Funkčné extrémy
Definícia 2
Bod $x_0$ sa nazýva bod maxima funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\le f(x_0 )$ je spokojný.
Definícia 3
Bod $x_0$ sa nazýva maximálny bod funkcie $f(x)$, ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky $x$ z tohto okolia platí nerovnosť $f(x)\ge f(x_0) $ je spokojný.
Pojem extrém funkcie úzko súvisí s pojmom kritický bod funkcie. Predstavme si jeho definíciu.
Definícia 4
$x_0$ sa nazýva kritický bod funkcie $f(x)$, ak:
1) $x_0$ - vnútorný bod definičnej oblasti;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ alebo neexistuje.
Pre pojem extrém možno formulovať vety o dostatočných a nevyhnutné podmienky jeho existenciu.
Veta 2
Dostatočný extrémny stav
Nech je bod $x_0$ kritický pre funkciu $y=f(x)$ a leží v intervale $(a,b)$. Nech na každom intervale $\left(a,x_0\right)\ a\ (x_0,b)$ existuje derivácia $f"(x)$ a udržiava konštantné znamienko. Potom:
1) Ak je na intervale $(a,x_0)$ derivácia $f"\left(x\right)>0$ a na intervale $(x_0,b)$ je derivácia $f"\left(x\ správny)
2) Ak je derivácia $f"\left(x\right)0$ na intervale $(a,x_0)$, potom bod $x_0$ je minimálny bod pre túto funkciu.
3) Ak je na intervale $(a,x_0)$ aj na intervale $(x_0,b)$ derivácia $f"\left(x\right) >0$ alebo derivácia $f"\left(x \správny)
Táto veta je znázornená na obrázku 1.
Obrázok 1. Dostatočný stav pre existenciu extrémov
Príklady extrémov (obr. 2).
Obrázok 2. Príklady extrémnych bodov
Pravidlo na skúmanie funkcie pre extrém
2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;
7) Urobte závery o prítomnosti maxím a miním v každom intervale pomocou vety 2.
Funkcia vzostupne a zostupne
Najprv si predstavme definície rastúcich a klesajúcich funkcií.
Definícia 5
Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva rastúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1
Definícia 6
Funkcia $y=f(x)$ definovaná na intervale $X$ sa nazýva klesajúca, ak pre ľubovoľné body $x_1,x_2\in X$ pre $x_1f(x_2)$.
Skúmanie funkcie pre zvyšovanie a znižovanie
Pomocou derivácie môžete skúmať funkcie na zvyšovanie a znižovanie.
Ak chcete preskúmať funkciu pre intervaly nárastu a poklesu, musíte urobiť nasledovné:
1) Nájdite definičný obor funkcie $f(x)$;
2) Nájdite deriváciu $f"(x)$;
3) Nájdite body, kde je rovnosť $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;
4) Nájdite body, kde $f"(x)$ neexistuje;
5) Označte na súradnicovej čiare všetky nájdené body a definičný obor danej funkcie;
6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom výslednom intervale;
7) Záver: na intervaloch kde $f"\vľavo(x\vpravo)0$ sa funkcia zvyšuje.
Príklady úloh na štúdium funkcií zvyšovania, znižovania a prítomnosti extrémnych bodov
Príklad 1
Preskúmajte funkciu zvyšovania a znižovania a prítomnosť bodov maxím a miním: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Keďže prvých 6 bodov je rovnakých, najskôr ich vyžrebujeme.
1) Definičná oblasť - všetky reálne čísla;
2) $f"\vľavo(x\vpravo)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\vľavo(x\vpravo)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ existuje vo všetkých bodoch domény definície;
5) Súradnicová čiara:
Obrázok 3
6) Určite znamienko derivácie $f"(x)$ na každom intervale:
\ \ ak pre ktorýkoľvek pár bodov X a X", a ≤ x, nerovnosť f(X) ≤ f (X"), a prísne sa zvyšuje - ak nerovnosť f (X) f(X"). Pokles a striktný pokles funkcie sú definované podobne. Napríklad funkcia pri = X 2 (ryža. , a) sa na segmente striktne zvyšuje, a
(ryža. , b) na tomto segmente striktne klesá. Zvyšujúce sa funkcie sú označené f (X) a znižuje sa f (X)↓. Aby bola diferencovateľná funkcia f (X) rástol v intervale [ a, b], je potrebné a postačujúce, aby jeho odvod f"(X) bola nezáporná dňa [ a, b].
Spolu s nárastom a poklesom funkcie na segmente sa uvažuje aj nárast a pokles funkcie v bode. Funkcia pri = f (X) sa nazýva zvyšovanie v bode X 0, ak existuje taký interval (α, β) obsahujúci bod X 0 , čo za ktorýkoľvek bod X z (α, β), x> X 0, nerovnosť f (X 0) ≤ f (X) a pre akýkoľvek bod X z (α, β), x 0, nerovnosť f (X) ≤ f (X 0). Striktné zvýšenie funkcie v bode je definované podobne X 0 Ak f"(X 0) > 0, potom funkcia f(X) sa v súčasnosti výrazne zvyšuje X 0 Ak f (X) sa zvyšuje v každom bode intervalu ( a, b), potom sa v tomto intervale zvyšuje.
S. B. Stechkin.
Veľká sovietska encyklopédia. - M.: Sovietska encyklopédia. 1969-1978 .
Pozrite si, čo je „Funkcia zvyšovania a znižovania“ v iných slovníkoch:
Pojmy matematickej analýzy. Funkciu f(x) nazývame rastúca na segmente VEKOVÁ ŠTRUKTÚRA OBYVATEĽSTVA, pomer počtu rôznych vekových skupín obyvateľstva. Závisí od pôrodnosti a úmrtnosti, priemernej dĺžky života ľudí... Veľký encyklopedický slovník
Pojmy matematickej analýzy. Funkcia f(x) sa nazýva rastúca na intervale, ak pre ľubovoľnú dvojicu bodov x1 a x2 platí a≤x1 ... encyklopedický slovník
Pojmy z matematiky. analýza. Volaná funkcia f(x). rastúce na segmente [a, b], ak pre ľubovoľnú dvojicu bodov x1 a x2, a<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)
Odvetvie matematiky, ktoré študuje derivácie a diferenciály funkcií a ich aplikácie na štúdium funkcií. registrácia D. a. do samostatnej matematickej disciplíny sa spája s menami I. Newtona a G. Leibniza (druhá polovica 17 ... Veľká sovietska encyklopédia
Odvetvie matematiky, v ktorom sa študujú pojmy derivácie a diferenciálu a ako sa aplikujú na štúdium funkcií. vývoj D. a. úzko súvisí s rozvojom integrálneho počtu. Neodmysliteľne a ich obsah. Spolu tvoria základ... Matematická encyklopédia
Tento výraz má iné významy, pozri funkciu. Požiadavka "Zobraziť" je presmerovaná sem; pozri aj iné významy ... Wikipedia
Aristoteles a peripatetici- Aristotelovská otázka Život Aristotela Aristoteles sa narodil v roku 384/383. pred Kr e. v Stagire, na hraniciach s Macedónskom. Jeho otec, menom Nicomachus, bol lekárom v službách macedónskeho kráľa Amyntasa, Filipovho otca. Spolu so svojou rodinou mladý Aristoteles ...... Západná filozofia od jej počiatkov až po súčasnosť
- (QCD), kvantová teória poľa silného vplyvu kvarkov a gluónov, postavená na obraze kvanta. elektrodynamika (QED) založená na "farebnej" meracej symetrii. Na rozdiel od QED majú fermióny v QCD komplement. kvantový stupeň voľnosti. číslo,…… Fyzická encyklopédia
I Srdce Srdce (latinsky cor, grécky cardia) je dutý fibromuskulárny orgán, ktorý ako pumpa zabezpečuje pohyb krvi v obehovom systéme. Anatómia Srdce sa nachádza v prednom mediastíne (mediastíne) v osrdcovníku medzi ... ... Lekárska encyklopédia
Život rastliny, podobne ako každého iného živého organizmu, je komplexný súbor vzájomne súvisiacich procesov; najvýznamnejšou z nich, ako je známe, je výmena látok s prostredím. Životné prostredie je zdrojom, z ktorého ... ... Biologická encyklopédia
