Čo znamená funkcia f z x. Čo je funkcia a jej vlastnosti. Posun pozdĺž osi x

1) Rozsah funkcií a rozsah funkcií.

Rozsah funkcie je množina všetkých platných platných hodnôt argumentu X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) definované. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt rže funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly.

Nula funkcie je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly znamienkovej stálosti funkcie.

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú také množiny hodnôt argumentov, na ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo iba záporné.

4) Monotónnosť funkcie.

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v nejakom intervale) - funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párne (nepárne) funkcie.

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x . Ak také číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie.

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).

19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.

Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy

1. Lineárna funkcia.

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná a b sú reálne čísla.

číslo a nazývaný sklon priamky, rovná sa dotyčnici uhla sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Graf lineárnej funkcie je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.

Vlastnosti lineárnej funkcie

1. Doména definície - množina všetkých reálnych čísel: D (y) \u003d R

2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R

3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu pre alebo.

4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.

5. Lineárna funkcia je spojitá na celom definičnom obore, diferencovateľná a .

2. Kvadratická funkcia.

Nazýva sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický.

Funkcia y=f(x) je taká závislosť premennej y od premennej x, keď každá platná hodnota premennej x zodpovedá jedinej hodnote premennej y .

Rozsah funkcie D(f) je množina všetkých možných hodnôt premennej x.

Funkčný rozsah E(f) je množina všetkých platných hodnôt premennej y.

Graf funkcií y=f(x) je množina rovinných bodov, ktorých súradnice spĺňajú danú funkčnú závislosť, teda body tvaru M (x; f(x)) . Graf funkcie je priamka v rovine.

Ak b=0, funkcia bude mať tvar y=kx a bude volaná priama úmernosť.

D(f) : x \v R;\medzera E(f) : y \v R

Graf lineárnej funkcie je priamka.

Sklon k priamky y=kx+b sa vypočíta podľa tohto vzorca:

k= tg \alpha , kde \alpha je uhol sklonu priamky ku kladnému smeru osi Ox.

1) Funkcia monotónne rastie pre k > 0 .

Napríklad: y=x+1

2) Funkcia monotónne klesá ako k< 0 .

Napríklad: y=-x+1

3) Ak k = 0 , potom pri ľubovoľných hodnotách b dostaneme rodinu rovných čiar rovnobežných s osou Ox.

Napríklad: y=-1

Inverzná úmernosť

Inverzná úmernosť sa nazýva funkcia formy y=\frac (k)(x), kde k je nenulové reálne číslo

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \vľavo \(R/y \neq 0 \vpravo \).

Graf funkcií y=\frac (k)(x) je hyperbola.

1) Ak k > 0, potom sa graf funkcie bude nachádzať v prvej a tretej štvrtine súradnicovej roviny.

Napríklad: y=\frac(1)(x)

2) Ak k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Napríklad: y=-\frac(1)(x)

Funkcia napájania

Funkcia napájania je funkciou tvaru y=x^n , kde n je nenulové reálne číslo

1) Ak n=2, potom y=x^2. D(f): x \ v R; \: E(f) : y \in; hlavná perióda funkcie T=2 \pi

Podľa názoru niektorých vedcov je hlavným účelom grafov ich význam pre heuristické aktivity - ilustrácie na prezentáciu teórie a predovšetkým naznačenie príkladov a protipríkladov na preukázanie alebo vyvrátenie súvislostí medzi rôznymi vlastnosťami funkcií, t.j. používanie matematického bilingvizmu vyvinutého v súlade s požiadavkami štandardu „bilingválneho“ myslenia.

Logaritmická funkcia našla široké uplatnenie v astronómii : Napríklad jas hviezd sa mení pozdĺž nej, ak porovnáme charakteristiky jasu označeného okom a pomocou prístrojov, potom môžeme zostaviť nasledujúci graf: Tu pozdĺž zvislej osi vykreslíme jasnosť hviezd v Hipparchových jednotkách (rozdelenie hviezd podľa subjektívnych charakteristík (podľa oka) do 6 skupín) a na horizontále - prístroje. Z grafu je zrejmé, že objektívne a subjektívne charakteristiky nie sú úmerné a prístroj registruje zvýšenie jasu nie o rovnakú hodnotu, ale o 2,5-násobok. Táto závislosť je vyjadrená logaritmickou funkciou.

Zvážte, ako sú postavené.

Vyberieme si pravouhlý súradnicový systém v rovine a vynesieme hodnoty argumentu na vodorovnú os X a na osi y - hodnoty funkcie y = f(x) .

Graf funkcií y = f(x) volá sa množina všetkých bodov, pre ktoré úsečky patria do oblasti funkcie a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie.

Inými slovami, graf funkcie y \u003d f (x) je množina všetkých bodov v rovine, súradnice X, pri ktoré uspokojujú vzťah y = f(x) .

Na obr. 45 a 46 sú grafy funkcií y = 2x + 1 a y \u003d x 2 – 2x .

Prísne vzaté, treba rozlišovať medzi grafom funkcie (ktorej presná matematická definícia bola uvedená vyššie) a nakreslenou krivkou, ktorá vždy poskytuje len viac-menej presný náčrt grafu (a aj tak spravidla nie celého grafu, ale iba jeho časti umiestnenej v koncových častiach roviny). V nasledujúcom texte sa však zvyčajne budeme odvolávať na „graf“ a nie na „náčrt grafu“.

Pomocou grafu môžete nájsť hodnotu funkcie v bode. Totiž, ak bod x = a patrí do rozsahu funkcie y = f(x) a potom vyhľadajte číslo f(a)(t.j. funkčné hodnoty v bode x = a) by tak mal urobiť. Treba cez bodku s osou x x = a nakreslite priamku rovnobežnú s osou y; táto čiara bude pretínať graf funkcie y = f(x) v jednom bode; ordináta tohto bodu bude na základe definície grafu rovná f(a)(obr. 47).

Napríklad pre funkciu f (x) \u003d x 2 - 2x pomocou grafu (obr. 46) zistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atď.

Funkčný graf vizuálne znázorňuje správanie a vlastnosti funkcie. Napríklad z úvahy na obr. 46 je zrejmé, že funkcia y \u003d x 2 – 2x nadobúda kladné hodnoty, keď X< 0 a pri x > 2, záporné - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 – 2x prijíma na x = 1 .

Na vykreslenie funkcie f(x) musíte nájsť všetky body roviny, súradnice X , pri ktoré spĺňajú rovnicu y = f(x). Vo väčšine prípadov je to nemožné, pretože takýchto bodov je nekonečne veľa. Preto je graf funkcie znázornený približne - s väčšou či menšou presnosťou. Najjednoduchšia je metóda viacbodového vykresľovania. Spočíva v tom, že argument X zadajte konečný počet hodnôt - povedzme x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k a vytvorte tabuľku, ktorá obsahuje vybrané hodnoty funkcie.

Tabuľka vyzerá takto:

Po zostavení takejto tabuľky môžeme načrtnúť niekoľko bodov na grafe funkcie y = f(x). Potom spojením týchto bodov hladkou čiarou získame približný pohľad na graf funkcie y = f(x).

Treba však poznamenať, že metóda viacbodového vykresľovania je veľmi nespoľahlivá. V skutočnosti zostáva správanie grafu medzi označenými bodmi a jeho správanie mimo segmentu medzi extrémnymi bodmi neznáme.

Príklad 1. Na vykreslenie funkcie y = f(x) niekto zostavil tabuľku hodnôt argumentov a funkcií:

Zodpovedajúcich päť bodov je znázornených na obr. 48.

Na základe umiestnenia týchto bodov usúdil, že graf funkcie je priamka (na obr. 48 znázornená bodkovanou čiarou). Dá sa tento záver považovať za spoľahlivý? Pokiaľ neexistujú ďalšie úvahy na podporu tohto záveru, ťažko ho možno považovať za spoľahlivý. spoľahlivý.

Na podloženie nášho tvrdenia zvážte funkciu

.

Výpočty ukazujú, že hodnoty tejto funkcie v bodoch -2, -1, 0, 1, 2 sú práve opísané vyššie uvedenou tabuľkou. Graf tejto funkcie však vôbec nie je rovný (je znázornený na obr. 49). Ďalším príkladom je funkcia y = x + l + sinx; jeho významy sú tiež opísané v tabuľke vyššie.

Tieto príklady ukazujú, že vo svojej „čistej“ forme je metóda viacbodového vykresľovania nespoľahlivá. Preto na vykreslenie danej funkcie zvyčajne postupujte nasledovne. Najprv sa študujú vlastnosti tejto funkcie, pomocou ktorej je možné zostrojiť náčrt grafu. Potom výpočtom hodnôt funkcie v niekoľkých bodoch (ktorých výber závisí od nastavených vlastností funkcie) sa nájdu zodpovedajúce body grafu. A nakoniec sa cez zostrojené body nakreslí krivka pomocou vlastností tejto funkcie.

Niektoré (najjednoduchšie a najčastejšie používané) vlastnosti funkcií používaných na nájdenie náčrtu grafu zvážime neskôr, ale teraz rozoberieme niektoré bežne používané metódy vykresľovania grafov.

Graf funkcie y = | f(x) |.

Často je potrebné vykresliť funkciu y = |f(x)|, kde f(x) - danú funkciu. Pripomeňme si, ako sa to robí. Definíciou absolútnej hodnoty čísla možno písať

To znamená, že graf funkcie y= | f(x) | možno získať z grafu, funkcií y = f(x) takto: všetky body grafu funkcie y = f(x), ktorého súradnice nie sú záporné, by sa malo ponechať nezmenené; ďalej namiesto bodov grafu funkcie y = f(x), ktoré majú záporné súradnice, by sa mali zostrojiť zodpovedajúce body grafu funkcie y = -f(x)(t.j. časť funkčného grafu
y = f(x), ktorá leží pod osou X, by sa mali odrážať symetricky okolo osi X).

Príklad 2 Nakreslite funkciu y = |x|.

Zoberieme graf funkcie y = x(obr. 50, a) a časť tohto grafu kedy X< 0 (ležiace pod osou X) sa symetricky odráža okolo osi X. Výsledkom je, že dostaneme graf funkcie y = |x|(obr. 50, b).

Príklad 3. Nakreslite funkciu y = |x 2 - 2x|.

Najprv nakreslíme funkciu y = x 2 - 2x. Grafom tejto funkcie je parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, vrchol paraboly má súradnice (1; -1), jej graf pretína os x v bodoch 0 a 2. Na intervale (0; 2 ) funkcia nadobúda záporné hodnoty, preto sa táto časť grafu odráža symetricky okolo osi x. Obrázok 51 zobrazuje graf funkcie y \u003d |x 2 -2x | na základe grafu funkcie y \u003d x 2 – 2x

Graf funkcie y = f(x) + g(x)

Zvážte problém vykreslenia funkcie y = f(x) + g(x). ak sú uvedené grafy funkcií y = f(x) a y = g(x) .

Všimnite si, že definičný obor funkcie y = |f(x) + g(x)| je množina všetkých tých hodnôt x, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x), t.j. táto definičná oblasť je priesečníkom definičných oblastí, funkcií f(x) ) a g(x).

Nechajte body (x 0, y 1) a (x 0, y 2) patria medzi funkčné grafy y = f(x) a y = g(x), t.j 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patrí do grafu funkcie y = f(x) + g(x)(pre f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. a ľubovoľný bod grafu funkcie y = f(x) + g(x) možno získať týmto spôsobom. Preto graf funkcie y = f(x) + g(x) možno získať z funkčných grafov y = f(x). a y = g(x) nahradením každého bodu ( x n, y 1) funkčná grafika y = f(x) bodka (x n, y 1 + y 2), kde y2 = g(x n), t.j. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkčný graf y = f(x) pozdĺž osi pri podľa sumy y 1 \u003d g (x n). V tomto prípade sa berú do úvahy iba také body. X n, pre ktoré sú definované obe funkcie y = f(x) a y = g(x) .

Tento spôsob vykresľovania funkčného grafu y = f(x) + g(x) sa nazýva sčítanie grafov funkcií y = f(x) a y = g(x)

Príklad 4. Na obrázku je metódou pridávania grafov zostrojený graf funkcie
y = x + sinx .

Pri vykresľovaní funkcie y = x + sinx predpokladali sme to f(x) = x, a g(x) = sinx. Na vykreslenie funkcie vyberieme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5, , 1,5, 2. hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx spočítame vo vybraných bodoch a výsledky umiestnime do tabuľky.

Na základe získaných výsledkov zostrojíme body, ktoré spojíme hladkou krivkou, ktorá bude náčrtom grafu funkcie y = x + sinx .

Funkčné grafy je možné zostavovať nielen ručne na bodoch, ale aj pomocou rôznych programov (excel, javor), ako aj programovaním v Pascale. Po štúdiu jazyka Pascal si súčasne zlepšíte svoje znalosti z informatiky, ale rýchlo budete vedieť zostavovať aj rôzne grafy funkcií. príklady funkcií v jazyku Pascal vám pomôžu pochopiť syntax jazyka a sami zostaviť prvé grafy.

Základné vlastnosti funkcií.

1) Rozsah funkcií a rozsah funkcií .

Rozsah funkcie je množina všetkých platných platných hodnôt argumentu X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) definované.
Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt rže funkcia akceptuje.

V elementárnej matematike sa funkcie študujú iba na množine reálnych čísel.

2) Funkčné nuly .

Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.

3) Intervaly znamienkovej stálosti funkcie .

Intervaly konštantného znamienka funkcie sú tie množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú funkčné hodnoty iba kladné alebo záporné.

4) Monotónnosť funkcie .

Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, v ktorej väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.

Klesajúca funkcia (v nejakom intervale) - funkcia, v ktorej väčšej hodnote argumentu z tohto intervalu zodpovedá menšia hodnota funkcie.

5) Párne (nepárne) funkcie .

Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi y.

Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.

6) Obmedzené a neobmedzené funkcie .

Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x . Ak také číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.

7) Periodicita funkcie .

Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické

Ak je uvedený súbor čísel X a spôsob f, čím pre každú hodnotu XЄ X zodpovedá iba jednému číslu pri. Potom sa uvažuje danú funkciu r = f(X), v ktorom doména X(zvyčajne uvádzané D(f) = X). Kopa Y všetky hodnoty pri, pre ktoré existuje aspoň jedna hodnota XЄ X, také že r = f(X), takýto súbor sa nazýva súbor hodnôt funkcie f(najčastejšie uvádzané E(f)= Y).

Alebo závislosť jednej premennej pri z iného X, pre ktoré každá hodnota premennej X z určitého súboru D zodpovedá jedinej hodnote premennej pri, sa volá funkciu.

Funkčná závislosť premennej y od x je často zdôrazňovaná zápisom y(x), ktorý y číta z x.

doména funkcie pri(X), t.j. množina hodnôt jeho argumentu X, označené symbolom D(r), ktorý sa číta de z y.

Rozsah hodnôt funkcie pri(X), t.j. množina hodnôt, ktoré preberá funkcia y, je označená symbolom E(pri), ktorý číta e z Y.

Hlavné spôsoby, ako definovať funkciu, sú:

a) analytické(pomocou vzorca r = f(X)). Táto metóda zahŕňa aj prípady, keď je funkcia daná sústavou rovníc. Ak je funkcia daná vzorcom, potom jej doménou definície sú všetky hodnoty argumentu, pre ktoré má výraz napísaný na pravej strane vzorca hodnoty.

b) tabuľkový(pomocou tabuľky zodpovedajúcich hodnôt X a pri). Týmto spôsobom sa často nastavuje teplotný režim alebo výmenné kurzy, ale tento spôsob nie je taký jasný ako nasledujúci;

v) grafický(pomocou grafu). Toto je jeden z najnázornejších spôsobov nastavenia funkcie, keďže zmeny sa okamžite „načítajú“ podľa grafu. Ak je funkcia pri(X) je daný grafom, potom jeho doménou definície D(r) je projekcia grafu na os x a rozsah hodnôt E(pri) - premietanie grafu na os y (pozri obrázok).

G) verbálne. Táto metóda sa často používa pri problémoch, alebo skôr pri popise ich stavov. Zvyčajne sa táto metóda nahrádza jednou z vyššie uvedených metód.

Funkcie r = f(X), XЄ X a r = g(X), XЄ X, sa volajú identicky rovnaké na podmnožine M S X ak pre každého X 0 Є M spravodlivá rovnosť f(X 0) = g(X 0).

Graf funkcií r = f(X) môžu byť reprezentované ako množina takýchto bodov ( X; f(X)) na súradnicovej rovine, kde X je ľubovoľná premenná, od D(f). Ak f(X 0) = 0, kde X 0, potom bod so súradnicami ( X 0; 0) je bod, v ktorom je graf funkcie r = f(X) sa pretína s osou O X. Ak 0Є D(f), potom bod (0; f(0)) je bod, v ktorom je graf funkcie pri = f(X) sa pretína s osou O pri.

číslo X 0 z D(f) funkcie r = f(X) je nula funkcie, keď f(X 0) = 0.

Medzera M S D(f) Toto interval stálosti funkcie r = f(X), ak buď pre svojvoľné XЄ M správny f(X) > 0, alebo pre ľubovoľné XЄ M správny f(X) < 0.

existuje spotrebičov, ktoré kreslia grafy závislostí medzi veličinami. Sú to barografy - prístroje na fixáciu závislosti atmosférického tlaku na čase, termografy - prístroje na fixáciu závislosti teploty na čase, kardiografy - prístroje na grafický záznam činnosti srdca. Termograf má bubon, otáča sa rovnomerne. Papier navinutý na bubne sa dotýka zapisovača, ktorý v závislosti od teploty stúpa a klesá a na papieri kreslí určitú čiaru.

Od znázornenia funkcie vzorcom môžete prejsť k jej znázorneniu v tabuľke a grafe.

Pri štúdiu matematiky je veľmi dôležité pochopiť, čo je funkcia, jej oblasti a významy. Pomocou štúdia funkcií do extrému je možné vyriešiť mnohé problémy v algebre. Dokonca aj problémy v geometrii niekedy vedú k úvahám o rovniciach geometrických útvarov v rovine.

Paralelný prenos.

PRENOS PO osi Y

f(x) => f(x) - b
Nech je potrebné vykresliť funkciu y \u003d f (x) - b. Je ľahké vidieť, že súradnice tohto grafu pre všetky hodnoty x na |b| jednotky menšie ako zodpovedajúce ordináty grafu funkcií y = f(x) pre b>0 a |b| jednotky viac - na b 0 alebo vyššie na b Ak chcete nakresliť funkciu y + b = f(x), nakreslite funkciu y = f(x) a presuňte os x na |b| jednotiek nahor pre b>0 alebo o |b| jednotky dole pri b

PRENOS PO X-OSI

f(x) => f(x + a)
Nech je potrebné vykresliť funkciu y = f(x + a). Uvažujme funkciu y = f(x), ktorá v určitom bode x = x1 nadobudne hodnotu y1 = f(x1). Je zrejmé, že funkcia y = f(x + a) nadobudne rovnakú hodnotu v bode x2, ktorého súradnica je určená z rovnosti x2 + a = x1, t.j. x2 = x1 - a a zvažovaná rovnosť platí pre súhrn všetkých hodnôt z oblasti funkcie. Preto graf funkcie y = f(x + a) možno získať paralelným posunutím grafu funkcie y = f(x) pozdĺž osi x doľava o |a| jedničky pre a > 0 alebo doprava pomocou |a| jednotky pre a Ak chcete nakresliť funkciu y = f(x + a), nakreslite funkciu y = f(x) a presuňte os y na |a| jednotky vpravo pre a>0 alebo |a| jednotky vľavo za a

Príklady:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Reflexia.

GRAFOVANIE FUNKCIE POHĽADU Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Je zrejmé, že funkcie y = f(-x) a y = f(x) nadobúdajú rovnaké hodnoty v bodoch, ktorých úsečky sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku. Inými slovami, súradnice grafu funkcie y = f(-x) v oblasti kladných (záporných) hodnôt x sa budú rovnať súradniciam grafu funkcie y = f( x) so zápornými (kladnými) hodnotami x zodpovedajúcimi v absolútnej hodnote. Dostávame teda nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vykresliť funkciu y = f(-x), mali by ste vykresliť funkciu y = f(x) a odrážať ju pozdĺž osi y. Výsledný graf je grafom funkcie y = f(-x)

GRAFOVANIE FUNKCIE POHĽADU Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordináty grafu funkcie y = - f(x) pre všetky hodnoty argumentu sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku ako sú ordináty grafu funkcie y = f(x) pre rovnaké hodnoty argumentu. Dostávame teda nasledujúce pravidlo.
Ak chcete vykresliť funkciu y = - f(x), mali by ste vykresliť funkciu y = f(x) a odrážať ju okolo osi x.

Príklady:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformácia.

DEFORMÁCIA GRAFU PODĽA osi Y

f(x) => kf(x)
Uvažujme funkciu tvaru y = k f(x), kde k > 0. Je ľahké vidieť, že pre rovnaké hodnoty argumentu budú súradnice grafu tejto funkcie k-krát väčšie ako súradnice graf funkcie y = f(x) pre k > 1 alebo 1/k krát menej ako sú ordináty grafu funkcie y = f(x) pre k ) alebo znížte jeho ordináty o 1/k krát pre k
k > 1- tiahnuci sa od osi Ox
0 - kompresia do osi OX

DEFORMÁCIA GRAFU PODĽA osi X

f(x) => f(kx)
Nech je potrebné vykresliť funkciu y = f(kx), kde k>0. Uvažujme funkciu y = f(x), ktorá nadobúda hodnotu y1 = f(x1) v ľubovoľnom bode x = x1. Je zrejmé, že funkcia y = f(kx) nadobúda rovnakú hodnotu v bode x = x2, ktorého súradnica je určená rovnosťou x1 = kx2 a táto rovnosť platí pre súhrn všetkých hodnôt x od doména funkcie. Následne sa ukáže, že graf funkcie y = f(kx) je stlačený (pre k 1) pozdĺž osi x relatívne ku grafu funkcie y = f(x). Dostávame teda pravidlo.
Ak chcete nakresliť funkciu y = f(kx), nakreslite funkciu y = f(x) a zmenšite jej úsečku o k krát pre k>1 (zmenšite graf pozdĺž úsečky) alebo zväčšite jej úsečku o 1/k krát pre k
k > 1- kompresia do osi Oy
0 - preťahovanie od osi OY