Redukčné vzorce sú vzťahy, ktoré vám umožňujú prejsť od sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu s uhlami `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` na rovnaké funkcie uhla `\alpha`, ktorý sa nachádza v prvej štvrtine jednotkového kruhu. Redukčné vzorce nás teda „vedú“ k práci s uhlami v rozsahu od 0 do 90 stupňov, čo je veľmi výhodné.
Spolu existuje 32 redukčných vzorcov. Nepochybne sa budú hodiť počas Jednotnej štátnej skúšky, skúšok a testov. Hneď vás však upozorníme, že sa ich netreba učiť naspamäť! Musíte stráviť trochu času a pochopiť algoritmus ich aplikácie, potom pre vás nebude ťažké odvodiť potrebnú rovnosť v správnom čase.
Najprv si napíšme všetky redukčné vzorce:
Pre uhol (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`\pi \pm \alpha`) alebo (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pre uhol (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`2\pi \pm \alpha`) alebo (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \\alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Často môžete nájsť redukčné vzorce vo forme tabuľky, kde sú uhly napísané v radiánoch:
Aby sme ho mohli použiť, musíme vybrať riadok s funkciou, ktorú potrebujeme, a stĺpec s požadovaným argumentom. Napríklad, ak chcete pomocou tabuľky zistiť, čomu sa bude rovnať ` sin(\pi + \alpha)`, stačí nájsť odpoveď na priesečníku riadku ` sin \beta` a stĺpca ` \pi + \alpha`. Dostaneme ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.
A druhá, podobná tabuľka, kde sú uhly napísané v stupňoch:
Mnemotechnické pravidlo pre redukčné vzorce alebo ako si ich zapamätať
Ako sme už spomínali, nie je potrebné učiť sa naspamäť všetky vyššie uvedené vzťahy. Ak ste si ich pozorne prezreli, pravdepodobne ste si všimli nejaké vzory. Umožňujú nám sformulovať mnemotechnické pravidlo (mnemotechnické – pamätaj), pomocou ktorého ľahko získame akýkoľvek redukčný vzorec.
Okamžite si všimnime, že ak chcete použiť toto pravidlo, musíte byť dobrí v identifikácii (alebo zapamätaní) znakov goniometrických funkcií v rôznych štvrtiach jednotkového kruhu. 
Samotná vakcína obsahuje 3 fázy:
- Argument funkcie musí byť reprezentovaný ako `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha` a `\alpha` je nevyhnutne ostrý uhol (od 0 do 90 stupňov).
- Pre argumenty `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` sa goniometrická funkcia transformovaného výrazu zmení na kofunkciu, teda opačnú (sínus na kosínus, dotyčnicu na kotangens a naopak). Pre argumenty `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` sa funkcia nemení.
- Je určené znamienko pôvodnej funkcie. Výsledná funkcia na pravej strane bude mať rovnaké znamienko.
Aby sme videli, ako možno toto pravidlo uplatniť v praxi, transformujme niekoľko výrazov:
1. `cos(\pi + \alpha)`.
Funkcia nie je obrátená. Uhol `\pi + \alpha` je v tretej štvrtine, kosínus v tejto štvrtine má znamienko „-“, takže transformovaná funkcia bude mať aj znamienko „-“.
Odpoveď: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`
2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.
Podľa mnemotechnického pravidla bude funkcia obrátená. Uhol `\frac (3\pi)2 - \alpha` je v tretej štvrtine, sínus tu má znamienko „-“, takže výsledok bude mať aj znamienko „-“.
Odpoveď: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`
3. "cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)".
`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa)). Predstavme si `3\pi` ako `2\pi+\pi`. `2\pi` je obdobie funkcie.
Dôležité: Funkcie `cos \alpha` a `sin \alpha` majú periódu `2\pi` alebo `360^\circ`, ich hodnoty sa nezmenia, ak sa argument zvýši alebo zníži o tieto hodnoty.
Na základe toho môžeme náš výraz zapísať takto: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Dvojitým použitím mnemotechnického pravidla dostaneme: `cos (\pi+(\frac(\ pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.
Odpoveď: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.
Pravidlo koňa
Druhý bod mnemotechnického pravidla opísaného vyššie sa nazýva aj konské pravidlo redukčných vzorcov. Pýtam sa prečo kone?
Takže máme funkcie s argumentmi `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm \alpha`, body `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` sú kľúčové, nachádzajú sa na súradnicových osiach. `\pi` a `2\pi` sú na horizontálnej osi x a `\frac (\pi)2` a `\frac (3\pi)2` sú na zvislej osi.
Kladieme si otázku: „Mení sa funkcia na kofunkciu? Ak chcete odpovedať na túto otázku, musíte posunúť hlavu pozdĺž osi, na ktorej sa nachádza kľúčový bod.
To znamená, že na argumenty s kľúčovými bodmi umiestnenými na horizontálnej osi odpovedáme „nie“ potrasením hlavy do strán. A pre rohy s kľúčovými bodmi umiestnenými na zvislej osi odpovedáme „áno“ kývaním hlavy zhora nadol, ako kôň :)
Odporúčame pozrieť si videonávod, v ktorom autor podrobne vysvetľuje, ako si zapamätať redukčné vzorce bez toho, aby ste si ich pamätali.
Praktické príklady použitia redukčných vzorcov
Používanie redukčných vzorcov sa začína v 9. a 10. ročníku. Mnohé problémy s ich používaním boli predložené na jednotnú štátnu skúšku. Tu sú niektoré z problémov, pri ktorých budete musieť použiť tieto vzorce:
- úlohy na riešenie pravouhlého trojuholníka;
- transformácia číselných a abecedných goniometrických výrazov, výpočet ich hodnôt;
- stereometrické úlohy.
Príklad 1. Vypočítajte pomocou redukčných vzorcov a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ`.
Riešenie: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;
b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;
c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;
d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.
Príklad 2. Po vyjadrení kosínusu cez sínus pomocou redukčných vzorcov porovnajte čísla: 1) `sin \frac (9\pi)8` a `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` a `cos \frac (3\pi)10`.
Riešenie: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`
`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`
`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`
`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.
2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`
`sin \frac (\pi)8 `sin \frac (\pi)8 Najprv dokážme dva vzorce pre sínus a kosínus argumentu `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \\alpha` a `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Ostatné sú odvodené od nich. Zoberme si jednotkovú kružnicu a na nej bod A so súradnicami (1,0). Nechajte po otočení na Vychádzajúc z definície tangens a kotangens dostaneme ` tan(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\ pi)2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` a ` сtg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\ frac (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, čo dokazuje redukčné vzorce pre tangens a kotangens uhla `\frac (\pi)2 + \alpha`. Na dôkaz vzorcov s argumentom `\frac (\pi)2 - \alpha` stačí reprezentovať ho ako `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` a postupovať rovnakou cestou ako vyššie. Napríklad `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`. Uhly `\pi + \alpha` a `\pi - \alpha` môžu byť reprezentované ako `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` a `\frac (\pi ) 2 + (\frac (\pi)2-\alpha)`. A `\frac (3\pi)2 + \alpha` a `\frac (3\pi)2 - \alpha` ako `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` a `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`. Ako si nezapamätať redukčné vzorce. Pri riešení goniometrických rovníc alebo vykonávaní goniometrických transformácií je prvým krokom minimalizácia počtu rôznych argumentov goniometrických funkcií. Aby ste to dosiahli, musíte všetky uhly priviesť k uhlom prvej štvrtiny pomocou redukčné vzorce. Chcem vám predstaviť mnemotechnické pravidlo, ktoré vám umožní vyhnúť sa memorovaniu. Tomuto pravidlu sa vtipne hovorí „Pravidlo koňa“. V tomto VIDEONÁVODE vám poviem, ako používať toto pravidlo: znížiť goniometrickú funkciu ľubovoľného uhla na uhol prvej štvrtiny, oslobodiť sa od potreby pamätať si redukčné vzorce: Takže," konské pravidlo
“ znie takto: Ak nakreslíme uhol z vertikálna os, kôň povie „áno“ (kývneme hlavou pozdĺž osi OY) a redukovateľná funkcia zmení svoj názov: sínus na kosínus, kosínus na sínus, dotyčnica na kotangens, kotangens na dotyčnicu.
Ak nakreslíme uhol z horizontálna os, kôň povie „nie“ (kývneme hlavou pozdĺž osi OX) a znížená funkcia nemení svoj názov.
Znamienko na pravej strane rovnosti sa zhoduje so znamienkom redukovateľnej funkcie na ľavej strane rovnosti.
Tu je niekoľko príkladov použitia redukčných vzorcov: 1
. Nájdite význam výrazu: 1. Vyberte celú časť v zlomku: 2. Keďže perióda funkcie je rovná , zvýrazníme „voľnobežné otáčky“: Teraz je náš argument v rozsahu od nuly do a je čas použiť „pravidlo koňa“: Aby sme sa dostali do bodu zodpovedajúcemu uhlu natočenia pomocou , najprv urobíme rotáciu o radiány a potom z tohto bodu nakreslíme uhol radiánov: 2
. Nájdite význam výrazu: Pozrime sa na každú funkciu samostatne: Najprv sa otočíme o radián a potom zvierame uhol 1 radián od vertikálnej osi v zápornom smere a skončíme v tretej štvrtine: Existujú dve pravidlá používania redukčných vzorcov. 1. Ak možno uhol znázorniť ako (π/2 ±a) alebo (3*π/2 ±a), potom zmeny názvu funkcie sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Ak je možné uhol znázorniť v tvare (π ±a) alebo (2*π ±a), potom Názov funkcie zostáva nezmenený. Pozrite sa na obrázok nižšie, schematicky ukazuje, kedy by ste mali zmeniť znamenie a kedy nie. 2. Pravidlo „aký si bol, taký zostaneš.“ Znak zníženej funkcie zostáva rovnaký. Ak mala pôvodná funkcia znamienko plus, potom aj redukovaná funkcia má znamienko plus. Ak mala pôvodná funkcia znamienko mínus, potom aj redukovaná funkcia má znamienko mínus. Na obrázku nižšie sú znázornené znamienka základných goniometrických funkcií v závislosti od štvrťroka. Vypočítať hriech (150˚) Použime redukčné vzorce: Sin(150˚) je v druhej štvrtine, z obrázku vidíme, že znamenie hriechu v tejto štvrtine sa rovná +. To znamená, že daná funkcia bude mať aj znamienko plus. Aplikovali sme druhé pravidlo. Teraz 150˚ = 90˚ + 60˚. 90˚ je π/2. To znamená, že máme do činenia s prípadom π/2+60, preto podľa prvého pravidla zmeníme funkciu z sin na cos. V dôsledku toho dostaneme Sin(150˚) = cos(60˚) = ½. V prípade potreby je možné všetky redukčné vzorce zhrnúť do jednej tabuľky. Stále je však jednoduchšie zapamätať si tieto dve pravidlá a použiť ich. Dodatočné materiály Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 10. ročník Čo budeme študovať: Prehľad goniometrických funkcií
Chlapci, už ste sa stretli so vzorcami duchov, ale ešte ste ich tak nenazvali. Čo si myslíte: kde? Pozrite si naše kresby. Správne, keď boli zavedené definície goniometrických funkcií. Uveďme si základné pravidlo: Ak je pod znamienkom goniometrickej funkcie číslo v tvare π×n/2 + t, kde n je ľubovoľné celé číslo, potom je možné našu goniometrickú funkciu zredukovať na jednoduchší tvar, ktorý bude obsahovať len argument t. Takéto vzorce sa nazývajú vzorce duchov. Pripomeňme si niekoľko vzorcov: existuje veľa duchovných vzorcov, urobme si pravidlo, podľa ktorého budeme určovať naše goniometrické funkcie pri použití duchovné vzorce: Tieto pravidlá platia aj vtedy, keď je argument funkcie uvedený v stupňoch! Môžeme tiež vytvoriť tabuľku transformácií goniometrických funkcií: 1. Transformujte cos(π + t). Názov funkcie zostáva, t.j. dostaneme cos(t). Ďalej predpokladajme, že π/2 2. Transformujte sin(π/2 + t). Zmení sa názov funkcie, t.j. dostaneme cos(t). Ďalej predpokladajme, že 0 sin(t + π/2) = cos(t) 3. Transformujte tg(π + t). Názov funkcie zostáva, t.j. dostaneme opálenie(t). Predpokladajme ďalej, že 0 4. Transformujte ctg(2700 + t). Názov funkcie sa zmení, čiže dostaneme tg(t). Predpokladajme ďalej, že 0 Chlapci, preveďte si to sami podľa našich pravidiel: 1) tg(π + t), Tento článok je venovaný podrobnému štúdiu trigonometrických redukčných vzorcov. Uvádza sa úplný zoznam redukčných vzorcov, príklady ich použitia a dôkaz o správnosti vzorcov. Článok tiež poskytuje mnemotechnické pravidlo, ktoré vám umožňuje odvodiť redukčné vzorce bez toho, aby ste si každý vzorec zapamätali. Yandex.RTB R-A-339285-1 Redukčné vzorce umožňujú zredukovať základné goniometrické funkcie uhlov ľubovoľnej veľkosti na funkcie uhlov ležiacich v rozsahu od 0 do 90 stupňov (od 0 do π 2 radiány). Operácia s uhlami od 0 do 90 stupňov je oveľa pohodlnejšia ako práca s ľubovoľne veľkými hodnotami, a preto sa pri riešení úloh trigonometrie široko používajú redukčné vzorce. Skôr než si zapíšeme samotné vzorce, objasnime si niekoľko dôležitých bodov pre pochopenie. Teraz prejdime priamo k redukčným vzorcom. Redukčné vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými a ľubovoľne veľkými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Napíšme všetky vzorce do tabuľky. Redukčné vzorce sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cosα π - . + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α, c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α V tomto prípade sú vzorce napísané v radiánoch. Môžete ich však napísať aj pomocou stupňov. Stačí previesť radiány na stupne a nahradiť π o 180 stupňov. Ukážeme si, ako používať redukčné vzorce a ako sa tieto vzorce používajú pri riešení praktických príkladov. Uhol pod znamienkom goniometrickej funkcie môže byť reprezentovaný nie jedným, ale mnohými spôsobmi. Napríklad argument goniometrickej funkcie môže byť reprezentovaný v tvare ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Poďme si to ukázať. Zoberme si uhol α = 16 π 3. Tento uhol možno zapísať takto: α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π V závislosti od znázornenia uhla sa použije príslušný redukčný vzorec. Zoberme si rovnaký uhol α = 16 π 3 a vypočítajme jeho dotyčnicu Príklad 1: Použitie redukčných vzorcov α = 16 π 3, t g α = ? Predstavme si uhol α = 16 π 3 ako α = π + π 3 + 2 π 2 Toto znázornenie uhla bude zodpovedať redukčnému vzorcu t g (π + α + 2 π z) = t g α t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3 Pomocou tabuľky uvádzame hodnotu dotyčnice Teraz použijeme iné znázornenie uhla α = 16 π 3. Príklad 2: Použitie redukčných vzorcov α = 16 π 3, t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Nakoniec pre tretie znázornenie uhla píšeme Príklad 3. Použitie redukčných vzorcov α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c = t g 3π 6 Teraz uveďme príklad použitia zložitejších redukčných vzorcov Príklad 4: Použitie redukčných vzorcov Predstavme si hriech 197° cez sínus a kosínus ostrého uhla. Aby ste mohli použiť redukčné vzorce, musíte v jednej z foriem znázorniť uhol α = 197 ° ± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Podľa podmienok problému musí byť uhol ostrý. V súlade s tým máme dva spôsoby, ako to reprezentovať: 197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73° Dostaneme hriech 197° = hriech (180° + 17°) hriech 197° = hriech (270° - 73°) Teraz sa pozrime na redukčné vzorce pre sínusy a vyberieme si tie vhodné sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = hriech (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 ° Existuje veľa redukčných vzorcov a, našťastie, nie je potrebné sa ich učiť naspamäť. Existujú zákonitosti, pomocou ktorých možno odvodiť redukčné vzorce pre rôzne uhly a goniometrické funkcie. Tieto vzory sa nazývajú mnemotechnické pravidlá. Mnemotechnika je umenie memorovania. Mnemotechnické pravidlo pozostáva z troch častí alebo obsahuje tri stupne. Mnemotechnické pravidlo 1. Argument pôvodnej funkcie je reprezentovaný v jednej z nasledujúcich foriem: ± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz Uhol α musí ležať medzi 0 a 90 stupňami. 2. Určí sa znamienko pôvodnej goniometrickej funkcie. Funkcia napísaná na pravej strane vzorca bude mať rovnaké znamienko. 3. Pre uhly ± α + 2 πz a π ± α + 2 πz zostáva názov pôvodnej funkcie nezmenený a pre uhly π 2 ± α + 2 πz a 3 π 2 ± α + 2 πz sa zmení na „kofunkcia“. Sínus – kosínus. Tangenta - kotangens. Ak chcete použiť mnemotechnickú príručku pre redukčné vzorce, musíte byť schopní určiť znamienka goniometrických funkcií na základe štvrtín jednotkového kruhu. Pozrime sa na príklady použitia mnemotechnického pravidla. Príklad 1: Použitie mnemotechnického pravidla Zapíšme si redukčné vzorce pre cos π 2 - α + 2 πz a t g π - α + 2 πz. α je log za prvý štvrťrok. 1. Keďže podľa podmienky α je logaritmus prvej štvrtiny, preskočíme prvý bod pravidla. 2. Určte znamienka funkcií cos π 2 - α + 2 πz a t g π - α + 2 πz. Uhol π 2 - α + 2 πz je tiež uhol prvej štvrtiny a uhol π - α + 2 πz je uhol druhej štvrtiny. V prvom štvrťroku je funkcia kosínus kladná a dotyčnica v druhom štvrťroku má znamienko mínus. Napíšme si, ako budú v tejto fáze vyzerať požadované vzorce. cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = - 3. Podľa tretieho bodu sa pre uhol π 2 - α + 2 π mení názov funkcie na Konfuciov a pre uhol π - α + 2 πz zostáva rovnaký. Zapíšme si: cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α Teraz sa pozrime na vyššie uvedené vzorce a uistite sa, že mnemotechnické pravidlo funguje. Pozrime sa na príklad so špecifickým uhlom α = 777°. Zredukujme sínus alfa na trigonometrickú funkciu ostrého uhla. Príklad 2: Použitie mnemotechnického pravidla 1. Predstavte si uhol α = 777 ° v požadovanom tvare 777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2 2. Pôvodný uhol je uhol prvej štvrtiny. To znamená, že sínus uhla má kladné znamienko. V dôsledku toho máme: 3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33° Teraz sa pozrime na príklad, ktorý ukazuje, aké dôležité je správne určiť znamienko goniometrickej funkcie a správne znázorniť uhol pri použití mnemotechnického pravidla. Zopakujme si to ešte raz. Dôležité! Uhol α musí byť ostrý! Vypočítajme tangens uhla 5 π 3. Z tabuľky hodnôt hlavných goniometrických funkcií môžete okamžite prevziať hodnotu t g 5 π 3 = - 3, ale použijeme mnemotechnické pravidlo. Príklad 3: Použitie mnemotechnického pravidla Predstavme si uhol α = 5 π 3 v požadovanom tvare a použijeme pravidlo t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3 Ak znázorníme uhol alfa v tvare 5 π 3 = π + 2 π 3, potom výsledok aplikácie mnemotechnického pravidla bude nesprávny. t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3 Nesprávny výsledok je spôsobený tým, že uhol 2 π 3 nie je ostrý. Dôkaz redukčných vzorcov je založený na vlastnostiach periodicity a symetrie goniometrických funkcií, ako aj na vlastnosti posunu o uhly π 2 a 3 π 2. Dôkaz platnosti všetkých redukčných vzorcov možno vykonať bez zohľadnenia členu 2 πz, pretože označuje zmenu uhla o celý počet plných otáčok a presne odráža vlastnosť periodicity. Prvých 16 vzorcov vyplýva priamo z vlastností základných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Tu je dôkaz redukčných vzorcov pre sínusy a kosínusy sin π 2 + α = cos α a cos π 2 + α = - sin α Pozrime sa na jednotkovú kružnicu, ktorej začiatočný bod po otočení o uhol α ide do bodu A 1 x, y a po otočení o uhol π 2 + α - do bodu A 2. Z oboch bodov nakreslíme kolmice na os x. Dva pravouhlé trojuholníky O A 1 H 1 a O A 2 H 2 sú rovnaké v preponách a susedných uhloch. Z umiestnenia bodov na kružnici a rovnosti trojuholníkov môžeme usúdiť, že bod A 2 má súradnice A 2 - y, x. Pomocou definícií sínusu a kosínusu píšeme: sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α Berúc do úvahy základné identity trigonometrie a to, čo bolo práve dokázané, môžeme písať t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g a Aby sme dokázali redukčné vzorce s argumentom π 2 - α, musí byť uvedený v tvare π 2 + (- α). Napríklad: cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α Dôkaz využíva vlastnosti goniometrických funkcií s argumentmi opačných znamienok. Všetky ostatné redukčné vzorce sa dajú dokázať na základe vyššie napísaných. Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
uhla `\alpha` prejde do bodu `A_1(x, y)` a po otočení o uhol `\frac (\pi)2 + \alpha` do bodu `A_2(-y, x)`. Keď pustíme kolmice z týchto bodov na priamku OX, vidíme, že trojuholníky `OA_1H_1` a `OA_2H_2` sú rovnaké, pretože ich prepony a susedné uhly sú rovnaké. Potom na základe definícií sínusu a kosínusu môžeme napísať `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos (\frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. Kde môžeme napísať, že ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` a `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, čo dokazuje zníženie vzorce pre sínusové a kosínusové uhly `\frac (\pi)2 + \alpha`.
Uhol sme nakreslili od vodorovnej osi (kôň hovorí „nie“) - nemení svoj názov, uhol sa nachádza v tretej štvrtine, v ktorej je kosínus záporný, preto je redukovaná funkcia záporná. Dostaneme:
V dôsledku toho redukovateľná funkcia zmení svoj názov, redukovateľná funkcia je väčšia ako nula (tangens tretieho štvrtinového uhla je väčší ako nula): 
.
Najprv otočíme o radián a potom sa z tohto bodu posunieme o 1 radián v zápornom smere. Od vodorovnej osi si odložíme uhol 1 radián (sínus nemení svoj názov) a ocitneme sa v druhej štvrtine, v ktorej je sínus väčší ako nula:
Potrebujete pomôcť so štúdiom?
Predchádzajúca téma: Lekcia a prezentácia na tému: "Aplikácia redukčných vzorcov pri riešení problémov"
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, priania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
1C: Škola. Interaktívne konštrukčné úlohy pre ročníky 7-10
1C: Škola. Riešime úlohy v geometrii. Interaktívne úlohy o stavaní v priestore pre ročníky 10–11
1. Trochu zopakujeme.
2. Pravidlá pre redukčné vzorce.
3. Prevodná tabuľka pre redukčné vzorce.
4. Príklady.Pravidlo pre redukčné vzorce
3π/2 + t a 3π/2 - t, potom sa funkcia zmení na príbuznú, to znamená, že sínus sa stane kosínusom, kotangens sa stane tangensom.
Príklady použitia redukčných vzorcov
Problémy s redukčnými vzorcami pre samostatné riešenie
2) tg(2π - t),
3) detská postieľka(π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).Redukčné vzorce. Zoznam
Príklady použitia redukčných vzorcov
Mnemotechnické pravidlo
