTÜNDƏ hansı proqnozlaşdırılır.

Girişin özü belə oxunur: “a” vektorunun “ol” vektoruna proyeksiyası”.

"Ol" vektoru "çox qısa" olarsa nə olar? “Ol” vektorunu ehtiva edən düz xətt çəkirik. Və "a" vektoru artıq proqnozlaşdırılacaq "ol" vektorunun istiqamətinə, sadəcə olaraq - "ol" vektorunu ehtiva edən düz xətt üzərində. Otuzuncu krallıqda "a" vektoru kənara qoyulsa, eyni şey baş verəcək - o, yenə də "ol" vektorunu ehtiva edən xəttə asanlıqla proyeksiya ediləcək.

Əgər bucaq vektorlar arasında ədviyyatlı(şəkildəki kimi), sonra

Əgər vektorlar ortoqonal, onda (proyeksiya ölçüləri sıfır olduğu qəbul edilən nöqtədir).

Əgər bucaq vektorlar arasında küt(şəkildə vektorun oxunu zehni olaraq yenidən düzəldin), sonra (eyni uzunluqda, lakin mənfi işarə ilə götürülür).

Bu vektorları bir nöqtədən kənara qoyun:

Aydındır ki, vektoru hərəkət etdirərkən onun proyeksiyası dəyişmir

Sizin istəyinizlə!

1. Məxrəcdəki irrasionallığı aradan qaldırın:

3. Eksponensial tənliyi həll edin:

4. Bərabərsizliyi həll edin:

Arifmetik kvadrat kök yalnız mənfi olmayan ədəddən ibarətdir və həmişə mənfi olmayan ədədlə ifadə edilir., buna görə də bu bərabərsizlik hamı üçün doğru olacaq X, şərti ödəyir: 2-х≥0. Buradan əldə edirik: x≤2. Cavabı ədədi interval kimi yazırıq: (-∞; 2].

5. Bərabərsizliyi həll edin: 7 x > -1.

A-prior: eksponensial funksiyaya y \u003d a x formasının funksiyası deyilir, burada a > 0, a ≠ 1, x istənilən ədəddir. Eksponensial funksiyanın diapazonu bütün müsbət ədədlərin çoxluğudur, çünki hər hansı bir gücə müsbət bir ədəd müsbət olacaqdır. Buna görə də hər hansı bir x üçün 7 x >0 və daha çox 7 x > -1, yəni. bərabərsizlik bütün x ∈ (-∞; +∞) üçün doğrudur.

6. Məhsula çevirin:

Sinusların cəmi üçün formula tətbiq edirik: iki bucağın sinuslarının cəmi bu bucaqların yarı cəminin sinusunun və onların yarı fərqinin kosinusunun ikiqat məhsuluna bərabərdir.

8. Məlumdur ki, f(x) = -15x+3. x-in hansı qiymətləri üçün f(x)=0?

f (x) əvəzinə 0 rəqəmini əvəz edirik və tənliyi həll edirik:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . Birinci və ikinci ərintilərdə mis və sink 5:2 və 3:4 nisbətindədir. Mis və sinkin bərabər tərkibi olan 28 kq yeni bir ərinti əldə etmək üçün hər bir ərintidən nə qədər götürmək lazımdır.

Biz başa düşürük ki, yeni ərintinin tərkibində 14 kq mis və 14 kq sink olacaq. Oxşar məsələlərin hamısı eyni şəkildə həll olunur: onlar tənlik təşkil edir, sol və sağ hissələrində eyni miqdarda maddə (mis götürək), müxtəlif üsullarla (məsələnin konkret şərtlərinə əsasən) yazılmışdır. Bizdə 14 kq mis var yeni ərintidə hər iki ərintidən misdən ibarət olacaq. Birinci ərintinin kütləsi olsun X kq, onda ikinci ərintinin kütləsi ( 28)kq. Birinci ərintidə 5 hissə mis və 2 hissə sink var, buna görə də mis (5/7) x kq olacaqdır. Ədədin kəsirini tapmaq üçün kəsri verilmiş ədədə vurmaq lazımdır. İkinci ərintidə misin 3 hissəsi və sinkin 4 hissəsi, yəni. mis (28) kq-dan (3/7) ehtiva edir. Belə ki:

12. Tənliyi həll edin: log 2 8 x = -1.

Loqarifmin tərifinə görə:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. f(x) = -ln cosx 2 funksiyasının törəməsini tapın.

20. İfadənin qiymətini tapın:

Ədədin modulu yalnız mənfi olmayan ədəd kimi ifadə edilə bilər. Modul işarəsinin altında mənfi ifadə varsa, o zaman modul mötərizələrini açarkən bütün şərtlər əks işarələrlə yazılır.

22. Bərabərsizliklər sistemini həll edin:

Əvvəlcə hər bir bərabərsizliyi ayrıca həll edirik.

Qeyd edək ki, bu funksiyalar üçün ən kiçik ümumi dövr olacaq 2π, ona görə də həm sola, həm də sağa aid edilirdi 2πn. Cavab C).

23. y=3-|x-3| funksiyasının qrafiki ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın və düz xətt y=0.

Bu funksiyanın qrafiki bir nöqtədən çıxan iki yarımxəttdən ibarət olacaq. Xətlərin tənliklərini yazaq. x≥3 üçün modul mötərizələri genişləndiririk və əldə edirik: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. x üçün<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Funksiya qrafiki və x oxunun seqmenti ilə məhdudlaşan üçbucaq sahəsi tapılmalı olan fiqurdur. Təbii ki, biz burada inteqrallar olmadan edəcəyik. Üçbucağın sahəsini onun bünövrəsinin və bu bazaya çəkilmiş hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi tapırıq. Bazamız 6 vahid seqmentə bərabərdir və bu bazaya çəkilən hündürlük 3 vahid seqmentə bərabərdir. Sahəsi 9 kvadratmetr olacaq. vahidlər

24. Təpələri A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2) nöqtələrində olan üçbucağın A bucağının kosinusunu tapın.

Bir vektorun uclarının koordinatları ilə verilən koordinatlarını tapmaq üçün sonun koordinatlarından başlanğıcın koordinatlarını çıxmaq lazımdır.

A bucağı vektorlarla əmələ gəlir:

25. Bir qutuda 23 top var: qırmızı, ağ və qara. Qırmızıdan 11 dəfə çox ağ top var. Neçə qara top var?

Qoy qutuda olsun X qırmızı toplar. Sonra ağlar 11x toplar.

Qırmızı və ağ x+11x= 12x toplar. Buna görə də qara toplar 23-12 saat. Bu topların tam sayı olduğundan, yeganə mümkün dəyərdir x=1. Belə çıxır: 1 qırmızı top, 11 ağ top və 11 qara toplar.

Təlimat

Müstəvidə sıfırdan fərqli iki vektor verilsin, bir nöqtədən qurulsun: koordinatları olan A vektoru (x1, y1) B koordinatları (x2, y2). Enjeksiyon onların arasında θ kimi işarələnir. θ bucağının dərəcə ölçüsünü tapmaq üçün skalyar hasilin tərifindən istifadə etmək lazımdır.

Sıfırdan fərqli iki vektorun skalyar hasili bu vektorların uzunluqları ilə aralarındakı bucağın kosinusunun hasilinə bərabər ədəddir, yəni (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) . İndi buradan bucağın kosinusunu ifadə etmək lazımdır: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skayar hasili (A,B)=x1*x2+y1*y2 düsturu ilə də tapmaq olar, çünki sıfırdan fərqli iki vektorun hasili müvafiq vektorların hasillərinin cəminə bərabərdir. Sıfırdan fərqli vektorların skalyar hasili sıfıra bərabərdirsə, vektorlar perpendikulyardır (aralarındakı bucaq 90 dərəcədir) və sonrakı hesablamalar buraxıla bilər. Əgər iki vektorun skalyar hasili müsbətdirsə, onda bunlar arasındakı bucaq vektorlar kəskin və mənfi olarsa, bucaq kütdür.

İndi A və B vektorlarının uzunluqlarını düsturlardan istifadə edərək hesablayın: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektorun uzunluğu onun koordinatlarının kvadratlarının cəminin kvadrat kökü kimi hesablanır.

2-ci addımda alınan bucaq düsturunda skalar hasilinin tapılmış qiymətlərini və vektorların uzunluqlarını əvəz edin, yəni cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). İndi dəyərini bilməklə, arasındakı bucağın dərəcə ölçüsünü tapmaq üçün vektorlar Bradis cədvəlindən istifadə etməli və ya buradan götürməlisiniz: θ=arccos(cos(θ)).

Əgər A və B vektorları üçölçülü fəzada verilibsə və müvafiq olaraq (x1, y1, z1) və (x2, y2, z2) koordinatlarına malikdirsə, bucağın kosinusu tapılarkən daha bir koordinat əlavə edilir. Bu halda kosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Faydalı məsləhət

Əgər iki vektor bir nöqtədən çəkilmirsə, onda paralel tərcümə ilə aralarındakı bucağı tapmaq üçün bu vektorların başlanğıclarını birləşdirməlisiniz.
İki vektor arasındakı bucaq 180 dərəcədən çox ola bilməz.

Mənbələr:

vektorlar arasındakı bucağı necə hesablamaq olar
Xətt və müstəvi arasındakı bucaq

Fizika və xətti cəbrdə həm tətbiqi, həm də nəzəri bir çox məsələləri həll etmək üçün vektorlar arasındakı bucağı hesablamaq lazımdır. Sadə görünən bu iş, skalyar məhsulun mahiyyətini və bu məhsulun nəticəsində hansı dəyərin göründüyünü aydın başa düşməsəniz, bir çox çətinliklərə səbəb ola bilər.

Təlimat

Xətti vektor fəzasında vektorlar arasındakı bucaq vektorların koistiqamətinin əldə edildiyi minimum bucaqdır. Vektorlardan biri başlanğıc nöqtəsi ətrafında aparılır. Tərifdən aydın olur ki, bucağın dəyəri 180 dərəcədən çox ola bilməz (addım bax).

Bu halda tamamilə düzgün hesab olunur ki, xətti fəzada vektorlar paralel olaraq köçürüldükdə, onlar arasındakı bucaq dəyişmir. Buna görə də, bucağın analitik hesablanması üçün vektorların fəza oriyentasiyasının əhəmiyyəti yoxdur.

Nöqtə hasilinin nəticəsi ədəddir, əks halda skalyardır. Sonrakı hesablamalarda səhvlərin qarşısını almaq üçün unutmayın (bunu bilmək vacibdir). Bir müstəvidə və ya vektorlar fəzasında yerləşən skalyar məhsulun düsturu formaya malikdir (addım üçün rəqəmə baxın).

Vektorlar kosmosda yerləşirsə, hesablamanı oxşar şəkildə aparın. Yalnız bir şey dividenddə terminin görünüşü olacaq - bu ərizəçi üçün termindir, yəni. vektorun üçüncü komponenti. Müvafiq olaraq, vektorların modulunu hesablayarkən z komponenti də nəzərə alınmalıdır, sonra kosmosda yerləşən vektorlar üçün sonuncu ifadə aşağıdakı kimi çevrilir (addım üçün Şəkil 6-a baxın).

Vektor müəyyən bir istiqamətə malik bir xətt seqmentidir. Vektorlar arasındakı bucaq fiziki məna daşıyır, məsələn, vektorun oxa proyeksiyasının uzunluğunu taparkən.

Təlimat

Nöqtə hasilinin hesablanmasından istifadə edərək sıfırdan fərqli iki vektor arasındakı bucaq. Tərifinə görə məhsul uzunluqların hasilinə və aralarındakı açıya bərabərdir. Digər tərəfdən koordinatları (x1; y1) və b koordinatları (x2; y2) olan iki vektor üçün daxili hasil hesablanır: ab = x1x2 + y1y2. Bu iki yoldan nöqtə məhsulu vektorlar arasında bucaq yaratmaq asandır.

Vektorların uzunluqlarını və ya modullarını tapın. a və b vektorlarımız üçün: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Vektorların koordinatlarını cütlərə vuraraq onların daxili hasilini tapın: ab = x1x2 + y1y2. Nöqtə hasilinin tərifindən ab = |a|*|b|*cos α, burada α vektorlar arasındakı bucaqdır. Onda alırıq ki, x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Onda cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Bradys cədvəllərindən istifadə edərək α bucağını tapın.

Əlaqədar videolar

Qeyd

Skayar hasil vektorların uzunluqlarının və aralarındakı bucağın skalyar xarakteristikasıdır.

Təyyarə həndəsənin əsas anlayışlarından biridir. Müstəvi, ifadənin doğru olduğu səthdir - onun iki nöqtəsini birləşdirən istənilən düz xətt tamamilə bu səthə aiddir. Təyyarələr adətən yunan hərfləri ilə işarələnir α, β, γ və s. İki müstəvi həmişə hər iki müstəviyə aid olan düz xətt üzərində kəsişir.

Təlimat

-nin kəsişməsində əmələ gələn α və β yarımmüstəvilərini nəzərdən keçirək. Düz xətt a və iki yarım müstəvi α və β dihedral bucaq ilə əmələ gələn bucaq. Bu halda, üzlər tərəfindən dihedral bucaq əmələ gətirən yarım müstəvilər, müstəvilərin kəsişdiyi a xətti dihedral bucağın kənarı adlanır.

Dihedral bucaq, düz bucaq kimi, dərəcələrlə. Dihedral bucaq yaratmaq üçün onun üzündə ixtiyari O nöqtəsini seçmək lazımdır.Hər ikisində O nöqtəsindən iki a şüası çəkilir. Nəticədə yaranan AOB bucağı a dihedral bucağın xətti bucağı adlanır.

Beləliklə, V = (a, b, c) vektoru və A x + B y + C z = 0 müstəvisi verilsin, burada A, B və C normal N-nin koordinatlarıdır. Onda bucağın kosinusu. V və N vektorları arasında α: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Bucağın qiymətini dərəcə və ya radyanla hesablamaq üçün, nəticədə ortaya çıxan ifadədən kosinusun tərs funksiyasını hesablamaq lazımdır, yəni. arkkosin: α \u003d arskos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Misal: tapmaq inyeksiya arasında vektor(5, -3, 8) və təyyarə, 2 x - 5 y + 3 z = 0 ümumi tənliyi ilə verilmişdir. Həlli: N = (2, -5, 3) müstəvisinin normal vektorunun koordinatlarını yazın. Bütün məlum dəyərləri yuxarıdakı düsturla əvəz edin: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Əlaqədar videolar

Tənlik yazın və ondan kosinusu təcrid edin. Bir düstura görə vektorların skalyar məhsulu onların uzunluqlarının bir-birinə və kosinusuna vurulmasına bərabərdir. bucaq, digər tərəfdən - hər bir ox boyunca koordinatların məhsullarının cəmi. Hər iki düsturu bərabərləşdirərək belə nəticəyə gələ bilərik ki, kosinus bucaq koordinatların hasillərinin cəminin vektorların uzunluqlarının hasilinə nisbətinə bərabər olmalıdır.

Yaranan tənliyi yazın. Bunun üçün hər iki vektoru təyin etməliyik. Tutaq ki, onlar 3D Kartezyen sistemində verilmişdir və onların başlanğıc nöqtələri şəbəkədədir. Birinci vektorun istiqaməti və böyüklüyü nöqtəsi (X₁,Y₁,Z₁), ikincisi - (X₂,Y₂,Z₂) ilə veriləcək, bucaq isə γ hərfi ilə işarələnəcək. Onda vektorların hər birinin uzunluqları, məsələn, koordinat oxlarının hər birinə onların proyeksiyalarından əmələ gələn Pifaqor teoreminə görə ola bilər: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) və √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Bu ifadələri əvvəlki addımda tərtib edilmiş şəkildə əvəz edin və bərabərliyi əldə edin: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Kvadratın cəmini istifadə edin sinus və co sinus-dan bucaq bir dəyər həmişə birini verir. Beləliklə, co üçün əvvəlki addımda əldə edilənləri yüksəltməklə sinus kvadrat və birlikdən çıxılır, sonra