Znaky a vlastnosti kolmých rovín. Prednáška z matematiky na tému "znamenie kolmosti dvoch rovín". Téma: Kolmosť priamok a rovín

TEXTOVÉ VYSVETLENIE LEKCIE:

Myšlienka roviny vo vesmíre vám umožňuje získať napríklad povrch stola alebo steny. Stôl alebo stena má však konečné rozmery a rovina siaha za ich hranice do nekonečna.

Zvážte dve pretínajúce sa roviny. Keď sa pretínajú, zvierajú štyri uhly dvojsteny so spoločnou hranou.

Pripomeňme si, čo je dihedrálny uhol.

V skutočnosti sa stretávame s predmetmi, ktoré majú tvar uholníka: napríklad pootvorené dvierka alebo pootvorený priečinok.

Na priesečníku dvoch rovín alfa a beta dostaneme štyri uhly klinu. Nech sa jeden z dihedrálnych uhlov rovná (phi), potom sa druhý rovná (1800 -), tretí, štvrtý (1800-).

Zvážte prípad, keď sa jeden z uhlov klinu rovná 900.

Potom sú všetky dihedrálne uhly v tomto prípade rovné 900.

Uveďme definíciu kolmých rovín:

Dve roviny sa považujú za kolmé, ak je uhol medzi nimi 90°.

Uhol medzi rovinami sigma a epsilon je 90 stupňov, čo znamená, že roviny sú kolmé

Uveďme príklady kolmých rovín.

Stena a strop.

Bočná stena a stolová doska.

Formulujme znamienko kolmosti dvoch rovín:

TEOREMA: Ak jedna z dvoch rovín prechádza priamkou kolmou na druhú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

Poďme dokázať túto vlastnosť.

Podľa podmienky je známe, že priamka AM leží v rovine α, priamka AM je kolmá na rovinu β,

Dokážte: roviny α a β sú kolmé.

dôkaz:

1) Roviny α a β sa pretínajú pozdĺž priamky AR, zatiaľ čo AM ​​AR, pretože AM β podľa podmienky, to znamená, že AM je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v rovine β.

2) Narysujme priamku AT kolmú na AP v rovine β.

Dostaneme uhol TAM - lineárny uhol dihedrálneho uhla. Ale uhol TAM = 90°, keďže MA β. Preto α β.

Q.E.D.

Zo znamienka kolmosti dvoch rovín máme dôležitý dôsledok:

DÔSLEDOK: Rovina kolmá na priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve roviny, je kolmá na každú z týchto rovín.

To znamená: ak α∩β=с a γ с, potom γ α a γ β.

Dokážme tento dôsledok: ak je rovina gama kolmá na priamku c, potom podľa znamienka rovnobežnosti dvoch rovín je gama kolmá na alfa. Podobne je gama kolmá na beta.

Preformulujme tento dôsledok pre dihedrálny uhol:

Rovina prechádzajúca lineárnym uhlom dihedrálneho uhla je kolmá na hranu a strany tohto dihedrálneho uhla. Inými slovami, ak sme skonštruovali lineárny uhol dihedrálneho uhla, potom rovina prechádzajúca ním je kolmá na hranu a steny tohto dihedrálneho uhla.

Dané: ΔABC, C = 90°, AC leží v rovine α, uhol medzi rovinami α a ABC = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Nájdite: vzdialenosť od bodu B k rovine α.

1) Zostrojme VC α. Potom CS je projekcia BC na túto rovinu.

2) BC AS (podľa podmienky), teda teorémom troch kolmíc (TTP), CS AS. Preto VSK je lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi rovinou α a rovinou trojuholníka ABC. To znamená, že WSC = 60°.

3) Z ΔBCA podľa Pytagorovej vety:

Odpoveď VK sa rovná 6 koreňom po troch cm

Praktické využitie (aplikovaný charakter) kolmosti dvoch rovín.

Dve priamky v priestore sa nazývajú kolmé, ak uhol medzi nimi je 90 o.

Vzťah medzi rovnobežkami a ich kolmosťou k rovine.

Znak kolmosti priamky a roviny.

Poznámky.

1. Cez ktorýkoľvek bod v priestore prechádza rovina kolmá na danú priamku a navyše jediná.
2. Cez ktorýkoľvek bod v priestore prechádza priamka kolmá na danú rovinu a navyše iba jedna.
3. Ak sú dve roviny kolmé na priamku, potom sú rovnobežné.

Úlohy a testy na tému "Téma 5. "Kolmosť priamky a roviny."

• Kolmosť priamky a roviny
• Dihedrálny uhol. Kolmosť roviny - Kolmosť čiar a rovín 10 tř

  Lekcie: 1 Zadania: 10 Kvízy: 1

• Kolmé a šikmé. Uhol medzi čiarou a rovinou - Kolmosť čiar a rovín 10 tř

  Lekcie: 2 Zadania: 10 Testy: 1

• Rovnobežnosť priamok, priamky a roviny - Rovnobežnosť priamych čiar a rovín 10. stupeň

  Lekcie: 1 Zadania: 9 Testy: 1

• Kolmé čiary - Základné geometrické informácie 7. ročník

  Lekcie: 1 Zadania: 17 Testy: 1

Materiál témy zhŕňa a systematizuje informácie o kolmosti priamok, ktoré sú vám známe z planimetrie. Štúdium viet o vzťahu rovnobežnosti a kolmosti priamok a rovín v priestore, ako aj materiálu o kolmici a šikmom priestore je vhodné spojiť so systematickým opakovaním príslušného materiálu z planimetrie.

Riešenia takmer všetkých výpočtových problémov sú redukované na aplikáciu Pytagorovej vety a jej dôsledky. V mnohých problémoch je možnosť aplikácie Pytagorovej vety alebo jej dôsledkov odôvodnená vetou o troch kolmostiach alebo vlastnosťami rovnobežnosti a kolmosti rovín.

Pojem kolmých rovín

Keď sa pretínajú dve roviny, dostaneme uhly 4$. Dva z rohov sú $\varphi $ a ďalšie dva sú $(180)^0-\varphi $.

Definícia 1

Uhol medzi rovinami je najmenší z dihedrálnych uhlov tvorených týmito rovinami.

Definícia 2

Dve pretínajúce sa roviny sa nazývajú kolmé, ak je uhol medzi týmito rovinami rovný $90^\circ$ (obr. 1).

Obrázok 1. Kolmé roviny

Znak kolmosti dvoch rovín

Veta 1

Ak je priamka roviny kolmá na inú rovinu, potom sú tieto roviny navzájom kolmé.

Dôkaz.

Dostaneme roviny $\alpha $ a $\beta $, ktoré sa pretínajú pozdĺž priamky $AC$. Priamka $AB$ ležiaca v rovine $\alpha $ nech je kolmá na rovinu $\beta $ (obr. 2).

Obrázok 2

Keďže priamka $AB$ je kolmá na rovinu $\beta $, je kolmá aj na priamku $AC$. Dodatočne nakreslíme priamku $AD$ v rovine $\beta $, kolmú na priamku $AC$.

Dostaneme, že uhol $BAD$ je lineárny uhol dihedrálneho uhla rovný $90^\circ$. To znamená, že podľa definície 1 je uhol medzi rovinami rovný $90^\circ$, čo znamená, že tieto roviny sú kolmé.

Veta bola dokázaná.

Z tejto vety vyplýva nasledujúca veta.

Veta 2

Ak je rovina kolmá na priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve ďalšie roviny, potom je tiež kolmá na tieto roviny.

Dôkaz.

Dajme nám dve roviny $\alpha $ a $\beta $ pretínajúce sa pozdĺž priamky $c$. Rovina $\gama $ je kolmá na priamku $c$ (obr. 3)

Obrázok 3

Keďže priamka $c$ patrí rovine $\alpha $ a rovina $\gamma $ je kolmá na priamku $c$, potom podľa vety 1 sú roviny $\alpha $ a $\gamma $ kolmé.

Keďže priamka $c$ patrí rovine $\beta $ a rovina $\gamma $ je kolmá na priamku $c$, potom podľa vety 1 sú roviny $\beta $ a $\gamma $ kolmé.

Veta bola dokázaná.

Pre každú z týchto teorém platia aj opačné tvrdenia.

Príklady úloh

Príklad 1

Dostaneme obdĺžnikový box $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Nájdite všetky dvojice kolmých rovín (obr. 5).

Obrázok 4

rozhodnutie.

Podľa definície kvádra a kolmých rovín vidíme nasledujúcich osem párov rovín navzájom kolmých: $(ABB_1)$ a $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ a $(A_1B_1C_1)$, $(ABB_1) $ a $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ a $(ABC)$, $(DCC_1)$ a $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ a $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1)$ a $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ a $(ABC)$.

Príklad 2

Dajme nám dve na seba kolmé roviny. Z bodu v jednej rovine sa nakreslí kolmica do inej roviny. Dokážte, že táto priamka leží v danej rovine.

Dôkaz.

Dajme nám $\alpha $ a $\beta $ kolmé na roviny a pretínajúce sa pozdĺž priamky $c$. Z bodu $A$ roviny $\beta $ sa nakreslí kolmica $AC$ na rovinu $\alpha $. Predpokladajme, že $AC$ neleží v rovine $\beta $ (obr. 6).

Obrázok 5

Zvážte trojuholník $ABC$. Je obdĺžnikový s pravým uhlom $ACB$. Preto $\angle ABC\ne (90)^0$.

Ale na druhej strane $\uhol ABC$ je lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria tieto roviny. To znamená, že dihedrálny uhol tvorený týmito rovinami sa nerovná 90 stupňom. Dostaneme, že uhol medzi rovinami sa nerovná $90^\circ$. Rozpor. $AC$ teda leží v rovine $\beta $.

Táto lekcia pomôže tým, ktorí chcú získať predstavu o téme "Znak kolmosti dvoch rovín." Na jeho začiatku si zopakujeme definíciu dihedrálneho a lineárneho uhla. Potom zvážime, ktoré roviny sa nazývajú kolmé, a dokážeme kritérium kolmosti dvoch rovín.

Téma: Kolmosť priamok a rovín

Lekcia: Znak kolmosti dvoch rovín

Definícia. Dihedrálny uhol je útvar tvorený dvoma polrovinami, ktoré nepatria do tej istej roviny, a ich spoločnou priamkou a (a je hrana).

Ryža. jeden

Uvažujme dve polroviny α a β (obr. 1). Ich spoločná hranica je l. Tento údaj sa nazýva dihedrálny uhol. Dve pretínajúce sa roviny zvierajú štyri dihedrálne uhly so spoločnou hranou.

Dihedrálny uhol sa meria jeho lineárnym uhlom. Zvolíme ľubovoľný bod na spoločnej hrane l uhlu klinu. V polrovinách α a β z tohto bodu nakreslíme kolmice a a b na priamku l a získame lineárny uhol dihedrálneho uhla.

Priamky a a b zvierajú štyri uhly rovné φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Pripomeňme, že najmenší z týchto uhlov sa nazýva uhol medzi čiarami.

Definícia. Uhol medzi rovinami je najmenší z dihedrálnych uhlov tvorených týmito rovinami. φ - uhol medzi rovinami α a β, ak

Definícia. Dve pretínajúce sa roviny sa nazývajú kolmé (vzájomne kolmé), ak uhol medzi nimi je 90°.

Ryža. 2

Na hrane l sa zvolí ľubovoľný bod M (obr. 2). Narysujme dve kolmé priamky MA = a a MB = b na hranu l v rovine α a v rovine β. Dostali sme uhol AMB. Uhol AMB je lineárny uhol dihedrálneho uhla. Ak je uhol AMB 90°, potom sa hovorí, že roviny α a β sú kolmé.

Priamka b je konštrukciou kolmá na priamku l. Priamka b je kolmá na priamku a, pretože uhol medzi rovinami α a β je 90°. Dostaneme, že priamka b je kolmá na dve pretínajúce sa priamky a a l z roviny α. Čiara b je teda kolmá na rovinu α.

Podobne sa dá dokázať, že priamka a je kolmá na rovinu β. Priamka a je konštrukciou kolmá na priamku l. Priamka a je kolmá na priamku b, pretože uhol medzi rovinami α a β je 90°. Dostaneme, že priamka a je kolmá na dve pretínajúce sa priamky b a l z roviny β. Čiara a je teda kolmá na rovinu β.

Ak jedna z dvoch rovín prechádza priamkou kolmou na druhú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

dokázať:

Ryža. 3

dôkaz:

Nech sa roviny α a β pretínajú pozdĺž priamky AC (obr. 3). Aby ste dokázali, že roviny sú navzájom kolmé, musíte medzi nimi zostrojiť lineárny uhol a ukázať, že tento uhol sa rovná 90 °.

Priamka AB je podľa podmienky kolmá na rovinu β, a teda aj na priamku AC ležiacu v rovine β.

Narysujme priamku AD kolmú na priamku AC v rovine β. Potom BAD je lineárny uhol dihedrálneho uhla.

Priamka AB je kolmá na rovinu β, a teda aj na priamku AD ležiacu v rovine β. Takže lineárny uhol BAD je 90°. Roviny α a β sú teda kolmé, čo sa malo dokázať.

Rovina kolmá na priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve dané roviny, je kolmá na každú z týchto rovín (obr. 4).

dokázať:

Ryža. 4

dôkaz:

Priamka l je kolmá na rovinu γ a rovina α prechádza priamkou l. Podľa kritéria kolmosti rovín sú teda roviny α a γ kolmé.

Priamka l je kolmá na rovinu γ a rovina β prechádza priamkou l. Podľa znamienka kolmosti rovín sú teda roviny β a γ kolmé.

Prednáška na tému "Znak kolmosti dvoch rovín"

Zvážte dve pretínajúce sa roviny. Keď sa pretínajú, zvierajú štyri uhly dvojsteny so spoločnou hranou.

Pripomeňme si, čo je dihedrálny uhol.

V skutočnosti sa stretávame s predmetmi, ktoré majú tvar uholníka: napríklad pootvorené dvierka alebo pootvorený priečinok.

Na priesečníku dvoch rovín alfa a beta dostaneme štyri uhly klinu. Nech sa jeden z uhlov klinu rovná (phi), potom sa druhý rovná (180 0 -), tretí, štvrtý (180 0 -).

α aβ, 0°< 90 °

Zoberme si prípad, keď sa jeden z dihedrálnych uhlov rovná 90 0 .

Potom sú všetky dihedrálne uhly v tomto prípade rovné 90 0 .

dihedrálny uhol medzi rovinamiα aβ,

90º

Uveďme definíciu kolmých rovín:

Dve roviny sa považujú za kolmé, ak je uhol medzi nimi 90°.

Uhol medzi rovinami sigma a epsilon je 90 stupňov, čo znamená, že roviny sú kolmé

Pretože = 90°

Uveďme príklady kolmých rovín.

Stena a strop.

Bočná stena a stolová doska.

Stena a strop

Formulujme znamienko kolmosti dvoch rovín:

TEOREM:Ak jedna z dvoch rovín prechádza priamkou kolmou na druhú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

Poďme dokázať túto vlastnosť.

Podľa predpokladu je známe, že líniaAM leží v rovine α, priamka AM je kolmá na rovinu β,

Dokážte: roviny α a β sú kolmé.

dôkaz:

1) Roviny α aβ pretínajú pozdĺž priamky AR, zatiaľ čo AM ​​AR, pretože AM β podľa podmienky, to znamená, že AM je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v rovine β.

2) Nakreslite priamku v rovine βAT kolméAR.

Dostaneme uhol TAM je lineárny uhol dihedrálneho uhla. Ale uhol TAM = 90°, pretože MA p. Preto α β.

Q.E.D.

TEOREM:Ak rovina prechádza priamkou kolmou na inú rovinu, potom sú tieto roviny kolmé.

Vzhľadom na to:a, p, AM a, AMp, AM°=A

Dokážte: αβ.

dôkaz:

1) α∩β = АР, zatiaľ čo AM ​​АР, pretože AM β podľa podmienky, to znamená, že AM je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu v rovine β.

2) ATp,ATAR.

TAM je lineárny uhol dihedrálneho uhla. TAM = 90°, pretože MA β. Preto α β.

Q.E.D

Zo znamienka kolmosti dvoch rovín máme dôležitý dôsledok:

DÔSLEDOK:Rovina kolmá na priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú dve roviny, je kolmá na každú z týchto rovín.

Dokážme tento dôsledok: ak je rovina gama kolmá na priamku c, potom je v dôsledku rovnobežnosti oboch rovín gama kolmá na alfa. Podobne je gama kolmá na beta.

To znamená: ak α∩β=с a γс, potom γα a γβ.

pretožeγс a сα od znamienka kolmosti γα.

Podobne γ β

Preformulujme tento dôsledok pre dihedrálny uhol:

Rovina prechádzajúca lineárnym uhlom dihedrálneho uhla je kolmá na hranu a strany tohto dihedrálneho uhla. Inými slovami, ak sme skonštruovali lineárny uhol dihedrálneho uhla, potom rovina prechádzajúca ním je kolmá na hranu a steny tohto dihedrálneho uhla.

Úloha.

Dané: ΔABC, C = 90°, AC leží v rovine α, uhol medzi rovinami α aABC= 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Nájdite: vzdialenosť od bodu B k rovine α.

rozhodnutie:

1) Zostrojme VC α. Potom CS je projekcia BC na túto rovinu.

2) BC AS (podľa podmienky), teda teorémom troch kolmíc (TTP), CS AS. Preto VSK je lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi rovinou α a rovinou trojuholníka ABC. To znamená, že WSC = 60°.

3) Z ΔBCA podľa Pytagorovej vety:

Od ΔVKS: