Vietov teorém. Príklady použitia. François Viet. Vieta vzorce pre kvadratické rovnice a rovnice vyšších mocností Vieta veta definícia a vzorec

V matematike existujú špeciálne triky, s ktorými sa mnohé kvadratické rovnice riešia veľmi rýchlo a bez akýchkoľvek diskriminantov. Navyše, s riadnym tréningom, mnohí začnú riešiť kvadratické rovnice slovne, doslova „na prvý pohľad“.

Bohužiaľ, v modernom kurze školskej matematiky sa takéto technológie takmer neštudujú. A musíte vedieť! A dnes zvážime jednu z týchto techník - Vietovu vetu. Najprv si predstavme novú definíciu.

Kvadratická rovnica tvaru x 2 + bx + c = 0 sa nazýva redukovaná. Upozorňujeme, že koeficient na x 2 sa rovná 1. Neexistujú žiadne ďalšie obmedzenia pre koeficienty.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je redukovaná kvadratická rovnica;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - tiež znížené;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ale to nie je nič znížené, pretože koeficient pri x 2 je 2.

Samozrejme, ľubovoľnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + bx + c = 0 je možné redukovať - ​​stačí vydeliť všetky koeficienty číslom a. Môžeme to urobiť vždy, pretože z definície kvadratickej rovnice vyplýva, že a ≠ 0.

Je pravda, že tieto transformácie nebudú vždy užitočné pri hľadaní koreňov. O niečo nižšie sa uistíme, že by sa to malo robiť iba vtedy, keď sú všetky koeficienty v konečnej druhej mocnine rovnice celé čísla. Zatiaľ sa pozrime na niekoľko jednoduchých príkladov:

Úloha. Previesť kvadratickú rovnicu na redukovanú:

1. 3x2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x − 11 = 0.

Vydeľme každú rovnicu koeficientom premennej x 2 . Dostaneme:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - všetko delené 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - delené −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - delené 1,5, všetky koeficienty sa stali celými číslami;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - delené 2. V tomto prípade vznikli zlomkové koeficienty.

Ako vidíte, dané kvadratické rovnice môžu mať celočíselné koeficienty, aj keď pôvodná rovnica obsahovala zlomky.

Teraz formulujeme hlavnú vetu, pre ktorú bol v skutočnosti zavedený koncept redukovanej kvadratickej rovnice:

Vietov teorém. Zvážte redukovanú kvadratickú rovnicu tvaru x 2 + bx + c \u003d 0. Predpokladajme, že táto rovnica má skutočné korene x 1 a x 2. V tomto prípade sú pravdivé nasledujúce tvrdenia:

1. x1 + x2 = −b. Inými slovami, súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná koeficientu premennej x s opačným znamienkom;
2. x 1 x 2 = c. Súčin koreňov kvadratickej rovnice sa rovná voľnému koeficientu.

Príklady. Pre jednoduchosť budeme brať do úvahy iba dané kvadratické rovnice, ktoré nevyžadujú ďalšie transformácie:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korene: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 \u003d -15; korene: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korene: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Vietova veta nám dáva ďalšie informácie o koreňoch kvadratickej rovnice. Na prvý pohľad sa to môže zdať komplikované, ale aj s minimálnym tréningom sa naučíte „vidieť“ korene a doslova ich uhádnuť v priebehu niekoľkých sekúnd.

Úloha. Vyriešte kvadratickú rovnicu:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12 x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x2 + 77x − 210 = 0.

Skúsme si zapísať koeficienty podľa Vietovej vety a „uhádnuť“ korene:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 je redukovaná kvadratická rovnica.
   Podľa Vietovej vety máme: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Je ľahké vidieť, že korene sú čísla 2 a 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - tiež znížené.
   Podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Preto korene: 3 a 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - táto rovnica nie je redukovaná. Teraz to však napravíme vydelením oboch strán rovnice koeficientom a \u003d 3. Dostaneme: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Riešime podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korene: −10 a −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - opäť koeficient pri x 2 sa nerovná 1, t.j. rovnica nie je daná. Všetko vydelíme číslom a = −7. Dostaneme: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Podľa Vietovej vety: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; z týchto rovníc je ľahké uhádnuť korene: 5 a 6.

Z vyššie uvedenej úvahy je vidieť, ako Vietova veta zjednodušuje riešenie kvadratických rovníc. Žiadne zložité výpočty, žiadne aritmetické korene a zlomky. A dokonca ani diskriminant (pozri lekciu „Riešenie kvadratických rovníc“) sme nepotrebovali.

Samozrejme, pri všetkých našich úvahách sme vychádzali z dvoch dôležitých predpokladov, ktoré sa vo všeobecnosti nie vždy v reálnych problémoch napĺňajú:

1. Kvadratická rovnica sa redukuje, t.j. koeficient pri x 2 je 1;
2. Rovnica má dva rôzne korene. Z hľadiska algebry je v tomto prípade diskriminant D > 0 - v skutočnosti spočiatku predpokladáme, že táto nerovnosť je pravdivá.

V typických matematických úlohách sú však tieto podmienky splnené. Ak sa v dôsledku výpočtov získa „zlá“ kvadratická rovnica (koeficient na x 2 sa líši od 1), dá sa to ľahko opraviť - pozrite si príklady na samom začiatku hodiny. O koreňoch vo všeobecnosti mlčím: čo je to za úlohu, na ktorú neexistuje odpoveď? Samozrejme tam budú korene.

Všeobecná schéma riešenia kvadratických rovníc podľa Vietovej vety je teda nasledovná:

1. Znížte kvadratickú rovnicu na danú, ak to už nebolo urobené v podmienkach úlohy;
2. Ak sa koeficienty vo vyššie uvedenej kvadratickej rovnici ukázali ako zlomkové, riešime cez diskriminant. Môžete sa dokonca vrátiť k pôvodnej rovnici a pracovať s „pohodlnejšími“ číslami;
3. V prípade celočíselných koeficientov riešime rovnicu pomocou Vietovej vety;
4. Ak v priebehu niekoľkých sekúnd nebolo možné uhádnuť korene, skórujeme podľa Vietovej vety a riešime cez diskriminant.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Takže máme rovnicu, ktorá nie je redukovaná, pretože koeficient a \u003d 5. Vydeľte všetko 5, dostaneme: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Všetky koeficienty kvadratickej rovnice sú celočíselné - skúsme vyriešiť pomocou Vietovej vety. Máme: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. V tomto prípade sa korene dajú ľahko uhádnuť - sú to 2 a 5. Nemusíte počítať cez diskriminant.

Úloha. Vyriešte rovnicu: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Pozeráme: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - táto rovnica nie je redukovaná, obe strany vydelíme koeficientom a = -5. Dostaneme: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - rovnica s zlomkovými koeficientmi.

Je lepšie vrátiť sa k pôvodnej rovnici a počítať cez diskriminant: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 (−5) (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0,4.

Úloha. Vyriešte rovnicu: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Na začiatok všetko vydelíme koeficientom a \u003d 2. Dostaneme rovnicu x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Toto je redukovaná rovnica, podľa Vietovej vety máme: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 \u003d -300. V tomto prípade je ťažké uhádnuť korene kvadratickej rovnice - osobne som pri riešení tohto problému vážne "zamrzol".

Korene budeme musieť hľadať cez diskriminant: D = 5 2 − 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Ak si nepamätáte koreň diskriminantu, tak len poznamenám, že 1225: 25 = 49. Preto 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Teraz, keď je známy koreň diskriminantu, riešenie rovnice nie je ťažké. Získame: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

V kvadratických rovniciach existuje množstvo vzťahov. Hlavnými sú vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi. Taktiež množstvo vzťahov funguje v kvadratických rovniciach, ktoré sú dané Vietovou vetou.

V tejto téme uvádzame samotnú Vietovu vetu a jej dôkaz pre kvadratickú rovnicu, teorém konverzný k Vietovej vete a analyzujeme množstvo príkladov riešenia problémov. Osobitnú pozornosť budeme v materiáli venovať úvahe o vzorcoch Vieta, ktoré definujú súvislosť medzi skutočnými koreňmi algebraickej rovnice stupňa n a jeho koeficienty.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tvrdenie a dôkaz Vietovej vety

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0 tvaru x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, kde D = b 2 − 4 a c, stanovuje pomer x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Potvrdzuje to Vietova veta.

Veta 1

V kvadratickej rovnici a x 2 + b x + c = 0, kde x 1 a x2- korene, súčet koreňov sa bude rovnať pomeru koeficientov b a a, ktorý bol braný s opačným znamienkom, a súčin koreňov sa bude rovnať pomeru koeficientov c a a, t.j. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.

Dôkaz 1

Ponúkame vám nasledujúcu schému na vykonanie dôkazu: vezmeme vzorec koreňov, zostavíme súčet a súčin koreňov kvadratickej rovnice a potom transformujeme výsledné výrazy, aby sme sa uistili, že sú rovnaké -b a a c a resp.

Zostavte súčet koreňov x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Priveďme zlomky na spoločného menovateľa - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Otvorme zátvorky v čitateli výsledného zlomku a uveďme podobné pojmy: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Znížte zlomok o: 2 - b a \u003d - b a.

Tak sme dokázali prvý vzťah Vietovej vety, ktorý sa vzťahuje na súčet koreňov kvadratickej rovnice.

Teraz prejdime k druhému vzťahu.

Aby sme to dosiahli, musíme zostaviť súčin koreňov kvadratickej rovnice: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.

Pripomeňte si pravidlo pre násobenie zlomkov a posledný súčin napíšte takto: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Prevedieme násobenie zátvorky zátvorkou v čitateli zlomku alebo použijeme vzorec rozdielu štvorcov, aby sme tento súčin rýchlejšie pretransformovali: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b2 - D24 · a2.

Použime definíciu druhej odmocniny na uskutočnenie nasledujúceho prechodu: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Vzorec D = b 2 − 4 a c zodpovedá diskriminantu kvadratickej rovnice, teda do zlomku namiesto do D možno nahradiť b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Otvorme zátvorky, dajme podobné výrazy a dostaneme: 4 · a · c 4 · a 2 . Ak to skrátime na 4a, potom zostáva c a. Takže sme dokázali druhý vzťah Vietovej vety pre súčin koreňov.

Záznam dôkazu Vietovej vety môže mať veľmi stručnú podobu, ak vynecháme vysvetlivky:

x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Keď je diskriminant kvadratickej rovnice nulový, rovnica bude mať iba jeden koreň. Aby sme na takúto rovnicu mohli aplikovať Vietovu vetu, môžeme predpokladať, že rovnica s diskriminantom rovným nule má dva rovnaké korene. Skutočne, na D = 0 koreň kvadratickej rovnice je: - b 2 a, potom x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - ba a x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2, a keďže D \u003d 0, to znamená b 2 - 4 a c = 0, odkiaľ b 2 = 4 a c, potom b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .

Najčastejšie sa v praxi uplatňuje Vietova veta vo vzťahu k redukovanej kvadratickej rovnici tvaru x 2 + p x + q = 0, kde vodiaci koeficient a je rovný 1 . V tomto smere je Vietova veta formulovaná presne pre rovnice tohto typu. Toto neobmedzuje všeobecnosť vzhľadom na skutočnosť, že akúkoľvek kvadratickú rovnicu možno nahradiť ekvivalentnou rovnicou. Na to je potrebné obe jeho časti vydeliť číslom a, ktoré je odlišné od nuly.

Uveďme ešte jednu formuláciu Vietovej vety.

Veta 2

Súčet koreňov v danej kvadratickej rovnici x 2 + p x + q = 0 sa bude rovnať koeficientu pri x, ktorý sa berie s opačným znamienkom, súčin koreňov sa bude rovnať voľnému členu, t.j. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.

Veta inverzná k Vietovej vete

Ak sa pozorne pozriete na druhú formuláciu Vietovej vety, uvidíte, že ide o korene x 1 a x2 redukovaná kvadratická rovnica x 2 + p x + q = 0 budú platné vzťahy x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q. Z týchto vzťahov x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q vyplýva, že x 1 a x2 sú koreňmi kvadratickej rovnice x 2 + p x + q = 0. Dostávame sa teda k tvrdeniu, ktoré je inverzné k Vietovej vete.

Teraz navrhujeme formalizovať toto tvrdenie ako vetu a vykonať jej dôkaz.

Veta 3

Ak čísla x 1 a x2 sú také, že x 1 + x 2 = − p a x 1 x 2 = q, potom x 1 a x2 sú koreňmi redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + p x + q = 0.

Dôkaz 2

Zmena koeficientov p a q k ich prejavu prostredníctvom x 1 a x2 umožňuje transformovať rovnicu x 2 + p x + q = 0 v ekvivalente .

Ak do výslednej rovnice dosadíme číslo x 1 namiesto X, potom dostaneme rovnosť x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Táto rovnosť pre každého x 1 a x2 sa zmení na skutočnú číselnú rovnosť 0 = 0 , as x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Znamená to, že x 1- koreň rovnice x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, a čo x 1 je tiež koreňom ekvivalentnej rovnice x 2 + p x + q = 0.

Substitúcia rovnice x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0čísla x2 namiesto x vám umožňuje získať rovnosť x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Túto rovnosť možno považovať za pravdivú, od r x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Ukazuje sa, že x2 je koreňom rovnice x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 a teda tie rovnice x 2 + p x + q = 0.

Je dokázaná veta, ktorá sa obracia k Vietovej vete.

Príklady použitia Vietovej vety

Poďme teraz k analýze najtypickejších príkladov na túto tému. Začnime s analýzou problémov, ktoré si vyžadujú aplikáciu vety, opaku Vietovej vety. Môže sa použiť na kontrolu čísel získaných v priebehu výpočtov, či sú koreňmi danej kvadratickej rovnice. Na to je potrebné vypočítať ich súčet a rozdiel a potom skontrolovať platnosť pomerov x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c.

Splnenie oboch vzťahov naznačuje, že čísla získané v priebehu výpočtov sú koreňmi rovnice. Ak vidíme, že aspoň jedna z podmienok nie je splnená, potom tieto čísla nemôžu byť koreňmi kvadratickej rovnice uvedenej v podmienke úlohy.

Príklad 1

Ktoré z dvojíc čísel 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 alebo 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 alebo 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 je pár koreňov kvadratickej rovnice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

rozhodnutie

Nájdite koeficienty kvadratickej rovnice 4 x 2 − 16 x + 9 = 0 . Toto je a = 4 , b = − 16 , c = 9 . V súlade s Vietovou vetou sa súčet koreňov kvadratickej rovnice musí rovnať -b a, t.j. 16 4 = 4 , a produkt koreňov by sa mal rovnať c a, t.j. 9 4 .

Skontrolujme získané čísla tak, že vypočítame súčet a súčin čísel z troch daných dvojíc a porovnajme ich so získanými hodnotami.

V prvom prípade x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. Táto hodnota sa líši od hodnoty 4 , takže nemusíte pokračovať v kontrole. Podľa vety, inverznej k Vietovej vete, môžeme okamžite usúdiť, že prvá dvojica čísel nie je koreňom tejto kvadratickej rovnice.

V druhom prípade x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Vidíme, že prvá podmienka je splnená. Ale druhá podmienka nie je: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Hodnota, ktorú sme dostali, je iná 9 4 . To znamená, že druhý pár čísel nie je koreňom kvadratickej rovnice.

Prejdime k tretiemu páru. Tu x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 a x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 94. Obidve podmienky sú splnené, čo znamená, že x 1 a x2 sú korene danej kvadratickej rovnice.

odpoveď: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 \u003d 2 - 7 2

Na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice môžeme použiť aj inverziu Vietovej vety. Najjednoduchšie je vybrať celočíselné korene daných kvadratických rovníc s celočíselnými koeficientmi. Môžu sa zvážiť aj iné možnosti. To však môže výrazne skomplikovať výpočty.

Na výber koreňov používame skutočnosť, že ak sa súčet dvoch čísel rovná druhému koeficientu kvadratickej rovnice, branému so znamienkom mínus, a súčin týchto čísel sa rovná voľnému členu, potom sú tieto čísla korene tejto kvadratickej rovnice.

Príklad 2

Ako príklad použijeme kvadratickú rovnicu x 2 − 5 x + 6 = 0. čísla x 1 a x2 môžu byť koreňmi tejto rovnice, ak sú splnené dve rovnosti x1 + x2 = 5 a x 1 x 2 = 6. Vyberme tie čísla. Toto sú čísla 2 a 3, pretože 2 + 3 = 5 a 2 3 = 6. Ukazuje sa, že 2 a 3 sú koreňmi tejto kvadratickej rovnice.

Inverzná hodnota Vietovej vety sa môže použiť na nájdenie druhého koreňa, keď je prvý známy alebo zrejmý. Na to môžeme použiť pomery x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .

Príklad 3

Zvážte kvadratickú rovnicu 512 x 2 – 509 x – 3 = 0. Musíme nájsť korene tejto rovnice.

rozhodnutie

Prvý koreň rovnice je 1, pretože súčet koeficientov tejto kvadratickej rovnice je nula. Ukazuje sa, že x 1 = 1.

Teraz nájdime druhý koreň. Ak to chcete urobiť, môžete použiť pomer x 1 x 2 = c a. Ukazuje sa, že 1 x 2 = − 3 512, kde x 2 \u003d – 3 512.

odpoveď: korene kvadratickej rovnice špecifikované v podmienke úlohy 1 a - 3 512 .

Korene pomocou vety konverznej k Vietovej vete je možné vyberať len v jednoduchých prípadoch. V iných prípadoch je lepšie hľadať pomocou vzorca koreňov kvadratickej rovnice cez diskriminant.

Vďaka konverznej vete Vieta môžeme tvoriť aj kvadratické rovnice s koreňmi x 1 a x2. Aby sme to urobili, musíme vypočítať súčet koreňov, ktorý dáva koeficient at X s opačným znamienkom redukovanej kvadratickej rovnice a súčin koreňov, ktorý dáva voľný člen.

Príklad 4

Napíšte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú čísla − 11 a 23 .

rozhodnutie

Akceptujme to x 1 = - 11 a x2 = 23. Súčet a súčin týchto čísel sa bude rovnať: x1 + x2 = 12 a x 1 x 2 = - 253. To znamená, že druhý koeficient je 12, voľný termín − 253.

Zostavíme rovnicu: x 2 - 12 x - 253 = 0.

Odpoveď: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Vietovu vetu môžeme použiť na riešenie problémov, ktoré súvisia so znamienkami koreňov kvadratických rovníc. Súvislosť medzi Vietovou vetou súvisí so znamienkami koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 + p x + q = 0 nasledujúcim spôsobom:

• ak má kvadratická rovnica reálne korene a ak voľný člen q je kladné číslo, potom tieto korene budú mať rovnaké znamienko "+" alebo "-";
• ak má kvadratická rovnica korene a ak voľný člen q je záporné číslo, potom jeden koreň bude "+" a druhý "-".

Obe tieto tvrdenia sú dôsledkom vzorca x 1 x 2 = q a pravidlá násobenia pre kladné a záporné čísla, ako aj čísla s rôznymi znamienkami.

Príklad 5

Sú koreňmi kvadratickej rovnice x 2 - 64 x - 21 = 0 pozitívne?

rozhodnutie

Podľa Vietovej vety korene tejto rovnice nemôžu byť oba kladné, pretože musia spĺňať rovnosť x 1 x 2 = - 21. Pri pozitívnom to nie je možné x 1 a x2.

odpoveď: nie

Príklad 6

Pri akých hodnotách parametra r kvadratická rovnica x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 bude mať dva skutočné korene s rôznymi znakmi.

rozhodnutie

Začnime hľadaním hodnôt čoho r, pre ktoré má rovnica dva korene. Nájdime diskriminantov a uvidíme čo r nadobudne kladné hodnoty. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Hodnota výrazu r2 + 8 pozitívne pre akúkoľvek skutočnú r, preto bude diskriminant väčší ako nula pre akýkoľvek skutočný r. To znamená, že pôvodná kvadratická rovnica bude mať dva korene pre akékoľvek reálne hodnoty parametra r.

Teraz sa pozrime, kedy budú mať korene rôzne znaky. To je možné, ak je ich produkt negatívny. Podľa Vietovej vety sa súčin koreňov redukovanej kvadratickej rovnice rovná voľnému členu. Správnym riešením sú teda tieto hodnoty r, pre ktoré je voľný člen r − 1 záporný. Riešime lineárnu nerovnosť r − 1< 0 , получаем r < 1 .

odpoveď: na r< 1 .

Vieta vzorce

Existuje množstvo vzorcov, ktoré sú použiteľné na vykonávanie operácií s koreňmi a koeficientmi nielen štvorcových, ale aj kubických a iných typov rovníc. Nazývajú sa formuly Vieta.

Pre algebraickú rovnicu stupňa n tvaru a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 sa predpokladá, že rovnica má n skutočné korene x 1 , x 2 , ... , x n, ktorý môže zahŕňať nasledovné:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a2a0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +. . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0,. . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0

Definícia 1

Získajte vzorce Vieta, aby nám pomohli:

• veta o rozklade polynómu na lineárne faktory;
• definícia rovnakých polynómov prostredníctvom rovnosti všetkých im zodpovedajúcich koeficientov.

Takže polynóm a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n a jeho expanzia do lineárnych faktorov tvaru a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sú rovnaké.

Ak otvoríme zátvorky v poslednom súčine a priradíme zodpovedajúce koeficienty, dostaneme vzorce Vieta. Ak vezmeme n \u003d 2, môžeme získať vzorec Vieta pre kvadratickú rovnicu: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.

Definícia 2

Vietov vzorec pre kubickú rovnicu:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Ľavá strana vzorcov Vieta obsahuje takzvané elementárne symetrické polynómy.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Mestská rozpočtová vzdelávacia inštitúcia

"Stredná škola č. 64", Bryansk

Mestská vedecká a praktická konferencia

"Prvé kroky vo vede"

Výskumná práca

"Vietova veta pre rovnice tretieho a štvrtého stupňa"

Matematika

Vyplnil: žiak 11b ročníka

Šanov Iľja Alekseevič

vedúci:

učiteľ matematiky,

Kandidát fyziky a matematiky vedy

Bykov Sergej Valentinovič

Brjansk 2012

Úvod ………………………………………………………………………… 3

Ciele a zámery ………………………………………………………………… 4

Stručné historické pozadie ………………………………………… 4

Kvadratická rovnica …………………………………………………. 5

Kubická rovnica …………………………………………………………. 6

Rovnica štvrtého stupňa ………………………………………… 7

Praktická časť …………………………………………………………. deväť

Referencie ……………………………………………………… 12

Dodatok ………………………………………………………………… 13

Úvod

Základná veta algebry hovorí, že pole je algebraicky uzavreté, inými slovami, že rovnica n-tého stupňa s komplexnými koeficientmi (vo všeobecnosti) nad poľom má presne n komplexných koreňov. Rovnice tretieho stupňa rieši Cordanov vzorec. Rovnice štvrtého stupňa Ferrari metódou. Okrem toho, že v teórii algebry je dokázané, že ak je teda koreňom rovnice je tiež koreňom tejto rovnice. Pre kubickú rovnicu sú možné tieto prípady:

všetky tri korene sú skutočné;

dva zložité korene, jeden skutočný.

To znamená, že každá kubická rovnica má aspoň jeden skutočný koreň.

Pre rovnicu štvrtého stupňa:

Všetky štyri korene sú odlišné.

Dva korene sú skutočné, dva sú zložité.

Všetky štyri korene sú zložité.

Táto práca je venovaná dôkladnému štúdiu Vietovej vety: jej formulácii, dôkazu, ako aj riešeniu problémov pomocou tejto vety.

Vykonaná práca je zameraná na pomoc žiakovi 11. ročníka, ktorý je pred skúškou, ako aj pre mladých matematikov, ktorým nie sú ľahostajné jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby riešenia v rôznych oblastiach matematiky.

V prílohe tejto práce je uvedený súbor úloh na samostatné riešenie a upevnenie nového materiálu, ktorý študujem.

Túto otázku nemožno ignorovať, pretože je dôležitá pre matematiku, tak pre prírodné vedy, ako aj pre študentov a záujemcov o riešenie takýchto problémov.

Ciele a ciele práce:

Získajte analógiu Vietovej vety pre rovnicu tretieho stupňa.

Dokážte analógiu Vietovej vety pre rovnicu tretieho stupňa.

Získajte analóg Vietovej vety pre rovnicu štvrtého stupňa.

Dokážte analógiu Vietovej vety pre rovnicu štvrtého stupňa.

Zvážte aplikáciu týchto otázok na riešenie praktických problémov.

• Overte si praktickosť aplikácie tejto vety.

Prehĺbiť matematické znalosti v oblasti riešenia rovníc.

Rozvíjať záujem o matematiku.

Stručné historické pozadie

Právom hoden byť spievaný vo veršoch

O vlastnostiach koreňov VIETA TEOREM...

Francois Viet (1540-1603) – francúzsky matematik. Povolaním právnik. V roku 1591 zaviedol písmenové označenie nielen pre neznáme veličiny, ale aj pre koeficienty rovníc; vďaka tomu sa prvýkrát podarilo vyjadriť vlastnosti rovníc a ich koreňov všeobecnými vzorcami. Vlastní ustanovenie jednotnej metódy riešenia rovníc 2., 3. a 4. stupňa. Sám Viet spomedzi objavov ocenil najmä stanovenie vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc. Na približné riešenie rovníc s číselnými koeficientmi navrhol Viet metódu podobnú neskoršej Newtonovej metóde. V trigonometrii dal François Viet úplné riešenie problému určenia všetkých prvkov plochého alebo sférického trojuholníka z troch údajov, našiel dôležité expanzie cos nx a hriech nx v právomociach cos X a hriech X. Prvýkrát uvažoval o nekonečných dielach. Vietove spisy sú napísané náročným jazykom, a preto sa ich raz šírilo menej, ako by si zaslúžili. .

Kvadratická rovnica

Na začiatok si pripomeňme Vieta vzorce pre rovnicu druhého stupňa, ktoré sme sa učili v školských osnovách.

T
Vieta vetapre kvadratickú rovnicu (stupeň 8)

E
ak a sú koreňmi kvadratickej rovnice potom

t.j. súčet koreňov danej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Pamätajte tiež na vetu konvertovať na Vietovu vetu:

Ak čísla - p a q sú také, že

potom a sú koreňmi rovnice

Vietova veta je pozoruhodná tým, že bez toho, aby sme poznali korene štvorcovej trojčlenky, ľahko vyrátame ich súčet a súčin, teda najjednoduchšie symetrické výrazy.

Vietova veta vám umožňuje uhádnuť celé odmocniny štvorcového trinomu.

kubická rovnica

Teraz pristúpme priamo k formulácii a riešeniu kubickej rovnice pomocou Vietovej vety.

Znenie

Komu
ubicová rovnica je rovnica tretieho rádu v tvare

kde a ≠ 0.

Ak a = 1, potom sa rovnica nazýva redukovaná kubická rovnica:

Takže to musíme dokázať pre rovnicu

platí nasledujúca veta:

P
nechajme teda korene tejto rovnice

Dôkaz

Predstavte si polynóm

Urobme transformácie:

Takže to chápeme

Dvapolynómy sú rovnaké vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty rovnaké pri zodpovedajúcich mocninách.

Znamená to, že

Q.E.D.

Teraz zvážte vetu, konvertujte na Vietovu vetu pre rovnicu tretieho stupňa.

F
znenie

E
ak sú čísla také, že

Rovnica štvrtého stupňa

Teraz prejdime k nastaveniu a riešeniu rovnice štvrtého stupňa pomocou Vietovej vety pre rovnicu štvrtého stupňa.

Znenie

o
rovnica štvrtého stupňa - rovnica tvaru

G
de a ≠ 0.

E
ak a = 1, potom sa rovnica nazýva redukovaná

A
tak to dokážme pre rovnicu

s
platí nasledujúca veta: nech teda korene danej rovnice

Dôkaz

Predstavte si polynóm

Urobme transformácie:

Takže to chápeme

My to vieme dva polynómy sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich koeficienty rovnaké pri zodpovedajúcich mocninách.

Znamená to, že

Q.E.D.

Zvážte vetu konvertujte na Vietovu vetu pre rovnicu štvrtého stupňa.

Znenie

Ak sú čísla také, že

potom tieto čísla sú koreňmi rovnice

Praktická časť

Teraz zvážte riešenie problémov pomocou Vietových viet pre rovnice tretieho a štvrtého stupňa.

Úloha č.1

Odpoveď: 4, -4.

Úloha č. 2

Odpoveď: 16, 24.

Na riešenie týchto rovníc môžete použiť Cardanoove vzorce, respektíve Ferrariho metódu, ale pomocou Vietovej vety určite poznáme súčet a súčin koreňov týchto rovníc.

Úloha č. 3

Napíšte rovnicu tretieho stupňa, ak je známe, že súčet koreňov je 6, párový súčin koreňov je 3 a súčin -4.

Urobme rovnicu, dostaneme

Úloha č. 4

Napíšte rovnicu tretieho stupňa, ak je známe, že súčet koreňov sa rovná 8 , tým, že párový súčin koreňov sa rovná 4 , trojnásobný súčin sa rovná 12 a produkt 20 .

Riešenie: pomocou vzorca Vieta dostaneme

Urobme rovnicu, dostaneme

Pomocou Vietovej vety môžeme jednoducho skladať rovnice podľa ich koreňov. Toto je najracionálnejší spôsob riešenia týchto problémov.

Úloha č. 5

kde a, b, c sú Heronove vzorce.

Otvorme zátvorky a transformujme výraz, dostaneme

W
Všimnite si, že radikálny výraz je kubický výraz. Použijeme Vietovu vetu pre zodpovedajúcu kubickú rovnicu, potom to máme

W

nie, čo dostaneme:

Z riešenia tohto problému vidno, že Vietovu vetu je možné aplikovať na problémy z rôznych oblastí matematiky.

Záver

V tomto príspevku bola skúmaná metóda riešenia rovníc tretieho a štvrtého stupňa pomocou Vietovej vety. Vzorce odvodené v práci sa ľahko používajú. V priebehu štúdie sa ukázalo, že v niektorých prípadoch je táto metóda pre rovnice tretej a štvrtej mocniny účinnejšia ako Cordanov vzorec a Ferrariho metóda.

Vietov teorém sa uplatnil v praxi. Vyriešilo sa množstvo úloh, ktoré napomohli k lepšej konsolidácii nového materiálu.

Táto štúdia bola pre mňa veľmi zaujímavá a poučná. Pri prehlbovaní vedomostí z matematiky som objavil veľa zaujímavých vecí a s radosťou som robil tento výskum.

Ale môj výskum v oblasti riešenia rovníc nekončí. V budúcnosti plánujem študovať riešenie rovnice n-tého stupňa pomocou Vietovej vety.

Chcem vyjadriť hlbokú vďaku môjmu školiteľovi, kandidátovi fyzikálnych a matematických vied, za možnosť takéhoto neobvyklého štúdia a neustálej pozornosti k práci.

Bibliografia

Vinogradov I.M. Matematická encyklopédia. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Problémy v elementárnej matematike, Fizmatlit, 1980.

Vietov teorém

Nech a označme korene redukovanej kvadratickej rovnice
(1) .
Potom sa súčet koreňov rovná koeficientu at s opačným znamienkom. Súčin koreňov sa rovná voľnému termínu:
;
.

Poznámka o viacerých koreňoch

Ak je diskriminant rovnice (1) nulový, potom má táto rovnica jeden koreň. Aby sa však predišlo ťažkopádnym formuláciám, všeobecne sa uznáva, že v tomto prípade má rovnica (1) dva viacnásobné alebo rovnaké korene:
.

Dôkaz jeden

Nájdite korene rovnice (1). Ak to chcete urobiť, použite vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
;
;
.

Nájdenie súčtu koreňov:
.

Na nájdenie produktu použijeme vzorec:
.
Potom

.

Veta bola dokázaná.

Dôkaz dva

Ak čísla a sú koreňmi kvadratickej rovnice (1), potom
.
Otvárame zátvorky.

.
Takže rovnica (1) bude mať tvar:
.
V porovnaní s (1) zistíme:
;
.

Veta bola dokázaná.

Inverzná Vieta veta

Nech sú ľubovoľné čísla. Potom a sú korene kvadratickej rovnice
,
kde
(2) ;
(3) .

Dôkaz Vietovej konverznej vety

Zvážte kvadratickú rovnicu
(1) .
Musíme dokázať, že ak a , potom a sú koreňmi rovnice (1).

Nahraďte (2) a (3) za (1):
.
Zoskupujeme členy ľavej strany rovnice:
;
;
(4) .

Nahradiť v (4):
;
.

Nahradiť v (4):
;
.
Rovnica je splnená. To znamená, že číslo je koreňom rovnice (1).

Veta bola dokázaná.

Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu

Teraz zvážte úplnú kvadratickú rovnicu
(5) ,
kde , a sú nejaké čísla. A .

Rovnicu (5) delíme takto:
.
To znamená, že sme dostali vyššie uvedenú rovnicu
,
kde ; .

Potom má Vietova veta pre úplnú kvadratickú rovnicu nasledujúci tvar.

Nech a označme korene úplnej kvadratickej rovnice
.
Potom súčet a súčin koreňov určujú vzorce:
;
.

Vietova veta pre kubickú rovnicu

Podobne môžeme vytvoriť spojenia medzi koreňmi kubickej rovnice. Zvážte kubickú rovnicu
(6) ,
kde , , , sú nejaké čísla. A .
Rozdeľme túto rovnicu takto:
(7) ,
kde , , .
Nech , , sú korene rovnice (7) (a rovnice (6)). Potom

.

Porovnaním s rovnicou (7) zistíme:
;
;
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa

Rovnakým spôsobom môžete nájsť súvislosti medzi koreňmi , , ... , , pre rovnicu n-tého stupňa
.

Vietova veta pre rovnicu n-tého stupňa má nasledujúci tvar:
;
;
;

.

Aby sme získali tieto vzorce, napíšeme rovnicu v nasledujúcom tvare:
.
Potom dáme rovnítko medzi koeficienty , , , ... a porovnáme voľný člen.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M.K. Potapov a kol., Algebra: učebnica pre 8. ročník vzdelávacích inštitúcií, Moskva, Vzdelávanie, 2006.