Bu prizmanın yan kənarı. Daimi dördbucaqlı prizma

Mühazirə: Prizma, onun əsasları, yan kənarları, hündürlüyü, yan səth; düz prizma; sağ prizma

Prizma

Bizimlə əvvəlki suallardan düz fiqurları öyrənmisinizsə, onda siz üçölçülü fiqurları öyrənməyə tam hazırsınız. Öyrənəcəyimiz ilk bərk cisim prizma olacaq.

Prizma malik olan həcmli bir bədəndir çoxlu saydaüzlər.

Bu fiqurun əsaslarında paralel müstəvilərdə yerləşən iki çoxbucaqlı var və bütün yan üzləri paraleloqram şəklindədir.

Şəkil 1. Şek. 2

Beləliklə, prizmanın nədən ibarət olduğunu anlayaq. Bunun üçün Fig.1-ə diqqət yetirin

Daha əvvəl qeyd edildiyi kimi, prizmanın bir-birinə paralel olan iki əsası var - bunlar ABCEF və GMNJK beşbucaqlıdır. Üstəlik, bu çoxbucaqlılar bir-birinə bərabərdir.

Prizmanın bütün digər üzləri yan üzlər adlanır - onlar paraleloqramlardan ibarətdir. Məsələn, BMNC, AGKF, FKJE və s.

Bütün yan üzlərin ümumi səthi deyilir yan səth.

Hər bir cüt bitişik üzün ümumi tərəfi var. Belə ümumi tərəfə kənar deyilir. Məsələn, MB, CE, AB və s.

Prizmanın yuxarı və aşağı əsasları bir perpendikulyar ilə birləşdirilirsə, o zaman prizmanın hündürlüyü adlanacaqdır. Şəkildə hündürlük düz xətt OO 1 kimi qeyd edilmişdir.

Prizmanın iki əsas növü var: əyri və düz.

Prizmanın yan kənarları əsaslara perpendikulyar deyilsə, belə prizma adlanır. əyri.

Prizmanın bütün kənarları əsaslara perpendikulyardırsa, belə prizma adlanır. düz.

Prizmanın əsasları olarsa müntəzəm çoxbucaqlılar(tərəfləri bərabər olanlar), onda belə bir prizma deyilir düzgün.

Prizmanın əsasları bir-birinə paralel deyilsə, belə bir prizma adlanacaq kəsilmiş.

Siz bunu Fig.2-də görə bilərsiniz

Prizmanın həcmini, sahəsini tapmaq üçün düsturlar

Həcmi tapmaq üçün üç əsas düstur var. Tətbiqdə bir-birindən fərqlənirlər:

Prizmanın səth sahəsini tapmaq üçün oxşar düsturlar:

Prizmanın təməlində istənilən çoxbucaqlı ola bilər - üçbucaq, dördbucaqlı və s. Hər iki əsas tamamilə eynidir və buna görə paralel üzlərin bucaqları bir-birinə bağlanır, onlar həmişə paraleldirlər. Düzgün prizmanın təməlində düzgün çoxbucaqlı, yəni bütün tərəfləri bərabər olan çoxbucaqlı yerləşir. Düz prizmada yan üzlər arasındakı kənarlar bazaya perpendikulyardır. Bu halda, istənilən sayda bucağı olan çoxbucaqlı düz prizmanın təməlində yerləşə bilər. Əsası paraleloqram olan prizmaya paralelepiped deyilir. düzbucaqlı - xüsusi hal paraleloqram. Bu rəqəm təməldə yerləşirsə və yan üzlər bazaya düz bucaq altında yerləşirsə, paralelepiped düzbucaqlı adlanır. Bu həndəsi cismin ikinci adı düzbucaqlıdır.

O necə görünür

Müasir insanın mühitində kifayət qədər çoxlu düzbucaqlı prizma var. Bu, məsələn, ayaqqabı altından adi karton, kompüter komponentləri və s. Ətrafa bax. Hətta bir otaqda, şübhəsiz ki, çoxlu düzbucaqlı prizmalar görəcəksiniz. Bu kompüter korpusu, kitab şkafı, soyuducu, şkaf və bir çox başqa əşyalardır. Forma son dərəcə populyardır, çünki o, məkanı mümkün qədər səmərəli istifadə etməyə imkan verir, istər interyeri bəzəyirsinizsə, istərsə də hərəkət etməzdən əvvəl əşyaları kartona yığırsınız.

Düzbucaqlı prizmanın xassələri

Düzbucaqlı prizma bir sıra spesifik xüsusiyyətlərə malikdir. Hər hansı bir cüt üz onun kimi xidmət edə bilər, çünki bütün bitişik üzlər bir-birinə eyni açıda yerləşir və bu bucaq 90 °-dir. Həcm və səth sahəsi düzbucaqlı prizma hesablamaq digərlərindən daha asandır. Düzbucaqlı prizma şəklində olan hər hansı bir obyekti götürün. Uzunluğunu, enini və hündürlüyünü ölçün. Həcmi tapmaq üçün bu ölçmələri çoxaltmaq kifayətdir. Yəni düstur belə görünür: V \u003d a * b * h, burada V həcmdir, a və b bazanın tərəfləridir, h bu həndəsi gövdənin yan kənarı ilə üst-üstə düşən hündürlükdür. Baza sahəsi S1=a*b düsturu ilə hesablanır. Yan səthi əldə etmək üçün əvvəlcə P=2(a+b) düsturu ilə bazanın perimetrini hesablamaq və sonra hündürlüyə vurmaq lazımdır. S2=P*h=2(a+b)*h düsturu çıxır. Düzbucaqlı prizmanın ümumi səth sahəsini hesablamaq üçün bazanın və yan səthin sahəsinin iki qatını əlavə edin. Düstur S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

Tərif.

Bu altıbucaqlıdır, əsasları iki bərabər kvadrat, yan üzləri isə bərabər düzbucaqlıdır.

Yan qabırğa iki bitişik yan üzün ümumi tərəfidir

Prizmanın hündürlüyü prizmanın əsaslarına perpendikulyar olan xətt seqmentidir

Diaqonal prizma- eyni üzə aid olmayan əsasların iki təpəsini birləşdirən seqment

Diaqonal müstəvi- prizmanın diaqonalından və onun yan kənarlarından keçən müstəvi

Diaqonal bölmə- prizmanın və diaqonal müstəvinin kəsişməsinin sərhədləri. Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın diaqonal hissəsi düzbucaqlıdır

Perpendikulyar hissə (ortoqonal hissə)- bu prizmanın yan kənarlarına perpendikulyar çəkilmiş müstəvi ilə kəsişməsidir

Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın elementləri

Şəkildə müvafiq hərflərlə işarələnmiş iki müntəzəm dördbucaqlı prizma göstərilir:

ABCD və A 1 B 1 C 1 D 1 əsasları bərabərdir və bir-birinə paraleldir
Yan üzlər AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C və CC 1 D 1 D, hər biri düzbucaqlıdır
Yan səth - prizmanın bütün yan üzlərinin sahələrinin cəmi
Tam səth- bütün əsasların və yan üzlərin sahələrinin cəmi (yan səthin və əsasların sahəsinin cəmi)
Yan qabırğalar AA 1, BB 1, CC 1 və DD 1.
Diaqonal B 1 D
Əsas diaqonal BD
Diaqonal bölmə BB 1 D 1 D
Perpendikulyar kəsiyi A 2 B 2 C 2 D 2.

Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın xassələri

Əsaslar iki bərabər kvadratdır
Bazalar bir-birinə paraleldir
Yanları düzbucaqlıdır.
Yan üzlər bir-birinə bərabərdir
Yan üzlər əsaslara perpendikulyardır
Yan qabırğalar bir-birinə paralel və bərabərdir
Bütün yan qabırğalara perpendikulyar və əsaslara paralel olan perpendikulyar bölmə
Perpendikulyar Bölmə Bucaqları - Sağ
Müntəzəm dördbucaqlı prizmanın diaqonal hissəsi düzbucaqlıdır
Əsaslara paralel perpendikulyar (ortoqonal kəsik).

Müntəzəm dördbucaqlı prizma üçün düsturlar

Problemlərin həlli üçün göstərişlər

Mövzu ilə bağlı problemləri həll edərkən " müntəzəm dördbucaqlı prizma" o deməkdir ki:

Düzgün prizma- təməlində düzgün çoxbucaqlı olan və yan kənarları bazanın müstəvilərinə perpendikulyar olan prizma. Yəni adi dördbucaqlı prizma onun əsasında yerləşir kvadrat. (yuxarıda müntəzəm dördbucaqlı prizmanın xüsusiyyətlərinə baxın) Qeyd. Bu, həndəsə tapşırıqları olan dərsin bir hissəsidir (bərk həndəsə - prizma bölməsi). Burada həllində çətinlik yaradan vəzifələr var. Əgər burada olmayan həndəsə problemini həll etmək lazımdırsa - bu barədə forumda yazın. Çıxarma hərəkətini göstərmək üçün kvadrat kök Simvol problemin həllində istifadə olunur√ .

Bir tapşırıq.

Düzgün dördbucaqlı prizmada əsas sahəsi 144 sm 2, hündürlüyü 14 sm-dir.Prizmanın diaqonalını və ümumi səth sahəsini tapın.

Həll.
Düzgün dördbucaqlı kvadratdır.
Müvafiq olaraq, bazanın tərəfi bərabər olacaqdır

√144 = 12 sm.
Buradan müntəzəm düzbucaqlı prizmanın əsasının diaqonalı bərabər olacaqdır
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Normal prizmanın diaqonalı təməlin diaqonalı və prizmanın hündürlüyü ilə əmələ gəlir. düz üçbucaq. Müvafiq olaraq, Pifaqor teoreminə görə, verilmiş müntəzəm dördbucaqlı prizmanın diaqonalı aşağıdakılara bərabər olacaqdır:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 sm

Cavab verin: 22 sm

Bir tapşırıq

Düzgün dördbucaqlı prizmanın diaqonalı 5 sm və yan üzünün diaqonalı 4 sm-dirsə, onun ümumi sahəsini tapın.

Həll.
Düzgün dördbucaqlı prizmanın əsası kvadrat olduğundan, əsasın tərəfi (a kimi qeyd olunur) Pifaqor teoremi ilə tapılır:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Yan üzün hündürlüyü (h kimi qeyd olunur) onda bərabər olacaq:

H 2 + 12.5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3.5

Ümumi səth sahəsi yanal səth sahəsinin cəminə və əsas sahəsinin iki qatına bərabər olacaqdır

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Cavab: 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Stereometriya, eyni müstəvidə olmayan fiqurları öyrənən həndəsə sahəsidir. Stereometriyanın öyrənilməsi obyektlərindən biri prizmalardır. Məqalədə prizmanın həndəsi baxımdan tərifini verəcəyik, həmçinin ona xas olan xüsusiyyətləri qısaca sadalayacağıq.

Həndəsi fiqur

Həndəsədə prizmanın tərifi belədir: odur məkan fiqur, paralel müstəvilərdə yerləşən, təpələri ilə bir-birinə bağlanmış iki eyni n-qonaqdan ibarətdir.

Prizma əldə etmək çətin deyil. Təsəvvür edin ki, iki eyni n-bucaq var, burada n tərəflərin və ya təpələrin sayıdır. Onları elə yerləşdirək ki, onlar bir-birinə paralel olsunlar. Bundan sonra bir çoxbucaqlının təpələri digərinin müvafiq təpələri ilə birləşdirilməlidir. Yaranan fiqur əsas adlanan iki n-bucaqlı tərəfdən və ümumi halda paraleloqram olan n dördbucaqlı tərəfdən ibarət olacaqdır. Paraleloqramlar çoxluğu fiqurun yan səthini təşkil edir.

Sözügedən rəqəmi həndəsi şəkildə əldə etməyin başqa bir yolu var. Deməli, əgər n-qonşunu götürsək və onu paralel seqmentlərdən istifadə edərək başqa müstəviyə köçürsək bərabər uzunluq, onda yeni müstəvidə orijinal çoxbucaqlı alırıq. Həm çoxbucaqlılar, həm də onların təpələrindən çəkilmiş bütün paralel seqmentlər prizma əmələ gətirir.

Yuxarıdakı şəkildə onun əsasları üçbucaq olduğu üçün belə adlandırıldığını göstərir.

Fiqur təşkil edən elementlər

Prizmanın tərifi yuxarıda verilmişdir, buradan aydın olur ki, fiqurun əsas elementləri onun üzləri və ya tərəfləridir, prizmanın bütün daxili nöqtələrini xarici məkandan məhdudlaşdırır. Baxılan fiqurun hər hansı üzü iki növdən birinə aiddir:

yanal;
əsaslar.

N ədəd yan hissə var və bunlar paraleloqramlar və ya onların xüsusi növləridir (düzbucaqlılar, kvadratlar). Ümumiyyətlə, yan üzlər bir-birindən fərqlənir. Bazanın yalnız iki üzü var, onlar n-qondur və bir-birinə bərabərdir. Beləliklə, hər bir prizmanın n+2 tərəfi var.

Tərəflərə əlavə olaraq, rəqəm təpələri ilə xarakterizə olunur. Onlar üç üzün eyni anda toxunduğu nöqtələrdir. Üstəlik, üç üzdən ikisi həmişə yan səthə, biri isə bazaya aiddir. Beləliklə, prizmada xüsusi seçilmiş bir təpə yoxdur, məsələn, piramidada onların hamısı bərabərdir. Şəklin təpələrinin sayı 2*n-dir (hər əsas üçün n ədəd).

Nəhayət, prizmanın üçüncü mühüm elementi onun kənarlarıdır. Bunlar fiqurun tərəflərinin kəsişməsi nəticəsində yaranan müəyyən uzunluqdakı seqmentlərdir. Üzlər kimi kənarların da ikisi var fərqli növlər:

və ya yalnız tərəflər tərəfindən formalaşır;
və ya paraleloqramın qovşağında və n-bucaqlı əsasın yan tərəfində yaranır.

Beləliklə, kənarların sayı 3*n-dir və onlardan 2*n-i qeyd olunan növlərdən ikincisinə aiddir.

Prizma növləri

Prizmaları təsnif etməyin bir neçə yolu var. Bununla belə, onların hamısı rəqəmin iki xüsusiyyətinə əsaslanır:

n-kömür bazasının növü üzrə;
yan tip.

Başlamaq üçün ikinci təkliyə keçək və düz xəttin tərifini verək. Ən azı bir tərəfi paraleloqramdırsa ümumi növü, onda rəqəm oblique və ya oblique adlanır. Bütün paraleloqramlar düzbucaqlı və ya kvadratdırsa, prizma düz olacaqdır.

Tərifi bir az fərqli şəkildə də verə bilərsiniz: düz bir fiqur, yan kənarların və üzlərin əsaslarına perpendikulyar olduğu bir prizmadır. Şəkildə iki dördbucaqlı fiqur göstərilir. Sol tərəf düz, sağ tərəf əyridir.

İndi isə əsaslarda yerləşən n-qonşu tipinə görə təsnifata keçək. Eyni tərəfləri və açıları və ya fərqli ola bilər. Birinci halda çoxbucaqlı müntəzəm adlanır. Əgər baxılan fiqur bazasında bərabər tərəfləri və bucaqları olan çoxbucaqlıdan ibarətdirsə və düz xəttdirsə, ona müntəzəm deyilir. Bu tərifə görə, təməlində nizamlı prizma bərabərtərəfli üçbucaq, kvadrat, düz beşbucaq və ya altıbucaqlı və s. ola bilər. Sadalanan düzgün rəqəmlər şəkildə göstərilmişdir.

Prizmaların xətti parametrləri

Baxılan rəqəmlərin ölçülərini təsvir etmək üçün istifadə edin aşağıdakı parametrlər:

hündürlük;
baza tərəfləri;
yan qabırğa uzunluğu;
həcmli diaqonallar;
diaqonal tərəflər və əsaslar.

Müntəzəm prizmalar üçün adları çəkilən bütün kəmiyyətlər bir-biri ilə bağlıdır. Məsələn, yan qabırğaların uzunluqları eyni və hündürlüyə bərabərdir. Müəyyən bir n-qonal üçün düzgün rəqəm hər hansı iki xətti parametrdən qalanları müəyyən etməyə imkan verən düsturlar var.

Şəkil səthi

Yuxarıda verilmiş prizmanın tərifinə müraciət etsək, onda fiqurun səthinin nəyi təmsil etdiyini başa düşmək çətin olmayacaq. Səth bütün üzlərin sahəsidir. Düz prizma üçün aşağıdakı düsturla hesablanır:

S = 2*S o + P o *h

burada S o təməlin sahəsi, P o bazadakı n-qonşunun perimetri, h hündürlükdür (əsaslar arasındakı məsafə).

rəqəmin həcmi

Təcrübə üçün səthlə yanaşı, prizmanın həcmini bilmək vacibdir. Aşağıdakı düsturla müəyyən edilə bilər:

Bu ifadə əyri və nizamsız çoxbucaqlılardan əmələ gələnlər də daxil olmaqla, tamamilə hər cür prizma üçün doğrudur.

Düzgün desək, bu, əsas tərəfin uzunluğunun və fiqurun hündürlüyünün bir funksiyasıdır. Müvafiq n-bucaqlı prizma üçün V formulunun xüsusi forması var.

Düz prizma haqqında ümumi məlumat

Prizmanın yan səthi (daha doğrusu, yanal səth sahəsi) adlanır məbləğ yan üz sahələri. Prizmanın ümumi səthi yan səthin və əsasların sahələrinin cəminə bərabərdir.

Teorem 19.1. Düz prizmanın yan səthi təməlin perimetri ilə prizmanın hündürlüyünün hasilinə, yəni yan kənarın uzunluğuna bərabərdir.

Sübut. Düz prizmanın yan üzləri düzbucaqlıdır. Bu düzbucaqlıların əsasları prizmanın təməlində yerləşən çoxbucaqlının tərəfləri, hündürlükləri isə yan kənarların uzunluğuna bərabərdir. Buradan belə çıxır ki, prizmanın yan səthi bərabərdir

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

burada a 1 və n əsasın qabırğalarının uzunluqları, p prizmanın əsasının perimetri, I isə yan qabırğaların uzunluğudur. Teorem sübut edilmişdir.

Praktik tapşırıq

Tapşırıq (22) . Maili prizmada bölmə, yan kənarlara perpendikulyar və bütün yan kənarları kəsən. Kesitin perimetri p, yan kənarları isə l olarsa, prizmanın yan səthini tapın.

Həll. Çəkilən kəsik müstəvisi prizmanı iki hissəyə ayırır (şək. 411). Onlardan birini prizmanın əsaslarını birləşdirən paralel tərcüməyə tabe edək. Bu zaman düz prizma alırıq ki, burada ilkin prizmanın kəsişməsi əsas rolunu oynayır, yan kənarları isə l-ə bərabərdir. Bu prizma orijinal ilə eyni yan səthə malikdir. Beləliklə, orijinal prizmanın yan səthi pl-ə bərabərdir.

Mövzunun ümumiləşdirilməsi

İndi gəlin sizinlə prizmanın mövzusunu ümumiləşdirməyə və prizmanın hansı xassələrə malik olduğunu xatırlamağa çalışaq.

Prizmanın xassələri

Birincisi, prizma üçün onun bütün əsasları bərabər çoxbucaqlıdır;
İkincisi, prizma üçün onun bütün yan üzləri paraleloqramdır;
Üçüncüsü, prizma kimi çoxşaxəli fiqurda bütün yan kənarlar bərabərdir;

Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, prizmalar kimi çoxüzlülər düz və meylli ola bilər.

Düz prizma nədir?

Prizmanın yan kənarı onun əsasının müstəvisinə perpendikulyardırsa, belə prizmaya düz xətt deyilir.

Düz prizmanın yan üzlərinin düzbucaqlı olduğunu xatırlamaq artıq olmaz.

Bir əyri prizma nədir?

Ancaq prizmanın yan kənarı onun əsasının müstəvisinə perpendikulyar deyilsə, bunun meylli bir prizma olduğunu əminliklə söyləyə bilərik.

Düzgün prizma nədir?

Düz prizmanın təməlində düzgün çoxbucaqlı yerləşirsə, belə prizma müntəzəmdir.

İndi adi prizmanın malik olduğu xassələri xatırlayaq.

Normal prizmanın xassələri

Birincisi, müntəzəm çoxbucaqlılar həmişə müntəzəm prizmanın əsasları kimi xidmət edir;
İkincisi, müntəzəm prizmanın yan üzlərini nəzərə alsaq, onlar həmişə bərabər düzbucaqlıdırlar;
Üçüncüsü, yan qabırğaların ölçülərini müqayisə etsək, düzgün prizmada onlar həmişə bərabərdirlər.
Dördüncüsü, müntəzəm prizma həmişə düzdür;
Beşincisi, əgər müntəzəm prizmada yan üzlər kvadrat şəklindədirsə, onda belə bir fiqur, bir qayda olaraq, yarı nizamlı çoxbucaqlı adlanır.

Prizma bölməsi

İndi prizmanın en kəsiyinə baxaq:

Ev tapşırığı

İndi isə problemləri həll etməklə öyrənilən mövzunu birləşdirməyə çalışaq.

Maili üçbucaqlı prizma çəkək, onun kənarları arasındakı məsafə: 3 sm, 4 sm və 5 sm olacaq və bu prizmanın yan səthi 60 sm2-ə bərabər olacaqdır. Bu parametrlərlə verilmiş prizmanın yan kənarını tapın.

Və siz bunu bilirsiniz həndəsi fiqurlar Bizi təkcə həndəsə dərslərində deyil, həm də daim əhatə edir Gündəlik həyat bu və ya digər həndəsi fiqurlara bənzəyən obyektlər var.