Vzorec na výpočet matematického očakávania diskrétnej náhodnej premennej. Vlastnosti matematického očakávania. Matematické očakávania pri hraní pokru

Kapitola 6

Numerické charakteristiky náhodných premenných

Matematické očakávanie a jeho vlastnosti

Na riešenie mnohých praktických problémov nie je vždy potrebné poznať všetky možné hodnoty náhodnej premennej a ich pravdepodobnosti. Navyše, niekedy je zákon rozdelenia skúmanej náhodnej premennej jednoducho neznámy. Je však potrebné zdôrazniť niektoré vlastnosti tejto náhodnej premennej, inými slovami, číselné charakteristiky.

Číselné charakteristiky- sú to nejaké čísla charakterizujúce určité vlastnosti, charakteristické znaky náhodnej premennej.

Napríklad priemerná hodnota náhodnej premennej, priemerné rozšírenie všetkých hodnôt náhodnej premennej okolo jej priemeru atď. Hlavným účelom numerických charakteristík je stručnou formou vyjadriť najdôležitejšie znaky rozdelenia skúmanej náhodnej premennej. Numerické charakteristiky v teórii pravdepodobnosti zohrávajú obrovskú úlohu. Pomáhajú riešiť aj bez znalosti distribučných zákonov mnohé dôležité praktické problémy.

Spomedzi všetkých číselných charakteristík vyčleňujeme predovšetkým charakteristiky polohy. Ide o charakteristiky, ktoré fixujú polohu náhodnej veličiny na číselnej osi, t.j. určitú priemernú hodnotu, okolo ktorej sú zoskupené zostávajúce hodnoty náhodnej premennej.

Z charakteristík pozície hrá v teórii pravdepodobnosti najväčšiu úlohu matematické očakávanie.

Očakávaná hodnota niekedy jednoducho označovaný ako stredná hodnota náhodnej premennej. Ide o akési distribučné centrum.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej

Najprv zvážte koncept matematického očakávania pre diskrétnu náhodnú premennú.

Pred zavedením formálnej definície riešime nasledujúci jednoduchý problém.

Príklad 6.1. Nechajte strelca vystreliť 100 rán na cieľ. V dôsledku toho sa získal nasledujúci obrázok: 50 rán - zasiahnutie "osem", 20 rán - zasiahnutie "deviatky" a 30 - zasiahnutie "desiatky". Aké je priemerné skóre na jeden výstrel.

rozhodnutie Tento problém je zrejmý a vedie k nájdeniu priemernej hodnoty 100 čísel, konkrétne bodov.

Zlomok transformujeme vydelením čitateľa menovateľom členom členmi a reprezentujeme priemernú hodnotu vo forme nasledujúceho vzorca:

Predpokladajme teraz, že počet bodov v jednom zábere je hodnotami nejakej diskrétnej náhodnej premennej X. Zo stavu problému je zrejmé, že X 1 =8; X 2 =9; X 3 = 10. Sú známe relatívne frekvencie výskytu týchto hodnôt, ktoré, ako je známe, sa približne rovnajú pravdepodobnostiam zodpovedajúcich hodnôt pre veľký počet testov, t.j. R 1 ≈0,5;R 2 ≈0,2; R 3 ≈ 0,3. Takže, . Hodnota na pravej strane je matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej X je súčet súčinov všetkých jeho možných hodnôt a pravdepodobnosti týchto hodnôt.

Nech je diskrétna náhodná premenná X dané jeho distribučnou sériou:

Potom matematické očakávania M(X) diskrétnej náhodnej premennej je určená nasledujúcim vzorcom:

Ak diskrétna náhodná premenná nadobudne nekonečnú spočítateľnú množinu hodnôt, potom je matematické očakávanie vyjadrené vzorcom:

,

navyše matematické očakávanie existuje, ak rad na pravej strane rovnosti absolútne konverguje.

Príklad 6.2 . Nájdite matematické očakávania výhry X za podmienok príkladu 5.1.

rozhodnutie . Pripomeňme, že distribučná séria X má nasledujúci tvar:

Získajte M(X)=0∙0,7+10∙0,2+50∙0,1=7. Je zrejmé, že 7 rubľov je spravodlivá cena tiketu v tejto lotérii bez rôznych nákladov, napríklad spojených s distribúciou alebo výrobou tiketov. ■

Príklad 6.3 . Nech náhodná premenná X je počet výskytov nejakej udalosti ALE v jednom teste. Pravdepodobnosť tejto udalosti je R. Nájsť M(X).

rozhodnutie. Je zrejmé, že možné hodnoty náhodnej premennej sú: X 1 = 0 - udalosť ALE neobjavil a X 2 = 1 – udalosť ALE objavil. Distribučná séria má tvar:

Potom M(X) = 0∙(1−R)+1∙R= R. ■

Takže matematické očakávanie počtu výskytov udalosti v jednom teste sa rovná pravdepodobnosti tejto udalosti.

Na začiatku odseku bol daný konkrétny problém, kde bol naznačený vzťah medzi matematickým očakávaním a priemernou hodnotou náhodnej premennej. Poďme si to vysvetliť všeobecne.

Nechajte vyrobiť k testy, v ktorých náhodná premenná X prijatý k 1 časová hodnota X 1 ; k 2-násobná hodnota X 2 atď. a nakoniec k n krát hodnotu x n . To je zrejmé k 1 +k 2 +…+k n = k. Nájdime aritmetický priemer všetkých týchto hodnôt, ktoré máme

Všimnite si, že zlomok je relatívna frekvencia výskytu hodnoty x i v k testy. Pri veľkom počte testov sa relatívna frekvencia približne rovná pravdepodobnosti, t.j. . Z toho teda vyplýva

.

Matematické očakávanie sa teda približne rovná aritmetickému priemeru pozorovaných hodnôt náhodnej premennej a čím presnejšie, tým väčší je počet pokusov - to je pravdepodobnostný význam matematického očakávania.

Matematické očakávanie sa niekedy nazýva stred rozdelenie náhodnej premennej, pretože je zrejmé, že možné hodnoty náhodnej premennej sa nachádzajú na číselnej osi vľavo a vpravo od jej matematického očakávania.

Prejdime teraz ku konceptu matematického očakávania pre spojitú náhodnú premennú.

Náhodná premenná nazýva sa premenná, ktorá v dôsledku každého testu nadobúda jednu predtým neznámu hodnotu v závislosti od náhodných príčin. Náhodné premenné sa označujú veľkými latinskými písmenami: $X,\ Y,\ Z,\ \bodky $ Podľa typu môžu byť náhodné premenné diskrétne a nepretržitý.

Diskrétna náhodná premenná- je to taká náhodná premenná, ktorej hodnoty môžu byť len spočítateľné, to znamená buď konečné alebo spočítateľné. Počítateľnosť znamená, že hodnoty náhodnej premennej je možné vyčísliť.

Príklad 1 . Uveďme príklady diskrétnych náhodných premenných:

a) počet zásahov do terča $n$ výstrelmi, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

b) počet erbov, ktoré vypadli pri hode mincou, tu sú možné hodnoty $0,\ 1,\ \bodky,\ n$.

c) počet lodí, ktoré dorazili na palubu (počítateľný súbor hodnôt).

d) počet hovorov prichádzajúcich do ústredne (počítateľný súbor hodnôt).

1. Zákon rozdelenia pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej.

Diskrétna náhodná premenná $X$ môže nadobúdať hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ s pravdepodobnosťou $p\left(x_1\right),\\dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korešpondencia medzi týmito hodnotami a ich pravdepodobnosťami sa nazýva distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej. Spravidla sa táto korešpondencia špecifikuje pomocou tabuľky, v ktorej prvom riadku sú uvedené hodnoty $x_1,\bodky,\ x_n$ a v druhom riadku sú pravdepodobnosti zodpovedajúce týmto hodnotám $ p_1,\bodky,\ p_n$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(pole)$

Príklad 2 . Nech náhodná premenná $X$ je počet bodov hodených pri hode kockou. Takáto náhodná premenná $X$ môže nadobúdať nasledujúce hodnoty $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Pravdepodobnosti všetkých týchto hodnôt sa rovnajú $ 1/6 $. Potom zákon rozdelenia pravdepodobnosti pre náhodnú premennú $X$:

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(pole)$

Komentujte. Keďže udalosti $1,\ 2,\ \bodky ,\ 6$ tvoria ucelenú skupinu udalostí v zákone rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej $X$, súčet pravdepodobností sa musí rovnať jednej, t.j. $\sum( p_i) = 1 $.

2. Matematické očakávanie diskrétnej náhodnej premennej.

Matematické očakávanie náhodnej premennej určuje jeho "centrálnu" hodnotu. Pre diskrétnu náhodnú premennú sa matematické očakávanie vypočíta ako súčet súčinov hodnôt $x_1,\bodky,\ x_n$ a pravdepodobností $p_1,\bodky,\ p_n$ zodpovedajúcich týmto hodnotám, t.j.: $M\vľavo(X\vpravo)=\súčet ^n_(i=1)(p_ix_i)$. V anglickej literatúre sa používa iný zápis $E\left(X\right)$.

Vlastnosti očakávania$M\vľavo(X\vpravo)$:

1. $M\left(X\right)$ je medzi najmenšou a najväčšou hodnotou náhodnej premennej $X$.
2. Matematické očakávanie konštanty sa rovná samotnej konštante, t.j. $M\vľavo(C\vpravo)=C$.
3. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka očakávania: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Matematické očakávanie súčtu náhodných premenných sa rovná súčtu ich matematických očakávaní: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Matematické očakávanie súčinu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: $M\vľavo(XY\vpravo)=M\vľavo(X\vpravo)M\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 3 . Nájdime matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\nad (6))+4\cdot ((1)\nad (6))+5\cdot ((1)\nad (6))+6\cdot ((1) )\nad (6))=3,5.$$

Môžeme si všimnúť, že $M\left(X\right)$ je medzi najmenšou ($1$) a najväčšou ($6$) hodnotou náhodnej premennej $X$.

Príklad 4 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=2$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $3X+5$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(3X+5\vpravo)=M\vľavo (3X\vpravo)+M\vľavo(5\vpravo)=3M\vľavo (X\vpravo)+5=3\ cdot 2 +5 = 11 $.

Príklad 5 . Je známe, že matematické očakávanie náhodnej premennej $X$ sa rovná $M\left(X\right)=4$. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej $2X-9$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností dostaneme $M\vľavo(2X-9\vpravo)=M\vľavo (2X\vpravo)-M\vľavo (9\vpravo)=2M\vľavo (X\vpravo)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Disperzia diskrétnej náhodnej premennej.

Možné hodnoty náhodných premenných s rovnakými matematickými očakávaniami sa môžu okolo ich priemerných hodnôt rozptýliť rôzne. Napríklad v dvoch skupinách študentov bolo priemerné skóre na skúške z teórie pravdepodobnosti 4, ale v jednej skupine boli všetci dobrí študenti a v druhej skupine iba študenti C a vynikajúci študenti. Preto je potrebná taká číselná charakteristika náhodnej premennej, ktorá by ukazovala rozptyl hodnôt náhodnej premennej okolo jej matematického očakávania. Táto vlastnosť je disperzia.

Disperzia diskrétnej náhodnej premennej$X$ je:

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2).\ $$

V anglickej literatúre sa používa zápis $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Veľmi často sa rozptyl $D\left(X\right)$ počíta podľa vzorca $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ vľavo(X \vpravo)\vpravo))^2$.

Vlastnosti disperzie$D\vľavo(X\vpravo)$:

1. Disperzia je vždy väčšia alebo rovná nule, t.j. $D\vľavo(X\vpravo)\ge 0$.
2. Disperzia z konštanty sa rovná nule, t.j. $D\vľavo(C\vpravo)=0$.
3. Konštantný faktor je možné odobrať zo znamienka rozptylu za predpokladu, že je na druhú, t.j. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X+Y\vpravo)=D\vľavo (X\vpravo)+D\vľavo (Y\vpravo)$.
5. Rozptyl rozdielu nezávislých náhodných veličín sa rovná súčtu ich rozptylov, t.j. $D\vľavo(X-Y\vpravo)=D\vľavo(X\vpravo)+D\vľavo(Y\vpravo)$.

Príklad 6 . Vypočítajme rozptyl náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$$D\vľavo(X\vpravo)=\súčet^n_(i=1)(p_i(\vľavo(x_i-M\vľavo(X\vpravo)\vpravo))^2)=((1)\nad (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \bodky +((1)\viac ako (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\nad (12))\približne 2,92,$$

Príklad 7 . Je známe, že rozptyl náhodnej premennej $X$ sa rovná $D\left(X\right)=2$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $4X+1$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ vľavo(X\vpravo)=16\cdot 2=32$.

Príklad 8 . Je známe, že rozptyl $X$ sa rovná $D\left(X\right)=3$. Nájdite rozptyl náhodnej premennej $3-2X$.

Pomocou vyššie uvedených vlastností nájdeme $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ vľavo(X\vpravo)=4\cdot 3=12$.

4. Distribučná funkcia diskrétnej náhodnej premennej.

Spôsob reprezentácie diskrétnej náhodnej premennej vo forme distribučného radu nie je jediný, a čo je najdôležitejšie, nie je univerzálny, pretože spojitú náhodnú premennú nemožno špecifikovať pomocou distribučného radu. Existuje ďalší spôsob, ako reprezentovať náhodnú premennú - distribučnú funkciu.

distribučná funkcia náhodná premenná $X$ je funkcia $F\left(x\right)$, ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnotu menšiu ako nejaká pevná hodnota $x$, t.j. $F\left(x\ vpravo)$ )=P\vľavo(X< x\right)$

Vlastnosti distribučnej funkcie:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Pravdepodobnosť, že náhodná premenná $X$ nadobudne hodnoty z intervalu $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, sa rovná rozdielu medzi hodnotami distribučnej funkcie na koncoch tohto intervalu : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - neklesá.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \vpravo)=1\ )$.

Príklad 9 . Nájdite distribučnú funkciu $F\left(x\right)$ pre distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej $X$ z príkladu $2$.

$\begin(pole)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(pole)$

Ak $x\le 1$, potom samozrejme $F\left(x\right)=0$ (vrátane $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Ak 1 dolár< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ak 2 doláre< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ak 3 doláre< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ak 4 doláre< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ak 5 dolárov< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ak $x > 6$, potom $F\vľavo(x\vpravo)=P\vľavo(X=1\vpravo)+P\vľavo(X=2\vpravo)+P\vľavo(X=3\vpravo) + P\vľavo(X=4\vpravo)+P\vľavo(X=5\vpravo)+P\vľavo (X=6\vpravo)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Takže $F(x)=\vľavo\(\začiatok(matica)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, o \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2, o \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ o\ 4< x\le 5,\\
6.5., \ o \ 4< x\le 5,\\
1,\ pre \ x > 6.
\end(matica)\right.$

Koncept matematického očakávania možno zvážiť na príklade hodu kockou. Pri každom hode sa zaznamenávajú spadnuté body. Na ich vyjadrenie sa používajú prirodzené hodnoty v rozmedzí 1 - 6.

Po určitom počte hodov môžete pomocou jednoduchých výpočtov nájsť aritmetický priemer bodov, ktoré padli.

Okrem vypustenia ktorejkoľvek z hodnôt rozsahu bude táto hodnota náhodná.

A ak niekoľkokrát zvýšite počet hodov? Pri veľkom počte hodov sa aritmetický priemer bodov priblíži k určitému číslu, ktoré sa v teórii pravdepodobnosti nazýva matematické očakávanie.

Matematické očakávanie sa teda chápe ako priemerná hodnota náhodnej premennej. Tento ukazovateľ možno prezentovať aj ako vážený súčet pravdepodobných hodnôt.

Tento pojem má niekoľko synoným:

• priemerný;
• priemerná hodnota;
• centrálny trendový indikátor;
• prvý moment.

Inými slovami, nie je to nič iné ako číslo, okolo ktorého sú rozdelené hodnoty náhodnej premennej.

V rôznych sférach ľudskej činnosti budú prístupy k pochopeniu matematického očakávania trochu odlišné.

Dá sa na to pozerať takto:

• priemerný prospech získaný z prijatia rozhodnutia v prípade, ak sa takéto rozhodnutie posudzuje z hľadiska teórie veľkých čísel;
• možnú výšku výhry alebo prehry (teória hazardu), vypočítanú v priemere pre každú zo stávok. V slangu znejú ako „výhoda hráča“ (pozitívna pre hráča) alebo „výhoda kasína“ (negatíva pre hráča);
• percento zisku získaného z výhier.

Matematické očakávanie nie je povinné pre absolútne všetky náhodné premenné. Chýba pre tých, ktorí majú nezrovnalosť v zodpovedajúcom súčte alebo integráli.

Vlastnosti očakávania

Ako každý štatistický parameter, aj matematické očakávanie má nasledujúce vlastnosti:

Základné vzorce pre matematické očakávania

Výpočet matematického očakávania možno vykonať pre náhodné premenné charakterizované ako spojitosťou (vzorec A), tak aj diskrétnosťou (vzorec B):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, kde xi sú hodnoty náhodnej premennej, pi sú pravdepodobnosti:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, kde f(x) je daná hustota pravdepodobnosti.

Príklady výpočtu matematického očakávania

Príklad A.

Je možné zistiť priemernú výšku škriatkov v rozprávke o Snehulienke. Je známe, že každý zo 7 gnómov mal určitú výšku: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 a 0,81 m.

Algoritmus výpočtu je pomerne jednoduchý:

• nájdite súčet všetkých hodnôt ukazovateľa rastu (náhodná premenná):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Výsledné množstvo sa vydelí počtom škriatkov:
  6,31:7=0,90.

Priemerná výška škriatkov v rozprávke je teda 90 cm Inými slovami, toto je matematické očakávanie rastu škriatkov.

Pracovný vzorec - M (x) \u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \u003d 6

Praktická implementácia matematického očakávania

Výpočet štatistického ukazovateľa matematického očakávania sa používa v rôznych oblastiach praktickej činnosti. V prvom rade hovoríme o komerčnej sfére. Zavedenie tohto ukazovateľa Huygensom totiž súvisí s určením šancí, ktoré môžu byť pre nejakú udalosť priaznivé, alebo naopak nepriaznivé.

Tento parameter je široko používaný na hodnotenie rizika, najmä pokiaľ ide o finančné investície.
Takže v podnikaní funguje výpočet matematického očakávania ako metóda na hodnotenie rizika pri výpočte cien.

Tento ukazovateľ možno použiť aj pri výpočte účinnosti určitých opatrení, napríklad na ochranu práce. Vďaka nemu môžete vypočítať pravdepodobnosť výskytu udalosti.

Ďalšou oblasťou použitia tohto parametra je správa. Dá sa vypočítať aj pri kontrole kvality produktu. Napríklad pomocou mat. očakávania, môžete vypočítať možný počet výrobných chybných dielov.

Matematické očakávania sú nevyhnutné aj pri štatistickom spracovaní výsledkov získaných v rámci vedeckého výskumu. Umožňuje tiež vypočítať pravdepodobnosť požadovaného alebo nežiaduceho výsledku experimentu alebo štúdie v závislosti od úrovne dosiahnutia cieľa. Koniec koncov, jeho dosiahnutie môže byť spojené so ziskom a ziskom a jeho nedosiahnutie - ako strata alebo strata.

Použitie matematických očakávaní na Forexe

Praktická aplikácia tohto štatistického parametra je možná pri vykonávaní transakcií na devízovom trhu. Môže sa použiť na analýzu úspešnosti obchodných transakcií. Navyše, zvýšenie hodnoty očakávania naznačuje zvýšenie ich úspechu.

Je tiež dôležité pamätať na to, že matematické očakávania by sa nemali považovať za jediný štatistický parameter používaný na analýzu výkonnosti obchodníka. Použitie niekoľkých štatistických parametrov spolu s priemernou hodnotou občas zvyšuje presnosť analýzy.

Tento parameter sa dobre osvedčil pri sledovaní obchodných účtov. Vďaka nemu sa vykonáva rýchle posúdenie práce vykonanej na vkladovom účte. V prípadoch, keď je činnosť obchodníka úspešná a vyhýba sa stratám, sa neodporúča používať iba výpočet matematického očakávania. V týchto prípadoch sa neberú do úvahy riziká, čo znižuje účinnosť analýzy.

Vykonané štúdie taktiky obchodníkov naznačujú, že:

• najúčinnejšia je taktika založená na náhodnom vstupe;
• najmenej efektívne sú taktiky založené na štruktúrovaných vstupoch.

Na dosiahnutie pozitívnych výsledkov je rovnako dôležité:

• taktiky hospodárenia s peniazmi;
• výstupné stratégie.

Pomocou takého ukazovateľa, akým je matematické očakávanie, môžeme predpokladať, aký bude zisk alebo strata pri investovaní 1 dolára. Je známe, že tento ukazovateľ, vypočítaný pre všetky hry praktizované v kasíne, je v prospech inštitúcie. To je to, čo vám umožňuje zarábať peniaze. V prípade dlhej série hier sa výrazne zvyšuje pravdepodobnosť straty peňazí zo strany klienta.

Hry profesionálnych hráčov sú obmedzené na krátke časové úseky, čo zvyšuje šancu na výhru a znižuje riziko prehry. Rovnaký model sa pozoruje pri vykonávaní investičných operácií.

Investor môže zarobiť značné množstvo s pozitívnym očakávaním a veľkým počtom transakcií v krátkom časovom období.

Očakávanie si možno predstaviť ako rozdiel medzi percentom zisku (PW) krát priemerný zisk (AW) a pravdepodobnosťou straty (PL) krát priemerná strata (AL).

Ako príklad zvážte nasledovné: pozícia - 12,5 tisíc dolárov, portfólio - 100 tisíc dolárov, riziko na vklad - 1%. Ziskovosť transakcií je 40 % prípadov s priemerným ziskom 20 %. V prípade straty je priemerná strata 5 %. Výpočet matematického očakávania pre obchod dáva hodnotu 625 USD.

rozhodnutie:

6.1.2 Vlastnosti očakávaní

1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante.

2. Zo znamenia očakávania možno vyňať konštantný faktor.

3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní.

Táto vlastnosť je platná pre ľubovoľný počet náhodných premenných.

4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní členov.

Táto vlastnosť platí aj pre ľubovoľný počet náhodných premenných.

Príklad: M(X) = 5, M (Y)= 2. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z, aplikujúc vlastnosti matematického očakávania, ak je známe, že Z = 2X + 3Y.

rozhodnutie: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) matematické očakávanie sumy sa rovná súčtu matematických očakávaní

2) konštantný faktor možno vyňať zo znamenia očakávania

Nech sa vykoná n nezávislých pokusov, pravdepodobnosť výskytu udalosti A, v ktorej sa rovná p. Potom platí nasledujúca veta:

Veta. Matematické očakávanie M(X) počtu výskytov udalosti A v n nezávislých pokusoch sa rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobnosti výskytu udalosti v každom pokuse.

6.1.3 Disperzia diskrétnej náhodnej premennej

Matematické očakávanie nemôže úplne charakterizovať náhodný proces. Okrem matematického očakávania je potrebné zaviesť hodnotu, ktorá charakterizuje odchýlku hodnôt náhodnej premennej od matematického očakávania.

Táto odchýlka sa rovná rozdielu medzi náhodnou premennou a jej matematickým očakávaním. V tomto prípade je matematické očakávanie odchýlky nulové. Vysvetľuje to skutočnosť, že niektoré možné odchýlky sú pozitívne, iné sú negatívne a v dôsledku ich vzájomného zrušenia sa získa nula.

Rozptyl (rozptyl) Diskrétna náhodná premenná sa nazýva matematické očakávanie druhej mocniny odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania.

V praxi je tento spôsob výpočtu rozptylu nepohodlný, pretože vedie k ťažkopádnym výpočtom pre veľký počet hodnôt náhodnej premennej.

Preto sa používa iná metóda.

Veta. Rozptyl sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a druhou mocninou jej matematického očakávania.

Dôkaz. Berúc do úvahy skutočnosť, že matematické očakávanie M (X) a druhá mocnina matematického očakávania M 2 (X) sú konštantné hodnoty, môžeme napísať:

Príklad. Nájdite rozptyl diskrétnej náhodnej premennej danej distribučným zákonom.

Rozhodnutie: .

6.1.4 Disperzné vlastnosti

1. Rozptyl konštantnej hodnoty je nulový. .

2. Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením. .

3. Rozptyl súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných. .

4. Rozptyl rozdielu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných. .

Veta. Rozptyl počtu výskytov javu A v n nezávislých pokusoch, z ktorých je pravdepodobnosť p výskytu javu konštantná, sa rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobnosti výskytu a nenastávania. udalosti v každom pokuse.

Príklad: Nájdite rozptyl DSV X - počet výskytov udalosti A v 2 nezávislých štúdiách, ak je pravdepodobnosť výskytu udalosti v týchto štúdiách rovnaká a je známe, že M(X) = 1,2.

Aplikujeme vetu z časti 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Nájsť p:

1,2 = 2∙p

p = 1,2/2

q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4

Nájdite rozptyl podľa vzorca:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Smerodajná odchýlka diskrétnej náhodnej premennej

Smerodajná odchýlka náhodná premenná X sa nazýva druhá odmocnina rozptylu.

(25)

Veta. Smerodajná odchýlka súčtu konečného počtu vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná druhej odmocnine súčtu štvorcových smerodajných odchýlok týchto premenných.

6.1.6 Mód a medián diskrétnej náhodnej premennej

Móda M o DSV najpravdepodobnejšia hodnota náhodnej premennej sa nazýva (t. j. hodnota, ktorá má najvyššiu pravdepodobnosť)

Medián M a DSW je hodnota náhodnej premennej, ktorá delí distribučný rad na polovicu. Ak je počet hodnôt náhodnej premennej párny, potom sa medián zistí ako aritmetický priemer dvoch stredných hodnôt.

Príklad: Režim hľadania a medián DSW X:

ja = = 5,5

Pracovný proces

1. Oboznámte sa s teoretickou časťou tejto práce (prednášky, učebnica).

2. Dokončite úlohu podľa vlastného výberu.

3. Zostavte správu o práci.

4. Chráňte svoju prácu.

2. Účel práce.

3. Postup prác.

4. Rozhodnutie o vašej opcii.

6.4 Varianty úloh pre samostatnú prácu

Možnosť číslo 1

1. Nájdite matematické očakávanie, rozptyl, smerodajnú odchýlku, modus a medián DSV X dané distribučným zákonom.

2. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z, ak sú známe matematické očakávania pre X a Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Nájdite rozptyl DSV X - počet výskytov udalosti A v dvoch nezávislých štúdiách, ak sú pravdepodobnosti výskytu udalostí v týchto štúdiách rovnaké a je známe, že M (X) = 1.

4. Je uvedený zoznam možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3= 5 a sú známe aj matematické očakávania tejto veličiny a jej druhej mocniny: , . Nájdite pravdepodobnosti , , , zodpovedajúce možným hodnotám, a zostavte distribučný zákon DSW.

Možnosť číslo 2

2. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z, ak sú známe matematické očakávania pre X a Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Nájdite rozptyl DSV X - počet výskytov udalosti A v troch nezávislých štúdiách, ak sú pravdepodobnosti výskytu udalostí v týchto štúdiách rovnaké a je známe, že M (X) = 0,9.

4. Je uvedený zoznam možných hodnôt diskrétnej náhodnej premennej X: x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10 a sú známe aj matematické očakávania tejto veličiny a jej druhej mocniny: , . Nájdite pravdepodobnosti , , , zodpovedajúce možným hodnotám, a zostavte distribučný zákon DSW.

Možnosť číslo 3

1. Nájdite matematické očakávanie, rozptyl a smerodajnú odchýlku DSV X dané distribučným zákonom.

2. Nájdite matematické očakávanie náhodnej premennej Z, ak sú známe matematické očakávania pre X a Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Nájdite rozptyl DSV X - počet výskytov udalosti A v štyroch nezávislých štúdiách, ak sú pravdepodobnosti výskytu udalostí v týchto štúdiách rovnaké a je známe, že M (x) = 1,2.

1. Matematické očakávanie konštantnej hodnoty sa rovná samotnej konštante M(S)=S .
2. Z znamenia očakávania možno vyňať konštantný faktor: M(CX)=CM(X)
3. Matematické očakávanie súčinu dvoch nezávislých náhodných premenných sa rovná súčinu ich matematických očakávaní: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Matematické očakávanie súčtu dvoch náhodných premenných sa rovná súčtu matematických očakávaní pojmov: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Veta. Matematické očakávanie M(x) počtu výskytov udalostí A v n nezávislých pokusoch sa rovná súčinu týchto pokusov podľa pravdepodobnosti výskytu udalostí v každom pokuse: M(x) = np.

Nechať byť X je náhodná premenná a M(X) je jeho matematické očakávanie. Zvážte rozdiel ako novú náhodnú premennú X - M(X).

Odchýlka je rozdiel medzi náhodnou premennou a jej matematickým očakávaním.

Odchýlka má nasledujúci distribučný zákon:

Riešenie: Nájdite matematické očakávanie:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Napíšme distribučný zákon druhej mocniny odchýlky:

Riešenie: Nájdite očakávanie M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Napíšme distribučný zákon náhodnej premennej X 2

Poďme nájsť matematické očakávanie M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Požadovaná disperzia D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05

Disperzné vlastnosti:

1. Disperzia konštantnej hodnoty S rovná sa nule: D(C)=0
2. Konštantný faktor možno zo znamienka disperzie odstrániť jeho umocnením. D(Cx)=C2D(x)
3. Rozptyl súčtu nezávislých náhodných premenných sa rovná súčtu rozptylov týchto premenných. D(X1 +X2 +...+Xn)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xn)
4. Rozptyl binomického rozdelenia sa rovná súčinu počtu pokusov a pravdepodobnosti výskytu a neprítomnosti udalosti v jednom pokuse. D(X)=npq

Na odhad rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty slúžia okrem rozptylu aj niektoré ďalšie charakteristiky. Medzi nimi je štandardná odchýlka.

Smerodajná odchýlka náhodnej premennej X nazývaná druhá odmocnina rozptylu:

σ(X) = √D(X) (4)

Príklad. Náhodná veličina X je daná distribučným zákonom

Nájdite smerodajnú odchýlku σ(x)

Riešenie: Nájdite matematické očakávanie X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Nájdite matematické očakávanie X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Nájdite disperziu: D(x)=M(x2)=M(x2)-2=54-6,42=13,04
Požadovaná štandardná odchýlka σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61

Veta. Smerodajná odchýlka súčtu konečného počtu vzájomne nezávislých náhodných premenných sa rovná druhej odmocnine súčtu štvorcových smerodajných odchýlok týchto premenných:

Príklad. Na poličke so 6 knihami sú 3 knihy o matematike a 3 o fyzike. Náhodne sú vybrané tri knihy. Nájdite zákon rozdelenia počtu kníh z matematiky medzi vybrané knihy. Nájdite matematické očakávanie a rozptyl tejto náhodnej premennej.

D (X) \u003d M (X 2) - M (X) 2 \u003d 2,7 - 1,5 2 \u003d 0,45